Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 6, стр. 939-962
Прямые и обратные теоремы для итерационных методов решения нерегулярных операторных уравнений и разностных методов решения некорректных задач Коши
А. Б. Бакушинский 1, *, М. Ю. Кокурин 2, **, М. М. Кокурин 2, ***
1 ФИЦ ”Информатика и управление” РАН
Институт системного анализа
117312 Москва, пр-т 60-летия Октября, 9, Россия
2 Марийский государственный университет
424001 Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1, Россия
* E-mail: bakush@isa.ru
** E-mail: kokurinm@yandex.ru
*** E-mail: kokurin@nextmail.ru
Поступила в редакцию 24.10.2019
После доработки 24.10.2019
Принята к публикации 11.02.2020
Аннотация
Приводится обзор результатов исследований последних лет по необходимым и достаточным условиям сходимости с заданной скоростью методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений. Изложение ведется в контексте классических прямых и обратных теорем теории приближений. Близость получаемых необходимых и достаточных условий позволяет дать почти полную характеристику решений, на которых достигается та или иная скорость сходимости исследуемых методов. В числе рассматриваемых задач нерегулярные линейные и нелинейные операторные уравнения, а также некорректные задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка. Рассматриваются процедуры устойчивой аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений общего вида, классы разностных методов регуляризации и метод квазиобращения для решения некорректных задач Коши, а также класс итеративно регуляризованных методов типа Гаусса–Ньютона для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений. Библ. 61.
1. ВВЕДЕНИЕ
Объектом рассмотрения в работе являются итерационные и конечно-разностные процедуры решения нерегулярных операторных уравнений вида
Оператор $F:X \to Y$ в (1.1) действует между гильбертовыми или банаховыми пространствами $X$, $Y$; $f \in Y$. В типичных для приложений случаях в качестве $X$, $Y$ выступают функциональные пространства Лебега, Соболева и т.п. Предполагается, что оператор $F$ дифференцируем по Фреше и производная $F{\kern 1pt} {\text{'}}(x)$ удовлетворяет условию Липшица для точек $x$ из окрестности искомого решения $x{\text{*}}$. Как показывает многолетний опыт построения и исследования численных методов решения уравнений (1.1), перечисленные условия близки к минимально необходимым для создания содержательной теории этих методов. В теории классических методов решения нелинейных уравнений (методы Гаусса–Ньютона, Ньютона–Канторовича, градиентный метод [1], [2]) дополнительно предполагается, что оператор задачи обладает свойством регулярности, по крайней мере, в окрестности решения. Уравнение (1.1) и определяющий его оператор $F$ называются регулярными в окрестности $x{\text{*}}$, если оператор $F{\kern 1pt} '{{(x*)}^{{ - 1}}} \in L(Y,X)$, либо ${{(F{\kern 1pt} {\text{'*}}(x*)F{\kern 1pt} {\text{'}}(x*))}^{{ - 1}}} \in L(X,X)$. В этом случае оператор ${{F}^{\prime }}(x)$, либо $F{\text{'*}}(x)F{\kern 1pt} '(x)$ непрерывно обратим также и для всех $x$ из подходящей окрестности точки $x{\text{*}}$. Если (1.1) есть линейное уравнение с оператором $F(x) = Ax - f$, $A \in L(X,Y)$, то указанные требования сводятся к непрерывной обратимости $A$ или $A{\kern 1pt} {\text{*}}A$ соответственно. Значительное внимание в литературе уделяется также различным ослабленным вариантам требования регулярности, среди которых отметим условие $p$-регулярности [3], условие касательного конуса (tangential cone condition) и условие образа (range invariance condition) [4, pp. 6, 78], [5, Ch. 7]. Предметом анализа в настоящей работе являются методы решения различных классов уравнений (1.1) при отсутствии у оператора задачи свойства регулярности в классическом или ослабленном виде. Такая ситуация возникает, например, если оператор $F{\kern 1pt} {\text{'}}(x)$ является вполне непрерывным для точек $x$ из окрестности $x{\text{*}}$. Уравнения такого типа часто возникают в качестве математических моделей прикладных обратных задач, в т.ч. обратных задач для уравнений математической физики, см., например, [6]. При отсутствии свойства регулярности уравнение (1.1), как правило, представляет собой некорректную задачу в том смысле, что решение (1.1) существует не для всех элементов $f$, если же ${{F}^{{ - 1}}}(f) \ne \not {0}$, то отсутствует непрерывная зависимость решения $x = {{F}^{{ - 1}}}(f)$ от вариаций элемента $f$. В то же время в приложениях указанный элемент обычно бывает задан с погрешностью, так что вместо него доступно приближение $\tilde {f}$, ${{\left\| {\tilde {f} - f} \right\|}_{Y}} \leqslant \delta $. Уровень погрешности $\delta $ также обычно предполагается заданным. Здесь и далее ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\mathcal{X}}}$ есть норма в гильбертовом или банаховом пространстве $\mathcal{X}$. Вычислительные трудности, связанные с отсутствием непрерывной обратимости оператора $F$ в нерегулярном случае, преодолеваются путем построения регуляризующих алгоритмов ${{R}_{\delta }}$, ставящих в соответствие паре $(\delta ,\tilde {f})$ аппроксимацию ${{R}_{\delta }}(\tilde {f})$ элемента $x{\text{*}}$. При конструировании ${{R}_{\delta }}$ на первом этапе для разрывного оператора ${{F}^{{ - 1}}}:F(X) \subset Y \to X$ тем или иным образом строится аппроксимация семейством непрерывных отображений ${{\mathcal{G}}_{\alpha }}:Y \to X$ с параметром регуляризации $\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$ так, что(1.2)
$\mathop {lim}\limits_{\alpha \to 0} {{\left\| {{{\mathcal{G}}_{\alpha }}(f) - {{F}^{{ - 1}}}(f)} \right\|}_{X}} = 0\quad \forall f \in F(X).$(1.3)
$\mathop {lim}\limits_{\delta \to 0} {{\left\| {{{\mathcal{G}}_{{\alpha (\delta ,\tilde {f})}}}(\tilde {f}) - {{\mathcal{G}}_{{\alpha (\delta ,\tilde {f})}}}(f)} \right\|}_{X}} = 0,\quad \mathop {lim}\limits_{\delta \to 0} \alpha (\delta ,\tilde {f}) = 0.$В настоящем обзоре мы сосредоточим внимание именно на проблеме оценки точности аппроксимации ${{F}^{{ - 1}}}$ семействами непрерывных отображений ${{\mathcal{G}}_{\alpha }}$ в применении к различным классам линейных и нелинейных операторов $F$. Нас интересуют по возможности близкие друг к другу необходимые и достаточные условия на элемент $f \in F(X)$, обеспечивающие выполнение оценки
(1.4)
${{\left\| {{{\mathcal{G}}_{\alpha }}(f) - {{F}^{{ - 1}}}(f)} \right\|}_{X}} \leqslant \varphi (\alpha ),\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}],$Дальнейшее содержание статьи следующее. В разд. 2 приведен обзор результатов относительно необходимых и достаточных условий сходимости с заданной скоростью процедур аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений общего вида. Раздел 3 посвящен нерегулярным линейным уравнениям специального вида, связанным с некорректными задачами Коши для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка. В качестве процедур аппроксимации рассматриваются классы конечно-разностных схем полудискретизации задач по времени, а также метод квазиобращения. Наконец, разд. 4 посвящен обзору результатов об условиях, необходимых и достаточных для сходимости с данной скоростью итеративно регуляризованных методов типа Гаусса–Ньютона. Указанные методы предназначены для решения нерегулярных нелинейных уравнений вида (1.1) с произвольным вырождением. Разделы 1, 2, 4 написаны А.Б. Бакушинским и М.Ю. Кокуриным, разд. 3 написал М.М. Кокурин.
2. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА
2.1. Методы аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений. Прямые теоремы
Рассмотрим линейное уравнение
с оператором $A \in L(X,X)$, предполагая, что $A* = A \geqslant O$, пространство $X$ гильбертово. Непрерывная обратимость оператора $A$ не предполагается. Считаем, что $f \in \mathcal{R}(A)$, поэтому множество ${{X}_{ * }} = {{A}^{{ - 1}}}(f)$ решений задачи (2.1.1) непусто и замкнуто. Здесь и далее через $\mathcal{R}(\mathcal{A})$, $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ обозначаются соответственно образ и область определения линейного в общем случае неограниченного оператора $\mathcal{A}$. Пусть $M \geqslant {{\left\| A \right\|}_{{L(X,X)}}}$, тогда $\sigma (A) \subset [0,M]$. Через $\sigma (\mathcal{A})$ в статье обозначается спектр оператора $\mathcal{A}$. Зафиксируем начальное приближение $\xi \in X$ и вещественно- или комплекснозначную функцию $\Theta (\lambda ,\alpha )$, $\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$ такую, что при каждом $\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$ функция $\Theta ( \cdot ,\alpha )$ измерима по Борелю на отрезке $[0,M]$. Выбор $\Theta $ подчиним следующему основному условию.Условие 2.1.1. Существует такая константа ${{p}_{0}} > 0$, что для всех $p \in [0,{{p}_{0}}]$ имеет место оценка
Здесь и далее ${{C}_{1}},{{C}_{2}},\; \ldots $ – положительные константы, в необходимых случаях указываются параметры, от которых эти константы могут зависеть. В разделах статьи принята независимая нумерация констант.
