Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 10, стр. 1721-1733

1. ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования является линейное интегродифференциальное уравнение III рода (ИДУТР)

в котором $t \in I \equiv [ - 1,\;1]$, ${{t}_{j}} \in ( - 1,\;1)$, ${{m}_{j}} \in \mathbb{N}$, $j = \overline {1,q} $, ${{K}_{j}}$, $j = \overline {0,p} $ и $y$ – известные “гладкие” функции, а $x$ – искомая функция. Исследование таких уравнений представляет интерес как с точки зрения теории (в частности, ИДУТР (1.1) является обобщением ряда классов интегральных уравнений Фредгольма), так и приложений. К такого рода уравнениям приводит ряд важных задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., например, [1], [2] и библиографию к [1], [3]), уравнений с частными производными смешанного типа [4], а также теории сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом [5]. При этом естественными классами решений ИДУТР, как правило, являются специальные пространства обобщенных функций (ПОФ) типа $D$ или $V$. Под $D$ (соответственно $V$) понимается ПОФ, построенное на основе функционала “дельта-функция Дирака” (соответственно “конечная часть интеграла по Адамару”). Исследуемые ИДУТР точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому особенно актуальна разработка эффективных методов их приближенного решения в ПОФ с соответствующим теоретическим обоснованием. Первые результаты в этом направлении получены в работах [6]–[8], в которых предложены и обоснованы некоторые полиномиальные и сплайновые (на базе сплайнов 1-го и 2-го порядков) прямые методы решения уравнений вида (1.1) при $q = 1$ в ПОФ типа $V$ и $D$.

В настоящей работе построена полная теория разрешимости общего ИДУТР (1.1) в пространстве типа $D$. Именно при определенных условиях “гладкости” на ядра ${{K}_{j}}$, $j = \overline {0,p} $, установлены фредгольмовость и достаточные условия непрерывной обратимости оператора $A$, указан метод отыскания точного решения ИДУТР (1.1) в некотором классе $X \equiv {{D}^{{(p)}}}\left\{ {\bar {m};\bar {\tau }} \right\}$ обобщенных функций. Далее предложены специальные обобщенные варианты метода коллокации, основанные на применении стандартных полиномов и кубических сплайнов минимального дефекта. Проведено их теоретическое обоснование в смысле [9; гл. 1, § 1–5] и установлено, что построенные методы оптимальны по порядку точности (см. [9; гл. 2, § 1–3]) на некотором классе $F$ гладких функций среди всех прямых проекционных методов решения исследуемых уравнений в пространстве $X$.

2. ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть $C \equiv C(I)$ – банахово пространство всех непрерывных на $I$ функций с обычной max-нормой и $m \in \mathbb{N}$. Следуя [10], скажем, что функция $f \in C$ принадлежит классу $C{\text{\{ }}m;{{t}_{0}}{\text{\} }} \equiv C_{{{{t}_{0}}}}^{{{\text{\{ }}m{\text{\} }}}}(I)$, если в точке ${{t}_{0}} \in ( - 1,\;1)$ существует тейлоровская производная ${{f}^{{{\text{\{ }}m{\text{\} }}}}}({{t}_{0}})$ порядка $m$ (естественно считаем, что $C{\text{\{ }}0;{{t}_{0}}{\text{\} }} \equiv C$).

Далее, пусть ${{t}_{1}},{{t}_{2}},\; \ldots ,\;{{t}_{q}}$ – произвольно фиксированные попарно различные точки интервала $( - 1,\;1)$. Каждой точке ${{t}_{j}}$ поставим в соответствие некоторое число ${{m}_{j}} \in \mathbb{N}$, $j = \overline {1,q} $. Введем векторное пространство

где $\bar {m} \equiv ({{m}_{1}},{{m}_{2}},\; \ldots ,\;{{m}_{q}})$ и $\bar {\tau } \equiv ({{t}_{1}},{{t}_{2}}, \ldots ,\;{{t}_{q}})$ – конечные наборы соответствующих величин. Снабдим его нормой где $T:C{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }} \to C$ – “характеристический” оператор класса $C{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$: ${{H}_{{ji}}}$ – обычные фундаментальные полиномы Эрмита степени $\mu - 1$ по системе узлов ${\text{\{ }}{{t}_{j}}{\text{\} }}$, $\mu \equiv \sum\nolimits_{j = 1}^q {{{m}_{j}}} $, причем здесь и в дальнейшем По норме (2.1) пространство $C{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$ полно и вложено в $C$ (см., например, [11]).

Обозначим через ${{C}^{{(p)}}} \equiv {{C}^{{(p)}}}(I)$ векторное пространство $p$ раз непрерывно дифференцируемых на $I$ функций и наделим его нормой

где $Dz \equiv {{z}^{{(p)}}}(t) \in C$.

Лемма 2.1 (см. [12]). Пространство ${{C}^{{(p)}}}$ с нормой (2.2) полно и вложено в $C$.

Замечание 1. Традиционная норма в ${{C}^{{(p)}}}$ и (2.2) эквивалентны, т.е. для $\forall z \in {{C}^{{(p)}}}$ $\exists d \geqslant 1:{{\left\| z \right\|}_{{(p)}}} \leqslant {{\left\| z \right\|}_{{{{C}^{{(p)}}}}}} \leqslant d{{\left\| z \right\|}_{{(p)}}}$, где ${{\left\| z \right\|}_{{{{C}^{{(p)}}}}}} \equiv \sum\limits_{i = 0}^p {{{{\left\| {{{z}^{{(i)}}}} \right\|}}_{C}}} $.

Введем теперь основное в наших исследованиях пространство:

В качестве нормы в нем выберем величину

Лемма 2.2. 1) относительно структуры основных функций справедливо соотношение

2) по норме (2.3) пространство $Y$ полно и вложено в $C{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$.

Данная лемма доказывается аналогично лемме 2 в [6]. При этом роль пространства $C{\text{\{ }}m;0{\text{\} }}$ и его “характеристического” оператора играют соответственно $C{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$ и оператор $T$.

Критерий компактности множеств в пространстве $Y$ устанавливает

Лемма 2.3. Множество $M \subset Y$ относительно компактно в $Y$ тогда и только тогда, когда: i) $M$ ограничено; ii) семейство $DT(M)$ непрерывных на $I$ функций равностепенно непрерывно.

Доказательство проводится так же, как и доказательство теоремы 1.2.2 (см. [3; гл. 1, § 2]). Отличие заключается в том, что роль пространства $C{\text{\{ }}m;0{\text{\} }}$ и оператора $T$, фигурирующих в теореме 1.2.2, играют $Y$ и $DT$ соответственно.

3. О ПРОСТРАНСТВЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

На основном пространстве $Y$ образуем семейство $X \equiv {{D}^{{(p)}}}{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$ обобщенных функций $x(t)$ вида

где $t \in I$, $z \in {{C}^{{(p)}}}$, ${{\gamma }_{{ji}}} \in \mathbb{R}$ – произвольные постоянные, а $\delta $ и ${{\delta }^{{{\text{\{ }}i{\text{\} }}}}}$ – соответственно дельта-функция Дирака и ее “тейлоровские” производные, определенные на пространстве $Y$ основных функций по следующему правилу: Ясно, что векторное пространство $X$ относительно нормы является банаховым.

Лемма 3.1. Для любых $x \in X$ и $y \in Y$ имеет место неравенство $\left| {(x,y)} \right| \leqslant {{d}_{1}}{{\left\| x \right\|}_{X}}{{\left\| y \right\|}_{Y}}$ (здесь и далее ${{d}_{i}}$, $i = \overline {1,\;10} $ – определенные константы, не зависящие от натурального параметра $n$).

Утверждение леммы 3.1 легко следует из выкладки на основе последовательного использования (3.1), (2.1), лемм 2.1 и 2.2 и (3.3).

Замечание 2. Элементы $x(t)$ пространства $X$ являются линейными непрерывными функционалами (т.е. обобщенными функциями), заданными на пространстве $Y$ основных функций.

Замечание 3. Пространства $X$ и $Y$ взаимно союзны.

Пусть ${{\Pi }_{l}} \equiv {\text{span\{ }}{{t}^{i}}{\text{\} }}_{0}^{l}$ – класс всех алгебраических полиномов степени не выше $l$. Пусть

есть $(n + \mu + p)$ – мерное подпространство пространства $X$. Согласно формуле (3.3), введем величину Наилучшее приближение (3.4) в метрике пространства $X$ просто выражается через наилучшее равномерное приближение, а именно верна следующая

Лемма 3.2. Для любого элемента $x \in X$ справедливо равенство

где ${{E}_{l}}(g)$ – наилучшее равномерное приближение функции $g \in C$ полиномами из ${{\Pi }_{l}}\quad (l \geqslant 0).$

Доказательство проводится по схеме доказательства теоремы 1.5.14 (см. [3; гл. 1, § 5]).

4. О “СПЛАЙНОВОМ” ПРИБЛИЖЕНИИ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим вопрос о приближении элементов основного пространства $Y \equiv {{C}^{{(p)}}}{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$ с использованием кубических сплайнов.

Зададим на $I$ равномерную сетку

где ${{s}_{k}} \equiv - 1 + 2k{\text{/}}n$, $k = \overline {0,\;n} $, и на ней рассмотрим кубический сплайн удовлетворяющий краевым условиям Здесь базисные функции ${{B}_{i}}(t)$ суть $B$-сплайны с носителем $({{s}_{{i - 2}}},{{s}_{{i + 2}}})$ (см., например, [13; гл. 3, § 8]). Для определения всех функций ${{B}_{i}}(t)$ сетку (4.1) дополним равномерно расположенными узлами: ${{s}_{{ - 3}}} < {{s}_{{ - 2}}} < {{s}_{{ - 1}}} < {{s}_{0}} \equiv - 1,\;1 \equiv {{s}_{n}} < {{s}_{{n + 1}}} < {{s}_{{n + 2}}} < {{s}_{{n + 3}}}$. Обозначим через $S_{n}^{3}$ пространство всех кубических сплайнов ${{z}_{n}}(t)$ на сетке ${{\Delta }_{n}}$, обладающих свойством (4.2), с нормой ${{\left\| {{{z}_{n}}} \right\|}_{C}}$. Далее, пусть ${{P}_{n}}:C \to S_{n}^{3}$ означает оператор, который всякой функции $f \in C$ ставит в соответствие ее интерполяционный кубический сплайн ${{P}_{n}}f \in S_{n}^{3}$ с условием (4.2) такой, что $({{P}_{n}}f)({{s}_{i}}) = f({{s}_{i}}),i = \overline {{\text{0}},n} $. В книге [13; гл. 3, § 1, теорема 3.1] доказаны существование и единственность интерполяционного кубического сплайна при различных краевых условиях и указан алгоритм построения таких сплайнов. Там же (см. гл. 3, § 5) особо отмечается, что при приближении кубическими сплайнами выбор краевых условий (4.2) является наиболее удачным.

Из теорем 9, 10 и 13 в [14; гл. 2, § 4] как следствие вытекает

Лемма 4.1. Пусть $r = \overline {1,3} $ и $f \in {{C}^{{(r)}}} \equiv {{C}^{{(r)}}}(I).$ Тогда

Обозначим через ${{Y}_{n}} \equiv {\text{span\{ }}UJ{{B}_{i}}{\text{\} }}_{{ - 1}}^{{n + 1}} \oplus {{\Pi }_{{\mu + p - 1}}}$ $(n + \mu + p + 3)$ – мерное подпространство пространства $Y$ и введем в рассмотрение следующий оператор: ${{\Gamma }_{n}} \equiv {{\Gamma }_{{n + \mu + p + 3}}}:Y \to {{Y}_{n}}$, относящий к любой функции $y \in Y$ “обобщенный сплайн” ${{\Gamma }_{n}}y \in {{Y}_{n}}$, определяемый условиями

Рассуждая так же, как и в [3; гл. 1, § 5, п. 5.3], несложно получить представление

Лемма 4.2. ${{\Gamma }_{n}}$ – проектор в пространстве $Y$.

Данное свойство сразу следует из (4.4), $P_{n}^{2} = {{P}_{n}}$ и леммы 1.5.1 (см. [3; гл. 1, § 5]).

Далее будем использовать следующее обозначение:

где $r = 0,\;1,\;2,\; \ldots $; причем $Y{{C}^{{(0)}}} \equiv Y.$

Следующее утверждение характеризует скорость сходимости “обобщенных” интерполяционных сплайнов к интерполируемой функции.

Лемма 4.3. Если $y \in Y{{C}^{{(r)}}}$, $r = \overline {1,3} $, то

Доказательство. В силу (2.4), (4.4), (2.3), (2.2) и леммы 4.1 последовательно находим

Замечание 4. Очевидно, что из оценки (4.5) и хорошо известной теоремы Банаха–Штейнгауза следует равномерная ограниченность норм операторов ${{\Gamma }_{n}}$: $\left\| {{{\Gamma }_{n}}} \right\| = O(1)$, $n \to \infty $.

5. ФРЕДГОЛЬМОВОСТЬ ИДУТР

Пусть задано исследуемое ИДУТР

в котором $y \in Y$, ${{K}_{l}}$, $l = \overline {0,p} $ – известные функции, удовлетворяющие следующим условиям: а $x \in X$ – искомая обобщенная функция.

Теорема 1. В условиях (5.2) оператор $A:X \to Y$ фредгольмов.

Доказательство. Предварительно исследуем уравнение $Ux = y$. Обобщая соответствующие рассуждения работы [3; гл. 2, § 2] получаем, что оператор $U:X \to Y$ нетеров с нулевым индексом: ${\text{ind}}U = 0$.

Покажем теперь полную непрерывность оператора $K$ из $X$ в $Y$.

Прежде заметим, что согласно определению производной обобщенной функции и (3.2) имеет место правило

В силу (5.1), (3.1) и (5.3) имеем

Теперь с учетом (5.4) и (5.2) видно, что $Kx \in Y(x \in X)$ и ${{\left\| {Kx} \right\|}_{Y}} \leqslant {{d}_{2}}{{\left\| x \right\|}_{X}}$, т.е. $K$ действует из $X$ в $Y$ ограниченно.

Пусть $L \equiv {\text{\{ }}x{\text{\} }} \subset X$ – произвольное ограниченное множество: $\left\| x \right\| \leqslant r$  $\forall x \in L$. Тогда очевидно, что множество $M \equiv K(L) \subset Y$ также ограничено.

Покажем, что для $M$ выполняется и условие ii) леммы 2.3. Предварительно заметим следующее. Так как функции ${{h}_{l}} \equiv {{D}_{t}}{{T}_{t}}{{K}_{l}}$ и ${{g}_{{lji}}} \equiv DT{{\theta }_{{lji}}}$, $l = \overline {0,p} $, $i = \overline {0,{{m}_{j}} - 1} $, $j = \overline {1,q} $, равномерно непрерывны на компактах ${{I}^{2}}$ и $I$ соответственно, то для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta = \delta (\varepsilon ) > 0$ такое, что одновременно выполняются соотношения

как только $\left| {{{\tau }_{1}} - {{\tau }_{2}}} \right| < \delta $, $\left| {{{s}_{1}} - {{s}_{2}}} \right| < \delta $, ${{\tau }_{i}},{{s}_{i}} \in I$, $i = \overline {1,2} $. Здесь $\eta \equiv max{\text{\{ }}2d,p + 1{\text{\} }}$.

Пусть теперь $y \in M$ – произвольный элемент, т.е. $y = Kx$, $x \in L$. С учетом (5.4), (5.5), замечания 1 и (3.3) последовательно находим, что

коль скоро $\left| {{{\tau }_{1}} - {{\tau }_{2}}} \right| < \delta $, ${{\tau }_{1}},{{\tau }_{2}} \in I$. Следовательно, оператор $K \in L(X,Y)$, переводящий произвольное ограниченное множество $L \subset X$ в относительно компактное в $Y$ множество $M \equiv K(L)$, вполне непрерывен. А тогда утверждение доказываемой теоремы непосредственно следует из того, что возмущение нетерова оператора вполне непрерывным сохраняет нетеровость и не меняет его индекса.

6. НЕПРЕРЫВНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА III РОДА

Рассмотрим ИДУТР (5.1), в котором ядра ${{K}_{l}}$, $l = \overline {0,p} $, подчинены условиям (5.2), $y \in Y$, а $x \in X$ – искомая обобщенная функция вида (3.1). С учетом (3.1) и (5.4) преобразуем уравнение (5.1) к виду

Наша задача заключается в нахождении функции $z \in {{C}^{{(p)}}}$ и произвольных постоянных ${{\beta }_{{ji}}}$.

Лемма 6.1. Если ${{K}_{l}}$ (по $t$) и $y \in Y$, ${{\varphi }_{{lji}}} \in C(\forall l,i,j)$, то ИДУТР (5.1) $(A:{{C}^{{(p)}}} \to Y)$ эквивалентно уравнению Фредгольма II рода в ${{C}^{{(p)}}}$

и соотношениям

Доказательство. В силу (2.4) очевидно, что для любой функции $g \in Y$ имеет место правило

Теперь, взяв в (6.2) в качестве $g \in Y$ функцию $g \equiv Ax - y \in Y$, $x \in {{C}^{{(p)}}}$, $y \in Y$, убеждаемся в справедливости утверждения леммы.

Из этой леммы следует, что уравнение (6.1) равносильно уравнению II рода

в пространстве ${{C}^{{(p)}}}$ и соотношениям

Пусть $\lambda = - 1$ не является собственным значением уравнения (6.3) и $R$ – его разрешающий оператор. Тогда

есть единственное гладкое решение уравнения (6.3), которое будет решением исходного уравнения (6.1), если в силу (6.4) постоянные ${{\beta }_{{ji}}}$ удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) где $Q \equiv E - KRT$ отображает $Y$ в $Y$, $E$ – единичный оператор в $Y$.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

a) ядра ${{K}_{l}}$, $l = \overline {0,p} $, удовлетворяет требованиям (5.2), а $y \in Y$;

б) однородное уравнение II рода, соответствующее уравнению (6.3), имеет в ${{C}^{{(p)}}}$ лишь нулевое решение;

в) определитель СЛАУ (6.5) отличен от нуля.

Тогда для любой правой части $y \in Y$ ИДУТР (5.1) допускает единственное обобщенное решение $x* \in X$, которое представляется формулой

где ${\text{\{ }}\beta _{{ji}}^{ * }{\text{\} }}$ – единственное решение СЛАУ (6.5).

Замечание 5. В условиях теоремы 2 интегродифференциальный оператор $A:X \to Y$, определенный равенством (5.1), непрерывно обратим.

7. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ СО СТАНДАРТНЫМИ ПОЛИНОМАМИ (ОМКСП)

Пусть задано ИДУТР (5.1), в котором ядра ${{K}_{l}}$, $l = \overline {0,p} $, обладают свойствами (5.2), $y \in Y$, а $x \in X$ – искомая обобщенная функция. Его приближенное решение образуем в виде

где $M(l) \equiv \sum\nolimits_{i = 1}^l {{{m}_{i}}} $, $l = 0,\;1,\; \ldots ,\;q$, $M(0) \equiv 0$, $M(q) = \mu $. Набор ${\text{\{ }}{{c}_{k}}{\text{\} }}_{0}^{{n + \mu + p - 1}}$ неизвестных параметров найдем, согласно ОМКСП, из СЛАУ где ${{\eta }_{n}}(t) \equiv \eta _{n}^{A}(t) \equiv (A{{x}_{n}} - y)(t)$ – невязка приближенного решения, а ${\text{\{ }}{{\nu }_{l}}{\text{\} }}_{1}^{n} \subset I$ – система узлов Чебышёва I (или II) рода.

Прежде чем перейти к теоретическому обоснованию предложенного метода (7.1), (7.2), примем следующие полезные при оформлении результатов соглашения. Во-первых, стандартное утверждение “при всех $n \in \mathbb{N}$, $n \geqslant {{n}_{0}}$ СЛАУ (7.2) имеет единственное решение ${\text{\{ }}c_{k}^{ * }{\text{\} }}$ и последовательность приближенных решений $x_{n}^{ * } \equiv {{x}_{n}}(t;{\text{\{ }}c_{k}^{ * }{\text{\} }})$ сходится к точному решению $x{\kern 1pt} * = {{A}^{{ - 1}}}y$ уравнения (5.1) по норме пространства $X$” заменим простой фразой “метод (7.1), (7.2) обоснованно применим к уравнению (5.1)”. Во-вторых, для погрешности приближенного решения введем специальное обозначение $\Delta x_{n}^{ * } \equiv {{\left\| {x_{n}^{ * } - x{\text{*}}} \right\|}_{X}}$; оценка такой величины определяет скорость сходимости приближенных решений $x_{n}^{ * }$ к точному решению $x{\kern 1pt} *$ уравнения (5.1).

Для вычислительного алгоритма (5.1), (7.1), (7.2) справедлива

Теорема 3. Если однородное ИДУТР $Ax = 0$ имеет в $X$ лишь нулевое решение (например, в условиях теоремы 2), а функции ${{h}_{l}} \equiv {{D}_{t}}{{T}_{t}}{{K}_{l}}$ (по t), ${{g}_{{lji}}} \equiv DT{{\theta }_{{lji}}}$, $l = \overline {0,p} $, $i = \overline {0,{{m}_{j}} - 1} $, $j = \overline {1,q} $, и $DTy$ принадлежат классу Дини–Липшица, то метод (7.1), (7.2) обоснованно применим к уравнению (5.1) и при этом

где $E_{k}^{t}(\, \cdot \,)$ означает функционал ${{E}_{k}}(\, \cdot \,)$, примененный по $t$.

Доказательство. ИДУТР (5.1) равносильно линейному операторному уравнению вида

где оператор $A:X \to Y$ непрерывно обратим.

Соответствующие конечномерные подпространства выберем следующим образом:

Далее введем линейный оператор ${{L}_{n}} \equiv {{L}_{{n + \mu + p}}}:Y \to {{Y}_{n}}$ по правилу где ${{Q}_{n}}:C \to {{\Pi }_{{n - 1}}}$ – обычный оператор Лагранжа по системе узлов ${\text{\{ }}{{\nu }_{l}}{\text{\} }}_{1}^{n}$. Тогда система (7.1), (7.2) эквивалентна следующему линейному уравнению: В этом нетрудно убедиться, проведя соответствующие рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 4 (см. [15]).

Таким образом, для получения утверждений теоремы 3 достаточно доказать существование, единственность и сходимость решений уравнений (7.6).

В дальнейшем нам понадобится

Лемма 7.1. Оператор ${{L}_{n}}$ обладает следующими свойствами: a) $L_{n}^{2} = {{L}_{n}}$; б) ${{\left\| {y - {{L}_{n}}y} \right\|}_{Y}} \leqslant {{d}_{3}}{{E}_{{n - 1}}}(DTy)lnn$ ${{\left\| {y - {{L}_{n}}y} \right\|}_{Y}} \leqslant {{d}_{3}}{{E}_{{n - 1}}}(DTy)lnn$, $y \in Y$; в) $\left\| {{{L}_{n}}} \right\| \equiv {{\left\| {{{L}_{n}}} \right\|}_{{Y \to Y}}} \asymp lnn$, $n = 2,\;3,\; \ldots $, где символ $ \asymp $ означает, как обычно, слабую эквивалентность.

Данная лемма является естественным обобщением теоремы 4 [6] и ее доказательство проводится по схеме обоснования упомянутой теоремы. При этом роль пространства $C{\text{\{ }}m;0{\text{\} }}$, полиномиальных операторов $P_{n}^{0}$ и $\Gamma _{n}^{0}$, участвующих в теореме 4, играют пространство $C{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$, операторы ${{Q}_{n}}$ и ${{L}_{n}}$ соответственно.

Обсудим теперь вопрос близости операторов $A$ и ${{A}_{n}}$ на подпространстве ${{X}_{n}}$. В силу (7.4), (7.6) и леммы 7.1 для любого ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$ последовательно находим, что

На основании (5.4), (5.2) и (7.1) имеем

Следовательно,

Теперь с целью приближения функции $DTK{{x}_{n}} \in C$ посредством полиномов построим следующий агрегат:

где $h_{{n - 1}}^{l}$ и $g_{{n - 1}}^{{lji}}$ – полиномы степени $n - 1$ наилучшего равномерного приближения для ${{h}_{l}}$ (по $t$) и ${{g}_{{lji}}}$ соответственно. По виду (7.9) ясно, что ${{B}_{{n - 1}}}{{x}_{n}} \in {{\Pi }_{{n - 1}}}$.

В силу (7.8), (7.9), замечания 1 и (3.3) последовательно имеем

где ${{d}_{4}} \equiv 2d$, $d \geqslant 1$. Из (7.7) и (7.10) следует, что Тогда на основании (7.11) и леммы 7.1 (см. п. b)) из теоремы 7 (см. [9; гл. 1, § 4]) получаем утверждение теоремы 3 с оценкой (7.3).

Замечание 6. Если ${{h}_{l}}$ (по $t$), ${{g}_{{lji}}},DTy \in H_{\alpha }^{r}(S),$ то в условиях теоремы 3 верна оценка

где $H_{\alpha }^{r}(S) \equiv \{ f \in {{C}^{{(r)}}}(I)\,|\,\omega ({{f}^{{(r)}}};\Delta ) \leqslant S{{\Delta }^{\alpha }},S = {\text{const}} > 0\} $, а $\omega (f;\Delta )$ – модуль непрерывности функции $f \in C$ с шагом $\Delta $, $0 < \Delta \leqslant 2$.

Для приложений может оказаться полезной

Теорема 4. Пусть ИДУТР (5.1) имеет решение $x{\text{*}}$ вида (3.1) при данной правой части $y \in Y$ и аппроксимирующий оператор ${{A}_{n}} \equiv {{L}_{n}}A$ непрерывно обратим. Тогда погрешность приближенного решения $x_{n}^{ * } = A_{n}^{{ - 1}}{{L}_{n}}y$ представляется в виде $\Delta x_{n}^{ * } = O{\text{\{ }}{{E}_{{n - 1}}}(DTUx*)lnn{\text{\} }}$.

Доказательство легко следует из теоремы 6 (см. [9; гл. 1, § 3]) с учетом лемм 7.1 и 3.2.

8. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ С КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ (ОМККС)

Приближенное решение задачи (5.1), (5.2) построим в виде агрегата

где а ${{z}_{n}}(t) \equiv \sum\nolimits_{i = - 1}^{n + 1} {{{c}_{i}}} {{B}_{i}}(t)$ – кубический сплайн, рассмотренный выше в разд. 4. Неизвестные коэффициенты ${{c}_{k}} = c_{k}^{{(n)}}$, $k = \overline { - 1,n + \mu + p + 1} $, найдем, согласно нашему методу, из СЛАУ $(n + \mu + p + 3)$-го порядка где, как и выше, ${{\eta }_{n}} \equiv A{{x}_{n}} - y$ – невязка приближенного решения, а ${\text{\{ }}{{s}_{l}}{\text{\} }}_{0}^{n}$ – использованная ранее система узлов коллокации, порождающая сетку (4.1).

Обоснование вычислительного алгоритма (5.1), (5.2), (8.1)–(8.3) дается в следующем утверждении.

Теорема 5. Пусть ИДУТР $Ax = 0$ имеет в $X$ лишь нулевое решение и функции ${{K}_{l}}$ (по t), ${{\theta }_{{lji}}}$, $l = \overline {0,p} $, $i = \overline {0,{{m}_{j}} - 1} $, $j = \overline {1,q} $, $y \in Y{{C}^{{(r)}}}$, $r = \overline {1,3} $. Тогда метод (8.1)–(8.3) обоснованно применим к уравнению (5.1), причем

Доказательство. Конечномерные подпространства основных пространств построим следующим образом:

Тогда, следуя рассуждениям при доказательстве теоремы 4.3.1 (см. [3; гл. 4, § 3]), несложно показать, что вычислительная схема (8.1), (8.3) ОМККС равносильна линейному операторному уравнению где ${{\Gamma }_{n}}:Y \to {{Y}_{n}}$ – “сплайновый” оператор, подробно изученный в разд. 4.

Уточним структуру аппроксимирующего уравнения (8.5). Поскольку в силу леммы 4.2 $\Gamma _{n}^{2} = {{\Gamma }_{n}}$, имеем ${{\Gamma }_{n}}U{{x}_{n}} = U{{x}_{n}} \in {{Y}_{n}}$ при любом элементе ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$. Следовательно, система (8.1), (8.3) эквивалентна уравнению вида

Далее покажем близость операторов $A$ и ${{A}_{n}}$ на ${{X}_{n}}$. Используя уравнения (7.4) и (8.6), представления (2.4) и (4.4), а также нормы (2.3) и (2.2), для произвольного элемента ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$ находим, что

На основании (7.8) и (8.1) имеем

В силу (8.8), (4.3), замечания 1 и определения (3.3) последовательно выводим следующую аппроксимативную оценку:

где ${{d}_{8}} \equiv {{d}_{6}}{{d}_{7}}$, а ${{d}_{7}} \equiv max{\text{\{ }}2d,p + 1{\text{\} }}$.

Из равенства (8.7) и оценки (8.9) следует, что

Тогда, благодаря неравенствам (8.10) и (4.5), из теоремы 7 (см. [9; гл. 1, § 4]) следует утверждение теоремы 5 с оценкой (8.4). Требуемое доказано.

В дальнейшем при оптимизации прямых проекционных методов решения ИДУТР (1.1) существенную роль будет играть

Теорема 6. Пусть ИДУТР (1.1) имеет решение вида

при данном $y \in Y$ и соответствующий аппроксимирующий оператор ${{A}_{n}}$ в ОМККС непрерывно обратим. Тогда погрешность приближенного решения $x_{n}^{ * } \in {{X}_{n}}$ для правой части ${{\Gamma }_{n}}y \in {{Y}_{n}}$ представима в виде

Доказательство. В силу теоремы 6 (см. [9; гл. 1, § 3]) и структуры приближенного уравнения (8.6) имеем

где ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$ – пока произвольный элемент. Выберем его в виде Тогда требуемая оценка (8.12) следует из (8.13), (8.11), (8.14), (3.3), леммы 4.1 с учетом замечания 4:

9. К ОПТИМИЗАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ИДУТР

Предварительно приведем необходимые определения и постановку задачи. Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, а ${{X}_{n}}$ и ${{Y}_{n}}$ – их соответствующие произвольные подпространства одинаковой размерности $N = N(n) < + \infty $, $n \in \mathbb{N}$, причем $N \to \infty $, $n \to \infty $. Обозначим через ${{\Lambda }_{n}} \equiv {\text{\{ }}{{\lambda }_{n}}{\text{\} }}$ некоторое множество линейных операторов ${{\lambda }_{n}}$, отображающих $Y$ на ${{Y}_{n}}$. Далее рассмотрим два класса однозначно разрешимых линейных операторных уравнений

и соответственно. Пусть $x* \in X$ и $x_{n}^{ * } \in {{X}_{n}}$ – решения уравнений (9.1) и (9.2) соответственно, а $F \equiv {\text{\{ }}f{\text{\} }}$ – класс коэффициентов (т.е. исходных данных) уравнения (9.1), порождающий класс $X* \equiv {\text{\{ }}x*{\text{\} }}$ искомых элементов.

Следуя работе [9; гл. 2, § 1], величину

где назовем оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов $({{\lambda }_{n}} \in {{\Lambda }_{n}})$ решения уравнения (9.1) на классе $F$.

Определение 1 (см. $[$9, гл. 2, § 1$]$). Пусть существуют подпространства $X_{n}^{0} \subset X$, $Y_{n}^{0} \subset Y$ размерности $N = N(n) < + \infty $ и операторы $\lambda _{n}^{0}:Y \to Y_{n}^{0}$, $\lambda _{n}^{0} \in {{\Lambda }_{n}}$, при которых выполняется условие

Тогда метод (9.1), (9.2) при ${{X}_{n}} = X_{n}^{0}$, ${{Y}_{n}} = Y_{n}^{0}$ и ${{\lambda }_{n}} = \lambda _{n}^{0}$ называется оптимальным по порядку точности на классе $F$ среди всех прямых проекционных методов ${{\lambda }_{n}}$(${{\lambda }_{n}} \in {{\Lambda }_{n}}$) решения уравнений (9.1).

Рассмотрим теперь оптимизацию на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно ${{K}_{l}}$, $l = \overline {0,p} $), ИДУТР (1.1) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству $Y{{C}^{{(r)}}}$, т.е. при ${{K}_{l}}$ (по $t$), ${{\theta }_{{lji}}}$, $l = \overline {0,p} $, $i = \overline {0,{{m}_{j}} - 1} $, $j = \overline {1,q} $, $y \in Y{{C}^{{(r)}}}$, $r = \overline {1,\;3} $. Тогда в силу теоремы 2 имеем

где $X{{C}^{{(r)}}} \equiv \{ x \in X\,|\,DTUx \in {{C}^{{(r)}}}\} $.

Далее пусть

а $\Lambda _{n}^{0} \equiv {\text{\{ }}{{\lambda }_{n}}{\text{\} }}$ – семейство всех линейных операторов  ${{\lambda }_{n}}:Y \to Y_{n}^{0}$.

Теорема 7. Пусть $F = Y{{C}^{{(r)}}}$, ${{\Lambda }_{n}} = \Lambda _{n}^{0}$. Тогда

и этот оптимальный порядок реализует ОМККС.

Доказательство. Заметим, что из определения N-го колмогоровского поперечника ${{d}_{N}}(L,X)$ множества $L$ в нормированном пространстве $X \equiv {{D}^{{(p)}}}{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$ (см., например, [16; гл. 1, § 1]) и леммы 3.2 следует равенство

откуда, с учетом ${{d}_{l}}({{C}^{{(r)}}},C) \asymp {{l}^{{ - r}}}(l \in \mathbb{N})$ (см., например, [16; гл. 3, § 3]), вытекает слабая эквивалентность

Далее, известно (см. [9; гл. 4, § 2]), что ${{V}_{N}}(F) \geqslant {{d}_{N}}(X*,X)$. Следовательно, из (9.6) следует, что

С другой стороны, согласно (9.3) и теореме 6 находим оценку

Отсюда и из соотношений (9.7), (9.4) получаем утверждение теоремы 7 с оценкой (9.5). Требуемое доказано.

10. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Замечание 7. В силу определения нормы в $X \equiv {{D}^{{(p)}}}{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$ нетрудно заметить, что из сходимости последовательности $(x_{n}^{ * })$ приближенных решений к точному решению $x* = {{A}^{{ - 1}}}y$ в метрике $X$ следует обычная сходимость в пространстве обобщенных функций, т.е. слабая сходимость.

Замечание 8. При приближении решений операторных уравнений $Ax = y$ возникает естественный вопрос о скорости сходимости невязки $\eta _{n}^{ * }(t) \equiv (Ax_{n}^{ * } - y)(t)$ исследуемого метода. Один из результатов в этом направлении легко получить из теоремы 5, а именно, из нее вытекает простое следствие: если исходные данные уравнения (1.1) принадлежат классу $Y{{C}^{{(r)}}}$, $r = \overline {1,\;3} $, то в условиях теоремы 5 справедлива оценка ${{\left\| {\eta _{n}^{ * }} \right\|}_{Y}} = O({{n}^{{ - r}}})$, $r = \overline {1,\;3} $.

Замечание 9. Поскольку ${{C}^{{(0)}}}{\text{\{ }}\bar {0};\bar {\tau }{\text{\} }} \equiv C \equiv {{D}^{{(0)}}}{\text{\{ }}\bar {o};\bar {\tau }{\text{\} }}$, при ${{m}_{j}} = 0$, $j = \overline {1,q} $ и $p = 0$ ИДУТР (1.1) преобразуется в интегральное уравнение II рода в $C$, а предложенный метод (8.1)–(8.3) – в соответствующий вариант метода коллокации с кубическими сплайнами для уравнения II рода, причем $DTy \equiv y$, ${{h}_{0}} \equiv {{K}_{0}}$. Поэтому теорема 5 содержит в себе соответствующие результаты по обоснованию данного варианта метода коллокации для приближенного решения уравнений II рода в классе $C$, при этом погрешность характеризуется неравенством ${{\left\| {x_{n}^{ * } - x{\kern 1pt} *} \right\|}_{C}} = O({{n}^{{ - r}}})$, $r = \overline {1,\;3} $.

Замечание 10. Следуя рассуждениям в доказательстве теоремы 4.5.1 (см. [3; гл. 4, § 5]), можно установить тот факт, что метод (7.1), (7.2) оптимален по порядку точности на некотром классе $F$, порожденном известным классом $H_{\omega }^{r}$, среди всех “полиномиальных” проекционных методов решения уравнения (1.1) в пространстве $X \equiv {{D}^{{(p)}}}{\text{\{ }}\bar {m};\bar {\tau }{\text{\} }}$.

Замечание 11. Так как в условиях теорем 3 и 5 соответствующие аппроксимирующие операторы ${{A}_{n}}$ обладают свойством вида

то (см. [9; гл. 1, § 5]) очевидно, что предложенные в настоящей работе прямые методы для ИДУТР (1.1) устойчивы относительно малых возмущений исходных данных. Это позволяет найти численное решение исследуемых уравнений на ЭВМ с любой наперед заданной степенью точности. Более того, если ИДУТР (1.1) хорошо обусловлено, то хорошо обусловленными являются также СЛАУ (7.2) и (8.3).