1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 1, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 1, стр. 158-168

Компактонные решения уравнения Кортевега–де Вриза с ограниченной нелинейной дисперсией
С. П. Попов

С. П. Попов

ВЦ ФИЦ ИУ РАН
119333 Москва, ул. Вавилова, 40, Россия

Поступила в редакцию 01.12.2017
После доработки 22.04.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Численным решением задач с начальными данными получены компактонные и коватонные решения уравнений K(f m, g n), обобщающих уравнения Кортевега–де Вриза K(u2, u1) и Розенау–Хаймана K(um, un) на случаи общих зависимостей нелинейности и дисперсии от решения u. Определяющие их вид функции f(u) и g(u) могут быть линейными или иметь вид “сглаженной ступеньки”. Установлено, что в зависимости от вида нелинейности и дисперсии существуют пикокомпактонные и пикосолитонные решения. Они представляют собой переходные формы, сочетающие свойства солитонов, компактонов и пиконов. Показано, что эти решения могут существовать на неоднородном и нестационарном фоне. Библ. 30. Фиг. 7.

Ключевые слова: уравнение KdV, уравнение mKdV, уравнение K(m, n), уравнение Розенау–Хаймана, уравнение K(cos), уравнение Розенау–Пиковского, компактон, коватон, солитон, пикон, пикокомпактон.

ВВЕДЕНИЕ

При математическом моделировании многих физических явлений заметное место занимают процессы, связанные с эволюцией нелинейных диспергирующих волн, локализованных в пространстве. Они возникают в виде волн в жидкостях, ионно-акустических волн в плазме (см. [1]–[3]), в физике элементарных частиц и теории поля (cм. [4]), описывают колебания упругих стержней и решеток связанных осцилляторов (см. [5]), а также определяют динамику доменных границ в магнетиках (см. [6], [7]) и распространение ультракоротких световых импульсов (см. [8]). Значительная часть этих моделей основывается на дифференциальных уравнениях в частных производных с нелинейными и дисперсионными слагаемыми, баланс которых приводит к появлению локализованных бегущих волн. Развитие областей физических приложений приводит к необходимости изменения соответствующих математических моделей за счет усложнения вида нелинейных и дисперсионных слагаемых (см. [9]) и введения коэффициентов, зависящих от координат и времени. Кроме прикладного значения, исследования возникающих уравнений дают вклад в общую теорию дифференциальных уравнений и способствуют развитию соответствующих аналитических и численных методов.

В данной работе рассматривается обобщение уравнения Кортевега–де Вриза (KdV)

(1)
${{\partial }_{t}}u + {{\partial }_{x}}{{u}^{2}} + {{\partial }_{{xxx}}}u = 0$
на случай более общих зависимостей от решения нелинейных и дисперсионных слагаемых в виде

(1a)
${{\partial }_{t}}u + {{\partial }_{x}}{{f}_{1}}{{(u)}^{m}} + {{\partial }_{{xxx}}}{{f}_{2}}{{(u)}^{n}} = 0.$

При f1(u) = f2(u) = u уравнение (1) превращается в уравнение Розенау–Хаймана K(m, n), предложенное в [10]:

(2)
${{\partial }_{t}}u + {{\partial }_{x}}{{u}^{m}} + {{\partial }_{{xxx}}}{{u}^{n}} = 0.$

Особенно подробно (см. [11]–[16]) для этого уравнения исследованы случаи m = n = 2 и m = = n = 3, когда существуют аналитические компактонные решения:

(2a)
$\begin{gathered} u(x,t) = {{[a{{\cos }^{2}}(b(x--{{x}_{0}}--ct))]}^{d}}\quad {\text{д л я }}\quad \left| {x--{{x}_{0}}--ct} \right| < \pi {\text{/}}2b, \\ u(x,t) = 0\quad {\text{д л я }}\quad \left| {x--{{x}_{0}}--ct} \right| > \pi {\text{/}}2b, \\ a = 2cn{\text{/}}(n + 1),\quad b = (n--1){\text{/}}2n,\quad d = 1{\text{/}}(n--1). \\ \end{gathered} $

Уравнение (2) имеет четыре сохраняющиеся во времени величины: интегралы по пространству от u(x, t), u(x, t)n, cos(u(x, t)) и sin(u(x, t)). Однопараметрическое решение (2а) зависит только от скорости c. Основное отличие от солитонов уравнения KdV заключается в ограниченной протяженности компактона в пространстве. Компактон на фронтах имеет разрыв производных.

В дальнейшем круг уравнений, содержащих компактонные решения, расширился и пополнился уравнением Розенау–Пиковского K(cos):

(3)
${{\partial }_{t}}u + {{\partial }_{x}}\cos (u) + {{\partial }_{{xxx}}}\cos (u) = 0.$

Оно не имеет аналитических решений, но в форме бегущей волны решения численно были найдены с большой точностью в работах [17], [18]. Эти решения имеют сходство с компактонами. Ограниченность нелинейности и дисперсии обусловливают существование у уравнения (3) кинковые и антикинковые решения, сумма которых дает новые решения в виде коватонов – компактонов с ограниченной на уровне π амплитудой и с произвольной шириной.

В данной работе численно решается уравнение более общего вида:

(4)
${{\partial }_{t}}u + {{\partial }_{x}}{{f}_{1}}{{(u)}^{m}} + {{\partial }_{{xxx}}}{{f}_{2}}{{(u)}^{n}} = 0$
при фиксированном m = 2 и n, равных 1, 2, 3. Функции f1(u) и f2(u) полагаются, в зависимости от рассматриваемых частных случаев, равными либо решению u, либо функции F(u), которая определяется следующим образом: F(u) = sin(u) при |u| < π/2, F(u) = –1 при u < –π/2, F(u) = 1 при u > π/2. Для малых значений решения уравнения (4) поведение f1(u) и f2(u) близки к линейным. Поэтому для n = 1 решения уравнения (4) будут близки к решениям уравнения KdV, а при n = 2 к решениям уравнения Розенау–Хаймана K(2, 2). В случае уравнения KdV имеются аналитические солитонные и многосолитонные решения, а для уравнения K(2, 2) – компактонные. При значениях |u|, сравнимых с π/2, наличие ограничения функции F(u) приводит к различным типам решений в зависимости от того, в каком слагаемом присутствует функция F(u): в нелинейном, дисперсионном или одновременно в обоих слагаемых. Результаты численных расчетов показали, что если нет ограничений нелинейной части, то в решениях присутствуют только компактоны, но с ограниченной амплитудой. Коватоны появляются при наличии ограничений на нелинейность при любой дисперсии. Обнаружено, что в зависимости от числа n решения приобретают вид, сочетающий характерные для компактонов и пиконов формы (пикокомпактоны). Обнаружены компактоны, распространяющиеся по фону, близкому к нелинейной волне Римана, являющейся решением уравнения KdV без дисперсии.

Для численного решения (4) применяется квазиспектральная схема Фурье с интегрированием по времени методом Рунге–Кутты четвертого порядка точности. Устойчивость схемы при расчете решений компактонного типа достигалась введением демпфирования высокочастотных гармоник в спектральное пространство за счет демпфирования разложения Фурье в области больших волновых чисел. Большинство расчетов было выполнено в ограниченных диапазонах параметров численной схемы, которые были заранее выбраны как оптимальные из серий тестовых вариантов. При этом полезным оказался собственный опыт численного решения уравнений K(m, n) и K(cos), а также содержащийся в цитируемых статьях. Из разнообразных решений для иллюстраций приведены наиболее содержательные и характерные, что достигалось специальным выбором начальных условий.

При обсуждении результатов будут фигурировать пиконные решения уравнения Камассы–Холма (см. [9]):

(5)
${{\partial }_{t}}u = {{\partial }_{{txx}}}u - 3u{{\partial }_{x}}u + 2{{\partial }_{x}}u{{\partial }_{{xx}}}u + u{{\partial }_{{xxx}}}u,$
которые имеют вид
(6)
$u(x,t) = a\exp ( - {\kern 1pt} \left| {x - at} \right|).$
Также будет использоваться солитонное решение уравнения KdV:

(7)
$u(x,t) = 6a_{s}^{2}{{\operatorname{sech} }^{2}}[{{a}_{s}}(x - {{x}_{s}}--12a_{s}^{2}t)].$

1. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД

Численное моделирование компактонных (коватонных) решений осложнено наличием в них разрывов производных, что ведет к появлению паразитных волновых пакетов, искажению формы компактонов и изменению их скорости. Если численно полученные одиночные компактоны уравнений К(2, 2) и К(3, 3) можно сравнить с их аналитическими выражениями и оценить численные погрешности, то для уравнений (4) подобные сравнения невозможны из-за отсутствия аналитических решений. В этих случаях можно получить приближенные численные компактонные решения из обыкновенных дифференциальных уравнений, следующих при подстановке X = = x – ct в (4). Для решения этих уравнений существует много способов численного анализа, с помощью которого могут быть получены эталонные численные решения с большой точностью. По ним определяются погрешности при численном моделировании одиночных компактонов, полученных иными численными методами. Однако такой способ не подходит для исследования более сложных задач о взаимодействии компактонов, осцилляторных волн или об эволюции сложных начальных распределений. Тогда при анализе полученных численных решений необходимо исходить из свойств схем, аппроксимирующих исходные уравнения в частных производных. Точность в этих случаях определяется по отклонениям решений при вариации внутренних схемных параметров, количество которых может быть велико. Полезно также сравнение с другими численными подходами.

Сделаем краткий обзор основных методов численного моделирования рассматриваемых уравнений.  В  работе [19] для  численного решения уравнения K(n, n) была использована квазиспектральная схема с функцией, демпфирующей высокочастотные моды. Ее вид выбирался из требования минимизации амплитуд паразитных волновых пакетов, зарождающихся на фронтах компактонов. В работе [20] развивался метод конечных разностей и адаптивный метод линий высокого порядка точности – соответственно седьмого и пятого.

Авторами работ [21], [22] для решения уравнения K(n, n) применялись три варианта явной численной схемы, использующие аппроксимацию Паде. Точность метода проверялась на аналитических решениях и выполнении законов сохранения, а также на воспроизведении формы волнового решения, развивающегося после взаимодействия компактонов. В работе [23] представлен метод частиц, а в [24], [25] подробно изложено описание и применение метода Галеркина с использованием (см. [25]) разрывных функций для широкого класса уравнений с нелинейной дисперсией и, в частности, для уравнения K(m, n). В работах [17], [18], [26] для численного решения предлагается метод конечных элементов четвертого порядка точности по координате, которым исследуются процессы генерации высокочастотных волн в численных компактонных решениях уравнения K(2, 2). Для устойчивости в уравнение добавлялось слагаемое ∂xxxxu, умноженное на малую константу. Оно аппроксимировалось пятиточечной схемой со вторым порядком точности. Средние амплитуды паразитных волн на фронтах компактона составляли 10–5–10–7. С такой же точностью сохранялся первый инвариант.

В данной работе численное решение уравнения (4) осуществляется квазиспектральным методом Фурье. Интегрирование по времени проводится в спектральном пространстве методом Рунге–Кутты четвертого порядка. Функция, корректирующая коротковолновые возмущения, действует в спектральном пространстве.

Приведем краткое описание применяемого метода. Пусть $u_{j}^{n}$ будет сеточным аналогом функции u(x, t) в координатном пространстве, а $u_{k}^{n}$ – в спектральном. Для всех спектральных компонент k переход с временного слоя n на слой n + 1 для искомых функций $u_{k}^{n}$ осуществляется согласно сеточному аналогу уравнения (4):

$u_{{kt}}^{n} = g(u_{k}^{n}) \equiv --{{c}_{{1k}}} - {{c}_{{2k}}},$
где g($u_{k}^{n}$) есть k-спектральная компонента всей правой части G(x, t) уравнения (4):

$G(x,t) \equiv - {{\partial }_{x}}{{f}_{1}}{{(u)}^{m}}--{{\partial }_{{xxx}}}{{f}_{2}}{{(u)}^{n}}.$

Значения c1k, c2k находятся следующим образом. Пусть преобразование Фурье F + осуществляет переход из координатного представления искомой функции u(x, t) ≡ u в спектральное, а за обратный переход отвечает преобразование F −. Тогда для определения c1k необходимо сначала вычислить u = F −($u_{k}^{n}$) (i – мнимая единица). Затем надо найти f1(u)m и окончательно c1k = = F +(f1(u)m)(ik). Аналогично c2k = F +(f2(u)n)(ik)3. Если вводится демпфирующая функция D(k), то c1k и c2k умножаются на нее.

Для всех k переход с временного слоя n на слой n + 1 для искомых функций $w_{k}^{n}$ происходит следующим образом:

$u_{k}^{{n + 1}} = ({{g}_{1}} + 2{{g}_{2}} + 2{{g}_{3}} + {{g}_{4}})dt{\text{/}}6,$
${{g}_{1}} = g(u_{k}^{n}),$
${{g}_{2}} = {{g}_{1}}(u_{k}^{n} + {{g}_{1}}dt{\text{/}}2),$
${{g}_{3}} = {{g}_{1}}(u_{k}^{n} + {{g}_{2}}dt{\text{/}}2),$
${{g}_{4}} = {{g}_{1}}(u_{k}^{n} + {{g}_{3}}dt).$

Схемными параметрами являются следующие: число спектральных компонент Nk, общая длина периодичности L, число координатных точек Nx = 2Nk и шаг по координате dx = L/Nx. Условия устойчивости определялись в процессе конкретных расчетов. В качестве начальных условий в вариантах расчетов, представленных в данной работе, служили функции, построенные при помощи солитонных решений KdV или функций Гаусса. В работе [27] приведены результаты применения аналогичного метода для расчета эволюционных уравнений со сложными нелинейными и дисперсионными зависимостями, а в работе [28] для уравнения mKdV-SG. Численному моделированию пиконных и k-солитонных решений уравнений Камассы–Холма и Холма–Хона посвящена работа [29]. В этих случаях демпфирование коротковолновых колебаний не применялось.

2. ТЕСТИРОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА

Тестирование метода в исследуемых задачах может быть проведено в нескольких направлениях. Тестирование на гладких решениях типа линейной волны (f1(u) = u, f2(u) = 0, m = 1), многосолитонных решениях уравнений KdV (f1(u) = u, f2(u) = u, m = 2, n = 1) и mKdV (f1(u) = u, f2(u) = u, m = 3, n = 1). Важное место занимает тестирование схем в случае решений с особенностями в виде разрывов производных (компактоны, коватоны, пиконы), характерные для исследуемой группы уравнений. Кстати, они содержат также разрывы самих решений и близкие к хаотическим, появляющиеся при взаимодействии компактонов разных полярностей. Во всех случаях сравнительный анализ численных решений, полученных различными схемами, является очень эффективным.

В тестовых расчетах для используемого метода были выбраны следующие диапазоны значений параметров: dt – от 0.00030 до 0.000075, dx – от 0.125 до 0.03125, число спектральных гармоник Nk – от 1024 до 4096, число координатных точек Nx – от 2048 до 8192 (вся координатная область L = 256). Аналитические компактонные решения (2а) уравнения K(n, n) позволяют проверить применяемую схему и определить оптимальный вид корректирующей функции D(k), обеспечивающей минимальные отклонения численного решения от точного. На фиг. 1а (кривая 1) приведено численное компактонное решение, полученное из начального распределения (2а) при m = n = 2 (x0 = 0) для амплитуды a = 2. Использовалась демпфирующая функция D(k) = = exp[–A((k − k0)/Nk)S], A = 34, s = 9, k0= 30, Nk = 1024. Осцилляции на фронтах компактона при времени t = 27 (кривая 2) увеличены в 103 раз, во внутренней области компактона отклонения от аналитического значения составляли 10–7, с такой же точностью 10–7 сохраняются все четыре интеграла. Оптимальный вид функции D(k) зависит от решаемой задачи и параметров численной схемы. Опытным путем было установлено, что для моделирования компактонных решений выбранная в данном тестовом примере демпфирующая функция оказывается оптимальной. Такой же вывод содержится в работах [9]–[11], в которых также использовалась квазиспектральная схема. Поэтому данный вид функции D(k) был выбран в качестве основного в приводимых ниже расчетах. В этой связи отметим работу [17], в которой методом конечных элементов Петрова–Галеркина четвертого порядка детально исследовались численные паразитные волны на компактонных решениях и их эволюция при больших временах.

Фиг. 1.

На фиг. 1б приведены фазовые кривые ux(u) компактона, пикона и солитона KdV, им соответствуют кривые 1, 3, 4. Они построены по аналитическим решениям (2а), (6), (7) для амплитуды 1.224. Симметричная часть, находящаяся в отрицательной области ux, не изображена. Представление в фазовой плоскости отчетливо выявляет различия данных решений. При одинаковой амплитуде они существенно отличаются по форме, что не так наглядно представляется в координатном пространстве. Пикон (3) отличается от солитона (4) в области максимума, где пикон имеет большие градиенты с их разрывом на вершине. Компактон (1) имеет существенные отличия от солитона (4) при малых значениях, где у компактона также есть разрывы производных. В дополнение к этому тесту были вычислены компактонные решения уравнения К(3, 3) при тех же схемных параметрах, что и тестовый вариант, приведенный на фиг. 1а для компактона уравнения К(2, 2). В случае с компактоном К(3, 3) величина волновых пакетов возрастает в 5 раз, точность воспроизведения основной части профиля компактона не ухудшается. На фиг. 1 это численное решение отмечено цифрой 2. Оно совпадает с кривой 1 всюду, исключая область в основании компактона, что в фазовом пространстве проявляется в незначительном возмущении на расчетной кривой в области 0 < u < 0.2. Отметим, что изображения в фазовом пространстве решений рассматриваемых уравнений обладают преимуществами, но и рядом недостатков. Они детально передают различия в форме одиночных солитонов. Но одновременно могут накладываться и искажения, обусловленные волновыми возмущениями, которые не обязательно непосредственно соседствуют в пространстве с солитонами.

Дополнительное тестирование используемой схемы было проведено на компактонных и коватонных решениях уравнения Розенау–Пиковского K(cos). В работах [16], [17] рассматривались разнообразные постановки задач для этого уравнения. При численном моделировании применялась паде-аппроксимация четвертого порядка точности, а демпфирование осуществлялось путем введения в уравнение производной uxxxx с малым параметром. Для сравнения были проведены расчеты совпадающих вариантов со столкновениями компактонов. Поскольку результаты в работах [16], [17] представлены графически, то возможно было только визуальное сравнение. Различия в поведении решений не наблюдались. Для определения степени действия демпфирующей функции на гладкие решения были проведены сравнительные расчеты солитонов уравнений KdV и mKdV как с демпфирующей функцией, так и без нее. Отличия были порядка 10–4. Оценка влияния схемных параметров (числа гармоник, величины пространственного и временного шагов) будет дана ниже при обсуждении конкретных задач.

3. КОМПАКТОНЫ УРАВНЕНИЯ KdV С ОГРАНИЧЕННОЙ ДИСПЕРСИЕЙ

В этом разделе будут рассмотрены решения уравнения KdV с дисперсионным членом в виде сглаженной ступеньки для степенных показателей n = 1 и n = 3.

1. Случай K(u2, F 1)

Использовались начальные распределения в виде гауссовых функций или солитонов KdV. Поскольку решаемое уравнение при малых значениях решения близко к уравнению KdV, то появляется возможность непосредственной оценки влияния ограничения дисперсии на форму солитонов KdV. По мере увеличения их амплитуд начинает сказываться эффект ограничения дисперсии. Параметры начальных данных подбирались так, чтобы в одном расчетном примере появлялись основные типы решений. Рассмотрим эволюцию начального распределения в виде гауссоиды:

$\begin{gathered} \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\Gamma } (K,{{x}_{1}},d) = K\pi \exp [--{{(x - {{x}_{1}})}^{2}}{\text{/}}d], \\ u(x,0) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\Gamma } (K,{{x}_{1}},d),\quad K = 0.35,\quad {{x}_{1}} = --75,\quad d = 180. \\ \end{gathered} $

Результаты для dx = 0.0625 приведены на фиг. 2а. Начальное распределение (штриховая кривая) ко времени t = 189 распадается на девять солитонов, наибольшие из которых имеют амплитуды 1.435, 1.307 и 1.195. На фиг. 2б дан фазовый портрет решения. Фазовые кривые показывают изменения формы солитонов с ростом амплитуды. Чем она больше, тем больше производные. Форма солитонов становится более заостренной, особенно вблизи максимума. Отметим, что в расчетах отсутствовали решения с амплитудами, большими 1.5, а также коватонные решения. Это можно объяснить тем, что при значениях u > π/2 в выбранной модели дисперсия становится равной константе и исчезает член с третьей производной в уравнении (4). В связи с этим можно сравнить полученные солитоны с предельными амплитудами с пиконными решениями ряда нелинейных дисперсионных уравнений (например, Камассы–Холма, Холма–Хона), которые в фазовой плоскости представляются двумя наклонными прямыми и в экстремуме имеют разрыв производной (см. фиг. 1, кривая 3). Условимся называть солитоны с амплитудами, близкими к предельным, пикосолитонами. Вывод по данным решениям следующий. При малых значениях амплитуд солитоны похожи на солитоны KdV. При приближении их амплитуд к предельным значениям π/2, когда ограничения дисперсии существенны и нелинейность начинает преобладать, солитоны обостряются и приобретают форму пиконов.

Фиг. 2.

В данном варианте было проведено тестирование численной схемы путем решения этой задачи при вдвое большем шаге dx = 0.125, что достигалось уменьшением вдвое числа гармоник при сохранении размера расчетной области. В этом случае амплитуды максимальных солитонов принимали значения 1.459, 1.326 и 1.189.

Для получения дополнительных данных для сравнения с солитонами KdV был рассмотрен вариант с начальными условиями предыдущего варианта, но при K = 0.25. Решалось уравнение KdV. Результат представлен на фиг. 3 при t = 87. Образуется цепочка солитонов, наибольший из которых имеет амплитуду 1.506. Хотя и применяется демпфирование гармоник, но солитоны после разделения сохраняют максимальные значения до пятого знака. Фон между солитонами 10–7. В данном варианте демпфирование коротковолновой части спектра не влияет на гладкое солитонное решение. В правой части этой фигуры приведен вид решения в фазовой плоскости. Сравнение этих кривых с представленными на фиг. 2 дает возможность оценить влияние ограничения дисперсии на формы солитонов.

Фиг. 3.

В этом разделе будет показано влияние ограничения нелинейной дисперсии при показателе степени n = 3. Для исследования использовались начальные данные в виде односолитонного решения KdV. Предположим

$\begin{gathered} u(x,0) = 6a_{s}^{2}{{\operatorname{sech} }^{2}}[{{a}_{s}}(x - {{x}_{s}})],\quad {{a}_{s}} = 10{\text{/}}3,\quad {{x}_{s}} = - 75, \\ D(k) = \exp [--34{{(4(k - {{k}_{0}}){\text{/}}{{N}_{k}})}^{9}}],\quad {{k}_{0}} = 30,\quad dt = 0.00030, \\ dx = 0.03125,\quad {{N}_{k}} = 4096,\quad {{N}_{x}} = 8192,\quad L = 256. \\ \end{gathered} $

Расчетами установлено (см. фиг. 4), что ко времени t = 87 из одиночного солитона KdV при ограничении нелинейной дисперсии образуется ряд компактонных решений, шесть из которых изображены на фиг. 4 в координатном и в фазовом пространствах. Они имеют амплитуды 1.495, 1.342, 1.233, 1.076, 0.933, 0.788. С ростом амплитуды форма их меняется. Если при малых амплитудах (кривые 5, 6) они близки к компактонам уравнения Розенау–Хаймана К(2, 3), то с увеличением амплитуды поведение их становится ближе к пиконным решениям, на что указывает увеличение градиентов вблизи максимума (кривые 1–4). Этот тип решений можно назвать пикокомпактоном.

Фиг. 4.

В данном варианте увеличение координатного шага интегрирования в два раза, достигаемое за счет двукратного уменьшения числа спектральных гармоник, привело (без изменения демпфирующей функции) к следующим значениям амплитуд: 1.412, 1.365, 1.267, 1.127, 0.9676, 0.8121.

Процесс генерации солитонов различных форм весьма разнообразен и в некоторых случаях приводит к интересным решениям. В качестве примера приведем вариант с начальными условиями отрицательной полярности

$\begin{gathered} u(x,0) = --6a_{s}^{2}{{\operatorname{sech} }^{2}}[{{a}_{s}}(x - {{x}_{s}})],\quad {{a}_{s}} = 5{\text{/}}3,\quad {{x}_{s}} = 105, \\ D(k) = \exp [--34{{(2(k - {{k}_{0}}){\text{/}}{{N}_{k}})}^{9}}],\quad {{k}_{0}} = 30,\quad dt = 0.000075, \\ dx = 0.03125,\quad {{N}_{k}} = 4096,\quad {{N}_{x}} = 8192,\quad L = 256. \\ \end{gathered} $

Результат расчетов дан на фиг. 5а для времени t = 54 и на фиг. 5б при t = 324. В начальные моменты времени образуются осцилляторная волна и примыкающая к ней линейная волна отрицательной полярности, правая граница которой неподвижна и находится при xs = 105. Левая граница движется в отрицательном направлении. В этой области находится быстро осциллирующий волновой пакет, который со временем распадается на ряд компактонов, распространяющихся по профилю линейной части решения в положительном направлении. На фиг. 5 компактоны пиконного типа имеют амплитуды соответственно 0.2959, 0.2093, 0.1221. Расчет с вдвое большим координатным шагом dx = 0.0625, Nk = 2098, Nx = 4096, L = 256 дает близкие значения этих амплитуд при неизменном законе демпфирования, а именно: 0.3019, 0.2186, 0.1264.

Фиг. 5.

Данный вариант указывает на возможность существования компактонных решений, распространяющихся по линейному профилю, относительно медленно уменьшающему свой наклон. Аналогичные решения были получены ранее (см. [29]) в рамках уравнения Камассы–Холма для пиконных решений, где была также решена задача о парных взаимодействиях пиконов, распространяющихся по линейному профилю.

4. СВОЙСТВА КОМПАКТОНОВ С ОГРАНИЧЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

1. Случай K(F2, F3)

В этом разделе будут рассмотрены решения, соответствующие ограниченной нелинейности и ограниченной или неограниченной дисперсии. В этих случаях наряду с компактонными решениями появляются коватонные решения. Начальные данные формировались с помощью функции Гаусса.

Рассмотрим решения, получающиеся из начальных данных в виде

$\begin{gathered} u(x,0) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\Gamma } (K,x,d),\quad K = 0.5{\text{/}}1.16,\quad x = - 75,\quad d = 380, \\ D(k) = \exp [ - 34{{(2(k - {{k}_{0}}){\text{/}}{{N}_{k}})}^{9}}],\quad {{k}_{0}} = 30,\quad dt = 0.000075, \\ dx = 0.03125,\quad {{N}_{k}} = 4096,\quad {{N}_{x}} = 8192,\quad L = 256. \\ \end{gathered} $

На фиг. 6 представлено решение при t = 54, состоящее из нескольких компактонов малой амплитуды и компактона с предельной амплитудой (1.450) (x = 40), отличительной чертой которого является большая полуширина (теоретически любая) и наличие плато на вершине.

Фиг. 6.

2. Случай K(F2, u3)

Снятие ограничения на величину дисперсии (при фиксированном n = 3) приводит к результатам, представленным на фиг. 7 при t = 270 для варианта с начальными данными

$\begin{gathered} u(x,0) = \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\Gamma } (K,x,d),\quad K = 0.50,\quad x = - 35,\quad d = 580, \\ D(k) = \exp [ - 34{{(2(k - {{k}_{0}}){\text{/}}{{N}_{k}})}^{9}}],\quad {{k}_{0}} = 30,\quad dt = 0.000075, \\ dx = 0.0625,\quad {{N}_{k}} = 2048,\quad {{N}_{x}} = 4096,\quad L = 256. \\ \end{gathered} $
Фиг. 7.

Данное решение имеет черты сходства с изображенными на фиг. 5 и фиг. 6 решениями. В первом случае оба решения имеют линейный отрицательный профиль с находящимися на нем компактонами и имеющими положительную скорость. Отличие состоит в том, что наибольший компактон на фиг. 7 приобретает форму коватона с амплитудой 1.394 и полушириной около 50 единиц. Если сравнить решения на фиг. 6 и фиг. 7, то они качественно похожи, но решение на фиг. 6 не имеет линейной волны.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена исследованию форм компактонных решений уравнения KdV c нелинейными и дисперсионными членами, которые являются ограниченными функциями от решения в форме “сглаженной ступеньки”. В уравнениях Розенау–Хаймана (2) и Розенау–Пиковского (3) ранее рассматривались случаи зависимости обоих слагаемых или только от решения u, или только от cos(u). Входящие в эти уравнения показатели степени n, m на свойства ограниченности не влияют, но определяют четность. В данной работе рассмотрены другие случаи, когда нелинейное слагаемое неограниченное, а дисперсионное ограниченное при двух показателях степени (n = 1 и n = 3). Численные расчеты показали, что в случае n = 1 решения представляют собой солитоны пикообразной формы. Если показатель n = 3, то решения являются компактонами пикообразной формы. Хотя амплитуды этих решений не превышают π/2, но коватонные решения не были обнаружены. Коватоны появляются (см. разд. 4) в случае наложения ограничений на нелинейное слагаемое при дисперсии как ограниченной, так и неограниченной. В этих случаях найдены компактоны, распространяющиеся по линейному нестационарному профилю, т.е. реализуются решения с разными значениями на переднем и заднем фронтах – несимметричные нестационарные компактоны.

В работе большое внимание уделяется тестированию численной схемы на аналитических солитонных и компактонных решениях. Это связано с наличием у новых найденных решений особенностей не только вблизи нуля, но и особенность пиконного типа в максимуме. Поскольку в данном случае аналитические решения отсутствуют, то все обоснования вида данных решений основаны на возможностях схемы, которая, в свою очередь, имеет до четырех определяющих ее параметров. Особое внимание заслуживает выбор демпфирующей функции и накопленный опыт может быть полезен при численном моделировании уравнений, имеющих решения с особенностями. Например, негатонные и позитонные решения уравнения mKdV (см. [30]).

Список литературы

  1. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х., Харрис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988.

  2. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989.

  3. Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент // Физ. элементарных частиц и атомного ядра. 1983. Т. 14. Вып. 1. С. 123–180.

  4. Белова Т.И., Кудрявцев А.E. Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля // Успехи физ. наук. 1997. Т. 167. № 4. С. 377–406.

  5. Захаров В.Е. К проблеме стохастизации одномерных цепочек нелинейных осцилляторов // Ж. эксперим. и теор. физ. 1973. Т. 65. Вып. 1(7). С. 219–225.

  6. Ekomasov E.G., Murtazin R.R., Bogomazova O.B., Gumerov A.M. One-dimensional dynamics of domain walls in two-layer ferromagnet structure with different parameters of magnetic anisotropy and exchange // J. Magn. Magn. Mater. 2013. V. 339. P. 133–137.

  7. Шамсутдинов М.А., Шамсутдинов Д.М., Екомасов Е.Г. Динамика доменных стенок в орторомбических антиферромагнетиках вблизи предельной скорости // Физ. металлов и металловедение. 2003. Т. 96. № 4. С. 16–22.

  8. Leblond H., Mihalache D. Optical solitons in the few-cycle regime: recent theoretical results // Romanian Rept in Phys. 2011. V. 63. P. 1254–1266.

  9. Camassa R., Holm D. An intergrable shallow water equation with peaked soliton // Phys. Rev. Letts. 1993. V. 71. P. 1661–1664.

  10. Rosenau P., Hyman J.M. Compactons: solitons with finite wavelengths // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. № 5. P. 564–567.

  11. Cooper F., Hyman J.M., Khare A. Compacton solutions in a class of generalized fifth-order Korteweg–de Vries equations // Phys. Rev. E. 2001. V. 64. № 2. P. 1–5.

  12. Rosenau P., Levy D. Compactons in a class of nonlinearly quintic equations // Phys. Lett. A. 1999. V. 252. P. 297–306.

  13. Rosenau P. Nonlinear dispersion and compact structures // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 73. № 13. P. 1737–1741.

  14. Rosenau P. On nonanalytic solitary waves formed by a nonlinear dispersion // Phys. Lett. A. 1997. V. 230. № 5/6. P. 305–318.

  15. Rosenau P. On a class of nonlinear dispersive–dissipative interactions // Physica D. 1998. V. 230. № 5/6. P. 535–546.

  16. Rosenau P. Compact and noncompact dispersive structures // Phys. Lett. A. 2000. V. 275. № 3. P. 193–203.

  17. Garralon J., Villatoro F.R. Numerical evaluation of compactons and kovatons of the K(cos) Rosenau–Pikovski equation // Math. and Comput. Modeling. 2012. V. 55. № 7–8. P. 1858–1865.

  18. Garralon J., Rus F., Villatoro F.R. Numerical interactions between compactons and kovatons Rosenau–Pikovski K(cos) equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2013. V. 18. № 7. P. 1576–1588.

  19. de Frutos J., L’opez-Marcos M.A., Sanz-Serna J.M. A finite difference scheme for the K(2, 2) compacton equation // J. Comput. Phys. 1995. V. 120. № 2. P. 248–252.

  20. Saucez P., Vande Wouwer A., Zegeling P.A. Adaptive method of lines solutions for the extended fifth-order Korteveg–de Vries // J. Comput. and Appl. Math. 2005. V. 183. № 2. P. 343–357.

  21. Rus F., Villatoro F.R. Pad’e numerical method for the Rosenau-Hyman compacton equation // Math. and comput. in simulation (MATCOM). 2007. V. 76. № 1. P. 188–192.

  22. Garralon J., Rus F., Villatoro F.R. Removing trailing tails and delays induced by artifical dissipation in Pad’e numerical schemes for stable compacton collisions // Appl. Math. and Comput. 2013. V. 220. P. 185–192.

  23. Chertock A., Levy D. Particle methods for dispersive equations // J. Comput. Phys. 2001. V. 171. № 2. P. 708–730.

  24. Sanz-Serna J.M., Christie I. Petrov-Galerkin methods for nonlinear dispersive waves // J. Comput. Phys. 1981. V. 39. № 1. P. 94–102.

  25. Levy D., Shu C.-W., Yan J. Local discontinuous Galerkin methods for nonlinear dispersive equations // J. Comput. Phys. 2004. V. 196. № 2. P. 751–772.

  26. Rus F., Villatoro F. Radiation in Numerical Compactons from Finite Element Methods // Proc. of the 8th WSEAS Internat. Conference on Appl. Math., Tenerife, Spain, December 16–18, 2005. P. 19–24.

  27. Попов С.П. О применении квазиспектрального метода Фурье к солитоносодержащим уравнениям // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50. № 12. С. 2176–2183.

  28. Попов С.П. Численный анализ солитонных решений модифицированного уравнения Кортевега–де Вриза–синус-Гордона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2015. Т. 55. № 3. С. 114–124.

  29. Попов С.П. Численное исследование пиконов и k-солитонов уравнений Камассы–Холма и Холма–Хона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51. № 7. С. 1317–1325.

  30. Rasinariu C., Sukhatme U., Khare A. Negaton and positon solutions of the KdV and mKdV hierarchy // J. Phys. A: Math. Gen. 1996.V. 29. № 8. P. 1803–1823.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал