Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 4, стр. 601-611

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

В общем виде рассматриваемое в статье уравнение записывается следующим образом:

Независимые переменные в уравнении (1.1), равно как и переменные интегрирования в его правой части, положительны: $t > 0$, $k > 0$, ${{k}_{1}} > 0$, ${{k}_{2}} > 0$. Коэффициент $a(t)$ – это непрерывная на положительной полуоси функция, а область интегрирования $P(k)$ содержится в первом квадранте плоскости $({{k}_{1}},{{k}_{2}})$ и может быть неограниченной. Ядро $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ интегрального оператора в уравнении (1.1) предполагается заданным, а искомое решение уравнения – это функция $u(t,k)$.

Уравнения типа (1.1) возникают при квазимарковском приближении в теории турбулентности [1], а также при моделировании некоторых процессов в астрофизике и магнитной гидродинамике [2]–[4].

В частном случае, когда ядро интегрального оператора в уравнении представимо в виде $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}}) = b(k)\delta ({{k}_{1}} - k)\delta ({{k}_{2}} - k)$, где $\delta ({{k}_{1}} - k)$ и $\delta ({{k}_{2}} - k)$ обозначают сдвиги обобщенной дельта функции Дирака, а $b(k)$ представляет собой непрерывную функцию, интегродифференциальное уравнение (1.1) принимает вид

т.е. является при каждом фиксированном $k > 0$ скалярным дифференциальным уравнением Риккати [5]. Этот же термин условимся применять и к уравнению (1.1), называя его далее интегродифференциальным уравнением типа Риккати. Отметим, что в научном сообществе существует устойчивый интерес также и к дифференциальным матричным уравнениям Риккати [5], [6].

Область интегрирования $P(k)$ во входящем в уравнение (1.1) двукратном интегральном операторе и ядро $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ этого интегрального оператора явно от времени не зависят.

Свойства множества решений уравнения (1.1) определяются, во-первых, ядром $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ соответствующего интегрального оператора и, во-вторых, условиями на поведение решения $u(t,k)$ при $k \to + 0$ и $k \to + \infty $. В случае произвольного ядра $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ какие-либо общего вида аналитические представления для решений уравнения (1.1) до сих пор не известны и по этой причине задачи для этого и сходных с ним уравнений приходится решать приближенно. Результаты для интегродифференциальных уравнений типа (1.1), полученные при разного рода численном моделировании, изложены и проиллюстрированы в работах [2]–[4].

Предполагается, что ядро $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ интегрального оператора в уравнении – это непрерывная в первом октанте пространства $(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ функция, для которой выполнено следующее условие:

Здесь $M$ – это заданная неотрицательная постоянная. Совокупность всевозможных непрерывных в первом октанте функций $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$, удовлетворяющих оценке (1.2), обозначим как $\mathbb{K}(M)$. Этот класс не пуст: тождественно нулевая функция ему принадлежит. При $M = 0$ уравнение (1.1) вырождается в линейное дифференциальное.

При $M > 0$ в классе $\mathbb{K}(M)$ содержится достаточно много нетривиальных функций. Например, пусть при любом неотрицательном $k$ функция ${{W}_{1}}(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ суммируема по $({{k}_{1}},{{k}_{2}})$ в первом квадранте и при этом существует такая конечная константа ${{M}_{1}}$, что равномерно по $k$ выполняется оценка

Тогда функция ${{W}_{1}}(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ принадлежит классу $\mathbb{K}(M)$, в котором в качестве $M$ выбирается следующая постоянная:

Добавим к уравнению начальные данные на положительной полуоси и рассмотрим следующую задачу:

От функции φ(k) потребуем непрерывности при k > 0 и подчиненности следующей оценке: Показатель γ и постоянная C в правой части неравенства (1.4) предполагаются неотрицательными. В частности, в качестве начальных данных в (1.3) можно взять константу либо любую непрерывную и финитную на положительной полуоси функцию.

Ядро $W$ исходного уравнения порождает квадратично нелинейный интегральный оператор, действие которого на непрерывную и ограниченную в первом квадранте плоскости $(t,k)$ функцию $U(t,k)$ задается следующим соотношением:

По коэффициенту $a(t)$ исходного уравнения определим положительную функцию Функция $\mu (t)$ непрерывно дифференцируема, $\mu {\text{'}} = a(t)\mu $, и при этом $\mu (0) = 1$. Домножив на $\mu (t)$ обе части уравнения (1.1), запишем результат в следующем виде:

Введем сопутствующий задаче (1.3) функциональный класс $\mathbb{D}$, задавшись предварительно парой положительных чисел $H > 0$ и $B > 0$. По определению, $\mathbb{D}$ состоит из таких непрерывных в полуполосе $0 \leqslant t \leqslant H$, $k > 0$ функций $U(t,k)$, что произведение $\mu (t)U(t,k)$ отличается в ней от начальной функции $\varphi (k)$ лишь на величину, не превосходящую по модулю произведения $B{{e}^{{ - \gamma k}}}$:

Отметим, что класс $\mathbb{D}$ не пуст: ему, например, принадлежит функция $\varphi (k){\text{/}}\mu (t)$. В случае $\mu (t) = 1$ класс $\mathbb{D}$ введен в [7].

Всюду далее область интегрирования $P(k)$ представляет собой полуограниченную полосу в первом квадранте, задаваемую соотношениями

При $k = 0$ множество $P(k)$ вырождается в луч ${{k}_{1}} = {{k}_{2}} \geqslant 0$. Объединение множеств $P(k)$ по всем неотрицательным $k$ совпадает с первым квадрантом плоскости $({{k}_{1}},{{k}_{2}})$.

Сформулируем основной результат настоящей статьи.

Теорема 1. Пусть непрерывная функция $a(t)$ в исходном уравнении неотрицательна, а положительный момент времени ${{T}_{0}}$ выбран таким образом, что

Тогда существует непрерывная при $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$ и $k \geqslant 0$ функция $u(t,k)$, имеющая по переменной $t$ непрерывную производную и решающая задачу (1.3). Функция $u(t,k)$ принадлежит классу $D({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$ и других решений задачи (1.3) в этом классе нет.

Доказательство теоремы поведем методом последовательных приближений.

2. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

Зафиксируем параметры $H$, $B$ и $\gamma $ класса $D(H,B,\gamma ,\varphi )$ и заметим, что на положительной полуоси $k > 0$ для любых функций $U(t,k)$ и $V(t,k)$ из $\mathbb{D}$ выполняется оценка

Таким образом, для любых функций $U(t,k)$ и $V(t,k)$ из $\mathbb{D}$ справедливы неравенства Взяв здесь $V(t,k)$ тождественно нулевой, получим для любой функции $U(t,k)$ из $\mathbb{D}$ следующие оценки:

Сформулируем условия на ядро $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$, при выполнении которых интеграл $W[U](t,k)$ абсолютно сходится на любой функции $U(t,k)$ из $\mathbb{D}$ и определяет при этом в первом квадранте плоскости $(t,k)$ непрерывную функцию.

Теорема 2. Для ядра $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$ из класса $\mathbb{K}(M)$ квадратично нелинейный оператор $W[\, \cdot \,]$ определен и конечен на любой функции $U(t,k)$ из $\mathbb{D}(H,B,\gamma ,\varphi )$, удовлетворяя при этом следующей оценке:

Для любой пары функций $U(t,k)$, $V(t,k)$ из $\mathbb{D}(H,B,\gamma ,\varphi )$ при $0 \leqslant t \leqslant H$ справедливо неравенствогде $L = 4BM$.

Доказательство. Оценим функцию $W[U](t,k)$ по модулю сверху, внося его под знак интеграла в определении оператора $W[\, \cdot \,]$. В результате получим

По условию, в области интегрирования $P(k)$ справедливо неравенство ${{k}_{1}} + {{k}_{2}} \geqslant k$, а $\gamma \geqslant 0$. Следовательно, справедлива оценка Подставляя этот результат в оценку (2.5), получаем Таким образом, первое из неравенств (2.3) доказано. Второе же из них следует из принадлежности функции $U(t,k)$ классу $\mathbb{D}$ и оценки (2.2).

Выведем оценку (2.4). Вычитая из $W[U](t,k)$ функцию $W[V](t,k)$, получаем

К выражению в квадратных скобках под интегралом добавим тривиальную комбинацию $U(t,{{k}_{1}})V(t,{{k}_{2}}) - U(t,{{k}_{1}})V(t,{{k}_{2}})$ и, произведя перегруппировку слагаемых, получим следующее соотношение: Оценим сверху разность функций в левой части равенства (2.7) по модулю, внеся его под знак интеграла в правой части и пользуясь затем неравенством треугольника: По условию функции $U(t,k)$ и $V(t,k)$ принадлежат классу $\mathbb{D}$ и для каждой из них справедливы оценки (2.2). Следовательно, Внося эти два неравенства под знак интеграла в правой части (2.8), продолжим соответствующую оценку следующим образом: Пользуясь оценкой (2.6) для ядра $W(k,{{k}_{1}},{{k}_{2}})$, имеем далее Введем обозначение L = 4BM и воспользуемся (2.9). Тогда получим Это и есть искомая оценка (2.4). Теорема 2 доказана.

Оценка (2.3) справедлива и для функции $U(t,k) = \varphi (k)$. Учтя это и пользуясь условием (1.4), получим

Таким образом, оператор $W[\, \cdot \,]$ переводит функцию $\varphi (k)$ в экспоненциально убывающую по пространственной переменной функцию, которая не зависит от $t$. Если $\varphi (k)$ тождественно равна единице, то $\gamma = 0$, $C = 1$ и поэтому ${\text{|}}W[1](t,k){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant M$, где $M$ – определяющая класс $\mathbb{K}(M)$ постоянная.

Теорема 3. Пусть $U(t,k)$ и $V(t,k)$ – решения одного и того же уравнения (1.1), принадлежащие классу $\mathbb{D}(H,B,\gamma ,\varphi )$. Тогда справедлива априорная оценка

где $0 \leqslant t \leqslant H$ иЕсли к тому же $U(0,k) = V(0,k)$, то $U(t,k)$ и $V(t,k)$ совпадают друг с другом всюду в области $0 < t < H$, $k > 0$.

Доказательство. Для функций $U(t,k)$ и $V(t,k)$ из класса $\mathbb{D}(H,B,\gamma ,\varphi )$ справедливы оценки (2.2), т.е.

Подставляя $U(t,k)$ и $V(t,k)$ в исходное интегродифференциальное уравнение (1.1) и вычитая полученные равенства одно из другого, получаем Домножив обе части полученного уравнения на запишем результат в виде Интегрируя это уравнение и учитывая, что $\mu (0) = 1$, получаем Следовательно, справедливо неравенство Применяя к разности под интегралом оценку (2.4), получаем следующее неравенство: Введем обозначение тогда $M(0) = 0$ и Оценка (2.11) принимает при этом следующий вид: или, что равносильно следующему: Второй сомножитель в левой части (2.12) представляет собой $M{\kern 1pt} '(t)$. Учитывая это, получаем дифференциальное неравенство Переписав это неравенство в эквивалентном виде: домножим обе его части на функцию $\exp \left\{ { - \int_0^t {\tfrac{L}{{\mu (\tau )}}d\tau } } \right\}$. Тогда придем к соотношению или, что равносильно следующему: Интегрируя обе части этого дифференциального неравенства и домножая результат на ${{e}^{{\int_0^t {\tfrac{L}{{\mu (\tau )}}d\tau } }}}$, получаем искомую априорную оценку (2.10).

Если $U(0,k) = V(0,k)$ для всех $k \geqslant 0$, то из (2.10) получаем $M(t) \leqslant 0$. Но функция $M(t)$ неотрицательна по определению и поэтому обязана быть тождественно нулевой: $M(t) \equiv 0$, или в эквивалентном виде:

Это означает, что функции $U(t,k)$ и $V(t,k)$ тождественно совпадают.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Интегрируя интегродифференциальное уравнение, записанное в виде

и учитывая начальные условия, приходим к следующему квадратично нелинейному интегральному уравнению: Зададим последовательные приближения к решению задачи (1.3) с помощью следующих рекуррентных соотношений: и далее поочередно для $j = 1,2, \ldots $: или, что эквивалентно:

Покажем, что приведенные рекуррентные соотношения корректно определяют все функции ${{u}^{{[j]}}}(t,k)$, $j = 1,2, \ldots $, на некотором непустом интервале $0 < t < {{H}_{0}}$.

Теорема 4. Если для некоторого положительного числа $B > 0$ при всех $t$: $0 \leqslant t \leqslant H$ справедлива оценка

то при этих же $t$, $0 \leqslant t \leqslant H$, выполняется неравенствогде постоянная $R$ конечна и задается соотношениемПостоянные $C$ и $\gamma $ здесь те же самые, что в оценке (1.4).

Доказательство. Пользуясь определением функции ${{u}^{{[j]}}}(t,k)$, получаем

Полагая $0 \leqslant t \leqslant H$ и пользуясь условиями (3.1) и (1.4), имеем далее Подставляя эти неравенства в (3.4), получаем следующую оценку: В области интегрирования $P(k)$ справедливо неравенство $\gamma ({{k}_{1}} + {{k}_{2}}) \geqslant \gamma k > 0$, и поэтому для $({{k}_{1}},{{k}_{2}})$ из $P(k)$ имеем ${{e}^{{ - \gamma ({{k}_{1}} + {{k}_{2}})}}} \leqslant {{e}^{{ - \gamma k}}}$. Следовательно, неравенство (3.5) можно продолжить следующим образом: Подставив в (3.6) оценку (1.2) интеграла, получим окончательно Это и есть искомая оценка (3.2). Теорема 4 доказана.

Для начального приближения ${{u}^{{[0]}}}(t,k)$ имеем равенство $\mu (t){{u}^{{[0]}}}(t,k) = \varphi (k)$. Следовательно, в любой полосе $0 \leqslant t \leqslant H$ оценка (3.1) для $j = 1$ выполнена при всех $B > 0$ и $\gamma \geqslant 0$ одновременно. Применяя теорему 4, получаем неравенство

Найдем момент времени ${{T}_{0}} > 0$, обладающий тем свойством, что Существование ${{T}_{0}} > 0$ со свойством (3.7) сразу следует из монотонного возрастания первообразной $F(t) = \int_0^t {\tfrac{1}{{\mu (\tau )}}d\tau } $, принимающей на положительной полуоси все положительные значения от нуля до $\int_0^{ + \infty } {\tfrac{1}{{\mu (\tau )}}d\tau } $.

Если интеграл $\int_0^{ + \infty } {\tfrac{1}{{\mu (\tau )}}d\tau } $ равен $ + \infty $, то параметр ${{T}_{0}} > 0$ с определяющим свойством (3.7) не только существует, но и единственен. То же самое можно утверждать в случае, когда интеграл $\int_0^{ + \infty } {\tfrac{1}{{\mu (\tau )}}d\tau } $ конечен и больше $B{\text{/}}R$. Наконец, в случае когда $\int_0^{ + \infty } {\tfrac{1}{{\mu (\tau )}}d\tau } \leqslant B{\text{/}}R$ в качестве параметра ${{T}_{0}} > 0$ годится любой сколь угодно большой момент времени.

Теперь, взяв $H = {{T}_{0}}$ в условиях теоремы 4 и пользуясь положительностью функции $\mu (t)$, получим для всех $t$: $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$, следующую оценку для первого приближения:

Предположив теперь справедливость оценки $\left| {\mu (t){{u}^{{[j]}}}(t,k) - \varphi (k)} \right| \leqslant B{{e}^{{ - \gamma k}}}$ с некоторым номером $j \geqslant 1$ для всех $t$: $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$ получим на основании теоремы 4 оценку для следующего приближения с номером $j + 1$: По индукции заключаем теперь, что при любом $t$: $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$ все последовательные приближения ${{u}^{{[j]}}}(t,k)$ заведомо определены и каждое из них принадлежит классу $\mathbb{D}({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$.

4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

Исследуем сходимость построенных в предыдущем разделе последовательных приближений в предположении, что функция $a(t)$ в исходном уравнении неотрицательна. Тогда функция

монотонно возрастает при $t \geqslant 0$ и ограничена здесь снизу:

Теорема 5. Пусть момент времени ${{T}_{0}}$ выбран из определяющего соотношения (3.7). Тогда последовательные приближения ${{u}^{{[N]}}}(t,k)$ сходятся равномерно в полуполосе $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$, $0 \leqslant k < + \infty $ к непрерывной функции $u(t,k)$. Предельная функция $u(t,k)$ принадлежит классу $\mathbb{D}({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$ и при этом имеют место оценки

Здесь $L = 4BM$.

Доказательство. Прежде всего докажем индукцией по номеру итерации $i$ справедливость следующей серии оценок:

Из (3.8) имеем и, следовательно, т.е. при $i = 0$ (4.2) выполнено. Далее, предполагая, что оценим сверху величину Пользуясь определением последовательных приближений, получаем Домножая обе части последнего равенства на ${{e}^{{\gamma k}}}$ и оценивая результат по модулю, приходим к оценке Для оценки модуля разности под интегралом в правой части воспользуемся неравенством (2.4) в применении к паре функций ${{u}^{{[i]}}}(t,k)$ и ${{u}^{{[i - 1]}}}(t,k)$ из класса $\mathbb{D}({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$. Тогда получим Продолжим это неравенство, пользуясь при $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$ сначала предположением индукции (4.3): а затем условием, что $\mu (t) \geqslant \mu (0) = 1$. В итоге получим Таким образом, обоснование серии оценок (4.2) полностью завершено.

Учитывая соотношения (4.2), имеем

Таким образом, ряд в котором ${{u}^{{[ - 1]}}}(t,k) \equiv 0$, сходится абсолютно и равномерно на множестве $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$, $0 \leqslant k < + \infty $ к некоторой непрерывной функции $u(t,k)$.

Частичная сумма

рассматриваемого ряда совпадает с последовательным приближением ${{u}^{{[N]}}}(t,k)$ и при этом в силу неравенств (4.2) справедливы оценки (4.1).

Отклонение предельной функции $u(t,k)$ от начального приближения можно грубо оценить, взяв $N = 0$ в (4.1). При этом получим

Отклонение предельной функции $u(t,k)$ от $\varphi (k)$ можно также оценить с помощью неравенства треугольника: Последовательное приближение ${{u}^{{[N]}}}(t,k)$, как уже установлено, принадлежит классу $\mathbb{D}({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$, т.е. справедлива оценка Подставляя ее, а также неравенства (4.1) в (4.4), получаем Переходя здесь к пределу при $N \to \infty $, заключаем, что функция $u(t,k)$ также принадлежит классу $\mathbb{D}({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$. Теорема 5 доказана.

Таким образом, параметр ${{T}_{0}}$, задаваемый равенством (3.7), представляет собой длину отрезка по времени, на котором предел $u(t,k)$ последовательных приближений заведомо существует и непрерывен.

Теорема 6. Непрерывный предел $u(t,k)$ последовательных приближений имеет при $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$, $k \geqslant 0$ первую непрерывную производную по переменной $t$ и задает на рассматриваемой полуполосе решение задачи (1.3). Функция $u(t,k)$ удовлетворяет к тому же следующим оценкам:

Доказательство. Применив к функциям $u(t,k)$ и ${{u}^{{[N]}}}(t,k)$ из класса $D({{T}_{0}},B,\gamma ,\varphi )$ сначала оценку (2.4), а затем условие, что $\mu (t) \geqslant \mu (0) = 1$ при $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$, и в заключение воспользовавшись оценкой (4.1), получим

Переходя в (4.6) к пределу при $N \to \infty $, заключаем, что при всех $k \geqslant 0$ последовательность $W[{{u}^{{[N]}}}](t,k)$ непрерывных по $t$ функций равномерно по $t$ из отрезка $[0,{{T}_{0}}]$ сходится к непрерывной же по времени функции $W[u](t,k)$. Следовательно, для $0 \leqslant t \leqslant {{T}_{0}}$ справедливы равенства

Воспользуемся ими и перейдем к пределу при $N \to \infty $ в определении последовательных приближений, т.е. в равенстве В итоге получим следующее интегральное уравнение: Из этого предельного равенства сразу следует, что функция $u(t,k)$ имеет непрерывную первую производную по времени и является при этом решением исходного интегродифференциального уравнения. Теорема 6 доказана.

Отметим, что числовой параметр $B$ в оценках (4.5) строго положителен, а в остальном произволен. Переход к пределу при $B \to 0$ в этих оценках бесполезен: длина ${{T}_{0}}$, определяющая интервал существования по времени решения задачи, при $B \to 0$ также стремится к нулю.

Собирая вместе теорему 5 и теорему 6, получаем теорему 1, сформулированную в разд. 1.