Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 9, стр. 1459-1481

1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СТРУКТУРЫ ОЦЕНОК БЛИЗОСТИ ИХ ПСЕВДОРЕШЕНИЙ

Пусть $A$ – матрица размерности $m \times n$, причем ее ранг $r$ (обозначение $rk(A)$) удовлетворяет неравенству $r < \min \left\{ {m,n} \right\}$.

Обратимся к задаче решения систем линейных уравнений

Здесь символ $ \cong $ означает, что система (1.1) может быть как совместной, так и несовместной. Известно, что вектор у представим в виде суммы: где $\bar {y} \in R(A),\;\tilde {y} \in N({{A}^{{\text{т}}}})$, здесь $R(A),\;N({{A}^{{\text{т}}}})$ – образ матрицы А и ядро матрицы ${{A}^{{\text{т}}}}$ соответственно [1].

Пусть х – произвольный вектор из R ⁿ такой, что

Учитывая, что где $\bar {x} \in R({{A}^{{\text{т}}}}),\;\tilde {x} \in N(A)$, при подстановке х в последнее уравнение мы можем записать цепочку равенств Таким образом, Умножив последнее уравнение на ${{A}^{ + }}$, получим Согласно определению (см. [1]) вектор $\bar {x} \in R({{A}^{{\text{т}}}})$, поэтому ${{A}^{ + }}A\bar {x} = \bar {x}$ и, следовательно,

Итак, мы видим, на множествах $R(A)$ и $R({{A}^{{\text{т}}}})$ существует взаимно однозначное соответствие.

Очевидно, справедлива цепочка равенств

Таким образом, мы обнаружили, что в качестве приближенного решения системы (1.1) можно взять вектор $\bar {x}$, определяемый по формуле

Отметим, что среди всех векторов $x:Ax = \bar {y}$, согласно разложению $x = \bar {x} + \tilde {x}$, где $\bar {x} \in R({{A}^{{\text{т}}}}),\;\tilde {x} \in N(A)$, $N(A) \bot R({{A}^{{\text{т}}}})$, вектор $x = \bar {x}$ имеет минимальную норму. Другими словами, из теоремы Пифагора ${{\left\| x \right\|}^{2}} = {{\left\| {\bar {x}} \right\|}^{2}} + {{\left\| {\tilde {x}} \right\|}^{2}}$ следует, что $\left\| x \right\| = \left\| {\bar {x}} \right\|$, когда $\tilde {x} = 0$.

При осуществлении вычислений на ЭВМ в результаты выполнения арифметических операций неизбежно вносятся погрешности округления. Вследствие этого вместо псевдорешения $\bar {x}$ (1.2) системы (1.1) мы получим псевдорешение $\bar {u}$.

С помощью обратного анализа погрешностей, вносимых в результаты выполнения арифметических операций, их накопления сводятся к эквивалентным возмущениям матрицы А и вектора у. Пусть матрица В есть возмущение матрицы А, соответственно $v$ – возмущение вектора у. Согласно сказанному можно считать, что вместо системы (1.1) мы решили другую систему

псевдорешение которой определяется формулой Отметим, что в системе (1.3) матрица $B$ и вектор $v$ неизвестны.

Рассмотрим пример.

Пусть ${{\sigma }_{1}} = 1$, ${{\sigma }_{2}} = {{\sigma }_{3}} = {{\sigma }_{4}} = 2 \times {{10}^{{ - 5}}}$, $c = {{10}^{{ - 5}}}$, $\psi = \frac{c}{{{{\sigma }_{3}}}}$, $\varphi = \frac{c}{{{{\sigma }_{2}}}}$, ${{y}_{5}} = {{10}^{{ - 5}}}$,

По формулам (1.2) и (1.4) мы вычислили $\bar {x}$, $\bar {u}$, а также $\varepsilon = \frac{{\left\| {\bar {u} - \bar {x}} \right\|}}{{\left\| {\bar {x}} \right\|}}$, при этом обнаружилось, что $\varepsilon = {\text{0}}{\text{.456}}$.

Обращение к оценке точности, взятой из [6, с. 411], формулы (6.33), (6.31):

где привело к следующим результатам: Последнее соотношение говорит о том, что для используемых в представленном примере значений величин ${{c}_{4}}$ и $\alpha $ требование непрерывной зависимости псевдорешения от возмущения матрицы исходной системы уравнений не выполняется.

С другой стороны, обращаясь к матрицам А и В нашего примера, мы видим, что требование непрерывной зависимости псевдорешения определяется неравенством ${{\sigma }_{4}} - c > 0$, которое легко преобразуется к виду $1 - {{c}_{4}}\alpha > 0$. Отметим, что в нашем примере пара $({{c}_{4}},\alpha )$ (${{c}_{4}} = 5 \times {{10}^{4}}$, $\alpha = {{10}^{{ - 5}}}$) принадлежит множеству непрерывной зависимости псевдорешения от возмущения матрицы системы уравнений ($1 - {{c}_{4}}\alpha = 0.5 > 0$).

Предложенный пример позволяет высказать предположение, что требование непрерывной зависимости псевдорешения в представленной оценке является завышенным. Последнее побудило нас провести исследование влияния возмущений системы линейных алгебраических уравнений на оценку близости псевдорешений исходной и возмущенной систем.

В дальнейшем нам потребуется опираться на следующие свойства раствора подпространств.

Лемма 1.1. Пусть ${{P}_{{{{R}_{1}}}}},\;{{P}_{{{{R}_{2}}}}}$ – ортопроекторы на подпространства ${{R}_{1}}$ и ${{R}_{2}}$. Справедливы соотношения (см. [3])

Представленная ниже лемма посвящена формированию структуры разности $\bar {u} - \bar {x}$ и оценке величины $\frac{{\left\| {\bar {u} - \bar {x}} \right\|}}{{\left\| {\bar {x}} \right\|}}$, выраженной через возмущения В и $v$.

Лемма 1.2. Пусть дана исходная система уравнений (1.1) и пусть возмущенная система определена соотношением (1.3).

1. Если

то

2. Если

то

3. Если

то

4. Если

то

Доказательство. 1. Из (1.4) и (1.2) следует очевидная цепочка равенств

Выполним преобразование выражения ${{(A + B)}^{ + }}\tilde {y}$, взятого из цепочки равенств (1.9): После подстановки результата преобразований в (1.9) получим Таким образом, мы установили равенство Учитывая соотношения $({{(A + B)}^{ + }}(A + B) - {{A}^{ + }}A)\bar {x} \in N(A + B)$, $R({{(A + B)}^{{\text{т}}}}) \bot N(A + B)$ в (1.10), мы, согласно теореме Пифагора, можем записать Раскрывая скобки в первой норме, будем иметь Отсюда благодаря неравенству треугольника следует Следуя соотношению леммы 1.1, получаем Таким образом, С другой стороны, обращение ко второй норме даст нам неравенство Применив полученные результаты в (1.11), получим (1.5).

2. В рассматриваемом случае выполняются равенства $\dim (R(A)) = \dim (R({{A}^{{\text{т}}}})) = m$, поэтому ${{A}^{ + }} = {{A}^{{ - 1}}}$, а соотношение (1.1) превращается в точное равенство ($\tilde {y}$обращается в ноль). Кроме этого, дополнительно из условия леммы следует, что ${{(A + B)}^{ + }} = {{(A + B)}^{{ - 1}}}$, а соотношение (1.3) превращается в точное равенство.

Благодаря последним соотношениям последуют цепочки равенств:

Здесь $O$ – нулевая матрица. Согласно этим соотношениям, выражения $\left\| {(A + B){{{(A + B)}}^{ + }} - A{{A}^{ + }}} \right\|$ и $\left\| {{{{(A + B)}}^{ + }}(A + B) - {{A}^{ + }}A} \right\|$ обратятся в ноль и (1.5) примет вид Отсюда следует (1.6).

3. В этом случае $\dim (R({{A}^{{\text{т}}}})) = n$, поэтому матрица ${{A}^{ + }}$ является обратной слева для матрицы $A$, другими словами, ${{A}^{ + }}A = I$. Дополнительно из условия леммы следует, что ${{(A + B)}^{ + }}(A + B) = I$. Благодаря последним двум равенствам получаем ${{(A + B)}^{ + }}(A + B) - {{A}^{ + }}A = O$ ($O$ – нулевая матрица).

Вследствие этого выражение $\left\| {{{{(A + B)}}^{ + }}(A + B) - {{A}^{ + }}A} \right\|$ в (1.5) обратится в ноль.

Опять же благодаря тому, что $\dim (R({{A}^{{\text{т}}}})) = n$, следует равенство$\mathop {\max }\limits_{z \in R({{A}^{{\text{т}}}}),\,\left\| z \right\| = 1} \left\| {Bz} \right\| = \left\| B \right\|$.

Согласно сказанному (1.5) примет вид (1.7).

4. В рассматриваемом случае выполняется равенство $\dim (R(A)) = m$, поэтому матрица ${{A}^{ + }}$ является обратной справа для матрицы $A$, другими словами, $A{{A}^{ + }} = I$, а соотношение (1.1) превращается в точное равенство ($\tilde {y}$ обращается в ноль). Дополнительно из условия теоремы ($rk(A + B) = r = m < n$) следует, что $(A + B){{(A + B)}^{ + }} = I$. Благодаря последним двум равенствам получаем $(A + B){{(A + B)}^{ + }} - A{{A}^{ + }} = O$. Вследствие этого в (1.5) выражение $\left\| {(A + B){{{(A + B)}}^{ + }} - A{{A}^{ + }}} \right\|$ обратится в ноль. Отметим также, что соотношение (1.3) превращается в точное равенство благодаря условию леммы ($rk(A + B) = r = m < n$).

Опять же благодаря тому, что $\dim (R(A)) = m$, следует равенство $\mathop {\max }\limits_{w \in R(B),\,\left\| w \right\| = 1} \left\| {{{{(A + B)}}^{ + }}w} \right\| = \left\| {{{{(A + B)}}^{ + }}} \right\|$.

Согласно сказанному (1.5) примет вид (1.8). Лемма доказана.

В заключение сделаем несколько иллюстрирующих результат замечаний. В выражениях, определяющих оценки, (1.5)–(1.8) наряду с величинами $\left\| {A + {{B}^{ + }}} \right\|$, $\mathop {\max }\limits_{w \in R(B),\,\left\| w \right\| = 1} \left\| {{{{(A + B)}}^{ + }}w} \right\|$, $\mathop {\max }\limits_{z \in R({{A}^{{\text{т}}}}),\,\left\| z \right\| = 1} \left\| {Bz} \right\|$, $\left\| B \right\|$, присутствуют растворы подпространств $\rho (R((A + B),R(A)) = \left\| {((A + B){{{(A + B)}}^{ + }} - A{{A}^{ + }})} \right\|$, и $\rho (R({{(A + B)}^{{\text{т}}}},R{{(A)}^{{\text{т}}}}) = \left\| {{{{(A + B)}}^{ + }}(A + B) - {{A}^{ + }}A)} \right\|$, обусловленные отклонением подпространств: $R(A + B)$ от $R(A)$ и $R({{(A + B)}^{{\text{т}}}})$ от $R{{(A)}^{{\text{т}}}}$ соответственно. Значения перечисленных величин, как это будет показано ниже, тесно связаны между собой.

2. МАТРИЦЫ ПРОСТЕЙШИХ СТРУКТУР И МОДЕЛИ ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Нашей целью в этом разделе является изучение свойств перечисленных выше величин. Обратимся к более коротким и удобным обозначениям:

и матрицам простейшей структуры.

В качестве матриц простейшей структуры, не нарушая при этом требования общности результатов, мы будем рассматривать блочно-диагональные матрицы ${{\Sigma }_{3}}$, взятые из сингулярного разложения матрицы $A = P\Sigma {{Q}^{{\text{т}}}}$, на главной диагонали которой располагаются сингулярные числа ${{\sigma }_{{r - 2}}},\;{{\sigma }_{{r - 1}}},\;{{\sigma }_{r}}$. Будем предполагать, что ${{\sigma }_{1}} \geqslant ... \geqslant {{\sigma }_{r}} > 0$.

Матрицы возмущений мы будем обозначать через ${{C}_{3}}$.

Здесь же мы должны сказать, что обращение к различным моделям матрицы возмущений обусловлено свойствами части сингулярного спектра $\left\{ {{{\sigma }_{{r - 2}}},{{\sigma }_{{r - 1}}},{{\sigma }_{r}}} \right\}$ матрицы $A(\Sigma )$.

Более точно структуры указанных матриц мы будем определять непосредственно перед изучением их свойств.

Ниже будет установлено, что рассмотренные ниже матрицы простейшей структуры и модели их возмущений вполне исчерпывают вопрос об оценке точности псевдорешения $\bar {u}$.

Поскольку на протяжении всего этого раздела мы будем рассматривать указанные величины только для матриц ${{\Sigma }_{3}}$ и ${{C}_{3}}$, постольку вместо обозначений ${{I}_{1}}({{\Sigma }_{3}},{{C}_{3}})$, ${{J}_{2}}({{\Sigma }_{3}},{{C}_{3}})$, ${{J}_{1}}({{\Sigma }_{3}},{{C}_{3}})$, ${{J}_{2}}({{\Sigma }_{3}},{{C}_{3}})$ мы будем применять совсем короткие ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$, ${{J}_{1}}$, ${{J}_{2}}$.

Вариант 1 структуры матрицы ${{\Sigma }_{3}}$.

Пусть

Отметим, что

Обратимся к сингулярному разложению матрицы ${{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}}$. Нетрудно показать, что

где

Лемма 2.1. Пусть матрицы ${{\Sigma }_{3}}$ и ${{C}_{3}}$ определены соотношениями (2.1). Если величины $c,\varphi ,\psi $ удовлетворяют неравенствам: $c > 0$, $0 \leqslant \varphi ,\;\psi \leqslant 1$, ${{\sigma }_{r}} - c > 0$, то

Доказательство. Установим истинность утверждений пп. а)–г). Начнем с доказательства утверждения п. а).

Учитывая, что матрицы $S$ и $T$ ортогональны, мы можем записать

Осуществляя перемножение матриц в выражении ${{S}^{{\text{т}}}}({{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}})T$ с учетом (2.3) и (2.4), получаем равенство Подставляя последнее соотношение в (2.9), приходим к (2.2).

Вводя упрощающее обозначение ${{S}^{{\text{т}}}}({{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}})T = \bar {\Sigma }$ и действуя далее, получаем

где Осуществляя перемножение матриц $T{{\bar {\Sigma }}^{ + }}{{S}^{{\text{т}}}}$, получаем первое соотношение в (2.5).

Истинность второго соотношения очевидна

Доказательство п. б). Пусть здесь ${{e}_{i}} = {{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}} \right]}_{i}}$, тогда согласно определению величины ${{J}_{1}}$ мы можем записать

Доказательство п. в). Обращаясь к определению величины ${{I}_{2}}$, запишем

Согласно (2.1) имеем следовательно, $R({{C}_{3}}) \subseteq R({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}{\text{,}}{{e}_{4}}{\text{)}}$, поэтому из соотношения $R({{\Sigma }_{3}}) \subseteq R({{e}_{1}},{{e}_{2}},{{e}_{3}}{\text{,}}{{e}_{4}}{\text{)}}$ заключаем, что Выше мы установили, что Очевидно (см. (2.1)), Справедливость утверждения п. в) доказана.

Приступим к доказательству п. г). Удалим у матриц ${{\Sigma }_{3}}$, ${{C}_{3}}$ четвертую строку. Получившиеся матрицы обозначим через ${{\Sigma }_{{33}}}$ и ${{C}_{{33}}}$ соответственно.

В матрице ${{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}}$ четвертая строка пропорциональна третьей (модель 2.1.1) и второй (модель 2.1.2), вследствие этого имеем

Поэтому верно соответственно, Отметим, что выражения в левой и правой частях последнего равенства представляют собой растворы $\rho (R(\Sigma _{3}^{{\text{т}}}),R{{({{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}})}^{{\text{т}}}})$ и $\rho (R(\Sigma _{{33}}^{{\text{т}}}),R{{({{\Sigma }_{{33}}} + {{C}_{{33}}})}^{{\text{т}}}})$.

Опираясь на лемму 1.1, мы можем записать

Следуя введенному выше определению, выпишем матрицы ${{\Sigma }_{{33}}} + {{C}_{{33}}}$ и ${{({{\Sigma }_{{33}}} + {{C}_{{33}}})}^{ + }}$ в явном виде где $\nu $ определена в (2.4).

Анализируя структуру матриц ${{\Sigma }_{{33}}} + {{C}_{{33}}}$ и ${{({{\Sigma }_{{33}}} + {{C}_{{33}}})}^{ + }}$, мы видим, что

Проведя непосредственные вычисления в последнем выражении, получим Сопоставляя (2.10), (2.11) с последним равенством, мы приходим к соотношению в (2.8).

Лемма доказана.

Дополнительно введем в рассмотрение величины

Отметим, что величины $\nu ,\;\eta ,\;\bar {s},\;\tilde {s}$, определенные соотношениями (2.3), (2.4), очевидно, являются функциями переменных $\varphi $, $\psi $ и параметра $c$. Поэтому мы можем записать

Следствие 2.1. Пусть выполнены условия леммы 2.1. Тогда верно следующее:

причем функции $\frac{1}{\eta }$ и $\frac{1}{\nu }$, монотонно возрастая, на концах отрезка принимают следующие значения:

2) функции ${{J}_{1}}(\varphi ,c)$, ${{J}_{2}}(\psi ,c)$ положительны и имеют единственный экстремум на отрезке $[0,1]$, причем

где

3) для $\forall {{c}_{1}},{{c}_{2}} > 0:{{c}_{1}} \leqslant {{c}_{2}}$ выполняется неравенство

Доказательство. Начнем с доказательства п. 1). Обращаясь к определению функций ${{I}_{{11}}}(\psi )$, ${{I}_{{12}}}(\varphi )$, мы можем записать

Продифференцировав ${{I}_{{11}}}(\psi ,c)$(${{I}_{{12}}}(\varphi ,c)$), мы обнаружим, что $\left( {{{I}_{{11}}}(\psi ,c)} \right){\kern 1pt} ' > 0$ ($\left( {{{I}_{{12}}}(\varphi ),c} \right){\kern 1pt} ' > 0$) для $\forall \varphi \in [0,1]$ ($\forall \psi \in [0,1]$). Этот факт указывает на то, что функции ${{I}_{{11}}}(\psi )$ и ${{I}_{{12}}}(\varphi )$ монотонно возрастают на отрезке $[0,1]$. Из неравенств ${{\sigma }_{r}} \leqslant {{\sigma }_{{r - 1}}} \leqslant {{\sigma }_{{r - 2}}}$, следует, что $\forall \varphi = \psi $ выполняется неравенство ${{I}_{{12}}}(\varphi ) \leqslant {{I}_{{11}}}(\psi )$. Значения функций ${{I}_{{11}}}(\psi ,c)$, ${{I}_{{12}}}(\varphi ,c)$ в точках $\psi = 0,\;\psi = 1$ и $\varphi = 0,\;\varphi = 1$ соответственно устанавливаются непосредственной подстановкой.

Перейдем к п. 2). Пусть $\bar {\varphi }$ такой, что

Учитывая, что $\bar {\varphi }$ доставляет максимум функции мы можем найти $\bar {\varphi }$, используя ее. Дифференцируя ${{\left[ {{{J}_{2}}(\varphi ,c)} \right]}^{2}}$ по $\varphi $ и приравнивая результат дифференцирования нулю, мы приходим к уравнению, упрощая которое получим Отсюда следует второе равенство в (2.16): После подстановки $\bar {\varphi }$ в (2.17) получим второе соотношение в (2.14).

Отметим, что из неравенства ${{\sigma }_{r}} - c > 0$ (см. условия леммы 2.1) благодаря неравенствам

следует $\bar {\varphi } \in [0,1]$.

Действуя аналогично, можно показать справедливость первых соотношений в (2.16) и (2.14).

Сопоставляя первое и второе соотношения в (2.16), благодаря (2.18) получаем неравенство

Из последнего неравенства и доказанного выше неравенства ${{I}_{{12}}}(\psi ,c) \leqslant {{I}_{{11}}}(\psi ,c)$ вытекает (2.13). Из него также вытекает (2.15).

Перейдем к доказательству п. 3). Обратимся сначала к модели 2.1.1. Покажем, что разность

Очевидно, Докажем теперь, что неравенство справедливо и для модели 2.1.2.

Сначала докажем справедливость неравенства

Итак, Обращаясь к последнему выражению, рассмотрим разность $\frac{{{{c}_{2}}}}{{{{{({{\sigma }_{{r - 1}}} - {{c}_{2}})}}^{2}}}} - \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{{({{\sigma }_{{r - 1}}} - {{c}_{1}})}}^{2}}}}$: Итак, показано, что Отсюда следует Благодаря последнему неравенству мы можем записать Сопоставляя последнее выражение в скобах с доказанным выше неравенством приходим к выводу: неравенство справедливо для модели 2.1.2.

Неравенство ${{\left( {{{I}_{1}}(\psi ,{{c}_{2}}){{J}_{2}}(\psi ,{{c}_{2}})} \right)}^{2}} - {{\left( {{{I}_{1}}(\psi ,{{c}_{1}}){{J}_{2}}(\psi ,{{c}_{1}})} \right)}^{2}} \geqslant 0$ выполняется тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

Следствие доказано.

Дополнительно из леммы 2.1 вытекают два очевидных следствия.

Вариант 2. В качестве матриц простейшей структуры и их возмущений мы будем рассматривать матрицы вида

Следствие 2.2. Пусть матрицы ${{\Sigma }_{3}}$ и ${{C}_{3}}$ определены соотношениями (2.19). Если $c > 0$, ${{\sigma }_{r}} - c > 0$, то

Вариант 3. В качестве матриц простейшей структуры и их возмущений мы примем матрицы вида

Обращаясь к сингулярному разложению матрицы нетрудно показать, что где матрица $S$ определена соотношениями (2.3).

Следствие 2.3. Пусть матрицы ${{\Sigma }_{3}}$ и ${{C}_{3}}$, определены соотношениями (2.20). Если $c > 0$, $0 \leqslant \psi \leqslant 1$, ${{\sigma }_{r}} - c > 0$, то

Замечание 2.1. Доказательство следствия 2.2 мы не привели вследствие его очевидности. Доказательство следствия 2.3 с небольшими изменениями повторяет доказательство леммы 2.1.

Вариант 4. В качестве матриц простейшей структуры и их возмущений мы будем рассматривать матрицы вида

Обратимся к сингулярному разложению матрицы ${{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}}$. Нетрудно показать, что где $T$ определена соотношениями (2.4) (модель 2.1.1).

Следствие 2.4. Пусть матрицы ${{\Sigma }_{3}}$ и ${{C}_{3}}$ определены соотношениями (2.21). Если величины $c,\varphi $ удовлетворяют неравенствам: $c > 0$, $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$, ${{\sigma }_{r}} - c > 0$, то

Доказательство. Следуя доказательству соотношения (2.5) леммы 2.1, легко проверить справедливость первого и второго равенств в (2.22).

Перейдем к доказательству п. б). Обращаясь к виду матрицы ${{C}_{3}}$ (см. (2.21)), получаем, что

поэтому из соотношения $R({{({{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}})}^{{\text{т}}}}) \subseteq R({{C}_{3}})$ заключаем Обращаясь к определению матрицы ${{C}_{3}}$, мы видим, что Отсюда следует (2.23).

Приступим к доказательству п. в). Следуя лемме 1.1, мы можем записать

Анализируя структуру матриц ${{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}}$ и ${{({{\Sigma }_{3}} + {{C}_{3}})}^{ + }}$, мы видим, что Проведя непосредственные вычисления в последнем выражении, получим Сопоставляя (2.10), (2.11) с последним равенством, мы приходим к соотношению в (2.24).

Следствие доказано.

Замечание 2.2. Очевидно, для рассматриваемого варианта матрицы ${{\Sigma }_{3}}$ и ее возмущения ${{C}_{3}}$ функции ${{I}_{1}} = \frac{1}{\nu }$, ${{J}_{2}} = \bar {s}$ обладают свойствами, установленными в следствии 2.1, причем

где

Замечание 2.3. Очевидно, модели матриц ${{C}_{3}}$ выбраны так, чтобы обеспечить наибольшую чувствительность величин ${{I}_{1}}$, ${{I}_{2}}$, ${{J}_{1}}$, ${{J}_{2}}$ к возмущениям матриц ${{\Sigma }_{3}}$.

В заключение раздела мы должны сказать следующее. Определение значений элементов матрицы В и компонент вектора $v$ является практически неразрешимой задачей. Но с помощью обратного метода анализа накопления погрешностей возможно установить оценку $\left\| В \right\| \leqslant \alpha \left\| A \right\|$. Поэтому вместо параметра $с = \left\| B \right\|$ в дальнейшем мы будем вынуждены пользоваться его оценкой: $с \leqslant \alpha \left\| A \right\|$, где $\alpha $ – некоторое положительное число.

3. ПСЕВДОРЕШЕНИЕ ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ

В разд. 1 мы коснулись вопроса о влиянии возмущений, вносимых в матрицу и правую часть исходной системы уравнений, на точность вычисленного псевдорешения (см. лемму 1.2). Представленные в лемме 1.2 оценки справедливы для любых возмущений $B$ и $v$. Однако практическую значимость имеют псевдорешения, непрерывно зависящие от возмущений матрицы исходной системы и ее правой части.

Займемся детальным исследованием обозначенной проблемы. Итак, пусть задана система уравнений

псевдорешение $\bar {x}$ которой определяется формулой Пусть в матрицу А и в правую часть у внесены возмущения В и $v$ соответственно. В результате мы получим новую систему уравнений псевдорешение $\bar {u}$ которой определяется формулой Близость псевдорешений $\bar {u}$ и $\bar {x}$ устанавливает

Теорема 3.1. Пусть для систем уравнений (3.1) и (3.3) выполнены соотношения

1. Если

то справедлива оценкагде

2. Если $r = m = n$, то

3. Если выполнены неравенства (3.8) и $m > n = r$, то

где

4. Если $rk(A + B) = r = m < n$, то

Доказательство. Обращаясь к п. 1 леммы 1.2 (см. (1.5)), мы можем записать

Используя сингулярное разложение матрицы А, последнее неравенство перепишем в виде где $C = {{P}^{{\text{т}}}}BQ$.

С учетом сделанных ранее обозначений, последнее неравенство перепишем в виде

Отсюда согласно замечанию 2.3, равенству (3.5) и второму соотношению в (2.7) следует При выполнении доказательства п. в) леммы мы установили, что ${{I}_{2}} = {{I}_{1}}$, поэтому из (3.10) следует Здесь ${{N}_{1}}$ и ${{N}_{2}}$ описываются выражением, стоящим слева от последнего знака равенства. В этом выражении в первом случае функции ${{I}_{1}},\;{{J}_{1}},\;{{J}_{2}}$ определены моделью 1.1, во втором – моделью 1.2.

Предположим, что ${{N}_{1}} = \max \left\{ {{{N}_{1}},{{N}_{2}}} \right\}$. Приступим к оцениванию величины ${{N}_{1}}$. Обращаясь к свойствам функций ${{I}_{1}},\;{{J}_{1}},\;{{J}_{2}}$ (см. следствие 2.1), мы можем записать цепочку равенств

где $\bar {\varphi },\bar {\psi }$ определенны в (2.16). Поэтому обращаясь к (3.11), запишем Из последнего неравенства, благодаря (3.5), (2.16) и утверждению п. 3 следствия 2.1, следует Последнее с учетом (2.13), (2.6), (2.8), (2.14) (второе равенство) преобразуется к виду Произведем преобразование выражений, входящих в последнюю формулу:

1)

2) согласно (3.8)

3) согласно (3.6) и (3.8) и последней цепочке неравенств находим

Благодаря последним соотношениям получим Введя новую переменную преобразуем выражения, входящие в последнюю формулу:

$\psi = {{c}_{r}}\alpha + \xi $, поэтому верно

1) $1 - 2{{c}_{r}}\alpha \psi + c_{r}^{2}{{\alpha }^{2}} = 1 - 2{{c}_{r}}\alpha ({{c}_{r}}\alpha + \xi ) + c_{r}^{2}{{\alpha }^{2}} = 1 - c_{r}^{2}{{\alpha }^{2}} - 2{{c}_{r}}\alpha \xi {\kern 1pt} {\kern 1pt} ,$

2) $1 - {{\psi }^{2}} = 1 - {{({{c}_{r}}\alpha + \xi )}^{2}}$

и

Предположим противное: ${{N}_{2}} = \max \left\{ {{{N}_{1}},{{N}_{2}}} \right\}$. Действуя аналогично, мы придем к оценке Действительно, обращаясь к свойствам функций ${{I}_{1}},{{J}_{1}},{{J}_{2}}$ (см. следствие 2.1), мы можем записать Используя последние соотношения в (3.11), получаем (3.13).

Разделив $\left\| {\bar {u} - \bar {x}} \right\|$ и обе части неравенств (3.12) и (3.13) на $\left\| {\bar {x}} \right\|$, мы приходим к завершению доказательства п. 1.

Доказательство утверждения п. 2 мы опускаем ввиду его очевидности. Доказательство утверждения п. 3 мы опускаем по той причине, что оно во многом повторяет доказательство п. 1. Поэтому сразу перейдем к доказательству п. 4.

Обращаясь к п. 4 леммы 1.2 (см. 2.8), мы можем записать

Используя сингулярное разложение матрицы А, последнее неравенство перепишем в виде где $C = {{P}^{{\text{т}}}}BQ$.

Прибегнув к более компактным обозначениям (см. следствие 2.4), последнее неравенство перепишем в виде

Отсюда согласно замечанию 2.3, равенству (3.5) и неравенству (3.6) следует Следуя определениям величин ${{I}_{1}}({{\Sigma }_{3}},{{C}_{3}})$, ${{J}_{2}}(\varphi ,c)$ (см. соотношения (2.22), (2.24)), с учетом (2.14) (первое равенство) и неравенства $\left\| y \right\| \leqslant \left\| A \right\|\left\| {\bar {x}} \right\|$ преобразуем последнее выражение После применения неравенства (3.5), будем иметь Отсюда уже следует утверждаемое неравенство.

Доказательство п. 4, а с ним и доказательство теоремы завершены.

4. ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

Представленные в этой работе оценки являются новыми. Они имеют значительные структурные отличия от оценок, имеющихся в [6], [7]. Анализ структуры правых частей полученных неравенств показывает, что влияния отклонений подпространств $R(A + B)$ от $R(A)$ и соответственно $R\left( {{{{(A + B)}}^{{\text{т}}}}} \right)$ от $R({{A}^{{\text{т}}}})$ на значение правой части неравенства различны.

Покажем, что полученные оценки не хуже оценок, представленных в [7]. Пусть M – оценки относительной точности возмущенной системы уравнений, полученные в нашей работе. Рассматривая оценки пп. 1–4 теоремы 3.1, мы видим, что при стремлении ${{\sigma }_{{r - 2}}}$ и ${{\sigma }_{{r - 1}}}$ к ${{\sigma }_{r}}$ они возрастают (кроме оценки из п. 2) и при выполнении равенств ${{\sigma }_{{r - 2}}} = {{\sigma }_{{r - 1}}} = {{\sigma }_{r}}$ принимают наибольшие значения:

1) при r < min{m, n}

2) при r = m = n

3) при m > n = r

4) при r = m < n

В [7] рассматриваются исходная система уравнений

и возмущенная система После введения обозначений для различных отношений между rk(A), m и n даются оценки сверху, величины $\frac{{\left\| {dx} \right\|}}{{\left\| x \right\|}}$ (обозначим их через N):

1) при r < min{m, n} (теорема 9.7)

2) при r = m = n (теорема 9.15)

3) при m > n = r (теорема 9.12)

4) при r = m < n (теорема 9.18)

При сопоставлении обозначений, применяемых в [7] и в нашей работе, между ними были установлены следующие соответствия:

Используя приведенный список соответствий, осуществим требующиеся подстановки в соотношения (4.5)–(4.8). После преобразования полученных выражений будем иметь:

1) при r < min{m, n}

2) при r = m = n

3) при m > n = r

4) при r = m < n

Наконец, приступим к выявлению отношений между оценками (4.1) и (4.5), (4.2) и (4.6), (4.3) и (4.7), (4.4) и (4.8).

Применяя (4.1) и (4.9), получаем

Сопоставляя (4.2) и (4.10), а также (4.3) и (4.11), мы видим, что M = N.

Наконец, используя (4.4) и (4.12), будем иметь

Таким образом, показано, что полученные нами оценки во всех четырех случаях не хуже представленных в [7].

Дополнительно проиллюстрируем полученные результаты двумя характерными примерами. Обозначим через ε реальную относительную погрешность вычисленного псевдорешения $\left( {\varepsilon = \frac{{\left\| {\bar {u} - \bar {x}} \right\|}}{{\left\| {\bar {x}} \right\|}}} \right)$ и перейдем к рассмотрению примеров.

Пример 1. Пусть ${{\sigma }_{1}} = 1$, ${{\sigma }_{2}} = {{\sigma }_{3}} = {{\sigma }_{4}} = 2 \times {{10}^{{ - 5}}}$, ${{y}_{{\text{5}}}} = {{10}^{{ - 4}}}$, $c = {{10}^{{ - 5}}}$, $\psi = \frac{c}{{{{\sigma }_{3}}}}$, $\varphi = \frac{c}{{{{\sigma }_{2}}}}$,

Очевидно, псевдорешение $\bar {x}$ системы $Ax \cong y$ равно ${{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&1&0 \end{array}} \right]}^{{\text{т}}}}$. В результате непосредственных вычислений было установлено, что псевдорешение $\bar {u}$ возмущенной системы $(A + B)u \cong y + v$, определенное формулой $\bar {u} = {{(A + B)}^{ + }}(y + v)$, равно ${{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&{2.887}&3&{{\text{0}}{\text{.577}}} \end{array}} \right]}^{{\text{т}}}}$. При этом оказалось, что $\varepsilon = 2.517$, $M = {\text{5}}{\text{.855}}$, $N = 8$, где М определялась по соотношениям п. 1 теоремы 3.1 соответственно N – по формуле (4.5).

Пример 2. В этом примере в отличие от первого ${{\sigma }_{2}} = {{\sigma }_{3}} = 1$. При этом оказалось $\varepsilon = 1.414$, $M = 2$, $N = 8$.