1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 60, № 5, 2020

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 5, стр. 837-840

О нулях модифицированной функции Бесселя II рода

С. М. Багирова 1, *, А. Х. Ханмамедов 2, 3, **

1 Азербайджанский государственный аграрный университет
AZ 2000 Гянджа, ул. Ататюрка, 450, Азербайджан

2 Ин-т матем. и механ. НАН Азербайджана
AZ 1141 Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9, Азербайджан

3 Университет “Азербайджан”
AZ 1007 Баку, ул. Дж. Гаджибекли, 71, Азербайджан

* E-mail: bagirovasevindj@rambler.ru
** E-mail: agil_khanmamedov@yahoo.com

Поступила в редакцию 30.09.2019
После доработки 19.12.2019
Принята к публикации 14.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуются нули модифицированной функции Бесселя II рода (функции Макдональда) ${{K}_{\nu }}\left( z \right)$, рассматриваемой как функция от индекса $\nu $. Доказано, что при фиксированном $z,\,z > 0$, функция ${{K}_{\nu }}\left( z \right)$имеет счетное число простых чисто мнимых нулей ${{\nu }_{n}}$. Найдена асимптотика нулей ${{\nu }_{n}}$ при $n \to + \infty $. Библ. 15.

Ключевые слова: функции Бесселя, нули функций Бесселя, уравнение Шрёдингера, собственные значения.

1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

В работе [1] Г. Пойа показал, что при каждом фиксированном $z > 0$ косинус преобразование функции $k\left( t \right) = {{e}^{{ - zcht}}}$ имеет только действительные нули. Этот пример интересен также тем, что упомянутое косинус преобразование суть (см. [2]–[5]) модифицированная функция Бесселя II рода (функция Макдональда), т.е.

(1)
${{K}_{{i\lambda }}}(z) = \int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - zcht}}}\cos \lambda tdt} ,\quad \left| {\arg z} \right| < \frac{\pi }{2},\quad \lambda \in C,$
где ${{K}_{\nu }}(z)$ является решением модифицированного уравнения Бесселя
(2)
${{z}^{2}}u{\text{''}} + zu{\text{'}} - ({{z}^{2}} + {{\nu }^{2}})u = 0.$
Следует отметить, что вопрос о нулях функций Бесселя изучен более детально, когда они рассматриваются как функции от своих аргументов, т.е. при фиксированном индексе (см. [2]–[7] и литературу к ним). Иначе обстоит дело для функций Бесселя, рассматриваемых как функции от индекса при фиксированном аргументе. В этом направлении отметим работу [8], в которой показано, что для положительных $z$ нули ${{\nu }_{k}}$ функции Бесселя I рода ${{J}_{\nu }}(z)$ вещественны, просты и асимптотически близки к отрицательным целым числам (см. также [9]). Что же касается функции ${{K}_{\nu }}(z)$, рассматриваемой как функция от индекса $\nu $, упомянутый выше результат Пойя был уточнен тем, что все нули этой функции являются чисто мнимыми и их бесконечно много (см. [3]). Однако вопрос об асимптотике нулей функции ${{K}_{\nu }}(z)$, насколько нам известно, не изучался. Настоящая заметка посвящена последнему вопросу. Сформулируем основной результат данной работы.

Теорема. При каждом фиксированном $z > 0$ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ имеет счетное число простых чисто мнимых нулей $ \pm i{{\nu }_{n}}$, ${{\nu }_{n}} > 0$, $n = 1,2,...$ . Имеет место асимптотическая формула

(3)
${{\nu }_{n}}\sim \frac{{\pi n}}{{\ln n}},\quad n \to + \infty .$

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим уравнение (2) при $z > 0$. Если мы положим $z = 2{{e}^{{x/2}}}$, $y(x) = u(2{{e}^{{x/2}}})$, $\nu = 2i\lambda $, то уравнение (1) примет вид

