Журнал вычислительной математики и математической физики, 2019, T. 59, № 9, стр. 1546-1553

ВВЕДЕНИЕ

Многослойные пленки широко применяются для решения задач теплоизоляции различных объектов, задач экранирования загрязненных зон, при исследовании процессов в композитных материалах, в нанотехнологиях и др. [1]–[7]. При этом сильно- и слабопроницаемые пленки моделируют линейные дренажи, трещины, экраны, изоляторы, мембраны, неидеальные контакты разнородных сред и т.д.

В работах [3, с. 291], [4] построены комплексные потенциалы фильтрационных течений несжимаемой жидкости на плоскости с круговым включением при идеальном контакте включения с внешней средой (т.е. без пленки). В работах [5], [6] рассмотрены пленки в виде разрезов с граничными условиями на сторонах разрезов. В работе [7] доказана разрешимость параболических систем уравнений с неоднородными условиями сопряжения на трехслойной пленке. Незамкнутые многослойные пленки на плоскости и в пространстве рассмотрены в статьях [8], [9].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим на плоскости с полярными координатами ($r,\alpha $) круг ${{D}_{1}} = (0 \leqslant r < 1) \times (0 \leqslant \alpha < 2\pi )$, ограниченный многослойной пленкой $r = 1$, состоящей из сильно- и слабопроницаемых прослоек с параметрами соответственно ${{A}_{i}}$ и ${{B}_{j}}$. Сильно (слабо) проницаемые прослойки моделируем бесконечно тонкими кольцевыми слоями толщины ${{l}_{i}}$ с бесконечно большой (бесконечно малой) проницаемостью ${{k}_{i}}$, где ${{A}_{i}} = lim{{l}_{i}}{{k}_{i}}$ при ${{l}_{i}} \to 0,\;{{k}_{i}} \to \infty $ (${{B}_{j}} = lim{{l}_{j}}{\text{/}}{{k}_{j}}$ при ${{l}_{j}} \to 0,\;{{k}_{j}} \to 0$) [8]. Пусть пленка $r = 1$ состоит из $2m$ чередующихся сильно- и слабопроницаемых прослоек с параметрами ${{A}_{1}},{{B}_{2}},\;...,\;{{A}_{{2m - 1}}},{{B}_{{2m}}}$, где ${{A}_{1}}$ – параметр первой сильнопроницаемой прослойки $r = 1 - 0$, ${{B}_{{2m}}}$ – параметр последней слабопроницаемой прослойки $r = 1 + 0$. Проницаемости включения ${{D}_{1}}$ и внешней области ${{D}_{2}} = (1 < r < \infty ) \times (0 \leqslant \alpha < 2\pi )$ соответственно равны ${{K}_{1}}$ и ${{K}_{2}}$ (${{K}_{i}} > 0$ – постоянные).

Рассмотрим на плоскости с экранированным круговым включением ${{D}_{1}}$ установившийся процесс тепломассопереноса (теплопроводности, фильтрации жидкости, диффузии, электростатики). Относительно потенциалов ${{u}_{i}}(r,\alpha )$ в ${{D}_{i}}$ рассмотрим задачу для уравнения Пуассона

c условиями сопряжения на пленке вида где $\partial _{r}^{n} = {{\partial }^{n}}{\text{/}}\partial {{r}^{n}}$, функции ${{u}_{i}}(r,\alpha )$ суть $2\pi $-периодические по $\alpha $; операторы ${{F}_{{2m}}},{{G}_{{2m}}}$ строятся по рекуррентным формулам в которых ${{F}_{0}}u = {{G}_{0}}u = 0,\;j = 1,\;...,\;m$; функции ${{H}_{i}}(r,\alpha )$ характеризуют плотность внешних источников (плотность зарядов), индуцирующих процесс [10, с. 276, 279], при этом полагаем ${{H}_{i}} = 0$ в окрестности пленки $r = 1$. Условия сопряжения на пленке (1.2) выводятся аналогично статьям [8], [9]. При ${{A}_{1}} = 0$ (${{B}_{{2m}}} = 0$) первая (последняя) прослойка отсутствует.

Ниже рассматриваются задачи (1.1), (1.2) для двухслойных пленок, когда одна из функций ${{H}_{i}}(r,\alpha )$ равна нулю, при этом решение общей задачи при ${{H}_{i}} \ne 0$ имеет вид суммы решений задач с неоднородным уравнением (1.1) в одной из зон ${{D}_{i}}$.

2. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ В КРУГЕ D₁

Рассмотрим задачу (1.1), (1.2) для двухслойной пленки типа ($AB$) при $m = 1,\;{{H}_{2}} = 0$:

где $H(r,\alpha ) = 0$ в окрестности пленки $r = 1,A$ – параметр сильнопроницаемой прослойки $r = 1 - 0,\;B$ – параметр слабопроницаемой прослойки $r = 1 + 0$ (здесь первое условие (2.2) упрощено с учетом второго условия).

Из условий сопряжения (2.2) следует, что в случае $A = 0,\;B > 0$ функции ${{u}_{i}}(r,\alpha )$ на пленке терпят разрыв, т.е. на однослойной слабопроницаемой пленке имеет место определенная разность потенциалов. В случае $A > 0,\;B = 0$ на сильнопроницаемой пленке нормальная скорость терпит разрыв (2.2). Этот результат, например, в теории фильтрации объясняется тем, что частицы жидкости могут протекать в сильнопроницаемой пленке и вытекать из нее в точках, отличных от точек втекания. На двухслойной пленке при $A > 0$ и $B > 0$ потенциал и нормальная скорость в общем случае терпят разрывы.

Пусть известен потенциал $f(r,\alpha )$ рассматриваемого процесса на однородной плоскости (без включения ${{D}_{1}}$), т.е. функция $f(r,\alpha )$ на всей плоскости удовлетворяет уравнению [10, с. 276]:

Методом свертывания разложений Фурье [8], [9] выразим решение задачи (2.1), (2.2) с пленкой через функцию $f(r,\alpha )$ (2.3). В данном случае функция $f(r,\alpha )$ может иметь в бесконечности логарифмическую особую точку, моделирующую источник (сток), мощность которого $Q$ определяется потоком поля скоростей через окружность $r = 1$ из ${{D}_{1}}$, т.е.

Отсюда функция $f(r,\alpha )$ (2.3) при $1 \leqslant r < \infty $ (где она удовлетворяет уравнению Лапласа) представима в виде где ${{f}_{0}},{{f}_{{in}}}$ – коэффициенты Фурье функции $f(1,\alpha )$: (здесь левая и правая части равенства (2.5) являются решением задачи Дирихле в ${{D}_{2}}(r > 1)$: $\Delta u = 0,\;{{\left. u \right|}_{{r = 1}}} = f(1,\alpha ),\;u(r,\alpha ) = Qlnr + O(1)$ при $r \to \infty $). Из выражения (2.5) при $r < 1$ следует равенство

Решение задачи (2.1), (2.2) будем искать в виде

где ${{a}_{n}},{{b}_{n}},{{Q}_{1}}$ – неизвестные параметры, функция ${{g}_{n}}(\alpha )$ имеет вид (2.6). Отсюда функции ${{u}_{i}}(r,\alpha )$ в ${{D}_{i}}$ удовлетворяют соответствующему уравнению (2.1) (при условии сходимости и дифференцируемости рядов (2.8), (2.9)). Из условий сопряжения (2.2) с учетом равенства (2.5) находим ${{Q}_{1}} = Q{{K}_{1}}{\text{/}}{{K}_{2}},\;{{b}_{0}} = {{f}_{0}} + B{{K}_{1}}Q$, где Дискриминант квадратного трехчлена (2.11) имеет вид Отсюда $d(n) = AB{{K}_{2}}(n + {{p}_{1}})(n + {{p}_{2}})$ и $d(n) = AB{{K}_{2}}{{(n + {{p}_{3}})}^{2}}$ соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где ${\text{Re}}{{p}_{i}} > 0,i = 1,2$, при этом Разлагая дроби (2.10) на простейшие дроби, получаем и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где Отсюда функции (2.8), (2.9) с учетом равенства (2.7) примут вид и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$.

Заменяя в выражении (2.5) переменную $r$ на $r{{e}^{t}}$, умножая полученное равенство на ${{e}^{{ - pt}}}{{t}^{m}}$, где $\operatorname{Re} p > 0,\;m = 0,1,2,\;...,\;r > 1$, и интегрируя по $t \in (0,\infty )$, с учетом равенства

получаем формулу и аналогичную формулу при замене $r$ на $1{\text{/}}r$ для $r < 1$: Выражая из последних формул ряды, решение (2.16)–(2.19) исходной задачи (2.1), (2.2) приведем к виду без разложений Фурье: и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где постоянные $T,\;{{p}_{i}},\;{{h}_{i}}$ определены в (2.12), (2.13), (2.15), $f(r,\alpha )$ – заданная функция (потенциал рассматриваемого процесса без включения ${{D}_{1}}$). При этом функции (2.21), (2.22) действительны при $T < 0$.

Из равенства (2.7) следуют асимптотики при $r \to 0$:

при этом учитываются равенства а также (2.20).

Аналогично при $r \to \infty $ получаем асимптотики

Отсюда в выражениях (2.21)–(2.24) т.е. в формулах (2.21)–(2.24) для функции ${{u}_{1}}(r,\alpha )$ логарифмическая особая точка $r = 0$, соответствующая слагаемым с множителем $Qlnr$, отсутствует (слагаемые с множителем $Qlnr$ взаимно уничтожаются), а функция ${{u}_{2}}(r,\alpha )$ при $Q \ne 0$ (2.4) имеет в бесконечности логарифмическую особую точку.

Остальные условия задачи (2.1), (2.2) для функций (2.21)–(2.24) с учетом (2.14) проверяются непосредственно. При этом для того, чтобы условия сопряжения (2.2) содержали одинаковые интегралы, нужно в правых частях этих условий выполнить интегрирование по частям. Так, в случае $T \ne 0$ получаем

где $\xi = {{e}^{t}},z = {{e}^{t}}{\text{/}}r$ и при интегрировании по частям в первом интеграле полагаем во втором интеграле

Если в рассмотренной двухслойной пленке сильно- и слабопроницаемые прослойки поменять местами, то получим задачу (2.1) для пленки типа ($BA$) с условиями сопряжения

где $B$ – параметр слабопроницаемой прослойки $r = 1 - 0,\;A$ – параметр сильнопроницаемой прослойки $r = 1 + 0$. Рассуждая аналогично, решение задачи (2.1), (2.26) выразим через функцию $f(r,\alpha )$ (2.3) в виде и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где ${{c}_{i}} = {{K}_{2}} - A{{p}_{i}}$, $T = {{(A - B{{K}_{1}}{{K}_{2}})}^{2}} - 4ABK_{1}^{2}$, $q$ имеет вид (2.25).

Из полученных решений (2.21)–(2.24), (2.27)–(2.30) следует, что сильно- и слабопроницаемые прослойки в пленке не коммутируют, т.е. процесс зависит от порядка расположения прослоек в пленке.

При отсутствии пленки ($A = B = 0$) решение задачи (2.1), (2.2) имеет конечный вид:

где $\mu = ({{K}_{1}} - {{K}_{2}}){\text{/}}({{K}_{1}} + {{K}_{2}})$.

Отсюда в частном случае $Q = 0$ (2.4) следуют формулы, полученные методом отражения особых точек [3, с. 291].

3. НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ ВНЕ КРУГА D₁

Рассмотрим задачу (1.1), (1.2) для двухслойной пленки типа ($AB$) при ${{H}_{1}} = 0$. Тогда для потенциалов ${{u}_{i}}$ в зонах ${{D}_{i}}$ получим уравнения

с условиями сопряжения (2.2), где $H(r,\alpha ) = 0$ в окрестности пленки $r = 1$.

Пусть известен потенциал $f(r,\alpha )$ рассматриваемого процесса на однородной плоскости, т.е. функция $f(r,\alpha )$ удовлетворяет уравнению

В данном случае функция $f(r,\alpha )$ в круге ${{D}_{1}}$ (где она удовлетворяет уравнению Лапласа) представима в виде

где ${{f}_{0}}$ и ${{g}_{n}}(\alpha )$ определены в (2.6). Отсюда следует равенство где $\operatorname{Re} p > 0,\;m = 0,1,2,\;...$ . Решение задачи (3.1), (2.2) будем искать в виде Тогда из условий сопряжения (2.2) с учетом (3.3) находим и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где постоянные $T,\;{{p}_{i}}$ имеют вид (2.12), (2.13), ${{c}_{i}} = {{K}_{1}} - A{{p}_{i}}$. Отсюда с учетом равенств (3.3), (3.4) решение (3.5), (3.6) задачи (3.1), (2.2) приводится к виду и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где $f(r,\alpha )$ – решение задачи (3.2).

Рассуждая аналогично, решение задачи (3.1), (2.26) для пленки типа ($BA$) получаем в виде

и соответственно при $T \ne 0$ и $T = 0$, где ${{h}_{i}} = 1 - {{p}_{i}}B{{K}_{1}}$, постоянные ${{p}_{i}},T$ определены в (2.31), $f(r,\alpha )$ – решение задачи (3.2).

Таким образом, формулы (2.21)–(2.24), (2.27)–(2.30), (3.7)–(3.14) позволяют по известным потенциалам установившихся процессов тепломассопереноса на однородной плоскости строить потенциалы аналогичных процессов на плоскости с круговым включением, экранированным различными двухслойными пленками.

4. ПРИМЕРЫ

Рассмотрим задачу обтекания поступательным потоком круга ${{D}_{1}}(r < 1)$, экранированного двухслойной пленкой. В данном случае потенциал потока на однородной плоскости имеет вид $f(r,\alpha ) = x = rcos\alpha $. Отсюда решения задач (3.1), (2.2) и (3.1), (2.26) найдем соответственно в виде

и Отсюда для рассмотренных пленок типа ($AB$) и ($BA$) в круге ${{D}_{1}}(r < 1)$ имеет место поступательный поток (4.1), (4.3).

При ${{K}_{1}} = {{K}_{2}}$ в случаях $B = 0\;(A > 0)$ и $A = 0\;(B > 0)$ соответственно получим $\left| {{{v}_{2}}} \right| > \left| {{{v}_{0}}} \right|$ и $\left| {{{v}_{2}}} \right| < \left| {{{v}_{0}}} \right|$ (4.2), где ${{v}_{0}} = {{K}_{2}}{{\partial }_{r}}f(r,\alpha )$ и ${{v}_{2}} = {{K}_{2}}{{\partial }_{r}}{{u}_{2}}(r,\alpha )$ – радиальные составляющие скорости невозмущенного и возмущенного пленкой потоков во внешней зоне ${{D}_{2}}(r > 1)$. Отсюда сильно (слабо) проницаемая кольцевая пленка $r = 1$ “притягивает” (“отталкивает”) поступательный поток. Аналогично при отсутствии пленки ($A = B = 0$) более проницаемое включение ${{D}_{1}}(r < 1)$ при ${{K}_{1}} > {{K}_{2}}$ “притягивает”, а менее проницаемое включение ${{D}_{1}}$ при ${{K}_{1}} < {{K}_{2}}$ “отталкивает” поток.

Для рассмотренных двухслойных пленок указанные эффекты могут компенсировать друг друга. Если в выражениях (4.2) и (4.4) соответственно $AB{{K}_{2}} + B{{K}_{1}}{{K}_{2}} + {{K}_{2}} = A + {{K}_{1}}$ и $AB{{K}_{1}} + A + {{K}_{1}} = B{{K}_{1}}{{K}_{2}} + {{K}_{2}}$, то ${{u}_{2}}(r,\alpha ) = f(r,\alpha ) = rcos\alpha $, при этом включение ${{D}_{1}}(r < 1)$, экранированное двухслойными пленками типа ($AB$) и ($BA$), не искажает поступательный поток во внешней зоне ${{D}_{2}}(r > 1)$. В частности, при ${{K}_{1}} = {{K}_{2}} = 1$ двухслойные кольцевые пленки типа ($AB$) и ($BA$) не искажают поток в зоне ${{D}_{2}}$ соответственно в случаях $B = A{\text{/}}(A + 1)$ и $A = B{\text{/}}(B + 1)$.

В случае ${{K}_{1}} = 0,\;{{K}_{2}} = 1$ непроницаемое включение ${{D}_{1}}(r < 1)$, экранированное пленкой типа ($AB$), не искажает поток в ${{D}_{2}}$ при условии $A = AB + 1$. В случае ${{K}_{1}} \to \infty ,{{K}_{2}} = 1$ абсолютно проницаемое включение ${{D}_{1}}$, экранированное пленкой типа ($BA$), не искажает поток в ${{D}_{2}}$ при условии $B = AB + 1$.