Расплавы, 2022, № 2, стр. 114-123

Трехмерный паркет Пенроуза

Трехмерный паркет Пенроуза (3DPT – 3D Penrose tiling) [4] является основной моделью квазипериодической решетки икосаэдрических квазикристаллов, можно сказать, что он играет ту же роль, что и примитивная кубическая решетка при изучении кристаллов кубической сингонии. Трехмерный паркет Пенроуза строится их двух типов параллелепипедов, он характеризуется икосаэдрической симметрией и квазипериодичностью. Ряд авторов [5] обсуждали возможность построения замощения трехмерного пространства, при котором будет получена икосаэдрическая симметрия, однако сегодня приоритет отдается Амману [6]. Но используют название 3DPT, так как эта структура является трехмерным аналогом паркета Пенроуза. Существует несколько способов описать 3DPT, наиболее удобной является проекционная методика [7], которую используют также для структурного анализа реальных квазикристаллов.

В проекционной методике 6-мерная примитивная кубическая решетка проецируется на два взаимно перпендикулярных трехмерных подпространства. Эти подпространства располагаются так, что проекции 6 реперных векторов направлены от центра к вершинам правильного икосаэдра (рис. 1).

Положение узлов 3DPT описывается выражением

где ${{i}_{1}}, \ldots ,{{i}_{6}}$ – индексы узлов 6-мерной кубической решетки, ${{e}_{1}}, \ldots ,{{e}_{6}}$ – проекции реперных векторов 6-мерной решетки на трехмерное пространство.

Одно пространство называется параллельным, в нем строится решетка. Второе – перпендикулярным, в этом пространстве располагается область учета точек (acceptance domain (AD)) в форме ромбического триаконтаэдра (внешние точки симметричной проекции 6-мерного куба на 3-мерное пространство имеют вид этого полиэдра). Если проекции узлов примитивной 6-мерной кубической решетки в перпендикулярном пространстве оказываются внутри AD, то эти точки принадлежат 3DPT. Эти точки переносят из перпендикулярного пространства в параллельное, что и приводит к построению трехмерного паркета Пенроуза. На рис. 1 можно сравнить, как расположены проекции реперных векторов в обоих типах проекции. Можно заметить, что соседние проекции реперных векторов в одном пространстве становятся не соседними в другом и наоборот.

Каждый узел 6-мерной решетки характеризуется 6-индексом $\left( {{{i}_{1}},\,{{i}_{2}},\,{{i}_{3}},\,{{i}_{4}},\,{{i}_{5}},\,{{i}_{6}}} \right).$ Если выразить индексы перпендикулярного пространства в проекциях репера параллельного пространства, то индексы переместятся (например, получим $(i_{1}^{{\text{'}}},\,i_{4}^{'},\,i_{2}^{'},\,i_{5}^{'},\,i_{3}^{'}{\kern 1pt} ,\,{\kern 1pt} i_{6}^{'}).$ Алгоритм построения 3DPT сводится к следующему: перебираются индексы, соответствующие перпендикулярному пространству и вычисляется вектор; определяется, принадлежит ли этот вектор AD; если принадлежит, то вектор переводится в параллельное пространство с помощью перемещения индексов, иначе точка отбрасывается.

Квазипериодические решетки характеризуются самоподобием. Самоподобие – повторение свойств объекта с изменением масштаба. Следует отметить, что 3DPT характеризуется самоподобием с шагом ${{\tau }^{3}}$ [4]. Здесь $\tau = {{\left( {1 + \surd 5} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {1 + \surd 5} \right)} 2}} \right. \kern-0em} 2} \approx 1.618$ – золотое сечение.

При анализе всех квазипериодических решеток, имеющих ось симметрии 5 порядка, встречается золотое сечение, потому что отношение диагонали пятиугольника к его стороне равно золотому сечению. Известно [8], что золотое сечение определяется из следующего выражения

Любую целую степень золотого сечения можно выразить с помощью уравнения

где N, A, B – целые числа. Такие же свойства характеризуют и умножение на целую степень золотого сечения вектора узла 3DPT [9]. Умножение 6-вектора (1) на $\tau $ выражается умножением на матрицу с полуцелыми индексами:

Здесь X – 6-индексный столбец, $\bar {1}$ обозначает –1. Если Х содержит целые индексы, то Y может содержать полуцелые индексы. Однако, так как на ${{\tau }^{3}} = 2\tau + 1,$ матрица умножения на ${{\tau }^{3}}$ не изменяет свойств индексов.

Фракталы из звезд

Фракталы – понятие, предложенное Бенуа Мандельбротом [10] для описания математических и природных объектов, характеризующихся изломанностью, отсутствием гладкости. Для фракталов также, как и для квазипериодических решеток, характерно самоподобие. В то же время квазипериодические решетки (также, как и периодические) характеризуются тем, что не может быть двух точек ближе некоторого минимального расстояния и не может быть полости в структуре больше некоторого максимального расстояния (системы точек Делоне [11]). Такое ограничение не обязательно для фракталов. Можно считать квазипериодическую решетку фракталом с дополнительным условием. Выполнение этого условия ведет к тому, что фрактальная размерность [10] решетки не будет отличаться от размерности пространства (у двумерной решетки – 2, у трехмерной – 3). В общем случае фракталы могут иметь фрактальную размерность меньше размерности пространства.

В наших работах [12] предложены двумерные фракталы из пятиконечных звезд. Были рассмотрены два подхода к построению фрактала: инфляционный и дефляционный [13]. В дефляционном подходе выбирается начальный объект – пятиконечная звезда и определяется закон уменьшения и изменения ориентации минимальной звезды – строительного элемента. На каждом шагу задается размер и ориентация минимальной звезды, и эти звезды размножаются и располагаются так, что их центры совпадают с вершинами предфрактала предыдущего порядка. Пятиконечная звезда может иметь две ориентации, связанные операцией инверсии относительно точки. Предфрактал предыдущего порядка удаляется, при совпадении точек – вершин звезд, такая точка учитывается один раз. В инфляционном подходе задается начальная звезда, затем задается обобщенная звезда увеличивающегося размера, по 10 вершинам которой располагаются центры предфракталов предыдущих порядков (обобщенная звезда не отображается). На рис. 2 приведен пример инфляционного построения фрактала из пятиконечных звезд, показаны две ориентации звезды.

Предложено два подхода к описанию данных фракталов – абсолютный и относительный [13]. В абсолютном на каждом шаге определяется абсолютный размер звезды и ее ориентация. В относительном подходе задается отношение размера звезды к размеру на предыдущем шагу и определяется сохраняется ли ориентация звезды по отношению к ориентации предыдущего шага. Дефляционное относительное описание фрактала совпадает с традиционным [10] – с помощью инициатора и генератора.

При абсолютном описании размер звезды (в дефляционном методе – минимальной звезды, в инфляционном методе – обобщенной звезды) определяется выражением

Здесь k – номер предфрактала, a – расстояние от центра звезды до ее вершины, $\tau $ – золотое сечение, ${{N}_{k}}$ – целое число. В инфляционном построении фрактала размерное число ${{N}_{k}}$ является неотрицательным, а в дефляционном – неположительным числом.

В относительном описании размеры звезды задаются следующим образом

Показано [13], как связаны между собой инфляционный и дефляционный подходы к построению фрактала, относительное и абсолютное описание. Чаще всего дефляционный подход приводит к бесконечно близкому расположению точек, а инфляционный подход – к расположению точек не ближе некоторого значения и бесконечно растущей площади фрактала. По выражениям (5) и (6) можно заметить, что скорость сближения точек в дефляционной записи тем быстрее, чем быстрее они расходятся в инфляционной.

В работе [14] двумерный паркет Пенроуза описывается с помощью фракталов из пятиконечных звезд. Можно отметить следующие особенности такого описания: 1) паркет Пенроуза можно разбить на 4 слоя перпендикулярно плоскости, в котором он лежит; каждый слой характеризуется одинаковой суммой 5-индексов точек; 2) оказалось, что каждый слой легко описывается фракталом из пятиконечных звезд с шагом ${{N}_{k}} - {{N}_{{k{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 1}}} = 1,$ причем ориентация звезд меняется на каждом шагу; 3) объединение 4 фракталов одинакового типа дает паркет Пенроуза.

Фракталы из 3D звезд

Двумерные фракталы из пятиконечных звезд тесно связаны с паркетом Пенроуза, который можно получить проекционной методикой на основе 5-мерной кубической решетки. Трехмерный паркет Пенроуза тесно связан с 6-мерной кубической решеткой, поэтому было интересно изучить свойства симметричной проекции 6-мерного куба на 3-мерное пространство, и на основе этого анализа выбрать строительные элементы фрактала. Анализ свойств симметричной проекции 6-мерного куба на 3-мерное пространство показал [15], что все точки можно описать концентрическими фигурами: двумя икосаэдрами и двумя додекаэдрами. Если объединить вершины одного икосаэдра и одного додекаэдра из этого набора, то можно получить 4 полиэдра: большой (I) и малый звездчатый додекаэдры (D) [16], ромбический триаконтаэдр (R) и полиэдр (S), который автор [15] назвал симметричным звездчатым икосаэдром (рис. 3). Если поместить начало отсчета в центр полиэдров, то координаты вершин описываются полуцелыми индексами, причем у I сумма индексов четная, а у D сумма индексов нечетная. На основании этих свойств были предложены фракталы из трехмерных звезд [17], из двух типов полиэдров – большого и малого звездчатых додекаэдров. Заметим, что грани этих полиэдров имеют вид правильных пятиконечных звезд одинакового размера. Для построения фракталов из трехмерных звезд методика построения фрактала из пятиконечных звезд была обобщена на 3 измерения, причем оказалось, что размеры звезд описываются теми же формулами. Этот фрактал определяется, так же, как и фрактал из пятиконечных звезд, рядом из размерных чисел и 2 типов звезд. Также возможно абсолютное и относительное описание фрактала, дефляционный и инфляционный подходы. Таким образом в абсолютном инфляционном описании ряд символов

характеризует фрактал из трехмерных звезд, здесь ${{N}_{k}}$ – размерное число, которое характеризует размер обобщенной звезды, а ${{C}_{k}} = I$ или D – тип обобщенной звезды. Размер звезды

Постановки задачи: подходы к построению 3DPT из фракталов из трехмерных звезд с икосаэдрической симметрией

Цель данной работы – выбрать фракталы из трехмерных звезд, с помощью которых можно повторить 3DPT.

Наиболее вероятные характеристики фрактала, которые позволят повторить трехмерный паркет Пенроуза:

1. Также, как и в работе, посвященной построению двумерного паркета Пенроуза с помощью фрактала из пятиконечных звезд, фрактал должен иметь шаг 1 по степеням золотого числа, потому что в этом случае пространство плотно заполняется точками. Это приводит к фрактальной размерности в двумерном случае – 2, в трехмерном, равном 3. Если шаг будет больше, то появятся полости, поэтому такие фракталы нельзя использовать для повторения трехмерной квазипериодической решетки.

2. Трехмерный паркет Пенроуза обладает самоподобием с шагом ${{\tau }^{3}},$ поэтому нужно выбирать каждую третью структуру фрактала, растущего с шагом $\tau ,$ для сравнения с паркетом.

3. Для построения двумерного паркета Пенроуза [14] использовалось объединение 4 фракталов, потому что паркет можно разделить на 4 слоя. В 3D случае, проекция 6D куба на трехмерное пространство может быть получена объединением двух трехмерных звезд (I и D) [17], то есть необходимо объединение, как минимум, 2-х фракталов.

Свойства точек трехмерных звезд различного размера. Определение изменения свойств точек при образовании фрактала

В работе [17] обсуждался вопрос, как умножение на золотое сечение $\tau $ по формуле (4) изменяет характеристики индексов точки. На основе этих рассуждений была составлена табл. 1.

Обозначим типы точек: A – полуцелые индексы, сумма индексов нечетная; B – полуцелые индексы, сумма индексов четная; C – целые индексы, сумма индексов нечетная; Е – целые индексы, сумма индексов четная. Большой звездчатый додекаэдр I, составляющий проекцию 6-мерного куба на 3-мерное пространство, имеет тип B, а малый звездчатый додекаэдр D имеет тип A. Умножение на золотое сечение τ координат точки приводит к преобразованию типов $A \to B \to C \to A.$ То есть, умножение на τ звезд I и D циклически изменяет тип их индексов.

Рассмотрим подробнее, какие свойства имеют звезды различного размера (табл. 2). Алгоритм нахождения типа звезды: находим остаток от деления размерного числа N обобщенной звезды на 3:

для большого звездчатого додекаэдра (I)

для малого звездчатого додекаэдра (D)

При росте фрактала происходит суммирование координат точек звезд всех этапов. После суммирования мы получим индексы фрактала, которые могут быть целыми или полуцелыми. Кроме того, сумма 6-индексов любой точки фрактала может быть четной или нечетной. В табл. 3 анализируется тип точек при суммировании векторов звезд различного типа. Заметим, что данная таблица является таблицей Кэли [18] для операции суммирования при построении фрактала из трехмерных звезд.

Образование предфрактала из звезд происходит за счет прямой суммы всех векторов вершин всех обобщенных звезд, поэтому по табл. 3 можно определить тип точек предфрактала. Любая точка предфрактала N-го порядка определяется суммой векторов, соединяющих центр и вершину обобщенных звезд порядков от 0 до N:

здесь i, j, …, k – изменяются в пределах от 1 до числа вершин звезды (у пятиконечной звезды – 10, у трехмерной звезды – 32).

В качестве примера, рассмотрим фрактал с шагом по размерному числу равном 1, составленный из больших звездчатых додекаэдров, с минимальным размерным числом, равным 2 (в абсолютной инфляционной записи 2I3I4I5I…) (табл. 4).

Для выбора точек, описывающих 3DPT, нужно использовать звезды с целыми индексами, т.е. типов C и E. Так как у типа C сумма индексов нечетная, а у E – четная, обязательно должно быть наличие точек того и другого типа.

Выбор минимального размера звезд фрактала

Необходимо выбрать минимальный размер звезд фрактала в инфляционной записи. Вспомним проекционную методику построения 3DPT [7]. Для выбора точек в перпендикулярном пространстве точки должны принадлежать AD, затем точки переводятся в параллельное пространство. Как отмечалось в [17], при переходе от параллельного пространства к перпендикулярному, звезда I переходит в звезду D и наоборот D → I. Происходит инверсия: звезда в ${{\tau }^{N}}$ раз большая, чем звезда с 0 размерным числом в прямом пространстве, превращается в звезду в ${{\tau }^{N}}$ раз меньше.

Для того, чтобы все точки фрактала принадлежали точкам 3DPT, нужно, чтобы фрактал в дефляционной записи [13] заполнял AD. Мы выбираем AD в виде проекции 6-мерного куба, а внешние точки звезд 0I и 0D как раз совпадают с поверхностью AD (acceptance domain).

Пусть расстояние от центра до вершин лепестка исходной звезды I или D равно a, на каждом шаге при дефляционном построении фрактала размер обобщенной звезды уменьшается в $\tau $ раз, тогда максимальный размер фрактала в перпендикулярном пространстве определяется рядом

Максимальный размер соответствует максимальному размеру звезды 0I или 0D. Умножим уравнение (10) на $~\tau $

Подставим (10) в (11)

Тогда

То есть, начальный размер звезды в перпендикулярном пространстве в ${{\tau }^{2}}$ меньше, а в параллельном пространстве в ${{\tau }^{2}}$ больше размера AD. Отсюда исходная звезда должна быть выбрана типа 2I или 2D в абсолютной инфляционной записи.