Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 9, стр. 1482-1494

ВВЕДЕНИЕ

Общий метод множителей Лагранжа – эффективный инструмент исследования и решения задач оптимального управления сложными системами. Он является обобщением классического метода множителей Лагранжа и предназначен для оптимизации функционалов достаточно общего вида при связях, задаваемых дифференциальными уравнениями с частными производными. Указанное обобщение было проведено К.Г. Гудерлеем и Д.В. Армитейджем [1] и независимо от них Т.К. Сиразетдиновым [2] для связей, задаваемых дифференциальными уравнениями газовой динамики. Авторы работ [1], [2] предложили учитывать связи (дифференциальные уравнения с частными производными) с помощью надлежащим образом введенных множителей Лагранжа. Исследование ряда практически важных задач потребовало дополнительной модификации метода множителей Лагранжа, что и было сделано А.Н. Крайко в [3], [4]. Пользуясь обычной процедурой вариационного исчисления, можно получить уравнения Эйлера и естественные граничные условия. С помощью общего метода множителей Лагранжа решено большое число интересных с теоретической точки зрения и важных с практической точки зрения задач.

В настоящей работе исследуется методический вопрос, важный для понимания и использования общего метода множителей Лагранжа: нужно ли при постановке оптимизационной задачи в случае, когда частью границы области, в которой определены фазовые переменные и управляющие функции, является характеристика системы уравнений с частными производными, в функционал Лагранжа включать условия совместности этой системы.

Показано, что если часть границы – характеристика системы уравнений с частными производными, определяющей поведение оптимизируемого процесса, то эта часть границы является также характеристикой сопряженной системы уравнений с тем же, что и у исходной системы уравнений, числом линейно независимых характеристических соотношений.

Показано также, что если на участке границы-характеристике фазовые переменные и управляющие функции не связаны никакими соотношениями, и они не влияют на значение целевого функционала, то учитывать при варьировании функционала условия совместности системы определяющих уравнений нет необходимости. В противном случае условия совместности вдоль характеристики необходимо включать в обобщенный функционал Лагранжа со своими множителями.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Как и в работе [5], рассмотрим задачу об определении первой вариации следующего функционала

Здесь $G$ – некоторая ограниченная область в плоскости независимых переменных $(x,y)$; $\Gamma $ – кусочно-гладкая граница области $G$ (см. фиг. 1); $t \in [0,1]$ – некоторый параметр вдоль границы $\Gamma $; $f$ и $F$ – гладкие функции своих аргументов; точка над переменной означает дифференцирование по параметру $t$; суть зависимые (фазовые) переменные и объемные управления соответственно, определенные в области $G$; суть значения зависимой переменной $\bar {Z}\left( {x{\kern 1pt} ,y} \right)$ и объемного управления $\bar {U}\left( {x{\kern 1pt} ,y} \right)$ на граничной линии $\Gamma $; суть граничные зависимые переменные и граничные управления, Интеграл по границе $\Gamma $ области $G$ зависит от самой кривой $\Gamma $ и данных на ней, а не от выбора частного параметрического представления $\left\{ {x(t),y(t)} \right\}$ этой кривой. Поэтому функция $f$ должна быть положительно однородной функцией первой степени однородности относительно $\dot {x}$ и $\dot {y}$ (см. [6], [7]), т.е.

Зависимые переменные $\bar {Z}\,(x,y)$ определяются из решения следующей краевой задачи

где Последние соотношения в (2) – конечные соотношения, связывающие граничные значения зависимых переменных $\bar {z}$ с граничными управлениями $\bar {u}$ (функция $\bar {l}$ – положительно однородная функция первой степени однородности относительно $\dot {x}$ и $\dot {y}$); ${{A}_{k}},\;{{B}_{k}},\;{{\varphi }_{k}},$ $k = 1,\;...,\;n$ – достаточно гладкие функции своих аргументов; под производной $\frac{\partial }{{\partial x}}{{A}_{k}}$ следует понимать полную производную функции ${{A}_{k}}$ по $x$ при фиксированном $y$, а под производной $\frac{\partial }{{\partial y}}{{B}_{k}}$ – полную производную функции ${{B}_{k}}$ по $y$ при фиксированном $x$.

Граничные зависимые переменные $\bar {w}(t)$ связаны с граничными управлениями $\bar {v}$ следующими соотношениями:

где (функция $\bar {g}$ – положительно однородная функция первой степени однородности относительно $\dot {x}$ и $\dot {y}$).

Существование решения задачи (2) для управлений из рассматриваемой области предполагается. Предполагается также гладкая зависимость решений задачи (2) от управлений.

Область $G$ и ее граница $\Gamma $ зависят от управлений, т.е. меняются при варьировании функционала (1). Для простоты дальнейшего изложения будем в настоящей работе рассматривать случай, когда на границе $\Gamma $ области $G$ и в самой области отсутствуют особые точки.

Как и в работе [5], здесь рассматривается однопараметрическое семейство управлений $\bar {U}\left( {x,y,\alpha } \right)$ и $\bar {V}\left( {x,y,\alpha } \right)$. Управления $\bar {U}\left( {x,y,\alpha } \right)$ определены в области $G(\alpha )$ с зависящей от параметра $\alpha $ границей $\Gamma (\alpha )$, а управления $\bar {V}\left( {x,y,\alpha } \right)$ определены на границе $\Gamma (\alpha )$ (существование такого семейства всегда предполагается при определении необходимых условий слабого экстремума). Управления $\bar {U}{\kern 1pt} (x,y)$ и $\bar {V}\left( {x,y} \right)$, “подозреваемые” на экстремум, входят в указанное семейство, и им соответствует значение параметра $\alpha $, равное нулю, т.е. $\bar {U}(x,y) \equiv \bar {U}(x,y,0)$ и $\bar {V}(x,y) \equiv \bar {V}(x,y,0)$. Считается, что функции $\bar {U}\left( {x,y,\alpha } \right)$ и $\bar {V}\left( {x,y,\alpha } \right)$ имеют непрерывные производные по параметру $\alpha $ для любой точки $\,(x,y)$ области $G(\alpha )$ и ее границы $\Gamma (\alpha )$. Координаты точек области $G(\alpha )$ являются гладкими функциями параметра $\alpha $ и могут быть определены с помощью соотношений

В этих соотношениях переменные $(\xi ,\,\eta )$ являются $(x,\,y)$-координатами точек области $G\left( 0 \right)$, т.е. $x\left( {\xi ,\eta ,0} \right) = \xi $ и $y\left( {\xi ,\eta ,0} \right) = \eta $. Если граница $\Gamma (0)$ области $G(0)$ задается параметрическим представлением $x = \xi (t),\;y = \eta (t)$, то граница $\Gamma (\alpha )$ области $G(\alpha )$ определяется с помощью следующего параметрического представления: причем предполагается гладкость этих функций по параметру $\alpha $.

Под первой вариацией функционала (1) понимают (см., например, [6]–[8]) дифференциал следующей функции параметра $\alpha $:

вычисленный при $\alpha = 0$. В соотношении (4) точка над буквой обозначает частную производную по параметру $t$.

Для учета связей, накладываемых на варьируемые функции, используется обобщенный метод множителей Лагранжа [1]–[4], [9]. Суть этого метода заключается в добавлении к основному функционалу (4) двух вспомогательных функционалов $S\left( \alpha \right)$ и $s\left( \alpha \right)$ такого вида:

Функционал $S\left( \alpha \right)$ учитывает дифференциальные связи, накладываемые на варьируемые в области $G$ функции, а функционал $s\left( \alpha \right)$ учитывает связи, накладываемые на варьируемые на границе $\Gamma $ области $G$ функции.

Определение первой вариации обобщенного функционала $\tilde {I}(\alpha ) = i(\alpha ) + J(\alpha ) + s(\alpha ) + S(\alpha )$ проведено в [5]. Там получено, что при отсутствии особых точек на границе $\Gamma (0)$ области $G(0)$ имеем

где

Выражение (6) позволяет вычислить первую производную вспомогательной функции $\tilde {I}(\alpha )$ (для $\alpha = 0$) при любом (конечном) выборе множителей Лагранжа ${{\mu }_{k}}(x{\kern 1pt} ,y)$, ${{\lambda }_{r}}(t)$, ${{\sigma }_{h}}\left( t \right)$, и значение этой производной не зависит от выбора указанных множителей.

После специального выбора множителей Лагранжа, определяемого соотношениями

для первой производной вспомогательной функции $\tilde {I}(\alpha )$ при значении $\alpha = 0$ получим такое выражение:

Система уравнений (7), (8) в целом служит для определения всех перечисленных выше множителей Лагранжа. Здесь мы не будем обсуждать важный и непростой вопрос о корректности поставленной задачи (7), (8), но будем предполагать, что из системы уравнений (7), (8) указанные множители Лагранжа ${{\mu }_{k}}(x{\kern 1pt} ,y)$, ${{\lambda }_{r}}(t)$, ${{\sigma }_{h}}(t)$ можно определить (в каждом конкретном случае этот факт следует отдельно проверять).

Предположим теперь, что часть $MN$ границы $\Gamma = \Gamma (0)$ области $G = G(0)$ (фиг. 1) является характеристикой системы (2) дифференциальных уравнений с частными производными. Возникает вопрос: нужно ли при решении оптимизационной задачи включать в функционал Лагранжа условия совместности управляющей системы уравнений на границе $\Gamma = \Gamma (\alpha )$?

2. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ УПРАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Система дифференциальных уравнений, определяющая поведение оптимизируемого процесса, имеет вид

Здесь $\bar {Z}(x,y) \equiv \left[ {{{Z}_{1}}(x,y),\;...,\;{{Z}_{n}}(x,y)} \right]$ – зависимые переменные, определяемые в результате решения краевой задачи (2), а $\bar {U}(x,y) \equiv \left[ {{{U}_{1}}(x,y),\;...,\;{{U}_{N}}(x,y)} \right]$ – объемные управления.

В соответствии с общей теорией характеристик (см., например, [10]–[13]) приведем рассматриваемую систему к следующему виду:

Пусть ${\rm A}$ – квадратная матрица порядка $n$, элементы ${{a}_{{{\kern 1pt} k{\kern 1pt} i}}}$ которой определяются равенствами

${\rm B}$ – квадратная матрица порядка $n$, элементы ${{b}_{{{\kern 1pt} k{\kern 1pt} i}}}$ которой определяются равенствами $\bar {\beta }$ – вектор порядка $n$, элементы ${{\beta }_{{{\kern 1pt} k}}}$ которого определяются равенствами

Тогда система уравнений (10) может быть записана в матричном виде:

Каждая компонента вектора $\bar {Z}$ – скалярная функция ${{Z}_{i}}(x,y)$ с непрерывными частными производными – определена в области $G$ (и на ее границе $\Gamma $). В любой точке области $G$ (включая точки границы) можно рассмотреть градиент скалярной функции ${{Z}_{{{\kern 1pt} i}}}(x,y)$ – вектор, определяемый в виде

Если функции $x = x(t)$ и $y = y(t)$ задают параметрическое представление границы $\Gamma $ области $G$ (причем ${{\dot {x}}^{2}}(t) + {{\dot {y}}^{2}}(t) > 0$), то в каждой точке границы $\Gamma $ определим два вектора: касательный вектор $\bar {\tau }(t) = {{\left( {{{\tau }_{x}},{{\tau }_{y}}} \right)}^{{\text{т}}}}$ и нормальный вектор $\bar {\nu }(t) = {{\left( {{{\tau }_{y}}, - {{\tau }_{x}}} \right)}^{{\text{т}}}}$, где Теперь наряду с градиентом $\nabla \,{{Z}_{{{\kern 1pt} i}}}$ функции ${{Z}_{{{\kern 1pt} i}}}(x,y)$ рассмотрим ее производные по касательному и нормальному направлениям, т.е.

Компоненты вектора градиента функции ${{Z}_{{{\kern 1pt} i}}}(x,y)$ выражаются через производные по тангенциальному и нормальному направлениям:

Учитывая полученные выражения для частных производных $\frac{{\partial {{Z}_{i}}}}{{\partial x}}$ и $\frac{{\partial {{Z}_{i}}}}{{\partial y}}$, систему уравнений (12) запишем в виде или

Так как вектор $\bar {\tau }(t)$ касается характеристики $MN$ (задает характеристическое направление), то матрица $\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)$ вырожденная, и $Rg\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right) = r < n$ (см. [10]–[13]). Это значит, что существуют $\left( {n - r} \right)$ линейно независимых вектор-строк ${{\bar {\gamma }}^{{(s)}}} = \left\| {\gamma _{1}^{{(s)}},\;...,\;\gamma _{n}^{{(s)}}} \right\|$ таких, что ${{\bar {\gamma }}^{{(s)}}}\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right) = \left\| {0...0} \right\|$ – нулевая строка. При этом вдоль характеристики $MN$ выполняются $\left( {n - r} \right)$ условий совместности вида

или

3. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

В области $G$ множители Лагранжа ${{\mu }_{k}}(x,y),\;k = 1,\;...,\;n$, определим с помощью равенств (14), которые вытекают из выражений (6), (7) для первой вариации обобщенного функционала

В матричном виде система уравнений (14) может быть представлена в виде где матрицы ${\rm A}$ и ${\rm B}$ определены выше, а элементы ${{\phi }_{{ki}}}$ матрицы $\Phi $ вычисляются с помощью формул ${{\phi }_{{ki}}} = \frac{{\partial {{\varphi }_{k}}}}{{\partial {{Z}_{i}}}}$, $k = 1,\;...,\;n,\;i = 1,\;...,\;n$. Выражая, как это сделано выше, частные производные $\frac{{\partial {{\mu }_{k}}}}{{\partial x}}$ и $\frac{{\partial {{\mu }_{k}}}}{{\partial y}}$ функций ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}(x{\kern 1pt} ,y)$ через их производные вдоль касательного и нормального направлений $\frac{{d{{\mu }_{k}}}}{{d\tau }}$ и $\frac{{d{{\mu }_{k}}}}{{d\nu }}$, придадим системе уравнений (14) вид или

Ранг матрицы ${{\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)}^{{\text{т}}}}$ равен рангу матрицы $\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)$, т.е. $Rg{{\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)}^{{\text{т}}}} = r$. Это означает следующее.

1. Если часть $MN$ границы $\Gamma $ является характеристикой системы уравнений (10), то она является также характеристикой сопряженной системы уравнений (14) с таким же числом линейно независимых характеристических соотношений.

2. Существуют $\left( {n - r} \right)$ линейно независимых вектор-строк ${{\bar {\eta }}^{{(s)}}} = \left\| {\eta _{1}^{{(s)}},\;...,\;\eta _{n}^{{(s)}}} \right\|$ таких, что ${{\bar {\eta }}^{{(s)}}}{{\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)}^{{\text{т}}}} = \left\| {0 \ldots 0} \right\|$; при этом вдоль характеристики $MN$ справедливы $\left( {n - r} \right)$ условий совместности для сопряженной системы (14) вида

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

В результирующем выражении (6) для первой вариации обобщенного функционала фигурируют члены ${{\theta }_{i}}$, определяемые равенством

Нетрудно заметить, что ${{\theta }_{i}}$ есть $i$-я компонента вектор-столбца $\bar {\theta } = \sqrt {{{{\dot {x}}}^{2}} + {{{\dot {y}}}^{2}}} {{\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)}^{{\text{т}}}}\bar {\mu }$.

В предыдущем разделе было отмечено, что существуют $\left( {n - r} \right)$ линейно независимых (и, конечно, ненулевых) вектор-строк ${{\bar {\eta }}^{{\left( s \right)}}}$ таких, что

Умножив обе части последнего равенства справа на вектор-столбец $\bar {\mu } = {{\left\| {{{\mu }_{1}},\,...,\,{{\mu }_{n}}} \right\|}^{{\text{т}}}}$, получим ${{\bar {\eta }}^{{(s)}}}{{\left( {{{\tau }_{y}}{\rm A} - {{\tau }_{x}}{\rm B}} \right)}^{{\text{т}}}}\bar {\mu } = 0$, или Последнее равенство означает, что среди компонент вектора $\bar {\theta }$ (если их рассматривать как функции переменных ${{\mu }_{{{\kern 1pt} 1}}},\;{{\mu }_{{{\kern 1pt} 2}}},\;...,\;{{\mu }_{{{\kern 1pt} n}}}$) только $r$ являются линейно независимыми. Остальные $\left( {n - r} \right)$ компоненты могут быть представлены как их линейные комбинации.

В соответствии с идеологией общего метода множителей Лагранжа будем стараться обратить в нуль коэффициенты при $\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial \alpha }}$ в интеграле по границе $\Gamma $ области $G$. Для первой вариации обобщенного функционала имеем (см. (6))

где

Если участок $MN$ границы $\Gamma $ не является характеристикой системы управляющих уравнений (10), то $\det \left\| {\dot {y}A - \dot {x}B} \right\| \ne 0$, и ранг матрицы ${{\left( {\dot {y}A - \dot {x}B} \right)}^{{\text{т}}}}$ равен $n$. В этом случае из системы уравнений

(см. (7)) можно однозначно найти все множители Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$, $k = 1,\;...,\;n$, при любых множителях Лагранжа $\left\{ {{{\lambda }_{{{\kern 1pt} r}}}} \right\}_{1}^{{\tilde {n}}}$, $\left\{ {{{\sigma }_{h}}} \right\}_{1}^{{\tilde {m}}}$ и любой функции $f$. Система уравнений (17) в этом случае совместна.

Если же участок $MN$ границы $\Gamma $ является характеристикой системы управляющих уравнений (10), то

Здесь следует отдельно рассмотреть два случая.

Случай 1. Пусть на участке-характеристике $MN$ фазовые переменные и управляющие функции не связаны никакими соотношениями, и они здесь не влияют на значение целевого функционала (т.е., ${{l}_{{{\kern 1pt} r}}} \equiv 0$, ${{g}_{{{\kern 1pt} h}}} \equiv 0$, $f \equiv 0$). В этом случае система уравнений (17) является однородной относительно множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$, $k = 1,\;...,\;n$. Эта система позволяет выразить $r$ функций ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ через $\left( {n - r} \right)$ остальных, которые определяются с помощью условий совместности (16). Иначе говоря, в данном случае система уравнений (17) разрешима и накладывает только $r$ связей на множители Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$.

Случай 2. Пусть на участке-характеристике $MN$ хотя бы одна из функций ${{l}_{{{\kern 1pt} r}}}$, ${{g}_{{{\kern 1pt} h}}}$, $f$ не равна нулю (либо параметры течения связаны дополнительными соотношениями, либо значение целевого функционала определяется параметрами течения на этом участке, либо и то и другое вместе). В этом случае система уравнений (17) является неоднородной системой относительно множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$, и, вообще говоря, она несовместна (ранг основной матрицы не равен рангу расширенной). Это означает, что с помощью выбора множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ невозможно обратить в нуль все коэффициенты при $\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial \alpha }}$ в интеграле по границе $\Gamma $ области $G$.

Для того чтобы выйти из сложной ситуации, возникающей в данном случае, добавим к обобщенному функционалу $\tilde {I}$ следующее дополнительное слагаемое (см. фиг. 1):

Дополнительный функционал ${{J}_{{add}}}$ зависит от функций $x$, $y$, $\dot {x}$, $\dot {y}$, $\bar {z}$, $\bar {u}$, которые будут варьироваться при варьировании обобщенного функционала. Отсюда следует, что при варьировании функционала ${{J}_{{add}}}$ в интеграле вдоль характеристики $MN$ появятся слагаемые с теми же вариациями тех же функций, что были и раньше. Это означает, что в выражении для первой вариации обобщенного функционала $\tilde {I}$ изменятся коэффициенты при $\frac{{\partial x}}{{\partial \alpha }}$, $\frac{{\partial y}}{{\partial \alpha }}$, $\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial \alpha }}$, $\frac{{\partial {{u}_{j}}}}{{\partial \alpha }}$, но членов с новыми вариациями не появится. Поставим перед собой вопрос: как добавление к обобщенному функционалу Лагранжа $\tilde {I}$ функционала ${{J}_{{add}}}$ скажется на разрешимости задачи по определению множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ на линии $MN$?

Теперь, после добавления функционала ${{J}_{{add}}}$, перед производной $\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial \alpha }}$ (вариацией функции ${{z}_{{{\kern 1pt} i}}}$) в контурном интеграле вдоль характеристики $MN$ будет стоять коэффициент $\tilde {\Omega }_{i}^{z}$:

Функции $\tilde {\Omega }_{i}^{z}$ зависят от множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ и от множителей Лагранжа ${{\chi }_{s}},$ $s = 1,\;...,\;n - r$, причем функции $\Omega _{i}^{z}$ зависят от функций ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ и не зависят от функций ${{\chi }_{s}}$.

Будем, как и прежде, пытаться обратить в нуль коэффициенты при $\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial \alpha }}$ в интеграле вдоль характеристики $MN$ путем подходящего выбора множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$. Теперь система уравнений для определения функций ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ будет иметь вид

Основная матрица системы (18) будет той же, что и основная матрица системы (17). Ее ранг равен, как и прежде, $r$. Изменится вектор свободных членов, так как в нем появятся новые множители Лагранжа ${{\chi }_{s}}$. При произвольно выбранных множителях Лагранжа ${{\chi }_{s}}$ система уравнений (18) относительно функций ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ будет по-прежнему неразрешима. Однако теперь у нас появились $\left( {n - r} \right)$ свободных функций ${{\chi }_{s}}$, выбирая которые специальным образом можно добиться того, что ранг расширенной матрицы станет равным рангу основной матрицы. Это означает, что задача определения множителей Лагранжа ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ будет разрешима и что, выбирая функции ${{\mu }_{{{\kern 1pt} k}}}$ как решение системы уравнений (18), можно исключить из выражения для первой вариации обобщенного функционала Лагранжа члены с $\frac{{\partial {{z}_{i}}}}{{\partial \alpha }}$.

5. ПРИМЕР

Для иллюстрации результатов, полученных выше, рассмотрим следующую вариационную задачу. Пусть $G$ – треугольная область в плоскости $(x,y)$, части границы $KL$, $LM$, $MK$ которой лежат соответственно на линиях $y = 0$, $y = 1 - x$ и $y = x$ (фиг. 2). Целевой функционал (1) здесь имеет вид

Фазовые переменные ${{Z}_{1}}(x,y)$, ${{Z}_{2}}(x,y)$ и управления $U(x,y)$, $u(x)$ связаны между собой следующими соотношениями:

Будем предполагать, что функции $A(x,y,{{Z}_{1}})$, $B(x,y,{{Z}_{2}})$, ${{\varphi }_{1}}(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},U)$, ${{\varphi }_{2}}(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},U)$, $F(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},U)$, $f(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},u)$, ${{\rho }_{0}}(x,u)$, ${{\rho }_{1}}(x,u)$ – достаточно гладкие функции своих аргументов, что $\frac{{\partial A}}{{\partial {{Z}_{1}}}} \ne 0$ и $\frac{{\partial B}}{{\partial {{Z}_{2}}}} \ne 0$ всюду в $\bar {G}$, и что область $G$ не меняется при варьировании управляющих функций. Что касается функции $f(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},u)$, то на линии $MK$ она тождественно равна нулю.

Система уравнений (20) имеет гиперболический тип. Ее характеристиками являются линии $y{\kern 1pt} '(x) = \pm 1$, условия совместности вдоль которых задаются соотношениями

Таким образом, часть границы области $G$ – линии $LM$ и $MK$ – являются характеристиками системы уравнений (20), и на этой части фазовые переменные и управления связаны условиями (21). Учтем эти связи, добавив к обобщенному функционалу Лагранжа дополнительный функционал

Здесь знак плюс указывает на линию $MK$ – характеристику первого семейства ($x_{i}^{{( + )}} = {{x}_{M}}$, $x_{f}^{{( + )}} = {{x}_{K}}$), а знак минус – на характеристику второго семейства $LM$ ($x_{i}^{{( - )}} = {{x}_{L}}$, $x_{f}^{{( - )}} = {{x}_{M}}$), ${{\chi }^{{( \pm )}}}(x)$ – множители Лагранжа.

Применение описанной выше техники для вычисления первой вариации целевого функционала (19) приводит к следующему.

Множители Лагранжа ${{\mu }_{1}}(x,y)$ и ${{\mu }_{2}}(x,y)$, учитывающие связи (20) в области $G$, должны удовлетворять сопряженной системе уравнений (22)

где введены такие обозначения

Система дифференциальных уравнений (22) является гиперболической. Ее характеристики – линии $y'(x) = \pm 1$ (те же, что и у системы уравнений (20)), условия совместности на характеристиках таковы

Обращение в нуль коэффициентов перед вариациями фазовых переменных ${{Z}_{1}}(x,y)$ и ${{Z}_{2}}(x,y)$ на характеристиках $MK$ (знак плюс) и $LM$ (знак минус) приводит к следующей системе уравнений для множителей Лагранжа, которые должны выполняться на этих линиях:

Кроме того, анализ получающихся внеинтегральных членов в выражении для первой вариации целевого функционала Лагранжа в точке $M$ позволяет заключить, что ${{\chi }^{{( + )}}}({{x}_{M}}) = {{\chi }^{{( - )}}}({{x}_{M}}) = 0$.

Рассмотрим вначале линию $MK$ – характеристику первого семейства. В точках этой линии $f(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},u) \equiv 0$, $y{\kern 1pt} '(x) = 1$. Равенства (24) представляют собой систему двух уравнений относительно функций ${{\nu }^{{( + )}}}(x) = {{\mu }_{1}}(x,x) - {{\mu }_{2}}(x,x)$ и ${{\chi }^{{( + )}}}(x)$. Нетрудно заметить, что эта система совместна лишь при условии

Последнее соотношение есть однородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции ${{\chi }^{{( + )}}}(x)$. Вместе с условием ${{\chi }^{{( + )}}}({{x}_{M}}) = 0$ оно позволяет заключить, что ${{\chi }^{{( + )}}}(x) \equiv 0$ на линии $MK$. Отсюда следует, что равенства (24) удовлетворяются одновременно при ${{\nu }^{{( + )}}}(x) = {{\mu }_{1}}(x,x) - {{\mu }_{2}}(x,x) \equiv 0$. Если значения множителей Лагранжа ${{\mu }_{1}}(x,y)$ и ${{\mu }_{2}}(x,y)$ в точке $M$ известны, то условие совместности (23) и полученное условие ${{\mu }_{1}}(x,x) = {{\mu }_{2}}(x,x)$ позволяют однозначно определить множители Лагранжа ${{\mu }_{1}}(x,y)$ и ${{\mu }_{2}}(x,y)$ на всей характеристике $MK$. Так как целевой функционал (19) не зависит от значений фазовых переменных на характеристике $MK$ и фазовые переменные и управляющие функции не связаны здесь никакими соотношениями, то, как и утверждалось в основной части статьи, включать условия совместности (23) на характеристике $MK$ в обобщенный функционал Лагранжа нет необходимости. Мы могли сразу положить ${{\chi }^{{( + )}}}(x) \equiv 0$.

По-другому обстоит дело в случае характеристики $LM$. В точках этой линии $f(x,y,{{Z}_{1}},{{Z}_{2}},u)$ не равна тождественно нулю, и здесь без использования условия совместности (23) удовлетворить равенствам (24) не удастся. На линии $LM$ система уравнений (24) будет совместна, если выполняется равенство

Последнее равенство, рассматриваемое как уравнение относительно функции ${{\chi }^{{( - )}}}(x)$, вместе с условием ${{\chi }^{{( - )}}}({{x}_{M}}) = 0$ позволяет однозначно определить множитель Лагранжа ${{\chi }^{{( - )}}}(x)$ для всех точек характеристики $LM$. При таком выборе функции ${{\chi }^{{( - )}}}(x)$ система уравнений (24) уже будет совместна и позволит определить в точках линии $LM$ функцию ${{\nu }^{{( - )}}}(x) = {{\mu }_{1}}(x,1 - x) + {{\mu }_{2}}(x,1 - x)$. Если значения множителей Лагранжа ${{\mu }_{1}}(x,y)$ и ${{\mu }_{2}}(x,y)$ в точке $M$ известны, то условие совместности (23) и известные значения функции ${{\nu }^{{( - )}}}(x) = {{\mu }_{1}}(x,1 - x) + {{\mu }_{2}}(x,1 - x)$ позволяют однозначно определить множители Лагранжа ${{\mu }_{1}}(x,y)$ и ${{\mu }_{2}}(x,y)$ на всей характеристике $LM$.

Что касается значений множителей Лагранжа ${{\mu }_{1}}(x,y)$ и ${{\mu }_{2}}(x,y)$ в точке $M$, то они однозначно определяются известными значениями в этой точке функций

Таким образом, рассмотренный пример подтверждает выводы, сформулированные при исследовании задачи в общем виде.