(4)
$ - y{\text{''}} + {{e}^{x}}y = {{\lambda }^{2}}y,\quad - {\kern 1pt} \infty < x < + \infty .$
Уравнение (4) представляет собой одномерное уравнение Шрёдингера с экспоненциальным потенциалом. Одним из решений этого уравнения, очевидно, является функция
(5)
$f(x,\lambda ) = {{K}_{{2i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}}).$
Известно [2]–[4], что при каждом $z > 0$ функция ${{K}_{\nu }}\left( z \right)$ является целой функцией индекса $\nu $. Следовательно, при каждом фиксированном $x,\; - {\kern 1pt} \infty < x < + \infty $, решение $f(x,\lambda )$ служит целой функцией относительно $\lambda $. Пользуясь известным (см. [2], [4]) асимптотическим равенством
${{K}_{\nu }}(z) = \sqrt {\frac{\pi }{{2z}}} {{e}^{{ - z}}}(1 + O({{z}^{{ - 1}}})),\quad z \to \infty ,$
находим, что для каждого фиксированного $\lambda $ решение $f(x,\lambda )$ принадлежит пространству ${{L}_{2}}(a,\infty )$, где $a$ – любое конечное число. Откуда следует, что для каждого $a > - \infty $ собственные значения граничной задачи
(6)
$ - y{\text{''}} + {{e}^{x}}y = {{\lambda }^{2}}y,\quad a < x < + \infty ,$
(7)
$y(a) = 0$
являются нулями функции $f(a,\lambda ) = {{K}_{{2i\lambda }}}(2{{e}^{{a/2}}})$ и наоборот.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве ${{L}_{2}}(a, + \infty )$ самосопряженный оператор ${{T}_{a}}$, порожденный дифференциальным выражением

${{l}_{a}}(y) = - y{\text{''}} + {{e}^{x}}y,\quad x > a,$
и граничным условием (7). Так как ${{e}^{x}} \to + \infty $ при $x \to + \infty $, то спектр оператора ${{T}_{a}}$, т.е. задачи (6), (7), состоит [11], [12] из простых вещественных собственных значений $\lambda _{n}^{2},\;n = 1,2,...$, сгущающихся к $ + \infty $, причем $\lambda _{n}^{2} \geqslant \mathop {\inf }\limits_{x \geqslant a} {{e}^{x}} = {{e}^{a}} > 0$. Отсюда и из соотношения ${{K}_{{ - \nu }}}(z) = {\text{ }}{{K}_{\nu }}(z)$ следует, что функция ${{K}_{{2i\lambda }}}(2{{e}^{{a/2}}})$ имеет лишь действительные нули $ \pm {{\lambda }_{n}},{{\lambda }_{n}} > 0$, $n = 1,2, \ldots $. Покажем, что эти нули простые. Условимся точками обозначать дифференцирование по $\lambda $, а штрихами – по $x$:
$f{\kern 1pt} {\text{'}} = \frac{\partial }{{\partial x}}f,\quad \dot {f} = \frac{\partial }{{\partial \lambda }}f.$
Дифференцируя уравнение
$ - f{\kern 1pt} {\text{''}}(x,\lambda ) + {{e}^{x}}f(x,\lambda ) = {{\lambda }^{2}}f(x,\lambda )$
по $\lambda $, видим, что $\dot {f}(x,\lambda )$ удовлетворяет уравнению
$ - \dot {f}{\kern 1pt} {\text{''}}(x,\lambda ) + {{e}^{x}}\dot {f}(x,\lambda ) = {{\lambda }^{2}}\dot {f}(x,\lambda ) + 2\lambda f(x,\lambda ).$
Следовательно,
(8)
$\{ \dot {f}(x,\lambda ),f(x,\lambda )\} {\text{'}} = 2\lambda {{f}^{2}}(x,\lambda ),$
где $\left\{ {u,v} \right\} = uv{\text{'}} - u{\text{'}}v$. Далее из (1), (5) следует, что при действительных значениях $\lambda $ имеют место равенства
$\begin{gathered} f(x,\lambda ) = \int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - zcht}}}\cos \lambda tdt} , \\ f{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda ) = - \frac{z}{2}\int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - zcht}}}\operatorname{ch} t\cos \lambda tdt} , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \dot {f}(x,\lambda ) = - \int\limits_0^\infty {t{{e}^{{ - zcht}}}\sin \lambda tdt} , \\ \dot {f}{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda ) = \frac{z}{2}\int\limits_0^\infty {t{{e}^{{ - zcht}}}\operatorname{ch} t\sin \lambda tdt} , \\ \end{gathered} $
где $z = 2{{e}^{{x/2}}}$. Отсюда легко вывести оценку при $x > 0$:
$\left| {F(x,\lambda )} \right| \leqslant {{e}^{{x/2}}}{{e}^{{ - {{e}^{{x/2}}}}}}\int\limits_0^\infty {t{{e}^{{ - \operatorname{ch} t}}}\operatorname{ch} tdt} ,$
где $F(x,\lambda )$ означает любую из функций $f(x,\lambda )$, $\dot {f}(x,\lambda )$, $f{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda )$, $\dot {f}{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda )$. Последняя оценка показывает, что каждая из этих функций экспоненциально убывает при $x \to + \infty $ равномерно по $\lambda $. Тогда из равенства (8) вытекает, что
$ - \dot {f}(a,{{\lambda }_{n}})f{\kern 1pt} {\text{'}}(a,{{\lambda }_{n}}) = 2{{\lambda }_{n}}\int\limits_a^{ + \infty } {{{f}^{2}}(x,{{\lambda }_{n}})dx} .$
Из последнего соотношения видно, что $\dot {f}(a,{{\lambda }_{n}}) \ne 0$, т.е. нули функции $f(a,\lambda )$ являются простыми.

Исследуем теперь асимптотику собственных значений $\lambda _{n}^{2}$. Не нарушая общности, будем считать, что $a = 0$. Так как функция $q(x) = {{e}^{x}}$ удовлетворяет всем условиям теоремы 7.3 из монографии [11] (см. также [13]), то имеем

(9)
$\int\limits_0^{\ln \lambda _{n}^{2}} {\sqrt {\lambda _{n}^{2} - {{e}^{x}}} dx} \sim \pi n,\quad n \to + \infty .$
Далее, заметим, что
(10)
$\int\limits_0^{\ln \lambda _{n}^{2}} {\sqrt {\lambda _{n}^{2} - {{e}^{x}}} dx} = \int\limits_1^{\lambda _{n}^{2}} {{{t}^{{ - 1}}}\sqrt {\lambda _{n}^{2} - t} dt} = {{\lambda }_{n}}\int\limits_1^{\lambda _{n}^{2}} {\frac{{\lambda _{n}^{2}}}{t}\sqrt {1 - \frac{t}{{\lambda _{n}^{2}}}} {\kern 1pt} d\frac{t}{{\lambda _{n}^{2}}}} = {{\lambda }_{n}}\int\limits_{\lambda _{n}^{{ - 2}}}^1 {{{u}^{{ - 1}}}\sqrt {1 - u} du} .$
Так как функция $G(u) = 2\sqrt {1 - u} - \ln (1 + \sqrt {1 - u} ) + \ln (1 - \sqrt {1 - u} )$ служит первообразной функции $g(u) = {{u}^{{ - 1}}}\sqrt {1 - u} $, то из формулы (10) имеем
$\int\limits_0^{\ln \lambda _{n}^{2}} {\sqrt {\lambda _{n}^{2} - {{e}^{x}}} dx} = 2{{\lambda }_{n}}\ln {{\lambda }_{n}}\left[ {1 + O\left( {\frac{1}{{\ln {{\lambda }_{n}}}}} \right)} \right],\quad n \to + \infty .$
Сопоставляя это соотношение с (9), получаем
${{\lambda }_{n}}\ln {{\lambda }_{n}} = \frac{{\pi n}}{2}\left[ {1 + o(1)} \right],\quad n \to + \infty .$
Если теперь ${{\lambda }_{n}}$ ищем в виде ${{\lambda }_{n}} = \frac{{n\pi }}{2}{{\left( {\ln \frac{{n\pi }}{2}} \right)}^{{ - 1}}}\left[ {1 + {{\varepsilon }_{n}}} \right]$, то из последнего равенства легко вывести соотношение ${{\varepsilon }_{n}} = o(1)$, $n \to + \infty $. Следовательно, для нулей функции ${{K}_{{2i\lambda }}}\left( z \right)$ верно асимптотическое равенство
${{\lambda }_{n}}\sim \frac{{n\pi }}{{2\ln n}},\quad n \to + \infty .$
Теперь справедливость формулы (3) вытекает из того, что ${{\nu }_{n}} = 2{{\lambda }_{n}}$. Тем самым теорема доказана.

Замечание 1. Если в уравнении (6) $x$ заменим на $x + a$, то граничная задача (6), (7) сводится к граничной задаче

$ - y{\text{''}} + {{e}^{{x + a}}}y = {{\lambda }^{2}}y,\quad 0 < x < + \infty ,\quad y(0) = 0.$
Пусть $\lambda _{n}^{2}(a)$ является $n$-м собственным значением последней граничной задачи, т.е. граничной задачи (6), (7). Если ${{a}_{1}} < {{a}_{2}}$, то в силу принципа минимакса (см. [14], [15]) имеем ${{\lambda }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{a}_{1}}} \right) < {{\lambda }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{a}_{2}}} \right)$. Поэтому если ${{\nu }_{n}}\left( z \right)$ есть $n$-й нуль функции ${{K}_{{i\lambda }}}(z)$, $z > 0$ и $0 < {{z}_{1}} < {{z}_{2}}$, то справедливо неравенство ${{\nu }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{z}_{1}}} \right) < {{\nu }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{z}_{2}}} \right)$.

Замечание 2. Известно, что (см., например, [2]) при $z \to 0$ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ удовлетворяет асимптотическим соотношениям

$\begin{gathered} {{K}_{0}}(z)\sim - \ln z, \\ {{K}_{\nu }}(z)\sim \frac{1}{2}\Gamma (\nu ){{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{{ - \nu }}},\quad \operatorname{Re} \nu > 0. \\ \end{gathered} $
Из указанных выше рассуждений следует, что для чисто мнимых значений индекса $\nu $ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ ограничена вблизи точки $z = 0$. В самом деле, при действительных значениях $\lambda \ne 0$ уравнение (4) имеет $\left[ {12} \right]$ два линейно независимых решения $e(x,\lambda )$ и $\overline {e(x,\lambda )} $, где $e(x,\lambda ) = {{e}^{{ - i\lambda x}}}(1 + o(1))$, $x \to - \infty $. Следовательно, при всех действительных значениях $\lambda \ne 0$ справедливо разложение
${{K}_{{i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}}) = a(\lambda )\,\overline {e(x,\lambda )} + \overline {a(\lambda )} \,e(x,\lambda ),\quad - {\kern 1pt} \infty < x < + \infty ,$
где учитывается, что ${{K}_{{i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}})$ принимает действительные значения. Но тогда будем иметь
${{K}_{{i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}}) = a(\lambda )\,{{e}^{{ - i\lambda x}}} + \overline {a(\lambda )} \,{{e}^{{i\lambda x}}} + o(1),\quad x \to - \infty .$
Откуда следует, что для всех чисто мнимых значений индекса $\nu $ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ ограничена вблизи точки $z = 0$, если только $z > 0$.

Список литературы

  1. Polya G. On the zeros of certain trigonometric integrals // J. of London Math. Soc. 1926. V. 1. № 2. P. 98–99.

  2. Abramowitz V., Stegun I.N. (eds.) Handbook of mathematical functions, 10th edit., Applied Mathematical series, 55, National Bureau of Standards, Washington; Dover Publications, Inc., New York, 1964 (Пер. В.А. Диткин, Л.Н. Кармазина (ред.). Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

  3. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.

  4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974.

  5. Керимов М.К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 9. С. 1387–1441.

  6. Керимов М.К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления. IV. Неравенства, оценки, разложения и др. для нулей функций Бесселя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 1. С. 3–41.

  7. Budzinskiy S.S., Kharitonov D.M. On inflection points of Bessel functions of the second kind of positive order // Integral Transform. Spec. Funct. 2017. V. 28. № 12. P. 909–914.

  8. Bobkov V. Asymptotic relation for zeros of cross-product of Bessel functions and applications // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 1. P. 1078–1092.

  9. Coulomb M.J. Sur les zéros des fonctions de Bessel considérées comme fonctions de 1 ordre // Bull. Sci. Math. 1936. V. 60. P. 297–302.

  10. Dougall J. The determination of Green’s function by means of cylindrical or spherical harmonics // Proc. Edin. Math. Soc. 1900. V. 18. P. 33–83.

  11. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

  12. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983.

  13. Titchmarsh E.C. On the asymptotic distribution of eigenvalues asymptotic // The Quarterly Journal of Math. 1954. V. 5. № 1. P. 228–240.

  14. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4, Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

  15. Fournais S., Helffer B. Spectral Methods in Surface Superconductivit. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Birkhauser, 2010.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал