Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 10, стр. 1815-1820

1. ВВЕДЕНИЕ

Финансовая математика – относительно молодая дисциплина, бурно развивавшаяся в последние десятилетия [4]. Это развитие было обусловлено формированием мощных финансовых рынков с разнообразными инструментами перераспределения рисков между участниками рынка. Изменения, произошедшие на нефтяном рынке в связи с созданием картеля нефтедобывающих стран ОПЕК, потребовали от развитых стран – экспортеров нефти адаптации к новым условиям в мировой экономике. В результате изменились масштабы и сложность фондовых рынков, на которых обращается на порядок больше денежных средств, чем в реальном секторе экономики, и характерные времена существенных изменений на которых на несколько порядков меньше, чем в реальном секторе экономики. В базовом варианте финансовая математика исходит из упрощающего предположения о том, что события, происходящие в реальном секторе экономики, учитываются участниками рынка, но являются общеизвестными. А значит, фондовый рынок можно изучать отдельно от реального сектора экономики. Кроме того, в базовом варианте предполагается одинаковая информированность участников рынка. В таких допущениях предметом деятельности участников рынка является управление рисками, связанными с неопределeнностью динамики финансовых инструментов. Для управления рисками используются вторичные финансовые инструменты. Теория ценообразования на рынке вторичных финансовых инструментов была заложена в работах [1]–[3]. Современное изложение теории арбитража, на которой основано моделирование ценообразования на рынке вторичных финансовых инструментов, содержится в монографиях [10], [14].

В финансовой математике активно исследуются обратные задачи в моделях локальной волатильности (см. [5], [6], [8], [9], [13], [17]–[19]). В данной работе сформулирована и решена задача определения функции волатильности, которая входит в стохастическое дифференциальное уравнение, моделирующее изменение индекса фондового рынка. Для этого используются данные о динамике индекса фондового рынка и о котировках европейского опциона на продажу, привязанного к этому индексу. Важными индикаторами состояния фондового рынка являются агрегированные индексы, такие как S&P 500 или SSE Composite. Традиционно динамика индекса фондового рынка моделируется как геометрическое броуновское движение и описывается с помощью стохастического дифференциального уравнения. Вид этого стохастического дифференциального уравнения зависит от состояния реального сектора экономики. Поскольку характерные времена изменений в реальном секторе экономики много больше характерных времен изменений конъюнктуры на фондовом рынке, можно считать эти уравнения квазистационарными.

2. ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Будем моделировать динамику индекса $s(\tau )$ фондового рынка с помощью стохастического дифференциального уравнения

Здесь $\tau $ – время, $W$ – винеровский процесс, $r$ – доходность на фондовом рынке, $\sigma (s)$ – функция волатильности фондового рынка.

Так же, как и первичные финансовые инструменты (акции), на фондовом рынке торгуются вторичные финансовые инструменты (опционы, фьючерсы и т.д.). Опцион европейского типа задаeтся платeжной функцией $f(s)$ и сроком исполнения $T$. При покупке такого опциона в момент времени выпуска опциона $\tau $ покупатель имеет право на получение в момент времени $\tau + T$ платежа в размере $f(s(\tau + T))$. Обозначим через $u(s,t)$ цену опциона европейского типа в зависимости от цены первичного финансового инструмента (в нашем случае индекса фондового рынка $s$) и времени $t$, оставшегося до погашения опциона (платежа по нему). Мы рассматриваем модифицированную модель Блэка-Шоулза, в которой функция стоимости $u(s,t)$ опциона на продажу акции с функцией платежа $f(s) = max{\text{\{ }}K - s,0{\text{\} }}$, где $K > 0$, определяется как решение прямой задачи

Обратная задача заключается в определении коэффициента $\sigma (s)$ из условия при $t \in (0,T)$. Здесь $t$ – время от момента выпуска опциона, $s = \varphi (t)$ – значение индекса фондового рынка, $g(t)$ – цена опциона в этот момент.

Заметим, что краевое условие $u(0,t) = K$ объясняется тем, что если $s(t) = 0$, то в силу стохастического дифференциального уравнения для цены $s(\tau ) = 0$ при $\tau \geqslant t$.

3. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Так как $li{{m}_{{L \to \infty }}}u(L,t) = 0$, будем считать, что для достаточно большого $L$ выполняется краевое условие $u(L,t) = 0$. Мы рассмотрим прямую задачу для модифицированного уравнения Блэка-Шоулза в ограниченной области $\Omega = {\text{\{ }}(s,t):s \in (0,L),\;t \in (0,T){\text{\} }}$

Предположим, что на некоторой заданной кривой $s = \varphi (t)$ известна функция $g(t) = u(\varphi (t),T - t)$.

Обратная задача состоит в определении коэффициента уравнения $\sigma (s)$ по дополнительной информации $g(t)$ о решении прямой задачи (1)–(3):

Решение обратной задачи (1)–(4) будем искать, минимизируя целевой функционал [11]

модификацией метода градиентного спуска Здесь ${{\alpha }_{n}} > 0$ – параметр спуска, ${{u}^{{(n)}}}(s,t)$ является решением прямой задачи (1)–(3) на $n$-й итерации, ${{\psi }^{{(n)}}}(s,t)$ является решением сопряженной задачи [7], [16], [20], [21] в области $\Omega $: Здесь $\delta (t)$ – дельта функция Дирака.

Рассмотрим более общую задачу: по данным наблюдений за динамикой индекса фондового рынка $s(\tau ) = \varphi (\tau )$, где $\tau \in [0,\bar {T}]$, $\bar {T} > T$ и ценами ${{g}_{1}}(\tau )$, ${{g}_{2}}(\tau )$, $ \ldots $, ${{g}_{n}}(\tau )$ на европейские опционы с одинаковой платежной функцией и одинаковым сроком исполнения, выпущенные в моменты времени ${{\tau }_{1}}$, ${{\tau }_{2}}$, $ \ldots $, ${{\tau }_{n}}$, где $0 \leqslant {{\tau }_{1}} < {{\tau }_{2}} < \ldots < {{\tau }_{n}} < {{\tau }_{n}} + T \leqslant \bar {T}$, а функции ${{g}_{j}}(\tau )$ определены на промежутке  времени $[{{\tau }_{j}},{{\tau }_{j}} + T]$,  $j = 1,\; \ldots ,\;n$, найти функцию $\sigma (s)$, которая минимизирует функционал

определить диапазон для значений $s$, на котором функции определены однозначно, т.е. совпадают для любой пары функций, минимизирующих функционал (8).

4. ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ

В численных расчетах мы полагаем время погашения опциона $T = 3$ мес, $\sigma (s) = 0.1\sqrt s $, $r = 0.05$, $K = 0.9$, $L = 9$, ${{N}_{s}} = 900$, ${{N}_{t}} = 1200$, ${{h}_{s}} = L{\text{/}}{{N}_{s}} = 0.01$, ${{h}_{t}} = T{\text{/}}{{N}_{t}} = 0.0025$, время перевыпуска новых опционов 10 дней. Начальное приближение ${{\sigma }^{{(0)}}}(t) = 0.1\sqrt s {\text{/}}\sqrt 3 $. В обратной задаче требуется найти функцию $\sigma (s)$. Число итераций в методе наискорейшего спуска 5000. Для решения прямой задачи (1)–(3) применена неявная схема Эйлера.

Кривая $s = \varphi (t)$, на которой измеряются данные, вычисляется по следующему алгоритму. Введем вероятность

и величины

Шаг 1. Полагаем ${{s}_{0}} = 1$ и предположим, что ${{s}_{k}}$ уже вычислены;

Шаг 2. Пусть ${{\xi }_{k}}$ – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке $[0,\;1]$. Тогда

На фиг. 1 приведен график изменения $s = \varphi (t)$ для типичных реализаций случайных величин ${{\xi }_{k}}$. Отметим, что $\varphi (t) \in [0.92,\;1.0]$ при $t \in [0,\;3]$; $\varphi (t) \in [0.89,\;1.0]$ при $t \in [0,\;4]$, $\varphi (t) \in [0.76,\;1.0]$ при $t \in [0,\;7]$.

На фиг. 2 приведена гистограмма, показывающая, сколько точек данных кривой $s = \varphi (t)$ содержится в интервале $s \in [0.75,\;1.05]$.

На фиг. 3 приведено решение обратной задачи определения $\sigma (s)$ для трех типов данных на отрезке $[0.75,\;1.05]$, где есть данные по гистограмме: кривая 1 – один опцион, 2 – 4 опциона, 3 – 16 опционов, 4 – точное решение.

На фиг. 4 приведен модуль разности точного решения обратной задачи и приближенного $\left| {\sigma (s) - {{\sigma }^{{(5000)}}}(s)} \right|$ для трех типов данных на отрезке $[0.75,\;1.05]$, где есть данные по гистограмме: кривая 1 – один опцион, 2 – 4 опциона, 3 – 16 опционов.

Заметим, что можно существенно уменьшить число итераций, если использовать априорную информацию о решении задачи, например, о гладкости решения [12], [15].

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулирована и решена методом наискорейшего спуска обратная задача определения функции волатильности в модифицированной модели Блэка-Шоулза. Построено направление наискорейшего спуска через решение сопряженной задачи. Численные расчеты показали, что добавление информации о ценах однотипных опционов с различными датами выпуска позволяет улучшить точность и увеличить интервал восстановления функции волатильности.

Отметим, что имеющиеся теоретические результаты [6], [17], [18] указывают на сильную некорректность (логарифмическую устойчивость) исследуемой обратной задачи. Для определения параметров, которые могут быть найдены устойчиво, и условий на данные обратной задачи, нужные для этого, достаточно провести спектральный анализ (сингулярное разложение) линеаризованной задачи.