1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 1, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 1, стр. 71-86

O функции Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре
В. В. Карачик

В. В. Карачик

ЮУр Гос. ун-т
454080 Челябинск, пр-т Ленина, 76, Россия

Поступила в редакцию 25.05.2018
После доработки 23.07.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Определяется элементарное решение бигармонического уравнения. С помощью свойств многочленов Гегенбауэра получено разложение этого элементарного решения и некоторой связанной с ним функции в ряд по полной системе ортогональных на единичной сфере однородных гармонических многочленов. Затем строится функция Грина задачи Дирихле для бигармонического уравнения в единичном шаре в случае размерности пространства больше двух $n > 2$. При $n > 4$ получено разложение функции Грина по полной системе ортогональных на единичной сфере однородных гармонических многочленов. С помощью этого разложения вычислен интеграл по единичному шару с ядром из функции Грина от однородного гармонического многочлена, умноженного на положительную степень нормы независимой переменной. Найдена функция Грина в случае $n = 2$. Библ. 25.

Ключевые слова: функция Грина, бигармоническое уравнение, задача Дирихле.

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно (см., например, [1]), что функция Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в шаре при $n \geqslant 2$ имеет вид

(1)
$G(x,\xi ) = E(x,\xi ) - E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right),$
где
(2)
$E(x,\xi ) = \left\{ \begin{gathered} \tfrac{1}{{n - 2}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{{2 - n}}},\quad n > 2, \hfill \\ - ln\left| {x - \xi } \right|,\quad n = 2, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
есть элементарное решение уравнения Лапласса (см. [1]). Явная форма функции Грина в секторе для бигармонического и тригармонического уравнений приведена в работах [2], [3]. Функция Грина задачи Неймана для уравнения Пуассона в полупространстве $\mathbb{R}_{ + }^{n}$ в явном виде построена в [4], а функция Грина для задачи Робена в круге в [5]–[7]. Отметим также работы [8], [9], которые посвящены построению функции Грина для задачи Дирихле для полигармонического уравнения в единичном шаре и работы [10], [11], где найден оператор Грина задачи Дирихле для бигармонического и полигармонического уравнения в единичном шаре при полиномиальных данных. В работах [12], [13] найдена функция Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона. В работах [14], [15] дано представление функции Грина для классических внешней и внутренней задач Неймана для уравнения Пуассона в единичном шаре.

Работа устроена следующим образом. Сначала, в леммах 1 и 2 из разд. 2 дается представление функции Грина задачи Дирихле для уравнения Пуассона в виде рядов по полной системе ортогональных на единичной сфере гармонических многочленов $\left\{ {H_{m}^{{(i)}}(x){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{m}},\;m \in {{\mathbb{N}}_{0}}} \right\}$. Затем, в теореме 1 из разд. 3, с помощью представления производящей функции для многочленов Гегенбауэра $C_{k}^{\lambda }[t]$ порядка $\lambda = n{\text{/}}2 - 2$ в виде (8), связи многочленов Гегенбауэра порядка $n{\text{/}}2 - 2$ и порядка $n{\text{/}}2 - 1$ из леммы 5 и разложения (11), получено представление элементарного решения бигармонического уравнения ${{E}_{4}}(x,\xi )$ в виде (10). После этого в теореме 2 из разд. 4, на основании лемм 6–8 построена функция Грина ${{G}_{4}}(x,\xi )$ задачи Дирихле (3), (4) в виде (19). В теореме 3 получено разложение функции Грина ${{G}_{4}}(x,\xi )$ по системе $\left\{ {H_{m}^{{(i)}}(x){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{m}},\;m \in {{\mathbb{N}}_{0}}} \right\}$. В теореме 4 вычислен интеграл по единичному шару $S$ с ядром из функции Грина ${{G}_{4}}(x,\xi )$ от функции вида $f(x) = {{\left| x \right|}^{{2l}}}{{H}_{m}}(x)$, где ${{H}_{m}}(x)$ – однородный степени $m \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ гармонический многочлен и $l \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$. Наконец, в теореме 5 построена функция Грина при $n = 2$.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

Пусть $S = \left\{ {x \in {{\mathbb{R}}^{n}}:\left| x \right| < 1} \right\}$ – единичный шар в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ и $f \in {{C}^{1}}(\bar {S})$. Рассмотрим в $S$ однородную задачу Дирихле для бигармонического уравнения

(3)
${{\Delta }^{2}}u(x) = f(x),\quad x \in S,$
(4)
${{\left. u \right|}_{{\partial S}}} = 0,\quad {{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial \nu }}} \right|}_{{\partial S}}} = 0,$
где $\nu $ – единичная внешняя нормаль к сфере $\partial S$.

Пусть $\left\{ {H_{k}^{{(i)}}(x){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{k}},\;k \in {{\mathbb{N}}_{0}}} \right\}$ – полная система однородных степени $k \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ ортогональных сферических гармоник (см., например, [16]), нормированных так, что

$\int\limits_{\partial S} {{{{\left( {H_{k}^{{(i)}}(\xi )} \right)}}^{2}}} d{{s}_{\xi }} = {{\omega }_{n}},$
где
${{h}_{k}} = \frac{{2k + n - 2}}{{n - 2}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k + n - 3} \\ {n - 3} \end{array}} \right),\quad n > 2;\quad {{h}_{k}} = 2,\quad n = 2,$
есть размерность базиса однородных гармонических многочленов степени $k$ (см. [17]), а ${{\omega }_{n}}$ – площадь единичной сферы $\partial S$.

Лемма 1. Справедливо следующее представление элементарного решения (2) уравнения Лапласа:

$\begin{gathered} E(x,\xi ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ),\quad n > 2, \\ E(x,\xi ) = - ln\left| x \right| + \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - 2k}}}}}{{2k}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ),\quad n = 2, \\ \end{gathered} $
для $\left| \xi \right| < \left| x \right|$. Здесь ряды 1) сходятся равномерно по $\xi $ при $\left| \xi \right| < a < \left| x \right|$ и фиксированном $x$; 2) сходятся равномерно по $x$ при $\left| \xi \right| < a < \left| x \right|$ и фиксированном $\xi $. Если $\left| x \right| < \left| \xi \right|$, то в полученном представлении справа переменные $x$ и $\xi $ надо поменять местами.

Доказательство. В [18, Лемма 3] доказано первое представление леммы и утверждения о равномерной сходимости рядов, которое в силу схожести рядов распространяется и на второе представление леммы. Докажем его. Преобразуем выражение

$F(x,\xi ) = - ln\left| x \right| + \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - 2k}}}}}{{2k}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi )$
при $n = 2$ и $\left| \xi \right| < \left| x \right|$. В этом случае ${{h}_{k}} = 2$. Полагая $({{x}_{1}},{{x}_{2}}) = \rho (cos\varphi ,\;sin\varphi )$ и $({{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}}) = r(cos\psi ,\;sin\psi )$ будем иметь $H_{k}^{{(1)}}(x) = \sqrt 2 {{\rho }^{k}}cosk\varphi $, $H_{k}^{{(2)}}(x) = \sqrt 2 {{\rho }^{k}}sink\varphi $ и соответственно $H_{k}^{{(1)}}(\xi ) = \sqrt 2 {{r}^{k}}cosk\psi $, $H_{k}^{{(2)}}(\xi ) = \sqrt 2 {{r}^{k}}sink\psi $, поскольку эти многочлены образуют базис и нормированны должным образом

$\int\limits_{\partial S} {{{{\left( {H_{k}^{{(1)}}(x)} \right)}}^{2}}} d{{s}_{x}} = 2\int\limits_0^{2\pi } {co{{s}^{2}}} k\varphi = 2\pi = {{\omega }_{2}}.$

Поэтому при $r < \rho $ будем иметь

$F(x,\xi ) = - ln\rho + \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{\rho }^{{ - 2k}}}}}{k}{{\rho }^{k}}{{r}^{k}}(cosk\varphi cosk\psi + sink\varphi sink\psi ) = - ln\rho + \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k}{{\left( {\frac{r}{\rho }} \right)}^{k}}cosk(\varphi - \psi ).$

Известно следующее разложение в ряд Фурье:

$ln\left( {1 - 2qcos\varphi + {{q}^{2}}} \right) = - 2\sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{{{{q}^{n}}}}{n}cosn\varphi ,$
верное при $\left| q \right| < 1$. Из него находим
$\begin{gathered} F(x,\xi ) = - ln\rho - \frac{1}{2}ln\left( {1 - 2\frac{r}{\rho }cos(\varphi - \psi ) + \frac{{{{r}^{2}}}}{{{{\rho }^{2}}}}} \right) = \\ = \; - {\kern 1pt} ln\rho - \frac{1}{2}ln\frac{1}{{{{\rho }^{2}}}}\left( {{{\rho }^{2}} - 2r\rho cos(\varphi - \psi ) + {{r}^{2}}} \right) = - ln\rho + ln\rho - \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} - \;\frac{1}{2}ln\left( {{{\rho }^{2}} - 2r\rho cos(\varphi - \psi ) + {{r}^{2}}} \right) = - \frac{1}{2}ln\left( {{{\rho }^{2}}co{{s}^{2}}\varphi - 2r\rho cos\varphi cos\psi } \right. + \\ + \;{{r}^{2}}co{{s}^{2}}\psi + {{\rho }^{2}}\left. {si{{n}^{2}}\varphi - 2r\rho sin\varphi sin\psi + {{r}^{2}}si{{n}^{2}}\psi } \right) = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \; - {\kern 1pt} \frac{1}{2}ln\left( {{{{\left( {\rho cos\varphi - rcos\psi } \right)}}^{2}} + {{{\left( {\rho sin\varphi - rsin\psi } \right)}}^{2}}} \right) = \\ = \; - {\kern 1pt} ln\sqrt {{{{\left( {{{x}_{1}} - {{\xi }_{1}}} \right)}}^{2}} + {{{\left( {{{x}_{2}} - {{\xi }_{2}}} \right)}}^{2}}} = - ln\left| {x - \xi } \right| = E(x,\xi ). \\ \end{gathered} $
Если повторить вывод этой формулы в случае $\left| x \right| < \left| \xi \right|$ (в этом случае $q = \rho {\text{/}}r < 1$), то получим симметричность $E(x,\xi )$.

Лемма 2. Для $x,\xi \in S$ и $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ справедливо следующее представление функции Грина $G(x,\xi )$ задачи Дирихле:

$G(x,\xi ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}} - 1}}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ),\quad n > 2,$
$G(x,\xi ) = - ln\left| x \right| + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k)}}} - 1}}{k}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ),\quad n = 2.$

При $\left| \xi \right| > \left| x \right|$ в полученном представлении справа переменные $x$ и $\xi $ надо поменять местами.

Доказательство. Поскольку $\left| {x{\text{/}}\left| x \right|} \right| = 1$, а $\left| {\left| x \right|\xi } \right| = \left| x \right|\left| \xi \right| < 1$, то по лемме 1 имеем

(5)
$E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ),$
а значит, из формулы (1) при $n > 2$ и $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ находим

$G(x,\xi ) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}} - 1}}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ).$

Аналогично выводится и вторая формула леммы.

Исследуем теперь бигармоническое уравнение. Рассмотрим следующую функцию, определенную при $n \geqslant 2$:

(6)
${{E}_{4}}(x,\xi ) = \left\{ \begin{gathered} \tfrac{1}{{2(n - 2)(n - 4)}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}},\quad n > 4,\quad n = 3, \hfill \\ - \tfrac{1}{4}ln\left| {x - \xi } \right|,\quad n = 4, \hfill \\ \tfrac{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}}{4}\left( {ln\left| {x - \xi } \right| - 1} \right),\quad n = 2, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
которую по аналогии с функцией $E(x,\xi )$ назовем элементарным решением бигармонического уравнения.

Лемма 3. Функция ${{E}_{4}}(x,\xi )$, определенная при $\xi \ne x$, удовлетворяет равенству

${{\Delta }_{\xi }}{{E}_{4}}(x,\xi ) = - E(x,\xi ),$
и, значит, является бигармонической при $\xi \ne x$.

Доказательство. Пусть $n > 4$ или $n = 3$. Нетрудно проверить, что

$\frac{\partial }{{\partial {{\xi }_{i}}}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}} = \left( {2 - \frac{n}{2}} \right)2\left( {{{\xi }_{i}} - {{x}_{i}}} \right){{\left| {x - \xi } \right|}^{{2 - n}}} = (4 - n)\left( {{{\xi }_{i}} - {{x}_{i}}} \right){{\left| {x - \xi } \right|}^{{2 - n}}}$
и, значит,
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial \xi _{i}^{2}}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}} = (4 - n)\left( {{{{\left( {x - \xi } \right)}}^{{2 - n}}} + (2 - n){{{\left( {{{\xi }_{i}} - {{x}_{i}}} \right)}}^{2}}{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{{ - n}}}} \right).$
Поэтому
$\begin{gathered} {{\Delta }_{\xi }}{{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}} = (4 - n)\sum\limits_{i = 1}^n \left( {{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{{2 - n}}} + (2 - n){{{\left( {{{\xi }_{i}} - {{x}_{i}}} \right)}}^{2}}{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{{ - n}}}} \right) = \\ = \;(4 - n)\left( {n{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{{2 - n}}} + (2 - n){{{\left| {x - \xi } \right|}}^{{ - n}}}\sum\limits_{i = 1}^n \left( {{{\xi }_{i}} - {{x}_{i}}^{2}} \right)} \right) = 2(4 - n){{\left| {x - \xi } \right|}^{{2 - n}}}. \\ \end{gathered} $
Отсюда следует доказываемое равенство

${{\Delta }_{\xi }}{{E}_{4}}(x,\xi ) = - \frac{1}{{(n - 2)}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{{2 - n}}} = - E(x,\xi ).$

При $n = 4$ будем иметь

$\frac{\partial }{{\partial {{\xi }_{i}}}}ln\left| {x - \xi } \right| = \frac{{({{\xi }_{i}} - {{x}_{i}})}}{{{{{\left( {x - \xi } \right)}}^{2}}}},\quad \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial \xi _{i}^{2}}}ln\left| {x - \xi } \right| = \frac{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}} - 2{{{({{\xi }_{i}} - {{x}_{i}})}}^{2}}}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{4}}}}$
и, значит,

${{\Delta }_{\xi }}\left( { - \frac{1}{4}ln\left| {x - \xi } \right|} \right) = - \frac{1}{4}\frac{{2{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{4}}}} = - \frac{1}{2}\frac{1}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}} = - E(x,\xi ).$

При $n = 2$ будем иметь

$\frac{\partial }{{\partial {{\xi }_{i}}}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{2}}ln\left| {x - \xi } \right| = 2({{\xi }_{i}} - {{x}_{i}})ln\left| {x - \xi } \right| + {{\left| {x - \xi } \right|}^{2}}\frac{{{{\xi }_{i}} - {{x}_{i}}}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}},$
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial \xi _{i}^{2}}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{2}}ln\left| {x - \xi } \right| = 2ln\left| {x - \xi } \right| + 4\frac{{{{{({{\xi }_{i}} - {{x}_{i}})}}^{2}}}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}} + {{\left| {x - \xi } \right|}^{2}}\frac{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}} - 2{{{({{\xi }_{i}} - {{x}_{i}})}}^{2}}}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{4}}}}$
и, значит,

${{\Delta }_{\xi }}\left( {{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}ln\left| {x - \xi } \right|} \right) = 4ln\left| {x - \xi } \right| + 4.$

Поэтому

${{\Delta }_{\xi }}\left( {\frac{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}}{4}(ln\left| {x - \xi } \right| - 1)} \right) = ln\left| {x - \xi } \right| + 1 - 1 = - E(x,\xi ).$

Лемма доказана.

Обозначим через $C_{k}^{\lambda }[t]$ многочлен Гегенбауэра степени $k$. Он может быть представлен в виде [17, с. 177]

(7)
$C_{k}^{\lambda }[t] = \sum\limits_{m = 0}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(\lambda )}}_{{k - m}}}}}{{m!(k - 2m)!}}{{(2t)}^{{k - 2m}}},$
где ${{(\lambda )}_{k}} = \lambda (\lambda + 1) \ldots (\lambda + k - 1)$, причем ${{(\lambda )}_{0}} = 1$. Нетрудно подсчитать, что $C_{0}^{\lambda }[t] = 1$ и

$C_{1}^{\lambda }[t] = \sum\limits_{m = 0}^0 \frac{{{{{( - 1)}}^{0}}{{{(\lambda )}}_{1}}}}{{0!1!}}{{(2t)}^{1}} = 2\lambda t.$

В дальнейшем изложении будем считать, что $C_{k}^{\lambda }[t] = 0$ при $k < 0$. Для $\left| \xi \right| = 1$, $\left| x \right| < 1$ и $m > 2$ верно следующее представление (см. [19]):

${{\left| {x - \xi } \right|}^{{2 - m}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty C_{k}^{{m/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}},$
где $(x,\xi )$ обозначает скалярное произведение в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Если здесь положить $m = n - 2$ и считать, что $n > 4$, то получим

(8)
${{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}}.$

Лемма 4. Следующая функция:

$C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}}$
при $n > 4$ и $\left| \xi \right| = 1$ является бигармоническим многочленом степени $k \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ по $x$.

Доказательство. Используя представление (7) многочлена Гегенбауэра, можно записать

$C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \sum\limits_{m = 0}^{\left[ {k/2} \right]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n{\text{/}}2 - 2)}}_{{k - m}}}}}{{m!(k - 2m)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(2(x,\xi ))}^{{k - 2m}}} = \sum\limits_{m = 0}^{k/2} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}},$
где ${{(n,2)}_{k}} = n(n + 2) \ldots (n + 2k - 2)$ – обобщенный символ Похгаммера [19]. Отсюда видно, что это многочлен степени $k$ по $x$. Используя равенства
$\Delta {{(x,\xi )}^{m}} = m(m - 1){{\left| \xi \right|}^{2}}{{(x,\xi )}^{{m - 2}}},\quad \Delta {{\left| x \right|}^{{2l}}} = 2l(2l + n - 2){{\left| x \right|}^{{2l - 2}}},$
нетрудно убедиться, что
$\Delta {{\left| x \right|}^{{2l}}}{{(x,\xi )}^{m}} = m(m - 1){{\left| \xi \right|}^{2}}{{\left| x \right|}^{{2l}}}{{(x,\xi )}^{{m - 2}}} + 2l(2l + n - 2 + 2m){{\left| x \right|}^{{2l - 2}}}{{(x,\xi )}^{m}}.$
Отсюда следует, что
$\begin{gathered} \Delta {{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}} = (k - 2m)(k - 2m - 1){{\left| \xi \right|}^{2}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m - 2}}} + \\ + \;2m(2k - 2m + n - 2){{\left| x \right|}^{{2m - 2}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}} \\ \end{gathered} $
и, значит, верна следующая цепочка равенств:
$\begin{gathered} \Delta C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \Delta \sum\limits_{m = 0}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}} = \\ = \;\sum\limits_{m = 0}^{[k/2 - 1]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m - 2)!}}{{\left| \xi \right|}^{2}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m - 2}}} + \\ \end{gathered} $
$ + \;\sum\limits_{m = 1}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m + 1}}}}}{{(2m - 2)!!(k - 2m)!}}{{\left| x \right|}^{{2m - 2}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}} + 2\sum\limits_{m = 1}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m - 2)!!(k - 2m)!}}{{\left| x \right|}^{{2m - 2}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}} = $
$\begin{gathered} = \;\left( {{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1} \right)\sum\limits_{m = 0}^{\left[ {k/2 - 1} \right]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m - 2)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m - 2}}} - 2\sum\limits_{m = 0}^{[k/2 - 1]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m - 1}}}}}{{(2m)!!(k - 2m - 2)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m - 2}}} = \\ = \; - {\kern 1pt} 2(n - 4)\sum\limits_{m = 0}^{[k/2 - 1]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m - 2}}}}}{{(2m)!!(k - 2m - 2)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m - 2}}} = - 2(n - 4)C_{{k - 2}}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{{k - 2}}}. \\ \end{gathered} $
Аналогично нетрудно получить
$\begin{gathered} \Delta C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \Delta \sum\limits_{m = 0}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m}}} = \\ = ({{\left| \xi \right|}^{2}} - 1)\sum\limits_{m = 0}^{[k/2 - 1]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m - 2)!}}{{\left| x \right|}^{{2m}}}{{(x,\xi )}^{{k - 2m - 2}}} = 0. \\ \end{gathered} $
Поэтому многочлен $C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {(x{\text{/}}\left| x \right|,\xi )} \right]{{\left| x \right|}^{k}}$ бигармонический при $\left| \xi \right| = 1$.

Лемма 5. При $n > 4$ и $k \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ справедливо равенство

(9)
$C_{k}^{{n/2 - 2}}[t] = \frac{{n - 4}}{{2k + n - 4}}\left( {C_{k}^{{n/2 - 1}}[t] - C_{{k - 2}}^{{n/2 - 1}}[t]} \right).$

Доказательство. Пусть сначала $k \geqslant 2$. Справедливы равенства

$C_{k}^{{n/2 - 1}}[t] - C_{{k - 2}}^{{n/2 - 1}}[t] = \sum\limits_{m = 0}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m)!}}{{t}^{{k - 2m}}} - $
$ - \;\sum\limits_{m = 0}^{[k/2 - 1]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m - 2}}}}}{{(2m)!!(k - 2m - 2)!}}{{t}^{{k - 2m - 2}}} = \sum\limits_{m = 0}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m)!!(k - 2m)!}}{{t}^{{k - 2m}}} + $
$ + \;\sum\limits_{m = 1}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 2,2)}}_{{k - m - 1}}}}}{{(2m - 2)!!(k - 2m)!}}{{t}^{{k - 2m}}} = \frac{{2k + n - 4}}{{n - 4}}\sum\limits_{m = 1}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m - 2)!!(k - 2m)!}}{{t}^{{k - 2m}}} + \frac{{{{{(n - 2,2)}}_{k}}}}{{k!}}{{t}^{k}}.$

Последний член можно преобразовать к виду

$\frac{{{{{(n - 2,2)}}_{k}}}}{{k!}}{{t}^{k}} = \frac{{2k + n - 4}}{{n - 4}}\frac{{{{{(n - 4,2)}}_{k}}}}{{k!}}{{t}^{k}}$
и, значит,
$C_{k}^{{n/2 - 1}}[t] - C_{{k - 2}}^{{n/2 - 1}}[t] = \frac{{2k + n - 4}}{{n - 4}}\sum\limits_{m = 0}^{[k/2]} \frac{{{{{( - 1)}}^{m}}{{{(n - 4,2)}}_{{k - m}}}}}{{(2m - 2)!!(k - 2m)!}}{{t}^{{k - 2m}}} = \frac{{2k + n - 4}}{{n - 4}}C_{k}^{{n/2 - 2}}[t].$
Отсюда следует равенство (9).

Если считать, как отмечено выше, что $C_{{ - 2}}^{{n/2 - 1}}[t] = 0$ и $C_{{ - 1}}^{{n/2 - 1}}[t] = 0$, тогда равенство (9) верно при $k = 0$ (значения $C_{0}^{\lambda }[t]$ и $C_{1}^{\lambda }[t]$ были вычислены выше):

$C_{0}^{{n/2 - 2}}[t] = 1 = \frac{{n - 4}}{{n - 4}}C_{0}^{{n/2 - 1}}[t]$
и при $k = 1$ имеем

$C_{1}^{{n/2 - 2}}[t] = 2(n{\text{/}}2 - 2)t = (n - 4)t = \frac{{n - 4}}{{2 + n - 4}}(n - 2)t = \frac{{n - 4}}{{2 + n - 4}}2(n{\text{/}}2 - 1)t = \frac{{n - 4}}{{2 + n - 4}}C_{1}^{{n/2 - 1}}[t].$

Лемма полностью доказана.

3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОГО РЕШЕНИЯ

Теперь можно построить важное представление функции ${{E}_{4}}(x,\xi )$.

Теорема 1. Пусть $n > 4$. Для функции ${{E}_{4}}(x,\xi )$ при $\left| x \right| < \left| \xi \right|$ справедливо представление

(10)
${{E}_{4}}(x,\xi ) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ).$

При $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ соответствующая формула для ${{E}_{4}}(x,\xi )$ получается из формулы (10) перестановкой местами переменных $x$ и $\xi $.

Доказательство. Известно (см. [17]), что если $\left\{ {S_{k}^{{(i)}}(\xi ){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{k}}} \right\}$ – произвольная полная ортонормированная система сферических гармоник степени $k$ и $\left| x \right| = \left| \xi \right| = 1$, то справедливо равенство

$\frac{{C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {(x,\xi )} \right]}}{{C_{k}^{{n/2 - 1}}[1]}} = \frac{{{{\omega }_{n}}}}{{{{h}_{k}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,S_{k}^{{(i)}}(x)S_{k}^{{(i)}}(\xi ),$
где $C_{k}^{{n/2 - 1}}[1] = C_{{k + n - 3}}^{k}$. Отсюда, положив $S_{k}^{{(i)}}(x) = \left( {1{\text{/}}\sqrt {{{\omega }_{n}}} } \right)H_{k}^{{(i)}}(x)$, получим

(11)
$\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ) = \frac{{2k + n - 2}}{{n - 2}}C_{k}^{{n/2 - 1}}[(x,\xi )].$

Следовательно, при $\left| \xi \right| = 1$ и $\left| x \right| < 1$ будем иметь

$C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \frac{{n - 2}}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ).$

Рассмотрим бигармонический многочлен $C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {(x{\text{/}}\left| x \right|,\xi )} \right]{{\left| x \right|}^{k}}$ из леммы 4. Преобразуем его, используя равенство (9) из леммы 5. Будем иметь

$C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \frac{{n - 4}}{{2k + n - 4}}\left( {C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{{\left| x \right|}}^{k}} - {{{\left| x \right|}}^{2}}C_{{k - 2}}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{{\left| x \right|}}^{{k - 2}}}} \right).$

Вспомним равенство (8). Из него при $\left| \xi \right| = 1$ и $\left| x \right| < 1$ получим

$\begin{gathered} {{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty C_{k}^{{n/2 - 2}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{n - 4}}{{2k + n - 4}}C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} - \\ - \;{{\left| x \right|}^{2}}\sum\limits_{k = 2}^\infty \frac{{n - 4}}{{2k + n - 4}}C_{{k - 2}}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{{k - 2}}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{n - 4}}{{2k + n - 4}}C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]|x{{|}^{k}} - \\ - \;{{\left| x \right|}^{2}}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{n - 4}}{{2k + n}}C_{k}^{{n/2 - 1}}\left[ {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi } \right)} \right]{{\left| x \right|}^{k}} = \sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{n - 2}}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{{n - 4}}{{2k + n - 4}} - {{{\left| x \right|}}^{2}}\frac{{n - 4}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ). \\ \end{gathered} $

Снимем ограничение $\left| \xi \right| = 1$, но при этом будем считать, что $\left| x \right| < \left| \xi \right|$. В этом случае $\left| {x{\text{/}}\left| \xi \right|} \right| < 1$ и $\left| {\xi {\text{/}}\left| \xi \right|} \right| = 1$ и, значит, имеем

$\begin{gathered} {{\left| {x - \xi } \right|}^{{4 - n}}} = {{\left| \xi \right|}^{{4 - n}}}{{\left| {\frac{x}{{\left| \xi \right|}} - \frac{\xi }{{\left| \xi \right|}}} \right|}^{{4 - n}}} = (n - 2)(n - 4)\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{{ - (2k + n - 4)}}}}}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{\text{/}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right) \times \\ \times \;\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ) = (n - 2)(n - 4)\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ), \\ \end{gathered} $
откуда с учетом определения (6) функции ${{E}_{4}}(x,\xi )$ следует (10).

Для окончательного доказательства теоремы заметим, что в формуле (11) переменные $x$ и $\xi $ равноправны и, значит, если поменять их местами, то при выводе формулы для ${{E}_{4}}(x,\xi )$ при условии $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ мы получим формулу (10), в которой переменные $x$ и $\xi $ переставлены местами. Теорема доказана.

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА

Начнем построение функции Грина задачи (3), (4).

Лемма 6. Пусть $n > 4$. Для бигармонической функции ${{E}_{4}}\left( {x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi } \right)$ при $x,\xi \in S$ справедливо представление

(12)
${{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ),$
в котором ряды сходятся равномерно по $x \in \bar {S}$ при $\xi \in S$.

Доказательство. Обозначим $\hat {x} = \left| x \right|\xi $ и $\hat {\xi } = x{\text{/}}\left| x \right|$. Тогда $\left| {\hat {\xi }} \right| = 1$ и $\left| {\hat {x}} \right| = \left| x \right|\left| \xi \right| < \left| {\hat {\xi }} \right|$. Воспользуемся формулой (10) для представления функции ${{E}_{4}}(\hat {\xi },\hat {x})$

$\begin{gathered} {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = {{E}_{4}}(\hat {\xi },\hat {x}) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| {\hat {x}} \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(\hat {x})H_{k}^{{(i)}}(\hat {\xi }) = \\ = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{x}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ). \\ \end{gathered} $

В силу леммы 1 полученные ряды сходятся равномерно по $\left| x \right| \leqslant 1$ при $\left| \xi \right| \leqslant a < 1$, так как $\left| {\hat {x}} \right| = \left| x \right|\left| \xi \right| < a < 1 = \left| {\hat {\xi }} \right|$. Бигармоничность функции ${{E}_{4}}(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ по обеим переменным при $\xi \in S$ и $x \in \bar {S}$ следует из равенства

${{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}^{{4 - n}}} = \left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi {{|}^{{2 - n}}}} \right|{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}^{2}},$
поскольку функция ${{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}^{{2 - n}}}$ гармоническая (это преобразование Кельвина гармонической функции [21]) и
(13)
${{\left| {\frac{x}{{\left| x \right|}} - \xi \left| x \right|} \right|}^{2}} = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}} - 2\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\xi \left| x \right|} \right) + {{\left| \xi \right|}^{2}}{{\left| x \right|}^{2}} = 1 - 2(x,\xi ) + {{\left| \xi \right|}^{2}}{{\left| x \right|}^{2}},$
а произведение таких функций – бигармоническая функция. При $n = 3$ бигармоничность ${{E}_{4}}(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ доказывается аналогично. Лемма доказана.

Замечание 1. Функция в правой части формулы (12) симметрична относительно $x$ и $\xi $, а по левой части этого сразу не видно. Однако в силу (13) симметрия есть.

Нетрудно видеть, что функция

(14)
${{\hat {E}}_{4}}(x,\xi ) = {{E}_{4}}(x,\xi ) - {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)$
обладает свойством ${{\left. {{{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = 0$. В гармоническом случае эта разность давала функцию Грина (1) задачи Дирихле. В бигармоническом случае этого мало. Вычислим нормальную производную функции ${{\hat {E}}_{4}}(x,\xi )$ на $\partial S$. Для этого используем однородный оператор (см. [20]) $\Lambda u = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{x}_{i}}{{u}_{{{{x}_{i}}}}}$, который очевидно обладает свойством ${{\left. {\left( {\Lambda u - \tfrac{{\partial u}}{{\partial \nu }}} \right)} \right|}_{{\partial S}}} = 0$.

Лемма 7. При $\xi \in S$ и $x \in \partial S$ справедливо равенство

(15)
$\Lambda {{\hat {E}}_{4}}(x,\xi ) = \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ).$

Доказательство. Пусть точка $\xi \in S$ фиксированна. Если воспользоваться теоремой 1 при $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ и леммой 6, то будем иметь

$\begin{gathered} {{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi ) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ) - \\ - \;\frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ), \\ \end{gathered} $
а при $\left| x \right| < \left| \xi \right|$ переменные $x$ и $\xi $ следует поменять местами. Применим оператор $\Lambda $ к этому равенству. В силу равномерной сходимости рядов при $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ и $\xi \in S$, $x \in \bar {S}$ (см. леммы 1 и 6), дифференцирование можно внести под знак суммы. Затем перейдем к пределу при $x \to \partial S$ под знаком суммы, которое опять возможно в силу равномерной сходимости рядов по $x$. Будем иметь

$\begin{gathered} {{\Lambda }_{x}}{{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi ) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\left( { - \frac{{(k + n - 4)}}{{2k + n - 4}} + \frac{{(k + n - 2){{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right. - \\ - \;\left. {\frac{k}{{2k + n - 4}} + \frac{{(k + 2){{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ) = \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ). \\ \end{gathered} $

Лемма доказана.

Замечание 2. При фиксированном $\xi \in S$ справедливо равенство

(16)
${{\left. {\frac{{\partial v}}{{\partial \nu }}{{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}E{{\left. {\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)} \right|}_{{\partial S}}}.$

Действительно, используя формулу (5) из леммы 2 в равенстве (15) и свойства оператора $\Lambda $, получаем равенство (16).

Лемма 8. Пусть $w(x)$ – гармоническая в $S$, непрерывная в $\bar {S}$ функция, с ограниченными на $\partial S$ производными, тогда бигармоническая функция

(17)
$\text{v}(x) = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}w(x)$
обладает свойством

(18)
${{\left. \text{v} \right|}_{{\partial S}}} = 0,\quad {{\left. {\frac{{\partial \left. \text{v} \right|}}{{\partial \nu }}} \right|}_{{\partial S}}} = {{\left. {w(x)} \right|}_{{\partial S}}}.$

Доказательство. Из (17) видно, что $\text{v}(x)$ – бигармоническая в $S$ функция и ${{\left. \text{v} \right|}_{{\partial S}}} = 0$. Кроме того, имеем

$\Lambda \text{v}(x) = \Lambda \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}w(x) = {{\left| x \right|}^{2}}w(x) + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\Lambda w(x)$
и, значит, в силу ограниченности на $\partial S$ функции $\Lambda w(x)$, второе условие из (18) тоже выполнено. Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть $n \geqslant 3$. Функция

(19)
${{G}_{4}}(x,\xi ) = {{E}_{4}}(x,\xi ) - {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)$
является функцией Грина задачи Дирихле (3), (4). Функция Грина ${{G}_{4}}(x,\xi )$ – бигармоническая при $x,\xi \in S$ и $x \ne \xi $. Решение задачи (3), (4) при $f \in {{C}^{1}}(\bar {S})$ можно записать в виде

$u(x) = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S {{{G}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi .$

Доказательство. Пусть $n > 4$ или $n = 3$ и $\xi \in S$ фиксировано. Докажем, что функция ${{G}_{4}}(x,\xi )$ бигармоническая при $x \in S$ и $x \ne \xi $ и удовлетворяет однородным условиям (4). Бигармоничность функции ${{G}_{4}}(x,\xi )$ при $x \in S$ и $x \ne \xi $ следует из леммы 3, леммы 6 и леммы 8 (гармоничность $E(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ известна [1]). Далее, как уже отмечалось выше, при $\xi \in S$ справедливо равенство ${{\left. {{{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = 0$, а значит, так как функция $E(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ ограничена по $x \in \bar {S}$, первое условие из (4) выполнено

(20)
${{\left. {{{G}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = 0.$

Докажем второе условие. Рассмотрим гармоническую по $x \in S$ функцию

$w(x) = \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right).$

В этих обозначениях, по замечанию 2 из леммы 7 и по лемме 8, с учетом (14) найдем

(21)
${{\left. {\frac{\partial }{{\partial \nu }}{{G}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = {{\left. {\frac{\partial }{{\partial \nu }}{{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} - \frac{\partial }{{\partial \nu }}{{\left. {\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}w(x)} \right)} \right|}_{{\partial S}}} = {{\left. {{{{\left. {w(x)} \right|}}_{{\partial S}}} - w(x)} \right|}_{{\partial S}}} = 0.$

Случай $n > 4$ или $n = 3$ доказан. Пусть $n = 4$. Бигармоничность ${{E}_{4}}(x,\xi )$ при $x \ne \xi $ доказана в лемме 3. Если обозначить (с точностью до множителя –4)

${{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = ln\left| {\frac{x}{{\left| x \right|}} - \left| x \right|\xi } \right| = \frac{1}{2}ln\left| {1 - 2(x,\xi ) + {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}} \right|\frac{1}{2}lnt,$
то
$\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}{{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = \frac{{ - {{\xi }_{i}} + {{x}_{i}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t},\quad \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{i}^{2}}}{{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = - 2\frac{{{{{( - {{\xi }_{i}} + {{x}_{i}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}})}}^{2}}}}{{{{t}^{2}}}} + \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t}$
при $i = 1,\; \ldots ,\;4$ и, значит, получим

$\Delta {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = - 2\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}(1 - 2(x,\xi ) + {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}})}}{{{{t}^{2}}}} + 4\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t} = 2\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t} = \frac{{2{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}}^{2}}}} = \frac{{2{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| {x{\text{/}}{{{\left| x \right|}}^{2}} - \xi } \right|}}^{2}}}}.$

Последняя функция является преобразованием Кельвина по $x$ гармонической при $n = 4$ функции $2{{\left| \xi \right|}^{2}}{\text{/}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{2}}$, а поскольку преобразование Кельвина сохраняет гармоничность [21], то эта функция гармоническая по $x \in S$, а значит, ${{E}_{4}}(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ – бигармоническая функция.

Проверим граничные условия (4). Начнем со второго. Нетрудно вычислить

$ - 4{{\Lambda }_{x}}{{E}_{4}}(x,\xi ) = {{\Lambda }_{x}}ln\left| {x - \xi } \right| = \sum\limits_{i = 1}^4 \,{{x}_{i}}\frac{{{{x}_{i}} - {{\xi }_{i}}}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}} = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - (x,\xi )}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}}$
и
$ - 4{{\Lambda }_{x}}{{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = \frac{1}{2}{{\Lambda }_{x}}ln\left( {1 - 2(x,\xi ) + {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}} \right) = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^4 \,{{x}_{i}}\frac{{ - 2{{\xi }_{i}} + 2{{x}_{i}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{1 - 2(x,\xi ) + {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}} = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - (x,\xi )}}{{{{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}}^{2}}}},$
а поэтому при $x \in \partial S$ имеем

$\begin{gathered} {{\Lambda }_{x}}\left( {{{E}_{4}}(x,\xi ) - {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)} \right) = - \frac{1}{4}\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{{{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}}^{2}}}} = \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{{{{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}}^{2}}}} = \\ = \;\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) = {{\Lambda }_{x}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Отсюда после перенесения функции справа в левую часть равенства получаем, что при $n = 4$ функция ${{G}_{4}}(x,\xi )$ из (19) при $x \in S$ удовлетворяет условию (21) ${{\left. {\tfrac{\partial }{{\partial \nu }}{{G}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = 0$. Условие (20) ${{\left. {{{G}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{\partial S}}} = 0$, где $x \in S$, очевидно тоже выполнено.

Известно (см. [21, с. 25]), что интегралы типа потенциала

$\int\limits_S {\frac{{\rho (\xi )}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{\alpha }}}}d\xi } $
являются функциями класса ${{C}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ при ограниченной интегрируемой функции $\rho (x)$, причем дифференцирование возможно под знаком интеграла при всяком целом неотрицательном $p$ таком, что $\alpha + p < n$. В нашем случае $\alpha = n - 4$, а значит, для интеграла
${{u}_{1}}(x) = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S {{{E}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi $
$p = 3$ и ${{u}_{1}} \in {{C}^{3}}({{\mathbb{R}}^{n}})$. Поэтому, учитывая лемму 3, при $x \in S$ получаем
$\Delta {{u}_{1}}(x) = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S {\Delta {{E}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi = - \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S E (x,\xi )f(\xi )d\xi ,$
а значит, верно

${{\Delta }^{2}}{{u}_{1}}(x) = \Delta \left( { - \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S E (x,\xi )f(\xi )d\xi } \right) = f(x),\quad x \in S.$

Условие $f \in {{C}^{1}}(\bar {S})$ необходимо для выполнения равенства $\Delta (\Delta {{u}_{1}}(x)) = f(x)$ в $S$ (см. [1]). Далее, в силу леммы 6, функция

$ - {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1\left| \xi \right|}}{2}\frac{{^{2} - 1}}{2}E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)$
является бигармонической по $x$ в $S$ при любом $\xi \in S$ и ее можно дифференцировать по $x$ под знаком интеграла по $\xi $ любое число раз. Обозначая интеграл от этой функции, умноженной на $(1{\text{/}}{{\omega }_{n}})f(\xi )$, по $\xi \in S$ через ${{u}_{2}}(x)$, находим

${{\Delta }^{2}}{{u}_{2}}(x) = - \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S {\Delta _{x}^{2}} \left( {{{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1\left| \xi \right|}}{2}\frac{{^{2} - 1}}{2}E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right)} \right)f(\xi )d\xi = 0.$

Поэтому, учитывая (19), получаем

${{\Delta }^{2}}u(x) \equiv {{\Delta }^{2}}{{u}_{1}}(x) + {{\Delta }^{2}}{{u}_{2}}(x) = f(x).$

Наконец, в силу того, что $u \in {{C}^{3}}(\bar {S})$ из (20) и (21) найдем

${{\left. {u(x)} \right|}_{{\partial S}}} = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}{{\left. {\int\limits_S {{{G}_{4}}(x,\xi )} } \right|}_{{x \in \partial S}}}f(\xi )d\xi = 0,\quad {{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial \nu }}} \right|}_{{\partial S}}} = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}{{\left. {\int\limits_S {\frac{{\partial {{G}_{4}}(x,\xi )}}{{\partial \nu }}} } \right|}_{{x \in \partial S}}}f(\xi )d\xi = 0,$
а значит, условия (4) для $u(x)$ выполнены. Теорема доказана.

Вид функции Грина, полученный в теореме 2, отличается от найденного в [8].

Замечание 3. Функцию Грина ${{G}_{4}}(x,\xi )$ с учетом леммы 3 можно записать в виде

${{G}_{4}}(x,\xi ) = {{E}_{4}}(x,\xi ) - {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\Delta {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right).$

Теорема 3. Пусть $n > 4$. Функция ${{G}_{4}}(x,\xi )$ при $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ может быть записана в виде

(22)
$\begin{gathered} {{G}_{4}}(x,\xi ) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}} \right.\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right) - \frac{1}{{2k + n - 2}} \times \\ \times \;\left. {\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}} + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1} \right)} \right)} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ). \\ \end{gathered} $

При $\left| x \right| < \left| \xi \right|$ представление для ${{G}_{4}}(x,\xi )$ получается из (22) перестановкой местами переменных $x$ и $\xi $.

Доказательство. В лемме 7 при $\left| \xi \right| < \left| x \right|$ было получено представление

$\begin{gathered} {{{\hat {E}}}_{4}}(x,\xi ) = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ) - \\ - \;\frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{1}{{2k + n - 2}}\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{{2k + n}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)H_{k}^{{(i)}}(\xi ), \\ \end{gathered} $
которое для $\left| x \right| < \left| \xi \right|$ получается из данного представления перестановкой местами переменных $x$ и $\xi $. Вспоминая формулу (5) из леммы 2, формулу (14) для функции ${{\hat {E}}_{4}}(x,\xi )$ и определение функции ${{G}_{4}}(x,\xi )$ из (19) получим (22). Наконец, симметрия функции ${{G}_{4}}(x,\xi )$ и формулы (22) относительно $x$ и $\xi $ имеет место в силу замечания 1. Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть $f(x) = {{\left| x \right|}^{{2l}}}{{H}_{m}}(x)$, где ${{H}_{m}}(x)$ – однородный степени $m \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ гармонический многочлен, $l \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$ и $n > 4$. Тогда имеем

(23)
$\frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_{|\xi | < 1} {{{G}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}} - 1 - (l + 2)({{{\left| x \right|}}^{2}} - 1)}}{{{{C}_{{l,m}}}}}{{H}_{m}}(x),$
где ${{C}_{{l,m}}} = (2l + 2)(2l + 4)(2l + 2m + n)(2l + 2m + n + 2)$.

Доказательство. Пусть сначала $f(x) = {{\left| x \right|}^{{2l}}}H_{m}^{{(j)}}(x)$, где $H_{m}^{{(j)}}(x)$ – некоторый многочлен из полной системы $\left\{ {H_{m}^{{(i)}}(x){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{m}},\;m \in {{\mathbb{N}}_{0}}} \right\}$ однородных степени $m \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ ортогональных сферических гармоник и $l \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$. Обозначим левую часть формулы (23) через $u(x)$ и вычислим ее. Пусть $\varepsilon > 0$ настолько мало, что $\left| x \right| + \varepsilon < 1$ и $\left| x \right| - \varepsilon > 0$, тогда в силу интегрируемой особенности функции ${{G}_{4}}(x,\xi )$ имеем

$\begin{gathered} u(x) = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S {{{G}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi = \int\limits_0^1 {{{\rho }^{{n - 1}}}} d\rho \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_{|\xi | = 1} {{{G}_{4}}} (x,\rho \xi )f(\rho \xi )d{{s}_{\xi }} = \\ = \;\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to 0} \left( {\int\limits_0^{|x| - \varepsilon } + \int\limits_0^{|x| + \varepsilon } {\kern 1pt} } \right){{\rho }^{{n - 1}}}d\rho \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_{|\xi | = 1} {{{G}_{4}}} (x,\rho \xi )f(\rho \xi )d{{s}_{\xi }} \equiv \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} \left( {I_{1}^{\varepsilon }(x) + I_{2}^{\varepsilon }(x)} \right). \\ \end{gathered} $
Здесь интеграл $I_{1}^{\varepsilon }(x)$ при $x = 0$ нужно опустить. Вычислим первый интеграл $I_{1}^{\varepsilon }(x)$. Поскольку в этом интеграле $\left| \xi \right| < \left| x \right| - \varepsilon \equiv a < \left| x \right|$, то по лемме 1 ряд из (22), представляющий функцию ${{G}_{4}}(x,\xi ),$ сходится равномерно по $\xi $, а значит, интегрирование и суммирование можно поменять местами

$\begin{gathered} I_{1}^{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2}\int\limits_0^{|x| - \varepsilon } {{{\rho }^{{2l + m + n - 1}}}} \left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2k + n - 2)}}}}}{{2k + n - 2}}} \right.\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n - 4}} - \frac{{{{\rho }^{2}}}}{{2k + n}}} \right) - \frac{1}{{2k + n - 2}} \times \\ \times \;\left. {\left( {\frac{1}{{2k + n - 4}} - {{\rho }^{2}}\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2k + n}} + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {{{\rho }^{2}} - 1} \right)} \right)} \right)d\rho \,{{\rho }^{k}}\sum\limits_{i = 1}^{{{h}_{k}}} \,H_{k}^{{(i)}}(x)\frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_{|\xi | = 1} {H_{k}^{{(i)}}} (\xi )H_{m}^{{(j)}}(\xi )d{{s}_{\xi }}. \\ \end{gathered} $

Учитывая ортогональность многочленов системы $\left\{ {H_{k}^{{(i)}}(x){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{k}},\;k \in {{\mathbb{N}}_{0}}} \right\}$, будем иметь

$\begin{gathered} I_{1}^{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2}\int\limits_0^{|x| - \varepsilon } {{{\rho }^{{2l + 2m + n - 1}}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2m + n - 2)}}}}}{{2m + n - 2}}} \right.} \left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2m + n - 4}} - \frac{{{{\rho }^{2}}}}{{2m + n}}} \right) - \\ - \;\frac{1}{{2m + n - 2}}\left. {\left( {\frac{1}{{2m + n - 4}} - {{\rho }^{2}}\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2m + n}} + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {{{\rho }^{2}} - 1} \right)} \right)} \right)d\rho H_{m}^{{(j)}}(x) = \\ \end{gathered} $
$ = \;\frac{1}{2}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{ - (2m + n - 2)}}}}}{{2m + n - 2}}} \right.\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{(\left| x \right| - \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{(2l + 2m + n)(2m + n - 4)}} - \frac{{{{{(\left| x \right| - \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}}} \right) - $
$\begin{gathered} - \;\frac{1}{{2m + n - 2}}\left( {\frac{{{{{(\left| x \right| - \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{(2m + n - 4)(2l + 2m + n)}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{(\left| x \right| - \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} + } \right. \\ + \;\left. {\left. {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {\frac{{{{{(\left| x \right| - \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{2l + 2m + n + 2}} - \frac{{{{{(\left| x \right| - \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{2l + 2m + n}}} \right)} \right)} \right)H_{m}^{{(j)}}(x). \\ \end{gathered} $

В пределе при $\varepsilon \to + 0$ будем иметь

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} I_{1}^{\varepsilon }(x) = \frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2l + 2m + n)(2m + n - 4)}}} \right. - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} - \\ - \;\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{(2m + n - 4)(2l + 2m + n)}} + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n + 4}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} - \\ - \;\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left. {\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{2l + 2m + n + 2}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{2l + 2m + n}}} \right)} \right)H_{m}^{{(j)}}(x). \\ \end{gathered} $

Аналогично, используя симметричность ${{G}_{4}}(x,\xi )$, находим

$\begin{gathered} I_{2}^{\varepsilon }(x) = \frac{1}{2}\int\limits_{|x| + \varepsilon }^1 {{{\rho }^{{2l + 2m + n - 1}}}} \left( {\frac{{{{\rho }^{{ - (2m + n - 2)}}}}}{{2m + n - 2}}} \right.\left( {\frac{{{{\rho }^{2}}}}{{2m + n - 4}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2m + n}}} \right) - \frac{1}{{2m + n - 2}} \times \\ \times \;\left. {\left( {\frac{1}{{2m + n - 4}} - {{\rho }^{2}}\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{2m + n}} + \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {{{\rho }^{2}} - 1} \right)} \right)} \right)d\rho H_{m}^{{(j)}}(x) = \\ \end{gathered} $
$ = \;\frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( {\frac{{1 - {{{(\left| x \right| + \varepsilon )}}^{{2l + 4}}}}}{{(2l + 4)(2m + n - 4)}}} \right. - {{\left| x \right|}^{2}}\frac{{1 - {{{(\left| x \right| + \varepsilon )}}^{{2l + 2}}}}}{{(2m + n)(2l + 2)}} - $
$\begin{gathered} - \;\frac{{1 - {{{(\left| x \right| + \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{(2m + n - 4)(2l + 2m + n)}} + {{\left| x \right|}^{2}}\frac{{1 - {{{(\left| x \right| + \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} - \\ - \;\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left. {\left( {\frac{{1 - {{{(\left| x \right| + \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{2l + 2m + n + 2}} - \frac{{1 - {{{(\left| x \right| + \varepsilon )}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{2l + 2m + n}}} \right)} \right)H_{m}^{{(j)}}(x). \\ \end{gathered} $

В пределе при $\varepsilon \to + 0$ будем иметь

$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} I_{2}^{\varepsilon }(x) = \frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( {\frac{{1 - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2l + 4)(2m + n - 4)}}} \right. - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2m + n)(2l + 2)}} - \frac{{1 - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{(2m + n - 4)(2l + 2m + n)}} + \\ + \;\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n + 4}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left. {\left( {\frac{{1 - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n + 2}}}}}{{2l + 2m + n + 2}} - \frac{{1 - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 2m + n}}}}}{{2l + 2m + n}}} \right)} \right)H_{m}^{{(j)}}(x). \\ \end{gathered} $

Отсюда получаем

(24)
$\begin{gathered} u(x) = I_{1}^{0}(x) + I_{2}^{0}(x) = \frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2l + 2m + n)(2m + n - 4)}}} \right. - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} + \\ + \;\frac{{1 - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2l + 4)(2m + n - 4)}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - {{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}}}}{{(2m + n)(2l + 2)}} - \frac{1}{{(2m + n - 4)(2l + 2m + n)}} + \\ + \;\left. {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{(2m + n)(2l + 2m + n + 2)}} - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {\frac{1}{{2l + 2m + n + 2}} - \frac{1}{{2l + 2m + n}}} \right)} \right)H_{m}^{{(j)}}(x). \\ \end{gathered} $

С помощью Mathematica вычислим коэффициенты при ${{\left| x \right|}^{{2l + 4}}}H_{m}^{{(j)}}(x)$

$\begin{gathered} \frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( {\frac{1}{{(2l + 2m + n)(2m + n - 4)}}} \right. - \frac{1}{{(2m + n)(2 + 2l + 2m + n)}} - \\ - \;\frac{1}{{(2l + 4)(2m + n - 4)}} + \left. {\frac{1}{{(2l + 2)(2m + n)}}} \right) = \frac{1}{{{{C}_{{l,m}}}}}, \\ \end{gathered} $
при ${{\left| x \right|}^{2}}H_{m}^{{(j)}}(x)$
$\begin{gathered} \frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( { - \frac{1}{{(2l + 2)(2m + n)}}} \right. + \frac{1}{{(2l + 2m + n + 2)(2m + n)}} - \\ - \;\frac{1}{{2(2l + 2m + n + 2)}} + \left. {\frac{1}{{2(2l + 2m + n)}}} \right) = - \frac{{l + 2}}{{{{C}_{{l,m}}}}} \\ \end{gathered} $
и при $H_{m}^{{(j)}}(x)$
$\begin{gathered} \frac{1}{{2(2m + n - 2)}}\left( {\frac{1}{{(2l + 4)(2m + n - 4)}}} \right. - \frac{1}{{(2l + 2m + n)(2m + n - 4)}} + \\ + \;\frac{1}{{2(2l + 2m + n + 2)}} - \left. {\frac{1}{{2(2l + 2m + n)}}} \right) = \frac{{l + 1}}{{{{C}_{{l,m}}}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{C}_{{l,m}}} = (2l + 2)(2l + 4)(2l + 2m + n)(2l + 2m + n + 2)$. Подставляя найденные значения коэффициентов в (24), получаем
$u(x) = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}} - (l + 2){{{\left| x \right|}}^{2}} + l + 1}}{{{{C}_{{l,m}}}}}H_{m}^{{(j)}}(x),$
что совпадает с (23) при ${{H}_{m}}(x) = H_{m}^{{(j)}}(x)$.

В силу полноты системы $\left\{ {H_{m}^{{(i)}}(x){\text{:}}\;i = 1,\; \ldots ,\;{{h}_{m}},\;m \in {{\mathbb{N}}_{0}}} \right\}$ для однородного гармонического многочлена ${{H}_{m}}(x)$ верно представление ${{H}_{m}}(x) = \sum\nolimits_{j = 1}^{{{h}_{m}}} \,{{\alpha }_{j}}H_{m}^{{(j)}}(x)$, а значит, для $f(x) = {{\left| x \right|}^{{2l}}}{{H}_{m}}(x)$ имеем

$\begin{gathered} \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_{|\xi | < 1} {{{G}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi = \sum\limits_{j = 1}^{{{h}_{m}}} \,{{\alpha }_{j}}\frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_{|\xi | < 1} {{{G}_{4}}} (x,\xi ){{\left| \xi \right|}^{{2l}}}H_{m}^{{(j)}}(\xi )d\xi = \\ = \;\frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}} - 1 - (l + 2)\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1} \right)}}{{{{C}_{{l,m}}}}}\sum\limits_{j = 1}^{{{h}_{m}}} \,{{\alpha }_{j}}H_{m}^{{(j)}} = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{{2l + 4}}} - 1 - (l + 2)\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1} \right)}}{{{{C}_{{l,m}}}}}{{H}_{m}}(x). \\ \end{gathered} $

Теорема доказана.

Результат теоремы совпадает с результатом, полученным в [22] при $m \in {{\mathbb{N}}_{0}}$. Метод построения этих решений был основан на разложениях типа Альманси [23], [24]. Отметим, что полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения были построены в [25]. Теорему 2 можно дополнить следующим утверждением.

Теорема 5. Пусть $n = 2$. Следующая функция:

(25)
${{G}_{4}}(x,\xi ) = {{E}_{4}}(x,\xi ) - {{E}_{4}}\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) - \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) + \frac{1}{2}} \right)$
является функцией Грина задачи Дирихле (3), (4). Функция Грина ${{G}_{4}}(x,\xi )$ бигармоническая при $x,\xi \in S$ и $x \ne \xi $.

Доказательство. Докажем, что функция ${{G}_{4}}(x,\xi )$ бигармоническая при $x \in S$ и $x \ne \xi $ и удовлетворяет однородным условиям (4). Бигармоничность функции

${{E}_{4}}(x,\xi ) = \frac{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}}{4}\left( {ln\left| {x - \xi } \right| - 1} \right)$
при $x \ne \xi $ была установлена в лемме 3. Исследуем функцию ${{E}_{4}}(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$. Аналогично случаю $n = 4$ обозначим

$ln\left| {\frac{x}{{\left| x \right|}} - \left| x \right|\xi } \right| = \frac{1}{2}ln\left| {1 - 2(x,\xi ) + {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}} \right| \equiv \frac{1}{2}lnt.$

Тогда

$\frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}\frac{1}{2}lnt = \frac{{ - {{\xi }_{i}} + {{x}_{i}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t},\quad \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{i}^{2}}}\frac{1}{2}lnt = - 2\frac{{{{{( - {{\xi }_{i}} + {{x}_{i}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}})}}^{2}}}}{{{{t}^{2}}}} + \frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t}$
и, значит,
${{\Delta }_{x}}\frac{1}{2}lnt = - 2\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}\left( {1 - 2(x,\xi ) + {{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}}} \right)}}{{{{t}^{2}}}} + 2\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}}}}{t} = 0,$
т.е. $ln\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|$ – гармоническая по $x$ функция. Так как множитель перед логарифмом равен ${{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}^{2}} = 1 - 2(x,\xi ) + {{\left| x \right|}^{2}}{{\left| \xi \right|}^{2}}$, то функция ${{E}_{4}}(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ при $n = 2$ бигармоническая по $x$ при $x,\xi \in S$. Наконец, функция
$\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {E\left( {\frac{x}{{\left| x \right|}},\left| x \right|\xi } \right) + \frac{1}{2}} \right)$
бигармоническая, поскольку функция $E(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )$ – гармоническая функция при $x \in S$.

Проверим граничные условия (4). Начнем со второго. Нетрудно видеть, что

${{\Lambda }_{x}}{{\left| {x - \xi } \right|}^{2}} = 2\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}} - (x,\xi )} \right),\quad {{\Lambda }_{x}}ln\left| {x - \xi } \right| = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - (x,\xi )}}{{{{{\left| {x - \xi } \right|}}^{2}}}},$
а поэтому

$4{{\Lambda }_{x}}{{E}_{4}}(x,\xi ) = 2\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}} - (x,\xi )} \right)\left( {ln\left| {x - \xi } \right| - 1} \right) + {{\left| x \right|}^{2}} - (x,\xi ) = \left( {{{{\left| x \right|}}^{2}} - (x,\xi )} \right)\left( {2ln\left| {x - \xi } \right| - 1} \right).$

Аналогично случаю $n = 4$ имеем

${{\Lambda }_{x}}{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}^{2}} = 2\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - (x,\xi )} \right),\quad {{\Lambda }_{x}}ln\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right| = \frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - (x,\xi )}}{{{{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}}^{2}}}},$
а поэтому, поскольку оператор $\Lambda $ первого порядка, найдем

$\begin{gathered} 4{{\Lambda }_{x}}{{E}_{4}}\left( {x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi } \right) = 2\left( {{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - (x,\xi )} \right)\left( {ln\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right| - 1} \right) + \\ + \;{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}^{2}}\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - (x,\xi )}}{{{{{\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right|}}^{2}}}} = \left( {{{{\left| x \right|}}^{2}}{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - (x,\xi )} \right)\left( {2ln\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right| - 1} \right). \\ \end{gathered} $

Таким образом, при $x \in \partial S$ получим

$\begin{gathered} 4{{\Lambda }_{x}}({{E}_{4}}(x,\xi ) - {{E}_{4}}\left( {x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi )} \right) = \left( {2ln\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right| - 1} \right)\left( {1 - {{{\left| \xi \right|}}^{2}}} \right) = \\ = \;4\left( { - ln\left| {x{\text{/}}\left| x \right| - \left| x \right|\xi } \right| + \frac{1}{2}} \right)\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2} = 4\left( {\left( {E(x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi } \right) + \frac{1}{2}} \right)\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2} = \\ = \;4{{\Lambda }_{x}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}} - 1}}{2}\frac{{{{{\left| \xi \right|}}^{2}} - 1}}{2}\left( {E\left( {x{\text{/}}\left| x \right|,\left| x \right|\xi } \right) + \frac{1}{2}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $

После элементарных преобразований при $\xi \in S$ получим ${{\left. {\tfrac{\partial }{{\partial \nu }}{{G}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{x \in \partial S}}} = 0$. Условие ${{\left. {{{G}_{4}}(x,\xi )} \right|}_{{x \in \partial S}}} = 0$, где $\xi \in S$ очевидно тоже выполнено. Дальнейшее доказательство повторяет конец доказательства теоремы 2, в силу которого дифференцирование и предельный переход можно внести под знак интеграла в

$u(x) = \frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}\int\limits_S {{{G}_{4}}} (x,\xi )f(\xi )d\xi .$

Поэтому функция $u(x)$ задает решение задачи (3), (4) при $f \in {{C}^{1}}(\bar {S})$.

Список литературы

  1. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

  2. Ying Wang, Liuqing Ye. Biharmonic Green function and biharmonic Neumann function in a sector // Complex Variables Elliptic Equ. 2013. V. 58. № 1. P. 7–22.

  3. Ying Wang. Tri-harmonic boundary value problems in a sector // Complex Variables Elliptic Equ. 2014. V. 59. № 5. P. 732–749.

  4. Constantin E., Pavel N.H. Green function of the Laplacian for the Neumann problem in $\mathbb{R}_{ + }^{n}$ // Libertas Math. 2010. V. XXX. P. 57–69.

  5. Begehr H., Vaitekhovich T. Modified harmonic Robin function // Complex Variables Elliptic Equ. 2013. V. 58. № 4. P. 483–496.

  6. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the third boundary value problem for the Poisson equation in a circle // AIP Conf. Proc. 2014. V. 1611. P. 255–260.

  7. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. 2015. V. 6. № 3. P. 163–172.

  8. Kal’menov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Yu. Green function representation in the Dirichlet problem for polyharmonic equations in a ball // Dokl. Math. 2008. V. 421. № 3. P. 528–530.

  9. Kal’menov T.Sh., Suragan D. On a new method for constructing the Green function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation // Differ. Equ. 2012. V. 48. № 3. P. 441–445.

  10. Карачик В.В., Антропова Н.А. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре // Сибирский ж. индустриальной матем. 2012. T. XV. № 2. С. 86–98.

  11. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14. № 4–2. С. 550–558.

  12. Karachik V.V., Turmetov B.Kh. On Green’s function of the Robin problem for Poisson equation // Advances in Pure and Applied Mathematics. 2018. V. 9. № 2. (Published online).

  13. Карачик В.В., Турметов Б.Х. O функции Грина третьей краевой задачи для уравнения Пуассона // Матем. труды. 2018. Т. 21. № 1. С. 17–34.

  14. Садыбеков М.А., Торебек Б.Т., Турметов Б.Х. Представление функции Грина внешней задачи Неймана для оператора Лапласа // Сибирский матем. журнал. 2017. Т. 58. № 1. С. 199–205.

  15. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Turmetov B.Kh. Representation of Green’s function of the Neumann problem for a multi-dimensional ball // Complex Variables and Elliptic Equations. 2016. V. 61. № 1. P. 104–123.

  16. Karachik V.V. On one set of orthogonal harmonic polynomials // Proceedings of American Mathematical Society. 1998. V. 126. № 12. P. 3513–3519.

  17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966.

  18. Karachik V.V. A Neumann-type problem for the biharmonic equation // Siberian Adv. Math. 2017. V. 27. № 2. P. 103–118.

  19. Карачик В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 9. С. 1674–1694.

  20. Карачик В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 7. С. 1149–1170.

  21. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

  22. Карачик В.В. Решение задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре при полиномиальных данных // Дифференц. ур-ния. 2015. Т. 51. № 8. С. 1038–1047.

  23. Карачик В.В. Об одном разложении типа Альманси // Матем. заметки. 2008. Т. 83. № 3. С. 370–380.

  24. Карачик В.В. Об одном представлении аналитических функций гармоническими // Матем. труды. 2007. Т. 10. № 2. С. 142–162.

  25. Карачик В.В. Полиномиальные решения задачи Дирихле для 3-гармонического уравнения в шаре // Ж. Сибирского федерального ун-та. Матем. и физ. 2012. Т. 5. № 4. С. 527–546.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал