Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 1, стр. 116-117

Матрицы скалярных дифференциальных операторов: делимость и пространства решений. В [1, с. 82] было показано, что если $R$ является кольцом правых главных идеалов, то и кольцо квадратных матриц фиксированного размера с элементами из $R$ является кольцом этого типа (то же самое верно для левых идеалов). Этого достаточно для доказательства существования (правых и левых) наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любой пары $(A,B)$ матриц этого типа, даже если они не имеют полного ранга.

Позднее в [2, разд. 9.3] были предложены алгоритмы для нахождения наибольшего общего правого делителя (gcrd) и наименьшего общего левого кратного (lclm) матриц с элементами в виде полиномов Оре, это было сделано тем же путем, как и для обычных полиномиальных матриц [3].

Однако связь делимости операторных матриц – т.е. матриц скалярных операторов – и пространств решений этих матриц не были исследованы в упомянутых публикациях. В нашей статье мы устанавливаем эту связь.

Для большей определенности мы ограничиваемся операторными матрицами полного ранга над дифференциальным полем $K$ характеристики $0$, поле констант которого алгебраически замкнуто. Мы основываемся на рассмотрении вместе с каждой операторной матрицей А ее пространства решений, каждая компонента решения принадлежит универсальному расширению Пикара-Вессио $\Lambda $ поля К (см. [4]).

Таким образом, с каждой операторной матрицей $A \in {{{\mathbf{M}}}_{m}}(K[\partial ])$ мы связываем ее пространство решений ${{V}_{A}}$ – множество таких вектор-стобцов $y = {{({{y}_{1}}, \ldots ,{{y}_{m}})}^{{\text{T}}}} \in {{\Lambda }^{m}}$, для которых $A(y) = 0$. Пространство решений операторной матрицы полного ранга конечномерно [5].

В контексте делимости мы рассматриваем несколько понятий. Пусть $A,B,D,M$ – операторные $m \times m$-матрицы полного ранга. Тогда

$D$ – правый делитель $A$ (пишем ${{\left. D \right|}_{r}}A$), если существует такая операторная $m \times m$-матрица $Q$ полного ранга, что $A = QD$;

$D$ – общий правый делитель $A$ и $B$, если ${{\left. D \right|}_{r}}A$ и ${{\left. D \right|}_{r}}B$;

наибольший общий правый делитель $A$ и $B$ (обозначение: ${\text{gcrd}}(A,B)$), – общий правый делитель $D$ матриц $A,B$ такой, что любой другой общий правый делитель этих матриц является правым делителем матрицы $D$;

$M$ – левое кратное матрицы $A$, если ${{\left. A \right|}_{r}}M$;

$M$ – общее левое кратное матриц $A$ и $B$, если ${{\left. A \right|}_{r}}M$, ${{B}_{r}}M$;

наименьшее общее левое кратное матриц $A,\;B$ (обозначение: ${\text{lclm}}(A,B)$) – левое кратное $M$ матриц $A,\;B$ такое, что любое другое общее левое кратное этих матриц является левым кратным матрицы $M$.

Мы доказываем, что для любого конечного множества $F \subset {{\Lambda }^{m}}$ существует матрица, пространство решений которой порождено $F$ (элементы этой матрицы в общем случае принадлежат не $K$, а $\Lambda $). Существование такой матрицы и некоторые свойства делимости позволяют доказать, например, что для любых операторных $m \times m$-матриц $A,B$ выполнено

Насколько нам известно, второе из этих равенств было ранее доказано лишь для скалярного случая $A,B \in K[\partial ]$, и даже там этот результат нетривиален (в [6] в комментарии к лемме 1 отмечено, что доказательство может основываться на [7, лемма А.6]).

Отметим еще раз, что хотя определение и способы получения gcrd и lclm операторных матриц известны (см., например, [2], [1]), связь этих понятий с пространствами решений, видимо, не исследовалась ранее сколь-либо детально.

Некоторые из утверждений нашей статьи могли бы быть доказаны короче с использованием методов дифференциальной алгебры, в частности, с использованием некоторых утверждений из [8] – знаменитой, но трудной для чтения книги. Но наши доказательства достаточно элементарны, и интересующие нас алгоритмы извлекаются из них с минимальными дополнительными усилиями.

Добавим, что если вместо ${{\Lambda }^{m}}$ рассматривать решения в $K_{1}^{m}$, где ${{K}_{1}}$ – такое поле, что $K \subset {{K}_{1}} \subset \Lambda $, то равенства (1) оказываются, вообще говоря, неверными: пространство решений матрицы $L = {\text{lclm}}(A,B)$ может быть шире, чем сумма пространств решений матриц $A$ и $B$, коль скоро имеются в виду решения в $K_{1}^{m}$.

Выше говорилось о правом делении: $A$ является правым множителем в произведении $QA$. Обсуждавшиеся алгоритмы могут использоваться для левого деления, если прибегнуть к сопряженным матрицам. Существенно, что ${{({{M}_{1}}{{M}_{2}})}^{*}} = M_{2}^{*}M_{1}^{*}$ и ${{M}^{{**}}} = M$. Как следствие, $B = AQ \Leftarrow \Rightarrow {{B}^{*}} = {{Q}^{*}}{{A}^{*}}$.

Авторы признательны М. Зингеру за ряд полезных советов.