1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 59, № 8, 2019

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 8, стр. 1431-1438

Теория интегрального уравнения осесимметричной задачи дифракции на диске

С. И. Эминов *

Новгородский гос. ун-т имени Ярослава Мудрого
173003 Великий Новгород, ул. Б. С.-Петербургская, 41, Россия

* E-mail: eminovsi@mail.ru

Поступила в редакцию 01.04.2019
После доработки 01.04.2019
Принята к публикации 10.04.2019

Полный текст (PDF)

Аннотация

Построена теория интегрального уравнения для радиальных токов в осесимметричной задаче дифракции на диске. В основе исследования лежат выделение главной части, непрерывно-обратимого оператора и доказательство его положительной определенности. Получены теоремы существования и единственности. Построен ортонормированный базис энергетического пространства положительно-определенного оператора. Каждый элемент базиса на границе ведет себя, как и неизвестная функция. Изучена структура матрицы интегрального оператора в данном базисе: матрица главной части оказывается единичной, а матрица следующего оператора – трехдиагональной. Библ. 16.

Ключевые слова: дифракция на диске, непрерывно-обратимый оператор, положительно-определенный оператор, преобразование Ханкеля, компактный оператор, ортонормированный базис, присоединенные функции Лежандра 1-го рода, матрица оператора.

ВВЕДЕНИЕ

Задачам дифракции электромагнитных волн на таких основных структурах, как полоса, отрезок кругового цилиндра посвящена большая научная литература. Интегральные уравнения для этих задач изучены достаточно полно [1], [2]. В то же время задача дифракции на диске, по известной нам литературе, мало исследована. По-видимому, это связано с некоторой трудностью анализа ядер интегральных уравнений, содержащих преобразование Ханкеля. Уравнение дифракции на диске требует дополнительного обсуждения с математической точки зрения, что и делается в работе.

1. ВЫДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ НЕПРЕРЫВНО ОБРАТИМОГО ОПЕРАТОРА

Пусть на идеально-проводящую поверхность диска радиуса $\tilde {a}$, расположенного в плоскости $z = 0$, падает первичная волна ${{E}^{0}}\left( {r,\varphi } \right) = E_{r}^{0}\left( r \right)r$, не зависящая от $\varphi $ (в цилиндрической системе координат $r,\;\varphi ,\;z$) и направленная по радиусу. Такая волна может создаваться, например, электрическим диполем, расположенным над диском [3]. В результате на поверхности наводятся поверхностные токи, также не зависящие от $\varphi $ и направленные по радиусу. Нахождение функции токов связано с решением интегрального уравнения вида [4], [5]

(1)
${{a}^{3}}\int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {ax\tau } \right)} x\sqrt {{{x}^{2}} - 1} \,\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {axt} \right)} u\left( t \right)tdtdx = f\left( \tau \right),\quad 0 \leqslant \tau \leqslant 1,$
где $a$ – параметр, электрический радиус диска, ${{J}_{1}}$ – функция Бесселя первого порядка.

Оператор в левой части (1) определяется следующим образом: вначале проводится интегрирование по переменной t, находится преобразование Ханкеля, а затем – по переменной x. Такой подход применяется при определении псевдо-дифференциальных операторов через преобразование Фурье [6].

Для выделения однозначной ветви у функции $\sqrt {{{x}^{2}} - 1} $ на комплексной плоскости $x$ проведем разрезы из точек ветвления параллельно мнимой оси $\left[ { - 1, - 1 + i\infty } \right)$ и $\left[ {1,1 - i\infty } \right)$. Функция $\sqrt {{{x}^{2}} - 1} $ принимает действительные значения при $\left| x \right| \geqslant 1$, а когда $\left| x \right| \leqslant 1$ выбирается та ветвь, для которой выполняется равенство

$\sqrt {{{x}^{2}} - 1} = i\sqrt {1 - {{x}^{2}}} ,\quad \sqrt {1 - {{x}^{2}}} > 0.$

Уравнение (1) представим в виде

(2)
$\left( {Au} \right)\left( \tau \right) + \left( {Ku} \right)\left( \tau \right) = f\left( \tau \right),$
где

(3)
$\left( {Au} \right)\left( \tau \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} {{x}^{2}}\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdtdx,$
(4)
$\left( {Ku} \right)\left( \tau \right) = {{a}^{3}}\int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {ax\tau } \right)} x(\sqrt {{{x}^{2}} - 1} - x)\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {axt} \right)} u\left( t \right)tdtdx.$

Как будет показано ниже, оператор $A$ ограниченно обратим, а оператор $K$ – компактный, другими словами, оператор $A$ выражает “главную часть”.

Введем также в рассмотрение следующий оператор:

(5)
$\left( {Iu} \right)\left( \tau \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} x\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdtdx.$
По свойству ортогональности функций Бесселя с весом [3]
$\int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} {{J}_{1}}\left( {xt} \right)xdx = \frac{{\delta \left( {t - \tau } \right)}}{t},$
оператор $I$ с таким ядром является единичным: $Iu = u$. Все операторы будем изучать в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$, в котором скалярное произведение и норма определяются по формулам

(6)
$\left( {u,v} \right) = \int\limits_0^1 {u\left( t \right)\overline {v{\kern 1pt} \left( t \right)} } tdt,\quad {{\left\| u \right\|}^{2}} = \int\limits_0^1 {{{{\left| u \right|}}^{2}}} tdt.$

2. ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ

Оператор $A$ включим в семейство операторов ${{A}_{s}}$ вида

(7)
$\left( {{{A}_{s}}u} \right)\left( \tau \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} {{x}^{s}}\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdtdx,\quad s \geqslant 1.$

Область определения $D\left( {{{A}_{s}}} \right) = C_{0}^{\infty }\left( {0,1} \right)$ – множество всех бесконечно-дифференцируемых функций с компактным в $\left( {0,1} \right)$ носителем. Множество $D\left( {{{A}_{s}}} \right)$ всюду плотно в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$ (см. [7, с. 88]). С другой стороны, как показано в [8], преобразование Ханкеля

(8)
$\tilde {u}\left( x \right) = \int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdt$
от функции $u$ из множества $C_{0}^{\infty }\left( {0,1} \right)$ обладает хорошими свойствами: $\tilde {u}\left( x \right)$ является бесконечно дифференцируемой функцией и убывает на бесконечности быстрее любой степени $\frac{1}{x}$. Поэтому несобственный интеграл (7) сходится равномерно и ${{A}_{s}}u \in {{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$.

Далее оператор ${{A}_{s}}$ симметричен

$\left( {{{A}_{s}}u,v} \right) = \left( {u,{{A}_{s}}v} \right)\quad \forall u,v \in D\left( {{{A}_{s}}} \right).$

Теорема 1. Оператор ${{A}_{s}}$ при $s \geqslant 1$ является положительно-определенным, т.е.

(9)
$\left( {{{A}_{s}}u,u} \right) \geqslant {{\gamma }^{2}}\left( {u,u} \right),\quad {{\gamma }^{2}} > 0.$

Доказательство. Это неравенство, с учетом (5), (7) и (8) эквивалентно неравенству

(10)
$\int\limits_0^{ + \infty } {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} {{x}^{s}}dx \geqslant {{\gamma }^{2}}\int\limits_0^{ + \infty } {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} xdx = {{\gamma }^{2}}{{\left\| u \right\|}^{2}}.$

Равенство, входящее в (10), называется равенством Парсеваля, оно вытекает прямо из (5). С учетом верхней границы для функции Бесселя $\left| {{{J}_{1}}\left( x \right)} \right| \leqslant 1$ и неравенства Коши–Буняковского имеем

(11)
${{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}^{2}} = {{\left| {\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdt} \right|}^{2}} \leqslant {{\left( {\int\limits_0^1 {\left| {u\left( t \right)} \right|} tdt} \right)}^{2}} \leqslant \int\limits_0^1 {{{{\left| {u\left( t \right)} \right|}}^{2}}} tdt\int\limits_0^1 t dt = \frac{1}{2}{{\left\| u \right\|}^{2}}.$

Из неравенства (11) следует оценка

(12)
$\int\limits_0^1 {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} xdx \leqslant \frac{1}{4}{{\left\| u \right\|}^{2}}.$

Наконец, используя неравенство (12), получим

$\int\limits_0^{ + \infty } {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} {{x}^{s}}dx \geqslant \int\limits_1^{ + \infty } {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} {{x}^{s}}dx \geqslant \int\limits_1^{ + \infty } {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} xdx = \int\limits_0^{ + \infty } {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} xdx - \int\limits_0^1 {{{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}} xdx \geqslant \frac{3}{4}{{\left\| u \right\|}^{2}}.$

Теорема доказана.

Из положительной определенности оператора следует ограниченность обратного оператора

${{\left\| u \right\|}^{2}} \leqslant \frac{1}{{{{\gamma }^{2}}}}\left( {{{A}_{s}}u,u} \right) \leqslant \frac{1}{{{{\gamma }^{2}}}}\left\| {{{A}_{s}}u} \right\|\left\| u \right\|,$
так, что $\left\| {{{A}_{s}}u} \right\| \geqslant {{\gamma }^{2}}\left\| u \right\|$ и $\left\| {{{A}_{s}}^{{ - 1}}} \right\| \leqslant \frac{1}{{{{\gamma }^{2}}}}$. С симметричным, положительно-определенным оператором с плотной областью определения связывают энергетическое гильбертово пространство [9], в котором скалярное произведение и норма определяются по формулам
(13)
$\left[ {u,v} \right] = \left( {{{A}_{s}}u,v} \right),\quad \left[ u \right] = \sqrt {\left( {{{A}_{s}}u,u} \right)} ,$
при этом справедлива оценка

(14)
$\left\| u \right\| \leqslant \frac{1}{\gamma }\left[ u \right].$

3. КРИТЕРИЙ КОМПАКТНОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ЯДРА КОТОРЫХ СОДЕРЖАТ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

Обратимся к уравнению (2). Оператор $A$ является ограниченно обратимым. Покажем, что оператор $K$ компактный. С этой целью докажем более общие теоремы.

Теорема 2. Оператор ${{B}_{s}}$, определяемый формулой

(15)
$\left( {{{B}_{s}}u} \right)\left( \tau \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right){{{\left( {1 + x} \right)}}^{{ - s}}}} x\int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdtdx,\quad s > 0,$
является компактным в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$.

Доказательство. Введем интегральный оператор

(16)
$({{B}_{s}}^{N}u)\left( \tau \right) = \int\limits_0^N {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right){{{\left( {1 + x} \right)}}^{{ - s}}}x} \int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdtdx = \int\limits_0^1 {\left( {\int\limits_0^N {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right){{J}_{1}}\left( {xt} \right){{{\left( {1 + x} \right)}}^{{ - s}}}xdx} } \right)} {\kern 1pt} u\left( t \right)tdt.$

Оператор ${{B}_{s}}^{N}$, как интегральный оператор с непрерывным ядром компактен [10].

Покажем, что

$\left\| {{{B}_{s}} - {{B}_{s}}^{N}} \right\| \to 0\quad {\text{п р и }}\quad N \to 0.$

Пусть $T = {{B}_{s}} - {{B}_{s}}^{N}$. Рассмотрим выражение

$\left( {Tu,v} \right) = \int\limits_N^{ + \infty } {{{{\left( {1 + x} \right)}}^{{ - s}}}x} \tilde {u}\left( x \right)\overline {\tilde {v}{\kern 1pt} \left( x \right)} dx.$

Отсюда с помощью неравенства Коши–Буняковского и равенства Парсеваля получим

(17)
$\left| {\left( {Tu,v} \right)} \right| \leqslant \int\limits_N^{ + \infty } {{{{\left( {1 + x} \right)}}^{{ - s}}}x} \left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|\left| {\overline {\tilde {v}{\kern 1pt} \left( x \right)} } \right|dx \leqslant {{\left( {1 + N} \right)}^{{ - s}}}{{\left( {\int\limits_0^{ + \infty } x {{{\left| {\tilde {u}\left( x \right)} \right|}}^{2}}dx} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}{{\left( {\int\limits_0^{ + \infty } x {{{\left| {\tilde {v}\left( x \right)} \right|}}^{2}}dx} \right)}^{{\frac{1}{2}}}} = {{\left( {1 + N} \right)}^{{ - s}}}\left\| u \right\|\left\| v \right\|.$

Полагая в неравенстве (17) $v = Tu$ будем иметь

${{\left\| {Tu} \right\|}^{2}} \leqslant {{\left( {1 + N} \right)}^{{ - s}}}\left\| u \right\|\left\| {Tu} \right\|$
или

$\left\| {Tu} \right\| \leqslant {{\left( {1 + N} \right)}^{{ - s}}}\left\| u \right\|.$

Следовательно,

$\left\| T \right\| = \left\| {{{B}_{s}} - {{B}_{s}}^{N}} \right\| \leqslant {{\left( {1 + N} \right)}^{{ - s}}} \to 0\quad {\text{п р и }}\quad N \to 0.$

Теорема доказана.

Теорема 3. Оператор ${{A}^{{ - 1}}}B$, когда оператор $A$ положительно определен, а $B$ компактен в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$, является компактным в энергетическом пространстве ${{H}_{A}}$ оператора $A$.

Доказательство. Оператор $T = {{A}^{{ - 1}}}B$ компактен в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$, как произведение ограниченного и компактного операторов. Далее имеем оценку

(18)
${{\left[ {Tv} \right]}^{2}} = \left( {ATv,Tv} \right) = (A{{A}^{{ - 1}}}Bv,Tv) = \left( {Bv,Tv} \right) \leqslant \left\| B \right\|\left\| v \right\|\left\| {Tv} \right\|.$

Возьмем ограниченное в ${{H}_{A}}$ множество $M$, оно будет ограничено и в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$ по неравенству (14). Оператор $T$ компактен в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$, поэтому найдется такая последовательность $\left\{ {{{u}_{n}}} \right\}_{{n = 1}}^{{ + \infty }} \subset M$, что $\left\{ {T{{u}_{n}}} \right\}_{{n = 1}}^{{ + \infty }}$ фундаментальна в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$. В силу оценки (18) последовательность $\left\{ {T{{u}_{n}}} \right\}_{{n = 1}}^{{ + \infty }}$ будет фундаментальной и в ${{H}_{A}}$. Теорема доказана.

4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО ОПЕРАТОРА $A$ И ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС В ЭТОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Построим энергетическое гильбертово пространство оператора $A$. Введем систему финитных, обращающихся в нуль вне отрезка $\left[ {0,1} \right]$, функций $\left\{ {{{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)} \right\}_{{n = 1}}^{{n = + \infty }}$, преобразование Ханкеля которых имеет вид (см. [11], [12])

(19)
${{\Phi }_{n}}\left( x \right) = \int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} {{\varphi }_{n}}\left( t \right)tdt = \sqrt {4n + 1} \frac{{{{J}_{{2n + \frac{1}{2}}}}\left( x \right)}}{{{{x}^{{\frac{3}{2}}}}}},\quad n = 1,2,3,...,$
где ${{J}_{{2n + \frac{1}{2}}}}\left( x \right)$ – функция Бесселя с индексом $2n + \frac{1}{2}$.

Сами функции определяются с помощью табличного интеграла [13, с. 210]

(20)
$\begin{gathered} {{\varphi }_{n}}\left( \tau \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} {{\Phi }_{n}}\left( x \right)xdx = \sqrt {4n + 1} \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} \frac{{{{J}_{{2n + \frac{1}{2}}}}\left( x \right)}}{{{{x}^{{\frac{1}{2}}}}}}dx = \\ \; = \frac{{\sqrt {2\left( {4n + 1} \right)} \Gamma \left( {n + 1} \right)}}{{\Gamma \left( {n + \frac{1}{2}} \right)}}P_{{2n}}^{{ - 1}}(\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} ),\quad n = 1,2,3,...,\quad 0 \leqslant \tau \leqslant 1, \\ \end{gathered} $
где $\Gamma $ – гамма-функция, $P_{{2n}}^{{ - 1}}$ – присоединенные функции Лежандра I рода.

Теорема 4. Система функций $\left\{ {{{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)} \right\}_{{n = 1}}^{{n = + \infty }}$ полна в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$.

Доказательство. Свойства присоединенных функций Лежандра I рода описаны в [14]. В частности, показана связь с многочленами Лежандра и выведена рекуррентная формула. Из этих двух свойств вытекает, что функции ${{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)$ представляют собой произведение весовой функции $\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} $ на многочлены ${{Q}_{n}}\left( \tau \right)$. Многочлены являются плотными в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$ (см. [7, с. 88]). Далее, пусть некоторая функция $f \in {{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$ ортогональна всем функциям ${{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)$

$\left( {f,{{\varphi }_{n}}} \right) = \left( {f\left( \tau \right),\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} {{Q}_{n}}\left( \tau \right)} \right) = 0,$
тогда
$\left( {f\left( \tau \right)\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} ,{{Q}_{n}}\left( \tau \right)} \right) = 0.$
Поскольку функция $\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} $ ограничена, то $f\left( \tau \right)\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} \in {{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$. Из полноты многочленов следует, что $f\left( \tau \right)\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} = 0$. Отсюда и $f = 0$ в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$. Теорема доказана.

Оператор $A$ определим на системе функций $\left\{ {{{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)} \right\}_{{n = 1}}^{{n = + \infty }}$ и по линейности распространим на их конечные линейные комбинации. Оператор $A$ является плотно определенным, симметричным и, в силу теоремы 1, положительно-определенным.

Теорема 5. Система функций $\left\{ {{{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)} \right\}_{{n = 1}}^{{n = + \infty }}$ образует ортонормированный базис энергетического пространства ${{H}_{A}}$ оператора $A$.

Доказательство. С помощью табличного интеграла изучим множество $\left\{ {A{{\varphi }_{n}}} \right\}_{{n = 1}}^{{n = + \infty }}$. Имеем (см. [13, с. 210])

(21)
$\left( {A{{\varphi }_{m}}} \right)\left( \tau \right) = \sqrt {\left( {4m + 1} \right)} \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{{2m + \frac{1}{2}}}}\left( x \right){{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)\sqrt x } dx = \frac{{2\sqrt 2 \Gamma \left( {m + \frac{3}{2}} \right)}}{{\Gamma \left( m \right)\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} }}P_{{2m}}^{{ - 1}}(\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} ),\quad m = 1,2,3,...\;.$

Правые части (21) представляют собой полиномы и они всюду плотны в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$ (см. [7, с. 88]). Таким образом, замыкание образа оператора $A$ совпадает со всем пространством: $\overline {R\left( A \right)} = {{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$. Из этого факта, как показано в [15, с. 116], следует полнота системы функций $\left\{ {{{\varphi }_{n}}\left( \tau \right)} \right\}_{{n = 1}}^{{n = + \infty }}$ в энергетическом пространстве. А ортонормированность вытекает из табличного интеграла [10, с. 211]

(22)
$\left( {A{{\varphi }_{m}},{{\varphi }_{n}}} \right) = \sqrt {\left( {4m + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)} \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{{J}_{{2m + \frac{1}{2}}}}\left( x \right){{J}_{{2n + \frac{1}{2}}}}\left( x \right)}}{x}{\kern 1pt} } dx = {{\delta }_{{mn}}} = \left\{ \begin{gathered} 1,\quad m = n, \hfill \\ 0,\quad m \ne n. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Теорема доказана.

5. ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ИСХОДНОГО УРАВНЕНИЯ К УРАВНЕНИЮ ФРЕДГОЛЬМА II РОДА

Положительно-определенный оператор имеет ограниченный обратный оператор ${{A}^{{ - 1}}}$. Последний, как следует из теоремы 2, определен на плотном в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$ множестве. Введем в рассмотрение самосопряженное расширение $\tilde {A}$ оператора $A$ по методу Фридрихса [9], [16]. Оператор $\tilde {A}$ также является положительно-определенным и его энергетическое пространство ${{H}_{{\tilde {A}}}}$ совпадает с энергетическим пространством ${{H}_{A}}$ оператора $A$. Оператор ${{\tilde {A}}^{{ - 1}}}$ ограничен и определен уже на всем пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$. Если функция $u$ является решением уравнения (2), т.е.

(23)
$Au + Ku = f,$
то, поскольку оператор ${{\tilde {A}}^{{ - 1}}}$ ограничен и определен на всем пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$,
(24)
${{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Au + {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Ku = {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}f,$
или
(25)
$u + {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Ku = {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}f.$
Последнее уравнение будем рассматривать в гильбертовом пространстве ${{H}_{{\tilde {A}}}}$, оно является уравнением Фредгольма II рода в силу теорем 2 и 3.

Если функция $u$ удовлетворяет уравнению (25) и $u \in D\left( A \right)$, то $u = {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Au$. Поэтому для любого $v \in {{H}_{{\tilde {A}}}}$ из (25) получим

(26)
$[{{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Au + {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Ku,v] = [{{\tilde {A}}^{{ - 1}}}f,v]$
или
(27)
$\left( {Au + Ku,v} \right) = \left( {f,v} \right).$
И поскольку ${{H}_{{\tilde {A}}}}$ плотно в ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$, то
(28)
$Au + Ku = f.$
Однако решение уравнения (25) может не принадлежать $D\left( A \right)$ и даже $D\left( {\tilde {A}} \right)$.

Определение 1. Следуя работе [15, с. 112], элемент из пространства ${{H}_{{\tilde {A}}}}$, который удовлетворяет уравнению (25), будем называть обобщенным решением уравнения (2).

Таким образом, с учетом определения 1, доказана

Теорема 6. Исходное уравнение (2) эквивалентно уравнению Фредгольма II рода (25).

6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теорема 6. Однородное уравнение, соответствующее уравнению Фредгольма II рода (25), имеет только нулевое решение в пространстве ${{H}_{{\tilde {A}}}}$.

Доказательство. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее (25)

$u + {{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Ku = 0$.

Если функция $u \in {{H}_{{\tilde {A}}}}$ удовлетворяет этому уравнению, то

(29)
$\left[ {u,u} \right] + [{{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Ku,u] = 0.$
Первое слагаемое в (29) является вещественным и неотрицательным. Запишем второе слагаемое, с учетом определения оператора $K$
(30)
$[{{\tilde {A}}^{{ - 1}}}Ku,u] = \left( {Ku,u} \right) = {{a}^{3}}\int\limits_0^{ + \infty } {x(\sqrt {{{x}^{2}} - 1} - x)} {{\left| {{{{\tilde {u}}}_{a}}\left( x \right)} \right|}^{2}}dx,$
где
${{\tilde {u}}_{a}}\left( x \right) = \int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {axt} \right)u} \left( t \right)tdt.$
Найдем мнимую часть выражения (30)
$\operatorname{Im} \left( {Ku,u} \right) = {{a}^{3}}\int\limits_0^1 x \sqrt {1 - {{x}^{2}}} {{\left| {{{{\tilde {u}}}_{a}}\left( x \right)} \right|}^{2}}dx = 0.$
А это равенство возможно только тогда, когда преобразование Ханкеля ${{\tilde {u}}_{a}}\left( x \right)$ и неизвестная функция $u(\tau )$ тождественно равны нулю. Теорема доказана.

Следствие 1. Операторное уравнение II рода (25) имеет единственное решение в гильбертовом пространстве ${{H}_{{\tilde {A}}}}$.

Следствие 2. Исходное интегральное уравнение (2) имеет единственное обобщенное решение в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$.

7. О МАТРИЦЕ ОПЕРАТОРА В БАЗИСЕ ИЗ ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ЛЕЖАНДРА I РОДА

Матрица оператора $A$ в базисе (20) является единичной. Рассмотрим вопрос вычисления матричных элементов оператора $K$. Для этого разложим подынтегральную функцию в (1) в ряд

(31)
$\sqrt {{{x}^{2}} - 1} = x - \frac{1}{{2x}} - \frac{1}{{8{{x}^{3}}}} - \frac{1}{{16{{x}^{5}}}} - ... = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{\left( {2n} \right)!}}{{\left( {1 - 2n} \right){{{\left( {n!} \right)}}^{2}}{{4}^{n}}}}\frac{1}{{{{x}^{{2n - 1}}}}}} ,\quad \left| x \right| > 1.$

Если в уравнении (1) заменить функцию $\sqrt {{{x}^{2}} - 1} $ на функцию $x$, то получим оператор $A$. Второму слагаемому в разложении (31) соответствует с точностью до постоянной интегральный оператор

$\left( {{{K}_{1}}u} \right)\left( \tau \right) = \int\limits_0^{ + \infty } {{{J}_{1}}\left( {x\tau } \right)} \int\limits_0^1 {{{J}_{1}}\left( {xt} \right)} u\left( t \right)tdtdx.$

Имеем

$[{{\tilde {A}}^{{ - 1}}}{{K}_{1}}{{\varphi }_{m}},{{\varphi }_{n}}] = \left( {{{K}_{1}}{{\varphi }_{m}},{{\varphi }_{n}}} \right) = \sqrt {\left( {4m + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)} \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{{{{J}_{{2m + \frac{1}{2}}}}\left( x \right){{J}_{{2n + \frac{1}{2}}}}\left( x \right)}}{{{{x}^{3}}}}} dx.$
А теперь вычислим этот интеграл, как табличный [13, с. 211]

$\left( {{{K}_{1}}{{\varphi }_{m}},{{\varphi }_{n}}} \right) = \frac{{\sqrt {\left( {4m + 1} \right)\left( {4n + 1} \right)} }}{{4\Gamma \left( {m - n + 2} \right)\Gamma \left( {n - m + 2} \right)\left( {m + n + \frac{3}{2}} \right)\left( {m + n + \frac{1}{2}} \right)\left( {m + n - \frac{1}{2}} \right)}}.$

Таким образом, матрица оператора ${{A}^{{ - 1}}}{{K}_{1}}$ в базисе (20) найдена в аналитическом виде и обладает замечательным свойством: при условии $\left| {m - n} \right| \geqslant 2$ матрица равна нулю, т.е. она является трехдиагональной. Кроме того, выполняется условие

$\sum\limits_{m = 1}^{ + \infty } {\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {{{{\left| {\left( {{{K}_{1}}{{\varphi }_{m}},{{\varphi }_{n}}} \right)} \right|}}^{2}}} } < + \infty ,$
т.е. оператор ${{\tilde {A}}^{{ - 1}}}{{K}_{1}}$ является оператором Гильберта-Шмидта.

Нетрудно показать, что ядро интегрального оператора $K - {{K}_{1}}$ является непрерывным вместе с частными производными первого порядка.

Как показывают вычисления, матрица оператора уравнения (2) в базисе (20) имеет ярко выраженный трехдиагональный характер и именно поэтому метод Галеркина на основе базиса (20) обладает быстрой внутренней сходимостью.

8. ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе получены следующие результаты.

1. Доказана положительная определенность одного класса операторов в пространстве ${{L}_{{2,t}}}\left[ {0,1} \right]$. И этот класс включает в себя положительно-определенный оператор задачи дифракции на диске.

2. Построен ортонормированный базис энергетического пространства для задачи дифракции на диске.

3. Доказаны теоремы существования и единственности решения.

Список литературы

  1. Смирнов Ю.Г., Ильинский А.С. Дифракция электромагнитных волн на проводящих экранах: псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции: М.: ИПРЖР, 1996.

  2. Уфимцев П.Я. Основы физической теории дифракции / Пер. с англ. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015.

  3. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.: Радио и связь, 1983.

  4. Эминов С.И. Базис Мейкснера в задаче дифракции на диске // Ж. техн. физ. 2007. Т. 77. Вып. 3. С. 96–99.

  5. Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276. Вып. 1. С. 96–100.

  6. Эскин Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений. М.: Наука, 1973.

  7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

  8. Житомирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Матем. сборник. 1955. Т. 36 (78). № 2. С. 299–310.

  9. Копачевский Н.Д. Операторные методы математической физики. Симферополь, 2008.

  10. Треногин В.Л. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002.

  11. Фихманас Р.Ф., Фридберг П.Ш. Аналитические свойства преобразования Ханкеля и их использование при численной реализации вариационных принципов // Радиотехн. и электроника. 1978. Т. 23. № 8. С. 1625–1630.

  12. Ахиезер Н.И. К теории спаренных интегральных уравнений // Уч. зап. Харьковского гос. ун-та. 1957. Т. 80. С. 5–21.

  13. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

  14. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматлит, 1962.

  15. Даугавет И.К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. С.Пб: “БХВ-Петербург”, 2006.

  16. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1980.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал