Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 7, стр. 1230-1242

1. ВВЕДЕНИЕ

Многочисленные исследования последних десятилетий посвящены влиянию трещин на тепловые процессы в материалах. В большинстве из них применяются численные методы, позволяющие получить решение с некоторой степенью точности (см. [1]–[5]). Другое направление в изучении подобных задач связано с использованием асимптотических методов (см. [6]–[13]).

Данная работа является второй из цикла статей, посвященных изучению стационарного распределения тепла в биматериале с одной конечной межфазной трещиной. В отличие от первой работы цикла (см. [13]), в настоящей статье рассматриваются материалы с коэффициентами внутренней теплопроводности более общего вида, что приводит к изучению краевой задачи для эллиптических уравнений с переменными коэффициентами.

Основной целью исследования данной задачи является изучение асимптотического поведения ее решения и его первых производных (температуры и теплового потока) вблизи концов трещины. В работе показана возможность перехода к задачам, подобным тем, что были рассмотрены в статьях [9]–[13], с сохранением асимптотических свойств в окрестностях концов трещины.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Пусть $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, через $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ и $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ будем соответственно обозначать множества точек $\mathbb{R}_{ + }^{2} = \left\{ {\left. x \right|{{x}_{1}} \in \mathbb{R};\;{{x}_{2}} > 0} \right\}$, $\mathbb{R}_{ - }^{2} = \left\{ {\left. x \right|{{x}_{1}} \in \mathbb{R};\;{{x}_{2}} < 0} \right\}$. Пусть $D = {{D}_{ + }} \cup {{D}_{ - }} \cup \left\{ {\left. x \right|1 < \left| {{{x}_{1}}} \right| < 2;\;{{x}_{2}} = 0} \right\}$ – область из пространства ${{\mathbb{R}}^{2}}$, где ${{D}_{ + }} = \left\{ {\left. x \right|\left| {{{x}_{1}}} \right| < 2;\;0 < {{x}_{2}} < 2} \right\}$, ${{D}_{ - }} = \left\{ {\left. x \right|\left| {{{x}_{1}}} \right| < 2;\; - 2 < {{x}_{2}} < 0} \right\}$. Кроме того, обозначим $\Gamma = \left\{ {\left. x \right|\left| {{{x}_{1}}} \right| \leqslant 2;\;{{x}_{2}} = \pm 2} \right\} \cup \left\{ {\left. x \right|{{x}_{1}} = \pm 2;\;\left| {{{x}_{2}}} \right| \leqslant 2} \right\}$, ${{\Gamma }_{ + }} = \Gamma \cap \overline {\mathbb{R}_{ + }^{2}} $, ${{\Gamma }_{ - }} = \Gamma \cap \overline {\mathbb{R}_{ - }^{2}} $. Области ${{D}_{ + }}$ и ${{D}_{ - }}$ заполнены неоднородными материалами с коэффициентами внутренней теплопроводности ${{e}^{{{{k}_{1}}({{x}_{2}})}}}$ и ${{e}^{{{{k}_{2}}({{x}_{2}})}}}$ соответственно. Стационарное распределение поля температуры в каждой из этих областей описывается уравнением_{$\operatorname{div} ({{e}^{{{{k}_{{1.5 \mp 0.5}}}({{x}_{2}})}}}\operatorname{grad} {{\tilde {u}}_{{1.5 \mp 0.5}}}(x)) = 0$ (см. [14]). Условия на границе областей ${{D}_{ + }}$ и ${{D}_{ - }}$ моделируют процесс теплообмена и теплового потока через их общую часть границы.}

Вид коэффициентов внутренней теплопроводности материалов вообще гарантирует только положительность этих величин. Действительно, если ${{k}_{p}}({{x}_{2}}) = \ln {{G}_{p}}({{x}_{2}})$, где $p = 0;\;1$, т.е. коэффициенты внутренней теплопроводности материалов имеют вид ${{G}_{p}}({{x}_{2}})$, где $p = 0;\;1$, свободный от присутствия экспоненты в представлениях. Вид коэффициентов ${{e}^{{{{k}_{{1,5 \mp 0,5}}}({{x}_{2}})}}}$ используется лишь для указания связи с задачами, рассматриваемыми в работах [9]–[13].

Сформулированная задача моделируется следующей системой дифференциальных уравнений в частных производных:

где $\Delta $ – оператор Лапласа (см. [14]): $\Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}$_.

Будем предполагать, что функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$, ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$, ${{k}_{1}}({{x}_{2}})$, ${{k}_{2}}({{x}_{2}})$, ${{f}_{1}}(x)$ и ${{f}_{2}}(x)$ удовлетворяют следующим условиям:

i) функции ${{q}_{0}}({{x}_{1}})$ и ${{q}_{1}}({{x}_{1}})$ финитны ($\operatorname{supp} {{q}_{0}}({{x}_{1}}) = \operatorname{supp} {{q}_{1}}({{x}_{1}}) = [ - 1;1]$) и принадлежат пространству ${{C}^{4}}\left( {[ - 1;1]} \right)$;

ii) функция ${{k}_{1}}({{x}_{2}})$ принадлежит пространству функций ${{C}^{\infty }}\left( {[0;2]} \right)$, а функция ${{k}_{2}}({{x}_{2}})$ – пространству ${{C}^{\infty }}\left( {[ - {\kern 1pt} 2;0]} \right)$;

iii) справедливы неравенства ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}}) > 0$, где ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}}) = {{(k_{p}^{'}({{x}_{2}}))}^{2}} + 2k_{p}^{{''}}({{x}_{2}})$, $p = 1;2$;

iv) функция ${{f}_{1}}(x)$ принадлежит пространству ${{C}^{2}}\left( {\left\{ {\left. x \right|\left| {{{x}_{1}}} \right| \leqslant 2;\;0 < {{x}_{2}} \leqslant 2} \right\}} \right)$, а функция ${{f}_{2}}(x)$ – пространству ${{C}^{2}}\left( {\left\{ {\left| {{{x}_{1}}} \right| \leqslant 2;\; - {\kern 1pt} 2 \leqslant {{x}_{2}} < 0} \right\}} \right)$, а также выполнены равенства

Замечание 1. Граничные условия (2)–(5) согласованы в точках $\left( { \pm 2;0} \right)$ в силу равенств (6).

Замечание 2. Условия (2), (3) понимаются в смысле главного значения (см. [13]).

Определение. Решением задачи (1)–(5) назовем пару функций ${{\tilde {u}}_{1}}(x)$ и ${{\tilde {u}}_{2}}(x)$, заданных соответственно на $\overline {{{D}_{ + }}} $ и $\overline {{{D}_{ - }}} $, которые в обычном смысле удовлетворяют уравнениям (1) и условиям (4), (5) и условиям (2), (3) в смысле главного значения.

Введем в рассмотрение вспомогательную задачу

В дальнейшем будем полагать, что

Сформулируем основной результат работы.

Теорема. Для компонент вектор-функции (${{\tilde {u}}_{1}}(x),\;{{\tilde {u}}_{2}}(x)$), которая является решением задачи (1)–(5), и их первых производных справедливы следующие асимптотические разложения вблизи точек $( \pm 1;0)$:

где $p = 1;2$, ${{r}_{{ - 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $ и ${{r}_{{ + 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $, а функции ${{\tilde {R}}_{j}}(x)$ равномерно ограничены на $\overline {{{D}_{{\operatorname{sgn} \{ {{{( - 1)}}^{{j + 1}}}\} }}}} $ при $j = \overline {1;6} $.

3. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ВБЛИЗИ КОНЦОВ ТРЕЩИНЫ

Замечание 3. В ходе изучения задачи (7)–(9), аналогичной задаче, рассмотренной в работах [9]–[13], может быть показано, что функции ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и ${{\text{v}}_{2}}(x)$ удовлетворяют вышеуказанным условиям для ${{f}_{1}}(x)$ и ${{f}_{2}}(x)$ (следовательно, допустимо условие (10)), а также доказаны следующие утверждения.

Утверждение 1. Если при $p = 0;1$ выполнены равенства ${{q}_{p}}( - 1) = {{q}_{p}}(1) = q_{p}^{'}( - 1) = q_{p}^{'}(1) = 0$, то задача (7)–(9) имеет решение, причем для функций ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и $z(x) = {{\text{v}}_{2}}({{x}_{1}}, - {{x}_{2}})$ справедливы следующие представления:

где ${{K}_{1}}(z)$ – функция Макдональда (см. [15]), ${{P}_{p}}({{s}_{1}}) = {{F}_{{{{x}_{1}} \to {{s}_{1}}}}}[{{q}_{p}}({{x}_{1}})]$ при $p = 0;1$, а $w_{p}^{0}({{s}_{1}}) = $ $ = - \frac{{{{P}_{1}}({{s}_{1}}) + {{{( - 1)}}^{p}}\sqrt {s_{1}^{2} + 0.25{{{\tilde {k}}}_{{3 - p}}}(0)} {{P}_{0}}({{s}_{1}})}}{{\sqrt {s_{1}^{2} + 0,25{{{\tilde {k}}}_{1}}(0)} + \sqrt {s_{1}^{2} + 0.25{{{\tilde {k}}}_{2}}(0)} }}$ при $p = 1;\;2$.

Утверждение 2. Для компонент вектор-функции $\left( {{{\text{v}}_{1}}(x),{{\text{v}}_{2}}(x)} \right)$, которая является решением задачи (7)–(9), справедливы следующие свойства:

1) функция ${{\text{v}}_{1}}(x)$ принадлежит пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ + }^{2})$, а функция $z(x)$ – пространству ${{L}_{2}}(\mathbb{R}_{ - }^{2})$;

2) выполнены равенства

Утверждение 3. Для компонент вектор-функции $\left( {{{\text{v}}_{1}}(x),{{\text{v}}_{2}}(x)} \right)$, которая является решением задачи (7)–(9), и их первых производных справедливы следующие асимптотические разложения вблизи точек ($ \pm 1;\;0$):

где ${{r}_{{ - 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} + 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $ и ${{r}_{{ + 1}}}(x) = \sqrt {{{{({{x}_{1}} - 1)}}^{2}} + x_{2}^{2}} $, а функции ${{R}_{j}}(x)$ являются равномерно ограниченными на любых компактах $K \subset \overline {{{\mathbb{R}}_{{\operatorname{sgn} \{ {{{( - 1)}}^{{j + 1}}}\} }}}} $ при $j = \overline {1;6} $.

Утверждение 4. Функции $\frac{{{{\partial }^{2}}{{\text{v}}_{1}}( \pm 2,{{x}_{2}})}}{{\partial x_{2}^{2}}}$ и $\frac{{{{\partial }^{2}}z( \pm 2,{{x}_{2}})}}{{\partial x_{2}^{2}}}$ принадлежат пространству $C(0;2) \cap {{L}_{2}}(0;2)$, где ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и $z(x)$ заданы равенствами (11).

Введем в рассмотрение функции

тогда, с учетом предположений (10), относительно функций ${{\tilde {v}}_{1}}(x)$ и ${{\tilde {v}}_{2}}(x)$ получим следующую задачу: Вычтем из равенств последней задачи соответствующие равенства задачи (7)–(9), таким образом, относительно функций получим задачу

Выпишем однородные уравнения, соответствующие (14),

и будем искать их решения в виде ${{V}_{p}}(x) = {{A}_{p}}({{x}_{1}}){{B}_{p}}({{x}_{2}})$, $p = 1;2$. Подставим последние представления в (18) и разделим обе части получившихся равенств на ${{A}_{p}}({{x}_{1}}){{B}_{p}}({{x}_{2}})$ (ищем нетривиальное решение ), в результате получим Левые части равенств (19) зависят только от ${{x}_{1}}$, а правые – только от ${{x}_{2}}$, так как равенства (19) определены для любых $x \in {{D}_{{\operatorname{sgn} (3 - 2p)}}}$, $p = 1;2$, то левые и правые части (19) не зависят ни от ${{x}_{1}}$, ни от ${{x}_{2}}$, т.е. являются константой (см. [16]). Обозначим эту константу $ - \lambda $, таким образом, получаем уравнения где $p = 1;2$. Следовательно, имеем следующие обыкновенные дифференциальные уравнения

Выясним, как преобразуются граничные условия (17) при указанных представлениях функций ${{V}_{p}}(x)$, $p = 1;2$. Так как предполагаем, что , где $p = 1;2$, при ${{x}_{2}} \in \left[ { - 2;2} \right]$, получим

Таким образом, для нахождения функций ${{A}_{p}}({{x}_{1}})$ ($p = 1;2$) имеем задачу (20), (22). Введем в рассмотрение функции ${{\tilde {A}}_{p}}({{x}_{1}}) = {{A}_{p}}({{x}_{1}} - 2)$, $p = 1;2$, тогда относительно ${{\tilde {A}}_{1}}({{x}_{1}})$ и ${{\tilde {A}}_{2}}({{x}_{1}})$ задача (20), (22) примет вид

Ранее отмечалось, что ищем при $p = 1;2$, следовательно, при $p = 1;2$.

Пусть $p = 1;2$. Характеристическое уравнение для (23) имеет вид ${{\alpha }^{2}} + \lambda = 0$. В случае $\lambda \leqslant 0$ только нулевая функция является решением задачи (23), (24); если же $\lambda > 0$, то общее решение уравнения (23) имеет вид ${{\tilde {A}}_{p}}({{x}_{1}}) = {{c}_{{1,p}}}\cos (\sqrt \lambda {{x}_{1}}) + {{c}_{{2,p}}}\sin (\sqrt \lambda {{x}_{1}})$. Чтобы данная функция удовлетворяла условию (24), необходимо, чтобы $({{c}_{{1,p}}},{{c}_{{2,p}}})$ было решением системы

Разыскиваем нетривиальные решения ${{\tilde {A}}_{1}}({{x}_{1}})$ и ${{\tilde {A}}_{2}}({{x}_{1}})$, поэтому ${{c}_{{2,p}}} \ne 0$, следовательно, $\sin (4\sqrt \lambda ) = 0$, т.е. $\lambda = {{\left( {\frac{{\pi n}}{4}} \right)}^{2}}$, $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\lambda > 0$, то  собственными  значениями (см. [14]) задачи (23), (24) являются ${{\lambda }_{n}} = {{\left( {\frac{{\pi n}}{4}} \right)}^{2}}$, $n \in \mathbb{N}$. При этом соответствующие собственные функции, определенные с точностью до произвольной постоянной, имеют вид ${{\tilde {A}}_{{p,n}}}({{x}_{1}}) = \sin \frac{{\pi n{{x}_{1}}}}{4}$, $n \in \mathbb{N}$, следовательно, ${{A}_{{p,n}}}({{x}_{1}}) = \sin \frac{{({{x}_{1}} + 2)\pi n}}{4}$, $n \in \mathbb{N}$, поэтому решения ${{V}_{p}}(x)$, $p = 1;2$, будем искать в виде Но прежде разложим неоднородности уравнений (14) в ряды Фурье по синусам, т.е. представим

Замечание 4. Функции $0.25({{\tilde {k}}_{p}}(0) - {{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})){{\text{v}}_{p}}(x)$, $p = 1;2$, принадлежат классу ${{L}_{2}}( - 2;2)$ по переменной ${{x}_{1}}$. Действительно, это вытекает из условий на функции ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$, а следовательно, на функции ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$, где $p = 1;2$, и свойств ${{\text{v}}_{1}}(x)$ и ${{\text{v}}_{2}}(x)$, сформулированных ранее.

Несложно показать, что коэффициенты Фурье в (26) определяются в виде

Замечание 5. Из представлений (27), свойств функций ${{\text{v}}_{p}}(x)$ и условий на функции ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$ (а следовательно, на функции ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$) при $p = 1;2$, несложно доказать, что ${{D}_{{1,n}}}({{x}_{2}}) \in C\left( {0;2} \right) \cap {{L}_{2}}\left( {0;2} \right)$, ${{D}_{{2,n}}}({{x}_{2}}) \in C\left( { - 2;0} \right) \cap {{L}_{2}}\left( { - 2;0} \right)$, $n \in \mathbb{N}$.

Подставив представления (25), (26) в уравнения (14) и условия (15)–(17), получим

Так как функции $\sin \frac{{({{x}_{1}} + 2)\pi }}{4}$, $\sin \frac{{({{x}_{1}} + 2)\pi }}{2}$, $\sin \frac{{({{x}_{1}} + 2)3\pi }}{4}$, $\;...$ являются линейно независимыми, то функции ${{B}_{{p,n}}}({{x}_{2}})$, где $p = 1;2$, $n \in \mathbb{N}$, должны быть решениями следующих задач:

Введем обозначения

Тогда относительно ${{B}_{n}}({{x}_{2}})$ получаем следующие задачи:

Решениями задач (33)–(36) будем называть функции ${{B}_{n}}({{x}_{2}}) \in {{H}^{1}}( - 2;2)$, удовлетворяющие интегральным тождествам

при всех $\Psi ({{x}_{2}}) \in {{\dot {H}}^{1}}( - 2;2)$ и условиям (36).

Так как при фиксированных ${{D}_{n}}({{x}_{2}}) \in {{L}_{2}}( - 2;2)$ линейные по $\Psi ({{x}_{2}}) \in {{\dot {H}}^{1}}( - 2;2)$ функционалы $\int_{ - 2}^2 {{{D}_{n}}({{x}_{2}})\Psi ({{x}_{2}})d{{x}_{2}}} $, $n \in \mathbb{N}$, ограничены

где постоянная $C > 0$ не зависит от ${{D}_{n}}({{x}_{2}})$ и $\Psi ({{x}_{2}})$, то по теореме Рисса в ${{H}^{1}}( - 2;2)$ существуют функции ${{\tilde {B}}_{n}}({{x}_{2}})$, $n \in \mathbb{N}$, для которых при всех $\Psi ({{x}_{2}}) \in {{\dot {H}}^{1}}( - 2;2)$, причем эти функции единственны и , $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, в ${{H}^{1}}( - 2;2)$ существуют единственные ${{B}_{n}}({{x}_{2}}) = {{\tilde {B}}_{n}}({{x}_{2}})$, удовлетворяющие тождествам (37).

Так как ${{H}^{1}}( - 2;2) \subset C\left( {[ - 2;2]} \right)$, то ${{B}_{n}}({{x}_{2}}) \in C\left( {[ - 2;2]} \right)$, $n \in \mathbb{N}$. С учетом представлений (27), (28), (30), (31), условий на функции ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$, а следовательно, на функции ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$, где $p = 1;2$, и свойств функций ${{\text{v}}_{p}}(x)$, $p = 1;2$, при всех натуральных $n$ функции ${{D}_{n}}({{x}_{2}}) + {{Q}_{n}}({{x}_{2}}){{B}_{n}}({{x}_{2}})$ принадлежат классу функций, непрерывных на отрезках $[ - 2;0]$ и $[0;2]$ (${{C}^{0}}\left( {[ - 2;0]} \right) \cap {{C}^{0}}\left( {[0;2]} \right)$), следовательно, функции $\int_0^{{{x}_{2}}} {\left( {{{D}_{n}}(\xi ) + {{Q}_{n}}(\xi ){{B}_{n}}(\xi )} \right)d\xi } $, $n \in \mathbb{N}$ из класса ${{C}^{0}}\left( {[ - 2;2]} \right) \cap {{C}^{1}}\left( {[ - 2;0]} \right) \cap {{C}^{1}}\left( {[0;2]} \right)$.

Заметим, что

являются решениями (33), следовательно, для всех $\Psi ({{x}_{2}}) \in {{\dot {H}}^{1}}( - 2;2)$ функции ${{B}_{{n,0}}}({{x}_{2}})$, $n \in \mathbb{N}$, удовлетворяют равенствам

Очевидно, что ${{B}_{{n,1}}}({{x}_{2}})\, = \,{{B}_{n}}({{x}_{2}})\, - \,{{B}_{{n,0}}}({{x}_{2}})$, $n\, \in \,\mathbb{N}$, удовлетворяют равенствам $\int_{ - 2}^2 {B_{{n,1}}^{'}({{x}_{2}})\Psi {\text{'}}({{x}_{2}})d{{x}_{2}}} \, = \,0$, $n \in \mathbb{N}$, т.е. функции $B_{{n,1}}^{'}({{x}_{2}})$ на $( - 2;2)$ имеют обобщенные производные, равные $0$, следовательно, $B_{{n,1}}^{'}({{x}_{2}}) = {\text{const}}$, поэтому ${{B}_{{n,1}}}({{x}_{2}}) \in {{C}^{2}}\left( {[ - 2;2]} \right)$. Из вышеизложенного получаем, что ${{B}_{n}}({{x}_{2}})$, $n \in \mathbb{N}$, и их первые производные непрерывны на отрезке $[ - 2;2]$, а их вторые производные являются непрерывными на отрезках $[ - 2;0]$ и $[0;2]$.

Итак, доказали следующее

Утверждение 5. Функции ${{B}_{n}}({{x}_{2}}) \in {{H}^{1}}( - 2;2)$, удовлетворяющие интегральным тождествам (37), принадлежат классу функций ${{C}^{1}}\left( {[ - 2;2]} \right) \cap {{C}^{2}}\left( {[ - 2;0]} \right) \cap {{C}^{2}}\left( {[0;2]} \right)$ и на интервале $( - 2;2)$ являются решениями уравнений (33).

Замечание 6. Очевидно, что из утверждения 5 следует выполнение условий (34), (35).

Выясним поведение функций ${{B}_{n}}({{x}_{2}})$ при больших $n$. Рассмотрим однородные уравнения, соответствующие (33),

или эквивалентные им системы

Согласно условиям на функции ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$, а следовательно, на функции ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$, где $p = 1;2$, функции ${{Q}_{n}}({{x}_{2}})$, $n \in \mathbb{N}$, принимают лишь положительные значения.

Подобно тому, как сделано в [18], можно доказать, что преобразования

приводят системы (39) к виду где ${{\alpha }_{n}} = 0.125Q_{n}^{{''}}{{({{Q}_{n}})}^{{ - 1.5}}} - 0.15625{{(Q_{n}^{'})}^{2}}{{({{Q}_{n}})}^{{ - 2.5}}}$, $n \in \mathbb{N}$. Если в последних системах отбросить члены, содержащие ${{\alpha }_{n}}({{x}_{2}})$, то системы распадутся на пары независимых уравнений. Укороченные системы имеют решения $W_{n}^{{[j]}}({{x}_{2}}) = B_{{j,n}}^{0}({{x}_{{2,0}}},{{x}_{2}}){{e}_{j}}$, $j = 1;2$, где обозначено

Пусть ${{\rho }_{n}}({{x}_{{2,0}}},{{x}_{2}}) = \left| {\int_{{{x}_{{2,0}}}}^{{{x}_{2}}} {\left| {{{\alpha }_{n}}(t)} \right|dt} } \right|$, тогда, воспользовавшись представлением ${{\alpha }_{n}}({{x}_{2}})$, представлениями (28), (31) и условиями на ${{\tilde {k}}_{1}}({{x}_{2}})$ и ${{\tilde {k}}_{2}}({{x}_{2}})$, получаем, что ${{\alpha }_{n}}(t) \leqslant C{{n}^{{ - 3}}}$, где $C$ – некоторая постоянная, а следовательно, ${{\rho }_{n}}({{x}_{{2,0}}},{{x}_{2}}) = O({{n}^{{ - 3}}})$ при $n \to + \infty $.

Аналогично тому, как сделано в [18, гл. 7, §2]), можно доказать следующее

Утверждение 6. Уравнение $B_{n}^{{''}}({{x}_{2}}) - {{Q}_{n}}({{x}_{2}}){{B}_{n}}({{x}_{2}}) = 0$ имеет решения $B_{n}^{{\{ 1\} }}({{x}_{2}})$ и $B_{n}^{{\{ 2\} }}({{x}_{2}})$ такие, что $B_{n}^{{\{ 1\} }}( - 2) = B_{n}^{{\{ 2\} }}(2) = 0$ и при ${{x}_{2}} \in \left( { - 2;2} \right)$

Замечание 7. Ранее получили, что ${{\rho }_{n}}({{x}_{{2,0}}},{{x}_{2}}) = O({{n}^{{ - 3}}})$, следовательно, ${{\rho }_{n}}( - 2,{{x}_{2}}) \leqslant C{{n}^{{ - 3}}}$, $C$ – некоторая константа. Поэтому

где ${{C}_{1}}$ – некоторая константа, т.е. Аналогично доказывается, что ${{e}^{{2{{\rho }_{n}}({{x}_{2}},2)}}} - 1 = O({{n}^{{ - 3}}})$ при $n \to + \infty $.

Из утверждения 6 и замечания 7 можно сделать вывод, что

Выберем ${{x}_{{2,0}}} = - 2$ при $j = 1$ и ${{x}_{{2,0}}} = 2$ при $j = 2$ в $B_{{j,n}}^{0}({{x}_{{2,0}}},{{x}_{2}})$, тогда, с учетом представлений (40), (41), для $n \to + \infty $ имеем

Замечание 8. Очевидно, что пары функций $B_{n}^{{\{ 1\} }}({{x}_{2}})$ и $B_{n}^{{\{ 2\} }}({{x}_{2}})$ являются линейно независимыми ($n \in \mathbb{N}$).

Решение задачи (33)–(36) будем искать в виде

где функции $C_{n}^{{\{ 1\} }}({{x}_{2}})$ и $C_{n}^{{\{ 2\} }}({{x}_{2}})$ будем находить с помощью метода вариации постоянных, следовательно, функции $(C_{n}^{{\{ 1\} }}){\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{2}})$ и $(C_{n}^{{\{ 2\} }}){\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{2}})$ должны удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений (см. [14]) при $n \in \mathbb{N}$. Так как решения $B_{n}^{{\{ 1\} }}({{x}_{2}})$ и $B_{n}^{{\{ 2\} }}({{x}_{2}})$ линейно независимы, то определители Вронского отличны от нуля Кроме того, имеет место тождество Остроградского-Лиувилля (см. [14]), ${{w}_{n}}({{x}_{2}})\, = \,{{w}_{n}}(0)\, = \,{{a}_{n}}\, = \,{\text{const}}$ при $n \in \mathbb{N}$. Таким образом, компоненты решения $((C_{n}^{{\{ 1\} }}){\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{2}}),(C_{n}^{{\{ 2\} }}){\kern 1pt} {\text{'}}({{x}_{2}}))$ системы (45) имеют вид

Решения ${{B}_{n}}({{x}_{2}})$, где $n \in \mathbb{N}$, должны удовлетворять условиям (34)–(36), следовательно, согласно представлениям (44), системам уравнений (45) и замечанию 6, функции $C_{n}^{{\{ 1\} }}({{x}_{2}})$ и $C_{n}^{{\{ 2\} }}({{x}_{2}})$, где $n \in \mathbb{N}$, должны удовлетворять следующим системам:

при $n \in \mathbb{N}$. С учетом условий $B_{n}^{{\{ 1\} }}( - 2) = B_{n}^{{\{ 2\} }}(2) = 0$ и предположения $C_{n}^{{\{ 1\} }}(2) = C_{n}^{{\{ 2\} }}( - 2) = 0$, получаем верные тождества в последней системе. Тогда, проинтегрировав равенства (46) по отрезкам $\left[ { - 2;{{x}_{2}}} \right]$ и $\left[ {{{x}_{2}};2} \right]$ соответственно, получаем представления функций $C_{{p,n}}^{{[1]}}({{x}_{2}})$ и $C_{{p,n}}^{{[2]}}({{x}_{2}})$где $n \in \mathbb{N}$. Следовательно, с учетом (44), получаем представления функций ${{B}_{n}}({{x}_{2}})$ при $n \in \mathbb{N}$где являются функциями Грина при $n \in \mathbb{N}$ (см. [14]).

Исследуем на непрерывность функции ${{V}_{1}}(x)$ и ${{V}_{2}}(x)$, решение задачи (14)–(17), являющиеся сужениями на ${{D}_{ + }}$ и ${{D}_{ - }}$ соответственно функции $V(x)$ (см. представление (32)) и их первые производные.

В силу представлений (25), (29) и (32), функция $V(x)$ принимает вид

где ${{D}_{n}}(\xi )$ при $n \in \mathbb{N}$ заданы равенствами (30), а ${{G}_{n}}(\xi ,{{x}_{2}})$ при $n \in \mathbb{N},\;n > {{n}_{0}}$ – равенствами (49). Ранее было показано, что ${{B}_{n}}({{x}_{2}}) \in {{C}^{1}}\left( {[ - 2;2]} \right) \cap {{C}^{2}}\left( {[ - 2;0]} \right) \cap {{C}^{2}}\left( {[0;2]} \right)$, поэтому остается изучить поведение ряда

и его первых производных.

Замечание 9. Согласно равенствам (42), (43), (49), имеем следующие представления функций Грина и их первых производных по переменной ${{x}_{2}}$ при $n \to + \infty $

Проведем несколько вспомогательных оценок на отрезке $[ - 2;2]$ при $n \to + \infty $. В силу представлений (28), (31) и условий на функции ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$ (следовательно, на функции ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$) при $p = 1;2$, справедливы следующие неравенства:

где ${{C}_{2}}$ – некоторая неотрицательная константа.

Из приведенных выше неравенств получаем, что на отрезке $[ - 2;2]$ при $n \to + \infty $ справедливы следующие оценки для указанных функций Грина и их первых производных по переменной ${{x}_{2}}$

где ${{C}_{3}}$ – некоторая неотрицательная константа.

Перейдем к оценкам функций ${{D}_{n}}(\xi )$. Согласно представлениям (30), функция ${{D}_{n}}(\xi )$ принимает значения либо ${{D}_{{1,n}}}(\xi )$, либо ${{D}_{{2,n}}}(\xi )$, заданные равенствами (27). Проведем оценку только ${{D}_{{1,n}}}(\xi )$ (аналогичные неравенства можно получить для ${{D}_{{2,n}}}(\xi )$) при $n \to + \infty $.

Пользуясь представлениями (27) и интегрированием по частям, получаем

Согласно условиям на функции ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$, представлениям функций ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$ при $p = 1;2$ и теореме Лагранжа (см. [19]), имеем ${{\tilde {k}}_{1}}(0) - {{\tilde {k}}_{1}}(\xi ) = - \xi ({{\tilde {k}}_{1}}){\text{'}}(\zeta )$, $\zeta \in \left( {0;\xi } \right)$. В дополнение к этому равенству воспользуемся асимптотическим разложением первой производной функции ${{\text{v}}_{1}}(y,\xi )$ по переменной $y$, тогда интеграл в представлении (53) примет вид

где ${{\eta }_{j}}(y,\xi ) = {{\xi }^{2}}{{({{(y + {{( - 1)}^{{j + 1}}})}^{2}} + {{\xi }^{2}})}^{{ - 1}}}$, ${{\eta }_{{j + 2}}}(y,\xi ) = \xi \ln \sqrt {{{{(y + {{{( - 1)}}^{{j + 1}}})}}^{2}} + {{\xi }^{2}}} $, $j = 1;2$. Очевидно, что $\left| {{{\eta }_{j}}(y,\xi )} \right| \leqslant 1$, $\left| {{{\eta }_{{j + 2}}}(y,\xi )} \right| \leqslant \xi \ln \sqrt {9 + {{\xi }^{2}}} $ при $y \in \left[ { - 2;2} \right]$, $j = 1;2$.

Чтобы доказать ограниченность функций $\left| {{{\eta }_{{j + 2}}}(y,\xi )} \right| \leqslant \xi \ln \sqrt {9 + {{\xi }^{2}}} $ при $\xi \in \left[ {0;2} \right]$ рассмотрим два случая (${{\eta }_{{j + 2}}}(y,0) = 0$). Если $\delta \leqslant \xi \leqslant 2$, тогда $\xi \ln \sqrt {9 + {{\xi }^{2}}} \leqslant 2\ln \sqrt {13} < 3$. Если же $0 < \xi < \delta $, где $\delta $ – некоторая малая величина, тогда с помощью правила Лопиталя (см. [19]) имеем

Таким образом, при $y \in \left[ { - 2;2} \right]$ и $\xi \in \left[ {0;2} \right]$ справедливы оценки

Согласно оценкам (55), условию гладкости функций ${{q}_{{p - 1}}}({{x}_{1}})$ и ${{k}_{p}}({{x}_{2}})$ при $p = 1;2$, представлениям (53), (54) и функций ${{\tilde {k}}_{p}}({{x}_{2}})$, где $p = 1;2$, и ограниченности функций $\cos \frac{{\pi n(y + 2)}}{4}$ при $n \in \mathbb{N}$ и ${{\text{v}}_{1}}(y,\xi )$, имеем оценку

где ${{C}_{4}}$ – некоторая неотрицательная постоянная. Вернемся к представлениям компонент решения задачи (14)–(17). Согласно оценкам (51), (52) и (56) при $n \to + \infty $, получаем где ${{C}_{5}}$ – некоторая неотрицательная постоянная.

Таким образом, согласно представлениям (50), ряды $V(x)$, $\frac{{\partial V(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial V(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ абсолютно сходятся при $n \to + \infty $, следовательно, согласно признаку Вейерштрасса (см. [19]), они сходятся равномерно. Кроме того, члены каждого из этих рядов непрерывны на $\bar {D}$, тогда функции $V(x)$, $\frac{{\partial V(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$ и $\frac{{\partial V(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ непрерывны на $\bar {D}$ (см. [19]), поэтому, в силу представлений (13), (32), функции ${{\tilde {v}}_{p}}(x)$, $\frac{{\partial {{{\tilde {v}}}_{p}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial {{{\tilde {v}}}_{p}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ имеют такие же асимптотические представления вблизи точек $\left( { \pm 1;0} \right)$, что и функции ${{\text{v}}_{p}}(x)$, $\frac{{\partial {{\text{v}}_{p}}(x)}}{{\partial {{x}_{1}}}}$, $\frac{{\partial {{\text{v}}_{p}}(x)}}{{\partial {{x}_{2}}}}$ соответственно ($p = 1;2$).

Использовав соотношения (12), можно построить соответствующие асимптотические представления функций ${{\tilde {u}}_{p}}(x)$ при $\,p = 1;2$ и их первых производных. Таким образом, справедливость теоремы, сформулированной ранее, доказана.