Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 7, стр. 1201-1229

Асимптотика и устойчивость стационарного погранслойного решения частично диссипативной системы уравнений

В. Ф. Бутузов^*

МГУ, физ. ф-т
119992 Москва, Ленинские горы, Россия

Поступила в редакцию 03.03.2019
После доработки 03.03.2019
Принята к публикации 10.04.2019

DOI: 10.1134/S0044466919070159

Аннотация

Построена и обоснована асимптотика по малому параметру погранслойного решения краевой задачи для сингулярно возмущенной частично диссипативной системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых второго, а другое – первого порядка. Это решение является стационарным решением соответствующей эволюционной системы уравнений с частными производными. Доказана асимптотическая устойчивость стационарного погранслойного решения и найдена его локальная область притяжения. Библ. 10.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная частично диссипативная система уравнений, пограничный слой, асимптотическая устойчивость решения, асимптотический метод дифференциальных неравенств.

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Постановка задачи

Рассмотрим систему уравнений

${{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial t}} + w(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right) + F(u,v,x,\varepsilon ) = 0,$

(1)

${{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}} + w(x)\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right) + \tilde {f}(u,v,x,\varepsilon ) = 0,$

$(x,t) \in D = (0 < x < 1) \times (t > 0),$

в которой $u$ и $v$ – искомые скалярные функции, $\varepsilon > 0$ – малый параметр, $w(x) > 0$ и $F$, $\tilde {f}$ – заданные достаточно гладкие функции соответственно на отрезке $0 \leqslant x \leqslant 1$ и в области

(2)

$G = \left\{ {(u,v,x,\varepsilon ):u \in {{I}_{u}},\;v \in {{I}_{v}},\;x \in [0;1],\;\varepsilon \in [0,{{\varepsilon }_{0}}]} \right\},$

где ${{I}_{u}}$ и ${{I}_{v}}$ – некоторые интервалы, ${{\varepsilon }_{0}} > 0$.

Система вида (1) относится к классу так называемых частично диссипативных систем, поскольку член со второй производной (диссипативный член) содержится только в одном уравнении. Такие системы возникают, в частности, в задачах химической кинетики в случае быстрых реакций. В этом случае $u$ и $v$ – концентрации реагирующих веществ, ${{\varepsilon }^{{ - 2}}}$ – так называемая константа скорости быстрой реакции (большая величина).

В стационарном случае, когда искомые функции $u$ и $v$ не зависят от времени, система (1) становится системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которую, положив

$f(u,v,x,\varepsilon ) = - {{w}^{{ - 1}}}(x)\tilde {f}(u,v,x,\varepsilon ),$

запишем в виде

(3)

$\begin{gathered} {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{du}}{{dx}}} \right) = F(u,v,x,\varepsilon ), \\ {{\varepsilon }^{2}}\frac{{dv}}{{dx}} = f(u,v,x,\varepsilon ),\quad x \in (0;1). \\ \end{gathered} $

Будем рассматривать систему (3) с краевыми условиями

(4)

$u(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}},\quad v(0,\varepsilon ) = {{v}^{0}},\quad u(1,\varepsilon ) = {{u}^{1}}.$

При $\varepsilon = 0$ из (3) получаем вырожденную систему

(5)

$F(u,v,x,0) = 0,\quad f(u,v,x,0) = 0.$

Цели работы. 1. Установить условия, при которых существует погранслойное решение (обозначим его ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$) задачи (3), (4), т.е. такое решение, которое при $\varepsilon \to 0$ стремится на интервале $0 < x < 1$ к решению вырожденной системы (5), и построить для этого решения асимптотическое приближение с произвольной точностью по параметру ε на всем отрезке $0 \leqslant x \leqslant 1$, включая пограничные слои – малые окрестности граничных точек $x = 0$ и $x = 1$, где решение ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ отлично от решения вырожденной системы.

2. Погранслойное решение ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ задачи (3), (4) является стационарным решением системы (1). Встают вопросы об устойчивости этого решения (по Ляпунову) при $t \to \infty $ и о его области притяжения, т.е. о том множестве функций ${{u}_{0}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{0}}(x,\varepsilon )$, $x \in [0;1]$, для которых решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$ системы (1) с начальными условиями

$u(x,0,\varepsilon ) = {{u}_{0}}(x,\varepsilon ),\quad v(x,0,\varepsilon ) = {{v}_{0}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1],$

и краевыми условиями, согласованными с условиями (4) (см. (92) в разд. 4), существует при $t > 0$ и удовлетворяет предельным равенствам

$\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } u(x,t,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ),\quad \mathop {lim}\limits_{t \to \infty } v(x,t,\varepsilon ) = {{v}_{s}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1].$

Получить ответы на эти вопросы также является целью работы.

В п. 1.2 представлены условия, обеспечивающие существование искомого погранслойного решения. В разд. 2 при этих условиях для задачи (3), (4) построены формальные асимптотические (при $\varepsilon \to 0$) ряды, а в разд. 3 доказано существование решения задачи (3), (4), обладающего построенной асимптотикой. В разд. 4 доказана асимптотическая устойчивость стационарного погранслойного решения и найдена его локальная область притяжения. В разд. 5 содержатся некоторые замечания, относящиеся к рассмотренной задаче и возможным ее продолжениям.

Отметим, что другие задачи для сингулярно возмущенных частично диссипативных систем рассматривались в работах [1], [2].

1.2. Условия

Сформулируем условия, при которых будет доказано для достаточно малых $\varepsilon $ существование погранслойного решения задачи (3), (4) и построено его асимптотическое приближение. Будем нумеровать эти условия так: А1, А2, … .

В п. 1.1 говорилось о достаточной гладкости функций $w$, $F$, $f$. Как обычно, требуемый порядок гладкости зависит от порядка асимптотики, которую хотят построить. Поскольку речь пойдет об асимптотике произвольного порядка, будем считать эти функции бесконечно дифференцируемыми.

A1. $w(x) \in {{C}^{\infty }}[0;1]$, $F \in {{C}^{\infty }}(G)$, $f \in {{C}^{\infty }}(G)$, где область $G$ определена в (2), и пусть

${{u}^{0}} \in {{I}_{u}},\quad {{v}^{0}} \in {{I}_{v}},\quad {{u}^{1}} \in {{I}_{u}},$

где ${{I}_{u}}$ и ${{I}_{v}}$ – интервалы, фигурирующие в определении области $G$.

A2. Уравнение

(6)

$f(u,v,x,0) = 0$

имеет бесконечно дифференцируемый корень

$v = \varphi (u,x),\quad {\text{п р и ч е м }}\quad \varphi (u,x) \in {{I}_{v}}\quad {\text{п р и }}\quad u \in {{I}_{u}},\quad x \in [0;1],$

а уравнение

(7)

$g(u,x): = F\left( {u,\varphi (u,x),x,0} \right) = 0$

имеет бесконечно дифференцируемый корень

$u = {{\bar {u}}_{0}}(x),\quad {\text{п р и ч е м }}\quad {{\bar {u}}_{0}}(x) \in {{I}_{u}}\quad {\text{п р и }}\quad x \in [0;1].$

Положим ${{\bar {v}}_{0}}(x): = \varphi \left( {{{{\bar {u}}}_{0}}(x),x} \right)$.

Чтобы сформулировать остальные пять условий, определим несколько кривых в пространстве $(u,v,x)$:

${{L}_{1}} = \{ (u,v,x):u = {{u}^{0}},\;v \in [{{v}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0)],\;x = 0\} ,$

${{L}_{2}} = \{ (u,v,x):u \in [{{u}^{0}},{{\bar {u}}_{0}}(0)],\;v = \varphi (u,0),\;x = 0\} ,$

${{L}_{3}} = \{ (u,v,x):u = {{\bar {u}}_{0}}(x),\;v = {{\bar {v}}_{0}}(x),\;x \in [0;1]\} ,$

${{L}_{4}} = \{ (u,v,x):\;\;u \in [{{\bar {u}}_{0}}(1),{{u}^{1}}],\;v = \varphi (u,1),\;x = 1\} .$

Заметим, что кривые ${{L}_{1}}$ и ${{L}_{2}}$ лежат в плоскости $x = 0$, а кривая ${{L}_{4}}$ лежит в плоскости $x = 1$. Каждая из этих кривых может вырождаться в точку. Например, если ${{v}^{0}} = \varphi ({{u}^{0}},0)$, то отрезок ${{L}_{1}}$ вырождается в точку $({{u}^{0}},{{v}^{0}},0)$. Такие вырождения упрощают задачу. Для определенности будем считать, что ни одна из этих кривых не вырождается в точку, т.е.

${{v}^{0}} \ne \varphi ({{u}^{0}},0),\quad {{u}^{0}} \ne {{\bar {u}}_{0}}(0),\quad {{u}^{1}} \ne {{\bar {u}}_{0}}(1).$

Обозначим через ${{l}_{i}}$ проекцию кривой ${{L}_{i}}$ на плоскость $(u,x)$ для $i = 2,3,4$ и положим

(8)

$L = U_{{i = 1}}^{4}{{L}_{i}}.$

Очевидно, что $L$ является непрерывной кривой, составленной из четырех гладких звеньев.

Сформулируем теперь условия А3–А7.

A3. $\frac{{\partial f}}{{\partial v}}(u,v,x,0) < 0$ в точках кривых ${{L}_{2}},\;{{L}_{3}},\;{{L}_{4}}$.

A4. $\frac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,x) > 0$ в точках кривых ${{l}_{2}},\;{{l}_{3}},\;{{l}_{4}}$.

A5. $f(u,v,x,0) \ne 0$ в точках кривой ${{L}_{1}},$ кроме точки $({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0)$ т.е. $f({{u}^{0}},v,0,0) \ne 0$ при $v \in [{{v}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0))$.

A6. $\frac{{\partial F}}{{\partial v}}(u,v,x,0) < 0$ в точках кривой $L$.

A7. $\frac{{\partial f}}{{\partial u}}(u,v,x,0) > 0$ в точках кривой $L$.

Заметим, что в силу условия А3 корень $v = \varphi (u,x)$ уравнения (6) является простым, а в силу условия А4 корень $u = {{\bar {u}}_{0}}(x)$ уравнения (7) также является простым. Отметим также, что условия А1–А5 понадобятся в разд. 2 при построении асимптотики решения. а условия А6 и А7 будут нужны в разд. 3 и разд. 4 при обосновании асимптотики и доказательстве устойчивости стационарного решения.

2. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ (3), (4)

2.1. Вид асимптотики

Формальную погранслойную асимптотику в задаче (3), (4) построим в виде

(9)

$u(x,\varepsilon ) = \bar {u}(x,\varepsilon ) + \Pi u(\xi ,\varepsilon ) + Pu(\zeta ,\varepsilon ) + Qu(\tilde {\xi },\varepsilon ),$

(10)

$v(x,\varepsilon ) = \bar {v}(x,\varepsilon ) + \Pi v(\xi ,\varepsilon ) + Pv(\zeta ,\varepsilon ) + Qv(\tilde {\xi },\varepsilon ),$

где $\bar {u}$, $\bar {v}$ – регулярные части асимптотики; $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$ – погранслойные части, описывающие погранслойное поведение решения в окрестности точки $x = 0$; $\xi = x{\text{/}}\varepsilon $ и $\zeta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}$ – погранслойные переменные; $Qu$, $Qv$ – погранслойные части асимптотики, описывающие поведение решения в окрестности точки $x = 1$; $\tilde {\xi } = (x - 1){\text{/}}\varepsilon $ – погранслойная переменная. Каждое слагаемое в правых частях (9) и (10) будет построено в виде ряда по целым степеням $\varepsilon $ с помощью известного алгоритма А.Б. Васильевой (см. [3]).

2.2. Регулярные части асимптотики

Построим их в виде

(11)

$\bar {u}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{\bar {u}}_{i}}(x),\quad \bar {v}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{\bar {v}}_{i}}(x).$

Стандартным способом, т.е. подставив ряды (11) в систему (3) вместо $u$ и $v$, разложив правые части уравнений в ряды по степеням $\varepsilon $ и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon $ в левой и правой части каждого уравнения, получим последовательно для $i = 0,1,2 \ldots $ системы уравнений относительно ${{\bar {u}}_{i}}(x)$, ${{\bar {v}}_{i}}(x)$.

Для ${{\bar {u}}_{0}}(x)$, ${{\bar {v}}_{0}}(x)$ получается вырожденная система (5):

$F({{\bar {u}}_{0}},{{\bar {v}}_{0}},x,0) = 0,\quad f({{\bar {u}}_{0}},{{\bar {v}}_{0}},x,0) = 0.$

В качестве ее решения возьмем (см. условие А2):

${{\bar {u}}_{0}} = {{\bar {u}}_{0}}(x),\quad {{\bar {v}}_{0}} = {{\bar {v}}_{0}}(x): = \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(x),x).$

Заметим, что в силу условия А3, относящегося к кривой ${{L}_{3}}$, справедливо неравенство

(12)

$\mathop {\overline f }\nolimits_v (x): = \frac{{\partial f}}{{\partial v}}({{\bar {u}}_{0}}(x),{{\bar {v}}_{0}}(x),x,0) < 0,\quad x \in [0;1],$

а в силу условия А4, относящегося к кривой ${{l}_{3}}$, – неравенство

(13)

${{\bar {g}}_{u}}(x): = \frac{{\partial g}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x),x) > 0,\quad x \in [0;1].$

Для ${{\bar {u}}_{i}}(x)$, ${{\bar {v}}_{i}}(x)$ при $i \geqslant 1$ получается система линейных уравнений

(14)

${{\bar {F}}_{u}}(x){{\bar {u}}_{i}} + {{\bar {F}}_{v}}(x){{\bar {v}}_{i}} = {{F}_{i}}(x),\quad {{\bar {f}}_{u}}(x){{\bar {u}}_{i}} + {{\bar {f}}_{v}}(x){{\bar {v}}_{i}} = {{f}_{i}}(x),$

где функция ${{\bar {f}}_{v}}(x)$ определена в (12), обозначения ${{\bar {F}}_{u}}(x)$, ${{\bar {F}}_{v}}(x)$ и ${{\bar {f}}_{u}}(x)$ имеют аналогичный смысл, а функции ${{F}_{i}}(x)$ и ${{f}_{i}}(x)$ выражаются рекуррентно через ${{\bar {u}}_{j}}(x),\;{{\bar {v}}_{j}}(x)$, с номерами $j < i$. Используя равенства

${{\bar {\varphi }}_{u}}(x): = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x),x) = - {{\bar {f}}_{u}}(x)\bar {f}_{v}^{{ - 1}}(x),\quad {{\bar {g}}_{u}}(x) = {{\bar {F}}_{u}}(x) + {{\bar {F}}_{v}}(x){{\bar {\varphi }}_{u}}(x),$

преобразуем выражение для определителя $\Delta (x)$ системы (14):

$\Delta (x) = {{\bar {F}}_{u}}(x){{\bar {f}}_{v}}(x) - {{\bar {F}}_{v}}(x){{\bar {f}}_{u}}(x) = {{\bar {f}}_{v}}(x)({{\bar {F}}_{u}}(x) + {{\bar {F}}_{v}}(x){{\bar {\varphi }}_{u}}(x)) = {{\bar {f}}_{v}}(x){{\bar {g}}_{u}}(x).$

В силу (12) и (13) $\Delta (x) < 0$, $x \in [0;1]$, и, следовательно, система (14) имеет единственное решение.

Таким образом, ряды (11) построены.

2.3. Погранслойные части асимптотики $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$

Построим их в виде

(15)

$\Pi u(\xi ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{\Pi }_{i}}u(\xi ),\quad \Pi v(\xi ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{\Pi }_{i}}v(\xi ),\quad \xi = x{\text{/}}\varepsilon ;$

(16)

$Pu(\zeta ,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{2}}\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{P}_{i}}u(\zeta ),\quad Pv(\zeta ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{P}_{i}}v(\zeta ),\quad \zeta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}.$

Стандартным способом (см. [3]) для $\Pi u$, $\Pi v$ получается система уравнений

(17)

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}\Pi u}}{{d{{\xi }^{2}}}} - \varepsilon w(\varepsilon \xi )\frac{{d\Pi u}}{{d\xi }} = \Pi F: = F(\bar {u}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ) + \Pi u,\bar {v}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ) + \Pi v,\varepsilon \xi ,\varepsilon ) - \\ - \;F(\bar {u}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ),\bar {v}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ),\varepsilon \xi ,\varepsilon ),\quad \varepsilon \frac{{d\Pi v}}{{d\xi }} = \Pi f, \\ \end{gathered} $

где $\Pi f$ имеет выражение, аналогичное $\Pi F$, а для $Pu$, $Pv$ – система уравнений

(18)

$\begin{gathered} \frac{1}{{{{\varepsilon }^{2}}}}\frac{{{{d}^{2}}Pu}}{{d{{\zeta }^{2}}}} - w({{\varepsilon }^{2}}\zeta )\frac{{dPu}}{{d\zeta }} = PF: = F\left( {\bar {u}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + \Pi u(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ) + } \right. \\ + \;\left. {Pu,\bar {v}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + \Pi v(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ) + Pv,{{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon } \right) - F\left( {\bar {u}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + \Pi u(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ),\bar {v}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + } \right. \\ + \;\left. {\Pi v(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ),{{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon } \right),\quad \frac{{dPv}}{{d\zeta }} = Pf, \\ \end{gathered} $

где $Pf$ имеет выражение, аналогичное $PF$.

Подставив ряды (11), (15) и (16) в эти системы, будем стандартным способом извлекать из них уравнения для коэффициентов рядов (15) и (16).

Для ${{\Pi }_{0}}u$, ${{\Pi }_{0}}v$ из (17) следует система уравнений

(19)

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{\Pi }_{0}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = F({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u,{{{\bar {v}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v,0,0), \\ 0 = f({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u,{{{\bar {v}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v,0,0),\quad \xi \geqslant 0. \\ \end{gathered} $

Из второго уравнения в (19), используя условие А2, получаем

(20)

${{\bar {v}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v = \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u,0).$

Подставляя в первое уравнение, приходим к уравнению для ${{\Pi }_{0}}u$:

(21)

$\frac{{{{d}^{2}}{{\Pi }_{0}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = g({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u,0),\quad \xi \geqslant 0.$

К этому уравнению нужно добавить граничные условия. Чтобы получить граничное условие при $\xi = 0$, подставим выражение (9) для $u(x,\varepsilon )$ в первое краевое условие из (4), используя представления $\bar {u}$, $\Pi u$ и $Pu$ в виде рядов и учитывая тот факт, что все члены ряда $Qu$ будут равны нулю при $x = 0$ (см. замечание в конце п. 2.4). Получим равенство

(22)

$\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}({{\bar {u}}_{i}}(0) + {{\Pi }_{i}}u(0) + {{\varepsilon }^{2}}{{P}_{i}}u(0)) = {{u}^{0}}.$

Отсюда имеем ${{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(0) = {{u}^{0}}$, и, следовательно, граничное условие для ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ при $\xi = 0$ имеет вид

(23)

${{\Pi }_{0}}u(0) = {{u}^{0}} - {{\bar {u}}_{0}}(0).$

В качестве второго граничного условия для ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ и также для остальных функций ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$ возьмем стандартное для пограничных функций условие на бесконечности

(24)

${{\Pi }_{i}}u(\infty ) = 0,\quad i = 0,1,2, \ldots .$

Итак, функция ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ определяется как решение уравнения (21) с граничными условиями (23) и (24). Воспользуемся тем, что в силу условия А4 производная $\tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,x)$ положительна на кривой ${{l}_{2}}$, т.е.

(25)

$\frac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,0) > 0\quad {\text{п р и }}\quad u \in [{{u}^{0}},{{\bar {u}}_{0}}(0)].$

Поэтому задача для ${{\Pi }_{0}}u$ сводится стандартным способом к уравнению первого порядка

(26)

$\frac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }} = \pm \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{{{\Pi }_{0}}u} {g({{{\bar {u}}}_{0}}(0)} + s,0)ds} \right]}\nolimits^{1/2} ,\quad \xi \geqslant 0,$

с начальным условием (23), причем в правой части (26) берется знак плюс, если ${{u}^{0}} < {{\bar {u}}_{0}}(0)$, и знак минус, если ${{u}^{0}} > {{\bar {u}}_{0}}(0)$. Если ${{u}^{0}} = {{\bar {u}}_{0}}(0)$, то ${{\Pi }_{0}}u(\xi ) = 0$ при $\xi \geqslant 0$, это более простой случай. Но в п. 1.2 было оговорено, что рассматривается более общий случай, когда ${{u}^{0}} \ne {{\bar {u}}_{0}}(0)$.

Уравнение (26) интегрируется в квадратурах, его решение с начальным условием (23) является строго монотонной функцией при $\xi \geqslant 0$ и имеет экспоненциальную оценку

(27)

$\left| {{{\Pi }_{0}}u(\xi )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0,$

буквами $c$ и $\kappa $ (иногда через ${{c}_{1}}$, ${{\kappa }_{1}}$, $ \ldots $) здесь и далее обозначаются подходящие положительные числа, не зависящие от $\varepsilon $ и, вообще говоря, различные в разных оценках. Такие же оценки имеют производная $\tfrac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }}(\xi )$ и функция ${{\Pi }_{0}}v(\xi )$, которая определяется теперь из (20):

${{\Pi }_{0}}v(\xi ) = \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),0) - {{\bar {v}}_{0}}(0) = \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),) - \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(0),0).$

Для ${{P}_{0}}u$, ${{P}_{0}}v$ из (18) получаем систему уравнений

(28)

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{P}_{0}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = F({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(0),{{{\bar {v}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(0) + {{P}_{0}}v(\zeta ),0,0) - \\ - \;F({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(0),{{{\bar {v}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(0),0,0) = \\ = \;F({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + {{P}_{0}}v(\zeta ),0,0) - F({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0), \\ \end{gathered} $

(29)

$\frac{{d{{P}_{0}}v}}{{d\zeta }} = f({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + {{P}_{0}}v,0,0),\quad \zeta \geqslant 0.$

Зададим для ${{P}_{0}}u(\zeta )$ граничное условие на бесконечности

(30)

${{P}_{0}}u(\infty ) = 0,$

а для ${{P}_{0}}v(\zeta )$ зададим начальное условие при $\zeta = 0$. Чтобы его получить, подставим выражение (10) для $v(x,\varepsilon )$ во второе условие из (4) с учетом того, что все члены ряда $Qv$ будут равны нулю при $x = 0$ (см. замечание в конце п. 2.4). Получим равенство

(31)

$\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}({{\bar {v}}_{i}}(0) + {{\Pi }_{i}}v(0) + {{P}_{i}}v(0)) = {{v}^{0}},$

откуда имеем

${{\bar {v}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(0) + {{P}_{0}}v(0) = {{v}^{0}},$

и, следовательно,

(32)

${{P}_{0}}v(0) = {{v}^{0}} - ({{\bar {v}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(0)) = {{v}^{0}} - \varphi ({{u}^{0}},0) = :{{P}^{0}}.$

Таким образом, функция ${{P}_{0}}v(\zeta )$ определяется как решение уравнения (29), которое интегрируется в квадратурах, с начальным условием (32).

Заметим, что $f({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0) = 0$ в силу условия А2, и, значит, ${{P}_{0}}v = 0$ является точкой покоя уравнения (29), асимптотически устойчивой в силу неравенства $\tfrac{{\partial f}}{{\partial v}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0) < 0$ (см. условие А5, взятое в точке $({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0)$ – общей точке кривых ${{L}_{1}}$ и ${{L}_{2}}$). Так как в силу условия А5

$f({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + s,0,0) \ne 0\quad {\text{п р и }}\quad s \in (0,{{P}^{0}}],$

то решение задачи (29), (32) является строго монотонной функцией при $\zeta \geqslant 0$ и имеет экспоненциальную оценку

(33)

$\left| {{{P}_{0}}v(\zeta )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0.$

Поскольку функция ${{P}_{0}}v(\zeta )$ определена, то правая часть уравнения (28) является теперь известной функцией, имеющей такую же экспоненциальную оценку, как (33). Обозначив эту функцию ${{\chi }_{0}}(\zeta )$, запишем решение уравнения (28) с граничным условием (30) в виде

(34)

${{P}_{0}}u(\zeta ) = \int\limits_\infty ^\zeta {ds} \,\int\limits_\infty ^s {{{\chi }_{0}}(t)dt} .$

Отсюда следует, что ${{P}_{0}}u(\zeta )$ и ее производная $\tfrac{{d{{P}_{0}}u}}{{d\zeta }}(\zeta )$ имеют оценки вида (33).

Таким образом, главные члены погранслойных рядов $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$ определены.

При $i \geqslant 1$ для ${{\Pi }_{i}}u$, ${{\Pi }_{i}}v$ из (17) получается система уравнений

(35)

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{\Pi }_{i}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = {{F}_{u}}(\xi ){{\Pi }_{i}}u + {{F}_{v}}(\xi ){{\Pi }_{i}}v + {{r}_{i}}(\xi ), \\ {{f}_{u}}(\xi ){{\Pi }_{i}}u + {{f}_{v}}(\xi ){{\Pi }_{i}}v + {{\varrho }_{i}}(\xi ) = 0,\quad \xi \geqslant 0, \\ \end{gathered} $

где

(36)

${{F}_{u}}(\xi ) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),{{\bar {v}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(\xi ),0,0)$

и такой же смысл имеют обозначения ${{F}_{v}}(\xi )$, ${{f}_{u}}(\xi )$, ${{f}_{v}}(\xi )$, а ${{r}_{i}}(\xi )$ и ${{\varrho }_{i}}(\xi )$ – известные на $i$-м шаге функции, рекуррентно выражающиеся через уже найденные функции ${{\Pi }_{j}}u(\xi )$, ${{\Pi }_{j}}v(\xi )$ с номерами $j < i$ и имеющие экспоненциальные оценки вида (27), если такие же оценки имеют функции ${{\Pi }_{j}}u$, $\tfrac{{d{{\Pi }_{j}}u}}{{d\xi }}$, ${{\Pi }_{j}}v$ с номерами $j < i$.

Используя равенство (20), запишем производную ${{f}_{v}}(\xi )$ в виде

$\begin{gathered} {{f}_{v}}(\xi ) = \frac{{\partial f}}{{\partial v}}({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),\varphi ({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}v(\xi ),0),0,0) = \\ \; = \frac{{\partial f}}{{\partial v}}(u,\varphi (u,0),0,0)\quad {\text{п р и }}\quad u = {{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ). \\ \end{gathered} $

Так как ${{\Pi }_{0}}u(\xi )$ – монотонная функция, то ее значения принадлежат промежутку $[{{u}^{0}} - {{\bar {u}}_{0}}(0),0)$ при $\xi \in [0,\infty )$, и, следовательно,

$u = ({{\bar {u}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi )) \in [{{u}^{0}},{{\bar {u}}_{0}}(0))\quad {\text{п р и }}\quad \xi \in [0,\infty ).$

Поэтому значения производной ${{f}_{v}}(\xi )$ при $\xi \geqslant 0$ совпадают со значениями $\tfrac{{\partial f}}{{\partial v}}(u,v,x,0)$ на кривой ${{L}_{2}}$, и, значит, в силу условия А3

(37)

${{f}_{v}}(\xi ) \leqslant - \kappa < 0\quad {\text{п р и }}\quad \xi \geqslant 0.$

Попутно отметим, что в силу условий А6, А7 имеют место аналогичные неравенства

(38)

${{F}_{v}}(\xi ) \leqslant - \kappa < 0,\quad {{f}_{u}}(\xi ) \geqslant \kappa > 0\quad {\text{п р и }}\quad \xi \geqslant 0.$

Неравенство (37) позволяет выразить ${{\Pi }_{i}}v$ через ${{\Pi }_{i}}u$ из второго уравнения в (35):

(39)

${{\Pi }_{i}}v = - f_{v}^{{ - 1}}(\xi )({{f}_{u}}(\xi ){{\Pi }_{i}}u + {{\varrho }_{i}}(\xi )).$

Подставляя это выражение в первое уравнение системы (35), приходим к уравнению для ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$:

(40)

$\frac{{{{d}^{2}}{{\Pi }_{i}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = {{g}_{u}}(\xi ){{\Pi }_{i}}u + {{\pi }_{i}}(\xi ),\quad \xi \geqslant 0,$

где

(41)

$\begin{gathered} {{g}_{u}}(\xi ): = \frac{{\partial g}}{{\partial u}}({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),0) = {{F}_{u}}(\xi ) + {{F}_{v}}(\xi ){{\varphi }_{u}}(\xi ) = \\ \; = {{F}_{u}}(\xi ) - {{F}_{v}}(\xi ){{f}_{u}}(\xi )f_{v}^{{ - 1}}(\xi ) \geqslant c > 0, \\ \end{gathered} $

(неравенство имеет место в силу (25)), ${{\pi }_{i}}(\xi )$ – известная функция, имеющая оценку типа (27):

$\left| {{{\pi }_{i}}(\xi )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0.$

Из (22) и (24) получаем граничные условия для ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$:

(42)

${{\Pi }_{i}}u(0) = - {{\bar {u}}_{i}}(0) - {{P}_{{i - 2}}}u(0) = :\Pi _{i}^{0},\quad {{\Pi }_{i}}u(\infty ) = 0,$

где ${{P}_{{ - 1}}}u(0) = 0$.

Решение задачи (40), (42) запишем в виде

(43)

${{\Pi }_{i}}u(\xi ) = \Phi (\xi )\Pi _{i}^{0} + \Phi (\xi )\,\int\limits_0^\xi {{{\Phi }^{{ - 2}}}(s)} \int\limits_\infty ^s {\Phi (t){{\pi }_{i}}(t)dtds} ,$

где $\Phi (\xi ) = \tfrac{{d{{\Pi }_{0}}u}}{{d\xi }}$. Из этой формулы непосредственно следует экспоненциальная оценка

(44)

$\left| {{{\Pi }_{i}}u(\xi )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0,$

и такую же оценку имеют $\tfrac{{d{{\Pi }_{i}}u}}{{d\xi }}(\xi )$ и функция ${{\Pi }_{i}}v(\xi )$, которая находится теперь по формуле (39).

Перейдем к функциям ${{P}_{i}}u(\zeta )$, ${{P}_{i}}v(\zeta )$ при $i \geqslant 1$. Для них из (18) стандартным образом получается система уравнений

(45)

$\frac{{{{d}^{2}}{{P}_{i}}u}}{{d{{\zeta }^{2}}}} = {{\hat {F}}_{v}}(\zeta ){{P}_{i}}v(\zeta ) + {{\chi }_{i}}(\zeta ),$

(46)

$\frac{{d{{P}_{i}}v}}{{d\zeta }} = {{\hat {f}}_{v}}(\zeta ){{P}_{i}}v + {{p}_{i}}(\zeta ),\quad \zeta \geqslant 0,$

где

${{\hat {F}}_{v}}(\zeta ): = \tfrac{{\partial F}}{{\partial v}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + {{P}_{0}}v(\zeta ),0,0)$

и такой же смысл имеет обозначение ${{\hat {f}}_{v}}(\zeta )$, а ${{\chi }_{i}}(\zeta )$, ${{p}_{i}}(\zeta )$ – известные на $i$-м шаге функции, рекуррентно выражающиеся через ${{P}_{j}}u(a)$, ${{P}_{j}}v(\zeta )$ с номерами $j < i$ и имеющие экспоненциальные оценки вида (33), если такие же оценки имеют функции ${{P}_{j}}u$, $\tfrac{{d{{P}_{j}}u}}{{d\zeta }}$, ${{P}_{j}}v$ с номерами $j < i$.

Зададим для ${{P}_{j}}u$ граничное условие, аналогичное (30):

(47)

${{P}_{j}}u(\infty ) = 0,$

а для ${{P}_{i}}v$ из (31) получаем начальное условие

(48)

${{P}_{i}}v(0) = - {{\bar {v}}_{i}}(0) - {{\Pi }_{i}}v(0) = :P_{i}^{0}.$

Решение задачи (46), (48) имеет вид

(49)

${{P}_{i}}v(\zeta ) = K(\zeta ,0)P_{i}^{0} + \int\limits_0^\zeta {K(\zeta ,s){{p}_{i}}(s)ds} ,$

где

$K(\zeta ,s) = exp\left( {\int\limits_s^\zeta {{{{\hat {f}}}_{v}}(t)dt} } \right).$

Запишем ${{\hat {f}}_{v}}(\zeta )$ в виде

${{\hat {f}}_{v}}(\zeta ) = \frac{{\partial f}}{{\partial v}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0) + O({{P}_{0}}v(\zeta )).$

Так как

$\frac{{\partial f}}{{\partial v}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0) = {{\left. {{{f}_{v}}(\xi )} \right|}_{{\xi = 0}}} \leqslant - \kappa \quad ({\text{с м }}.\;(37)),$

$O({{P}_{0}}v(\zeta )) \leqslant {{c}_{1}}exp( - {{\kappa }_{1}}\zeta ),$

где ${{\kappa }_{1}} > 0$, то

${{\hat {f}}_{v}}(\zeta ) \leqslant - \kappa + {{c}_{1}}exp( - {{\kappa }_{1}}\zeta ),\quad \zeta \geqslant 0.$

Поэтому

$K(\zeta ,s) \leqslant {{c}_{2}}exp( - \kappa (\zeta - s)),\quad 0 \leqslant s \leqslant \zeta .$

В силу этой оценки и экспоненциальной оценки для ${{p}_{i}}(\zeta )$ из (49) получается оценка

(50)

$\left| {{{P}_{i}}v(\zeta )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0.$

Так как функция ${{P}_{i}}v(\zeta )$ найдена, то правая часть в уравнении (45) является теперь известной функцией, имеющей оценку вида (50).

Решение задачи (45), (47) имеет вид

${{P}_{i}}u(\zeta ) = \int\limits_\infty ^\zeta {ds} \,\int\limits_\infty ^s {({{{\hat {F}}}_{v}}(t){{P}_{i}}v(t) + {{\chi }_{i}}(t))} {\kern 1pt} dt,$

откуда следует, что ${{P}_{i}}u(\zeta )$ и ее производная $\tfrac{{d{{P}_{i}}u}}{{d\zeta }}(\zeta )$ имеют оценки вида (50).

Итак, погранслойные ряды $\Pi u$, $\Pi v$ и $Pu$, $Pv$ построены, причем их коэффициенты имеют экспоненциальные оценки вида (44) и (50).

2.4. Погранслойные части асимптотики $Qu$, $Qv$

Они строятся в виде

(51)

$Qu(\tilde {\xi },\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{Q}_{i}}u(\tilde {\xi }),\quad Qv(\tilde {\xi },\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}{{Q}_{i}}v(\tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } = (x - 1){\text{/}}\varepsilon ,$

аналогично тому, как были построены ряды $\Pi u$ и $\Pi v$. Стандартным способом для $Qu$, $Qv$ получается система уравнений

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}Qu}}{{d\mathop {\tilde {\xi }}\nolimits^2 }} - \varepsilon w(1 + \varepsilon \tilde {\xi })\frac{{dQu}}{{d\tilde {\xi }}} = QF: = F\left( {\bar {u}(1 + \varepsilon \tilde {\xi },\varepsilon ) + Qu,\bar {v}(1 + \varepsilon \tilde {\xi },\varepsilon ) + } \right. \\ \; + \left. {Qv,1 + \varepsilon \tilde {\xi },\varepsilon } \right) - F\left( {\bar {u}(1 + \varepsilon \tilde {\xi },\varepsilon ),\bar {v}(1 + \varepsilon \tilde {\xi },\varepsilon ),1 + \varepsilon \tilde {\xi },\varepsilon } \right), \\ \end{gathered} $

$\frac{{dQv}}{{d\tilde {\xi }}} = Qf,\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$

где $Qf$ имеет выражение, аналогичное $QF$.

Из этой системы также стандартным способом извлекаем уравнения для коэффициентов ${{Q}_{i}}u$, ${{Q}_{i}}v$ рядов (51). Для ${{Q}_{0}}u$, ${{Q}_{0}}v$ получается система уравнений, аналогичная (19):

$\frac{{{{d}^{2}}{{Q}_{0}}u}}{{d\mathop {\tilde {\xi }}\nolimits^2 }} = F({{\bar {u}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u,{{\bar {v}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}v,1,0),$

$0 = f({{\bar {u}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u,{{\bar {v}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}v,1,0),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0.$

Из второго уравнения в силу условия А2 получаем

(52)

${{\bar {v}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}v = \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u,1),$

а первое уравнение, используя равенство (52), приводим теперь к виду

$\frac{{{{d}^{2}}{{Q}_{0}}u}}{{d\mathop {\tilde {\xi }}\nolimits^2 }} = g({{\bar {u}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u,1),\quad \tilde {\xi } \geqslant 0.$

Граничное условие при $\tilde {\xi } = 0$ для ${{Q}_{0}}u$ извлекается из равенства $u(1,\varepsilon ) = {{u}^{1}}$ (см. (4)) после подстановки в это равенство выражения (10) для $u(1,\varepsilon )$ с учетом того, что все функции ${{\Pi }_{i}}u$ и ${{P}_{i}}u$ равны нулю при $x = 1$ (см. замечание ниже):

(53)

$\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{\varepsilon }^{i}}({{\bar {u}}_{i}}(1) + {{Q}_{i}}u(0)) = {{u}^{1}}.$

Отсюда имеем

(54)

${{Q}_{0}}u(0) = {{u}^{1}} - {{\bar {u}}_{0}}(1),$

а второе граничное условие для ${{Q}_{0}}u(\tilde {\xi })$ – стандартное условие на бесконечности:

${{Q}_{0}}u( - \infty ) = 0.$

Так как $\tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,1) > 0$ при $u \in [{{\bar {u}}_{0}}(1),{{u}^{1}}]$ в силу той части условия А4, которая относится к кривой ${{l}_{4}}$, то задача для ${{Q}_{0}}u$ сводится к уравнению первого порядка

(55)

$\frac{{d{{Q}_{0}}u}}{{d\tilde {\xi }}} = \pm \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{{{Q}_{0}}u} {g({{{\bar {u}}}_{0}}(1) + s,1)ds} } \right]}\nolimits^{1/2} ,\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$

с начальным условием (54), причем в правой части (55) берется знак плюс, если ${{u}^{1}} > {{\bar {u}}_{0}}(1)$, и знак минус, если ${{u}^{1}} < {{\bar {u}}_{0}}(1)$. Решение этой задачи является строго монотонной функцией при $\tilde {\xi } \leqslant 0$ и имеет экспоненциальную оценку

(56)

$\left| {{{Q}_{0}}u(\tilde {\xi })} \right| \leqslant cexp(\kappa \tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0.$

Такие же оценки имеют производная $\tfrac{{d{{Q}_{0}}u}}{{d\tilde {\xi }}}(\tilde {\xi })$ и функция ${{Q}_{0}}v(\tilde {\xi })$, которая определяется теперь из (52).

При $i \geqslant 1$ для ${{Q}_{i}}u$, ${{Q}_{i}}v$ получается система уравнений, аналогичная (35):

(57)

$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{Q}_{i}}u}}{{d\tilde {\xi }}} = {{{\tilde {F}}}_{u}}(\tilde {\xi }){{Q}_{i}}u + {{{\tilde {F}}}_{v}}(\tilde {\xi }){{Q}_{i}}v + {{{\tilde {r}}}_{i}}(\tilde {\xi }), \\ {{{\tilde {f}}}_{u}}(\tilde {\xi }){{Q}_{i}}u + {{{\tilde {f}}}_{v}}(\tilde {\xi }){{Q}_{i}}v + {{{\tilde {\varrho }}}_{i}}(\tilde {\xi }) = 0,\quad \tilde {\xi } \leqslant 0, \\ \end{gathered} $

где

(58)

${{\tilde {F}}_{u}}(\tilde {\xi }) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{u}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }),{{\bar {v}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}v(\tilde {\xi }),1,0)$

и такой же смысл имеют обозначения ${{\tilde {F}}_{v}}(\tilde {\xi })$, ${{\tilde {f}}_{u}}(\tilde {\xi })$, ${{\tilde {f}}_{v}}(\tilde {\xi })$, а ${{\tilde {r}}_{i}}(\tilde {\xi })$ и ${{\tilde {\varrho }}_{i}}(\tilde {\xi })$ рекуррентно выражаются через ${{Q}_{j}}u(\tilde {\xi })$, ${{Q}_{j}}v(\tilde {\xi })$ с номерами $j < i$ и имеют оценки вида (56), если такие же оценки верны для ${{Q}_{j}}u$, $\tfrac{{d{{Q}_{j}}u}}{{d\tilde {\xi }}}$, ${{Q}_{j}}\text{v}$ с номерами $j < i$.

Аналогично неравенству (37) получается неравенство

${{\tilde {f}}_{v}}(\tilde {\xi }) \leqslant - \kappa < 0\quad {\text{п р и }}\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$

что позволяет выразить ${{Q}_{i}}v$ через ${{Q}_{i}}u$ из второго уравнения в (57), после чего первое уравнение в (57) приводится к виду

$\frac{{{{d}^{2}}{{Q}_{i}}u}}{{d{{{\tilde {\xi }}}^{2}}}} = {{\tilde {g}}_{u}}(\tilde {\xi }){{Q}_{i}}u + {{\tilde {q}}_{i}}(\tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$

где

${{\tilde {g}}_{u}}(\tilde {\xi }): = \frac{{\partial g}}{{\partial u}}\left( {{{{\bar {u}}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }),1} \right),$

а ${{\tilde {q}}_{i}}(\tilde {\xi })$ имеет оценку вида (56). Граничное условие для ${{Q}_{i}}u(\tilde {\xi })$ при $\tilde {\xi } = 0$ следует из (53):

${{Q}_{i}}u(0) = - {{\bar {u}}_{i}}(1),$

а второе граничное условие – стандартное условие на бесконечности

${{Q}_{i}}u( - \infty ) = 0.$

Решение задачи для ${{Q}_{i}}u$ имеет вид

${{Q}_{i}}u(\tilde {\xi }) = - \Psi (\tilde {\xi }){{\bar {u}}_{i}}(1) + \Psi (\tilde {\xi })\int\limits_0^{\tilde {\xi }} {{{\Psi }^{{ - 2}}}(s)} \int\limits_\infty ^s {\Psi (t){{{\tilde {q}}}_{i}}(t)dtds} ,$

где

$\Psi (\tilde {\xi }) = \frac{{d{{Q}_{0}}u}}{{d\tilde {\xi }}}(\tilde {\xi }).$

Из этой формулы следует оценка

(59)

$\left| {{{Q}_{i}}u(\tilde {\xi })} \right| \leqslant cexp(\kappa \tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$

и такую же оценку имеют $\tfrac{{d{{Q}_{i}}}}{{d\tilde {\xi }}}(\tilde {\xi })$ и функция ${{Q}_{i}}v(\tilde {\xi })$, которая определяется теперь из второго уравнения в (57).

Таким образом, погранслойные ряды $Qu$, $Qv$ построены, и их коэффициенты имеют экспоненциальные оценки вида (59).

Тем самым построение формальной асимптотики погранслойного типа в задаче (3), (4) завершено.

Замечание. При построении погранслойных рядов говорилось о том, что все члены рядов $Qu$ и $Qv$ будут равны нулю в точке $x = 0$, а все члены рядов $\Pi u$ и $Pu$ будут равны нулю в точке $x = 1$. Это достигается в результате стандартной процедуры умножения всех пограничных функций на срезающие функции. Например, каждая функция ${{\Pi }_{i}}u(\xi )$ умножается на бесконечно дифференцируемую функцию $\sigma (x)$ такую, что $\sigma (x) = 1$ при $0 \leqslant x \leqslant \delta {\text{/}}2$ и $\sigma (x) = 0$ при $\delta \leqslant x \leqslant 1$ (удобно взять $\delta = 1{\text{/}}2$). Тогда функция $\Pi u(\xi )$ не изменится при $0 \leqslant \xi \leqslant \tfrac{\delta }{{2\sqrt \varepsilon }}$, а при $\xi > \tfrac{\delta }{{2\sqrt \varepsilon }}$ она имеет оценку

${{\Pi }_{i}}u(\xi ) = O\left( {exp\left( { - \tfrac{{\kappa \delta }}{{2\sqrt \varepsilon }}} \right)} \right) = o({{\varepsilon }^{N}})$

при $\varepsilon \to 0$ для любого $N > 0$. Все функции ${{\Pi }_{i}}v$, ${{P}_{i}}u$, ${{P}_{i}}v$ также умножим на $\sigma (x)$, а функции ${{Q}_{i}}u$, ${{Q}_{i}}v$ – на срезающую функцию $\sigma (1 - x)$. Указанная процедура не повлияет на построенные разложения (9) и (10), поскольку их члены изменятся при этом на величины более высокого порядка малости при $\varepsilon \to 0$, чем любая положительная степень $\varepsilon $. За подправленными таким образом пограничными функциями сохраним старые обозначения.

Таким образом, теперь все функции ${{Q}_{i}}u$, ${{Q}_{i}}v$ равны нулю при $0 \leqslant x \leqslant \tfrac{1}{2}$, а функции ${{\Pi }_{i}}u$, ${{\Pi }_{i}}v$, ${{P}_{i}}u$, ${{P}_{i}}v$ равны нулю при $\tfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1$.

3. ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ

3.1. Формулировка теоремы

Обозначим через ${{U}_{n}}(x,\varepsilon )$ и ${{V}_{n}}(x,\varepsilon )$, n = 0, 1, 2..., частичные суммы разложений (9) и (10):

(60)

${{U}_{n}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^n \,{{\varepsilon }^{i}}({{\bar {u}}_{i}}(x) + {{\Pi }_{i}}u(\xi ) + {{\varepsilon }^{2}}{{P}_{i}}u(\zeta ) + {{Q}_{i}}u(\tilde {\xi })),$

(61)

${{V}_{n}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^n \,{{\varepsilon }^{i}}({{\bar {v}}_{i}}(x) + {{\Pi }_{i}}v(\xi ) + {{P}_{i}}v(\zeta ) + {{Q}_{i}}v(\tilde {\xi })).$

Из самого алгоритма построения этих сумм следует, что они удовлетворяют соотношениям

${{L}_{\varepsilon }}({{U}_{n}},{{V}_{n}}): = {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}{{U}_{n}}}}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{d{{U}_{n}}}}{{dx}}} \right) - F({{U}_{n}},{{V}_{n}},x,\varepsilon ) = O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),$

${{M}_{\varepsilon }}({{V}_{n}},{{U}_{n}}): = {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d{{V}_{n}}}}{{dx}} - f({{U}_{n}},{{V}_{n}},x,\varepsilon ) = O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad x \in [0;1],$

${{U}_{n}}(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}} + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad {{V}_{n}}(0,\varepsilon ) = {{v}^{0}},\quad {{U}_{n}}(1,\varepsilon ) = {{u}^{1}},$

равенства (62) получены с учетом замечания.

Теорема 1. Если выполнены условия А1–А7, то для любого n при достаточно малых $\varepsilon $ задача (3), (4) имеет решение $u = {{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, $v = {{v}_{s}}(x,\varepsilon )$, для которого справедливы асимптотические равенства

(63)

${{u}_{s}}(x,\varepsilon ) = {{U}_{n}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) = {{V}_{n}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad x \in [0;1].$

3.2. О методе доказательства теоремы 1

Для доказательства теоремы 1 воспользуемся методом дифференциальных неравенств, многочисленные применения которого в нелинейных сингулярно возмущeнных краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений содержатся в [4], а в задачах для уравнений с частными производными – в [5]. В [6], [7] предложен способ построения нижних и верхних решений в сингулярно возмущeнных задачах с пограничными и внутренними слоями на основе предварительно построенной формальной асимптотики (асимптотический метод дифференциальных неравенств). Именно такой подход используется в данной работе. В связи с этим напомним понятия нижнего и верхнего решений применительно к задаче (3), (4).

Определение 1. Две пары: функция $\underline U (x,\varepsilon )$, $\underline V (x,\varepsilon )$ и $\bar {U}(x,\varepsilon )$, $\bar {V}(x,\varepsilon )$, непрерывных на отрезке $0 \leqslant x \leqslant 1$ и таких, что $\underline U $ и $\bar {U}$ непрерывно дифференцируемы по $x$ дважды, а $\underline V $ и $\bar {V}$ – один раз на интервале $0 < x < 1$, называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (3), (4), если они удовлетворяют следующим условиям.

1⁰. $\underline U (x,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(x,\varepsilon ),\;\underline V (x,\varepsilon ) \leqslant \bar {V}(x,\varepsilon ),\;x \in [0;1]$ (условие упорядоченности).

2⁰. ${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,v): = {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}\underline U }}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{d\underline U }}{{dx}}} \right) - F(\underline U ,v,x,\varepsilon ) \geqslant 0 \geqslant {{L}_{\varepsilon }}(\bar {U},v)$

при

$\underline V (x,\varepsilon ) \leqslant v \leqslant \bar {V}(x,\varepsilon ),\quad 0 < x < 1;$

${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,u): = {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d\underline V }}{{dx}} - f(u,\underline V ,x,\varepsilon ) \leqslant 0 \leqslant {{M}_{\varepsilon }}(\bar {V},u)$

при

$\underline U (x,\varepsilon ) \leqslant u \leqslant \bar {U}(x,\varepsilon ),\quad 0 < x < 1.$

3⁰. $\underline U (0,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{0}} \leqslant \bar {U}(0,\varepsilon ),\;\underline V (0,\varepsilon ) \leqslant {{v}^{0}} \leqslant \bar {V}(0,\varepsilon ),\;\underline U (1,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{1}} \leqslant \bar {U}(1,\varepsilon ).$

Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения задачи (3), (4), то эта задача имеет решение $u = {{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, $v = {{v}_{s}}(x,\varepsilon )$, удовлетворяющее неравенствам

(64)

$\underline U (x,\varepsilon ) \leqslant {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(x,\varepsilon ),\quad \underline V (x,\varepsilon ) \leqslant {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) \leqslant \bar {V}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1].$

Если функция $F(u,v,x,\varepsilon )$ является невозрастающей функцией аргумента $v$, а функция $f(u,v,x,\varepsilon )$ – неубывающей функцией аргумента $u$ в области

(65)

${{G}_{0}} = \{ (u,v,x,\varepsilon ):\underline U (x,\varepsilon ) \leqslant u \leqslant \bar {U}(x,\varepsilon ),\;\underline V (x,\varepsilon ) \leqslant v \leqslant \bar {V}(x,\varepsilon ),\;0 \leqslant x \leqslant 1,\;0 \leqslant \varepsilon \leqslant {{\varepsilon }_{0}}\} $

(в таком случае говорят, что функции $F$ и $f$ удовлетворяют условию квазимонотонности в области ${{G}_{0}}$), то для выполнения условия 2⁰ из определения 1 достаточно, чтобы были выполнены неравенства

(66)

${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) \geqslant 0 \geqslant {{L}_{\varepsilon }}(\bar {U},\bar {V}),\quad x \in (0;1),$

(67)

${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) \leqslant 0 \leqslant {{M}_{\varepsilon }}(\bar {V},\bar {U}),\quad x \in (0;1).$

Мы воспользуемся этим в пп. 3.4.1 и 3.4.2, где будет доказано, что нижнее и верхнее решения задачи (3), (4) удовлетворяют неравенствам (66) и (67); предварительно в п. 3.4 будет показано, что условия А6 и А7 обеспечивают квазимонотонность функций $F$ и $f$.

3.3. Оценки производных функций $F$ и $f$

Введем обозначение

${{F}_{u}}(x,\varepsilon ): = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{U}_{n}}(x,\varepsilon ),{{V}_{n}}(x,\varepsilon ),x,\varepsilon ),$

где $n$ – любое фиксированное число из множества $\{ 0;1;2; \ldots \} $. И такой же смысл придадим обозначениям ${{F}_{v}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{u}}(x,\varepsilon )$, ${{f}_{v}}(x,\varepsilon )$. Используя выражения (60) и (61) для ${{U}_{n}}$ и ${{V}_{n}}$ и оценку (50) для ${{P}_{0}}v(\zeta )$, представим ${{F}_{u}}(x,\varepsilon )$ в виде

(68)

${{F}_{u}}(x,\varepsilon ) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ) + {{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }),{{\bar {v}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}v(\xi ) + {{Q}_{0}}v(\tilde {\xi }),x,0) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ).$

Если $x \in [0;1{\text{/}}2]$, то ${{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }) = 0$, ${{Q}_{0}}v(\tilde {\xi }) = 0$ (см. замечание), поэтому

${{F}_{u}}(x,\varepsilon ) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),{{\bar {v}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}v(\xi ),x,0) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ),\quad x \in [0;1{\text{/}}2],$

а так как

${{\bar {v}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}v(\xi ) = \varphi ({{\bar {u}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),x) + O(\varepsilon ),$

то

${{F}_{u}}(x,\varepsilon ) = {{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ),\quad x \in [0;1{\text{/}}2],$

где

(69)

${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ): = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),\varphi ({{\bar {u}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),x),x,0).$

В свою очередь, для ${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )$ нетрудно получить представление

(70)

${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ) = {{F}_{u}}(\xi ) + {{\bar {F}}_{u}}(x) - {{\bar {F}}_{u}}(0) + O(\varepsilon ),$

где ${{F}_{u}}(\xi )$ определено в (36),

${{\bar {F}}_{u}}(x) = \tfrac{{\partial F}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x),{{\bar {v}}_{0}}(x),x,0).$

Таким образом,

(71)

$\begin{gathered} {{F}_{u}}(x,\varepsilon ) = {{{\hat {F}}}_{u}}(x,\xi ) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ) = \\ = \;{{F}_{u}}(\xi ) + {{{\bar {F}}}_{u}}(x) - {{{\bar {F}}}_{u}}(0) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ),\quad x \in [0;1{\text{/}}2]. \\ \end{gathered} $

Формулы, аналогичные (68)–(71), имеют место для производных ${{F}_{v}}$, ${{f}_{u}}$, ${{f}_{v}}$.

Используя для ${{\hat {F}}_{v}}(x,\xi )$, ${{\hat {f}}_{u}}(x,\xi )$, ${{\hat {f}}_{v}}(x,\xi )$ формулы вида (69) и оценки (37), (38), нетрудно доказать, что для достаточно малых $\varepsilon $ в силу условий А6, А7, А3 справедливы неравенства

(72)

${{\hat {F}}_{v}}(x,\xi ) \leqslant - c < 0,\quad {{\hat {f}}_{u}}(x,\xi ) \geqslant c > 0,\quad {{\hat {f}}_{v}}(x,\xi ) \leqslant - c < 0,\quad x \in [0;1{\text{/}}2],$

а в силу А4

(73)

${{\hat {g}}_{u}}(x,\xi ): = \frac{{\partial g}}{{\partial u}}({{\bar {u}}_{0}}(x) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),x) \geqslant c > 0,\quad x \in [0;1{\text{/}}2].$

Поскольку

${{\hat {g}}_{u}}(x,\xi ) = {{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ) - {{\hat {F}}_{v}}(x,\xi ){{\hat {f}}_{u}}(x,\xi )\hat {f}_{v}^{{ - 1}}(x,\xi ),$

то из (72) и (73) следует, что

(74)

${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ) \geqslant c > 0,\quad x \in [0;1{\text{/}}2].$

Если $x \in [1{\text{/}}2;1]$, то

${{\Pi }_{0}}u(\xi ) = 0,\quad {{\Pi }_{0}}v(\xi ) = 0,\quad {{P}_{0}}v(\zeta ) = 0,$

поэтому

(75)

${{F}_{u}}(x,\varepsilon ) = {{\tilde {F}}_{u}}(x,\tilde {\xi }) + O(\varepsilon ),\quad x \in [1{\text{/}}2;1],$

где

(76)

$\begin{gathered} {{{\tilde {F}}}_{u}}(x,\tilde {\xi }): = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{{\bar {u}}}_{0}}(x) + {{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }),\varphi ({{{\bar {u}}}_{0}}(x) + {{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }),x),x,0) = \\ \; = {{{\tilde {F}}}_{u}}(\tilde {\xi }) + {{{\bar {F}}}_{u}}(x) - {{{\bar {F}}}_{u}}(1) + O(\varepsilon ),\quad x \in [1{\text{/}}2;1], \\ \end{gathered} $

${{\tilde {F}}_{u}}(\tilde {\xi })$ определена в (58).

Формулы, аналогичные (75), (76), имеют место для производных ${{F}_{v}}$, ${{f}_{u}}$, ${{f}_{v}}$. Используя эти формулы, приходим к неравенствам, аналогичным (72)–(74):

(77)

$\begin{gathered} {{{\tilde {F}}}_{v}}(x,\tilde {\xi }) \leqslant - c < 0,\quad {{{\tilde {f}}}_{u}}(x,\tilde {\xi }) \geqslant c > 0,\quad {{{\tilde {f}}}_{v}}(x,\tilde {\xi }) \leqslant - c < 0, \\ {{{\tilde {g}}}_{u}}(x,\tilde {\xi }) \geqslant c > 0,\quad {{{\tilde {F}}}_{u}}(x,\tilde {\xi }) \geqslant c > 0,\quad x \in [1{\text{/}}2;1]. \\ \end{gathered} $

3.4. Нижнее и верхнее решения задачи (3), (4)

Определим функции $\alpha (x,\xi ,\tilde {\xi })$ и $\beta (x,\xi ,\tilde {\xi })$ при $x \in [0;1]$ как решение системы линейных уравнений

(78)

${{F}_{u}}(x,\xi ,\tilde {\xi })\alpha + {{F}_{v}}(x,\xi ,\tilde {\xi })\beta = A,\quad {{f}_{u}}(x,\xi ,\tilde {\xi })\alpha + {{f}_{v}}(x,\xi ,\tilde {\xi })\beta = - A,$

где

${{F}_{u}}(x,\xi ,\tilde {\xi }) = \left\{ \begin{gathered} {{{\hat {F}}}_{u}}(x,\xi ){\text{,}}\quad x \in [0;1{\text{/}}2], \hfill \\ {{{\tilde {F}}}_{u}}(x,\tilde {\xi }){\text{,}}\quad x \in [1{\text{/}}2;1], \hfill \\ \end{gathered} \right.$

и аналогичный смысл имеют другие коэффициенты системы (78), $A > 0$ – число, выбор которого уточним ниже. Определитель $\Delta $ этой системы можно записать в виде

$\Delta = \left\{ \begin{gathered} {{{\hat {f}}}_{v}}(x,\xi ){{{\hat {g}}}_{u}}(x,\xi ),\quad x \in [0;1{\text{/}}2], \hfill \\ {{{\tilde {f}}}_{v}}(x,\tilde {\xi }){{{\tilde {g}}}_{u}}(x,\tilde {\xi }),\quad x \in [1{\text{/}}2;1], \hfill \\ \end{gathered} \right.$

откуда в силу оценок (72), (73), (77) следует, что $\Delta \leqslant - c < 0$, и, значит, система (78) имеет единственное решение

(79)

$\alpha = ({{F}_{v}} + {{f}_{v}}){{\Delta }^{{ - 1}}}A > 0,\quad \beta = - ({{F}_{u}} + {{f}_{u}}){{\Delta }^{{ - 1}}}A > 0,$

причем α и β можно сделать сколь угодно большими при достаточно большом A.

Нижнее и верхнее решения задачи (3), (4) построим в виде

(80)

$\begin{gathered} \underline U (x,\varepsilon ) = {{U}_{n}}(x,\varepsilon ) - (\alpha (x,\xi ,\tilde {\xi }) + \gamma (\xi ) + \tilde {\gamma }(\tilde {\xi })){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + G(\zeta ){{\varepsilon }^{{n + 3}}}, \\ \underline V (x,\varepsilon ) = {{V}_{n}}(x,\varepsilon ) - (\beta (x,\xi ,\tilde {\xi }) + {{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma (\xi ) + \mathop {\tilde {\varphi }}\nolimits_u (\tilde {\xi })\tilde {\gamma }(\tilde {\xi }) + H(\zeta )){{\varepsilon }^{{n + 1}}}; \\ \end{gathered} $

(81)

$\begin{gathered} \overline U (x,\varepsilon ) = {{U}_{n}}(x,\varepsilon ) + (\alpha (x,\xi ,\tilde {\xi }) + \gamma (\xi ) + \tilde {\gamma }(\tilde {\xi })){{\varepsilon }^{{n + 1}}} - G(\zeta ){{\varepsilon }^{{n + 3}}}, \\ \overline V (x,\varepsilon ) = {{V}_{n}}(x,\varepsilon ) + (\beta (x,\xi ,\tilde {\xi }) + {{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma (\xi ) + \mathop {\tilde {\varphi }}\nolimits_u (\tilde {\xi })\tilde {\gamma }(\tilde {\xi }) + H(\zeta )){{\varepsilon }^{{n + 1}}}, \\ \end{gathered} $

где $\alpha (x,\xi ,\tilde {\xi })$ и $\beta (x,\xi ,\tilde {\xi })$ определены в (79),

$\begin{gathered} {{\varphi }_{u}}(\xi ): = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + {{\Pi }_{0}}u(\xi ),0) = - {{f}_{u}}(\xi )f_{v}^{{ - 1}}(\xi ), \\ {{{\tilde {\varphi }}}_{u}}(\tilde {\xi }): = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}({{{\bar {u}}}_{0}}(1) + {{Q}_{0}}u(\tilde {\xi }),1) = - {{{\tilde {f}}}_{u}}(\tilde {\xi })\tilde {f}_{v}^{{ - 1}}(\tilde {\xi }), \\ \end{gathered} $

а функции $\gamma (\xi )$, $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$, $G(\zeta )$, $H(\zeta )$ будут выбраны так, что

(82)

$0 \leqslant \gamma (\xi ) \leqslant cAexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0;\quad 0 \leqslant \tilde {\gamma }(\tilde {\xi }) \leqslant cAexp(\kappa \tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0;$

(83)

$0 \leqslant G(\zeta ) \leqslant cAexp( - \kappa \zeta ),\quad 0 \leqslant H(\zeta ) \leqslant cAexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0.$

Кроме того, умножим эти функции на срезающие функции, в результате чего будут выполнены равенства

$\gamma (\xi ) = 0,\quad G(\zeta ) = 0,\quad H(\zeta ) = 0\quad {\text{п р и }}\quad x \in [1{\text{/}}2;1],\quad \tilde {\gamma }(\tilde {\xi }) = 0\quad {\text{п р и }}\quad x \in [0;1{\text{/}}2].$

Покажем, как выбрать функции $\gamma (\xi )$, $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$, $G(\zeta )$, $H(\zeta )$ и число $A$, чтобы при достаточно малых $\varepsilon $ функции $\underline U (x,\varepsilon )$, $\underline V (x,\varepsilon )$ и $\bar {U}(x,\varepsilon )$, $\bar {V}(x,\varepsilon )$ удовлетворяли требованиям к нижнему и верхнему решениям из определения 1.

Условие 1⁰, т.е. условие упорядоченности, очевидно, выполнено при достаточно малых $\varepsilon $ для любого выбора числа $A$ и функций $\gamma $, $\tilde {\gamma }$, $G$, $H$, удовлетворяющих неравенствам (82) и (83).

Перейдем к условию 2⁰. Заметим, что кривая

${{K}_{\varepsilon }}: = \left\{ {(u,v,x):u = {{U}_{n}}(x,\varepsilon ),\;v = {{V}_{n}}(x,\varepsilon ),\;x \in [0;1]} \right\}$

для достаточно малых $\varepsilon $ расположена в сколь угодно малой окрестности кривой $L$, определенной в (8), в точках которой $\partial F{\text{/}}\partial v(u,v,x,0) < 0$ и $\partial f{\text{/}}\partial u(u,v,x,0) > 0$ (см. условия А6 и А7). Отсюда следует, что для достаточно малого ${{\varepsilon }_{0}}$ в области ${{G}_{0}}$, определенной в (65), функции $F$ и $f$ удовлетворяют условию квазимонотонности. Поэтому условие 2⁰ из определения 1 будет выполнено, если справедливы неравенства (66) и (67). Доказательство справедливости этих неравенств проведем раздельно на отрезках [0; 1/2] и [1/2; 1].

3.4.1. Проверка выполнения условий 2⁰ и 3⁰ на отрезке [0; 1/2]. На этом отрезке

$\tilde {\gamma }(\tilde {\xi }) = 0,\quad \alpha (x,\xi ,\tilde {\xi }) = \hat {\alpha }(x,\xi ),\quad \beta (x,\xi ,\tilde {\xi }) = \hat {\beta }(x,\xi ),$

причем выражения для $\hat {\alpha }$ и $\hat {\beta }$ получаются из (79) путем замены производных ${{F}_{u}}$, ${{F}_{v}}$, ${{f}_{u}}$, ${{f}_{v}}$ соответственно на ${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )$ (см. (69) и (70)), ${{\hat {F}}_{v}}(x,\xi )$, ${{\hat {f}}_{u}}(x,\xi )$, ${{\hat {f}}_{v}}(x,\xi )$. Поэтому

(84)

$\begin{gathered} {{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) = {{L}_{\varepsilon }}({{U}_{n}},{{V}_{n}}) - {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}\hat {\alpha }}}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{d\hat {\alpha }}}{{dx}}} \right){{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \left( {\frac{{{{d}^{2}}\gamma }}{{d{{\xi }^{2}}}} - \varepsilon w(x)\frac{{d\gamma }}{{d\xi }}} \right){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + \\ \; + \left( {\frac{1}{{{{\varepsilon }^{2}}}}\frac{{{{d}^{2}}G}}{{d{{\zeta }^{2}}}} - w(x)\frac{{dG}}{{d\zeta }}} \right){{\varepsilon }^{{n + 3}}} - \left[ {F\left( {{{U}_{n}} - (\hat {\alpha } + \gamma ){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + G{{\varepsilon }^{{n + 3}}},} \right.} \right. \\ \left. {\left. {{{V}_{n}} - (\beta + {{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma + H){{\varepsilon }^{{n + 1}}},x,\varepsilon } \right) - F({{U}_{n}},{{V}_{n}},x,\varepsilon )} \right]. \\ \end{gathered} $

Функцию ${{\varepsilon }^{2}}({{d}^{2}}\hat {\alpha }{\text{/}}d{{x}^{2}})$ представим в виде

(85)

${{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{d}^{2}}\hat {\alpha }}}{{d{{x}^{2}}}} = \frac{{{{\partial }^{2}}\hat {\alpha }}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} + 2\varepsilon \frac{{{{\partial }^{2}}\hat {\alpha }}}{{\partial x\partial \xi }} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}\hat {\alpha }}}{{\partial {{x}^{2}}}} = Aq(\xi ) + O(A)\varepsilon ,$

где $q(\xi )$ – известная функция, имеющая оценку

$\left| {q(\xi )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0,$

а выражение в квадратных скобках в правой части (84) преобразуем, используя для производных ${{F}_{u}}$ и ${{F}_{v}}$ формулы вида (71):

$\begin{gathered} - \;[ \cdots ] = {{F}_{u}}(x,\varepsilon )((\hat {\alpha } + \gamma ){{\varepsilon }^{{n + 1}}} - G{{\varepsilon }^{{n + 3}}}) + {{F}_{v}}(x,\varepsilon )(\hat {\beta } + {{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma + H){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + \\ \; + O({{{\hat {\alpha }}}^{2}} + {{{\hat {\beta }}}^{2}} + {{\gamma }^{2}} + {{G}^{2}} + {{H}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}} = ({{{\hat {F}}}_{u}}(x,\xi ) + O(exp( - \kappa \zeta )) + \\ \; + O(\varepsilon ))\hat {\alpha }{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + ({{F}_{u}}(\xi ) + ({{{\bar {F}}}_{u}}(x) - {{{\bar {F}}}_{u}}(0)) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon )) \times \\ \end{gathered} $

(86)

$ \times \;\gamma {{\varepsilon }^{{n + 1}}} - {{F}_{u}}(x,\varepsilon )G{{\varepsilon }^{{n + 3}}} + ({{\hat {F}}_{v}}(x,\xi ) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ))\hat {\beta }{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + $

$\begin{gathered} \; + ({{F}_{v}}(\xi ) + ({{{\bar {F}}}_{v}}(x) - {{{\bar {F}}}_{v}}(0)) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon )){{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma {{\varepsilon }^{{n + 1}}} + \\ \; + {{F}_{v}}(x,\varepsilon )H{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + O({{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}} = A{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + \\ \; + O(Aexp( - \kappa \zeta )){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + O(A){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + {{g}_{u}}(\xi )\gamma {{\varepsilon }^{{n + 1}}} + O({{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}}. \\ \end{gathered} $

Последнее равенство получено с учетом того, что

${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )\hat {\alpha } + {{\hat {F}}_{v}}(x,\xi )\hat {\beta } = A,\quad {{F}_{u}}(\xi ) + {{F}_{v}}(\xi ){{\varphi }_{u}}(\xi ) = {{g}_{u}}(\xi );$

$\hat {\alpha } = O(A),\quad \hat {\beta } = O(A),\quad G = O(A),\quad H = O(Aexp( - \kappa \zeta )),$

$({{\bar {F}}_{u}}(x) - {{\bar {F}}_{u}}(0))\gamma (\xi ) + ({{\bar {F}}_{v}}(x) - {{\bar {F}}_{v}}(0)){{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma (\xi ) = O(\varepsilon \xi )\gamma (\xi ) = O(A) \cdot \varepsilon $

в силу оценок (83) и (82) для $G(\zeta )$, $H(\zeta )$ и $\gamma (\xi )$ (эти оценки будут обоснованы ниже).

Определим теперь функцию $\gamma (\xi )$ как решение задачи

$\frac{{{{d}^{2}}\gamma }}{{d{{\xi }^{2}}}} = {{g}_{u}}(\xi )\gamma - Ar(\xi ),\quad \xi \geqslant 0,$

$\gamma (0) = 0,\quad \gamma (\infty ) = 0,$

где $r(\xi ) = q(\xi ) + \psi (\xi )$, $q(\xi )$ – функция из (85), а в качестве $\psi (\xi )$ возьмем какую-нибудь функцию, удовлетворяющую неравенствам

$\left| {q(\xi )} \right| \leqslant \psi (\xi ) \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0.$

Тогда получим

$\gamma (\xi ) = - A\Phi (\xi )\int\limits_0^\xi {{{\Phi }^{{ - 2}}}(s)} \int\limits_\infty ^s {\Phi (t)r(t)dtds} ,$

где $\Phi (\xi ) = d{{\Pi }_{0}}u{\text{/}}d\xi (\xi )$. Отсюда следует оценка (82) для $\gamma (\xi )$.

Второе слагаемое в правой части (86) имеет оценку

$\left| {O(Aexp( - \kappa \zeta )){{\varepsilon }^{{n + 1}}}} \right| \leqslant cAexp( - \kappa \zeta ) \cdot {{\varepsilon }^{{n + 1}}}.$

Определим функцию $G(\zeta )$ как решение задачи

$\frac{{{{d}^{2}}G}}{{d{{\zeta }^{2}}}} = cAexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0,\quad G(\infty ) = 0.$

Тогда

$G(\zeta ) = c{{\kappa }^{{ - 2}}}Aexp( - \kappa \zeta ),$

и, следовательно, для $G(\zeta )$ имеет место оценка (83).

При указанном выборе функций $\gamma (\xi )$, $G(\zeta )$ и с учетом равенств (85) и (86) из (84) получается неравенство

(87)

${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) \geqslant O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}) + A{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + A\psi (\xi ){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + O(A){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + O({{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}},\quad x \in [0;1{\text{/}}2],$

где первое слагаемое в правой части не зависит от $A$, а третье слагаемое неотрицательное.

Поэтому для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ второе слагаемое обеспечивает выполнение неравенства

${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) > 0,\quad x \in [0;1{\text{/}}2].$

Рассмотрим теперь выражение для ${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U )$ на отрезке $[0;1{\text{/}}2]$:

(88)

$\begin{gathered} {{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) = {{M}_{\varepsilon }}({{V}_{n}},{{U}_{n}}) - {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d\hat {\beta }}}{{dx}}{{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \varepsilon \frac{d}{{d\xi }}({{\varphi }_{u}}\gamma ){{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \frac{{dH}}{{d\zeta }}{{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \\ - \;[f({{U}_{n}} - (\hat {\alpha } + \gamma ){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + G{{\varepsilon }^{{n + 3}}},{{V}_{n}} - (\hat {\beta } + {{\varphi }_{u}}\gamma + H){{\varepsilon }^{{n + 1}}},x,\varepsilon ) - f({{U}_{n}},{{V}_{n}},x,\varepsilon )]. \\ \end{gathered} $

Первое слагаемое в правой части равенства (88) является величиной порядка $O({{\varepsilon }^{{n + 1}}})$, не зависящей от $A$, сумма двух следующих слагаемых – величина порядка $O(A){{\varepsilon }^{{n + 2}}}$, а выражение в квадратных скобках преобразуем аналогично тому, как это было сделано в равенствах (86):

Последнее равенство получено с учетом того, что

${{\hat {f}}_{u}}(x,\xi )\hat {\alpha } + {{\hat {f}}_{v}}(x,\xi )\hat {\beta } = - A,\quad {{f}_{u}}(\xi ) + {{f}_{v}}(\xi ){{\varphi }_{u}}(\xi ) = 0;\quad \hat {\alpha } = O(A),\quad \hat {\beta } = O(A);$

$({{\bar {f}}_{u}}(x) - {{\bar {f}}_{u}}(0))\gamma (\xi ) + ({{\bar {f}}_{v}}(x) - {{\bar {f}}_{v}}(0)){{\varphi }_{u}}(\xi )\gamma (\xi ) = O(\varepsilon \xi )\gamma (\xi ) = O(A)\varepsilon $

в силу оценки (82) для $\gamma (\xi )$. Равенство (88) можно теперь записать в виде

(89)

${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) = O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}) + O(A){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + \left[ { - \frac{{dH}}{{d\zeta }} + {{f}_{v}}(x,\varepsilon )H + O(Aexp( - \kappa \zeta ))} \right]{{\varepsilon }^{{n + 1}}} - A{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + O({{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}}.$

Так как

${{f}_{v}}(x,\varepsilon ) = {{\hat {f}}_{v}}(x,\xi ) + O(exp( - \kappa \zeta )) + O(\varepsilon ) \leqslant k(\zeta ): = - {{\kappa }_{1}} + {{\kappa }_{2}}exp( - {{\kappa }_{3}}\zeta ),$

то

${{f}_{v}}(x,\varepsilon )H + O(Aexp( - \kappa \zeta )) \leqslant k(\zeta )H + {{c}_{1}}Aexp( - {{\kappa }_{3}}\zeta ).$

Определим функцию $H(\zeta )$ как решение задачи

$\frac{{dH}}{{d\zeta }} = k(\zeta )H + {{c}_{1}}Aexp( - {{\kappa }_{3}}\zeta ),\quad \zeta \geqslant 0,\quad H(0) = 0.$

Тогда

$H(\zeta ) = \int\limits_0^\zeta {exp\left( {\int\limits_s^\zeta {k(t)dt} } \right)} {{c}_{1}}Aexp( - {{\kappa }_{3}}s)ds,$

откуда следует, что

$0 \leqslant H(\zeta ) \leqslant cAexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0,$

и, следовательно, для $H(\zeta )$ верна оценка (83).

При указанном выборе функции $H(\zeta )$ из (89) получаем неравенство

${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) \leqslant O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}) + O(A){{\varepsilon }^{{n + 2}}} - A{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + O({{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}}.$

Так как первое слагаемое в правой части не зависит от $A$, то для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ третье слагаемое будет доминирующим и обеспечит выполнение неравенства

${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) < 0,\quad x \in [0;1{\text{/}}2].$

Таким образом, для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ функции $\underline U (x,\varepsilon )$, $\underline V (x,\varepsilon )$, определенные в (80), удовлетворяют при $x \in [0;1{\text{/}}2]$ неравенствам для нижнего решения из условия 2⁰ определения 1.

Аналогично доказывается, что функции $\bar {U}(x,\varepsilon )$, $\bar {V}(x,\varepsilon )$, определенные в (81), удовлетворяют при $x \in [0;1{\text{/}}2]$ неравенствам для верхнего решения из условия 2⁰ определения 1.

Убедимся в том, что $\underline U $, $\underline V $ и $\bar {U}$, $\bar {V}$ удовлетворяют неравенствам из условия 3⁰ определения 1, относящимся к точке $x = 0$. Используя первое равенство в (62), получаем

(90)

$\underline U (0,\varepsilon ) = {{U}_{n}}(0,\varepsilon ) - \hat {\alpha }(0,0){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + G(0){{\varepsilon }^{{n + 3}}} = {{u}^{0}} + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}) - \hat {\alpha }(0,0){{\varepsilon }^{{n + 1}}} + G(0){{\varepsilon }^{{n + 3}}}.$

Так как второе слагаемое в правой части (90) не зависит от $A$, а $\hat {\alpha }(0,0)$ можно сделать сколь угодно большим, взяв достаточно большое $A$, то при достаточно большом $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ из (90) следует неравенство $\underline U (0,\varepsilon ) < {{u}^{0}}$.

Таким же образом проверяется выполнение остальных неравенств из условия 3⁰, относящихся к точке $x = 0$.

3.4.2. Проверка выполнения условий 2⁰ и 3⁰ на отрезке $[1{\text{/}}2;1]$. На этом отрезке $\gamma (\xi ) = 0$, $G(\zeta ) = 0$, $H(\zeta ) = 0$, $\alpha (x,\xi ,\tilde {\xi }) = \tilde {\alpha }(x,\tilde {\xi })$, $\beta (x,\xi ,\tilde {\xi }) = \tilde {\beta }(x,\tilde {\xi })$, причем выражения $\tilde {\alpha }$ и $\tilde {\beta }$ получаются из (79) путем замены производных ${{F}_{u}}$, ${{F}_{v}}$, ${{f}_{u}}$, ${{f}_{v}}$ соответственно на ${{\tilde {F}}_{u}}(x,\tilde {\xi })$, ${{\tilde {F}}_{v}}(x,\tilde {\xi })$, ${{\tilde {f}}_{u}}(x,\tilde {\xi })$, ${{\tilde {f}}_{v}}(x,\tilde {\xi })$ (см. (76)). Поэтому

$\begin{gathered} {{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) = {{L}_{\varepsilon }}({{U}_{n}},{{V}_{n}}) - {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}\tilde {\alpha }}}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{d\tilde {\alpha }}}{{dx}}} \right){{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \mathop {\left( {\frac{{{{d}^{2}}\tilde {\gamma }}}{{d{{{\tilde {\xi }}}^{2}}}} - \varepsilon w(x)\frac{{d\tilde {\gamma }}}{{d\tilde {\xi }}}} \right)}\nolimits^{n + 1} - [F({{U}_{n}} - (\tilde {\alpha } + \tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 1}}}, \\ {{V}_{n}} - (\tilde {\beta } + {{{\tilde {\varphi }}}_{u}}(\tilde {\xi })\tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 1}}},x,\varepsilon ) - F({{U}_{n}},{{V}_{n}},x,\varepsilon )]. \\ \end{gathered} $

Преобразуем это выражение аналогично тому, как это делалось на промежутке $[0;1{\text{/}}2]$. В частности, слагаемое ${{\varepsilon }^{2}}({{d}^{2}}\tilde {\alpha }{\text{/}}d{{x}^{2}})$ представляем в виде

${{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{d}^{2}}\tilde {\alpha }}}{{d{{x}^{2}}}} = A\tilde {q}(\tilde {\xi }) + O(A)\varepsilon ,$

где $\tilde {q}(\tilde {\xi })$ имеет оценку

$\left| {\tilde {q}(\tilde {\xi })} \right| \leqslant cexp(\kappa \tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$

а функцию $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$ определяем как решение задачи

$\frac{{{{d}^{2}}\tilde {\gamma }}}{{d\mathop {\tilde {\xi }}\nolimits^2 }} = \mathop {\tilde {g}}\nolimits_u (\tilde {\xi })\tilde {\gamma } - A\tilde {r}(\tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } < 0,\quad \tilde {\gamma }(0) = 0,\quad \tilde {\gamma }( - \infty ) = 0,$

где $\tilde {r}(\tilde {\xi }) = \tilde {q}(\tilde {\xi }) + \tilde {\psi }(\tilde {\xi })$, $\tilde {\psi }(\tilde {\xi })$ – какая-нибудь функция, удовлетворяющая неравенствам

$\left| {\tilde {q}(\tilde {\xi })} \right| \leqslant \tilde {\psi }(\tilde {\xi }) \leqslant cexp(\kappa \tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0.$

Тогда

$\tilde {\gamma }(\tilde {\xi }) = - A\Psi (\tilde {\xi })\int\limits_0^{\tilde {\xi }} {{{\Psi }^{{ - 2}}}(s)} \int\limits_{ - \infty }^s {\Psi (t)\tilde {r}(t)dt} ,$

где $\Psi (\tilde {\xi }) = d{{Q}_{o}}u{\text{/}}d\tilde {\xi }(\tilde {\xi })$, откуда следует оценка (82) для $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$.

Аналогично (87), используя для производных ${{F}_{u}}$ и ${{F}_{v}}$ формулы вида (75) и (76), получаем неравенство

${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) \geqslant O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}) + A{{\varepsilon }^{{n + 1}}} + A\tilde {\psi }(\tilde {\xi }) + O(A){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + O({{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 2}}},\quad x \in [1{\text{/}}2;1],$

и, следовательно, для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $ имеем неравенство

${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) > 0,\quad x \in [1{\text{/}}2;1].$

Для ${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U )$ на отрезке $[1{\text{/}}2;1]$ получается выражение

$\begin{gathered} {{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) = {{M}_{\varepsilon }}({{V}_{n}},{{U}_{n}}) - {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d\tilde {\beta }}}{{dx}}{{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \varepsilon \frac{d}{{d\tilde {\xi }}}({{{\tilde {\varphi }}}_{u}}(\tilde {\xi })\tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 1}}} - \\ - \;[f({{U}_{n}} - (\tilde {\alpha } + \tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 1}}},{{V}_{n}} - (\tilde {\beta } + {{{\tilde {\varphi }}}_{u}}(\tilde {\xi })\tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 1}}},x,\varepsilon ) - f({{U}_{n}},{{V}_{n}},x,\varepsilon )]. \\ \end{gathered} $

Преобразовав это выражение таким же образом, как в пп. 3.4.1, приходим к неравенству

${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) < 0,\quad x \in [1{\text{/}}2;1].$

Аналогично проверяется выполнение неравенств

${{L}_{\varepsilon }}(\bar {U},\bar {V}) < 0,\quad {{M}_{\varepsilon }}(\bar {V},\bar {U}) > 0,\quad x \in [1{\text{/}}2;1]$

для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $.

В граничной точке $x = 1$ имеем равенство

$\underline U (1,\varepsilon ) = {{U}_{n}}(1,\varepsilon ) - \tilde {\alpha }(1,0){{\varepsilon }^{{n + 1}}} = {{u}^{1}} - \tilde {\alpha }(1,0){{\varepsilon }^{{n + 1}}},$

откуда следует неравенство $\underline U (1,\varepsilon ) < {{u}^{1}}$. Столь же просто проверяется справедливость неравенства $\overline U (1,\varepsilon ) > {{u}^{1}}$. Тем самым условие 3⁰ из определения 1 выполнено.

Итак, пары функций $\underline U (x,\varepsilon )$, $\underline V (x,\varepsilon )$ и $\overline U (x,\varepsilon )$, $\overline V (x,\varepsilon )$, определенные равенствами (80) и (81), являются нижним и верхним решениями задачи (3), (4) для достаточно большого $A$ и достаточно малых $\varepsilon $.

3.5. Завершение доказательства теоремы

Из существования упорядоченных нижнего и верхнего решений задачи (3), (4) следует, что эта задача имеет для достаточно малых $\varepsilon $ решение $u = {{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, $v = {{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ (возможно, не единственное), удовлетворяющее неравенствам (64). В свою очередь из этих неравенств, учитывая вид (80) и (81) нижнего и верхнего решений, получаем асимптотические равенства (63).

Тем самым теорема 1 доказана.

4. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И ОБЛАСТЬ ПРИТЯЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО ПОГРАНСЛОЙНОГО РЕШЕНИЯ

Как уже было сказано в п. 1.1, решение ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ задачи (3), (4) является стационарным решением системы (1). Рассмотрим вопросы об устойчивости этого решения при $t \to \infty $ и его области притяжения. Уточним понятие области притяжения.

Зададим для решения системы (1) начальные условия

(91)

$u(x,0,\varepsilon ) = {{u}_{0}}(x,\varepsilon ),\quad v(x,0,\varepsilon ) = {{v}_{0}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1],$

где ${{u}_{0}}(x,\varepsilon )$ и ${{v}_{0}}(x,\varepsilon )$ – гладкие функции, и краевые условия

(92)

$\begin{gathered} u(0,t,\varepsilon ) = {{u}^{0}} + ({{u}_{0}}(0,\varepsilon ) - {{u}^{0}})E(t,\varepsilon ),\quad v(0,t,\varepsilon ) = {{v}^{0}} + ({{v}_{0}}(0,\varepsilon ) - {{v}^{0}})E(t,\varepsilon ), \\ u(1,t,\varepsilon ) = {{u}^{1}} + ({{u}_{0}}(1,\varepsilon ) - {{u}^{1}})E(t,\varepsilon ),\quad t \geqslant 0, \\ \end{gathered} $

где $E(t,\varepsilon )$ – гладкая монотонная функция, удовлетворяющая условиям

(93)

$E(0,\varepsilon ) = 1,\quad E(\infty ,\varepsilon ) = 0.$

В силу первого равенства из (93) краевые условия (92) согласованы до непрерывности с начальными условиями (91), а в силу второго равенства из (93) краевые условия (92) переходят при $t \to \infty $ в краевые условия (4).

Кроме того, потребуем, чтобы функции ${{u}_{0}}(x,\varepsilon )$ и ${{v}_{0}}(x,\varepsilon )$ удовлетворяли в точке ($x = 0$, $t = 0$) условию согласования первого порядка для второго уравнения системы (1), т.е. чтобы выполнялось равенство

(94)

${{\varepsilon }^{2}}\left[ {({{v}_{0}}(0,\varepsilon ) - {{v}^{0}})\frac{{dE}}{{dt}}(0,\varepsilon ) + w(0)\frac{{d{{v}_{0}}}}{{dx}}(0,\varepsilon )} \right] - w(0)f\left( {{{u}_{0}}(0,\varepsilon ),{{v}_{0}}(0,\varepsilon ),0,\varepsilon } \right) = 0.$

Оно получается из второго уравнения системы (1), взятого в точке ($x = 0$, $t = 0$), с использованием выражения для $v(0,t,\varepsilon )$ из (92) и выражения для $v(x,0,\varepsilon )$ из (91).

Условие (94) является необходимым для существования гладкого решения задачи (1), (91), (92), в противном случае производные $\partial v{\text{/}}\partial x$ и $\partial v{\text{/}}\partial t$ будут разрывными на характеристике второго уравнения системы (1), выходящей из точки ($x = 0$, $t = 0$). В частном случае, когда ${{u}_{0}}(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}}$, ${{v}_{0}}(0,\varepsilon ) = {{v}^{0}}$, условие (94) принимает простой вид:

$\frac{{d{{v}_{0}}}}{{dx}}(0,\varepsilon ) = \frac{{d{{v}_{s}}}}{{dx}}(0,\varepsilon ).$

Определение 2. Если существует число ${{\varepsilon }_{0}} > 0$ и функция $E(t,\varepsilon )$, $t \geqslant 0$, $0 < \varepsilon < {{\varepsilon }_{0}}$, такие, что при $0 < \varepsilon < {{\varepsilon }_{0}}$ начально-краевая задача (1), (91), (92), где функции ${{u}_{0}}(x,\varepsilon )$ и ${{v}_{0}}(x,\varepsilon )$ удовлетворяют условию (94), имеет решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$, удовлетворяющее предельным равенствам

(95)

$\mathop {lim}\limits_{t \to \infty } u(x,t,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ),\quad \mathop {lim}\limits_{t \to \infty } v(x,t,\varepsilon ) = {{v}_{s}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1],$

то будем говорить, что при достаточно малых $\varepsilon $ пара функций ${{u}_{0}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{0}}(x,\varepsilon )$ принадлежит области притяжения стационарного решения ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$.

Возьмем в качестве $E(t,\varepsilon )$ функцию

(96)

$E(t,\varepsilon ) = exp( - pt{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}}),\quad t \geqslant 0,$

где $p$ – не зависящее от $\varepsilon $ положительное число, выбор которого уточним ниже, а функции ${{u}_{0}}(x,\varepsilon )$ и ${{v}_{0}}(x,\varepsilon )$ возьмем в виде

${{u}_{0}}(x,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {u}(x,\varepsilon ),\quad {{v}_{0}}(x,\varepsilon ) = {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {v}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1].$

Тогда краевые условия (92) запишутся так:

(97)

$\begin{gathered} u(0,t,\varepsilon ) = {{u}^{0}} + \tilde {u}(0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ),\quad v(0,t,\varepsilon ) = {{v}^{0}} + \tilde {v}(0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ), \\ u(1,t,\varepsilon ) = {{u}^{1}} + \tilde {u}(1,\varepsilon )E(t,\varepsilon ),\quad t \geqslant 0, \\ \end{gathered} $

а условие (94) принимает вид

(98)

$ - p\tilde {v}(0,\varepsilon ) + w(0)[f({{u}^{0}},{{v}^{0}},0,\varepsilon ) - f({{u}^{0}} + \tilde {u}(0,\varepsilon ),{{v}^{0}} + \tilde {v}(0,\varepsilon ),0,\varepsilon )] + {{\varepsilon }^{2}}w(0)\frac{{d\tilde {v}}}{{dx}}(0,\varepsilon ) = 0,$

в частности, если $\tilde {u}(0,\varepsilon ) = 0$, $\tilde {v}(0,\varepsilon ) = 0$, то (98) выполняется в случае $d\tilde {v}{\text{/}}dx(0,\varepsilon ) = 0$.

Теорема 2. Пусть выполнены условия А1–А7. Тогда существуют не зависящие от $\varepsilon $ положительные числа ${{m}_{0}}$, ${{c}_{0}}$, ${{C}_{0}}$ такие, что если

(99)

$\left| {\tilde {u}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{c}_{0}}m,\quad \left| {\tilde {v}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{c}_{0}}m,\quad x \in [0;1],$

где $m \in (0,{{m}_{0}})$, и выполнено условие (98), то для достаточно малых $\varepsilon $ и $p$ (зависящих, вообще говоря, от $m$), существует решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$ задачи (1), (91), (97), и справедливы неравенства

(100)

$\begin{gathered} \left| {u(x,t,\varepsilon ) - {{u}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{C}_{0}}mE(t,\varepsilon ),\quad \left| {v(x,t,\varepsilon ) - {{v}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{C}_{0}}mE(t,\varepsilon ), \\ (x,t) \in \bar {D} = (0 \leqslant x \leqslant 1) \times (t \geqslant 0). \\ \end{gathered} $

Доказательство. Снова воспользуемся методом дифференциальных неравенств. С этой целью дадим определение нижнего и верхнего решений для задачи (1), (91), (97).

Определение 3. Две пары функций $\underline U (x,t,\varepsilon )$, $\underline V (x,t,\varepsilon )$ и $\bar {U}(x,t,\varepsilon )$, $\bar {V}(x,t,\varepsilon )$, непрерывных в области $\bar {D}$, и таких, что $\underline U $ и $\bar {U}$ непрерывно дифференцируемы дважды по $x$ и один раз по $t$ в области $D = (0 < x < 1) \times (t > 0)$, а $\underline V $ и $\bar {V}$ непрерывно дифференцируемы по $x$ и $t$ в области $D$, называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (91), (97), если они удовлетворяют следующим условиям:

${{1}^{0}}.\quad \underline U (x,t,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(x,t,\varepsilon ),\quad \underline V (x,t,\varepsilon ) \leqslant \bar {V}(x,t,\varepsilon ),\quad (x,t) \in \bar {D}$

(условие упорядоченности);

${{2}^{0}}.\quad {{\tilde {L}}_{\varepsilon }}(\underline U ,v): = {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{\partial \underline U }}{{\partial t}} + w(x)\frac{{\partial \underline U }}{{\partial x}} - \frac{{{{\partial }^{2}}\underline U }}{{\partial {{x}^{2}}}}} \right) + F(\underline U ,v,x,\varepsilon ) \leqslant 0 \leqslant {{\tilde {L}}_{\varepsilon }}(\bar {U},v)$

при

$\underline V (x,t,\varepsilon ) \leqslant v \leqslant \bar {V}(x,t,\varepsilon ),\quad (x,t) \in D;$

${{\tilde {M}}_{\varepsilon }}(\underline V ,u): = {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{\partial \underline V }}{{\partial t}} + w(x)\frac{{\partial \underline V }}{{\partial x}}} \right) - w(x)f(u,\underline V ,x,\varepsilon ) \leqslant 0 \leqslant {{\tilde {M}}_{\varepsilon }}(\bar {V},u)$

при

$\underline U (x,t,\varepsilon ) \leqslant u \leqslant \bar {U}(x,t,\varepsilon ),\quad (x,t) \in D;$

${{3}^{0}}.\quad \underline U (x,0,\varepsilon ) \leqslant {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {u}(x,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(x,0,\varepsilon ),$

$\underline V (x,0,\varepsilon ) \leqslant {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {v}(x,\varepsilon ) \leqslant \bar {V}(x,0,\varepsilon ),\quad x \in [0;1];$

${{4}^{0}}.\quad \underline U (0,t,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{0}} + \tilde {u}(0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(0,t,\varepsilon ),$

$\underline V (0,t,\varepsilon ) \leqslant {{v}^{0}} + \tilde {v}(0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ) \leqslant \bar {V}(0,t,\varepsilon ),$

$\underline U (1,t,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{1}} + \tilde {u}(1,\varepsilon )E(t,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(1,t,\varepsilon ),\quad t \geqslant 0.$

Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения задачи (1), (91), (97), то эта задача имеет решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$, удовлетворяющее неравенствам

(101)

$\underline U (x,t,\varepsilon ) \leqslant u(x,t,\varepsilon ) \leqslant \bar {U}(x,t,\varepsilon ),\quad \underline V (x,t,\varepsilon ) \leqslant v(x,t,\varepsilon ) \leqslant \bar {V}(x,t,\varepsilon ),\quad (x,t) \in \bar {D}.$

Чтобы построить нижнее и верхнее решения задачи (1), (91), (97), определим функции ${{\alpha }_{m}}(x,\xi ,\tilde {\xi })$ и ${{\beta }_{m}}(x,\xi ,\tilde {\xi })$ как решение системы (78), в которой число $A$ заменено на число $m > 0$, выбор которого уточним ниже. Функции ${{\alpha }_{m}}$ и ${{\beta }_{m}}$ выражаются формулами (79) с заменой $A$ на $m$, откуда следуют неравенства

(102)

${{c}_{1}}m \leqslant {{\alpha }_{m}} \leqslant {{c}_{2}}m,\quad {{c}_{1}}m \leqslant {{\beta }_{m}} \leqslant {{c}_{2}}m,\quad x \in [0;1],$

где ${{c}_{1}}$ и ${{c}_{2}}$ – некоторые положительные числа, не зависящие от $m$ и $\varepsilon $. Определим далее функции ${{\gamma }_{m}}(\xi )$, ${{G}_{m}}(\zeta )$, ${{H}_{m}}(\zeta )$ и ${{\tilde {\gamma }}_{m}}(\tilde {\xi })$ таким же образом, как в пп. 3.4.1 и 3.4.2 были определены функции $\gamma (\xi )$, $G(\xi )$, $H(\zeta )$ и $\tilde {\gamma }(\tilde {\xi })$, заменив при этом число $A$ на число $m$. Для этих функций справедливы оценки вида (82) и (83) с заменой $A$ на $m$.

Нижнее и верхнее решения задачи (1), (91), (97) возьмем в виде, аналогичном (80) и (81):

(103)

$\underline U (x,t,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) - {{\chi }_{1}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta ,\varepsilon )E(t,\varepsilon ),\quad \underline V (x,t,\varepsilon ) = {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) - {{\chi }_{2}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta )E(t,\varepsilon ),$

(104)

$\overline U (x,t,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) + {{\chi }_{1}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta ,\varepsilon )E(t,\varepsilon ),\quad \overline V (x,t,\varepsilon ) = {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) + {{\chi }_{2}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta )E(t,\varepsilon ),$

где

${{\chi }_{1}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta ,\varepsilon ) = {{\alpha }_{m}}(x,\xi ,\tilde {\xi }) + {{\gamma }_{m}}(\xi ) + {{\tilde {\gamma }}_{m}}(\tilde {\xi }) - {{\varepsilon }^{2}}{{G}_{m}}(\zeta ),$

${{\chi }_{2}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta ) = {{\beta }_{m}}(x,\xi ,\tilde {\xi }) + {{\varphi }_{u}}(\xi ){{\gamma }_{m}}(\xi ) + {{\tilde {\varphi }}_{u}}(\tilde {\xi }){{\tilde {\gamma }}_{m}}(\xi ) + {{H}_{m}}(\zeta ).$

В силу оценок для слагаемых, входящих в состав функций ${{\chi }_{1}}$ и ${{\chi }_{2}}$, эти функции не отрицательны, что обеспечивает выполнение условия 1⁰ из определения 3, и удовлетворяют неравенствам

(105)

${{c}_{0}}m < {{\chi }_{1}} \leqslant {{C}_{0}}m,\quad {{c}_{0}}m < {{\chi }_{2}} \leqslant {{C}_{0}}m,\quad x \in [0;1],$

где в качестве ${{c}_{0}}$ можно взять любое число из интервала $0 < {{c}_{0}} < {{c}_{1}}$, ${{c}_{1}}$ – число из неравенств (102), а число ${{C}_{0}}$ также не зависит от $m$ и от $\varepsilon $ для достаточно малых $\varepsilon $. Поэтому для достаточно малых $m$ и $\varepsilon $ в силу условий А6 и А7 функции $F$ и $f$ будут удовлетворять условию квазимонотонности в области

${{G}_{1}} = \{ (u,v,x,t,\varepsilon ):\underline U (x,t,\varepsilon ) \leqslant u \leqslant \bar {U}(x,t,\varepsilon ),\;\underline V (x,t,\varepsilon ) \leqslant v \leqslant \bar {V}(x,t,\varepsilon ),\;(x,t) \in \bar {D},\;0 \leqslant \varepsilon \leqslant {{\varepsilon }_{0}}\} ,$

и, следовательно, для выполнения условия 2⁰ из определения 3 достаточно, чтобы были выполнены неравенства

(106)

${{\tilde {L}}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) \leqslant 0 \leqslant {{\tilde {L}}_{\varepsilon }}(\bar {U},\bar {V}),\quad {{\tilde {M}}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) \leqslant 0 \leqslant {{\tilde {M}}_{\varepsilon }}(\bar {V},\bar {U}),\quad (x,t) \in D.$

Проверка выполнения этих неравенств проводится аналогично тому, как это было сделано в пп. 3.4.1 и 3.4.2. Рассмотрим, например, выражение для ${{\tilde {L}}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V )$ в области ${{D}_{1}} = \{ (x,t):0 < $ $ < \;x \leqslant 1{\text{/}}2,\;t > 0\} $:

(107)

$\begin{gathered} {{{\tilde {L}}}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) = - {{L}_{\varepsilon }}({{u}_{s}},{{v}_{s}}) + \left( {p{{\chi }_{1}} - {{\varepsilon }^{2}}w(x)\frac{{d{{\chi }_{1}}}}{{dx}} + {{\varepsilon }^{2}}\frac{{{{d}^{2}}{{\chi }_{1}}}}{{d{{x}^{2}}}}} \right)E(t,\varepsilon ) + \\ \; + [F({{u}_{s}} - {{\chi }_{1}}E(t,\varepsilon ),{{v}_{s}} - {{\chi }_{2}}E(t,\varepsilon ),x,\varepsilon ) - F({{u}_{s}},{{v}_{s}},x,\varepsilon )]. \\ \end{gathered} $

Первое слагаемое в правой части равенства (107) равно нулю, а следующие слагаемые, используя вид функций ${{\chi }_{1}}$ и ${{\chi }_{2}}$, преобразуем таким же образом, как это делалось в пп. 3.4.1, в частности, выражение в квадратных скобках запишем в виде

$F({{u}_{s}} - {{\chi }_{1}}E,{{v}_{s}} - {{\chi }_{2}}E,x,\varepsilon ) - F({{u}_{s}},{{v}_{s}},x,\varepsilon ) = - F_{u}^{s}(x,\varepsilon ){{\chi }_{1}}E - F_{v}^{s}(x,\varepsilon ){{\chi }_{2}}E + O(\chi _{1}^{2} + \chi _{2}^{2}){{E}^{2}},$

где

$F_{u}^{s}(x,\varepsilon ) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}({{u}_{s}},{{v}_{s}},x,\varepsilon ),\quad F_{v}^{s}(x,\varepsilon ) = \frac{{\partial F}}{{\partial v}}({{u}_{s}},{{v}_{s}},x,\varepsilon ).$

Для производных $F_{u}^{s}(x,\varepsilon )$ и $F_{v}^{s}(x,\varepsilon )$ имеют место представления такого же вида, как (71). Используя их, а также первое уравнение системы относительно ${{\alpha }_{m}}$ и ${{\beta }_{m}}$, от (107) приходим к неравенству

(108)

$\mathop {\tilde {L}}\nolimits_\varepsilon (\underline U ,\underline V ) \leqslant - \,[m + m\psi (\xi ) + O(m)(p + \varepsilon ) + O({{m}^{2}})]E(t,\varepsilon ),$

где $\psi (\xi )$ – та же неотрицательная функция, которая входит в уравнение для $\gamma (\xi )$ в пп. 3.4.1.

Пусть ${{m}_{0}} > 0$ – такое число, для которого

$\left| {O({{m}^{2}})} \right| < \frac{m}{2}\quad {\text{п р и }}\quad 0 < m < {{m}_{0}},$

где $O({{m}^{2}})$ – последнее слагаемое в квадратных скобках в правой части неравенства (108). Тогда для любого $m \in (0,{{m}_{0}})$ при достаточно малых $p$ и $\varepsilon $ первое слагаемое в квадратных скобках обеспечит положительность всей суммы в квадратных скобках, и, следовательно, выполнение неравенства

${{\tilde {L}}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) < 0,\quad (x,t) \in {{D}_{1}}.$

Аналогично доказывается, что если ${{m}_{0}} > 0$ достаточно мало, то для любого $m \in (0,{{m}_{0}})$ при достаточно малых $p$ и $\varepsilon $ в области ${{D}_{1}}$ выполняются остальные неравенства из (106) и также выполняются все неравенства (106) в области

${{D}_{2}} = \{ (x,t):1{\text{/}}2 \leqslant x < 1,\;t > 0\} .$

Итак, существует число ${{m}_{0}} > 0$ такое, что для любого $m \in (0,{{m}_{0}})$ при достаточно малых $p$ и $\varepsilon $ выполняется условие 2⁰ из определения 3.

Проверим выполнение условий 3⁰ и 4⁰ из определения 3.

Так как $\underline U (x,0,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) - {{\chi }_{1}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta ,\varepsilon ) < {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) - {{c}_{0}}m$ (см. (105)), а ${{u}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {u}(x,\varepsilon ) \geqslant $ $ \geqslant \;{{u}_{s}}(x,\varepsilon ) - {{c}_{0}}m$ (см. (99)), то

$\underline U (x,0,\varepsilon ) < {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {u}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1],$

т.е. выполнено первое из неравенств в условии 3⁰. Аналогично проверяется выполнение остальных неравенств в условии 3⁰.

Далее,

$\underline U (0,t,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(0,\varepsilon ) - {{\chi }_{1}}(0,0, - {{\varepsilon }^{{ - 1}}},0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ),$

поэтому в силу равенства ${{u}_{s}}(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}}$ и неравенства $ - {{\chi }_{1}} < - {{c}_{0}}m$ (см. (105)), получаем неравенство

$\underline U (0,t,\varepsilon ) < {{u}^{0}} - {{c}_{0}}mE(t,\varepsilon ),$

а так как ${{u}^{0}} + \tilde {u}(0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ) \geqslant {{u}^{0}} - {{c}_{0}}mE(t,\varepsilon )$ (см. (99)), то

$\underline U (0,t,\varepsilon ) < {{u}^{0}} + \tilde {u}(0,\varepsilon )E(t,\varepsilon ),\quad t \geqslant 0,$

т.е. выполнено первое из неравенств в условии 4⁰. Аналогично проверяется, что остальные неравенства в условии 4⁰ также выполнены.

Таким образом, для любого $m \in (0,{{m}_{0}})$ при достаточно малых $p$ и $\varepsilon $ пары функций $\underline U (x,t,\varepsilon )$, $\underline V (x,t,\varepsilon )$ и $\bar {U}(x,t,\varepsilon )$, $\bar {V}(x,t,\varepsilon )$, определенные формулами (103) и (104), являются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (91), (97). Отсюда следует, что существует решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$ этой задачи, удовлетворяющее неравенствам (101). Из этих неравенств, используя вид (103) и (104) нижнего и верхнего решений, получаем неравенства

$\begin{gathered} \left| {u(x,t,\varepsilon ) - {{u}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{\chi }_{1}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta ,\varepsilon )E(t,\varepsilon ), \\ \left| {v(x,t,\varepsilon ) - {{v}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{\chi }_{2}}(x,\xi ,\tilde {\xi },\zeta )E(t,\varepsilon ),\quad (x,t) \in \bar {D}, \\ \end{gathered} $

а отсюда в силу (105) следуют неравенства (100).

Теорема 2 доказана.

Следствие 1. Стационарное решение ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ системы (1) является асимптотически устойчивым при $t \to \infty $.

В самом деле, для произвольно заданного числа $\eta > 0$ возьмем число $m \in (0,{{m}_{0}})$ такое, что ${{C}_{0}}m < \eta $. Тогда если $\left| {\tilde {u}(x,\varepsilon )} \right| < \delta = {{c}_{0}}m$, $\left| {\tilde {v}(x,\varepsilon )} \right| < \delta $, $x \in [0;1]$, и выполнено условие (98), то решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$ задачи (1), (91), (97) существует и удовлетворяет неравенствам (100), откуда следует, что

$\left| {u(x,t,\varepsilon ) - {{u}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant \eta ,\quad \left| {v(x,t,\varepsilon ) - {{v}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant \eta ,\quad (x,t) \in \bar {D}.$

Кроме того, из неравенств (100), учитывая вид (96) функции $E(t,\varepsilon )$, получаем предельные равенства (95). Это и означает, что стационарное решение ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ асимптотически устойчиво при $t \to \infty $.

Следствие 2. Любая пара гладких функций

${{u}_{0}}(x,\varepsilon ) = {{u}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {u}(x,\varepsilon ),\quad {{v}_{0}}(x,\varepsilon ) = {{v}_{s}}(x,\varepsilon ) + \tilde {v}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0;1],$

удовлетворяющих условию (98) и неравенствам

$\left| {\tilde {u}(x,\varepsilon )} \right| < {{c}_{0}}m,\quad \left| {\tilde {v}(x,\varepsilon )} \right| < {{c}_{0}}m,\quad x \in [0;1],$

где $m \in (0,{{m}_{0}})$, ${{c}_{0}}$ и ${{m}_{0}}$ – числа, определенные в теореме 2, при достаточно малых $\varepsilon $ принадлежит области притяжения стационарного решения ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$.

5. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

1. Отметим, что решение $u(x,t,\varepsilon )$, $v(x,t,\varepsilon )$ начально-краевой задачи (1), (91), (97) становится сколь угодно близким к стационарному решению ${{u}_{s}}(x,\varepsilon )$, ${{v}_{s}}(x,\varepsilon )$ задачи (3), (4) за короткое время порядка $O({{\varepsilon }^{{2 - \sigma }}})$, где $\sigma $ – произвольно малое положительное число, не зависящее от $\varepsilon $. В самом деле, если $t \geqslant {{\varepsilon }^{{2 - \sigma }}}$, то из неравенств (100) следуют оценки

$\left| {u(x,t,\varepsilon ) - {{u}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| \leqslant {{C}_{0}}mexp( - p{\text{/}}{{\varepsilon }^{\sigma }}) = o({{\varepsilon }^{N}})$

и также $\left| {v(x,t,\varepsilon ) - {{v}_{s}}(x,\varepsilon )} \right| = o({{\varepsilon }^{N}})$ для любого $N$, $0 \leqslant x \leqslant 1$, $t \geqslant {{\varepsilon }^{{2 - \sigma }}}$.

2. Асимптотика решения стационарной задачи (3), (4) построена при условии, что уравнения (6) и (7) имеют простые корни (см. условие А2). Представляет интерес рассмотрение задачи (3), (4) в том случае, когда уравнение (6) имеет кратный корень относительно $v$ кратности 2 или 3. Изучение ряда сингулярно возмущенных задач с кратным корнем вырожденного уравнения (см. [8]–[10]) показало, что в этом случае пограничные слои оказываются многозонными, что приводит к необходимости существенной модификации алгоритма построения погранслойной части асимптотики решения.

Список литературы

Бутузов В.Ф. Асимптотика решения сингулярно возмущенной частично диссипативной системы с кратным корнем вырожденного уравнения // Матем. сб. 2016. Т. 207. № 8. С. 73–100.
Бутузов В.Ф. Асимптотика погранслойного решения стационарной частично диссипативной системы с кратным корнем вырожденного уравнения // Матем. сборник (в печати).
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990. 208 с.
Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущeнные краевые задачи. Теория и приложения. М.: Мир, 1988. 247 с.
Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 4. С. 719–722.
Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New-York–London: Plenum Press, 1992.
Нефёдов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущeнных задач с внутренними слоями // Дифференц. ур-ния. 1995. Т. 31. № 7. С 1132–1139.
Бутузов В.Ф. Об особенностях пограничного слоя в сингулярно возмущенных задачах с кратным корнем вырожденного уравнения // Матем. заметки. 2013. Т. 94. Вып. 1. С. 68–80.
Бутузов В.Ф. Об одной сингулярно возмущенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с кратным корнем вырожденного уравнения // Нелинейные колебания. 2018. Т. 21. № 1. С. 6–28.
Бутузов В.Ф. Асимптотика и устойчивость решения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с трехкратным корнем вырожденного уравнения // Известия РАН. Серия матем. 2017. Т. 81. № 3. С. 21–44.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал