Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 8, стр. 1296-1298

1. ВВЕДЕНИЕ

Известно, что количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений эрмитовой матрицы $H$ можно определить посредством конечной последовательности арифметических операций (к числу которых в комплексном случае следует отнести операцию сопряжения). Имеющиеся варианты: метод Лагранжа (или его комплексная версия) для приведения квадратичной формы к каноническому виду; метод Штурма в применении к характеристическому многочлену матрицы $H$ и т.д. (см. [1, ${\S}\;40$; 2, ${\S}\;19$; 3, гл. 1, ${\S}\;4.2$]). Сочетая эти методы с приемом бисекции, можно локализовать каждое собственное значение $H$ с любой требуемой точностью.

Будем называть рациональным всякий алгоритм с указанными выше двумя свойствами: конечностью и использованием только арифметических операций. Цель данной заметки – указать некоторые области локализации для собственных значений нормальной матрицы $A$, которые могут быть найдены применением к $A$ рациональных процедур. Построение таких областей есть часть своеобразного метода бисекции (также рационального), который будет описан в последующей публикации автора. Рациональность важна потому, что рациональные алгоритмы способны давать точные результаты (для матриц с рациональными элементами), если используется возможность безошибочных вычислений с рациональными числами, предоставляемая системами компьютерной алгебры.

2. ТЁПЛИЦЕВО РАЗЛОЖЕНИЕ

Напомним, что тёплицевым (или эрмитовым) разложением квадратной комплексной матрицы $A$ называется ее представление в виде

Эрмитовы матрицы $B$ и $C$ в этом разложении однозначно определены:

Тёплицево разложение нормальной матрицы $A$ характеризуется следующим свойством.

Предложение 1. Квадратная матрица $A$ нормальна, если и только если матрицы $B$ и $C$ в ее тёплицевом разложении перестановочны:

Выполним унитарное подобие, приводящее $A$ к диагональному виду:

Числа ${{\lambda }_{j}} = {{\beta }_{j}} + i{{\gamma }_{j}},$ $j = 1,2, \ldots ,n$, суть собственные значения матрицы $A$. Матрица $U$ приводит к диагональному виду и каждую из матриц $B$ и $C$: Отсюда выводим

Предложение 2. Собственные значения матрицы $B(C)$ суть вещественные (мнимые) части собственных значений нормальной матрицы $A$.

3. ПОЛУПЛОСКОСТИ, ПОЛОСЫ И КРУГИ

Количество положительных и отрицательных собственных значений эрмитовой матрицы $H$ называют ее индексами инерции (соответственно положительным и отрицательным) и обозначают ${{n}_{ + }}(H)$ и ${{n}_{ - }}(H)$. Символ ${{n}_{0}}(H)$ используется для обозначения размерности ядра (дефекта) матрицы $H$.

Применяя предложение 2 к разложению (1) нормальной матрицы $A$, получаем теорему.

Теорема 1. Индексы ${{n}_{ + }}(B)$ и ${{n}_{ - }}(B)$ указывают число собственных значений матрицы $A$, находящихся соответственно в полуплоскостях $\operatorname{Re} z > 0$ и $\operatorname{Re} z < 0$. Тот же смысл по отношению к полуплоскостям $\operatorname{Im} z > 0$ и $\operatorname{Im} z < 0$ имеют числа ${{n}_{ + }}(C)$ и ${{n}_{ - }}(C)$.

Заменяя в этой теореме матрицу $A$ (также нормальной) матрицей $A - {{z}_{0}}I$, получаем способ найти распределение собственных значений ${{\lambda }_{j}}(A)$ по отношению к произвольной вертикальной или горизонтальной прямой. Использование пары сдвигов позволяет определить число собственных значений внутри полос вида ${{x}_{1}} < \operatorname{Re} z < {{x}_{2}}$ или ${{y}_{1}} < \operatorname{Im} z < {{y}_{2}}$. Расположение собственных значений ${{\lambda }_{j}}(A)$ относительно наклонных прямых, проходящих через нуль, найдем, применяя теорему 1 к (нормальным) матрицам вида ${{e}^{{i\phi }}}A$. Наконец, повороты и сдвиги можно сочетать.

Как известно, дробно-линейная функция

отображает мнимую ось плоскости $z$ в единичную окружность плоскости $w$. Правая полуплоскость $\operatorname{Re} z > 0$ переходит при этом в единичный круг. Обратной к (2) является функция

Пусть нужно определить число собственных значений нормальной $n \times n$-матрицы $A$ внутри единичного круга. Тогда можно поступить следующим образом: построить (нормальную) матрицу

и найти положительный индекс инерции компоненты $\tilde {B}$ в тёплицевом разложении $\tilde {A} = \tilde {B} + i\tilde {C}$. Это и будет искомое число. Отрицательный индекс ${{n}_{ - }}(\tilde {B})$ даст число собственных значений матрицы $A$, модули которых больше 1.

4. КВАДРАНТЫ

Знания чисел ${{n}_{ + }}(B)$, ${{n}_{ + }}(C)$ и ${{n}_{ - }}(C)$ недостаточно для определения количества собственных значений $n \times n$-матрицы $A$ в том или ином квадранте. Так, даже если ${{n}_{ + }}(B) = {{n}_{ + }}(C) = n{\text{/}}2$, в первом квадранте собственные значения $A$ могут отсутствовать.

Предположим для простоты, что $A$ не имеет вещественных и чисто мнимых собственных значений, а также собственных значений, лежащих на биссектрисах $y = \pm x$. Справедливость каждого из этих предположений можно проверить посредством рациональных алгоритмов.

Обозначим через ${{n}_{1}}$, ${{n}_{2}}$, ${{n}_{3}}$ и ${{n}_{4}}$ число собственных значений $A$ в каждом из четырех (открытых) квадрантов. Покажем, как определить эти числа.

Следующие два соотношения очевидны:

Квадрат нормальной матрицы $A = B + iC$ есть нормальная матрица с тёплицевым разложением

(произведение перестановочных эрмитовых матриц $B$ и $C$ есть снова эрмитова матрица). При возведении в квадрат в верхнюю полуплоскость попадут квадраты тех чисел ${{\lambda }_{j}}(A)$, что лежат в первой и третьей четвертях. Отсюда выводим соотношение Прибавим к (3)–(5) очевидное равенство

Нетрудно проверить, что система линейных уравнений (3)–(6) однозначно разрешима относительно ${{n}_{1}}$, ${{n}_{2}}$, ${{n}_{3}}$ и ${{n}_{4}}$. В самом деле, ее определитель равен 2.

Заменяя $A$ в приведенных выше рассуждениях матрицей $A - {{z}_{0}}I$, можем аналогичным образом найти число собственных значений $A$ в множествах вида $\operatorname{Re} (z - {{z}_{0}}) > 0( < {\kern 1pt} 0) \cap \operatorname{Im} (z - {{z}_{0}}) > 0( < {\kern 1pt} 0)$.

5. СИММЕТРИЧНЫЕ СЕКТОРЫ

Таким же образом, как в разд. 4, можно найти числа ${{\hat {n}}_{1}}$, ${{\hat {n}}_{2}}$, ${{\hat {n}}_{3}}$ и ${{\hat {n}}_{4}}$ для нормальной матрицы ${{A}^{2}}$. При этом ${{\hat {n}}_{1}}$ имеет смысл числа собственных значений $A$, попадающих в симметричные секторы $0 < arg\lambda < \tfrac{\pi }{4}$ и $\pi < arg\lambda < 5\tfrac{\pi }{4}$; ${{\hat {n}}_{2}}$ указывает число собственных значений ${{\lambda }_{j}}(A)$ в секторах $\tfrac{\pi }{4} < arg\lambda < \tfrac{\pi }{2}$ и $5\tfrac{\pi }{4} < arg\lambda < 3\tfrac{\pi }{2}$ и т.д.

6. ПОЛУКРУГИ

Дробно-линейная функция (2) отображает первый квадрант плоскости $z$ в полукруг $\left| w \right| < 1$, $\operatorname{Im} w > 0$, а четвертый квадрант – в полукруг $\left| w \right| < 1$, $\operatorname{Im} w < 0$. Если мы хотим определить число собственных значений нормальной матрицы $A$ в одном из этих полукругов, то можно построить матрицу $\tilde {A} = (A + {{I}_{n}}){{({{I}_{n}} - A)}^{{ - 1}}}$ и найти для нее числа ${{\tilde {n}}_{1}}$ и ${{\tilde {n}}_{4}}$, как это описано в разд. 4.