1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 60, № 1, 2020

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 1, стр. 159-166

Моделирование динамических процессов в длинных джозефсоновских переходах. проблема вычисления вольт-амперных характеристик. Оценки скорости роста ошибок округления для разностной схемы второго порядка точности

С. И. Сердюкова

ОИЯИ, ЛИТ
141980 М.о., Дубна, Россия

Поступила в редакцию 01.07.2019
После доработки 01.07.2019
Принята к публикации 18.09.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

При численных расчетах вольт-амперных характеристик систем джозефсоновских переходов обычно используется схема Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Расчеты проводятся для больших интервалов времени и на каждом шаге по времени проводится четырехкратный пересчет. Чтобы сократить расчетное время, в этой работе предлагается использовать вместо схемы Рунге-Кутты “явную” схему второго порядка точности. Получены хорошие результаты на конкретных расчетах. В этой работе доказаны оценки $\left\| {{{G}^{n}}} \right\|$ для всех $n$, гарантирующие ограниченность роста ошибок округления, $G$ – оператор перехода от слоя к слою. Неординарность рассматриваемой схемы состоит в том, что ее коэффициенты зависят не только от отношения шагов сетки $\gamma = \tau {\text{/}}h$, но и от $\tau $ ($\tau ,h$ – шаги сетки по $t$ и $x$). Доказано, что для всех $\gamma \leqslant 1$ собственные значения характеристической матрицы находятся в пределах единичного круга ($\left| {{{\lambda }_{j}}({{e}^{{i\phi }}})} \right| \leqslant 1$ для всех $0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi $), оставаясь при этом на расстоянии $O(\tau )$ от единичной окружности. Развитый метод оценок может быть использован при исследовании других численных методов. Библ. 7.

Ключевые слова: длинные джозефсоновские переходы, расчет вольт-амперных характеристик, конечно-разностные схемы, задача Коши, оценка скорости роста оператора перехода от слоя к слою.

ВВЕДЕНИЕ

Вычисление вольт-амперных характеристик систем $n$ длинных джозефсоновских переходов (ДДП) связано (см. [1], (7)) с решением системы $n$ существенно нелинейных дифференциальных уравнений. В работе [2] (см. параграф 2) , был разработан алгоритм, позволяющий свести задачу к решению одного уравнения ${{u}_{{tt}}} = - \beta {{u}_{t}} + {{u}_{{xx}}} - \sin (u) + I.$ Для решения последнего была успешно использована “явная” схема второго порядка точности. В этой работе исследуется разностная аппроксимации второго порядка точности:

$\frac{{u_{\nu }^{{n + 1}} - 2u_{\nu }^{n} + u_{\nu }^{{n - 1}}}}{{{{\tau }^{2}}}} = - \beta \frac{{u_{\nu }^{{n + 1}} - u_{\nu }^{{n - 1}}}}{{2\tau }} + \frac{{u_{{\nu + 1}}^{n} - 2u_{\nu }^{n} + u_{{\nu - 1}}^{n}}}{{{{h}^{2}}}},$
где $\tau ,h$ – шаги сетки по $t,x$ соответственно $\gamma = \tau {\text{/}}h$, далее $\delta = \beta \tau {\text{/}}2$.

Рассматриваемое разностное уравнение эквивалентно системе

(1)
$\begin{gathered} u_{\nu }^{{n + 1}} - u_{\nu }^{n} = v_{\nu }^{{n + 1}}, \\ \frac{{v_{\nu }^{{n + 1}} - v_{\nu }^{n}}}{{{{\tau }^{2}}}} = - \beta \frac{{v_{\nu }^{{n + 1}} + v_{\nu }^{n}}}{{2\tau }} + \frac{{u_{{\nu + 1}}^{n} - 2u_{\nu }^{n} + u_{{\nu - 1}}^{n}}}{{{{h}^{2}}}}. \\ \end{gathered} $

Решается задача Коши, заданы начальные данные $u_{\nu }^{0},\;v_{\nu }^{0}$. После преобразования Фурье

${{U}^{n}} = \sum\limits_{\nu = - \infty }^\infty \,{{e}^{{i\nu \phi }}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {u_{\nu }^{n}} \\ {v_{\nu }^{n}} \end{array}} \right]$
и ряда простых алгебраических манипуляций, cистема (1) и решение задачи Коши принимают вид
${{U}^{{n + 1}}} = A({{e}^{{i\phi }}}){{U}^{n}},\quad {{U}^{n}} = {{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}}){{U}^{0}}.$
Здесь $A({{e}^{{i\phi }}})$ – характеристическая матрица:
$A({{e}^{{i\phi }}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(1 - (4{{\gamma }^{2}}{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)){\text{/}}(1 + \delta )}&{(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} \\ { - (4{{\gamma }^{2}}{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)){\text{/}}(1 + \delta )}&{(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} \end{array}} \right].$
В случае $\tau = h$ в этой работе получены оценки норм $\left\| {{{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\|$ в ${{L}_{2}}$ для всех $n$:

$\left\| {{{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\| \leqslant 6\sqrt {\frac{2}{\pi }} \sqrt {2 + \frac{{2.85}}{{\beta \tau }} + O(exp( - \beta \tau n))} ,\quad t = \tau n.$

Кроме того, доказано, что при больших $\beta \tau n$ норма степеней характеристической матрицы медленно убывает:

$\left\| {{{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\| \leqslant 6\sqrt {\frac{2}{\pi }} \sqrt {2 + \frac{{5.12}}{{\beta \tau \sqrt {\beta \tau n} }} + O(exp( - \beta \tau n))} .$

Полученные оценки гарантируют ограниченность роста ошибок округления в норме L2.

1. СПЕКТР $A({{e}^{{i\phi }}})$ МАТРИЦЫ

Cобственные значения матрицы $A$ являются решениями уравнения

(2)
${{\lambda }^{2}} - 2\frac{{1 - 2{{\gamma }^{2}}{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{{1 + \delta }}\lambda + \frac{{1 - \delta }}{{1 + \delta }} = 0,$
(3)
${{\lambda }_{{1,2}}} = \frac{{1 - 2{{\gamma }^{2}}{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2) \pm \sqrt {{{\delta }^{2}} - 4{{\gamma }^{2}}{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2) + 4{{\gamma }^{4}}{{{\sin }}^{4}}(\phi {\text{/}}2)} }}{{1 + \delta }}.$

Для устойчивости в ${{L}_{2}}$ необходимо, чтобы $\left| {{{\lambda }_{1}}} \right| \leqslant 1$ и $\left| {{{\lambda }_{2}}} \right| \leqslant 1$ для всех $0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi $. Точка $\phi = {{\phi }_{0}}$ называется определяющей, если хотя бы одно из ${{\lambda }_{1}}({{\phi }_{0}})$, ${{\lambda }_{2}}({{\phi }_{0}})$ по модулю равно единице. Выполнение необходимых условий устойчивости не исключает неустойчивости степенного типа. При этом порядок степенной неустойчивости зависит от структуры канонического вида системы разностных уравнений в окрестности определяющих точек (подробнее см. [3], [4]). Заметим, что ${{\lambda }_{1}}(0) = 1$ и ${{\lambda }_{2}}(0) = (1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta ) < 1$, следовательно, $\phi = 0$ является определяющей точкой. Что касается точки $\phi = \pi $, имеем

${{\lambda }_{{1,2}}}(\pi ) = \frac{{1 - 2{{\gamma }^{2}} \pm \sqrt {{{\delta }^{2}} - 4{{\gamma }^{2}} + 4{{\gamma }^{4}}} }}{{1 + \delta }}.$
Если $\gamma > 1$, то $2{{\gamma }^{2}} - 1 > 1$ и $ - 4{{\gamma }^{2}} + 4{{\gamma }^{4}} > 0.$ Отсюда следует
$\left| {{{\lambda }_{2}}(\pi )} \right| = \frac{{2{{\gamma }^{2}} - 1 + \sqrt {{{\delta }^{2}} - 4{{\gamma }^{2}} + 4{{\gamma }^{4}}} }}{{1 + \delta }} > 1$
и, значит, $\gamma \leqslant 1$ есть необходимое условие устойчивости в ${{L}_{2}}$. При $\gamma = 1$, ${{\lambda }_{2}}(\pi ) = - 1$. Появляется вторая определяющая точка $\phi = \pi $.

Замечание 1. Предполагается, что $\delta $ мало: в реальных расчетах вольт-амперных характеристик (ВАХ) джозефсоновских переходов макcимальное значение было $\delta = 0.01.$ Далее полагаем, что $0 < \delta < 1{\text{/}}2$.

Лемма 1. Если $\gamma \leqslant 1$, $\left| {{{\lambda }_{1}}} \right| \leqslant 1$ и $\left| {{{\lambda }_{2}}} \right| \leqslant 1$ при всех $0 \leqslant \phi \leqslant 2\pi $.

Доказательство. Так как ${{\sin }^{2}}(\phi {\text{/}}2) = {{\sin }^{2}}(2\pi - \phi ){\text{/}}2,$ достаточно рассматривать $\phi \leqslant \pi $.

Напоминаем, что ${{\lambda }_{1}}(0) = 1$ и ${{\lambda }_{2}}(0) = (1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta ) < 1$. Пусть

${{\gamma }_{{1,2}}} = \sqrt {(1 \mp \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} ){\text{/}}2} .$

Положим ${{\phi }_{1}} = 2arcsin({{\gamma }_{1}}{\text{/}}\gamma )$, для $\gamma \geqslant {{\gamma }_{1}}$; ${{\phi }_{2}} = 2arcsin({{\gamma }_{2}}{\text{/}}\gamma )$, для $\gamma \geqslant {{\gamma }_{2}}.$

На самом деле ${{\lambda }_{1}},\;{{\lambda }_{2}}$ являются функциями $z = 2{{\gamma }^{2}}{{\sin }^{2}}(\phi {\text{/}}2) \leqslant 2$:

${{\lambda }_{{1,2}}} = \frac{{1 - z \pm \sqrt {{{\delta }^{2}} - 2z + {{z}^{2}}} }}{{1 + \delta }} = \frac{{1 - z \pm \sqrt {{{\delta }^{2}} - 1 + {{{(1 - z)}}^{2}}} }}{{1 + \delta }}.$

При ${{(1 - z)}^{2}} \leqslant 1 - {{\delta }^{2}}$ собственные значения являются комплексно-сопряженными:

${{\lambda }_{{1,2}}}(\phi ) = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} exp( \pm i\theta ),$
аргумент $\theta $ определяется соотношением
(4)
$\cos (\theta ) = (1 - 2{{\gamma }^{2}}{{\sin }^{2}}(\phi {\text{/}}2)){\text{/}}\sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} ,$
cледовательно, $\left| {{{\lambda }_{1}}} \right| = \left| {{{\lambda }_{2}}} \right| = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} \leqslant 1$.

Многочлен $p(z) = {{z}^{2}} - 2z + {{\delta }^{2}}$ имеет два вещественных корня ${{z}_{{1,2}}} = 1 \mp \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} $. При $0 < z < {{z}_{1}}$ и $z > {{z}_{2}}$ собственные значения вещественные.

Если $\gamma < {{\gamma }_{1}}$, то $z < {{z}_{1}}$ при всех $0 \leqslant \phi \leqslant \pi $, а $1 - z \geqslant 1 - {{z}_{1}} = \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} .$ Отсюда следует, что при рассматриваемых $z$ собственное значение ${{\lambda }_{1}} > \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} > 0.$ Taк как ${{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} = (1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta ) > 0$, при рассматриваемых $z$ собственное значение ${{\lambda }_{2}}$ также положительное. Имеем ${{\lambda }_{2}} = {{\lambda }_{1}} - 2\sqrt {p(z)} < {{\lambda }_{1}}$. Cобственное значение ${{\lambda }_{1}}(0) = 1.$ С ростом $\varphi $ от $0$ до $\pi $ собственное значение ${{\lambda }_{1}}$ монотонно убывает, оставаясь положительным. Тем самым установлена справедливость утверждения леммы 1 для $\gamma < {{\gamma }_{1}}$.

В случае ${{\gamma }_{1}} < \gamma < {{\gamma }_{2}}$ собственные значения вещественные только при $\phi \leqslant {{\phi }_{1}}$: при возрастании $\phi $ от 0 до ${{\phi }_{1}}$ величина ${{\lambda }_{1}}$ монотонно убывает от 1 до $\sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} $, а величина ${{\lambda }_{2}}$ монотонно возрастает от $(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )$ до $\sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} $. Следовательно, матрица $A({{e}^{{i{{\varphi }_{1}}}}})$ имеет при $\phi = {{\phi }_{1}}$ кратные собственные значения.

В случае $1 \geqslant \gamma \geqslant {{\gamma }_{2}}$ собственные значения являются вещественными при $0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{1}}$ и при ${{\phi }_{2}} \leqslant \phi \leqslant \pi $.

Оценки $\left| {{{\lambda }_{1}}(\phi )} \right| \leqslant 1$, $\left| {{{\lambda }_{2}}(\phi )} \right| \leqslant 1$ для $0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{1}}$ были доказаны в предыдущем случае. Остается рассмотреть случай ${{\phi }_{2}} < \phi \leqslant \pi .$

Многочлен $p(z) = {{z}^{2}} - 2z + {{\delta }^{2}}$ имеет два вещественных корня ${{z}_{{1,2}}} = 1 \mp \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} $. Если $z > {{z}_{2}}$, $p\left( z \right) > 0$, $1 - z \leqslant 0$, в результате мы находим, что при $z > {{z}_{2}}$, ${{\lambda }_{2}}(z) < 0$. Так как ${{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} = (1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta ) > 0$, оба корня являются отрицательными и, значит,

$\left| {{{\lambda }_{{1,2}}}} \right| = (z - 1 \mp \sqrt {p(z)} ){\text{/}}(1 + \delta ).$

При $z > {{z}_{2}}$ многочлен $p\left( z \right) > 0$, а $z - 1 \geqslant {{z}_{2}} - 1 = \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} .$ Отсюда следует, что при рассматриваемых $z$ величина $ - {{\lambda }_{2}} = \left| {{{\lambda }_{2}}} \right| > \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} > 0$. Так как ${{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} = (1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta ) > 0$, при рассматриваемых $z$ величина $ - {{\lambda }_{1}}$ также больше нуля. Отсюда следует, что $\left| {{{\lambda }_{1}}} \right| = \left| {{{\lambda }_{2}}} \right| - 2\sqrt {p(z)} < \left| {{{\lambda }_{2}}} \right|$. С ростом $\phi $ от ${{\phi }_{2}}$ до $\pi $ величина модуля собственного значения ${{\lambda }_{2}}$ монотонно возрастает от $\sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} $ до 1. Соответственно величина модуля собственного значения ${{\lambda }_{1}}$ монотонно убывает от $\sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} $ до $(1 - \delta ){\text{/(}}1 + \delta )$. Лемма 1 доказана.

2. ВЫВОД ЯВНОГО ВИДА ${{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})$

Так как ${{\lambda }_{1}},\;{{\lambda }_{2}}$ являются решениями уравнения (2), то согласно теореме Виета имеем

${{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} = 2(1 - 2{{\gamma }^{2}}{{\sin }^{2}}(\phi {\text{/}}2)){\text{/}}(1 + \delta ),\quad {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} = (1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta ).$
Используя эти соотношения, перепишем $A({{e}^{{i\varphi ))}}}$ в виде

$A({{e}^{{i\phi }}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}}&{{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}} \\ {{{\lambda }_{1}} + {{\lambda }_{2}} - {{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}} - 1}&{{{\lambda }_{1}}{{\lambda }_{2}}} \end{array}} \right].$

Положим ${{E}_{1}} = [{{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{1}} - 1]{\kern 1pt} *$, ${{E}_{2}} = [1,1]{\kern 1pt} *$ (знак * преобразует вектор-строку в вектор-столбец), $A({{e}^{{i\phi }}}){{E}_{1}} = {{\lambda }_{1}}{{E}_{1}}$, ${{E}_{1}}$ является собственным вектором матрицы $A({{e}^{{i\phi }}})$. Вектор ${{E}_{2}}$ является присоединенным вектором матрицы $A({{e}^{{i\phi }}})$, $A({{e}^{{i\phi }}}){{E}_{2}} = {{\lambda }_{2}}{{E}_{2}} + {{E}_{1}}$. Матрица преобразования подобия $T,$ столбцами которой являются векторы ${{E}_{1}},\;{{E}_{2}},$ приводит матрицу $A({{E}^{{i\phi }}})$ к треугольному виду: ${{T}^{{ - 1}}}A({{e}^{{i\phi }}})T = B,$

$B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\lambda }_{1}}}&1 \\ 0&{{{\lambda }_{2}}} \end{array}} \right],\quad T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\lambda }_{1}}}&1 \\ {{{\lambda }_{1}} - 1}&1 \end{array}} \right],\quad {{T}^{{ - 1}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1} \\ {1 - {{\lambda }_{1}}}&{{{\lambda }_{1}}} \end{array}} \right],\quad {{B}^{n}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda _{1}^{n}}&{{{D}_{n}}} \\ 0&{\lambda _{2}^{n}} \end{array}} \right],$
где ${{D}_{n}} = (\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n}){\text{/}}({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}).$

Элементы матрицы ${{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})$ являются тригонометрическими многочленами

$P({{e}^{{i\phi }}}) = \sum\limits_{k = - n}^n \,{{a}_{k}}{{e}^{{ki\phi }}}.$
${{L}_{2}}$ – норма многочлена $P$ есть
${{\left\| {P({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}^{2}} = \sum\limits_{k = - n}^n \,{{\left| {{{a}_{k}}} \right|}^{2}} = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi \,{{\left| {P({{e}^{{i\phi }}})} \right|}^{2}}d\phi .$
Соответствующая матричная норма есть

${{\left\| {A{{{({{e}^{{i\phi }}})}}^{2}}} \right\|}^{2}} = \sum\limits_{i,j} \,{{\left\| {a_{{i,j}}^{n}} \right\|}^{2}} = \sum\limits_{i,j} \,\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi \,{{\left| {a_{{i,j}}^{n}({{e}^{{i\phi }}})} \right|}^{2}}d\phi .$

Для всех $\phi ,\left| \phi \right| \leqslant \pi $ $\left| {{{\lambda }_{1}}} \right| \leqslant 1$. Так как при $0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{1}}$ собственное значение ${{\lambda }_{1}}$ вещественное и положительное, имеем

${{(1 - {{\lambda }_{1}})}^{2}} + \lambda _{1}^{2} = 1 - 2{{\lambda }_{1}} + 2\lambda _{1}^{2} = 1 - 2{{\lambda }_{1}}(1 - {{\lambda }_{1}}) \leqslant 1,$
а для

${{\phi }_{1}} \leqslant \phi \leqslant \pi ,\quad {{\lambda }_{1}} = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} exp(i\theta ).$

Отсюда получаем

${{\left| {1 - {{\lambda }_{1}}} \right|}^{2}} + {{\left| {{{\lambda }_{1}}} \right|}^{2}} = 1 - 2\sqrt {1 - \frac{\delta }{{1 + \delta }}} \cos (\theta ) + \frac{{1 - \delta }}{{1 + \delta }} \leqslant \mathop {\left( {1 + \sqrt {\frac{{1 - \delta }}{{1 + \delta }}} } \right)}\nolimits^2 \leqslant 4.$

В результате имеем

${{\left\| {T({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}^{2}} \leqslant 6,\quad {{\left\| {{{T}^{{ - 1}}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}^{2}} \leqslant 6,\quad {{\left\| {{{B}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}^{2}} \leqslant 2 + {{\left\| {{{D}_{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}^{2}}.$

Используя неравенство Коши-Буняковского [5], легко проверить, что для любых двух квадратных матриц $A,B$ порядка $l$ справедлива оценка

${{\left\| {AB} \right\|}^{2}} = \sum\limits_{i,j} \,{\text{|}}\sum\limits_{k = 1}^l \,{{\left| {{{a}_{{i,k}}}{{b}_{{k,j}}}} \right|}^{2}} \leqslant \sum\limits_{i,j} \,\sum\limits_{k = 1}^l \,{{\left| {{{a}_{{i,k}}}} \right|}^{2}}\sum\limits_{k = 1}^l \,{{\left| {{{b}_{{k,j}}}} \right|}^{2}} = {{\left\| A \right\|}^{2}}{{\left\| B \right\|}^{2}}.$
Используя эту оценку и только что полученные оценки $\left\| T \right\|$, $\left\| {{{T}^{{ - 1}}}} \right\|$ и $\left\| {{{B}^{n}}} \right\|$, получаем

(5)
$\left\| {{{A}^{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\| \leqslant 6\sqrt {2 + {{{\left\| {{{D}_{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}}^{2}}} .$

3. ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ${{\left\| {{{D}_{n}}({{e}^{{i\phi }}})} \right\|}^{2}}$

Неравенство (5) показывает, что оценка норм степеней характеристической матрицы свелась к оценке интеграла

$\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } \,{{\left| {\frac{{(\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n})}}{{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}})}}} \right|}^{2}}d\phi ,$
где ${{\lambda }_{1}},\;{{\lambda }_{2}}$ были определены выше (см. (3)).

Далее мы ограничимся случаем $\gamma = 1$, $\tau = 0.1$, $\beta = 0.2$, $\delta = 0.01$. При таких параметрах были получены хорошие результаты в реальных расчетах ВАХ длинных джозефсоновских переходов. С одной стороны, $\gamma = 1$ является границей устойчивости, с другой стороны, при $\gamma = 1$ расчетное время является минимальным. Разработанные оценки интегралов могут быть использованы при других параметрах и при исследовании других численных методов. Заметим, что при $\gamma = 1$ собственные значения имеют более компактный приятный вид:

(6)
${{\lambda }_{{1,2}}} = \frac{{cos(\phi ) \pm \sqrt {{{\delta }^{2}} - si{{n}^{2}}(\phi )} }}{{(1 + \delta )}}.$

Легко проверить, что при $\gamma = 1$ ${{\left\| {{{D}_{n}}} \right\|}^{2}} = 2I{\text{/}}\pi ,$ где

(7)
$I = \int\limits_0^{\pi /2} \,{{\left| {\frac{{(\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n})}}{{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}})}}} \right|}^{2}}d\phi ,$
где ${{\lambda }_{1}},\;{{\lambda }_{2}}$ определяются (6). Но по мере надобности будем использовать и (3).

Если $0 \leqslant \phi \leqslant arcsin(\delta )$, то собственные значения вещественные. Далее ${{\phi }_{1}} = arcsin(\delta )$. Заметим, что ${{\lambda }_{1}}({{\phi }_{1}}) = {{\lambda }_{2}}({{\phi }_{1}}) = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} .$ Для ${{\phi }_{1}} < \phi \leqslant \pi {\text{/}}2$ собственные значения комплексно-сопряженные

${{\lambda }_{{1,2}}} = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} \exp ( \pm i\theta ),\quad \cos (\theta ) = \cos (\phi ){\text{/}}\sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} ,\quad \theta ({{\phi }_{1}}) = 0.$

Интеграл $I$ разбиваем на три интеграла по отрезкам: $[0,{{\phi }_{0}}],\;[{{\phi }_{0}},{{\phi }_{1}}],\;[{{\phi }_{1}},\pi {\text{/}}2]$ соответственно. Здесь и далее ${{\phi }_{0}}$ определяется в виде

(8)
$3{{\delta }^{2}}{\text{/}}4 - si{{n}^{2}}(\phi ) = 0,\quad \sin ({{\phi }_{0}}) = \sqrt 3 \delta {\text{/}}2.$
Отдельно получаем оценки для трех интегралов ${{I}_{1}},\;{{I}_{2}},\;{{I}_{3}}.$

3.1. Оценка интеграла ${{I}_{1}}$

Теорема 1. Для всех $n,\delta \leqslant 1{\text{/}}2$ верна следующая оценка:

${{I}_{1}} = \int\limits_0^{{{\phi }_{0}}} \,{{\left| {(\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n}){\text{/}}({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}})} \right|}^{2}}d\phi \leqslant c(\delta ){\text{/}}(\beta \tau ),\quad c(\delta ) = 4{{(1 + \delta )}^{2}}{\text{/}}\sqrt {4 - {{\delta }^{2}}} .$

В реальных вычислениях использовались $\delta = 0.01$, $c(0.01) = 2.042$.

Для больших $T = \sqrt {dn\delta } $, $d = 1 - {{\delta }^{2}}{\text{/}}(4(1 + \delta ))$, верна специальная оценка:

${{I}_{1}} \leqslant \tilde {c}(\delta ){\text{/}}(\beta \tau \sqrt {\beta \tau n} ),\quad \tilde {c}(\delta ) = 4\sqrt {2\pi } {{(1 + \delta )}^{2}}{\text{/}}(\sqrt {d(4 - {{\delta }^{2}})} ),\quad \tilde {c}(0.01) = 5.115.$

Доказательство. По аналогии с оценкой $2{{\gamma }^{2}}{{\sin }^{2}}({{\phi }_{1}}{\text{/}}2)$ (см. замечание 2) получаем

(9)
$\frac{3}{8}{{\left( {\frac{{\beta \tau }}{2}} \right)}^{2}} \leqslant 2{{\sin }^{2}}\left( {\frac{{{{\phi }_{0}}}}{2}} \right) \leqslant \frac{6}{{13}}{{\left( {\frac{{\beta \tau }}{2}} \right)}^{2}} \leqslant \frac{{{{\delta }^{2}}}}{2},\quad sin({{\phi }_{0}}{\text{/}}2) < \frac{\delta }{2}.$

Оценка знаменателя

(10)
${{\left| {{{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}}} \right|}^{2}} = 4\frac{{{{\delta }^{2}} - 4{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2) + 4{{{\sin }}^{4}}(\phi {\text{/}}2)}}{{{{{(1 + \delta )}}^{2}}}} \geqslant \frac{{{{\delta }^{2}}}}{{{{{(1 + \delta )}}^{2}}}}{\text{,}}\quad \phi \leqslant {{\phi }_{0}},$
является простым следствием определения ${{\phi }_{0}}$ (см. (8)).

Оценка числителя при $\phi \leqslant {{\phi }_{0}}$ сводится к оценке $\lambda _{1}^{{2n}},$ так как ${{\left| {\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n}} \right|}^{2}} < \lambda _{1}^{{2n}}$.

Лемма 2. Справедлива оценка

$\left| {{{\lambda }_{1}}(\phi )} \right| \leqslant 1 - d\frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta },\quad d = 1 - \frac{{{{\delta }^{2}}}}{{3(1 + \delta )}}\quad для\quad 0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{1}}.$
$А\;для\quad 0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{0}}\quad получаем\quad d = 1 - \frac{{{{\delta }^{2}}}}{{4(1 + \delta )}}.$

Используя (3), перепишем ${{\lambda }_{1}}(\phi )$ в виде

${{\lambda }_{1}}(\phi ) = \frac{{1 - 2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{{1 + \delta }} + \frac{\delta }{{1 + \delta }}\sqrt {1 - f(\phi )} ,\quad f(\phi ) = (4{{\sin }^{2}}(\phi {\text{/}}2) - 4{{\sin }^{4}}(\phi {\text{/}}2)){\text{/}}{{\delta }^{2}}.$
При рассматриваемых $\phi $ имеем $0 \leqslant f(\phi ) \leqslant 1$. Так как $\sqrt {1 + x} \leqslant 1 + x{\text{/}}2$ при $ - 1 \leqslant x \leqslant 0$, получаем

$\begin{gathered} \left| {{{\lambda }_{1}}(\varphi )} \right| < \frac{{1 - 2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{{1 + \delta }} + \frac{\delta }{{1 + \delta }}\left( {1 - \frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2) - 2{{{\sin }}^{4}}(\phi {\text{/}}2)}}{{{{\delta }^{2}}}}} \right) = 1 - \frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta } + \\ \, + \frac{{2{{{\sin }}^{4}}(\phi {\text{/}}2)}}{{\delta (1 + \delta )}} \leqslant 1 - \frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta } + \frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta }\frac{{{{{\sin }}^{2}}({{\phi }_{1}}{\text{/}}2)}}{{(1 + \delta )}} \leqslant 1 - d\frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta },\quad d = 1 - \frac{{{{\delta }^{2}}}}{{3(1 + \delta )}}. \\ \end{gathered} $

А при $0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{0}}$ имеем

$\left| {{{\lambda }_{1}}(\phi )} \right| \leqslant 1 - \frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta } + \frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta }\frac{{{{{\sin }}^{2}}({{\phi }_{0}}{\text{/}}2)}}{{(1 + \delta )}} \leqslant 1 - d\frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta },\quad d = 1 - \frac{{{{\delta }^{2}}}}{{4(1 + \delta )}}.$

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Для $0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{1}}$ получаем

(11)
$\ln ({{\lambda }_{1}}(\phi )) \leqslant - d\frac{{2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta },\quad \lambda _{1}^{{2n}}(\phi ) \leqslant \exp \left( { - \frac{{4dn{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)}}{\delta }} \right).$

Справедливость этих оценок является прямым следствием леммы 2 и хорошо известного (см. [6, c. 58]) разложения

$ln(1 + x) = x - {{x}^{2}}{\text{/}}2 + {{x}^{3}}{\text{/}}3 - ... = \sum\limits_{k = 1}^\infty \,\frac{{{{{( - 1)}}^{{k + 1}}}{{x}^{k}}}}{k},\quad \left| x \right| \leqslant 1.$
При отрицательных $x$ все члены ряда отрицательные, следовательно, $ln(1 + x) < x$.

Замечание 2 утверждает, что ${{\lambda }_{1}} > {{\lambda }_{2}}$ при $0 \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{0}}$. Следовательно, при рассматриваемых $\varphi $ справедлива оценка ${{\left| {\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{2}} \right|}^{2}} \leqslant \lambda _{1}^{{2n}}$. Используя эту оценку и неравенства (9)–(11), получаем

(12)
${{I}_{1}} \leqslant \frac{{{{{(1 + \delta )}}^{2}}}}{{{{\delta }^{2}}}}\int\limits_0^{{{\varphi }_{0}}} \,exp( - 4dn{{\sin }^{2}}(\phi {\text{/}}2){\text{/}}\delta )d\phi \leqslant \frac{{{{{(1 + \delta )}}^{2}}}}{{{{\delta }^{2}}}}\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt {4 - {{\delta }^{2}}} }}\sqrt {\frac{\delta }{{dn}}} \int\limits_0^T \,exp( - {{t}^{2}})dt.$

По ходу доказательства была сделана замена переменных $t = 2\sqrt {dn{\text{/}}\delta } \sin (\phi {\text{/}}2)$ и использована оценка $1{\text{/}}\sqrt {1 - {{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2)} \leqslant 1{\text{/}}\sqrt {1 - {{{\sin }}^{2}}({{\phi }_{0}}{\text{/}}2)} .$ Заметим, что

$T = 2\sqrt {\frac{{dn}}{\delta }} \sin ({{\phi }_{0}}{\text{/}}2).$

Для завершения доказательства теоремы 1 достаточно воспользоваться первыми членами “обертывающих рядов” Лапласа для функции ошибок [7, c. 11].

3.2. Оценка интеграла ${{I}_{2}}$

Теорема 2. Для всех $n$ справедлива оценка

${{I}_{2}} \leqslant \frac{{\delta {{n}^{2}}\exp ( - c(n - 1)\delta )}}{2} = \frac{{{{x}^{2}}\exp ( - x)}}{{2{{c}^{2}}\delta }} \leqslant \frac{{0.219...}}{{\beta \tau }},\quad c = 0.997524...,$
для больших $n\beta \tau $ интеграл ${{I}_{2}}$ экспоненциально убывает с ростом $n$.

Доказательство. Пусть

(13)
${{I}_{2}} = \int\limits_{{{\varphi }_{0}}}^{{{\varphi }_{1}}} \,{{\left| {\frac{{(\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n})}}{{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}})}}} \right|}^{2}}d\phi < ({{\phi }_{1}} - {{\phi }_{0}}){{n}^{2}}{{({{\lambda }_{1}}({{\phi }_{0}}))}^{{2(n - 1)}}}.$

Используя разложение (см. [6, c. 65])

$arcsin(x): = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,\frac{{(2k!){{x}^{{2k + 1}}}}}{{{{2}^{{2k}}}{{{(k!)}}^{2}}(2k + 1)}} = x + \frac{1}{{2 \cdot 3}}{{x}^{3}} + \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4 \cdot 5}}{{x}^{5}} + \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot \cdot 5 \cdot 7}}{{x}^{7}} + ...,$
получаем оценку $x \leqslant arcsin(x) \leqslant x(1 + {{x}^{2}}{\text{/}}(6(1 - {{x}^{2}}))).$ Отсюда при $\delta \leqslant 1{\text{/}}2$ имеем

(14)
$\arcsin (\delta ) \leqslant \frac{{19}}{{18}}\delta ,\quad {{\phi }_{1}} - {{\phi }_{0}} = \arcsin (\delta ) - \arcsin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\delta } \right) \leqslant \left( {\frac{{19}}{{18}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\delta \leqslant \frac{\delta }{5}.$

Для ${{\phi }_{0}} \leqslant \phi \leqslant {{\phi }_{1}},$ $\delta \leqslant 1{\text{/}}2$ получаем

(15)
${{\lambda }_{1}}(\phi ) \leqslant \frac{{1 - 2{{{\sin }}^{2}}(\phi {\text{/}}2) + \delta {\text{/}}2}}{{(1 + \delta )}} \leqslant 1 - c(\delta )\delta {\text{/}}2 \leqslant \exp ( - c(\delta )\delta {\text{/}}2),\quad c(\delta ) = \frac{{1 + 0.75\delta }}{{1 + \delta }}.$

Положим $c = c(0.01) = 0.997524...$ Используя (14), (15), из (13) имеем

${{I}_{2}} \leqslant \frac{{\delta {{n}^{2}}\exp ( - c(n - 1)\delta )}}{5} = \frac{{{{x}^{2}}\exp ( - x)}}{{5{{c}^{2}}\delta }} \leqslant \frac{{8\exp ( - 2 + c\delta )}}{{5{{c}^{2}}\beta \tau }} = \frac{{0.21979400...}}{{\beta \tau }}.$

Теорема 2 доказана.

3.3. Оценка интеграла ${{I}_{3}}$

Теорема 3. Для всех $n$ справедлива оценка

${{I}_{3}} \leqslant \frac{{\pi n(1 + \delta )}}{{2(1 - \delta )}}\exp ( - \beta \tau n) = \frac{{\pi (1 + \delta )}}{{2(1 - \delta )\beta \tau }}\quad xexp( - x) \leqslant \frac{{\pi (1 + \delta )}}{{2(1 - \delta )\beta \tau e}} \leqslant \frac{{0.589537...}}{{\beta \tau }}.$

При больших $x = n\beta \tau $ интеграл ${{I}_{3}}$ экспоненциально убывает с ростом $n$.

Доказательство. Пусть

${{I}_{3}} = \int\limits_{{{\phi }_{1}}}^{\pi /2} \,{{\left| {\frac{{(\lambda _{1}^{n} - \lambda _{2}^{n})}}{{({{\lambda }_{1}} - {{\lambda }_{2}})}}} \right|}^{2}}d\phi .$

Для рассматриваемых $\phi $ собственные значения ${{\lambda }_{1}}(\phi ),\;{{\lambda }_{2}}(\phi )$ комплексно-сопряженные

${{\lambda }_{1}} = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} \exp (i\theta ),\quad {{\lambda }_{2}} = \sqrt {(1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )} \exp ( - i\theta ).$

Используя дополнительно оценку $ln((1 - \delta ){\text{/}}(1 + \delta )) \leqslant - 2\delta = - \beta \tau $, находим

${{I}_{3}} \leqslant \frac{{1 + \delta }}{{1 - \delta }}\exp ( - \beta \tau n)\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{\pi /2} \,\frac{{{{{\sin }}^{2}}(n\theta )}}{{{{{\sin }}^{2}}(\theta )}}d\phi .$

Имеем (см. (6))

$\begin{gathered} \cos (\theta ) = \cos (\phi ){\text{/}}\sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} , \\ \sin (\theta )d\theta = \left( {\sin (\phi ){\text{/}}\sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} } \right)d\phi . \\ \end{gathered} $

Заметим, что $\theta ({{\phi }_{1}}) = 0$, $\theta (\pi {\text{/}}2) = \pi {\text{/}}2$. В результате получаем

$\int\limits_{{{\phi }_{1}}}^{\pi /2} \,\frac{{{{{\sin }}^{2}}(n\theta )}}{{{{{\sin }}^{2}}(\theta )}}d\phi = \sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} \int\limits_0^{\pi /2} \,\frac{{{{{\sin }}^{2}}(n\theta )}}{{{{{\sin }}^{2}}(\theta )}}\frac{{\sin (\theta )}}{{\sin (\phi )}}d\theta .$

Кроме того, имеем ${{\sin }^{2}}(\phi ) - {{\delta }^{2}} = (1 - {{\delta }^{2}}){{\sin }^{2}}(\theta ),$ что обеспечивает $\sin (\theta )\sqrt {1 - {{\delta }^{2}}} \leqslant \sin (\phi ).$

В результате получаем

${{I}_{3}} \leqslant \frac{{1 + \delta }}{{(1 - \delta )}}\exp ( - \beta \tau n)\int\limits_0^{\pi /2} \,\frac{{{{{\sin }}^{2}}(n\theta )}}{{{{{\sin }}^{2}}(\theta )}}d\theta = \frac{{(1 + \delta )n\pi }}{{2(1 - \delta )}}\exp ( - \beta \tau n) \leqslant \frac{{(1 + \delta )\pi }}{{2(1 - \delta )e\beta \tau }} \leqslant \frac{{0.589537...}}{{\beta \tau }}.$

На последних шагах доказательства была использована формула (см. [6, c. 385])

$\int\limits_0^{\pi /2} \,\frac{{{{{\sin }}^{2}}(\alpha \theta )}}{{{{{\sin }}^{2}}(\theta )}}d\theta = \frac{{\alpha \pi }}{2}.$

Для больших $n\beta \tau $ интеграл ${{I}_{3}}$ экспоненциально убывает с ростом $n$. Теорема 3 доказана.

Выражаю благодарность Г.М. Кобелькову за полезные замечания.

Список литературы

  1. Шукринов Ю.М. и др. Вычислительная схема и параллельная реализация для моделирования системы длинных джозефсоновских переходов // Компьютерные исследования и моделирование. 2016. Т. 8. № 4. С. 597–604.

  2. Serdyukova S.I. IVC Calculation Problem for Josephson Junction Stacks. On Asymptotic Construction near the Breakpoint // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. 2017. Т. 25. № 4. С. 373–379.

  3. Урм В.Я. О приведении систем разностных уравнений к каноническому виду // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. № 6. С. 1309–1312.

  4. Урм В.Я. О необходимых и достаточных условиях устойчивости систем разностных уравнений // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139. № 1. С. 40–43.

  5. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. М.: Физматлит, 1960.

  6. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1963.

  7. Копсон Э. Асимптотические разложения. М.: Мир, 1966.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал