Журнал вычислительной математики и математической физики, 2023, T. 63, № 8, стр. 1309-1315

О некоторых эллиптических краевых задачах в конических областях

В. Б. Васильев^1, *

¹ Белгородский государственный национальный исследовательский университет
308015 Белгород, ул. Победы, 85, Россия

Поступила в редакцию 09.02.2023
После доработки 25.03.2023
Принята к публикации 28.03.2023

EDN: WTRDTP
DOI: 10.31857/S0044466923080161

Аннотация

Рассматривается модельное эллиптическое псевдодифференциальное уравнение в многогранном конусе и исследуется ситуация, когда некоторые параметры конуса стремятся к своим предельным значениям. В пространствах Соболева–Слободецкого решение уравнения в конусе строится при наличии специальной волновой факторизации эллиптического символа. Показано, что предельное решение краевой задачи с дополнительным интегральным условием может существовать только при дополнительных ограничениях на граничное условие. Библ. 15.

Ключевые слова: псевдодифференциальное уравнение, эллиптический символ, конус, волновая факторизация, область с разрезом.

1. ВВЕДЕНИЕ

В теории псевдодифференциальных уравнений в негладких областях (областях с негладкой границей) модельные уравнения в канонических негладких областях (конусах) играют особую роль: однозначная разрешимость такого уравнения гарантирует фредгольмовость общего псевдодифференциального уравнения в области с соответствующей конической точкой на границе. Этот факт называется локальным принципом и в той или иной степени общности фигурирует во всех вариантах теорий псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними краевых задач в негладких областях.

Теория псевдодифференциальных уравнений широко используется во многих разделах математики и физики, такие уравнения появляются, в частности, в задачах дифракции электромагнитных волн (см., например, [1–3]), где широко применяется метод факторизации. Мы также используем многомерный вариант этого метода для получения интегральных представлений решений рассматриваемых краевых задач.

В настоящей работе рассматриваются некоторые краевые задачи для модельных псевдодифференциальных уравнений, когда конус вырождается в конус меньшей размерности, другими словами, когда какие-то параметры исходного конуса стремятся к нулю. Основой этих исследований служат теория краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений (см. [4]), теория одномерных сингулярных интегральных уравнений (см. [5–7]), многомерный комплексный анализ (см. [8]) и разработанный автором метод волновой факторизации, который привел к многочисленным результатам о разрешимости краевых задач для эллиптических псевдодифференциальных уравнений в канонических негладких областях евклидова пространства ${{\mathbb{R}}^{m}}$ (см. [9–13]).

2. ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В КОНУСЕ

2.1. Модельные операторы в канонической области

Пусть $D \subset {{\mathbb{R}}^{m}}$ – область в $m$-мерном пространстве, функция определена на ${{\mathbb{R}}^{m}}$. Модельным псевдодифференциальным оператором $A$ в области $D$ мы называем оператор вида

$(Au)(x) = \int\limits_D {\kern 1pt} {\kern 1pt} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{m}}} {\kern 1pt} A(\xi )u(y){{e}^{{i(y - x)\xi }}}d\xi dy,\quad x \in D,$

функция $A(\xi )$ называется его символом. Здесь рассматривается класс символов, удовлетворяющих условию

${{c}_{1}} \leqslant \left| {A(\xi ){{{\left( {1 + \left| \xi \right|} \right)}}^{{ - \alpha }}}} \right| \leqslant {{c}_{2}},\quad \xi \in {{\mathbb{R}}^{m}}.$

Число $\alpha \in \mathbb{R}$ – это порядок псевдодифференциального оператора $A$.

Область $D \subset {{\mathbb{R}}^{m}}$ мы называем канонической областью, если это конус $C \subset {{\mathbb{R}}^{m}}$, не содержащий целой прямой в пространстве ${{\mathbb{R}}^{m}}$.

С конусами связаны важные области многомерного комплексного пространства и понятие специальной факторизации эллиптического символа, с помощью которого удается описать картину разрешимости псевдодифференциального уравнения в конусе.

Определение 1. Радиальной трубчатой областью над конусом $C$ называется область в многомерном комплексном пространстве ${{\mathbb{C}}^{m}}M$ следующего вида:

$T(C) \equiv \{ z \in {{\mathbb{C}}^{m}}:z = x + iy,\;x \in {{\mathbb{R}}^{m}},\;y \in C\} .$

Сопряженным конусом $\mathop C\limits^* $ называется такой конус, для всех точек которого выполняется условие

$x \cdot y > 0\quad \forall y \in C,$

$x \cdot y$ обозначает скалярное произведение $x$ и $y$.

Всюду ниже мы будем предполагать, что символ $A(\xi )$ допускает волновую факторизацию относительно конуса $C$ (см. [8], [14]) с индексом ${{\unicode{230} }}$:

$A(\xi ) = {{A}_{ \ne }}(\xi ) \cdot {{A}_{ = }}(\xi ),$

где ${{A}_{ \ne }}(\xi )$ допускает аналитическое продолжение в $T( - \mathop C\limits^* )$ и ${{A}_{ = }}(\xi )$ – в $T(\mathop C\limits^* )$. Мы приводим ниже точное определение такой факторизации, поскольку величина индекса существенно влияет на картину разрешимости псевдодифференциального уравнения.

Определение 2. Волновой факторизацией символа $A(\xi )$ относительно конуса $C$ называется его представление в виде

$A(\xi ) = {{A}_{ \ne }}(\xi ){{A}_{ = }}(\xi ),$

где сомножители ${{A}_{ \ne }}(\xi ),\;{{A}_{ = }}(\xi )$ должны удовлетворять следующим условиям:

1) ${{A}_{ \ne }}(\xi ),$ ${{A}_{ = }}(\xi )$ определены для всех значений $\xi \in {{\mathbb{R}}^{m}}$, кроме, возможно, точек $\partial (\mathop C\limits^* \; \cup ( - \mathop C\limits^* ))$;

2) ${{A}_{ \ne }}(\xi ),$ ${{A}_{ = }}(\xi )$ допускают аналитическое продолжение в радиальные трубчатые области $T(\mathop C\limits^* ),\;T( - \mathop C\limits^* )$ соответственно, для которых справедливы оценки

$c_{1}^{'}{{(1\; + \;{\text{|}}\xi {\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}\tau {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )}^{{{\unicode{230} }}}} \leqslant {\text{|}}{{A}_{ \ne }}(\xi + i\tau ){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{c}_{1}}{{(1\; + \;{\text{|}}\xi {\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}\tau {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )}^{{{\unicode{230} }}}},$

$c_{2}^{'}{{(1\; + \;{\text{|}}\xi {\kern 1pt} {\text{|}}\; + \;{\text{|}}\tau {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )}^{{\alpha - {{\unicode{230} }}}}} \leqslant {\text{|}}{{A}_{ = }}(\xi - i\tau ){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{c}_{2}}{{(1\; + \;{\text{|}}\xi {\text{|}}\; + \;{\text{|}}\tau {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )}^{{\alpha - {{\unicode{230} }}}}}\quad \forall \tau \in \mathop C\limits^* .$

Число ${{\unicode{230} }} \in \mathbb{R}$ называется индексом волновой факторизации.

Класс символов, допускающих волновую факторизацию, достаточно богат. Отдельная глава книги [14] целиком посвящена этому вопросу, там приведено достаточно много примеров.

2.2. Конструкция решения

Мы рассмотрим здесь многогранный конус и уравнение

(1)

$(Au)(x) = 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{3}}{{\backslash }}\overline {C_{ + }^{{ab}}} ,$

в пространстве Соболева–Слободецкого ${{H}^{s}}({{\mathbb{R}}^{3}}{{\backslash (}}\overline {C_{ + }^{{ab}})} )$, где

$C_{ + }^{{ab}} = \left\{ {x \in {{\mathbb{R}}^{3}}:x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}),\;{{x}_{3}} < a{\kern 1pt} {\text{|}}{{x}_{1}}{\text{|}}\; + \;b{\kern 1pt} {\text{|}}{{x}_{2}}{\text{|}},\;a,b > 0} \right\}{\text{.}}$

Мы рассмотрим специальный случай ${{\unicode{230} }} - s = 1 + \delta ,\;{\text{|}}\delta {\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2$, для которого автором были получены ранее результаты о структуре решения уравнения (1) (см. [11–13]). Введем следующие одномерные сингулярные интегральные операторы (см. [5–7]):

$({{S}_{1}}u)({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},{{\xi }_{3}}) = {\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{u(\tau ,{{\xi }_{2}},{{\xi }_{3}})d\tau }}{{{{\xi }_{1}} - \tau }},\quad ({{S}_{2}}u)({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},{{\xi }_{3}}) = {\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{u({{\xi }_{1}},\eta ,{{\xi }_{3}})d\eta }}{{{{\xi }_{2}} - \eta }}.$

В терминах этих операторов была получена формула

(2)

$\begin{gathered} {{A}_{ \ne }}(\xi )\tilde {u}(\xi ) = {{{\tilde {C}}}_{1}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) + {{{\tilde {C}}}_{2}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) + \\ \, + {{{\tilde {C}}}_{3}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) + {{{\tilde {C}}}_{4}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}), \\ \end{gathered} $

где

$\begin{gathered} {{{\tilde {C}}}_{1}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) = \frac{1}{4}{{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) - \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) - \\ \, - \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) + ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}); \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{{\tilde {C}}}_{2}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) = \frac{1}{4}{{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) - \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) + \\ \, + \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) - ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}); \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{{\tilde {C}}}_{3}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) = \frac{1}{4}{{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) + \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) - \\ \, - \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}) - ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} - b{{\xi }_{3}}); \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{{\tilde {C}}}_{4}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) = \frac{1}{4}{{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) + \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) + \\ \, + \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}) + ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{{\tilde {c}}}_{0}})({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}},{{\xi }_{2}} + b{{\xi }_{3}}), \\ \end{gathered} $

и ${{c}_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – произвольная функция из пространства ${{H}^{{s - {{\unicode{230} }} + 1{\text{/}}2}}}({{\mathbb{R}}^{2}})$. Таким образом, ядро оператора $A$ является одномерным подпространством пространства ${{H}^{s}}({{\mathbb{R}}^{3}}{{\backslash }}\overline {(C_{ + }^{{ab}})} )$.

Для выделения единственного решения (однозначного определения функции ${{c}_{0}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})$) требуется какое-то дополнительное условие. Исходя из вида общего решения, наиболее удобным представляется задание сужения $\tilde {u}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},0)$ или, другими словами, задание интегрального условия

(3)

$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,u({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})d{{x}_{3}} \equiv g({{x}_{1}},{{x}_{2}}),$

которое в образах Фурье выглядит следующим образом:

(4)

$\tilde {u}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},0) = \tilde {g}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}),$

$g({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ – известная функция.

Полагая ${{\xi }_{3}} = 0$ в формуле (2), получим

$\sum\limits_{k = 1}^4 \,{{\tilde {C}}_{k}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) = \frac{1}{4}{{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) - \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) - \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + $

$ + \;\frac{1}{4}{{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) - \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) - ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + $

$ + \;\frac{1}{4}{{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) - \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) - ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + $

$ + \;\frac{1}{4}{{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + \frac{1}{2}({{S}_{1}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + \frac{1}{2}({{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) + ({{S}_{1}}{{S}_{2}}{{\tilde {c}}_{0}})({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) = {{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}).$

С учетом условия (4) находим

(5)

${{\tilde {c}}_{0}}\left( {\xi {\kern 1pt} '} \right) = {{\tilde {A}}_{ \ne }}\left( {\xi {\kern 1pt} ',0} \right)\tilde {g}\left( {\xi {\kern 1pt} '} \right).$

Итог наших вычислений содержится в следующем результате, который станет отправной точкой для дальнейших исследований (см. [11], [13]).

Теорема 1. Пусть ${{\unicode{230} }} - s = 1 + \delta ,$ ${\text{|}}\delta {\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2,$ $g \in {{H}^{{s + 1{\text{/}}2}}}({{\mathbb{R}}^{2}})$. Тогда единственное решение задачи (1), (3) дается формулой (2), где ${{c}_{0}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ определено формулой (5).

В конусе присутствуют два параметра $a,\;b$, и интерес представляют случаи, когда эти параметры устремляются к своим предельным значениям $0$ или $\infty $. Получающаяся при этом область будет областью с разрезом, и этот разрез представляет собой конус размерности меньшей, чем размерность пространства. Нас будет интересовать поведение решения задачи (1), (3) в этих предельных случаях. Как будет показано ниже, предельные решения могут существовать только при некоторых дополнительных требованиях к функции $g$.

Стоит отметить, что в двумерном случае имеется только один конус, и предельные решения рассмотрены в [15]. В многомерных ситуациях конусов гораздо больше, и, в частности, предельная ситуация $a \to 0,$ $b = {\text{const}}$ и $a = {\text{const}}$, $b \to 0$ описана в [13]. Отметим также, что случай $a,b \to 0$ соответствует полупространству и полностью разобран в книге [4].

Мы разберем здесь некоторые предельные ситуации, опираясь на формулу (2), и покажем, какие условия следует наложить на функцию $g$ для существования предельных решений.

Рассмотрим равенство (2). Используя замену переменных ${{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{3}} = {{t}_{1}},$ ${{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{3}} = {{t}_{3}}$ и находя ${{\xi }_{1}} = ({{t}_{3}} + {{t}_{1}}){\text{/}}2,$ ${{\xi }_{3}} = ({{t}_{3}} - {{t}_{1}}){\text{/}}(2a)$, мы можем определить функцию ${{\tilde {c}}_{0}}$ в новых переменных ${{t}_{1}},\;{{\xi }_{2}},\;{{t}_{3}}$ с учетом условия (4). Переписывая формулу (2) в новых переменных ${{t}_{1}},\;{{\xi }_{2}},\;{{t}_{3}}$, мы получим

(6)

$\begin{gathered} {{A}_{ \ne }}\left( {\frac{{{{t}_{2}} + {{t}_{1}}}}{2},{{\xi }_{2}},\frac{{{{t}_{3}} - {{t}_{1}}}}{{2a}}} \right)\tilde {u}\left( {\frac{{{{t}_{2}} + {{t}_{1}}}}{2},{{\xi }_{2}},\frac{{{{t}_{3}} - {{t}_{1}}}}{{2a}}} \right) = {{{\tilde {C}}}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{\xi }_{2}} - b\frac{{{{t}_{3}} - {{t}_{1}}}}{{2a}}} \right) + \\ + \;{{{\tilde {C}}}_{2}}\left( {{{t}_{1}},{{\xi }_{2}} + b\frac{{{{t}_{3}} - {{t}_{1}}}}{{2a}}} \right) + {{{\tilde {C}}}_{3}}\left( {{{t}_{3}},{{\xi }_{2}} - b\frac{{{{t}_{3}} - {{t}_{1}}}}{{2a}}} \right) + {{{\tilde {C}}}_{4}}\left( {{{t}_{3}},{{\xi }_{2}} + b\frac{{{{t}_{3}} - {{t}_{1}}}}{{2a}}} \right). \\ \end{gathered} $

Устремляя $a \to + \infty $, получаем

${{A}_{ \ne }}\left( {\frac{{{{t}_{2}} + {{t}_{1}}}}{2},{{\xi }_{2}},0} \right)\tilde {u}\left( {\frac{{{{t}_{2}} + {{t}_{1}}}}{2},{{\xi }_{2}},0} \right) = {{\tilde {C}}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{\xi }_{2}}} \right) + {{\tilde {C}}_{2}}\left( {{{t}_{1}},{{\xi }_{2}}} \right) + {{\tilde {C}}_{3}}\left( {{{t}_{3}},{{\xi }_{2}}} \right) + {{\tilde {C}}_{4}}\left( {{{t}_{3}},{{\xi }_{2}}} \right).$

Дальше идут вычисления

${{\tilde {C}}_{1}}\left( {{{t}_{1}},{{\xi }_{2}}} \right) + {{\tilde {C}}_{2}}\left( {{{t}_{1}},{{\xi }_{2}}} \right) + {{\tilde {C}}_{3}}\left( {{{t}_{3}},{{\xi }_{2}}} \right) + {{\tilde {C}}_{4}}\left( {{{t}_{3}},{{\xi }_{2}}} \right) = \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}({{t}_{1}},{{\xi }_{2}}) + {{{\tilde {c}}}_{0}}({{t}_{3}},{{\xi }_{2}})}}{2} - ({{S}_{1}}{{\tilde {c}}_{0}})({{t}_{1}},{{\xi }_{2}}) + ({{S}_{1}}{{\tilde {c}}_{0}})({{t}_{3}},{{\xi }_{2}}).$

Принимая во внимание условие (4), формулу (5) в равенстве (6) и введя новое обозначение

${{\tilde {A}}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},0)\tilde {g}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) \equiv h({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}),$

приходим к следующему уравнению с параметром ${{\xi }_{2}}$ для функции $g$:

(7)

$h\left( {\frac{{{{t}_{2}} + {{t}_{1}}}}{2},{{\xi }_{2}}} \right) = \frac{{h({{t}_{1}},{{\xi }_{2}}) + h({{t}_{3}},{{\xi }_{2}})}}{2} - ({{S}_{1}}h)({{t}_{1}},{{\xi }_{2}}) + ({{S}_{1}}h)({{t}_{3}},{{\xi }_{2}}).$

Собирая проведенные выкладки, приходим к следующей формулировке результата.

Теорема 2. Если символ $A(\xi )$ допускает волновую факторизацию относительно конуса $C_{ + }^{{ab}}$ с индексом ${{\unicode{230} }}$ таким, что ${{\unicode{230} }} - s = 1 + \delta ,$ ${\text{|}}\delta {\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2$ для всех достаточно больших $a$, то единственное решение краевой задачи $(1),(3)$ имеет предел при $a \to + \infty $ тогда и только тогда, когда функция в граничном условии $g \in {{H}^{{s + 1{\text{/}}2}}}({{R}^{2}})$ является решением уравнения $(7)$.

2.3. Двумерная ситуация

Мы опишем здесь, что происходит на плоскости. Уравнение (1) записывается как

(8)

$(Au)(x) = 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{2}}{{\backslash }}\overline {C_{ + }^{a}} ,$

и рассматривается в пространстве ${{H}^{s}}({{\mathbb{R}}^{2}}{{\backslash }}\overline {C_{ + }^{a}} )$. Число ${{\unicode{230} }}$ обозначает индекс волновой факторизации (как и выше, предполагается, что такая факторизация для символа $A(\xi )$ существует) относительно угла $C_{ + }^{a}$ (см. [14]), и предполагается выполненным условие $1{\text{/}}2 < {{\unicode{230} }} - s < 3{\text{/}}2,$ угол $C_{ + }^{a}$ имеет вид

$C_{ + }^{a} = \left\{ {x \in {{\mathbb{R}}^{2}}:{{x}_{2}} > a{\kern 1pt} {\text{|}}{{x}_{1}}{\text{|}},a > 0} \right\}.$

Общее решение уравнения (8) в пространстве Соболева–Слободецкого ${{H}^{s}}({{\mathbb{R}}^{2}}{{\backslash }}\overline {C_{ + }^{a}} )$ имеет следующий вид (см. [11]):

$\tilde {u}(\xi ) = \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}\left( {{{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}} \right) + {{{\tilde {c}}}_{0}}\left( {{{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}}} \right)}}{{2{{A}_{ \ne }}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)}} + A_{ \ne }^{{ - 1}}\left( {{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}} \right)\left( {{\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}(\eta )d\eta }}{{{{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}} - \eta }} - {\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}(\eta )d\eta }}{{{{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}} - \eta }}} \right),$

где ${{c}_{0}}$ – произвольная функция из ${{H}^{{s - {{\unicode{230} }} + 1{\text{/}}2}}}\left( \mathbb{R} \right)$.

Вводим обозначения

(9)

${\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}(\eta )d\eta }}{{{{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}} - \eta }} \equiv {{\tilde {d}}_{0}}\left( {{{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}} \right),\quad {\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}(\eta )d\eta }}{{{{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}} - \eta }} \equiv {{\tilde {d}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}})$

и получаем

(10)

$\tilde {u}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) = \frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}) + {{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}}) + {{{\tilde {d}}}_{0}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}) - {{{\tilde {d}}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}})}}{{2{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})}} \equiv \frac{{\tilde {c}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}) + \tilde {d}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}})}}{{2{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})}},$

где $\tilde {c}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}) \equiv {{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}) + {{\tilde {d}}_{0}}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}),$ $\tilde {d}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}}) \equiv {{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}}) - {{\tilde {d}}_{0}}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}})$.

Далее мы добавляем интегральное условие

(11)

$\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,u({{x}_{1}},{{x}_{2}})d{{x}_{2}} \equiv g({{x}_{1}}),$

которое в образах Фурье выглядит как $\tilde {u}({{\xi }_{1}},0) = \tilde {g}(\xi )$. С учетом формулы (10) можно заключить, что

$\frac{{{{{\tilde {c}}}_{0}}({{\xi }_{1}})}}{{{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},0)}} = \tilde {g}({{\xi }_{1}}).$

Следовательно, мы можем определить функцию ${{\tilde {c}}_{0}}({{\xi }_{1}}) = {{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},0)\tilde {g}({{\xi }_{1}})$. Тогда по формуле (9) мы можем определить ${{\tilde {d}}_{0}}({{\xi }_{1}})$ так, что формула (10) дает решение уравнения (8). Подытожив, заключаем, что решение уравнения (8) при условии (11) дается формулой

$\begin{gathered} \tilde {u}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) = \frac{{{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}},0)\tilde {g}({{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}}) + {{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}},0)\tilde {g}({{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}})}}{{2{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})}} + \\ + \;\frac{1}{{2{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})}}{\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{A}_{ \ne }}(\eta ,0)\tilde {g}(\eta )d\eta }}{{{{\xi }_{1}} + a{{\xi }_{2}} - \eta }} - \frac{1}{{2{{A}_{ \ne }}({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})}}{\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{A}_{ \ne }}(\eta ,0)\tilde {g}(\eta )d\eta }}{{{{\xi }_{1}} - a{{\xi }_{2}} - \eta }} \\ \end{gathered} $

(подробности см. в [12]).

Теперь попытаемся выяснить, что произойдет с решением, когда $a \to \infty $, эта ситуация соответствует плоскости с разрезом по лучу.

Вводя новые переменные, обозначим

${{a}_{ \ne }}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) \equiv {{A}_{ \ne }}\left( {\frac{{{{t}_{1}} + {{t}_{2}}}}{2},\;\frac{{{{t}_{1}} - {{t}_{2}}}}{{2a}}} \right),\quad \tilde {U}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) \equiv \tilde {u}\left( {\frac{{{{t}_{1}} + {{t}_{2}}}}{2},\;\frac{{{{t}_{1}} - {{t}_{2}}}}{{2a}}} \right)$

и запишем

$\begin{gathered} \tilde {U}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) = \frac{{{{A}_{ \ne }}({{t}_{1}},0)\tilde {g}({{t}_{1}}) + {{A}_{ \ne }}({{t}_{2}},0)\tilde {g}({{t}_{2}})}}{{2{{a}_{ \ne }}({{t}_{1}},{{t}_{2}})}} + \\ + \;\frac{1}{{2{{a}_{ \ne }}({{t}_{1}},{{t}_{2}})}}{\text{v}}{\text{.p}}.\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{A}_{ \ne }}(\eta ,0)\tilde {g}(\eta )d\eta }}{{{{t}_{1}} - \eta }} - \frac{1}{{2{{a}_{ \ne }}({{t}_{1}},{{t}_{2}})}}{\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{A}_{ \ne }}(\eta ,0)\tilde {g}(\eta )d\eta }}{{{{t}_{2}} - \eta }}. \\ \end{gathered} $

Устремляя $a \to + \infty $, вводя новые обозначения ${{A}_{ \ne }}(t,0)\tilde {g}(t) \equiv G(t)$, $\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } {{a}_{ \ne }}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) \equiv h({{t}_{1}},{{t}_{2}})$, мы можем записать

(12)

$\begin{gathered} \tilde {u}\left( {\frac{{{{t}_{1}} + {{t}_{2}}}}{2},0} \right) = \tilde {U}({{t}_{1}},{{t}_{2}}) = \frac{{{{A}_{ \ne }}({{t}_{1}},0)\tilde {g}({{t}_{1}}) + {{A}_{ \ne }}({{t}_{2}},0)\tilde {g}({{t}_{2}})}}{{2h({{t}_{1}},{{t}_{2}})}} + \\ \, + \frac{1}{{2h({{t}_{1}},{{t}_{2}})}}{\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{A}_{ \ne }}(\eta ,0)\tilde {g}(\eta )d\eta }}{{{{t}_{1}} - \eta }} - \frac{1}{{2h({{t}_{1}},{{t}_{2}})}}{\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{\pi }\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{{{A}_{ \ne }}(\eta ,0)\tilde {g}(\eta )d\eta }}{{{{t}_{2}} - \eta }}. \\ \end{gathered} $

С учетом условия (11) имеем

(13)

$G\left( {\frac{{{{t}_{1}} + {{t}_{2}}}}{2}} \right) = \frac{{G({{t}_{1}}) + G({{t}_{2}})}}{2} + (SG)({{t}_{1}}) - (SG)({{t}_{2}}),$

где

$(SG)(t) = {\text{v}}{\text{.p}}{\text{.}}\frac{i}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \frac{{G(\eta )d\eta }}{{t - \eta }}.$

Итог наших рассмотрений содержится в следующем результате.

Теорема 3. Если символ $A({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}})$ допускает волновую факторизацию относительно конуса $C_{ + }^{a}$ для всех достаточно больших $a$, то предел решения $(10)$ краевой задачи $(8),\;(11)$ при $a \to + \infty $ существует тогда и только тогда, когда выполнено условие $(13)$.

3. РАЗРЕЗЫ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Опишем здесь несколько многомерных ситуаций, основываясь на материале предыдущих разделов. Точнее, мы покажем, какие многомерные области с разрезами могут быть получены аналогичным предельным переходом и приведем формулировки соответствующих постановок краевых задач.

Основная идея заключается в следующем. Пусть ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$ – конусы в ${{\mathbb{R}}^{m}}$ и ${{\mathbb{R}}^{n}}$ соответственно, не содержащие целой прямой. Очевидно, что ${{C}_{1}} \times {{C}_{2}}$ – это конус в пространстве ${{\mathbb{R}}^{{m + n}}}$, не содержащий целой прямой в ${{\mathbb{R}}^{{m + n}}}$. Тогда мы можем поставить краевую задачу, аналогичную (1), (5) в области ${{\mathbb{R}}^{{m + n}}}{{\backslash }}({{C}_{1}} \times {{C}_{2}})$. Записывая формулу для решения этой задачи (при наличии волновой факторизации относительно “большого” конуса), мы можем рассматривать краевые задачи в областях с многомерными разрезами разной геометрии, устремляя к предельным значениям параметры конусов ${{C}_{1}}$ и ${{C}_{2}}$.

Вот первый вариант такой краевой задачи:

(14)

$(Au)(x) = 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{5}}{{\backslash }}\overline {\left( {C_{ + }^{a} \times C_{ + }^{{bd}}} \right)} ,\quad \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} \,u({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}})d{{x}_{2}}d{{x}_{5}} = g({{x}_{1}},{{x}_{3}},{{x}_{4}}),$

где $C_{ + }^{a} \subset {{\mathbb{R}}^{2}},$ $C_{ + }^{{bd}} \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$.

Второй вариант

(15)

$(Au)(x) = 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{4}}{{\backslash }}\overline {\left( {C_{ + }^{a} \times C_{ + }^{b}} \right)} ,\quad \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} \,u({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}})d{{x}_{2}}d{{x}_{4}} = g({{x}_{1}},{{x}_{3}}),$

где $C_{ + }^{a} \subset {{\mathbb{R}}^{2}},$ $C_{ + }^{b} \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$.

Можно рассмотреть и такой вариант с двумя многогранными углами в ${{\mathbb{R}}^{6}}$, точнее, следующую краевую задачу:

(16)

$(Au)(x) = 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{6}}{{\backslash }}\overline {(C_{ + }^{{ab}} \times C_{ + }^{{dl}})} ,\quad \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} \,u({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}},{{x}_{6}})d{{x}_{3}}d{{x}_{6}} = g({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}),$

где $C_{ + }^{{ab}} \subset {{\mathbb{R}}^{3}},$ $C_{ + }^{{dl}} \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$.

Наконец, можно вернуться к краевой задаче (14) и рассмотреть такую же краевую задачу. Разумеется, решение будет таким же, но предельный вариант рассмотрим другой: $a \to \infty ,$ $b \to \infty ,$ $d = {\text{const}}$, получая разрез другой геометрии. Более подробно мы рассмотрим эти ситуации в последующих публикациях.

Список литературы

Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах (Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции). М.: ИПРЖР, 1996.
Speck F.-O. From Sommerfeld diffraction problems to operator factorisation // Constr. Math. Anal. 2019. V. 2. № 4. P. 183–216.
Castro L. Duduchava R., Speck F.-O. Mixed impedance boundary value problems for the Laplace-Beltrami equation // J. Integral Equations Appl. 2020. V. 32. № 3. P. 275–292.
Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.
Milkhin S.G., Prößdorf S. Singular Integral Operators. Akademie-Verlag, Berlin, 1986.
Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.
Vasilyev V.B. Pseudo-differential equations on manifolds with non-smooth boundaries. In: Pinelas S. editor. Differential and Difference Equations (and Applications. Springer Proc. Math. & Stat. 47). Berlin: Springer, 2013. P. 625–637.
Vasilyev V.B. Elliptic equations, manifolds with non-smooth boundaries, and boundary value problems. In: Dang P., Ku M., Qian T., Rodino L. eds. New Trends in Analysis and Interdisciplinary Applications. Basel: Birkhäuser, 2017. P. 337–344.
Vasilyev V.B. Pseudo-differential equations, wave factorization, and related problems // Math. Meth. Appl. Sci. 2018. V. 41. № 18. P. 9252–9263.
Vasilyev V.B. Pseudo-differential equations and conical potentials: 2-dimensional case // Opusc. Math. 2019. V. 39. № 1. P. 109–124.
Vasilyev V.B. On certain 3-dimensional limit boundary value problems // Lobachevskii J. Math. 2020. V. 41. № 5. P. 917–925.
Vasil’ev V.B. Wave Factorization of Elliptic Symbols: Theory and Applications. Introduction to the Theory of Boundary Value Problems in Non-Smooth Domains. Dordrecht–Boston–London: Kluwer Acad. Publ., 2000.
Kutaiba Sh., Vasilyev V. On limit behavior of a solution to boundary value problem in a plane sector // Math. Meth. Appl. Sci. 2021. V. 44. № 15. P. 11904–11912.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал