Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 10, стр. 1734-1740

ВВЕДЕНИЕ

В классе эллиптических систем первого порядка особое место занимает обобщенная система Коши–Римана (ОСКР). Если коэффициенты и правая часть ОСКР принадлежат пространству суммируемых функций со степенью p > 2, то представление общего решения уравнения этой системы из класса Гёльдера получено И.Н. Векуа [1]. Исследованию задач для ОСКР с коэффициентами, имеющими особенности первого порядка в изолированной особой точке и на линии, посвящены работы [2]–[7] и др.

Большой интерес к ОСКР вызван еще ее многочисленными приложениями. Например, ОСКР с сингулярной точкой применяется в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны с точками уплощения, с сингулярной линией сводится к варианту Эрнста уравнения Максвелла–Энштейна [8] и т.д. Во всех выше перечисленных работах ОСКР с особенностями в младших коэффициентах исследована, в основном, в конечной области. В данной статье для уравнения с оператором Коши–Римана с сильной точечной особенностью в младшем коэффициенте на полуплоскости найдено интегральное представление решения в классе ограниченных функций и исследована задача типа Дирихле. Кроме того, изучается вопрос о вычислении интеграла $Tf$, когда плотность интеграла имеет сильные особенности в множестве точек или линий.

1. Рассмотрим сначала общую ситуацию для уравнения

с коэффициентом $a$, непрерывным в некоторой ограниченной области $G$. Напомним [1], что если $f \in {{L}^{p}}({{G}_{0}})$, $p > 2$, в подобласти ${{G}_{0}} \subseteq G$, то интегральный оператор Векуа–Помпейю где ${{d}_{2}}\zeta $ означает элемент площади, действует из ${{L}^{p}}({{G}_{0}})$ в класс Гёльдера $H(\overline {{{G}_{0}}} )$. Более точно, функция $Tf$ принадлежит соболевскому пространству ${{W}^{{1,p}}}({{G}_{0}})$ и удовлетворяет уравнению ${{\partial }_{{\bar {z}}}}Tf$ = f, которое здесь и ниже понимается в смысле обобщенных функций. Поэтому в предположении $a \in {{L}^{p}}({{G}_{0}})$ функция $\Omega = Ta$ принадлежит $H(\overline {{{G}_{0}}} )$ и удовлетворяет уравнению Отсюда немедленно следует [1], что если $u$ является решением уравнения (1) в области ${{G}_{0}}$ и $\tilde {f} = {{e}^{{ - \Omega }}}f \in {{L}^{p}}({{G}_{0}})$, то функция $\tilde {u} = {{e}^{{ - \Omega }}}u$ удовлетворяет уравнению ${{\partial }_{{\bar {z}}}}\tilde {u} = \tilde {f}$. Следовательно, формула где $\phi $ аналитична в области ${{G}_{0}}$, описывает общее решение уравнения (1) в этой области.

Конечно, аналогичная ситуация имеет место и по отношению ко всей области $G$, если найдена функция $\Omega \in {{H}_{{loc}}}(G)$ со свойством (3). В ряде случаев подобную функцию можно построить с помощью последовательности подобластей $\overline {{{G}_{n}}} \subseteq {{G}_{{n + 1}}}$, $n = 1,\;2,\; \ldots $, исчерпывающих область $G$. Пусть ${{T}_{n}}$ определяется аналогично (2) по отношению к ${{G}_{n}}$ и последовательность ${{\Omega }_{n}} = {{T}_{n}}a$ равномерно сходится к некоторой функции $\Omega $ на каждом компакте $K \subseteq G$. Тогда на этом компакте для достаточно больших $n$ функция ${{\Omega }_{n}}$ удовлетворяет уравнению ${{\partial }_{{\bar {z}}}}{{\Omega }_{n}} = a$, так, что $\Omega \in {{H}_{{loc}}}(G)$ и обладает свойством (3).

2. Пусть ${{S}^{ + }}$ – верхняя полуплоскость, $L$ – вещественная ось, $\overline {{{S}^{ + }}} = {{S}^{ + }} \cup L,$ ${{z}_{1}} \in {{S}^{ + }}$ и $\left| {{{z}_{1}}} \right| < \infty .$ В области $\overline {S_{\varepsilon }^{ + }} = \overline {{{S}^{ + }}} \cap {\text{\{ }}\left| {z - {{z}_{1}}} \right| > \varepsilon {\text{\} }}$ рассмотрим уравнение

с некоторыми a(z), f(z) $ \in C({{\bar {S}}^{ + }})$.

Исследования для обобщенного уравнения Коши–Римана с сингулярными коэффициентами, в основном, проведены в конечной области (см., например, [2]–[6]). В настоящей статье уравнение (5) с внутренней сверхсингулярной точкой рассматривается в области ${{S}^{ + }}$ и исследуется задача типа Дирихле.

В рассматриваемом случае интегральный оператор $T$ понимается по отношению к неограниченной области, в том числе и по отношению к $\mathbb{C}$. Хорошо известно [1], что если функция $f$ непрерывно дифференцируема и $f(z) = O({{\left| z \right|}^{\delta }})$ при $z \to \infty $ с некоторым $\delta < - 1$, то функция

непрерывно дифференцируема и является решением уравнения (1) при $a = 0$. В своей монографии [1] И.Н. Векуа описал условие на функцию $f$, обеспечивающее принадлежность $Tf$ классу ${{C}^{\mu }}(\mathbb{C})$ в терминах введенного им пространства ${{L}^{{p,\nu }}}(\mathbb{C})$, $p > 2$. Под ${{C}^{\mu }}(\mathbb{C})$ здесь понимается класс непрерывных функций $f(z)$, которые вместе с $f(1{\text{/}}z)$ принадлежат ${{C}^{\mu }}(D)$ в единичном круге $D$. По определению, пространство ${{L}^{{p,\nu }}}(\mathbb{C})$ состоит из всех функций $f$, для которых $f(z)$ и ${{f}_{\nu }}(z) = {{\left| z \right|}^{{ - \nu }}}f(1{\text{/}}z)$ принадлежат ${{L}^{p}}(D)$. В этих обозначениях если $f \in {{L}^{{p,2}}}(\mathbb{C})$, $p > 2$, то функция $Tf \in {{C}^{\mu }}(\mathbb{C})$, $\mu = 1 - 2{\text{/}}p$, и обращается в нуль на бесконечности (см. теоремы 1.24, 1.25 в [1]). В частности, $(Tf)(z) = o({{\left| z \right|}^{{\mu - 1}}})$ при $z \to \infty $.

Под обобщенным решением уравнения (5) понимается функция $u$, которая в области ${{\bar {S}}^{ + }}{\backslash \{ }{{z}_{1}}{\text{\} }}$ допускает обобщенную производную по $\bar {z}$, причем ${{u}_{{\bar {z}}}} \in {{L}^{{p,2}}}(\overline {S_{\varepsilon }^{ + }} )$, для любого $\varepsilon > 0$.

В дальнейшем для компактного изложения при $n > 1$ введем следующие обозначения:

где $\omega $ – решение уравнения ${{u}_{{\bar {z}}}}(z) = - (z - {{z}_{1}}){{\left| {z - {{z}_{1}}} \right|}^{{ - 1 - n}}}$, $a \in C(\overline {{{S}^{ + }}} )$.

Введем сингулярный интеграл

где интегральный оператор ${{T}_{\varepsilon }}$ определяется аналогично (2) по отношению к области $S_{\varepsilon }^{ + }$.

Теорема 1. Пусть $n > 1$ и ${{A}_{0}} \in {{L}^{{p,2}}}({{\mathbb{S}}^{ + }})$. Тогда функция $\Omega (z)$, $z \ne {{z}_{1}}$; существует и представима в виде

где $h(z) \in {{C}^{\mu }}(\overline {{{S}^{ + }}} )$ определяется равенствоми удовлетворяет уравнению ${{\Omega }_{{\bar {z}}}} = A$.

Соответственно в предположении ${{e}^{{ - \Omega }}}f \in {{L}^{{p,2}}}({{S}^{ + }})$ обобщенное решение уравнения (5) дается формулой

где $\phi \in {{C}^{\mu }}(\overline {{{S}^{ + }}} ,{{z}_{1}})$ – произвольная аналитическая в области ${{S}^{ + }}{\backslash \{ }{{z}_{1}}{\text{\} }}$ функция и $\phi (z) = o({{\left| z \right|}^{{ - 2/p}}})$, при $\left| z \right| \to \infty $.

Доказательство. Покажем, что функция $\Omega (z)$ представима в виде (7) и в области ${\text{\{ }}z \in {{S}^{ + }},\;z \ne {{z}_{1}}{\text{\} }}$ является решением уравнения

Пусть оператор ${{T}_{{R,\varepsilon }}}$ определяется аналогично (2) по отношению к открытому множеству G_{R, ε} = = ${{S}^{ + }} \cap \{ {\text{|}}z - {{z}_{1}}{\text{|}} > \varepsilon \} \cap \{ {\text{|}}z{\text{|}}$ < R}. Очевидно, при малом $\varepsilon > 0$ граница области ${{G}_{{R,\varepsilon }}}$ составлена из объединения отрезка $l = [ - R,R]$, окружности $\gamma :\left| {z - {{z}_{1}}} \right| = \varepsilon $ и полуокружности ${{l}_{R}} = \{ z:{\text{|}}z{\text{|}} = R,\;{\text{Re}}z \geqslant 0\} $ с достаточно большим радиусом $R$ и пусть ${{L}_{R}} = l \cup {{l}_{R}}$. В соответствии с принятым выше подходом достаточно убедиться, что причем предел равномерен по $z$ на компактах $K$. В дальнейшем ${{G}_{{R,\varepsilon }}} \equiv {{G}_{\varepsilon }}$.

С этой целью воспользуемся тождеством

согласно которому В силу формулы Грина имеем где последний интеграл берется по окрестности против часовой стрелки. Поскольку в обозначениях (6) то в (9) можем перейти к пределу По теореме Коши при $\varepsilon < \left| {z - {{z}_{1}}} \right|$ первый интеграл равен нулю, так что Поскольку в обозначениях (6) отсюда или, что равносильно,

Зафиксируем $\delta > 0$ и убедимся, что в области $S_{\delta }^{ + }$ функция ${{\Omega }_{\varepsilon }} = {{T}_{\varepsilon }}A$ при $\varepsilon \to 0$ равномерно сходится к $\Omega = TA$ и, в частности, справедливо равенство (7). В самом деле, при $\varepsilon < \delta {\text{/}}2$ и $z \in {{G}_{\delta }}$ подынтегральное выражение в правой части (11) по модулю не превосходит $2\left| {{{A}_{0}}(\zeta )} \right|{\text{/}}\delta $, так что соответствующий интеграл равномерно стремится к нулю.

Остается показать, что ${{\partial }_{{\bar {z}}}}\Omega = A$ в области $S_{\delta }^{ + }$. Очевидно, в этой области ${{\Omega }_{\varepsilon }} = {{T}_{\delta }}A + {{\phi }_{{\varepsilon ,\delta }}}$ с некоторой аналитической в ${{G}_{\varepsilon }}$ функцией ${{\phi }_{{\varepsilon ,\delta }}}$. Следовательно, ${{\phi }_{{\varepsilon ,\delta }}}$ при $\varepsilon \to 0$ равномерно сходится в этой области к некоторой аналитической функции ${{\phi }_{\delta }}$, так что $\Omega (z) = ({{T}_{\delta }}A)(z) + {{\phi }_{\delta }}(z)$, $z \in S_{\delta }^{ + }$, и, в частности, ${{\partial }_{{\bar {z}}}}\Omega = A$.

Из последнего равенства как и в случае регулярных коэффициентов следует, что подстановка $u = {{e}^{\Omega }}{{u}_{0}}$ сводит (5) к уравнению

общее решение которого состоит из функций ${{u}_{0}} = \phi + T({{e}^{{ - \Omega }}}f)$. В результате приходим к представлению (8), которое завершает доказательство теоремы.

Заметим, что при $0 < \alpha < 1$ условие

при $z \to {{z}_{1}}$ равносильно тому, что в этом представлении функция $\phi $ имеет $z = {{z}_{1}}$ устранимую особую точку и, следовательно, аналитична во всей области ${{S}^{ + }}$ и по условию $\phi (z) = o(|z{{|}^{{ - 2/p}}})$ при $\left| z \right| \to \infty $.

Поэтому фактически функция $u$ принадлежит классу функций, для которых ${{e}^{{ - \Omega }}}u \in H(\overline {{{S}^{ + }}} )$. Этот класс функций, удовлетворяющий условию Гёльдера с некоторым показателем, удобно обозначить как $H(\overline {{{S}^{ + }}} ,{{e}^{\Omega }})$.

3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ТИПА ДИРИХЛЕ

Требуется найти решение уравнения (5) из класса $H(\overline {{{S}^{ + }}} ,{{e}^{\Omega }})$ удовлетворяющее на границе $L$ краевому условию:

где ${{e}^{{\Omega (z)}}}U(t)$, $g(t)$, $k = 1,\;2$, – непрерывные функции точек контура $L$, причем $g(t) = o({{\left| t \right|}^{{ - 2/p}}})$.

Справедлива

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда задача $(D)$ всегда разрешима и ее решение из класса $H(\overline {{{S}^{ + }}} ,{{e}^{\Omega }}),$ имеющее поведение (12), при ${\text{Im}}z \to 0$ дается с помощью формулы (8), в которой произвольная аналитическая функция $\phi (z)$ определяется равенством:

где ${{C}_{1}}$ – произвольная вещественная постоянная.

Доказательство проводится на основе интегрального представления (8) и условия задачи типа Дирихле (D).

Решение задачи (D) описывается явной формулой (8) и содержит одну произвольную вещественную постоянную. Подставляя найденные значения $\varphi (z)$ в представление (8), получим решение задачи (D).

Заметим, что интегральное представление (8) решения $u(z)$ уравнения (5) и оценка (12) позволяют правильно ставить граничные задачи типа Римана–Гильберта и задачи типа Римана в полуплоскости.

4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ВЕКУА–ПОМПЕЙЮ С СИЛЬНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ В ПЛОТНОСТИ

С практической точки зрения большое значение имеет вычисление интеграла $(TA)(z)$. Достойна внимания работа [7], в которой предложена схема построения в единичном круге $D$ функции $A(z)$ с заданным поведением $(TA)(z)$ в особой точке $z = 0$. Например, в этой работе установлено, что для функции $A(z) = A(r)$ (зависящей только от $r = \left| z \right|$), интеграл $(TA)(z)$ определяется равенством

Отсюда, как частные случаи, следуют результаты, полученные ранее Л.Г. Михайловым: В частности, при $\alpha = 1$ функция ограничена. Из этих же соображений Отмеченные примеры 1–3 приведены ранее без пояснений в [2, с. 123, 124].

Для вычисления интеграла $(TA)(z)$ в сверхсингулярном случае, когда область $D = {\text{\{ }}z:\left| z \right| \leqslant 1{\text{\} }}$ содержит некоторое сингулярное многообразие $g$, нами получены приведенные ниже формулы, которые упрощают вычисление.

Если $g = {\text{\{ }}z:z = 0{\text{\} }}$, (и при $n > 1$) как следует из [9]

Пусть, функция $A(z)$ представима в виде

где ряд сходится равномерно в рассматриваемой области $D = \left\{ {\left| z \right| < 1} \right\}$. Учитывая представление [1]: получим

Пусть $g = {\text{\{ }}z:z = {{z}_{1}},\;z = {{z}_{2}},\; \ldots ,\;z = {{z}_{m}}{\text{\} }}$, $g \subseteq D$ и

Тогда имеем

Рассмотрим теперь случай, когда роль особых точек $z = {{z}_{j}}$, $j = 1,\;2,\; \ldots ,\;m$, играют концентрические окружности ${{L}_{j}}:\left| z \right| = {{R}_{j}}$, $j = 1,\;2,\; \ldots ,\;m$, лежащие внутри области $D$, и

где функции ${{p}_{j}}(z)$ – нормирующие множители, причем ${{p}_{j}}(z) = {{p}_{{0j}}}(z){{\left| {{{p}_{{0j}}}(z)} \right|}^{{ - 1}}}$, ${{p}_{{0j}}}(z) = z\left( {\left| z \right| - {{R}_{j}}} \right)$.

Тогда сингулярный интеграл $(TA)(z)$, $\left| z \right| \ne {{R}_{j}}$, $j = \overline {1,m} $, существует и определяется равенством

Полученные значения оператора Векуа–Помпейю дают возможность исследовать уравнения различного порядка с оператором Коши–Римана с младшими членами, имеющими сильные особенности в точках и линиях.