Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 8, стр. 1332-1342

По определению гладкая дуга на комплексной плоскости принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}},\;0 < \nu < 1,$ $n = 1,2, \ldots ,$ если она допускает параметризацию из аналогичного класса. Пусть область $D$ ограничена контуром $\Gamma $, составленным из дуг ${{\Gamma }_{1}}, \ldots ,{{\Gamma }_{m}} \in {{C}^{{n,\nu }}}$, и конечное множество $F$ образовано концами этих дуг. В этом случае говорим, что пара $(\Gamma ,F)$ принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}}$. Очевидно, $F$ состоит из $m$ точек, к каждой из которых сходятся две дуги. Запись $\Gamma \in {{C}^{{n,\nu }}}$ означает, что контур $\Gamma $ гладкий, и любая дуга ${{\Gamma }_{0}} \subseteq \Gamma $ принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}}$.

Рассмотрим какую-либо каноническую область $\mathbb{D}$, ограниченную гладким контуром класса ${{C}^{{n,\nu }}}$, причем число связных компонент обоих контуров $\Gamma $ и $\partial \mathbb{D}$ одно и то же. В частности, существует конформное отображение $\omega $ области $D$ на $\mathbb{D}$. Если контур $\Gamma \in {{C}^{{n,\nu }}}$, то согласно классической теореме Келлога (см. [1], [2]) функция $\omega \in {{C}^{{n,\nu }}}(\bar {D})$, и аналогичным свойством обладает обратное отображение ${{\omega }^{{ - 1}}}$. В общем случае, когда $(\Gamma ,F) \in {{C}^{{n,\nu }}}$, функция $\omega $ принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}}({{\bar {D}}_{0}})$ в любой подобласти ${{D}_{0}} \subseteq D$, лежащей вне окрестности множества $F$.

Рассмотрим это конформное отображение в окрестности точек $\tau \in F$. Положим ${{S}_{\tau }} = D \cap \{ {\kern 1pt} {\text{|}}z - \tau {\kern 1pt} {\text{|}} < \varrho \} $, где $\varrho $ достаточно мало. Тогда ${{S}_{\tau }}$ представляет собой криволинейный сектор с вершиной $\tau $ и боковыми сторонами $G_{\tau }^{ \pm }$. Раствор ${{\theta }_{\tau }}$ этого сектора предполагаем положительным, так что $\;0 < {{\theta }_{\tau }} \leqslant 2\pi $. Таким образом, все внутренние углы области $D$ в точках $\tau \in F$ положительны.

Следующий результат хорошо известен (см. [2]) и описывает поведение функции $\omega $ в окрестности $\tau $.

Теорема 1. Пусть $(\Gamma ,F)$ принадлежит классу ${{C}^{{1,\nu }}}$ и ${{\delta }_{\tau }} = \pi {\text{/}}{{\theta }_{\tau }}$, $\;\tau \in F$. Тогда

где ${{A}_{\tau }},{{B}_{\tau }} \in {{C}^{\varepsilon }}({{\bar {S}}_{\tau }})$ с достаточно малым $\varepsilon > 0$, причем ${{A}_{\tau }}(\tau ) \ne 0,$ $\;{{B}_{\tau }}(\tau ) \ne 0$.

Аналогичный результат справедлив и для обратного отображения ${{\omega }^{{ - 1}}}$ по отношению к ${{\delta }_{\tau }} = {{\theta }_{\tau }}{\text{/}}\pi $.

Доказательство почти очевидно и основывается на теореме Келлога. Не ограничивая общности, можно считать, что $\tau = \omega (\tau ) = 0$, и символ $\tau $ в обозначениях опущен. Рассмотрим область $\tilde {S} = \{ {{z}^{\delta }},\;z \in S\} $, которая является “криволинейным полукругом”. При этом гдадкая дуга

принадлежит классу ${{C}^{{1,\varepsilon }}}$ с некоторым малым $\varepsilon $. Более точно, можно положить $\varepsilon = \min (\nu ,\nu {\text{/}}\delta )$. По теореме Келлога функция $\tilde {\omega }(\zeta ) = \omega ({{\zeta }^{{1/\delta }}}) \in {{C}^{{1,\varepsilon }}}({{\tilde {S}}_{0}})$, где ${{\tilde {S}}_{0}} = \tilde {S} \cap \{ {\kern 1pt} {\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {\text{|}} < {{\varrho }_{0}}\} $, ${{\varrho }_{0}} < {{\varrho }^{\delta }}$. Поэтому остается заметить, что $\omega (z) = \tilde {\omega }({{z}^{\delta }}),$ $z \in S$.

Основная цель статьи состоит в построении классов гладких дуг, которые были бы инвариантны относительно степенных функций, выпрямляющих контур в окрестности его угловых точек. Использование подобных классов позволило бы в рамках соответствующих весовых пространств описать единообразно коэффициенты $A$ и $B$ в представлениях (2). В основе всех построений лежат весовые гельдеровые пространства $C_{\lambda }^{{n,\nu }}$, подробно описанные в [3].

Предварительно введем следующее понятие. Гладкую дугу $G$ с концом $\tau $ назовем радиальной (по отношению к этому концу), если она допускает параметризацию вида

где функция $h(r) \in C[0,\varrho ] \cap {{C}^{1}}(0,\varrho ]$ и $rh{\kern 1pt} '(r) \to 0$ при $r \to 0$. Эквивалентное определение состоит в том, что каждая окружность радиуса $r \leqslant \varrho $ с центром в $\tau $ пересекает эту дугу в единственной точке и при том некасательно.

Нетрудно видеть, что любая разомкнутая гладкая дуга $G$ в некоторой окрестности своего конца $\tau $ радиальна.

В самом деле, пусть $\delta (t),\;0 \leqslant t \leqslant 1$, – некоторая ее гладкая параметризация, причем $\delta (0) = \tau $. Тогда функция $\alpha (t) = {\text{|}}\delta (t) - \delta (0){\kern 1pt} {\text{|}}$ непрерывно дифференцируема, и $\alpha {\kern 1pt} '{\kern 1pt} (0) = {\text{|}}\delta {\kern 1pt} '{\kern 1pt} (0){\kern 1pt} {\text{|}}$. Поэтому на отрезке $[0,\varepsilon ]$, где $\varepsilon < l$ достаточно мало, функция $r = \alpha (t)$ имеет обратную $t = \beta (r),$ $0 \leqslant r \leqslant \varrho = \alpha (\varepsilon )$, и функция $\gamma (r) = \delta [\beta (r)]$ есть радиальная параметризация соответствующей дуги.

Класс ${{C}^{{n,\nu }}}$ радиальных дуг можно описать в терминах функции $\theta (r)$, фигурирующей в представлении (2).

Лемма 1. Радиальная дуга $(G,\tau )$ принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}}$ тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если выполнены условия (3), то функция $\gamma $ в (2) принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}}[0,\varrho ]$ и, следовательно, дуга $G \in {{C}^{{n,\nu }}}$. Обратно, пусть эта дуга допускает параметризацию $\delta :\;[0,\varrho ] \to G$ класса ${{C}^{{n,\nu }}}[0,\varrho ]$ и $\delta (0) = \tau $. Не ограничивая общности, можно считать, что $\tau = 0$. Функция

и всюду отлична от нуля, так что вместе с ней классу ${{C}^{{n - 1,\nu }}}$ принадлежат и функции ${\text{|}}{{\delta }_{0}}{{{\text{|}}}^{{ \pm 1}}}$. Функция $\alpha (t) = {\text{|}}\delta (t){\kern 1pt} {\text{|}}$ осуществляет гомеоморфизм отрезка $[0,\varrho ]$ на себя с положительной производной принадлежащей классу ${{C}^{{n - 1,\nu }}}$. Поэтому $\alpha \in {{C}^{{n,\nu }}}$, и аналогичным свойством обладает обратное отображение $\beta = {{\alpha }^{{ - 1}}}$. Но тогда и функция $\delta \circ \beta \in {{C}^{{n,\nu }}}$. Поскольку она также является параметризацией дуги и $\left| {\delta [\beta (r)]} \right| = \alpha [\beta (r)]{\kern 1pt} {\text{|}} = r = {\text{|}}\gamma (r)$, отсюда следует, что $\gamma = \delta \circ \beta $ и, значит, $\gamma \in {{C}^{{n,\nu }}}[0,\varrho ]$. Но тогда ${{r}^{{ - 1}}}\gamma (r) = {{e}^{{ih(r)}}} \in {{C}^{{n - 1,\nu }}}[0,\varrho ]$, так что и $h(r) \in {{C}^{{n - 1,\nu }}}[0,\varrho ]$. После $n$-кратного дифференцирования равенства (2) приходим к справедливости и второго условия в (3).

В дальнейшем без ограничения общности можно считать, что в теореме 1 боковые стороны $G_{\tau }^{ \pm }$ криволинейных секторов ${{S}_{\tau }}$ радиальны и определяются формулой (2) с соответствующими функциями $h_{\tau }^{ \pm }(r)$. Зафиксируем $\tau $, опуская символ $\tau $ в обозначениях. Рассмотрим функцию $\zeta = \ln (z - \tau )$, которая отображает $S$ на криволинейную полуполосу $Q$ в полуплоскости $\operatorname{Re} \zeta \leqslant \ln \varrho $. В явном виде

с функциями ${{g}^{ \pm }}(\xi ) = {{h}^{ \pm }}({{e}^{\xi }})$. Очевидно, эти функции имеют конечные пределы ${{\theta }^{ \pm }}$ на $ - \infty $, причем $({{g}^{ \pm }}){\kern 1pt} '(\xi ) \to 0$ при $\xi \to - \infty $.

Обозначим ${{C}^{{n,\nu }}}(\bar {Q}),$ $0 \leqslant \nu \leqslant 1,$ $n = 0,1, \ldots ,$ класс аналитических в $Q$ функций, которые вместе со своими производными до $n$-го порядка включительно непрерывны и ограничены в замкнутой области $\bar {Q}$ и при $0 < \nu < 1$ $(\nu = 1)$ удовлетворяют условию Гёльдера с показателем $\nu $ (условию Липшица). Относительно соответствующей нормы это пространство является банаховой алгеброй по умножению.

По определению пространство $C_{0}^{{n,\mu }}(\bar {S},\tau )$ состоит из всех функций

Оно снабжается перенесенной нормой, относительно которой является банаховой алгеброй. Весовое пространство $C_{\lambda }^{{n,\mu }}(\bar {S},\tau )$, $\lambda \in \mathbb{R}$, состоит из функций Относительно перенесенной нормы это пространство банахово. Полученное семейство банаховых пространств монотонно убывает (в смысле вложений) по каждому из параметров:

В самом деле, первое вложение является следствием аналогичного свойства пространств ${{C}^{{n,\nu }}}$. Второе вложение вытекает из того, что при $\varepsilon > 0$ функция ${{(z - \tau )}^{\varepsilon }}$ принадлежит $C_{0}^{{n,\nu }}$. Наконец, третье вложение выводится из аналогичного вложения ${{C}^{{n + 1,0}}}(\bar {Q}) \subseteq {{C}^{{n,1}}}(\bar {Q})$. Нетрудно убедиться, что оно справедливо для любой области $Q$, которая равномерно связна в следующем смысле. Существует такая постоянная $M \geqslant 1$, что любые две точки ${{\zeta }_{1}},{{\zeta }_{2}} \in Q$ можно соединить в этой области гладкой дугой, длина которой не превосходит $M{\text{|}}{{\zeta }_{1}} - {{\zeta }_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}}$. Из описания (4) рассматриваемой криволинейной полуполосы $Q$ легко видеть, что она равномерно линейно связна.

Исходя из пространств $C_{\lambda }^{{0,\nu }}$, аналогичные пространства для $n \geqslant 1$ можно ввести индуктивно по $n$ условиям

Это следует из аналогичного описания пространств ${{C}^{{n,\nu }}}(\bar {Q})$ и того факта, что равенство $\phi (z) = \psi [\ln (z - \tau )]$ влечет $(z - \tau )\phi {\kern 1pt} '(z) = \psi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} [\ln (z - \tau )]$.

В свою очередь, пространство $C_{0}^{{0,\nu }}$ при $0 < \nu \leqslant 1$ может быть определено независимо как класс всех ограниченных аналитических в $S$ функций $\phi (z)$, для которых $(z - \tau )\phi (z) \in {{C}^{{0,\nu }}}(\bar {S})$. Последнее условие равносильно тому, что функция $\phi $ удовлетворяет оценке

где постоянная ${{C}_{0}} > 0$ не зависит от ${{z}_{1}},{{z}_{2}} \in S$.

Именно подобным образом семейство пространств $C_{\lambda }^{{n,\nu }}$ вводилось в [3]. Эквивалентность этих двух подходов обеспечивается теоремой 2.7.2 этой работы.

Отметим связь весовых пространств с преобразованиями области $Q$ на себя.

Лемма 2. Пусть аналитическая в $S$ функция $\alpha $ осуществляет гомеоморфизм $\bar {S}$ на себя, оставляя точку $\tau $ неподвижной, и удовлетворяет двустороннему условию Липшица

где постоянная $C \geqslant 1$ не зависит от ${{z}_{1}},\;{{z}_{2}}$.

Тогда оператор $\phi \to \phi \circ \alpha $ ограничен в пространстве $C_{\lambda }^{{0,\nu }}(\bar {S},\tau )$.

Эта лемма установлена в [3], однако чтобы проиллюстрировать приведенные выше свойства весовых пространств, приведем ее доказательство. Достаточно ограничиться случаем $0 < \nu \leqslant 1$. Функция $\alpha (z) - \tau = \alpha (z) - \alpha (\tau )$ удовлетворяет условию Липшица и обращается в нуль в точке $\tau $, так что она принадлежит $C_{1}^{{0,1}}(\bar {S},\tau )$ и, следовательно,

В частности, функция $a$ удовлетворяет оценке (9) с $\nu = 1$. Она показывает, что если область $D$ содержит множество значений этой функции и $f \in {{C}^{{0,1}}}(\bar {D})$, то суперпозиция $f \circ a$ также удовлетворяет этой оценке и, значит, принадлежит $C_{0}^{{0,1}}$. В силу (10) область $D$ можно выбрать односвязной вне некоторой окрестности нуля, так что функция $f(\zeta ) = {{\zeta }^{\lambda }}$ принадлежит ${{C}^{{0,1}}}(\bar {D})$. Следовательно, функция для любого $\lambda \in \mathbb{R}$. Таким образом, в соответствии с (6) лемму достаточно установить хотя бы для одного весового порядка $\lambda $. Пространство $C_{\nu }^{{0,\nu }}(\bar {S},\tau )$ совпадает с подпространством ${{C}^{{0,\nu }}}(\bar {S})$ функций, обращающихся в точке $\tau $ в нуль. Но в силу (10) для этого пространства утверждение леммы очевидно.

С каждым целым числом $l \leqslant n$ свяжем модифицированный весовой класс

где ${{P}_{l}}$ означает класс всех многочленов степени не выше $l$ (так что ${{P}_{l}} = 0$ при $l < 0$). Из определения видно, что В частности, класс $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}(\bar {S},\tau )$ состоит из всех функций $\phi \in {{C}^{l}}(\bar {S})$, для которых с некоторым малым положительным $\varepsilon $.

Заметим, что класс $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}$ выдерживает умножение на функции $a \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$, в частности, при $l = 0$ он является алгеброй. В дальнейшем главный интерес представляют случаи $l = 0$ и $l = 1$.

Пространства $C_{\lambda }^{{n,\nu }}$ и классы $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}$ совершенно аналогично можно ввести и в случае, когда роль $S$ играет отрезок прямой, а точка $\tau $ – один из его концов. При этом условие аналитичности в $S$ заменяется дифференцируемостью на этом интервале. Ясно, что все перечисленные свойства весовых пространств сохраняются без изменений.

По определению гладкая дуга $G$ с концом $\tau $ принадлежит классу $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$, если она допускает параметризацию $\delta :[0,1] \to G$, $\;\delta (0) = \tau $, принадлежащую соответствующему пространству $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}([0,1],0)$. В силу (12) имеем вложение $C_{{(1)}}^{{n,\nu }} \subseteq {{C}^{{1,\varepsilon }}}$ с некоторым малым $\varepsilon > 0$, так что дуги этого класса являются ляпуновскими. При этом вне любой окрестности своего конца $\tau $ они принадлежат классу ${{C}^{{n,\nu }}}$.

Обратимся к криволинейным секторам ${{S}_{\tau }}$ с боковыми сторонами $G_{\tau }^{ \pm }$, фигурирующим в теореме 1. По определению пара $(\Gamma ,F)$ принадлежит классу $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$, если все дуги $G_{\tau }^{ \pm } \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$ и любая дуга ${{\Gamma }_{0}} \subseteq \Gamma {{\backslash }}F$ принадлежит классу ${{C}^{{n,\nu }}}$.

В принятых обозначениях основной результат статьи, уточняющий теорему 1, можем сформулировать следующим образом.

Теорема 2. Пусть $(\Gamma ,F)$ принадлежит классу $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$, $\;0 < \nu < 1$.

Тогда в представлении $(1)$ функции

Аналогичный результат справедлив и для обратного отображения ${{\omega }^{{ - 1}}}$ по отношению к ${{\delta }_{\tau }} = {{\theta }_{\tau }}{\text{/}}\pi $.

Заметим, что в действительности достаточно установить первое соотношение в (13). В самом деле, дифференцирование первого представления в (1) дает равенство

согласно которому функция ${{B}_{\tau }}(z) \in C_{{(0)}}^{{n - 1,\nu }}({{\bar {S}}_{\tau }},\tau )$.

Доказательству этой теоремы предпошлем несколько важных свойств класса $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}$.

Теорема 3. (a) Условия $\phi \in C_{{(l)}}^{{n,\nu }}(\bar {S},\tau )$ и $\phi {\kern 1pt} ' \in C_{{(l - 1)}}^{{n - 1,\nu }}(\bar {S},\tau )$ равносильны.

(б) Пусть $\phi \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}(\bar {S},\tau )$, область $D$ содержит значения $\phi (z),\;z \in S,$ и функция $f(\zeta ) \in {{C}^{{n,1}}}(\bar {D})$.

Тогда суперпозиция $f \circ \phi \in C_{{(l)}}^{{n,\nu }}(\bar {S},\tau )$.

(в) Пусть $\theta $ есть раствор сектора $S$ с вершиной $\tau = 0$, так что функция $z \to {{z}^{\delta }}$, где $\delta = \pi {\text{/}}\theta $, переводит $S$ на криволинейный сектор ${{S}_{0}}$ раствора $\pi $.

Тогда условия $\phi (z) \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}({{S}_{0}},0)$ и $\phi ({{z}^{\delta }}) \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}(S,0)$ равносильны.

Доказательство. (a) В одну сторону утверждение следует непосредственно из определения (11). Обратно, пусть $\phi {\kern 1pt} ' \in C_{{(l - 1)}}^{{n - 1,\nu }}(\bar {S},\tau )$, так что для некоторого многочлена ${{p}_{1}}(z) \in {{P}_{{l - 1}}}$ функция $\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} (z) - {{p}_{1}}(z) \in C_{{l - 1 + \varepsilon }}^{{n - 1,\nu }}$ с некоторым малым $\varepsilon > 0$. Заменяя $\phi $ на $\phi - p$, где $p{\kern 1pt} ' = {{p}_{1}}$, можем считать, что

Остается показать, что тогда с точностью до постоянного слагаемого функция $\phi \in C_{{l + \varepsilon }}^{{n,\nu }}.$ Не ограничивая общности, можно считать $\tau = 0$.

Из (14), в частности, следует оценка

Поскольку $0 < \varepsilon < 1$, число $\lambda $ здесь отлично от нуля. Зафиксируем точку ${{z}_{0}} \in S$ и рассмотрим функцию ${{\phi }_{0}}(\zeta ) = \phi (\left| {{{z}_{0}}} \right|\zeta )$ в области ${{D}_{0}}$, представляющей пересечения сектора $\{ \zeta ,\left| {{{z}_{0}}} \right|\zeta \in S\} $ с кольцом $\{ 1{\text{/}}2 < {\text{|}}\zeta {\kern 1pt} {\text{|}} < 1\} $. В полярной системе координат $\zeta = r{{e}^{{i\theta }}}$ она описывается неравенством

с непрерывно дифференцируемыми функциями $h_{0}^{ \pm }(r) = {{h}^{ \pm }}(\left| {{{z}_{0}}} \right|r)$. Эти функции равномерно ограничены по ${\text{|}}{{z}_{0}}{\text{|}}$ в пространстве ${{C}^{1}}[1{\text{/}}2,1]$ и стремятся к постоянным функциям ${{\theta }^{ \pm }}$ по норме этого пространства. Поэтому область ${{D}_{0}}$ равномерно линейно связна, причем соответствующая постоянная $M \geqslant 1$ не зависит от ${{z}_{0}}$.

В силу (15) производная функции ${{\phi }_{0}}(\zeta )$в области ${{D}_{0}}$ допускает оценку

В силу равномерной линейной связности области ${{D}_{0}}$ отсюда где здесь и ниже ${{C}_{0}},{{C}_{1}}, \ldots $ означают положительные постоянные, зависящие только от $C$, $\lambda $ и $M$. Пусть точка ${{z}_{1}} \in S$ выбрана по условию $\left| {{{z}_{1}}} \right| = \left| {{{z}_{0}}} \right|{\text{/}}2$. Тогда ${{z}_{j}} = \left| {{{z}_{0}}} \right|{{\zeta }_{j}}$ с ${{\zeta }_{j}} \in {{D}_{0}}$ и предыдущая оценка переходит в

Далее рассмотрим случаи $\lambda > 0$ и $\lambda < 0$ отдельно. В первом случае рассмотрим последовательность точек ${{z}_{0}},\;{{z}_{1}},\; \ldots $ области $S$, выбранную по условию $\left| {{{z}_{{k + 1}}}} \right| = \left| {{{z}_{k}}} \right|{\text{/}}2$, которая, очевидно, сходится к нулю. В силу (16) отсюда

так что существует предел $c = \lim \phi ({{z}_{k}})$ при $k \to \infty $. Полагая $k = 0$ и переходя в этом неравенстве к пределу при $s \to \infty $, приходим к оценке Вместе с (14) она означает, в частности, что функция $\phi (z) - c$ принадлежит классу $C_{\lambda }^{{1,0}}(\bar {S},\tau )$, так что с учетом (7) она принадлежит и пространству $C_{\lambda }^{{0,\nu }}(\bar {S},\tau )$. Совместно с (14) отсюда следует, что $\phi (z) - c \in C_{\lambda }^{{n,\nu }}(\bar {S},\tau )$. Тем самым рассматриваемое утверждение теоремы для случая $\lambda > 0$ установлено.

Пусть $\lambda < 0$. Выберем последовательность точек ${{z}_{0}},{{z}_{{ - 1}}}, \ldots ,{{z}_{{ - m}}} \in S$, удовлетворяющих условию $\left| {{{z}_{{ - k - 1}}}} \right| = 2\left| {{{z}_{{ - k}}}} \right|$, где натуральное $m$ определяется из условия $\left| {{{z}_{{ - m}}}} \right| \leqslant \varrho $, но $\left| {{{z}_{{ - m - 1}}}} \right| > \varrho $. Тогда рассуждения, аналогичные предыдущим, приводят к оценке

Как и выше, из нее совместно с (14) следует, что $\phi \in C_{\lambda }^{{n,\nu }}$ и в этом случае.

(б) Рассмотрим сначала случай $n = 0$, предполагая для простоты $\tau = 0$. Пусть $\phi \in C_{{(0)}}^{{0,\nu }},$ так что для некоторой постоянной $c \in \mathbb{C}$ имеем представление

с некоторым малым $\varepsilon > 0$.

Нетрудно видеть, что тогда $\phi $ удовлетворяет аналогичной (9) оценке

справедливой для любых точек ${{z}_{1}},{{z}_{2}} \in S$, подчиненных условию ${\text{|}}{{z}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {\text{|}}{{z}_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}}$.

В самом деле, величина ${{\left| {{{z}_{1}}} \right|}^{{\nu - \varepsilon }}}\left| {\phi ({{z}_{1}}) - \phi ({{z}_{2}})} \right|$ не превосходит

с постоянной где ${{C}_{0}}$ фигурирует в (9) для ${{\phi }_{0}}$.

Убедимся, что верно и обратное: из оценки (18) следует представление (17). Как и при доказательстве (a), зафиксируем точку ${{z}_{0}} \in S$ и рассмотрим последовательность ${{z}_{0}},\;{{z}_{1}},\; \ldots $ точек $S$, выбранных по условию $\left| {{{z}_{{k + 1}}}} \right| = \left| {{{z}_{k}}} \right|{\text{/}}2$. Тогда на основании (18) имеем неравенства

Как и при доказательстве (a), отсюда заключаем, что существует предел $c = \lim \phi ({{z}_{k}})$ при $k \to \infty $, и справедлива оценка В частности, с помощью равенства (17) можем ввести функцию ${{\phi }_{0}}(z)$, по модулю не превосходящую ${{C}_{1}}$. Остается убедиться, что для нее справедлива оценка (9). Считая для определенности $\left| {{{z}_{1}}} \right| \leqslant \left| {{{z}_{2}}} \right|$, рассмотрим величину ${{\left| {{{z}_{1}}} \right|}^{\nu }}\left| {{{\phi }_{0}}({{z}_{1}}) - {{\phi }_{0}}({{z}_{2}})} \right|$. Очевидно, она не превосходит выражения с постоянной где ${{C}_{1}}$ фигурирует в (19).

Рассмотрим теперь функцию $f$, удовлетворяющую условию Липшица $\left| {f({{\zeta }_{1}}) - f({{\zeta }_{2}})} \right| \leqslant L\left| {{{\zeta }_{1}} - {{\zeta }_{2}}} \right|$ на множестве значений функции $\phi $. В силу (18) функция $f[\phi (z)]$ также удовлетворяет аналогичной оценке с постоянной $LC$, так что она принадлежит классу $C_{{(0)}}^{{0,\nu }}$, тем самым для $n = 0$ утверждение теоремы установлено.

В общем случае воспользуемся индукцией по $n$, т.е. пусть утверждение справедливо для класса $C_{{(0)}}^{{n - 1,\nu }}$ и $\phi \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$. По предположению индукции в равенстве $(f \circ \phi ){\kern 1pt} ' = (f{\kern 1pt} {\text{'}} \circ \phi ){\kern 1pt} \phi {\kern 1pt} '$ множитель $f{\kern 1pt} {\text{'}} \circ \phi $ принадлежит $C_{{(0)}}^{{n - 1,\nu }}$, а функция $\phi {\kern 1pt} ' \in C_{{( - 1)}}^{{n - 1,\nu }}$. Поэтому и $(f \circ \phi ){\kern 1pt} ' \in C_{{( - 1)}}^{{n - 1,\nu }}$, так что на основании (a) функция $f \circ \phi \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$.

(в) Подстановка $\zeta = \ln z$ преобразование $z \to {{z}^{\delta }}$ переводит в $\zeta \to \delta \zeta $. Поэтому по определению (5) оператор $\phi (z) \to \phi ({{z}^{\delta }})$ осуществляет изоморфизм банаховых пространств $C_{0}^{{n,\nu }}({{D}_{0}},0) \to C_{0}^{{n,\nu }}(D,0)$ и, следовательно, $C_{\lambda }^{{n,\nu }}({{D}_{0}},0) \to C_{{\delta \lambda }}^{{n,\nu }}(D,0)$. В соответствии с определением (11) класса $C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$ отсюда утверждение теоремы получается непосредственно.

Теорема 3 позволяет получить аналог леммы 1 для дуг класса $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$.

Лемма 3. Радиальная дуга $(G,\tau )$ принадлежит классу $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$ тогда и только тогда, когда

В частности, преобразование $z \to {{z}^{\delta }}$ не выводит из класса $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$ радиальных дуг с концом $\tau = 0$.

Доказательство осуществляется по той же схеме, что и лемма 1. Пусть выполнено условие (20), тогда на основании теоремы 3(б) функция ${{e}^{{ih(r)}}} \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$, так что и производная

Поэтому в силу теоремы 3(a) параметризация $\gamma \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$.

Обратно, пусть эта дуга допускает параметризацию $\delta :\;[0,\varrho ] \to G$ класса $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}([0,\varrho ],0)$ и $\delta (0) = \tau $. Не ограничивая общности можно считать, что $\tau = 0$. Функция ${{\delta }_{0}}(t) = {{t}^{{ - 1}}}\delta (t)$ принадлежит $C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$ и всюду отлична от нуля, так что на основании теоремы 3(б) и функции ${{\left| {{{\delta }_{0}}} \right|}^{{ \pm 1}}} \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$. Функция $\alpha (t) = {\text{|}}\delta (t){\text{|}}$ осуществляет гомеоморфизм отрезка $[0,\varrho ]$ на себя с положительной производной

которая на основании теоремы 3(б) принадлежит классу $C_{{(0)}}^{{n - 1,\nu }}$. Поэтому $\alpha \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$.

Утверждается, что аналогичным свойством обладает и обратное отображение $\beta = {{\alpha }^{{ - 1}}}$. В самом деле, функция $\beta $ удовлетворяет двустороннему условию Липшица, фигурирующему в лемме 2, поэтому на основании этой леммы функция $\alpha {\kern 1pt} '\; \circ \beta \in C_{{(0)}}^{{0,\nu }}$ и, значит, $\beta {\kern 1pt} ' = (\alpha {\kern 1pt} '\; \circ \beta {{)}^{{ - 1}}}$ принадлежит этому же классу. Тогда $\beta \in C_{{(1)}}^{{1,\nu }}$, поскольку при $n \geqslant 2$ функция $\alpha {\kern 1pt} ' \in C_{{(0)}}^{{1,\nu }}$, отсюда и суперпозиция $\alpha {\kern 1pt} '\; \circ \beta $, а вместе с ней и функция $\beta {\kern 1pt} '$ принадлежат классу $C_{{(0)}}^{{1,\nu }}$. При $n \geqslant 3$ аналогично убеждаемся, что $\beta {\kern 1pt} ' \in C_{{(0)}}^{{1,\nu }}$. В результате после конечного числа шагов придем ко включениям $\beta {\kern 1pt} ' \in C_{{(0)}}^{{n - 1,\nu }}$ и $\beta \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$.

Но тогда и функция $\delta \circ \beta \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$. Поскольку она также является параметризацией дуги и ${\text{|}}\delta [\beta (r)]{\kern 1pt} {\text{|}} = \alpha [\beta (r)]{\kern 1pt} {\text{|}} = r = {\text{|}}\gamma (r)$, отсюда следует, что $\gamma = \delta \circ \beta $ и, значит, $\gamma \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}([0,\varrho ],0)$. Но тогда ${{r}^{{ - 1}}}\gamma (r) = {{e}^{{ih(r)}}} \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}([0,\varrho ],0)$, так что на основании теоремы 3(б) и $h(r) \in C_{{(0)}}^{{n,\nu }}([0,\varrho ],0)$.

Что касается последнего утверждения леммы, то заметим, что образ ${{G}_{0}}$ радиальной дуги $G$ с концом $\tau = 0$ при преобразовании $z \to {{z}^{\delta }}$ является радиальной дугой, которая описывается аналогично (2) по отношению к функции ${{h}_{0}}(r) = \delta h({{r}^{{1/\delta }}})$. Поэтому, как отмечено при доказательстве теоремы 3(в), она принадлежит классу $C_{{(0)}}^{{n,\nu }}$ вместе с $h$.

При $n = 0$ весовые пространства $C_{\lambda }^{{0,\nu }}$ можно вводить и на дугах $G$ с концом $\tau $, согласно лемме 3 гладкая параметризация $\delta :\;[0,1] \to G$, $\;\delta (0) = \tau $, осуществляет изоморфизм $C_{\lambda }^{{0,\nu }}(G,\tau ) \to $ $ \to C_{\lambda }^{{0,\nu }}([0,1],0)$. При $n \geqslant 1$ на дугах $G$ класса $C_{1}^{{n,\nu }}$ пространство $C_{\lambda }^{{n,\nu }}(G,\tau )$ естественно вводить с помощью параметризации $\delta $ того же класса условием $\varphi \circ \delta \in C_{\lambda }^{{n,\nu }}([0,1],0)$. Из доказательства леммы 3 видно, что так определенный класс не зависит от выбора параметризации. Аналогично понимаются и классы $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}(G,\tau )$.

Если кусочно-гладкий контур $\Gamma $, ограничивающий область $D$, имеет единственную угловую точку, т.е. $F = \{ \tau \} $, то совершенно аналогично криволинейным секторам определяются пространства $C_{\lambda }^{{n,\nu }}(\bar {D},\tau )$ и классы $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {D},\tau )$ с сохранением всех описанных выше их свойств. В случае $(\Gamma ,\tau ) \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$ эти пространства и классы можно рассматривать и на контуре $\Gamma $.

Рассмотрим связь классов $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}$ с интегралами типа Коши на единичной окружности.

Лемма 4. Пусть $\mathbb{D}$ есть единичный круг с границей $\mathbb{T}$, ориентированной против часовой стрелки, и точка $\tau \in \mathbb{T}$. Пусть функция $\varphi \in C_{{(l)}}^{{n,\nu }}(\mathbb{T},\tau ),\; - 1 \leqslant l \leqslant n$.

Тогда функция

принадлежит $C_{{(l)}}^{{n,\nu }}(\bar {\mathbb{D}},\tau )$.

Доказательство проведем сначала для случая $n = 0$, когда $l$ принимает одно из значений $0, - 1$. Пусть сначала $l = - 1$, тогда $\varphi \in C_{{\varepsilon - 1}}^{{0,\nu }}(\mathbb{T},\tau )$. Как установлено в [3], в этом случае интеграл (21) определяет ограниченный оператор $C_{{\varepsilon - 1}}^{{0,\nu }}(\mathbb{T},\tau ) \to C_{{\varepsilon - 1}}^{{0,\nu }}(\bar {\mathbb{D}},\tau )$.

Пусть далее $l = n = 0$. Тогда ${{\varphi }_{0}} = \varphi - c \in C_{\varepsilon }^{{0,\nu }}(\mathbb{T},\tau )$. Из очевидного тождества

следует, что $\phi (z) = c + {{c}_{0}} + {{\phi }_{0}}$, где положено Поскольку ${{(t - \tau )}^{{ - 1}}}{{\varphi }_{0}}(t) \in C_{{\varepsilon - 1}}^{{0,\nu }}(\mathbb{T},\tau )$, из тех же соображений утверждение леммы справедливо и в этом случае.

Пусть далее $n \geqslant 1$. Условимся производную $\varphi {\kern 1pt} '$ на $\mathbb{T}$ понимать по отношению к комплексному параметру, т.е.

Тогда, дифференцируя равенство (21) и интегрируя по частям, получим аналогичное выражение для производной функции $\phi $. Поэтому на основании теоремы 2(a) дело сводится к случаю, когда $n$ и $l$ уменьшены на единицу. Повторяя этот процесс, придем к двум случаям, когда либо $l = n = 0$, либо $l = - 1,$ $n \geqslant 0$.

Первый случай, а также случай $l = - 1,$ $n = 0$ разобраны выше. Пусть $l = - 1$ и $n \geqslant 1$, так что $\varphi \in C_{{\varepsilon - 1}}^{{n,\nu }}$. Вводя обозначение $\mathcal{D}\phi = (z - \tau )\phi {\kern 1pt} '(z)$ для весовой производной, индуктивное определение (8) весового пространства $C_{{\varepsilon - 1}}^{{n,\nu }}$ можем записать в форме $\phi ,{\kern 1pt} \mathcal{D}\phi \in C_{{\varepsilon - 1}}^{{n - 1,\nu }}$ или, что равносильно, в форме

Воспользуемся тождеством Как и выше, из него с помощью интегрирования по частям приходим к равенству Повторяя эту процедуру, в соответствии с (22) отсюда приходим к справедливости леммы и в рассматриваемом случае.

Прежде чем переходить к доказательству теоремы 2 в общем случае, рассмотрим отдельно ситуацию, когда область $D$ ограничена простым гладким контуром $\Gamma $, множество $F$ состоит из одной точки $\tau $, и $\mathbb{D}$ является единичным кругом.

Теорема 4. Пусть контур $\Gamma $ гладкий и $(\Gamma ,\tau ) \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$, $\;0 < \nu < 1$.

Тогда конформное отображение $\omega :D \to \mathbb{D}$, $\;\omega (\tau ) = 1$, принадлежит $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {D},\tau )$ и, соответственно, обратное отображение $\sigma = {{\omega }^{{ - 1}}} \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {\mathbb{D}},1)$.

Доказательство достаточно провести для $\sigma $, тогда принадлежность $\omega $ классу $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {D},\tau )$ устанавливается совершенно аналогично лемме 3.

Действительно, пусть $\sigma \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {\mathbb{D}},1)$, так что по теореме 3(б) функция

Воспользуемся равенством По теореме Келлога функция $\omega $ удовлетворяет двустороннему условию Гёльдера, и можно воспользоваться леммой 2, согласно которой $\omega {\kern 1pt} ' \in C_{{(0)}}^{{0,\nu }}(\bar {D},\tau )$ и, значит, $\omega \in C_{{(1)}}^{{1,\nu }}(\bar {D},\tau )$. При $n \geqslant 2$ в силу (23) обе функции в правой части (24) принадлежат классу $C_{{(1)}}^{{1,\nu }}(\bar {D},\tau )$. Поэтому их композиция $\omega {\kern 1pt} ' \in C_{{(0)}}^{{1,\nu }}(\bar {D},\tau )$ и, значит, $\omega \in C_{{(1)}}^{{2,\nu }}(\bar {D},\tau )$. Повторяя эту процедуру, после конечного числа шагов получим $\omega \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {D},\tau )$.

Итак, достаточно доказать, что $\sigma \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}(\bar {\mathbb{D}},1)$. Пусть $e(t)$ означает единичный касательный вектор к контуру $\Gamma $ в точке $t$, направление которого совпадает с обходом контура против часовой стрелки. Тогда в силу леммы 3 функция

По отношению к единичной окружности $\mathbb{T}$ аналогичный вектор $e(t) = it$. Известно (см. [1]), что аргумент производной $\sigma {\kern 1pt} '$ на граничной окружности ${\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$ единичного круга $\mathbb{D}$ дается равенством Поскольку $\sigma $ удовлетворяет двустороннему условию Липшица, в силу леммы 2 из этого равенства следует, что $\arg \sigma {\kern 1pt} ' \in C_{{(0)}}^{{0,\nu }}$. В единичном круге функция $ - i\ln \sigma {\kern 1pt} '$, реальная часть которой на границе совпадает с $\arg \sigma {\kern 1pt} '$, восстанавливается по формуле Шварца Поэтому на основании леммы 4 и теоремы 3 функция $\sigma \in C_{{(1)}}^{{1,\nu }}$. Но тогда при $n \geqslant 2$ из (26) следует, что $\arg \sigma {\kern 1pt} ' \in \sigma \in C_{{(0)}}^{{1,\nu }}$, так что из тех же соображений $\sigma \in C_{{(1)}}^{{1,\nu }}$. Повторяя эту процедуру, после конечного числа шагов получим $\sigma \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$.

Доказательство теоремы 2. В силу теоремы 1, не ограничивая общности, можно считать, что область $D$ ограничена простым контуром с одной угловой точкой $\tau = 0$, т.е. $(\Gamma ,\tau ) \in C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$. Соответственно в качестве области $\mathbb{D}$ можно выбрать единичный круг. Можно также считать, что функция $\zeta = {{z}^{\delta }}$, где $\delta = \pi {\text{/}}{{\theta }_{0}}$, однолистна в области $D$ и отображает ее на область ${{D}_{0}}$, ограниченную гладким контуром ${{\Gamma }_{0}}$. В силу леммы 3 этот контур также принадлежит классу $C_{{(1)}}^{{n,\nu }}$.

Запишем $\omega (z) = {{\omega }_{0}}({{z}^{\delta }})$, где ${{\omega }_{0}}$ означает конформное отображение ${{D}_{0}} \to \mathbb{D}$. В силу теоремы 4 имеем

Следовательно, $\omega (z) = {{z}^{\delta }}{{A}_{0}}({{z}^{\delta }}),$ $\omega {\kern 1pt} '(z) = \delta {{z}^{{\delta - 1}}}{{B}_{0}}({{z}^{\delta }})$, так что на основании теоремы 3(в) отсюда приходим к справедливости теоремы с