Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 1, стр. 63-70

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим следующую краевую задачу. Пусть $\Omega $ – ограниченная односвязная двумерная область, а кривая ${{\Gamma }_{0}}$ является ее границей. Пусть ${{\Omega }_{1}}$ – односвязная область, ограниченная кривой ${{\Gamma }_{1}}$ такая, что $\overline {{{\Omega }_{1}}} \in \Omega $ и область ${{\Omega }_{0}} = \Omega {\backslash }\overline {{{\Omega }_{1}}} $ является двусвязной. Кривые ${{\Gamma }_{0}}$ и ${{\Gamma }_{1}}$ гладкие: ${{\Gamma }_{0}},\;{{\Gamma }_{1}} \in {{C}^{2}}$.

Пусть функция $u(M)$ такова, что: $u \in {{C}^{2}}({{\Omega }_{0}}) \cap {{C}^{1}}(\overline {{{\Omega }_{0}}} )$,

здесь $a$ – постоянная величина, а $f(M)$ – функция, непрерывная на ${{\Gamma }_{0}}$.

В настоящей работе исследуется обратная задача для краевой задачи (1)–(3), состоящая в определении внутренней границы ${{\Gamma }_{1}}$ по данным Неймана для функции $u(M)$ на внешней границе ${{\Gamma }_{0}}$. Такую математическую задачу можно рассматривать как частный случай задачи электроимпедансной томографии для среды с кусочно-постоянной проводимостью [1]–[4], которая принимает два значения: в области ${{\Omega }_{0}}$ проводимость конечна и постоянна, а в области ${{\Omega }_{1}}$ значение проводимости постоянно и столь велико, что область ${{\Omega }_{1}}$ можно считать идеальным проводником. Известно, что потенциал стационарного электрического поля в идеально проводящей среде принимает постоянное значение (см. [5]). Этому физическому принципу соответствует условие (2) в краевой задаче (1)–(3). Будем полагать, что значение проводимости в области ${{\Omega }_{0}}$ равно $1$.

В работе [6] доказана единственность определения неизвестной границы ${{\Gamma }_{1}}$ в обратной задаче для краевой задачи (1)–(3) с дополнительным условием Неймана на границе ${{\Gamma }_{0}}$ при известном значении постоянной $a = 0$ в уравнении (2), предложен численный метод решения этой обратной задачи, основанный на использовании конформных отображений. В настоящей работе значение $a$ предполагается неизвестным, для этого случая доказывается теорема о единственности решения обратной задачи определения границы ${{\Gamma }_{1}}$, излагается итерационный численный метод определения неизвестной границы. В ряде работ (см. [7]–[9] и цитированную в них литературу) рассматривается задача обнаружения трещин или дефектов в области с постоянной проводимостью по совокупности нескольких пар данных Дирихле и Неймана на части ее внешней границы. Исследуемые в этих работах математические задачи близки к задаче, рассматриваемой в настоящей работе, однако имеют принципиальные отличия.

2. СВОЙСТВА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ (1)–(3)

Рассмотрим некоторые свойства краевой задачи (1)–(3). Если границы ${{\Gamma }_{0}}$ и ${{\Gamma }_{1}}$, а также значения функции $u(M)$ на этих границах заданы, то задача (1)–(3) представляет собой задачу Дирихле для уравнения Лапласа, которая имеет единственное решение при любых значениях $f(M)$ и $a$ [10]. В случае, если значение $a$ неизвестно, для обеспечения единственности решения краевой задачи необходимо дополнительное условие. Покажем, что таким условием может быть обращение в ноль интеграла от нормальной производной функции $u(M)$ по внешней границе

Докажем вспомогательную лемму.

Лемма 1. Пусть функция $u(M)$ является решением задачи Дирихле (1)–(3) с функцией $f(M) \equiv 0$ и значением $a \ne 0$, тогда

Доказательство. Пусть $a > 0$ (без ограничения общности). Гармоническая функция $u(M)$ принимает максимальное и минимальное значения на границах области ${{\Omega }_{0}}$ и для всех $M \in \overline {{{\Omega }_{0}}} $ выполнено $0 \leqslant u(M) \leqslant a$. Тогда

здесь ${{n}_{M}}$ – внутренняя нормаль к ${{\Gamma }_{0}}$ в точке $M$, точка $P \in {{\Omega }_{0}}$ находится на этой нормали, а ${{\rho }_{{MP}}}$ – расстояние между точками $M$ и $P$. Из этого следует, что Предположим, что этот интеграл равен нулю, тогда $\partial u(M){\text{/}}\partial {{n}_{M}} = 0$ для всех $M \in {{\Gamma }_{0}}$. Из одновременного равенства нулю условий Дирихле и Неймана на внешней границе по теореме Хольмгрена (см. [11], [12]) следует, что $u(M) \equiv 0$, $M \in \overline {{{\Omega }_{0}}} $. Приходим к противоречию с условием (2), значит, Для случая $a < 0$ доказательство аналогично.

Теорема 1. Краевая задача (1)–(3) с неизвестным значением $a$ и дополнительным условием (4) имеет не более одного решения.

Доказательство. Пусть существует два решения краевой задачи: $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$. Рассмотрим разность этих функций $v = u{\kern 1pt} {\text{'}} - u{\kern 1pt} ''$. Эта функция является решением следующей краевой задачи:

Если $v(M) \ne 0$, $M \in {{\Gamma }_{1}}$, то получаем противоречие с леммой 1, значит значения функций $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$ на границе ${{\Gamma }_{1}}$ совпадают и $u{\kern 1pt} '(M) \equiv u{\kern 1pt} ''(M)$, $M \in \overline {{{\Omega }_{0}}} $ в силу едиственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

Заметим, что условие (4) является естественным для задачи электроимпедансной томографии: равенство нулю интеграла от нормальной производной электрического потенциала по границе ${{\Gamma }_{0}}$ с учетом постоянной проводимости в области ${{\Omega }_{0}}$ соответствует закону сохранения электрического заряда для стационарной замкнутой системы [3], [5].

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую обратную задачу для краевой задачи (1)–(3). Пусть кривая ${{\Gamma }_{0}}$ и непостоянная функция $f(M)$ на ${{\Gamma }_{0}}$ заданы, а кривая ${{\Gamma }_{1}}$ неизвестна. Требуется определить ${{\Gamma }_{1}}$, если для решения $u(M)$ краевой задачи (1)–(3) задано условие Неймана:

где $g(M)$ – известная функция, непрерывная на ${{\Gamma }_{0}}$. Для случая, когда функция $u(M)$ обращается на ${{\Gamma }_{1}}$ в ноль ($a = 0$), единственность определения неизвестной внутренней границы по данным Дирихле и Неймана на ${{\Gamma }_{0}}$ доказана в [6]. В настоящей работе формулируется теорема о единственности решения поставленной обратной задачи при неизвестном значении $a$. Ее доказательство основано на применении теоремы Хольмгрена и леммы 1.

Теорема 2. Обратная задача (1)–(3), (5), состоящая в определении неизвестной границы ${{\Gamma }_{1}}$ при неизвестном значении $a$, имеет не более одного решения.

Доказательство. Докажем теорему от противного. Пусть $\Gamma _{1}^{'}$ и $\Gamma _{1}^{{''}}$ – две кривые, ограничивающие несовпадающие односвязные области ${{\Omega }_{1}}$ и ${{\Omega }_{1}}$ соответственно. Пусть функции $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$ – решения соответствующих краевых задач (1)–(3), (5). Возможны 3 случая взаимного расположения областей $\Omega _{1}^{'}$ и $\Omega _{1}^{{''}}$.

Случай 1: $\overline {\Omega _{1}^{'}} $ и $\overline {\Omega _{1}^{{''}}} $ не имеют общих точек. Рассмотрим область $G = \Omega {\backslash }(\overline {\Omega _{1}^{'}} \cup \overline {\Omega _{1}^{{''}}} )$. Область $G$ является непустой и связной, а ее граница содержит кривые ${{\Gamma }_{0}}$, $\Gamma _{1}^{'}$ и $\Gamma _{1}^{{''}}$. С учетом (3) и (5) по теореме Хольмгрена функции $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$ совпадают на множестве $\overline G $. Тогда для функции $u{\kern 1pt} '(M)$ выполнено условие $u{\kern 1pt} '(M) \equiv {\text{const}}$, $M \in \Gamma _{1}^{{''}}$, следовательно, в силу единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа $u{\kern 1pt} '(M) \equiv {\text{const}}$, $M \in \overline {\Omega _{1}^{{''}}} $. Так как $\overline {\Omega _{1}^{{''}}} {\backslash }\overline {\Omega _{1}^{'}} $, то гармоническая в области $\Omega {\backslash }{{\Omega }_{1}}$ функция $u{\kern 1pt} '(M)$ является константой, что противоречит условию (3).

Случай 2: $\overline {\Omega _{1}^{'}} $ и $\overline {\Omega _{1}^{{''}}} $ пересекаются, но не вложены друг в друга, т.е. не выполнено $\overline {\Omega _{1}^{'}} \subset \Omega _{1}^{{''}}$ или $\overline {\Omega _{1}^{{''}}} \subset \Omega _{1}^{'}$. По теореме Хольмгрена функции $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$ совпадают на связном подмножестве $W \in \overline \Omega {\backslash }(\Omega _{1}^{'} \cup \Omega _{1}^{{''}})$, содержащем кривую ${{\Gamma }_{0}}$. Так как $\overline {\Omega _{1}^{'}} $ и $\overline {\Omega _{1}^{{''}}} $ не вложены друг в друга, то подмножество $W$ содержит хотя бы одну общую точку кривых $\Gamma _{1}^{'}$ и $\Gamma _{1}^{{''}}$. Из этого следует, что значения функций $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$ на этих кривых совпадают. Будем считать, что множество $\Omega _{1}^{'}{\backslash }\overline {\Omega _{1}^{{''}}} $ не пусто (в противном случае рассмотрим множество $\Omega _{1}^{{''}}{\backslash }\overline {\Omega _{1}^{'}} $). Из этого множества можно выделить непустую односвязную область $G{\kern 1pt} '$, граница которой состоит из точек, принадлежащих кривым $\Gamma _{1}^{'}$ или $\Gamma _{1}^{{''}}$. Внутри области $G'$ функция $u{\kern 1pt} ''(M)$ удовлетворяет уравнению Лапласа, а на границе принимает постоянное значение, следовательно, является константой всюду в $\overline {G'} $. По аналогии с предыдущим случаем получаем противоречие с условием (3).

Случай 3. Имееет место вложение, пусть $\overline {\Omega _{1}^{{''}}} \subset \Omega _{1}^{'}$. По теореме Хольмгрена функции $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$ совпадают на множестве $\overline \Omega {\backslash }\Omega _{1}^{'}$. Пусть $u{\kern 1pt} ''(M) \equiv a$, $M \in \Gamma _{1}^{'}$ и $u{\kern 1pt} ''(M) \equiv b$, $M \in \Gamma _{1}^{{''}}$. Из условия (5) и равенства нулю интеграла от нормальной производной гармонической функции по границе области, в которой она определена, следует, что

Это условие выполняется и для гармонической в области $\Omega _{1}^{'}{\backslash }\overline {\Omega _{1}^{{''}}} $ функции $v = u{\text{''}} - a$. Заметим, что функция $v$ удовлетворяет условиям леммы 1, следовательно, равенство нулю интеграла от нормальной производной этой функции по кривой ${{\Gamma }_{1}}$ может выполняться только при $a = b$. Последнее означает, что функция $u''(M)$ является константой. Получаем противоречие с условием (3).

Таким образом, исключены все возможные случаи взаимного расположения различных областей $\Omega _{1}^{'}$ и $\Omega _{1}^{{''}}$, следовательно, эти области совпадают, и по теореме Хольмгрена также совпадают $u{\kern 1pt} '(M)$ и $u{\kern 1pt} ''(M)$.

4. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Для численного решения обратной задачи (1)–(3), (5) предлагается метод, основанный на принципах, использованных в работах [13]–[15] для построения численных методов решения задач электроимпедансной томографии в случае кусочно-постоянной проводимости. Метод основан на представлении функций $u(M)$ в виде суммы потенциалов простого слоя, построении нелинейного операторного уравнения относительно функции, задающей неизвестную границу ${{\Gamma }_{1}}$, и решении полученного уравнения итерационным методом.

Воспользуемся условием гладкости на функцию $u(M) \in {{C}^{1}}(\overline {{{\Omega }_{0}}} )$ и продифференцируем уравнение (2) по направлению касательной ${{l}_{M}}$ к кривой ${{\Gamma }_{1}}$. Получим следующее уравнение, эквивалетное уравнению (2) в случае, если значение $a$ неизвестно:

Представим функцию $u(M)$ в виде суммы потенциалов простого слоя: Используя введенное представление для функции $u(M)$, уравнения (3), (4), (6), а также свойства потенциала простого слоя, получаем следующую систему интегральных уравнений для плотностей потенциалов $\mu (M)$, $\nu (M)$: где ${{n}_{M}}$ – внешняя нормаль к кривой ${{\Gamma }_{0}}$ в точке $M$.

Для параметризации кривых ${{\Gamma }_{0}}$ и ${{\Gamma }_{1}}$ в полярной системе координат сделаем дополнительное предположение относительно класса неизвестных кривых ${{\Gamma }_{1}}$. Пусть известна точка ${{M}_{0}}$, являющаяся общим центром звездности для всех кривых из этого класса, и кривые ${{\Gamma }_{1}}$ задаются в полярной системе координат с центром в точке ${{M}_{0}}$ функциями $r(\psi ):r(\psi ) \in {{C}^{2}}[0,2\pi ]$, причем $\mathop {\left\| r \right\|}\nolimits_{{{C}^{2}}[0,2\pi ]} \leqslant {{c}_{0}}$, где ${{c}_{0}}$ – фиксированное число. Будем считать, что внешняя граница ${{\Gamma }_{0}}$ задается в той же полярной системе координат функцией $R(\psi ):R(\psi ) \in {{C}^{2}}[0,2\pi ]$.

Запишем уравнения (8)–(10) в полярной системе координат. Пусть на кривой ${{\Gamma }_{0}}$ точки $M({{x}_{M}},{{y}_{M}})$ и $P({{x}_{P}},{{y}_{P}})$ имеют следующие представления в полярной системе координат: ${{x}_{M}} = R(\psi )cos\psi $, ${{y}_{M}} = R(\psi )sin\psi $, ${{x}_{P}} = R(\varphi )cos\varphi $, ${{y}_{P}} = R(\varphi )sin\varphi $. Аналогично на кривой ${{\Gamma }_{1}}$ точки $M({{x}_{M}},{{y}_{M}})$ и $P({{x}_{P}},{{y}_{P}})$ имеют следующие представления: ${{x}_{M}} = r(\psi )cos\psi $, ${{y}_{M}} = r(\psi )sin\psi $, ${{x}_{P}}\, = $ $ = \,r(\zeta )cos\zeta $, ${{y}_{P}}\, = \,r(\zeta )sin\zeta $. Обозначим $f(\psi )\, = \,f(R(\psi )cos\psi ,R(\psi )sin\psi )$, $\mu (\psi )\, = \,\mu (R(\psi )cos\psi ,$ $R(\psi )sin\psi )$, $\nu (\psi ) = \nu (r(\psi )cos\psi ,r(\psi )sin\psi )$.

Уравнение (8) в полярных координатах принимает вид

где функции $N(\varphi ,\psi )$ и $M(\zeta ,\psi ;r)$ определяются в виде В обозначении $M(\zeta ,\psi ;r)$ подчеркивается зависимость этой функции от функции $r(\psi )$. Аналогичное обозначение будет далее использоваться для всех функций, зависящих от $r(\psi )$.

Переходя к полярным координатам в уравнении (9), получаем

где а функция $Q(\zeta ,\psi ;r)$ задается в виде

Уравнение (9) после перехода к полярным координатам принимает вид

Здесь функции $S(\varphi ,\psi )$ и $T(\zeta ,\psi ;r)$ определяются уравнением

Используя представление (7) и введенную полярную систему координат, получаем из условия (5) для нормальной производной функции $u(M)$ на границе ${{\Gamma }_{0}}$ следующее уравнение:

где $g(\psi ) = g(R(\psi )cos\psi ,R(\psi )sin\psi )$. Полученное уравнение будем трактовать как операторное уравнение относительно неизвестной функции $r(\psi )$, задающей границу ${{\Gamma }_{1}}$. Для вычисления функции $(A[f]r)(\psi )$, являющейся результатом действия оператора $A[f]$ на функцию $r(\psi )$, необходимо при заданных $f(\psi )$ и $r(\psi )$ решить систему интегральных уравнений (11)–(13) и определить плотности потенциалов $\mu (\psi ;r)$, $\nu (\psi ;r)$, а затем вычислить значение интегрального оператора, стоящего в левой части уравнения (14).

Для решения построенного операторного уравнения (15) используем итерационный метод. В качестве начального приближения неизвестной кривой ${{r}_{0}}(\psi )$ выберем окружность. Радиус окружности выбирается так, чтобы на нем достигался минимум функционала невязки в уравнении (15). Эта задача сводится к минимизации функции одной переменной и решается стандартными методами (см. [16]). Пусть ${{r}_{n}}(\psi )$ – функция, полученная на n-м шаге итерационного процесса. Для нахождения функции ${{r}_{{n + 1}}}(\psi )$ уравнение (15) линеаризуется в окрестности функции ${{r}_{n}}(\psi )$ и получается линейное операторное уравнение для функции ${{\rho }_{n}}(\psi )$, представляющей собой поправку к функции ${{r}_{n}}(\psi )$

В результате решения этого уравнения определяется функция ${{\rho }_{n}}(\psi )$, позволяющая найти ${{r}_{{n + 1}}}(\psi )$:

Численная реализация предложенного метода проводится следующим образом. На отрезке $[0,2\pi ]$ вводятся две сетки, одна используется для функций, определенных на границе ${{\Gamma }_{0}}$, другая – для функций на границе ${{\Gamma }_{1}}$. В уравнениях (11)–(14), (16) все функции заменяются на сеточные аналоги, а интегралы на квадратурные формулы. В результате задача решения уравнения (16) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений для неизвестной сеточной функции ${{\rho }_{n}}({{\psi }_{i}})$. Для решения полученной СЛАУ применяется метод регуляризации Тихонова. Величина параметра регуляризации согласовывается с точностью задания исходной информации и с шагом итерационного процесса $n$.

Приведем результаты вычислительных экспериментов по применению предложенного численного метода решения обратной задачи (1)–(3), (5). В первом вычислительном эксперименте в качестве границы ${{\Gamma }_{0}}$ была выбрана окружность радиуса 2, неизвестная граница ${{\Gamma }_{1}}$ представляла собой эллипс с большой полуосью 0.75, смещенный относительно центра внешней окружности (см. фиг. 1). Значение функции $u(M)$ на ${{\Gamma }_{0}}$ задавалось в полярной системе координат с центром, совпадающим с центром окружности ${{\Gamma }_{0}}$ следующей формулой:

Схема вычислительного эксперимента была такова. С заданными ${{\Gamma }_{0}}$, ${{\Gamma }_{1}}$ и $f(\psi )$ решалась краевая задача (1)–(4) и находилась функция $g(\psi )$, представляющая собой значение нормальной производной $u(M)$ на ${{\Gamma }_{0}}$. В эту функцию вносилась погрешность и получалась функция ${{g}_{\delta }}(\psi )$ такая, что ${{\left\| {g(\psi ) - {{g}_{\delta }}(\psi )} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,2\pi ]}}}{\text{/}}{{\left\| {g(\psi )} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,2\pi ]}}} = 0.03$. Далее с функцией ${{g}_{\delta }}(\psi )$, взятой в качестве исходных данных, итерационным методом решалась обратная задача (1)–(3), (5). В качестве начального приближения неизвестной границы ${{\Gamma }_{1}}$ была определена окружность $\Gamma _{1}^{0}$ (см. фиг. 1). Расчеты проводились при выборе равномерных сеток на кривых ${{\Gamma }_{0}}$ и ${{\Gamma }_{1}}$, содержащих 200 и 100 узлов соответственно. На фиг. 1 представлен результат решения обратной задачи $\Gamma _{1}^{7}$, полученный на 7-й итерации. Критерием останова служило достижение уровня погрешности по невязке.

Во втором вычислительном эксперименте граница ${{\Gamma }_{0}}$, значение функции $u(M)$ на этой границе и параметры сеток были выбраны такие же, как в первом вычислительном эксперименте. Граница ${{\Gamma }_{1}}$ задавалась кубическим сплайном (см. фиг. 2). Уровень погрешности, вносимый в функцию ${{g}_{\delta }}(\psi )$: ${{\left\| {g(\psi ) - {{g}_{\delta }}(\psi )} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,2\pi ]}}}{\text{/}}{{\left\| {g(\psi )} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,2\pi ]}}} = 0.03$. На фиг. 2 изображен результат решения обратной задачи $\Gamma _{1}^{{11}}$, полученный на 11-й итерации с начальным приближением $\Gamma _{1}^{0}$. Критерием останова служило достижение уровня погрешности по невязке.