Для фиксированной функции $\Theta $ определим семейство элементов
(2.1.2)
${{x}_{\alpha }} = {{x}_{\alpha }}(f) = (E - \Theta (A,\alpha )A)\xi + \Theta (A,\alpha )f,\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}],$Через ${{P}_{D}}$ далее обозначаем оператор метрического проектирования из $X$ на выпуклое замкнутое множество $D \subset X$. Аппроксимационные свойства семейства (2.1.2) в отношении решения уравнения (2.1.1) устанавливает следующая теорема [8, c. 33–37], [13, c. 42].
Теорема 2.1.1. Пусть выполняется условие 2.1.1, тогда
1) Имеет место соотношение
(2.1.3)
$\mathop {lim}\limits_{\alpha \to 0} {{\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\text{*}}} \right\|}_{X}} = 0,\quad x* = {{P}_{{{{X}_{ * }}}}}(\xi ).$2) Если при этом начальная погрешность имеет вид
и $p,s \geqslant 0$, $p + s \in (0,{{p}_{0}}]$, то в дополнение к (2.1.3) справедлива оценка скорости сходимости приближений ${{x}_{\alpha }}$:(2.1.5)
${{\left\| {{{A}^{s}}({{x}_{\alpha }} - x*)} \right\|}_{X}} \leqslant l{{\alpha }^{{p + s}}},\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}].$Соотношения (2.1.3) и (2.1.5) при $s = 0$ означают, что агрегат (2.1.2) удовлетворяет условиям (1.2) и (1.4) с $\varphi (\alpha ) = l{{\alpha }^{p}}$. В данном случае аппроксимируемый однозначный разрывный оператор ${{F}^{{ - 1}}}$ имеет вид ${{F}^{{ - 1}}}(f) = {{P}_{{{{A}^{{ - 1}}}(f)}}}(\xi )$.
Представления, подобные (2.1.4), носят название условий истокопредставимости и являются типичными требованиями на искомое решение, вводимыми для получения оценок скорости сходимости методов решения уравнений (2.1.1). Ввиду той роли, которую указанные условия играют в теории методов решения уравнений (2.1.1), они неоднократно анализировались как в общем виде, так и применительно к операторам $A$ частного вида (см., например, [14]–[17]). Во многих практически интересных случаях представление (2.1.4) содержательно интерпретируется как условие повышенной гладкости элемента $x{\text{*}} - \xi $ по сравнению с гладкостью, предписываемой исходным пространством $X$. Из сказанного ясна роль квалификации как одной из основных характеристик сходимости процедур аппроксимации (2.1.2). В частности, конечность или бесконечность $p{\text{*}}$ определяет насыщаемость, либо ее отсутствие у рассматриваемой процедуры. Насыщаемость процедуры (2.1.2) означает, что увеличение значения $p$ (в типичном случае – “показателя гладкости”) начальной невязки сверх некоторого порогового значения не гарантирует в силу теоремы 2.1.1 аналогичного увеличения показателя в правой части (2.1.5), определяющего скорость сходимости приближений ${{x}_{\alpha }}$. Такой эффект возникает, когда показатель истокопредставимости в (2.1.4) превышает квалификацию процедуры. Напротив, процедуры, имеющие бесконечную квалификацию, свободны от эффекта насыщения и в силу (2.1.5) обладают сколь угодно быстрой степенной сходимостью, лишь бы начальная невязка $x{\text{*}} - \xi $ была достаточно “гладкой” в смысле представления (2.1.4).
Обратимся теперь к уравнению (2.1.1) с произвольным оператором $A \in L(X,Y)$, где $X$, $Y$ – гильбертовы пространства. Применяя к обеим частям (2.1.1) оператор $A{\text{*}}$, приходим к уравнению
оператор которого самосопряжен и неотрицателен. Применяя схему (2.1.2) к (2.1.6), получаем семейство процедур аппроксимации решения уравнения (2.1.1):(2.1.7)
${{x}_{\alpha }} = (E - \Theta (A{\kern 1pt} {\text{*}}A,\alpha )A{\kern 1pt} {\text{*}}A)\xi + \Theta (A{\kern 1pt} {\text{*}}A,\alpha )A{\kern 1pt} {\text{*}}f,\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}].$Теорема 2.1.2. Пусть выполняется условие 2.1.1 с заменой M на M 2. Тогда
1) Имеет место соотношение
2) Если при этом начальная невязка имеет вид
и $p,s \geqslant 0$, $p + s \in (0,{{p}_{0}}]$, то справедлива оценка(2.1.9)
${{\left\| {{{{(A{\kern 1pt} {\text{*}}A)}}^{s}}({{x}_{\alpha }} - x*)} \right\|}_{X}} \leqslant l{{\alpha }^{{p + s}}},\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}].$Если $s = 0$, то (2.1.5) и (2.1.9) сводятся к оценке ${{\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\text{*}}} \right\|}_{X}} = O({{\alpha }^{p}})$ с тем же показателем $p$, что и в соответствующем условии истокопредставимости (2.1.4) и (2.1.8).
Приведем несколько наиболее распространенных в вычислительной практике порождающих функций $\Theta $ и конкретизируем для них вид схемы (2.1.7) .
Пример 2.1.1. Функция
удовлетворяет условию 2.1.1 при ${{p}_{0}} \in (0,1]$, так что $p* = 1$. Схема (2.1.7), (2.1.10) приводит к методу А.Н. ТихоноваПример 2.1.2. Зафиксируем произвольно $N \in \mathbb{N}$. Функция
(2.1.11)
$\Theta (\lambda ,\alpha ) = \frac{1}{\lambda }\left[ {1 - {{{\left( {\frac{\alpha }{{\lambda + \alpha }}} \right)}}^{N}}} \right]$(2.1.12)
$\begin{gathered} {{x}_{\alpha }} = x_{\alpha }^{{(N)}}, \\ x_{\alpha }^{{(0)}} = \xi ;\quad (A{\kern 1pt} {\text{*}}A + \alpha E)x_{\alpha }^{{(k + 1)}} = \alpha x_{\alpha }^{{(k)}} + A{\kern 1pt} {\text{*}}f,\quad k = 0,1,\; \ldots ,\;N - 1. \\ \end{gathered} $Пример 2.1.3. Функция
(2.1.13)
${\Theta }(\lambda ,\alpha ) = \left\{ \begin{gathered} {{\lambda }^{{ - 1}}}(1 - \exp {\text{\;}}( - \lambda {\text{/}}\alpha )),\quad \lambda \ne 0, \hfill \\ {{\alpha }^{{ - 1}}},\quad \lambda = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$(2.1.14)
$\begin{gathered} {{x}_{\alpha }} = u({{\alpha }^{{ - 1}}}),\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]; \\ \tfrac{{du(t)}}{{dt}} + A{\kern 1pt} {\text{*}}Au(t) = A{\kern 1pt} {\text{*}}f,\quad u(0) = \xi . \\ \end{gathered} $Метод (2.1.14) принято называть методом установления.
Пример 2.1.4. Пусть $g{\kern 1pt} {\text{:}}\;[0,{{M}^{2}}] \to \mathbb{R}$ – измеримая по Борелю, ограниченная и непрерывная в точке $\lambda = 0$ функция такая, что
(2.1.15)
$\mathop {\sup }\limits_{\lambda \in [\varepsilon ,{{M}^{2}}]} \left| {1 - g(\lambda )\lambda } \right| < 1\quad \forall \varepsilon \in (0,{{M}^{2}}].$(2.1.16)
$\Theta (\lambda ,\alpha ) = \left\{ \begin{gathered} {{\lambda }^{{ - 1}}}[1 - {{(1 - g(\lambda )\lambda )}^{{1/\alpha }}}],\quad \lambda \ne 0; \hfill \\ {{\alpha }^{{ - 1}}}g(0),\quad \lambda = 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$(2.1.17)
$\begin{gathered} {{x}_{\alpha }} = {{x}^{{(n)}}}, \\ {{x}^{{(0)}}} = \xi ;\quad {{x}^{{(k + 1)}}} = {{x}^{{(k)}}} - g(A{\kern 1pt} {\text{*}}A)A{\kern 1pt} {\text{*}}(A{{x}^{{(k)}}} - f),\quad k = 0,1,\; \ldots ,\;n - 1. \\ \end{gathered} $Поскольку порождающие функции из примеров 2.1.3 и 2.1.4 удовлетворяют условию 2.1.1 без ограничений сверху на величину ${{p}_{0}}$, соответствующие процедуры (2.1.14), (2.1.17) являются ненасыщаемыми, так что $p* = \infty $.
2.2. Обратные теоремы для методов аппроксимации решений нерегулярных линейных уравнений
Следуя [18], обратимся к обратным теоремам о скорости сходимости аппроксимаций (2.1.7). Рассмотрим вначале случай, когда параметр регуляризации $\alpha $ непрерывно меняется на $(0,{{\alpha }_{0}}]$. В дополнение к условию 2.1.1 введем следующее
Условие 2.2.1. Имеет место соотношение
Теорема 2.2.1. Пусть выполняется условие 2.2.1. Предположим, что для заданных $p$, $s$ таких, что $p > 0$, $s \geqslant 0$, $p + s \in (0,{{p}_{0}}]$ справедлива оценка
В случае итерационных методов (2.1.17) с дискретным параметром регуляризации $\alpha = {{n}^{{ - 1}}}$ нам потребуется дискретный аналог условия 2.2.1.
Условие 2.2.2. Функция $g$ удовлетворяет условиям примера 2.1.4, и, кроме того, выполняется соотношение
Теорема 2.2.2. Пусть выполняется условие 2.2.2. Предположим, что для заданных $p$, $s$ таких, что $p > 0$, $s \geqslant 0$ выполняется оценка
Согласно теоремам 2.1.2, 2.2.1, 2.2.2, условие истокопредставимости (2.1.8) с показателем $p$, достаточное для выполнения степенной оценки (2.1.9), включающей тот же показатель, близко к необходимому.
Замечание 2.2.1. Как показывает пример из [20, с. 138], включение $q \in (0,p)$ в теоремах 2.2.1, 2.2.2 не может быть в общем случае заменено равенством $q = p$. В то же время такая замена возможна в случае $p = p{\text{*}}$, где $p* < \infty $ – квалификация рассматриваемого метода [19, p. 81].
Альтернативный способ получения обратных теорем с заменой условий 2.2.1, 2.2.2 нижеприведенным неравенством (2.2.4) развит в [19].
Предыдущие результаты обобщаются на схемы вида (2.1.2) для аппроксимации решений нерегулярных уравнений (2.1.1) с оператором $A \in L(X,X)$, действующим в произвольном банаховом пространстве $X$ [9, гл. 1]. Ключевым условием на оператор $A$ в этом круге вопросов является следующее условие секториальности.
Условие 2.2.3. Справедливо включение $\sigma (A) \subset K({{\varphi }_{0}}) \cup {\text{\{ }}0{\text{\} }}$, ${{\varphi }_{0}} \in (0,\pi )$ и имеет место оценка
Здесь и далее через $R(\lambda ,\mathcal{A}) = {{(\lambda E - \mathcal{A})}^{{ - 1}}}$ обозначается резольвента в общем случае неограниченного оператора $\mathcal{A}$.
Аналогично теоремам 2.2.1, 2.2.2 с заменой $A{\kern 1pt} {\text{*}}A$ на $A$ и условия (2.2.1) на (2.1.4) формулируются обратные утверждения для теоремы 2.1.1.
В заключительной части раздела приведем условия, необходимые и достаточные для выполнения логарифмических оценок вида
(2.2.2)
${{\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\kern 1pt} *} \right\|}_{X}} \leqslant l\mathop {( - ln\alpha )}\nolimits^{ - p} \quad \forall \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]\quad (p > 0).$Условие 2.2.4. Для всех $p \geqslant 0$ имеет место оценка
В [16] показано, что условие 2.2.4 выполняется для любой функции $\Theta $, удовлетворяющей условию 2.1.1. Поскольку ${{\left\| A \right\|}_{{L(X,X)}}} \leqslant M < 1$ и функция $\varphi (\lambda ) = {{( - ln\lambda )}^{{ - p}}}$, доопределенная по непрерывности при $\lambda = 0$, ограничена на $[0,M]$, оператор ${{( - lnA)}^{{ - p}}} \in L(X,X)$. Достаточное условие для (2.2.2) в виде требования логарифмической истокопредставимости с тем же показателем $p$ устанавливает следующая теорема [16].
Теорема 2.2.3. Пусть выполняются условие 2.2.4 и истокообразное представление
где $x* = {{P}_{{{{X}_{ * }}}}}(\xi )$, $p > 0$. Тогда справедлива оценка (2.2.2).Следующая теорема [16] показывает, что представление (2.2.3), достаточное для выполнения оценки (2.2.2), близко к необходимому и не может быть существенно ослаблено.
Теорема 2.2.4. Пусть выполняется условие 2.1.1 и
(2.2.4)
$\mathop {sup}\limits_{\lambda \in [0,M]} \left| {\Theta (\lambda ,\alpha )} \right| \leqslant \frac{{{{C}_{5}}}}{\alpha },\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}].$(2.2.5)
${{\left\| {{{x}_{\alpha }} - x{\text{*}}} \right\|}_{X}} \leqslant l{{( - ln\alpha )}^{{ - p}}}\quad \forall \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}],$Непосредственно проверяется, что условию (2.2.4) удовлетворяют все порождающие функции из примеров 2.1.1–2.1.4. Теорема 2.2.4 допускает обобщение на случай произвольного числа логарифмов в оценке (2.2.5) и представлениях (2.2.3), (2.2.6), см. [22].
В следующем примере дополнительно прокомментируем условие (2.2.6).
Пример 2.2.1. Пусть $\mathcal{A}:D(\mathcal{A}) \subset X \to X$ есть самосопряженный неограниченный оператор в гильбертовом пространстве $X;\overline {D(\mathcal{A})} = X$. Предположим, что $\sigma (\mathcal{A}) \subset [a,\infty )$, $a > 0$. Рассмотрим задачу Коши для абстрактного параболического уравнения
Как известно [21, c. 104], обобщенное решение этой задачи существует для любого ${{x}_{0}} \in X$ и имеет вид $x(t) = {{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(t){{x}_{0}}$, $t \geqslant 0$, где ${{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(t) = exp( - t\mathcal{A})$. При сделанных предположениях записанная выше задача Коши равномерно корректна на каждом промежутке $[0,T]$. Поставим обратную задачу о восстановлении начального условия ${{x}_{0}} = x$ по известному значению решения в момент $t = T$: $x(T) = {{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(T){{x}_{0}}$. Хорошо известно, что в нетривиальных случаях эта задача некорректна. Положим $A = {{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(T)$, $f = x(T)$ и представим последнюю задачу в виде (2.1.1). В этом случае условие логарифмической истокопредставимости $x{\text{*}} - \xi \in \mathcal{R}({{( - lnA)}^{{ - p}}})$ эквивалентно включению $x{\text{*}} - \xi \in \mathcal{R}({{\mathcal{A}}^{{ - p}}}) = D({{\mathcal{A}}^{p}})$. Полученное соотношение трактуется как требование повышенной гладкости представляемого элемента $x{\text{*}} - \xi $, определяемое областью задания оператора $\mathcal{A}$.Нетрудно видеть, что обратная задача из примера 2.2.1 эквивалентна прямой задаче для уравнения
где дан начальный элемент $f$ и требуется определить $x(T)$. Именно в такой постановке эта задача подробно обсуждается в следующем разделе.3. НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1. Прямые и обратные теоремы о скорости сходимости разностных методов решения некорректных задач Коши первого порядка
Рассмотрим задачу Коши
Предположим вначале, что $\mathcal{A}:D(\mathcal{A}) \subset X \to X$, $\overline {D(\mathcal{A})} = X$ – неограниченный самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве $X$, со спектром $\sigma (\mathcal{A}) \subset [a, + \infty )$, где $a > 0$.Требуется определить $x(T)$, значение классического решения $x = x(t)$ задачи (3.1.1) в точке $t = T$. Под классическим решением (3.1.1) понимается функция $x:[0,T] \to X$, где $x(0) = f$, $x(t) \in D(\mathcal{A})$, $t \in [0,T]$, непрерывно дифференцируемая на отрезке $[0,T]$ в смысле нормы $X$ и удовлетворяющая дифференциальному уравнению из (3.1.1) при $t \in [0,T]$. Далее предполагается, что классическое решение (3.1.1) существует. Задача (3.1.1) в общем случае поставлена некорректно. Однако для любого $f \in D(\mathcal{A})$ она имеет не более одного классического решения [21], [23], [24]. К виду (3.1.1) приводятся некорректные задачи Коши для параболических уравнений и систем с частными производными. Вопросам корректной разрешимости задач типа (3.1.1) с различными классами операторов в гильбертовых и банаховых пространствах, конструированию методов решения этих задач и их приложениям посвящены работы [21], [23]–[32].Из условий на $\mathcal{A}$ следует существование непрерывного обратного оператора ${{\mathcal{A}}^{{ - 1}}}$, при этом $ - \mathcal{A}$ является генератором аналитической полугруппы ограниченных операторов ${{({{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(t))}_{{t \geqslant 0}}}$. Справедливо представление $x(t) = {{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(T - t)x(T)$. Отсюда следует, что задача (3.1.1) может быть записана в виде операторного уравнения ${{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(T)x(T) = f$. К этому уравнению могут далее применяться общие методы решения нерегулярных линейных уравнений, описанные в разд. 2. Однако в результате обычно получаются весьма громоздкие и трудно реализуемые на практике конструкции (см., например, [33, с. 105–107]). Более привлекательными представляются подходы к конструированию методов аппроксимации решений (3.1.1), учитывающие дифференциальную структуру этой задачи.
В настоящем разделе речь идет о классе разностных методов решения задачи (3.1.1)
(3.1.2)
$\sum\limits_{j = 0}^k {{{\alpha }_{j}}{{x}_{{n + j}}}} = \Delta t\sum\limits_{j = 0}^k {{{\beta }_{j}}} \mathcal{A}{{x}_{{n + j}}},\quad 0 \leqslant n \leqslant N - k,\quad {{x}_{0}} = f.$Методы вида (3.1.2) широко применяются для решения задач Коши для скалярных дифференциальных уравнений [34]–[37]. Разностные методы в применении к корректным абстрактным задачам Коши первого порядка в банаховых пространствах подробно изучены в [30, гл. 11]. Применение одной схемы класса (3.1.2) к некорректным задачам Коши впервые обсуждалось в [38]. Изучение регуляризующих свойств разностных методов для некорректных задач Коши было начато в [39], [40]. Первые оценки скорости сходимости и погрешности методов класса (3.1.2) в применении к некорректным задачам Коши для дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядка по времени в гильбертовом и банаховом пространствах были получены в [41]–[44]. Однако в указанных работах рассматривался лишь простейший выбор ${{x}_{0}} = \; \ldots \; = {{x}_{{k - 1}}} = f$ начальных элементов разностных схем, что не позволяло достичь максимальной возможной точности методов. В дальнейшем в работах [45], [46] был обоснован оптимальный выбор начальных элементов ${{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{x}_{{k - 1}}}$ многошаговых разностных методов (3.1.2), а также выделены подклассы одношаговых и многошаговых методов, допускающие получение близких друг к другу необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости. Результаты указанных работ охватывают и более общий класс некорректных задач Коши с секториальным оператором $\mathcal{A}$, действующим в произвольном банаховом пространстве, см. условие 3.1.1.
Значительное распространение в последние годы получили подходы к решению некорректных задач Коши, согласно которым вначале вносится малое возмущение в уравнение или начальное условие с целью регуляризации задачи, а уже для корректной возмущенной задачи строятся разностные схемы (см., например, [27]). Параметром регуляризации в указанных вспомогательных задачах является малый параметр, входящий в видоизмененное уравнение, либо в модифицированное начальное условие. Данный параметр наследуется и конструируемыми конечно-разностными схемами регуляризации, реализация которых предполагает надлежащее согласование параметра регуляризации не только с погрешностью, но и с шагами пространственно-временной дискретизации. В частности, к этому типу методов принадлежат разностные схемы на основе широко известного метода квазиобращения и метода вспомогательных граничных условий [23], [26], [27]. Авторы следуют другому подходу к построению разностных методов, согласно которому возмущение уравнения не производится, а параметром регуляризации является сам шаг разностной схемы, что снимает вопрос об их дополнительном согласовании. Этот подход аналогичен применяющемуся в известных методах численного дифференцирования (см., например, [35, с. 84]) и методе $h$-регуляризации для уравнений Вольтерра I рода [47, с. 112], где параметром регуляризации также служит шаг дискретизации.
Для численной реализации изучаемых методов необходимо дополнить полудискретизацию по времени, реализованную в (3.1.2), дискретизацией по пространственным переменным, т.е. конечномерной аппроксимацией пространства $X$ и оператора $\mathcal{A}$. Общий подход к построению таких схем полной дискретизации изложен в [48].
Мы будем рассматривать два подкласса разностных методов (3.1.2), выделенные в [45], [46] и описываемые следующими наборами параметров:
(3.1.3)
${{R}^{{(1,1)}}}\,:\;\;k = 1,\quad {{\alpha }_{0}} = - 1,\quad {{\alpha }_{1}} = 1,\quad {{\beta }_{0}} = 1 - {{\beta }_{1}},\quad {{\beta }_{1}} < 0;$(3.1.4)
$\begin{gathered} {{R}^{{(2,2)}}}\,:\;\;k = 2,\quad {{\alpha }_{0}} = 1 - 2A,\quad {{\alpha }_{1}} = 2A - 2,\quad {{\alpha }_{2}} = 1,\quad {{\beta }_{0}} = A - B - 1, \\ {{\beta }_{1}} = A + 2B + 1,\quad {{\beta }_{2}} = - B,\quad A \in (0,1],\quad B > 0, \\ {{x}_{1}} = 2f - {{(E + \Delta t\mathcal{A})}^{{ - 1}}}f. \\ \end{gathered} $Схемы класса ${{R}^{{(1,1)}}}$ изучались в [27, с. 306] в рамках анализа более общего класса схем, получающегося путем внесения регуляризующих возмущений в дискретизированный вариант уравнения (3.1.1) и содержащего также разностные схемы на основе метода квазиобращения.
Если $x(t)$ – классическое решение задачи (3.1.1), то элемент $x(T)$ допускает истокообразное представление $x(T) = {{\mathcal{A}}^{{ - p}}}w$ с некоторыми $p \geqslant 1$, $w \in X$. Следующие теоремы [45], [49], [50] устанавливают достаточные условия степенной по $\Delta t$ сходимости методов (3.1.3), (3.1.4) в зависимости от показателя истокопредставимости $p$ соответствующего решения в условиях точных данных.
Теорема 3.1.1. Для разностных методов класса ${{R}^{{(1,1)}}}$ в применении к задаче (3.1.1) справедлива оценка скорости сходимости
Теорема 3.1.2. Для разностных методов класса ${{R}^{{(2,2)}}}$ в применении к задаче (3.1.1) имеет место оценка скорости сходимости
Теоремы 3.1.1 и 3.1.2 показывают, что для агрегата ${{\mathcal{G}}_{{\Delta t}}}(f) = {{x}_{N}}(f)$, определяемого схемами (3.1.2), (3.1.3) и (3.1.2), (3.1.4) соответственно, при условии истокопредставимости элемента $f$ справедливо соотношение (1.4) с $\alpha = \Delta t$и указанными функциями $\varphi (\Delta t)$.
Для доказательства теорем 3.1.1, 3.1.2 используется единый подход, согласно которому каждому методу класса (3.1.3) или (3.1.4) сопоставляется класс скалярных разностных уравнений, в которых оператор $\mathcal{A}$ заменен на комплексный параметр $\lambda $, с последующим явным решением этих вспомогательных уравнений. Утверждения о сходимости скалярных разностных схем к решениям соответствующих скалярных задач Коши переносятся на случай гильбертова пространства с помощью исчисления самосопряженных операторов.
В [46], [49], [50] с использованием аппарата интерполяции банаховых пространств доказаны следующие теоремы, обратные к теоремам 3.1.1 и 3.1.2.
Теорема 3.1.3. Пусть для решения задачи (3.1.1) с некоторым элементом $f$ применяется разностный метод класса ${{R}^{{(1,1)}}}$, и для него справедлива оценка ${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{3}}{{(\Delta t)}^{q}}$. Тогда для любого $p \in (0,2q)$ справедливо истокообразное представление $x(T) \in \mathcal{R}({{\mathcal{A}}^{{ - p}}})$. Более того, если $q > 1$, то $f = 0$ и $x(t) \equiv 0$.
Теорема 3.1.4. Пусть для решения задачи (3.1.1) с некоторым элементом $f$ применяется разностный метод класса ${{R}^{{(2,2)}}}$, и для него справедлива оценка ${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{4}}{{(\Delta t)}^{q}}$. Тогда для любого $p \in (0,3q{\text{/}}2)$ справедливо истокообразное представление $x(T) \in \mathcal{R}({{\mathcal{A}}^{{ - p}}})$ . Более того, если $q > 2$, то $f = 0$ и $x(t) \equiv 0$.
Таким образом, имеют место близкие друг к другу необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости методов классов ${{R}^{{(1,1)}}}$ и ${{R}^{{(2,2)}}}$ в применении к некорректным задачам Коши (3.1.1), аналогичные результатам разд. 2 для методов решения нерегулярных линейных уравнений общего вида.
В [45], [46], [49], [50] показано, что изложенные результаты допускают частичное распространение на случай некорректных задач Коши для дифференциально-операторных уравнений с секториальными операторами в банаховых пространствах. Оператор $\mathcal{A}:D(\mathcal{A}) \subset X \to X$, $\overline {D(\mathcal{A})} = X$ в банаховом пространстве $X$ называется секториальным, если он удовлетворяет следующему условию (ср. с условием 2.2.3).
Условие 3.1.1. Справедливо включение $\sigma (\mathcal{A}) \subset K({{\varphi }_{0}})$, ${{\varphi }_{0}} \in (0,\pi {\text{/}}2)$ и имеет место оценка
Сектор $K({{\varphi }_{0}})$ определен в условии 2.2.3. При выполнении условия 3.1.1 оператор $ - \mathcal{A}$ является генератором аналитической полугруппы ${{{\text{\{ }}{{U}_{{ - \mathcal{A}}}}(t){\text{\} }}}_{{t \geqslant 0}}}$, см. [21], [23]. Условие 3.1.1 позволяет при получении прямых и обратных теорем о квалифицированной сходимости разностных методов и метода квазиобращения использовать исчисление секториальных операторов.
3.2. Прямые и обратные теоремы о скорости сходимости метода квазиобращения для некорректных задач Коши первого порядка
Будем предполагать, что неограниченный плотно определенный оператор $\mathcal{A}$ действует в произвольном банаховом пространстве $X$ и удовлетворяет условию секториальности 3.1.1.
Развитая в [46], [49], [50] техника доказательства теорем о степенной сходимости разностных методов применима также к изучению метода квазиобращения для задачи (3.1.1), см. [23], [26]. Образуем регуляризованную корректную задачу Коши
(3.2.1)
$\frac{{d{{x}_{\varepsilon }}(t)}}{{dt}} = (\mathcal{A} - \varepsilon {{\mathcal{A}}^{2}}){{x}_{\varepsilon }}(t),\quad {{x}_{\varepsilon }}(0) = f,$Для скорости сходимости метода квазиобращения при условии истокопредставимости $x(T) = {{\mathcal{A}}^{{ - p}}}w$, $p \geqslant 1$, $w \in X$, в [46], [49], [50] установлены прямая и обратная теоремы, аналогичные теоремам 3.1.1–3.1.4.
Теорема 3.2.1. Пусть выполнено условие 3.1.1. Тогда для метода квазиобращения (3.2.1) в применении к задаче (3.1.1) справедлива оценка скорости сходимости
Теорема 3.2.2. Пусть выполнено условие 3.1.1 и для скорости сходимости метода квазиобращения (3.2.1) в применении к задаче (3.1.1) с некоторым элементом $f$ справедлива оценка
(3.2.2)
${{\left\| {{{x}_{\varepsilon }}(T) - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{6}}{{\varepsilon }^{q}}.$Таким образом, имеют место близкие друг к другу необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости метода квазиобращения в терминах показателя истокопредставимости искомого решения. В прямой теореме 3.2.1 установлена оценка вида (1.4) для аппроксимирующего семейства ${{\mathcal{G}}_{\varepsilon }}$.
В [23, гл. III, § 10] для случая истокопредставимости с показателем $p = 4$ получена оценка ${{\left\| {{{x}_{\varepsilon }}(T) - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{7}}\varepsilon $. Теорема 3.2.1 показывает, что условие $p = 4$ здесь завышено и может быть заменено на $p > 2$. Наконец, в [50] установлено, что если пространство $X$ гильбертово, а оператор $\mathcal{A}$ самосопряженный со строго положительным спектром, то теорема 3.2.2 допускает следующее усиление: оценка (3.2.2) с $q > 1$ влечет $f = 0$ и $x(t) \equiv 0$, как и в теореме 3.1.3.
3.3. Разностные методы решения некорректных задач Коши второго порядка. Постановка задачи
Рассмотрим теперь некорректную задачу Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка по времени:
(3.3.1)
$\begin{gathered} \ddot {x}(t) = \mathcal{A}x(t),\quad t \in [0,T], \\ x(0) = f \in D(\mathcal{A}),\quad \dot {x}(0) = 0. \\ \end{gathered} $Рассмотрим следующий однопараметрический класс разностных методов решения задачи (3.3.1):
(3.3.2)
$\begin{gathered} {{x}_{n}} - {{x}_{{n + 1}}} + {{x}_{{n + 2}}} = {{(\Delta t)}^{2}}( - B{{x}_{n}} + (2B + 1){{x}_{{n + 1}}} - B{{x}_{{n + 2}}}),\quad B > 0, \\ 0 \leqslant n \leqslant N - 2;\quad {{x}_{0}} = f,\quad {{x}_{1}} = \frac{3}{2}f - \frac{1}{2}{{(E + {{(\Delta t)}^{2}}\mathcal{A})}^{{ - 1}}}f. \\ \end{gathered} $Задача (3.3.1) является частным случаем некорректной задачи Коши второго порядка с общими краевыми условиями:
(3.3.3)
$\ddot {x}(t) = \mathcal{A}x(t),\quad t \in [0,T];\quad x(0) = f \in D(\mathcal{A}),\quad \dot {x}(0) = g \in D({{\mathcal{A}}^{{1/2}}}).$(3.3.5)
$\ddot {u}(t) = \mathcal{A}u(t);\quad t \in [0,T],\quad u(0) = f - y(0),\quad \dot {u}(0) = 0.$3.4. Прямая теорема о скорости сходимости разностных методов решения некорректной задачи Коши второго порядка
Настоящий раздел посвящен получению оценок скорости сходимости разностных методов (3.3.2) в применении к задаче (3.3.1) в условиях точных входных данных. Как и в разд. 3.1 и 3.2, через $p$ будем обозначать показатель истокопредставимости элемента $x(T)$: $x(T) = {{\mathcal{A}}^{{ - p}}}w$, $p \geqslant 1$, $w \in X$. В [51] получено следующее представление для погрешности ${{x}_{N}} - x(T)$, доставляемой методами данного класса:
(3.4.1)
${{x}_{N}} - x(T) = {{(E + V(2T))}^{{ - 1}}}(2{{{v}}_{N}}(\mathcal{A})V(T) - V(2T) - E){{\mathcal{A}}^{{ - p}}}w = {{(E + V(2T))}^{{ - 1}}}{{G}_{p}}(\mathcal{A})w.$(3.4.2)
$\begin{gathered} \tilde {M}(x) = \frac{{(B - 1){{x}^{2}}}}{{(1 + x)\sqrt {x(4 + (1 + 4B)x)} }}, \\ \tilde {X}(x) = {{\left( {\frac{{2 + (1 + 2B)x + \sqrt {x(4 + (1 + 4B)x)} }}{{2(1 + Bx)}}} \right)}^{N}}, \\ \end{gathered} $(3.4.3)
${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{8}}\mathop {max}\limits_{\lambda \in [a, + \infty )} \frac{{\left| {2{{{v}}_{N}}(\lambda ){{e}^{{ - \sqrt \lambda T}}} - {{e}^{{ - 2\sqrt \lambda T}}} - 1} \right|}}{{{{\lambda }^{p}}}}.$Пользуясь представлением (3.4.2), запишем по аналогии с [51] оценку
(3.4.4)
$\begin{gathered} \left| {2{{{v}}_{N}}(\lambda ){{e}^{{ - \sqrt \lambda T}}} - {{e}^{{ - 2\sqrt \lambda T}}} - 1{\kern 1pt} } \right| \leqslant \left| {\tilde {X}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}}){{e}^{{ - \sqrt \lambda T}}} - 1} \right| + \left| {\tilde {Y}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}}){{e}^{{ - \sqrt \lambda T}}} - {{e}^{{ - 2\sqrt \lambda T}}}} \right| + \\ + \;\left| {\tilde {M}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})(\tilde {X}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}}) - \tilde {Y}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})){{e}^{{ - \sqrt \lambda T}}}} \right| = \left| {{{e}^{{N{{h}_{1}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})}}} - 1{\kern 1pt} } \right| + {{e}^{{N{{h}_{2}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})}}}\left| {{{e}^{{N{{h}_{1}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})}}} - 1{\kern 1pt} } \right| + \\ + \;\tilde {M}(\lambda {{(\Delta t)}^{2}}) \cdot {{e}^{{N{{h}_{1}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})}}} \cdot \left| {{{e}^{{N{{h}_{2}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}}) - N{{h}_{1}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})}}} - 1{\kern 1pt} } \right|. \\ \end{gathered} $(3.4.5)
$\begin{gathered} {{h}_{1}}(x) = ln\frac{{2 + (1 + 2B)x + \sqrt {x(4 + (1 + 4B)x)} }}{{2(1 + Bx)}} - \sqrt x , \\ {{h}_{2}}(x) = ln\frac{{2 + (1 + 2B)x - \sqrt {x(4 + (1 + 4B)x)} }}{{2(1 + Bx)}} - \sqrt x = - ln\frac{{2 + (1 + 2B)x + \sqrt {x(4 + (1 + 4B)x)} }}{{2(1 + Bx)}} - \sqrt x . \\ \end{gathered} $Для дальнейшего нам понадобится следующая лемма.
Лемма 3.4.1. При любом $B > 0$ справедливо ${{h}_{1}}(x) \leqslant 0$ для всех $x \geqslant 0$.
Доказательство. Имеем ${{h}_{1}}(0) = 0$. Покажем, что $h_{1}^{'}(x) \leqslant 0$ при $x \geqslant 0$. Дифференцирование дает:
Отметим, что функции $\tilde {M}(x)$, ${{h}_{1}}(x)$ и ${{h}_{2}}(x)$ совпадают с одноименными функциями из [51] при ${{\varphi }_{0}} = 0$. В частности, в терминах [51] утверждение леммы 3.4.1 означает, что $\Omega (0) = (0, + \infty )$. Рассуждения из [51] приводят к следующим соотношениям:
(3.4.6)
$\left| {{{e}^{{N{{h}_{1}}(\lambda {{{(\Delta t)}}^{2}})}}} - 1} \right| \leqslant {{C}_{9}}{{\lambda }^{{3/2}}}{{(\Delta t)}^{2}}\quad \forall \lambda \in [a,{{(\Delta t)}^{{ - 4/3}}}],$(3.4.7)
${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant \varphi (\Delta t) \equiv \left\{ \begin{gathered} {{C}_{{13}}}{{(\Delta t)}^{{4p/3}}},\quad 1 \leqslant p < \frac{3}{2} \hfill \\ {{C}_{{13}}}{{(\Delta t)}^{2}},\quad p \geqslant \frac{3}{2}. \hfill \\ \end{gathered} \right\}.$Мы доказали следующую теорему.
Теорема 3.4.1. Для разностных методов класса (3.3.2) в применении к задаче (3.3.1) справедлива оценка скорости сходимости (3.4.7).
Теорема 3.4.1 устанавливает справедливость оценки вида (1.4) для аппроксимирующего семейства ${{\mathcal{G}}_{{\Delta t}}}(f) = {{x}_{N}}(f)$, определенного схемой (3.3.2) . Для более общего случая некорректных задач Коши с секториальными операторами в банаховом пространстве аналог теоремы 3.4.1 был установлен в [51]. Условие соответствующей теоремы из [51] содержит труднопроверяемое ограничение на коэффициент $B$, в теореме 3.4.1 это условие снято. Оценка (3.4.7) совпадает с соответствующей оценкой из [51] при $p \ne 3{\text{/}}2$ и усиливает последнюю при $p = 3{\text{/}}2$.
3.5. Обратная теорема о скорости сходимости разностных методов решения некорректных задач Коши второго порядка
Теорема 3.4.1 устанавливает достаточные условия квалифицированной сходимости разностных методов класса (3.3.2) в терминах показателя истокопредставимости искомого решения. Настоящий раздел посвящен получению необходимых условий, близких к достаточным и выраженным в виде обратных теорем. Теорема о необходимых условиях степенной сходимости методов класса (3.3.2), обратная к теореме 3.4.1, формулируется следующим образом.
Теорема 3.5.1. Пусть для решения задачи (3.3.1) с некоторым элементом $f$ применяется метод класса (3.3.2), и для него справедлива оценка ${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{{14}}}{{(\Delta t)}^{q}}$. Тогда для любого $p \in (0,\;3q{\text{/}}4)$ имеет место истокообразное представление $x(T) \in \mathcal{R}({{\mathcal{A}}^{{ - p}}})$.
Доказательство. Зафиксируем $s > 1$. Следуя схеме рассуждений из [46], [51], будем искать значения $p \in (0,s)$, для которых элемент $x(T)$ принадлежит интерполяционному пространству ${{(X,D({{\mathcal{A}}^{s}}))}_{{p/s,1}}}$. Здесь $D({{\mathcal{A}}^{s}})$ рассматривается как банахово пространство с нормой ${{\left\| {v} \right\|}_{{D({{\mathcal{A}}^{s}})}}} = {{\left\| {{{\mathcal{A}}^{s}}{v}} \right\|}_{X}}$. Тогда с помощью теоремы вложения непосредственно выводится справедливость условия истокопредставимости с этими значениями $p$. Мы будем использовать $K$-метод построения интерполяционных пространств [53]. Согласно этому методу, для проверки включения $x(T) \in {{(X,D({{\mathcal{A}}^{s}}))}_{{p/s,1}}}$ достаточно установить сходимость интеграла
где(3.5.2)
$\begin{gathered} K(\sigma ,x(T)) \leqslant {{C}_{{15}}}, \\ K(\sigma ,x(T)) \leqslant {{C}_{{16}}}{{N}^{{ - q}}} + \sigma {{\left\| {{{\mathcal{A}}^{s}}{{x}_{N}}} \right\|}_{X}}\quad \forall \sigma \in [0, + \infty ),\quad \forall N \in \mathbb{N}. \\ \end{gathered} $Оценим величину ${{\left\| {{{\mathcal{A}}^{s}}{{x}_{N}}} \right\|}_{X}}$. В [51] установлено, что
(3.5.3)
${{x}_{N}} = {{{v}}_{N}}(\mathcal{A})f = 2{{{v}}_{N}}(\mathcal{A}){{(E + V(2T))}^{{ - 1}}}V(T)x(T).$(3.5.4)
${{h}_{1}}(x) \leqslant - \frac{{{{C}_{{19}}}{{x}^{{3/2}}}}}{{1 + x}},\quad {{h}_{2}}(x) \leqslant - {{C}_{{20}}}\sqrt x ,\quad x \geqslant 0.$(3.5.5)
${{\left\| {{{\mathcal{A}}^{s}}{{x}_{N}}} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{{21}}}{{N}^{{\tfrac{4}{3}(s - 1)}}}.$Из (3.5.2) и (3.5.5) следует, что $K(\sigma ,x(T)) \leqslant {{C}_{{16}}}{{N}^{{ - q}}} + {{C}_{{21}}}\sigma {{N}^{{\tfrac{4}{3}(s - 1)}}}$ при всех $N \in \mathbb{N}$. Выбирая здесь $N = \left[ {{{\sigma }^{{ - \tfrac{1}{{\tfrac{4}{3}(s - 1) + q}}}}}} \right]$, получаем оценку
Аналогичная теорема была доказана в [51] применительно к более общему случаю некорректных задач Коши с секториальными операторами в банаховом пространстве, однако с дополнительным труднопроверяемым условием на коэффициенты разностной схемы, требующим компьютерного вычисления. Мы видим, что в частном случае некорректных задач Коши с самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве подобные условия не требуются. Другим интересным отличием от [51] является тот факт, что нам здесь пришлось применить теорему вложения однократно, в то время как в [51] ключевым моментом доказательства являлось ее итеративное применение.
3.6. Усиленная обратная теорема о скорости сходимости разностных методов решения некорректных задач Коши второго порядка
Сопоставим прямую теорему о степенной сходимости разностных методов, доказанную в разд. 3.4, с обратной теоремой из разд. 3.5. Теорема 3.4.1 показывает, что для степенной сходимости методов класса (3.3.2) с показателем $q \leqslant 2$ достаточно условие истокопредставимости с показателем $p = 3q{\text{/}}4$. В то же время, согласно теореме 3.5.1, необходимым является условие истокопредставимости с любым показателем $p \in (0,\;3q{\text{/}}4)$. Возникает вопрос, каковы условия степенной сходимости методов класса (3.3.2) с показателем $q > 2$. Следующая теорема показывает, что сходимость с такой скоростью возможна лишь в тривиальном случае.
Теорема 3.6.1. Разностные методы класса (3.3.2) в применении к задаче (3.3.1) допускают оценку скорости сходимости
(3.6.1)
${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} \leqslant {{C}_{{24}}}{{(\Delta t)}^{q}},\quad q > 2,$Доказательство. При $f = 0$ имеем $x(t) \equiv 0$ в силу единственности классического решения задачи (3.3.1), и в частности $x(T) = 0$; кроме того, ${{x}_{N}} = {{{v}}_{N}}(\mathcal{A})f = 0$ при любом $N$, откуда следует ${{\left\| {{{x}_{N}} - x(T)} \right\|}_{X}} = 0$ и оценка (3.6.1) выполнена.
Докажем обратное утверждение: если справедлива оценка (3.6.1), то $f = 0$. Согласно (3.4.1), определению функции от оператора и свойствам спектрального семейства ${\text{\{ }}{{E}_{\lambda }}{\text{\} }}$, имеем
(3.6.2)
$\begin{gathered} (E + V(2T))({{x}_{N}} - x(T)) = {{G}_{1}}(\mathcal{A})w = \int\limits_{a - 0}^{ + \infty } {{{G}_{1}}} (\lambda )d{{E}_{\lambda }}w; \\ \left\| {(E + V(2T))({{x}_{N}} - x(T))} \right\|_{X}^{2} = \int\limits_{a - 0}^{ + \infty } {G_{1}^{2}} (\lambda )d\left\| {{{E}_{\lambda }}w} \right\|_{X}^{2}. \\ \end{gathered} $Нашей ближайшей целью является получение нижней оценки для ${{\left\| {(E + V(2T))({{x}_{N}} - x(T))} \right\|}_{X}}$. Покажем, что для любого $M \geqslant a$ найдется ${{K}_{M}} > 0$ такое, что
(3.6.3)
$\left| {{{G}_{1}}(\lambda )} \right| \geqslant {{K}_{M}}{{(\Delta t)}^{2}}\quad \forall N \in \mathbb{N},\quad \forall \lambda \in [a,M].$Из (3.6.2), (3.6.3) вытекает, что для всех $M \geqslant a$, $N \in \mathbb{N}$ справедливо
(3.6.4)
$\begin{gathered} \left\| {(E + V(2T))({{x}_{N}} - x(T))} \right\|_{X}^{2} \geqslant \int\limits_{a - 0}^M {G_{1}^{2}(\lambda )} d\left\| {{{E}_{\lambda }}w} \right\|_{X}^{2} \geqslant K_{M}^{2}{{(\Delta t)}^{4}}\int\limits_{a - 0}^M d \left\| {{{E}_{\lambda }}w} \right\|_{X}^{2}; \\ {{\left\| {(E + V(2T))({{x}_{N}} - x(T))} \right\|}_{X}} \geqslant {{K}_{M}}{{\left\| {{{P}_{{[a,M]}}}w} \right\|}_{X}}{{(\Delta t)}^{2}}. \\ \end{gathered} $С другой стороны, из (3.6.1) в силу ограниченности оператора $E + V(2T)$ вытекает
Доказательства теорем 3.4.1, 3.5.1 и 3.6.1 реализуют относительно завершенную программу исследования группы разностных методов (3.3.2) решения линейных некорректных задач Коши второго порядка (3.3.1) с самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве. Аналогичная программа была ранее реализована в применении к линейным некорректным задачам Коши первого порядка, см. разд. 3.1.
4. НЕРЕГУЛЯРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Итеративно регуляризованные процессы типа Гаусса–Ньютона. Прямые теоремы
Рассмотрим нелинейное уравнение
с оператором $F:X \to Y$, действующим в паре гильбертовых пространств $X$, $Y$. Обозначим через $x{\text{*}}$ некоторое решение уравнения (4.1.1) и пусть(4.1.2)
${{\left\| {F{\kern 1pt} {\text{'}}(x) - F{\kern 1pt} {\text{'}}(y)} \right\|}_{{L(X,Y)}}} \leqslant L{{\left\| {x - y} \right\|}_{X}}\quad \forall x,y \in {{\Omega }_{R}}(x*).$Зафиксируем последовательность параметров регуляризации ${\text{\{ }}{{\alpha }_{n}}{\text{\} }}$, ${{\alpha }_{n}} > 0$, и выберем начальное приближение ${{x}_{0}} \in {{\Omega }_{R}}(x*)$. Линеаризация уравнения (4.1.1) в текущей итерационной точке ${{x}_{n}} \in {{\Omega }_{R}}(x*)$ приводит к уравнению
В регулярном случае оператор $F{\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{n}})$ непрерывно обратим, по крайней мере, для точек ${{x}_{n}}$, достаточно близких к $x{\text{*}}$. Поэтому для указанных ${{x}_{n}}$ уравнение (4.1.3) устойчиво разрешимо. Принимая его решение в качестве следующей итерационной точки,приходим к классическому процессу Ньютона–Канторовича ${{x}_{{n + 1}}} = {{x}_{n}} - F{\kern 1pt} {\text{'}}{{({{x}_{n}})}^{{ - 1}}}(F({{x}_{n}}) - f)$. В интересующей нас нерегулярной ситуации уравнение (4.1.3) может не иметь решений, поэтому к нему необходим иной подход. Применяя для аппроксимации решения линейного уравнения (4.1.3) схему (2.1.7) при $\alpha = {{\alpha }_{n}}$ и принимая полученную точку в качестве следующего приближения ${{x}_{{n + 1}}}$, приходим к основному итерационному процессу [55]–[58](4.1.4)
${{x}_{{n + 1}}} = \xi - \Theta (F{\kern 1pt} {\text{'*}}({{x}_{n}})F{\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{n}}),{{\alpha }_{n}})F{\kern 1pt} {\text{'*}}({{x}_{n}})\left( {F({{x}_{n}}) - f - F{\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{n}})({{x}_{n}} - \xi )} \right).$При построении методов решения нерегулярных уравнений функция $\Theta (\lambda ,\alpha )$ предполагается аналитической по $\lambda $ в области ${{D}_{\alpha }} \subset \mathbb{C}$, где ${{D}_{\alpha }} \supset [0,{{M}^{2}}]$ $\forall \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$. Сделанное предположение носит технический характер и не приводит фактически к уменьшению общности построений по сравнению с разд. 2.1, поскольку все наиболее популярные в вычислительной практике порождающие функции $\Theta $ (см. примеры 2.1.1–2.1.4) аналитичны в нужной части $\mathbb{C}$. Элемент $\xi \in X$ играет роль вспомогательного параметра, предоставляющего дополнительные возможности управления сходимостью итераций (4.1.4).
Наложим на последовательность параметров регуляризации ${\text{\{ }}{{\alpha }_{n}}{\text{\} }}$ следующее ограничение.
Условие 4.1.1. Имеют место соотношения
Исследование аппроксимационных свойств последовательности ${\text{\{ }}{{x}_{n}}{\text{\} }}$ будем проводить в предположении, что начальная невязка $x{\text{*}} - \xi $ удовлетворяет условию истокопредставимости
(4.1.5)
$x{\text{*}} - \xi = {{(F{\kern 1pt} {\text{'*}}(x*)F{\kern 1pt} {\text{'}}(x*))}^{p}}{v},\quad {v} \in X,\quad p \geqslant 1{\text{/}}2.$Оказывается, что при выполнении условия (4.1.5) и соответствующих дополнительных ограничений на параметры процесса (4.1.4) выполняется степенная оценка скорости сходимости
(4.1.6)
${{\left\| {{{x}_{n}} - x{\text{*}}} \right\|}_{X}} \leqslant l\alpha _{n}^{p},\quad n = 0,1,\; \ldots ,$Условие 4.1.2. Существует константа ${{C}_{1}} > 0$ такая, что
Условие 4.1.3. Существует такая константа ${{p}_{0}} \geqslant 1{\text{/}}2$, что для каждого $p \in [0,{{p}_{0}}]$ справедливо неравенство
Всюду далее считаем, что участвующий в (4.1.5) показатель истокопредставимости $p \in [1{\text{/}}2,{{p}_{0}}]$. Как и в разд. 2, величину $p* = sup{{p}_{0}}$ в условии 4.1.3 называем квалификацией процесса (4.1.4).
Определим семейство контуров ${{{\text{\{ }}{{\Gamma }_{\alpha }}{\text{\} }}}_{{\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]}}} \subset \mathbb{C}$ таких, что ${{\Gamma }_{\alpha }} \subset {{D}_{\alpha }}$ и ${{\Gamma }_{\alpha }}$ содержит внутри отрезок $[0,{{M}^{2}}]$ действительной оси, $\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$. Семейство ${{{\text{\{ }}{{\Gamma }_{\alpha }}{\text{\} }}}_{{\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]}}}$ подчиним следующему условию.
Условие 4.1.4. Выполняются соотношения
Наложим на порождающую функцию $\Theta $ также следующее дополнительное условие.
Условие 4.1.5. Справедливо соотношение
Основным результатом этого раздела является прямая теорема о скорости сходимости процесса (4.1.4), см. [59].
Теорема 4.1.1. Пусть выполняются условия 4.1.1–4.1.5, имеет место представление (4.1.5) и $p \in [1{\text{/}}2,{{p}_{0}}]$. Найдутся такие постоянные ${{C}_{3}}$, ${{C}_{4}}$, что если
Теорема 4.1.1 устанавливает локальную сходимость последовательности ${\text{\{ }}{{x}_{n}}{\text{\} }}$ при выборе управляющего параметра $\xi $ из множества
Непосредственные вычисления показывают, что все функции $\Theta $, упоминаемые в следующих далее примерах 4.1.1–4.1.5, удовлетворяют условиям 4.1.2, 4.1.3, 4.1.5 при подходящем выборе контуров ${{{\text{\{ }}{{\Gamma }_{\alpha }}{\text{\} }}}_{{\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]}}}$.
Пример 4.1.1. В случае порождающей функции (2.1.10) основной итерационный процесс (4.1.4) принимает вид
(4.1.7)
$(F{\kern 1pt} {\text{'*}}({{x}_{n}})F{\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{n}}) + {{\alpha }_{n}}E){{x}_{{n + 1}}} = {{\alpha }_{n}}\xi + F{\kern 1pt} {\text{'*}}({{x}_{n}})(F{\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{n}}){{x}_{n}} - F({{x}_{n}}) + f).$Пример 4.1.2. Шаг метода (4.1.4), (2.1.11) представляет собой конечный итерационный процесс: ${{x}_{{n + 1}}} = x_{{n + 1}}^{{(N)}}$, где $x_{{n + 1}}^{{(0)}} = \xi $ и $x_{{n + 1}}^{{(k)}}$ определяются последовательно из уравнения
Пример 4.1.3. Итерация метода (4.1.4), (2.1.13) может быть реализована следующим образом: ${{x}_{{n + 1}}} = u(\alpha _{n}^{{ - 1}})$, где $u = u(t)$ есть решение задачи Коши
Пример 4.1.4. Пусть функция $\Theta $ имеет вид (2.1.16) при $g(\lambda ) \equiv \gamma $, $0 < \gamma < {{M}^{{ - 2}}}$, параметр регуляризации $\alpha $ принимает значения ${{n}^{{ - 1}}}$, $n \in \mathbb{N}$. Итерация метода (4.1.4), (2.1.16) при ${{\alpha }_{n}} = {{n}^{{ - 1}}}$ имеет вид ${{x}_{{n + 1}}} = x_{{n + 1}}^{{(n)}}$, где $x_{{n + 1}}^{{(0)}} = \xi $ и $x_{{n + 1}}^{{(k)}}$ определяются в ходе $n$-шагового итерационного процесса:
Пример 4.1.5. Пусть функция $\Theta $ имеет вид (2.1.16) при $g(\lambda ) = {{(\lambda + \gamma )}^{{ - 1}}}$, $\gamma > 0$ и ${{\alpha }_{n}} = {{n}^{{ - 1}}}$. Итерация метода (4.1.4), (2.1.16) в этом случае имеет вид ${{x}_{{n + 1}}} = x_{{n + 1}}^{{(n)}}$, где $x_{{n + 1}}^{{(0)}} = \xi $ и
Функции $\Theta $ в примерах 4.1.3–4.1.5 удовлетворяют условию 4.1.3 при любом ${{p}_{0}} \geqslant 1{\text{/}}2$, поэтому здесь $p* = \infty $. Таким образом, итерационные процесcы, представленные в этих примерах, свободны от эффекта насыщения. В качестве семейства контуров ${{\Gamma }_{\alpha }}$, обеспечивающих выполнение условий 4.1.4, 4.1.5, можно выбрать
(4.1.8)
${{\Gamma }_{\alpha }} = \Gamma _{\alpha }^{{(1)}} \cup \Gamma _{\alpha }^{{(2)}} \cup \Gamma _{\alpha }^{{(3 + )}} \cup \Gamma _{\alpha }^{{(3 - )}},\quad \alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}],$4.2. Итеративно регуляризованные процессы типа Гаусса–Ньютона. Обратная теорема
При выполнении подходящих условий на порождающую функцию $\Theta $ истокообразное представление (4.1.5) близко к необходимому для справедливости степенной оценки скорости сходимости (4.1.6). Более точно, устанавливается, что оценка
(4.2.1)
$\left\| {{{x}_{n}} - x{\kern 1pt} *} \right\|{{{\kern 1pt} }_{X}} \leqslant l\alpha _{n}^{p},\quad n = 0,1,\; \ldots \quad (l > 0,\quad p > 1{\text{/}}2),$Будем предполагать выполненным следующее обобщение условия 4.1.5.
Условие 4.2.1. Для любого $\kappa \in [1,3{\text{/}}2]$ справедливо соотношение
(4.2.2)
$\mathop {sup}\limits_{\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]} {{\alpha }^{{\kappa - 1}}}\int\limits_{{{\Gamma }_{\alpha }}} {\frac{{\left| {1 - \Theta (\lambda ,\alpha )\lambda } \right|}}{{{{{\left| \lambda \right|}}^{\kappa }}}}} \left| {d\lambda } \right| < \infty .$В случае $\kappa = 1$ неравенство (4.2.2) сводится к условию 4.1.5.
Нам потребуется также следующее условие.
Условие 4.2.2. Для каждого $\lambda \in [0,{{M}^{2}}]$ функция $\eta (\lambda ,\alpha ) = \left| {1 - \Theta (\lambda ,\alpha )\lambda } \right|$ является неубывающей по $\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$.
Имеет место следующая обратная теорема относительно скорости сходимости аппроксимаций (4.1.4), см. [60], [61].
Теорема 4.2.1. Пусть выполняются условия 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3 (при $p = 0$), 4.1.4, 4.2.1 и 4.2.2. Если итерационный процесс (4.1.4) порождает последовательность ${\text{\{ }}{{x}_{n}}{\text{\} }}$, для которой справедлива оценка (4.2.1), то для каждого $q \in (0,p)$ имеет место включение
Введенным в этом разделе условиям 4.2.1, 4.2.2 удовлетворяют все порождающие функции из примеров 4.1.1–4.1.5. Контуры ${{\Gamma }_{\alpha }}$ можно выбирать согласно (4.1.8).
Теоремы 4.1.1, 4.2.1 допускают перенос на класс итеративно регуляризованных методов типа Ньютона–Канторовича
Список литературы
Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения нерегулярных уравнений. М.: ЛЕНАНД, 2006. 112 с.
Измаилов А.Ф., Третьяков А.А. $2$-регулярные решения нелинейных задач. М.: ФМЛ, 1999. 336 с.
Kaltenbacher B., Neubauer A., Scherzer O. Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems. Berlin: Walter de Gruyter, 2008. 194 p.
Schuster T., Kaltenbacher B., Hofmann B., Kazimierski K. Regularization Methods in Banach Spaces. Berlin: Walter de Gruyter, 2012. 284 p.
Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2008. 460 с.
Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит, 1995. 312 с.
Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989. 128 с.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Итерационные методы решения некорректных операторных уравнений с гладкими операторами. М.: УРСС, 2002. 192 с.
Bakushinsky A., Kokurin M.M., Kokurin M.Yu. Regularization Algorithms for Ill-Posed Problems. Berlin: Walter de Gruyter, 2018. 326 p.
Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965. 408 с.
Никольский C.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.
Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерaционные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 182 с.
Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.
Hohage T. Logarithmic convergence rates of the iteratively regularized Gauss–Newton method for an inverse potential and inverse scattering problem // Inverse Problems. 1997. V. 13. P. 1279–1299.
Hohage T. Regularization of exponentially ill-posed problems // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2000. V. 21. № 3–4. P. 439–464.
Hohage T., Schormann C. A Newton-type method for a transmission problem in inverse scattering // Inverse Problems. 1998. V. 14. P. 1207–1227.
Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О необходимых условиях квалифицированной сходимости методов решения линейных некорректных задач // Известия вузов. Математика. 2001. № 2. С. 39–47.
Engl H.W., Hanke M., Neubauer A. Regularization of Inverse Problems. Dordrecht: Kluwer, 2000. 322 p.
Кокурин М.Ю. Операторная регуляризация и исследование нелинейных монотонных задач. Йошкар-Ола: Изд-во МарГУ, 1998. 292 с.
Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О необходимых и достаточных условиях медленной сходимости методов решения линейных некорректных задач // Известия вузов. Математика. 2002. № 2. С. 81–84.
Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. 176 с.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Об оценке скорости сходимости и погрешности разностных методов решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Вычисл. методы и программирование. 2006. Т. 7. С. 163–171.
Васильев В.В., Пискарев С.И., Селиванова Н.Ю. Проинтегрированные полугруппы, C-полугруппы и их приложения // Функциональный анализ. Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 131. С. 3–109.
Латтес Р., Лионс Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М: Мир, 1970. 336 с.
Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.
Соломяк М.З. Применение теории полугрупп к исследованию дифференциальных уравнений в пространствах Банаха // Докл. АН СССР. 1958. Т. 122. № 5. С. 766–770.
Arendt W. Semigroups and evolution equations: Functional calculus, regularity and kernel estimates. Handbook of Differential Equations: Evolutionary Equations. Amsterdam: Elsevier, 2004. V. 1. P. 1–85.
Bakaev N.Yu. Linear Discrete Parabolic Problems. Amsterdam: Elsevier, 2006. 286 p.
Crouzeix M., Larsson S., Piskarev S., Thomee V. The stability of rational approximations of analytic semigroups. BIT Numerical Mathematics. 1993. V. 33. № 1. P. 74–84.
Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 1983. 279 p.
Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.
Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969. 368 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007. 636 с.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.
Штеттер Х. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1978. 464 с.
Крейн С.Г., Прозоровская О.И. О приближенных методах решения некорректных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т. 3. № 1. С. 120–130.
Бакушинский А.Б. Разностные методы решения некорректных задач Коши для эволюционных уравнений в комплексном B-пространстве // Дифференц. ур-ния. 1972. Т. 8. № 9. С. 1661–1668.
Бакушинский А.Б. Разностные схемы для решения некорректных абстрактных задач Коши // Дифференц. ур-ния. 1971. Т. 7. № 10. С. 1876–1885.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.М., Кокурин М.Ю. Об одном классе разностных схем решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 3. С. 483–498.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Ключев В.В. Об оценке скорости сходимости разностных методов решения некорректной задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве // Вычисл. методы и программирование. 2010. Т. 11. С. 25–31.
Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu., Paymerov S.K. On error estimates of difference solution methods for ill-posed Cauchy problems in a Hilbert space // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2008. V. 16. № 6. P. 553–565.
Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu., Kokurin M.M. On a class of finite difference methods for ill-posed Cauchy problems with noisy data // J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2011. V. 18. № 9. P. 959–977.
Кокурин М.М. Об оптимизации оценок скорости сходимости некоторых классов разностных схем решения некорректной задачи Коши // Вычисл. методы и программирование. 2013. Т. 14. С. 58–76.
Кокурин М.М. Необходимые и достаточные условия степенной сходимости метода квазиобращения и разностных методов решения некорректной задачи Коши в условиях точных данных // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 12. С. 2027–2041.
Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.М., Кокурин М.Ю. О схеме полной дискретизации некорректной задачи Коши в банаховом пространстве // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18. № 1. С. 96–108.
Кокурин М.М. Оценки скорости сходимости и погрешности разностных методов решения некорректных задач Коши в банаховом пространстве. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 Вычислительная математика. Йошкар-Ола, 2018.
Кокурин М.М. Об условиях квалифицированной сходимости разностных методов и метода квазиобращения для решения линейных некорректных задач Коши в гильбертовом пространстве // Известия вузов. Математика. 2019. № 10. С. 46–61.
Кокурин М.М. Оценки скорости сходимости и погрешности разностных схем решения линейной некорректной задачи Коши второго порядка // Вычисл. методы и программирование. 2017. Т. 18. С. 322–347.
Кокурин М.М. Разностные схемы решения задачи Коши для линейного дифференциально-операторного уравнения второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 569–584.
Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979. 588 с.
Бакушинский А.Б. К проблеме сходимости итеративно регуляризованного метода Гаусса–Ньютона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 9. С. 1503–1509.
Бакушинский А.Б. Итерационные методы без насыщения для решения вырожденных нелинейных операторных уравнений // Докл. АН. 1995. Т. 344. № 1. С. 7–8.
Бакушинский А.Б. Итеративные методы для решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Фундаментальная и прикл. матем. 1997. Т. 3. № 3. С. 685–692.
Bakushinskii A. Universal linear approximations of solutions to nonlinear operator equations and their applications // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. V. 5. № 6. P. 507–522.
Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. О невырожденных оценках скорости сходимости итерационных методов решения некорректных нелинейных операторных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 6. С. 832–837.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю., Юсупова Н.А. Необходимые условия сходимости итерационных методов решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 7. С. 986–996.
Бакушинский А.Б., Кокурин М.Ю. Алгоритмический анализ нерегулярных операторных уравнений. М.: ЛЕНАНД, 2012. 312 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00