Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 5, стр. 837-840

О нулях модифицированной функции Бесселя II рода

С. М. Багирова 1*, А. Х. Ханмамедов 23**

1 Азербайджанский государственный аграрный университет
AZ 2000 Гянджа, ул. Ататюрка, 450, Азербайджан

2 Ин-т матем. и механ. НАН Азербайджана
AZ 1141 Баку, ул. Б. Вахабзаде, 9, Азербайджан

3 Университет “Азербайджан”
AZ 1007 Баку, ул. Дж. Гаджибекли, 71, Азербайджан

* E-mail: bagirovasevindj@rambler.ru
** E-mail: agil_khanmamedov@yahoo.com

Поступила в редакцию 30.09.2019
После доработки 19.12.2019
Принята к публикации 14.01.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуются нули модифицированной функции Бесселя II рода (функции Макдональда) ${{K}_{\nu }}\left( z \right)$, рассматриваемой как функция от индекса $\nu $. Доказано, что при фиксированном $z,\,z > 0$, функция ${{K}_{\nu }}\left( z \right)$имеет счетное число простых чисто мнимых нулей ${{\nu }_{n}}$. Найдена асимптотика нулей ${{\nu }_{n}}$ при $n \to + \infty $. Библ. 15.

Ключевые слова: функции Бесселя, нули функций Бесселя, уравнение Шрёдингера, собственные значения.

DOI: 10.31857/S004446692005004X

1. ВВЕДЕНИЕ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

В работе [1] Г. Пойа показал, что при каждом фиксированном $z > 0$ косинус преобразование функции $k\left( t \right) = {{e}^{{ - zcht}}}$ имеет только действительные нули. Этот пример интересен также тем, что упомянутое косинус преобразование суть (см. [2]–[5]) модифицированная функция Бесселя II рода (функция Макдональда), т.е.

(1)
${{K}_{{i\lambda }}}(z) = \int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - zcht}}}\cos \lambda tdt} ,\quad \left| {\arg z} \right| < \frac{\pi }{2},\quad \lambda \in C,$
где ${{K}_{\nu }}(z)$ является решением модифицированного уравнения Бесселя
(2)
${{z}^{2}}u{\text{''}} + zu{\text{'}} - ({{z}^{2}} + {{\nu }^{2}})u = 0.$
Следует отметить, что вопрос о нулях функций Бесселя изучен более детально, когда они рассматриваются как функции от своих аргументов, т.е. при фиксированном индексе (см. [2]–[7] и литературу к ним). Иначе обстоит дело для функций Бесселя, рассматриваемых как функции от индекса при фиксированном аргументе. В этом направлении отметим работу [8], в которой показано, что для положительных $z$ нули ${{\nu }_{k}}$ функции Бесселя I рода ${{J}_{\nu }}(z)$ вещественны, просты и асимптотически близки к отрицательным целым числам (см. также [9]). Что же касается функции ${{K}_{\nu }}(z)$, рассматриваемой как функция от индекса $\nu $, упомянутый выше результат Пойя был уточнен тем, что все нули этой функции являются чисто мнимыми и их бесконечно много (см. [3]). Однако вопрос об асимптотике нулей функции ${{K}_{\nu }}(z)$, насколько нам известно, не изучался. Настоящая заметка посвящена последнему вопросу. Сформулируем основной результат данной работы.

Теорема. При каждом фиксированном $z > 0$ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ имеет счетное число простых чисто мнимых нулей $ \pm i{{\nu }_{n}}$, ${{\nu }_{n}} > 0$, $n = 1,2,...$ . Имеет место асимптотическая формула

(3)
${{\nu }_{n}}\sim \frac{{\pi n}}{{\ln n}},\quad n \to + \infty .$

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим уравнение (2) при $z > 0$. Если мы положим $z = 2{{e}^{{x/2}}}$, $y(x) = u(2{{e}^{{x/2}}})$, $\nu = 2i\lambda $, то уравнение (1) примет вид

(4)
$ - y{\text{''}} + {{e}^{x}}y = {{\lambda }^{2}}y,\quad - {\kern 1pt} \infty < x < + \infty .$
Уравнение (4) представляет собой одномерное уравнение Шрёдингера с экспоненциальным потенциалом. Одним из решений этого уравнения, очевидно, является функция
(5)
$f(x,\lambda ) = {{K}_{{2i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}}).$
Известно [2]–[4], что при каждом $z > 0$ функция ${{K}_{\nu }}\left( z \right)$ является целой функцией индекса $\nu $. Следовательно, при каждом фиксированном $x,\; - {\kern 1pt} \infty < x < + \infty $, решение $f(x,\lambda )$ служит целой функцией относительно $\lambda $. Пользуясь известным (см. [2], [4]) асимптотическим равенством
${{K}_{\nu }}(z) = \sqrt {\frac{\pi }{{2z}}} {{e}^{{ - z}}}(1 + O({{z}^{{ - 1}}})),\quad z \to \infty ,$
находим, что для каждого фиксированного $\lambda $ решение $f(x,\lambda )$ принадлежит пространству ${{L}_{2}}(a,\infty )$, где $a$ – любое конечное число. Откуда следует, что для каждого $a > - \infty $ собственные значения граничной задачи
(6)
$ - y{\text{''}} + {{e}^{x}}y = {{\lambda }^{2}}y,\quad a < x < + \infty ,$
(7)
$y(a) = 0$
являются нулями функции $f(a,\lambda ) = {{K}_{{2i\lambda }}}(2{{e}^{{a/2}}})$ и наоборот.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве ${{L}_{2}}(a, + \infty )$ самосопряженный оператор ${{T}_{a}}$, порожденный дифференциальным выражением

${{l}_{a}}(y) = - y{\text{''}} + {{e}^{x}}y,\quad x > a,$
и граничным условием (7). Так как ${{e}^{x}} \to + \infty $ при $x \to + \infty $, то спектр оператора ${{T}_{a}}$, т.е. задачи (6), (7), состоит [11], [12] из простых вещественных собственных значений $\lambda _{n}^{2},\;n = 1,2,...$, сгущающихся к $ + \infty $, причем $\lambda _{n}^{2} \geqslant \mathop {\inf }\limits_{x \geqslant a} {{e}^{x}} = {{e}^{a}} > 0$. Отсюда и из соотношения ${{K}_{{ - \nu }}}(z) = {\text{ }}{{K}_{\nu }}(z)$ следует, что функция ${{K}_{{2i\lambda }}}(2{{e}^{{a/2}}})$ имеет лишь действительные нули $ \pm {{\lambda }_{n}},{{\lambda }_{n}} > 0$, $n = 1,2, \ldots $. Покажем, что эти нули простые. Условимся точками обозначать дифференцирование по $\lambda $, а штрихами – по $x$:
$f{\kern 1pt} {\text{'}} = \frac{\partial }{{\partial x}}f,\quad \dot {f} = \frac{\partial }{{\partial \lambda }}f.$
Дифференцируя уравнение
$ - f{\kern 1pt} {\text{''}}(x,\lambda ) + {{e}^{x}}f(x,\lambda ) = {{\lambda }^{2}}f(x,\lambda )$
по $\lambda $, видим, что $\dot {f}(x,\lambda )$ удовлетворяет уравнению
$ - \dot {f}{\kern 1pt} {\text{''}}(x,\lambda ) + {{e}^{x}}\dot {f}(x,\lambda ) = {{\lambda }^{2}}\dot {f}(x,\lambda ) + 2\lambda f(x,\lambda ).$
Следовательно,
(8)
$\{ \dot {f}(x,\lambda ),f(x,\lambda )\} {\text{'}} = 2\lambda {{f}^{2}}(x,\lambda ),$
где $\left\{ {u,v} \right\} = uv{\text{'}} - u{\text{'}}v$. Далее из (1), (5) следует, что при действительных значениях $\lambda $ имеют место равенства
$\begin{gathered} f(x,\lambda ) = \int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - zcht}}}\cos \lambda tdt} , \\ f{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda ) = - \frac{z}{2}\int\limits_0^\infty {{{e}^{{ - zcht}}}\operatorname{ch} t\cos \lambda tdt} , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \dot {f}(x,\lambda ) = - \int\limits_0^\infty {t{{e}^{{ - zcht}}}\sin \lambda tdt} , \\ \dot {f}{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda ) = \frac{z}{2}\int\limits_0^\infty {t{{e}^{{ - zcht}}}\operatorname{ch} t\sin \lambda tdt} , \\ \end{gathered} $
где $z = 2{{e}^{{x/2}}}$. Отсюда легко вывести оценку при $x > 0$:
$\left| {F(x,\lambda )} \right| \leqslant {{e}^{{x/2}}}{{e}^{{ - {{e}^{{x/2}}}}}}\int\limits_0^\infty {t{{e}^{{ - \operatorname{ch} t}}}\operatorname{ch} tdt} ,$
где $F(x,\lambda )$ означает любую из функций $f(x,\lambda )$, $\dot {f}(x,\lambda )$, $f{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda )$, $\dot {f}{\kern 1pt} {\text{'}}(x,\lambda )$. Последняя оценка показывает, что каждая из этих функций экспоненциально убывает при $x \to + \infty $ равномерно по $\lambda $. Тогда из равенства (8) вытекает, что
$ - \dot {f}(a,{{\lambda }_{n}})f{\kern 1pt} {\text{'}}(a,{{\lambda }_{n}}) = 2{{\lambda }_{n}}\int\limits_a^{ + \infty } {{{f}^{2}}(x,{{\lambda }_{n}})dx} .$
Из последнего соотношения видно, что $\dot {f}(a,{{\lambda }_{n}}) \ne 0$, т.е. нули функции $f(a,\lambda )$ являются простыми.

Исследуем теперь асимптотику собственных значений $\lambda _{n}^{2}$. Не нарушая общности, будем считать, что $a = 0$. Так как функция $q(x) = {{e}^{x}}$ удовлетворяет всем условиям теоремы 7.3 из монографии [11] (см. также [13]), то имеем

(9)
$\int\limits_0^{\ln \lambda _{n}^{2}} {\sqrt {\lambda _{n}^{2} - {{e}^{x}}} dx} \sim \pi n,\quad n \to + \infty .$
Далее, заметим, что
(10)
$\int\limits_0^{\ln \lambda _{n}^{2}} {\sqrt {\lambda _{n}^{2} - {{e}^{x}}} dx} = \int\limits_1^{\lambda _{n}^{2}} {{{t}^{{ - 1}}}\sqrt {\lambda _{n}^{2} - t} dt} = {{\lambda }_{n}}\int\limits_1^{\lambda _{n}^{2}} {\frac{{\lambda _{n}^{2}}}{t}\sqrt {1 - \frac{t}{{\lambda _{n}^{2}}}} {\kern 1pt} d\frac{t}{{\lambda _{n}^{2}}}} = {{\lambda }_{n}}\int\limits_{\lambda _{n}^{{ - 2}}}^1 {{{u}^{{ - 1}}}\sqrt {1 - u} du} .$
Так как функция $G(u) = 2\sqrt {1 - u} - \ln (1 + \sqrt {1 - u} ) + \ln (1 - \sqrt {1 - u} )$ служит первообразной функции $g(u) = {{u}^{{ - 1}}}\sqrt {1 - u} $, то из формулы (10) имеем
$\int\limits_0^{\ln \lambda _{n}^{2}} {\sqrt {\lambda _{n}^{2} - {{e}^{x}}} dx} = 2{{\lambda }_{n}}\ln {{\lambda }_{n}}\left[ {1 + O\left( {\frac{1}{{\ln {{\lambda }_{n}}}}} \right)} \right],\quad n \to + \infty .$
Сопоставляя это соотношение с (9), получаем
${{\lambda }_{n}}\ln {{\lambda }_{n}} = \frac{{\pi n}}{2}\left[ {1 + o(1)} \right],\quad n \to + \infty .$
Если теперь ${{\lambda }_{n}}$ ищем в виде ${{\lambda }_{n}} = \frac{{n\pi }}{2}{{\left( {\ln \frac{{n\pi }}{2}} \right)}^{{ - 1}}}\left[ {1 + {{\varepsilon }_{n}}} \right]$, то из последнего равенства легко вывести соотношение ${{\varepsilon }_{n}} = o(1)$, $n \to + \infty $. Следовательно, для нулей функции ${{K}_{{2i\lambda }}}\left( z \right)$ верно асимптотическое равенство
${{\lambda }_{n}}\sim \frac{{n\pi }}{{2\ln n}},\quad n \to + \infty .$
Теперь справедливость формулы (3) вытекает из того, что ${{\nu }_{n}} = 2{{\lambda }_{n}}$. Тем самым теорема доказана.

Замечание 1. Если в уравнении (6) $x$ заменим на $x + a$, то граничная задача (6), (7) сводится к граничной задаче

$ - y{\text{''}} + {{e}^{{x + a}}}y = {{\lambda }^{2}}y,\quad 0 < x < + \infty ,\quad y(0) = 0.$
Пусть $\lambda _{n}^{2}(a)$ является $n$-м собственным значением последней граничной задачи, т.е. граничной задачи (6), (7). Если ${{a}_{1}} < {{a}_{2}}$, то в силу принципа минимакса (см. [14], [15]) имеем ${{\lambda }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{a}_{1}}} \right) < {{\lambda }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{a}_{2}}} \right)$. Поэтому если ${{\nu }_{n}}\left( z \right)$ есть $n$-й нуль функции ${{K}_{{i\lambda }}}(z)$, $z > 0$ и $0 < {{z}_{1}} < {{z}_{2}}$, то справедливо неравенство ${{\nu }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{z}_{1}}} \right) < {{\nu }_{n}}{\kern 1pt} \left( {{{z}_{2}}} \right)$.

Замечание 2. Известно, что (см., например, [2]) при $z \to 0$ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ удовлетворяет асимптотическим соотношениям

$\begin{gathered} {{K}_{0}}(z)\sim - \ln z, \\ {{K}_{\nu }}(z)\sim \frac{1}{2}\Gamma (\nu ){{\left( {\frac{z}{2}} \right)}^{{ - \nu }}},\quad \operatorname{Re} \nu > 0. \\ \end{gathered} $
Из указанных выше рассуждений следует, что для чисто мнимых значений индекса $\nu $ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ ограничена вблизи точки $z = 0$. В самом деле, при действительных значениях $\lambda \ne 0$ уравнение (4) имеет $\left[ {12} \right]$ два линейно независимых решения $e(x,\lambda )$ и $\overline {e(x,\lambda )} $, где $e(x,\lambda ) = {{e}^{{ - i\lambda x}}}(1 + o(1))$, $x \to - \infty $. Следовательно, при всех действительных значениях $\lambda \ne 0$ справедливо разложение
${{K}_{{i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}}) = a(\lambda )\,\overline {e(x,\lambda )} + \overline {a(\lambda )} \,e(x,\lambda ),\quad - {\kern 1pt} \infty < x < + \infty ,$
где учитывается, что ${{K}_{{i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}})$ принимает действительные значения. Но тогда будем иметь
${{K}_{{i\lambda }}}(2{{e}^{{x/2}}}) = a(\lambda )\,{{e}^{{ - i\lambda x}}} + \overline {a(\lambda )} \,{{e}^{{i\lambda x}}} + o(1),\quad x \to - \infty .$
Откуда следует, что для всех чисто мнимых значений индекса $\nu $ функция ${{K}_{\nu }}(z)$ ограничена вблизи точки $z = 0$, если только $z > 0$.

Список литературы

  1. Polya G. On the zeros of certain trigonometric integrals // J. of London Math. Soc. 1926. V. 1. № 2. P. 98–99.

  2. Abramowitz V., Stegun I.N. (eds.) Handbook of mathematical functions, 10th edit., Applied Mathematical series, 55, National Bureau of Standards, Washington; Dover Publications, Inc., New York, 1964 (Пер. В.А. Диткин, Л.Н. Кармазина (ред.). Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

  3. Грей Э., Мэтьюз Г.Б. Функции Бесселя и их приложения к физике и механике. М.: Изд-во иностр. лит., 1953.

  4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974.

  5. Керимов М.К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 9. С. 1387–1441.

  6. Керимов М.К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления. IV. Неравенства, оценки, разложения и др. для нулей функций Бесселя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 1. С. 3–41.

  7. Budzinskiy S.S., Kharitonov D.M. On inflection points of Bessel functions of the second kind of positive order // Integral Transform. Spec. Funct. 2017. V. 28. № 12. P. 909–914.

  8. Bobkov V. Asymptotic relation for zeros of cross-product of Bessel functions and applications // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 1. P. 1078–1092.

  9. Coulomb M.J. Sur les zéros des fonctions de Bessel considérées comme fonctions de 1 ordre // Bull. Sci. Math. 1936. V. 60. P. 297–302.

  10. Dougall J. The determination of Green’s function by means of cylindrical or spherical harmonics // Proc. Edin. Math. Soc. 1900. V. 18. P. 33–83.

  11. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.

  12. Березин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шрёдингера. М.: Изд-во МГУ, 1983.

  13. Titchmarsh E.C. On the asymptotic distribution of eigenvalues asymptotic // The Quarterly Journal of Math. 1954. V. 5. № 1. P. 228–240.

  14. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 4, Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

  15. Fournais S., Helffer B. Spectral Methods in Surface Superconductivit. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, Birkhauser, 2010.

Дополнительные материалы отсутствуют.