Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 12, стр. 2133-2154

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Уравнение Ламе в трехмерном пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$ имеет вид

где $\Delta $ – оператор Лапласа, $p$ – коэффициент Пуассона, а $u$ – вектор перемещений (см. [1]). В случае плоской деформации третья компонента вектора $u$ равна нулю, а первые две, в дальнейшем обозначаемые через $u$ и ${v}$, зависят только от двух (декартовых) координат $x$, $y$; тогда векторное уравнение (1.1) записывается в виде системы

Складывая первое уравнение со вторым, умноженным на мнимую единицу $i$, получаем комплексный вид плоского уравнения Ламе

относительно функции $f = u + i{v}$ переменного $z = x + iy$ с параметром $\sigma = 1{\text{/}}(3 - 4p)$; отметим, что такой вид уравнения Ламе указывался, в частности, в [2], [3]. В формуле (1.2) используются известные операторы Коши–Римана Поскольку коэффициент Пуассона $p$, как известно, удовлетворяет неравенству $0 < p < 1{\text{/}}2$, то в уравнении (1.2) параметр $\sigma $ принимает значения из интервала $(1{\text{/}}3,1)$.

Уравнение (1.2) или соответствующая ему система относится к эллиптическому типу при всех вещественных значениях $\sigma \ne \pm 1$, а при $\sigma \in ( - 1,1)$ оно является к тому же сильно эллиптическим (см. терминологию в [2]–[5]). Далее рассматривается именно этот последний случай, к которому относится и уравнение Ламе при всех допустимых значениях коэффициента Пуассона $p$.

1.2. Для решений уравнения (1.2) имеет место следующее интегральное представление типа Пуассона в единичном круге $\mathcal{D}: = {\text{\{ }}\left| z \right| < 1{\text{\} }}$ (см. [2], [6]):

где функция $f$ непрерывна в замкнутом круге $\bar {\mathcal{D}} = {\text{\{ }}\left| z \right| \leqslant 1{\text{\} }}$. Настоящая работа посвящена изучению геометрических свойств соответствующего ядра Пуассона (без множителя $1{\text{/}}(2\pi )$) с особенностью в точке $z = 1$.

Отметим, что при $\sigma = 0$ уравнение (1.2) превращается в уравнение Лапласа, для которого ядро Пуассона ${{P}_{0}}$ в круге является вещественнозначной функцией. В отличие от случая $\sigma = 0$, при других значениях параметра $\sigma $ из интервала (–1, 1) ядро ${{P}_{\sigma }}$, в соответствии с (1.3), является комплекснозначной функцией. Поэтому везде в дальнейшем, за исключением специально оговоренных случаев, будем предполагать, что $\sigma \ne 0$.

1.3. Дадим краткое описание основных результатов, развернутые формулировки которых приведены в разд. 2, а доказательства – в разд. 3–6.

В разд. 3 показано, что функция ${{P}_{\sigma }}$ осуществляет двулистное отображение единичного круга $\mathcal{D}$ (см. фиг. 1) на некоторое множество $\mathcal{W} \subset \mathbb{C}$. Для выяснения его структуры заметим, что якобиан отображения, осуществляемого функцией ${{P}_{\sigma }}$, обращается в нуль на лемнискате Бута $\gamma $. При $\sigma > 0$ ее ветви ${{\gamma }_{1}}$ и ${{\gamma }_{2}}$ расположены симметрично друг другу относительно вещественной прямой (фиг. 1а), так же, как и их образы ${{\gamma }_{ + }}$ и ${{\gamma }_{ - }}$, пересекающиеся в начале координат. При $\sigma < 0$ ветви лемнискаты $\gamma $ симметричны друг другу относительно прямой $x = 1$, причем только левая ветвь пересекается с кругом $\mathcal{D}$, см. фиг. 1б, 1в. Эта ветвь состоит из двух дуг ${{\gamma }_{{1 + }}}$ и ${{\gamma }_{{1 - }}}$, симметричных друг другу относительно оси $x$; образы ${{\gamma }_{ + }}$ и ${{\gamma }_{ - }}$ этих дуг пересекаются при $\sigma \in [ - 1{\text{/}}3,0)$ в начале координат (фиг. 1б), а при $\sigma \in ( - 1, - 1{\text{/}}3)$ в точке, лежащей на вещественной оси левее начала координат (фиг. 1в). Лемниската $\gamma $ при $\sigma < - 1{\text{/}}3$ делит круг $\mathcal{D}$ на две области ${{\mathcal{D}}_{1}}$ и ${{\mathcal{D}}_{2}}$, которые отображаются в области ${{\mathcal{W}}_{1}}$ и ${{\mathcal{W}}_{2}}$, причем вторая накрывает первую (фиг. 1в), а при $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$ она делит круг на три области ${{\mathcal{D}}_{1}}$, ${{\mathcal{D}}_{2}}$, ${{\mathcal{D}}_{3}}$, которые отображаются в ${{\mathcal{W}}_{1}}$, ${{\mathcal{W}}_{2}}$, ${{\mathcal{W}}_{3}}$, причем последняя накрывает две первые (фиг. 1а, 1б). В областях ${{\mathcal{D}}_{k}}$ якобиан знакопостоянен, а отображение однолистно.

В разд. 4 единичный круг $\mathcal{D}$ рассматривается как проекция части подходящего эллиптического конуса на плоскость, перпендикулярную к одной из его образующих. Этот конус, изображенный на фиг. 2в, задается уравнением ${{X}^{2}} + (1 - {{a}^{2}}){{Y}^{2}} - {{a}^{2}}{{Z}^{2}} = 0$, где $a \in (0,1)$, а проецируемая область $\mathcal{K}$ состоит из всех его точек, заключенных между плоскостью $OXY$ и плоскостью ${{\Pi }_{1}}$, перпендикулярной к образующей $({{A}_{1}}O)$ и расположенной на расстоянии $\left| {{{A}_{1}}O} \right| = (1 - {{a}^{2}}){\text{/}}a$ от начала координат. Функция $F$, задающая ортогональное проецирование конической области $\mathcal{K}$ на плоскость ${{\Pi }_{1}}$, взаимно однозначно отображает эту область без отрезка ${{A}_{1}}O$ на единичный круг $\mathcal{D}$. При этом плоскости, параллельные ${{\Pi }_{1}}$, отсекают на поверхности $\mathcal{K}$ окружности ${{\mathcal{C}}_{\kappa }}$, которые отображаются функцией $F$ в окружности ${{T}_{\kappa }}$, касающиеся единичной в точке $z = 1$, являющейся особой для ядра Пуассона ${{P}_{\sigma }}$, см. фиг. 2а. Кроме того, интервалы ${{L}_{\varphi }}$ образующих конуса, лежащие в области $\mathcal{K}$, отображаются в интервалы ${{I}_{\varphi }}$ полупрямых, исходящих из точки $z = 1$. Наконец, отрезок ${{A}_{1}}O$ отображается в точку $z = 1$.

В разд. 5 множество $\mathcal{W}$ значений функции ${{P}_{\sigma }}$, в свою очередь, представлено как проекция некоторой поверхности $\mathcal{H}$. Эта поверхность, изображенная на фиг. 2г, образована путем вращения дуги гиперболы, проходящей через начало координат, вокруг оси, не являющейся ее осью симметрии, см. фиг. 5. Отображение $G:\mathcal{H} \to \mathcal{W}$ осуществляется следующим образом. Поверхность вращения $\mathcal{H}$ нарезается на окружности ${{\mathcal{C}}_{\lambda }}$ и каждая такая окружность поворачивается на 90° относительно своей вертикальной оси симметрии, переходя в окружность ${{\mathcal{T}}_{\lambda }}$ на плоскости $w$ (фиг. 2б, 2г). Такое отображение, в отличие от $F$, не является взаимно однозначным.

В разд. 6 получено отображение ${{f}_{\sigma }}:\mathcal{K} \to \mathcal{H}$, которое соответствует ядру Пуассона ${{P}_{\sigma }}$ в том смысле, что справедливо представление ${{P}_{\sigma }} = G \circ {{f}_{\sigma }} \circ {{F}^{{ - 1}}}$. При этом функция ${{f}_{\sigma }}$ осуществляет взаимно однозначное отображение поверхностей, в отличие от функции ${{P}_{\sigma }}$, которая, как было указано выше, осуществляет неоднолистное отображение множеств на плоскости. В частности, окружности ${{\mathcal{C}}_{\kappa }}$ на конической области $\mathcal{K}$ гомеоморфно переводятся функцией ${{f}_{\sigma }}$ в окружности ${{\mathcal{C}}_{\lambda }}$ на поверхности вращения $\mathcal{H}$, а интервалы ${{L}_{\varphi }}$ образующих конуса – в дуги гипербол ${{H}_{{2\varphi }}}$, см. фиг. 2в, 2г.

2. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

Перейдем к введению нужных определений и подробному формулированию описанных во Введении результатов.

Определение 1 (единичный круг). Обозначим через

круг единичного радиуса с центром в начале координат. Положим $x = 1 - \rho cos\theta $, $y = \rho sin\theta $ и введем гиперболическую лемнискату Бута Лепестки этой лемнискаты расположены вертикально при $\sigma > 0$ (фиг. 3а) и горизонтально при $\sigma < 0$ (фиг. 3б). Обозначим через значение параметра $\theta $ из интервала $(0,\pi {\text{/}}2)$, отвечающее точке $z = 1$, и определим две ветви лемнискаты $\gamma $:

а) при $\sigma > 0$ верхнюю ветвь ${{\gamma }_{1}}{\text{:}}\;\theta \in [{{\theta }_{0}},\pi - {{\theta }_{0}})$ и нижнюю ${{\gamma }_{2}}{\text{:}}\;\theta \in ({{\theta }_{0}} - \pi , - {{\theta }_{0}}]$, см. фиг. 3а;

б) при $\sigma < 0$ левую ветвь ${{\gamma }_{1}}{\text{:}}\;\theta \in ( - {{\theta }_{0}},{{\theta }_{0}}]$ и правую ${{\gamma }_{2}}{\text{:}}\;\theta \in [\pi - {{\theta }_{0}},\pi + {{\theta }_{0}})$; левую ветвь, в свою очередь, разделим на две дуги ${{\gamma }_{{1 + }}}{\text{:}}\;\theta \in (0,{{\theta }_{0}}]$ и ${{\gamma }_{{1 - }}}{\text{:}}\;\theta \in ( - {{\theta }_{0}},0]$, симметричные друг другу относительно вещественной оси (фиг. 3б).

Отметим, что при $\sigma \to 0{\kern 1pt} \pm $ будет ${{\theta }_{0}} \to \frac{\pi }{4}{\kern 1pt} \pm $ и лемниската $\gamma $, утолщаясь и удлиняясь, выродится в пару перпендикулярных друг другу прямых $y = \pm (x - 1)$. Если же $\sigma \to \pm 1$, то она, напротив, сужается и укорачивается, вырождаясь в одну точку $z = 1$.

При $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$ лемниската $\gamma $ пересекается с единичной окружностью в точках с полярными координатами $\theta = \pm {{\theta }_{1}}$, где

В частности, при $\sigma = - 1{\text{/}}3$ лемниската касается единичной окружности $\left| z \right| = 1$ в точке $z = - 1$. В зависимости от значения параметра $\sigma $ она делит круг $\mathcal{D}$ на две или три области:

а) при $\sigma \in (0,1)$ – это изображенные на фиг. 1а области

где $\operatorname{int} ({{\gamma }_{k}})$ – внутренность замкнутой кривой ${{\gamma }_{k}}$, а ${{\bar {\mathcal{D}}}_{k}}$ – замыкание области ${{\mathcal{D}}_{k}}$ при $k = 1,2$;

б) при $\sigma \in ( - 1{\text{/}}3,0)$ – изображенные на фиг. 1б области

где $\mathbb{H} = {\text{\{ }}z = x + iy{\text{:}}\;y > 0{\text{\} }}$ – верхняя полуплоскость;

в) при $\sigma \in ( - 1, - 1{\text{/}}3]$ – изображенные на фиг. 1в области

Определение 2 (множество значений ядра Пуассона). Пусть

где последняя величина вводится при $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$. При $\sigma > 0$ будет ${{t}_{0}} < {{t}_{1}}$, а при $\sigma < 0$, наоборот, ${{t}_{0}} > {{t}_{1}}$. Зададим кривые ${{\gamma }_{ + }}$ и ${{\gamma }_{ - }}$ параметрическими уравнениями со следующими интервалами изменения параметра $t$:

а) при $\sigma \in (0,1)$ положим ${{\gamma }_{ + }}:t \in ({{t}_{0}},{{t}_{1}})$ и ${{\gamma }_{ - }}:t \in ( - {{t}_{1}}, - {{t}_{0}})$, см. фиг. 1а;

б) при $\sigma \in [ - 1{\text{/}}3,0)$ положим ${{\gamma }_{ + }}:t \in ({{t}_{1}},{{t}_{0}})$ и ${{\gamma }_{ - }}:t \in ( - {{t}_{0}}, - {{t}_{1}})$, см. фиг. 1б;

в) при $\sigma \in ( - 1, - 1{\text{/}}3)$ положим ${{\gamma }_{ + }}:t \in (0,{{t}_{0}})$ и ${{\gamma }_{ - }}:t \in ( - {{t}_{0}},0)$, см. фиг. 1в.

Построенные таким образом кривые ${{\gamma }_{ + }}$ и ${{\gamma }_{ - }}$ симметричны друг другу относительно вещественной оси $u$ и имеют общую предельную точку ${{w}_{{{\text{min}}}}} = w({{t}_{1}}) = 0$ при $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$ или ${{w}_{{{\text{min}}}}} = w(0) = 2\sqrt { - 2\sigma (1 + \sigma )} - (1 - \sigma )$ при $\sigma < - 1{\text{/}}3$.

Далее, при $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$ обозначим через ${{\mathcal{W}}_{1}}$ и ${{\mathcal{W}}_{2}}$ области, заключенные между положительной вещественной полупрямой ${{\mathbb{R}}_{ + }} = {\text{\{ }}w = u + i{v}\,:\;\;u > 0$, ${v} = 0{\text{\} }}$ и кривой ${{\gamma }_{ + }}$ и ${{\gamma }_{ - }}$ соответственно, см. фиг. 1а, 1б. Кроме того, введем область ${{\mathcal{W}}_{3}} = {{\mathcal{W}}_{1}} \cup {{\mathbb{R}}_{ + }} \cup {{\mathcal{W}}_{2}}$ и множество $\mathcal{W} = {{\gamma }_{ + }} \cup {{\mathcal{W}}_{3}} \cup {{\gamma }_{ - }}$.

При $\sigma < - 1{\text{/}}3$ введем область ${{\mathcal{W}}_{1}}$, ограниченную кривыми ${{\gamma }_{ + }}$ и ${{\gamma }_{ - }}$ и разрезом по замкнутой полупрямой ${{\bar {\mathbb{R}}}_{ + }} = {{\mathbb{R}}_{ + }} \cup {\text{\{ }}0{\text{\} }}$, а также область ${{\mathcal{W}}_{2}} = {{\mathcal{W}}_{1}} \cup {{\mathbb{R}}_{ + }}$, см. фиг. 1в. Наконец, обозначим $\mathcal{W} = {{\mathcal{W}}_{2}} \cup {{\gamma }_{ + }} \cup {{\gamma }_{ - }} \cup {\text{\{ }}{{w}_{{{\text{min}}}}}{\text{\} }}$.

Предложение 1. Функция ${{P}_{\sigma }}$ осуществляет двулистное отображение единичного круга $\mathcal{D}$ на множество $\mathcal{W}$. Ее якобиан обращается в этом круге в нуль на лемнискате Бута $\gamma $, которая делит его при $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$ на три области ${{\mathcal{D}}_{1}}$, ${{\mathcal{D}}_{2}}$, ${{\mathcal{D}}_{3}}$, а при $\sigma < - 1{\text{/}}3$ на две области ${{\mathcal{D}}_{1}}$, ${{\mathcal{D}}_{2}}$, отображаемые функцией ${{P}_{\sigma }}$ однолистно, причем

Кроме того, в случае $\sigma \geqslant - 1{\text{/}}3$а в случае $\sigma < - 1{\text{/}}3$

Определение 3 (коническая область). Для произвольного числа $a \in (0,1)$ положим ${{d}_{1}} = (1 - {{a}^{2}}){\text{/}}a$ и зададим область

состоящую из всех точек поверхности эллиптического конуса ${{X}^{2}} + (1 - {{a}^{2}}){{Y}^{2}} - {{a}^{2}}{{Z}^{2}} = 0$, расположенных между плоскостями $Z = 0$ и ${{\Pi }_{1}}$, где есть плоскость, перпендикулярная образующей $X = aZ$ этого конуса и отдаленная от начала координат на расстояние $\kappa {{d}_{1}}$ (см. фиг. 1в). Сечение конической области $\mathcal{K}$ каждой такой плоскостью представляет собой окружность ${{\mathcal{C}}_{\kappa }}: = {{\Pi }_{\kappa }} \cap \mathcal{K}$, а сечение плоскостью составляющей угол $\varphi $ с плоскостями ${{\Pi }_{\kappa }}$, дает интервал образующей конуса ${{L}_{\varphi }}: = {{\mathcal{P}}_{\varphi }} \cap \mathcal{K}$.

Определение 4 (поверхность вращения гиперболы). Введем поверхность

выбирая верхние знаки при $\sigma > 0$, а нижние при $\sigma < 0$. Эта поверхность образована вращением дуги гиперболы лежащей в плоскости $U = 0$, вокруг оси $W$, которая не является ее осью симметрии (см. фиг. 5, на которой жирной линией обозначена вращающаяся дуга). Каждая поперечная плоскость отсекает на $\mathcal{H}$ окружность ${{\mathcal{C}}_{\lambda }}: = {{\tilde {\Pi }}_{\lambda }} \cap \mathcal{H}$, а полуплоскость составляющая с осью $U$ угол $\psi $, отсчитываемый при $\sigma > 0$ от ее положительного, а при $\sigma < 0$ от отрицательного направления – дугу гиперболы ${{\mathcal{H}}_{\psi }}: = {{\tilde {\mathcal{P}}}_{\psi }} \cap H$ (см. фиг. 6, 7 соответственно).

Определение 5 (отображение конуса на поверхность вращения гиперболы). Зададим функцию ${{f}_{\sigma }}:{{\mathbb{R}}^{3}} \to {{\mathbb{R}}^{3}}$, ставящую в соответствие точке $(X,Y,Z)$ точку $(U,V,W)$ по следующим формулам:

Предложение 2. Функция ${{f}_{\sigma }}$ осуществляет взаимно однозначное отображение конической области $\mathcal{K}$ на поверхность вращения гиперболы $\mathcal{H}$, в частности,

ито есть каждая окружность ${{\mathcal{C}}_{\kappa }} \subset \mathcal{K}$ гомеоморфно переводится в окружность ${{\mathcal{C}}_{\lambda }} \subset \mathcal{H}$, а образующие конуса ${{L}_{\varphi }}$, лежащие в его сечении плоскостью ${{\mathcal{P}}_{\varphi }}$ под углом $\varphi $ относительно плоскости ${{\Pi }_{1}}$, переходят в гиперболы ${{H}_{{2\varphi }}}$, отсекаемые на поверхности $\mathcal{H}$ полуплоскостями ${{\tilde {\mathcal{P}}}_{{2\varphi }}}$, составляющими удвоенный угол $2\varphi $ с осью $U$.

Определение 6 (кривые в единичном круге). Введем обозначения

для окружности радиуса $\kappa $ с центром в точке $1 - \kappa $ и для лежащего в единичном круге $\mathcal{D}$ интервала прямой, проходящей через точку $z = 1$ под углом $\varphi $ относительно отрицательного направления вещественной оси (фиг. 2а).

Определение 7 (отображение конуса на круг). Введем в плоскости ${{\Pi }_{1}}$ декартову систему координат $(x,y)$ с началом в точке ${{C}_{1}}$, являющейся центром окружности ${{\mathcal{C}}_{1}}$. Ось абсцисс $x$ направим от точки ${{C}_{1}}$ к точке ${{A}_{1}}$, в которой плоскость ${{\Pi }_{1}}$ пересекается с образующей ${{L}_{{\pi /2}}}:X = aZ$, а ось ординат $y$ – перпендикулярно оси $x$ в сторону положительных значений пространственной координаты $Y$. Затем ортогонально спроецируем конус $\mathcal{K}$ на плоскость ${{\Pi }_{1}}$ с помощью отображения

и отождествим ${{\Pi }_{1}}$ с плоскостью комплексного переменного $z = x + iy$.

Предложение 3. Функция $F$ осуществляет отображение замыкания области $\mathcal{K}$ на замкнутый круг , причем $F:\mathcal{K}{\backslash }{{L}_{{\pi /2}}}\;\xrightarrow{{{\text{hom}}}}\;\mathcal{D}$, в частности,

иКроме того, $F:{{\mathcal{C}}_{1}}{\backslash }{{A}_{1}}\;\xrightarrow{{{\text{hom}}}}\;{{T}_{1}}{\backslash \{ }1{\text{\} }}$, однако, $F$ отображает образующую ${{L}_{{\pi /2}}}$ в точку $z = 1$, так что на ${{L}_{{\pi /2}}}$ нарушается взаимная однозначность.

Определение 8 (кривые на множестве значений ядра Пуассона). Примем обозначение (см. фиг. 5, 6)

для окружности с центром в точке $\lambda $ и радиусом а также обозначение ${{h}_{\psi }}$ для дуги гиперболы идущей от начала координат к асимптоте при $u \to \infty $.

Определение 9 (отображение поверхности вращения гиперболы на множество значений ядра Пуассона). Отобразим поверхность $\mathcal{H}$ на плоскость комплексного переменного $w = u + i{v}$ с помощью функции

Суть такого отображения состоит в том, что каждая окружность ${{\mathcal{C}}_{\lambda }}$, расположенная в поперечном сечении поверхности $\mathcal{H}$, поворачивается на 90° вокруг прямой $W = \lambda $, $U = 0$, являющейся ее осью симметрии (фиг. 5, 6). Иначе говоря, поверхность $\mathcal{H}$, нарезанная на окружности ${{\mathcal{C}}_{\lambda }}$ плоскостями ${{\tilde {\Pi }}_{\lambda }}$, “раскладывается” на плоскости $U = 0$, которую мы отождествляем с плоскостью переменного $w$.

Предложение 4. Функция $G$ отображает замкнутую поверхность на множество $\bar {\mathcal{W}} = \mathcal{W} \cup {\text{\{ }}0{\text{\} }}$, причем

Предложение 5. Ядро Пуассона ${{P}_{\sigma }}$ для уравнения Ламе (1.2) при $0 < \left| \sigma \right| < 1$ в круге $\mathcal{D}$ представляется как композиция функций:

и осуществляет следующее отображение кривых: и

Ядро Пуассона для уравнения Ламе обладает одним из необычных свойств, встречающихся среди решений эллиптических систем второго порядка на плоскости, которое состоит в отображении точки в кривую и наоборот. Это свойство составляет одно из ярких отличий таких функций от голоморфных, являющихся решениями системы Коши–Римана, т.е. системы уравнений первого порядка. Особенно хорошо данное свойство известно на примере гармонических функций, см. [7]. Ядро Пуассона и его производные – характерный пример.

Описанные в настоящей работе геометрические построения дают наглядное объяснение указанному явлению. Ядро Пуассона ${{P}_{\sigma }}$ для системы Ламе отображает точку $z = 1$ в вещественную полупрямую $(0,\infty )$ в смысле всевозможных пределов изнутри единичного круга $\mathcal{D}$, поскольку ${{P}_{\sigma }}(z) \to \infty $ при $z \to 1$ по любой некасательной кривой, а пределы по всевозможным кривым, касающимся единичной окружности в точке $z = 1$, образуют множество $(0,\infty )$. Круг $\mathcal{D}$ является образом конической области $\mathcal{K}$ при отображении $F$, а множество $\mathcal{W}$ значений ядра Пуассона в круге – образом поверхности $\mathcal{H}$ при отображении $G$, так что отображению ${{P}_{\sigma }}:\mathcal{D} \to \mathcal{W}$ ставится в соответствие отображение поверхностей ${{f}_{\sigma }}:\mathcal{K} \to \mathcal{H}$ такое, что ${{P}_{\sigma }} = G \circ {{f}_{\sigma }} \circ {{F}^{{ - 1}}}$. При этом точке $z = 1$ соответствует образующая ${{L}_{{\pi /2}}}$ эллиптического конуса $\mathcal{K}$ (фиг. 2а, 2в), а стремление точки $z \to 1$ под любым углом к единичной окружности, отличным от нулевого или развернутого, соответствует стремлению образа ${{F}^{{ - 1}}}(z)$ этой точки по конической поверхности $\mathcal{K}$ к началу координат. В свою очередь, начало координат в результате последовательного применения отображений ${{f}_{\sigma }}$ и $G$ отображается в бесконечно удаленную точку, и, таким образом, все некасательные пределы ядра Пуассона при $z \to 1$ оказываются равными бесконечности. Если же $z \to 1$ по кривой, касающейся единичной окружности, то образ ${{F}^{{ - 1}}}(z)$ точки $z$ на конусе стремится к некоторой точке его образующей ${{L}_{{\pi /2}}}$, отличной от нуля, а эта точка после применения функций ${{f}_{\sigma }}$ и $G$ отображается в некоторую конечную точку множества $\mathcal{W}$, так что касательные пределы ядра Пуассона ${{P}_{\sigma }}$ оказываются конечными. Только касательные пределы и могут быть конечными, поскольку невозможно, двигаясь по поверхности эллиптического конуса $\mathcal{K}$, попасть в отличную от начала координат точку на его образующей ${{L}_{{\pi /2}}}$ под углом, отличным от нулевого или развернутого – это определяется геометрией конуса.

Важным вопросом в теории отображения решениями эллиптических систем на плоскости является проблема однолистности. Она состоит в определении условий на две области и на функцию, задающую гомеоморфизм между их границами, при которых решение заданной в одной из этих областей системы уравнений, совпадающее с этой функцией на границе, осуществляет гомеоморфизм областей. Классическим результатом является теорема Радо–Кнезера–Шоке [8], [9] о взаимной однозначности гармонического отображения ограниченной жордановой области на выпуклую область при условии выполнения гомеоморфизма границ. В целом отображения комплекснозначными гармоническими функциями являются, пожалуй, наиболее хорошо изученными среди всех решений эллиптических систем второго порядка, см. [10]–[13]. Это направление активно развивается и сегодня, см. [14]–[16]. Вместе с тем в последние десятилетия растет интерес к изучению отображений решениями эллиптических систем, отличных от системы уравнений Лапласа, и проблема однолистности занимает здесь заметное место. Так, в [17] показано, что теорема Радо–Кнезера–Шоке неверна для решения некоторых систем, отличных от системы Лапласа. В работах [18], [19] даны достаточные условия, которым должно удовлетворять отображение границ, чтобы соответствующее ему непрерывное продолжение до решения кососимметричной сильно эллиптической системы с постоянными коэффициентами было однолистным.

Вместе с тем не исключено, что неоднолистные решения систем могут оказаться не только более характерными, но и в некоторых отношениях более содержательными, чем однолистные, на что указывает приводимый здесь пример ядра Пуассона для системы Ламе, которое естественным образом отождествляется со взаимно однозначным отображением поверхностей.

Тот факт, что ядро Пуассона ${{P}_{\sigma }}$ для уравнения Ламе соответствует взаимно однозначному отображению поверхностей, а не плоских областей, по-видимому, связан с двумя обстоятельствами: во-первых, ${{P}_{\sigma }}$ является комплекснозначной функцией, а во-вторых, решением дифференциального уравнения второго порядка. Напротив, ядро Пуассона для гармонических функций в круге хотя тоже является решением уравнения второго порядка, однако вещественнозначно и отображает круг на полупрямую. Это ядро является, как известно, вещественной частью ядра Шварца, которое комплекснозначно, но удовлетворяет системе уравнений Коши–Римана, имеющей первый порядок. Ядро Шварца связано с отображением плоских областей: оно однолистно отображает круг на полуплоскость. Таким образом, комплекснозначность решения эллиптического уравнения второго порядка может приводить к новым геометрическим эффектам, связанным с отображением поверхностей.

3. ОТОБРАЖЕНИЕ КРУГА НА ПЛОСКОСТЬ

Исследуем отображение единичного круга $\mathcal{D}$ с помощью ядра Пуассона (1.3). Чтобы выяснить структуру множества значений этого ядра, понадобится найти образ единичной окружности $\left| z \right| = 1$ и кривой, на которой якобиан рассматриваемого отображения обращается в нуль. Для вычислений удобно ввести полярные координаты $\rho $, $\theta $ по формулам

в этих координатах функция $w = {{P}_{\sigma }}(z)$ записывается в виде где $w = u + i{v}$.

4. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ КРУГОМ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ КОНУСОМ

5. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ МНОЖЕСТВОМ ЗНАЧЕНИЙ ЯДРА ПУАССОНА И ПОВЕРХНОСТЬЮ ВРАЩЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ

6. ОТОБРАЖЕНИЕ КОНУСА НА ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