Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 11, стр. 1985-1997

1. ВВЕДЕНИЕ

Нелинейное нестационарное уравнение типа Шрёдингера с комплекснозначными коэффициентами встречается в нелинейной оптике, наноисследованиях, изучении процессов в квантовых волноводах и в других областях современной практики. Рассмотренное ниже уравнение является обобщением известного уравнения Шрёдингера в квантовой механике. Комплексные коэффициенты являются показателями преломления и поглощения среды. При математическом моделировании квантовых явлений они оказываются неизвестными функциями и подлежат определению (см. [1]–[4]).

Определение потенциала взаимодействия частиц всегда было одной из основных проблем квантовой механики. Исторически простой подход к решению этой проблемы состоял в интуитивном и полуэмпирическом выборе потенциала в виде некоторой функции с неизвестными параметрами в ее выражении. Определение этих неизвестных параметров проводилось на основе дополнительных наблюдений изучаемых процессов. По сей день в атомистическо-молекулярных компьютерных вычислениях используются разные формы потенциалов взаимодействия. Потенциалы Кулона, “пара взаимодействия” Морса и ближнего взаимодействия Ван-дер-Ваальса являются часто используемыми в практике для этой цели потенциалами. Во всех случаях определения квантовых потенциалов преобладают вариационные методы.

Определение квантовых потенциалов относится к классу обратных и некорректных задач математической физики (см. [1]–[4], [5]–[9]). Ниже приведен пример неустойчивости решения изучаемых задач. Ввиду неустойчивости решения обратных задач, начиная с 60-х годов прошлого столетия, для их решения были созданы и развиты методы регуляризации (см. [5]–[9]).

Данная работа посвящена изучению разрешимости вариационной постановки задачи об одновременном определении неизвестных комплекснозначных коэффициентов младшего и нелинейного членов нестационарного уравнения типа Шрёдингера в классе измеримых ограниченных функций действительной и мнимой части этих коэффициентов, а также указан устойчивый итеративный алгоритм для их нахождения. Задача определения неизвестных коэффициентов уравнения Шрёдингера ранее была предметом изучения в ряде работ (см. [1]–[4] и библиографию там). Весьма мало исследованы задачи об определении нескольких неизвестных коэффициентов, особенно комплекснозначных, а также задачи об определении коэффициентов нелинейных слагаемых уравнений типа Шрёдингера. Решения названных задач связаны с рядом трудностей. Ниже к этим задачам применяются более тонкие априорные оценки, полученные в работах [2], [3] для уравнений типа Шрёдингера.

Вариационная формулировка рассматриваемой задачи, которая исследуется в данной работе, дает возможность не только теоретически обосновать ее разрешимость, но и указать итеративные методы определения неизвестных коэффициентов уравнения. В работе выводится формула для градиента критерия качества, а также доказывается необходимое условие, которое положено в основу итерационных методов устойчивого приближенного решения исходной задачи. В работе [9] на примере систем алгебраических уравнений показано влияние разрешимости задачи на порядок сходимости приближенных решений. Поэтому условия разрешимости и обоснование вычислительных алгоритмов решения взаимосвязаны. В данной работе вариационные методы применены не только для изучения вопросов разрешимости, но и для разработки устойчивых вычислительных алгоритмов решения (см. [3], [5], [7]–[11]).

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $l > 0$, $T > 0$ – заданные числа, $0 \leqslant x \leqslant l$, $0 \leqslant t \leqslant T$, ${{\Omega }_{t}} = \left( {0,l} \right) \times \left( {0,t} \right)$, $\Omega = {{\Omega }_{T}}$; ${{L}_{p}}\left( {0,l} \right)$ – лебегово пространство измеримых на $\left( {0,l} \right)$ функций, суммируемых со степенью $p \geqslant 1$; ${{C}^{k}}\left( {\left[ {0,T} \right],B} \right)$ – банахово пространство, состоящее из всех определенных и $k$ ($k \geqslant 0$) раз непрерывно дифференцируемых на $\left[ {0,T} \right]$ функций со значениями в банаховом пространстве $B;$ $W_{p}^{k}\left( {0,l} \right)$, $W_{p}^{{k,m}}\left( \Omega \right)$ – соболевские пространства функций с обобщенными производными порядка $k$ по переменной $x$, при $0 \leqslant x \leqslant l$ и с обобщенными производными порядка к, $m \geqslant 0$ по переменным х, $t,$ соответственно, суммируемыми со степенью $p \geqslant 1$, – подпространство пространства $W_{2}^{1}\left( {0,l} \right)$, элементы которого обращаются в нуль на концах отрезка $\left[ {0,l} \right]$, ; символ $\mathop \forall \limits^0 $ означает, что данное свойство имеет место для почти всех значений переменной величины. Ниже всюду положительные постоянные, не зависящие от оцениваемых величин, обозначим через ${{c}_{j}}$, $j = 0,\;1,\;2,\; \ldots $, и комплексное сопряжение обозначим чертой над функцией.

Рассмотрим следующее нелинейное нестационарное уравнение типа Шрёдингера:

где $i$ – мнимая единица, $\rho \left( x \right)$, ${{a}_{0}}\left( x \right)$, $a\left( x \right)$ – заданные вещественнозначные измеримые ограниченные функции, удовлетворяющие условиям $f\left( {x,t} \right)$ = $f \in W_{2}^{{0,1}}\left( \Omega \right)$ – заданная комплекснозначная измеримая функция, ${{{v}}_{0}}\left( x \right)$, ${{{v}}_{1}}\left( x \right)$ – неизвестные комплекснозначные коэффициенты уравнения (1).

Пусть для уравнения (1) заданы следующие начальное и краевые условия:

где $\varphi \left( x \right)$ = – комплекснозначная измеримая функция. Рассматриваемая задача заключается в определении неизвестных комплекснозначных коэффициентов ${{{v}}_{0}}\left( x \right)$, ${{{v}}_{1}}\left( x \right)$ уравнения (1) на основе условий (2)–(4) и дополнительного условия, заданного в виде финального наблюдения: где $y = y\left( x \right)$ – заданная комплекснозначная функция из ${{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$.

Займемся вариационной формулировкой этой задачи. Функцию ${v} = {v}(x) = \left( {{{{v}}_{0}}(x),{{{v}}_{1}}(x)} \right)$ представим  в    виде    вектор-функции   с   четырьмя   вещественнозначными компонентами: ${v} = {v}\left( x \right) = \left( {{{{v}}_{{01}}}\left( x \right),{{{v}}_{{02}}}\left( x \right),{{{v}}_{{11}}}\left( x \right),{{{v}}_{{12}}}\left( x \right)} \right)$, ${{{v}}_{{m1}}}\left( x \right) = \operatorname{Re} {{{v}}_{m}}\left( x \right)$, ${{{v}}_{{m2}}}\left( x \right) = \operatorname{Im} {{{v}}_{m}}\left( x \right)$, m = 0, 1, ${{{v}}_{0}}\left( x \right) = \operatorname{Re} {{{v}}_{0}}\left( x \right) + i\operatorname{Im} {{{v}}_{0}}\left( x \right)$, ${{{v}}_{1}}\left( x \right) = \operatorname{Re} {{{v}}_{1}}\left( x \right) + i\operatorname{Im} {{{v}}_{1}}\left( x \right)$.

Пусть функция ${v} = {v}(x) = \left( {{{{v}}_{0}}(x),{{{v}}_{1}}(x)} \right)$ ищется на множестве

где ${{b}_{s}} \geqslant 0,$ ${{d}_{s}}$, ${{h}_{s}}$, $s = 1,2$ – заданные числа такие, что ${{h}_{2}} \geqslant 2\left| {{{h}_{1}}} \right|$. Множество $V$ назовем множеством допустимых решений.

Задачу об определении функции $\psi = \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ из условий (1)–(4) при каждом выбранном ${v} \in V$ назовем прямой задачей. Под решением этой задачи будем понимать функцию $\psi = \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ из пространства

удовлетворяющую уравнению (1) для любого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и почти всех $x \in \left( {0,l} \right)$, а условиям (4) для почти всех $x \in \left( {0,l} \right)$ и $t \in \left( {0,T} \right)$ соответственно.

Понятно, что прямая задача является начально-краевой задачей для уравнения (1). Вопросы корректности этой задачи с комплекснозначными коэффициентами уравнения типа Шрёдингера ранее были мало изучены. Отметим лишь работы [1], [4], [12], где для этого уравнения, в основном, с вещественнозначными, а при дополнительных предположениях с комплекснозначными коэффициентами были доказаны теоремы разрешимости. В работах [2], [3] при более общих предположениях установлена разрешимость и доказаны более тонкие априорные оценки для решения начально-краевой задачи.

Рассмотрим задачу о минимизации функционала:

на множестве $V$, при условиях (1)–(4), где $H \equiv {{\left( {L{}_{2}\left( {0,l} \right)} \right)}^{4}}$, $\omega \in H$ – заданный элемент, число $\alpha \geqslant 0$, заранее задается или определяется из дополнительного условия, например, по “принципу невязки”, как в работах [5], [7], [9], [10] и др. В этих работах развита методика выбора параметра α ≥ 0 для решения неустойчивых задач на основе априорной и апостериорной дополнительной информации.

3. РАЗРЕШИМОСТЬ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

Далее считаем, что V – заданное непустое ограниченное замкнутое и выпуклое множество в гильбертовом пространстве $H = {{\left( {{{L}_{2}}\left( {0,l} \right)} \right)}^{4}}$. Изучим разрешимость вариационной задачи (6). В работе [2] доказывается, что если функции $\rho \left( x \right)$, ${{a}_{0}}\left( x \right)$, $a\left( x \right)$, $f\left( {x,t} \right)$, $\varphi \left( x \right)$ удовлетворяют перечисленным выше условиям, тогда для каждого фиксированного ${v} \in V$ прямая задача (1)–(4) имеет единственное решение в пространстве ${{B}_{0}}$ и для этого решения верна оценка

для $\forall t \in \left[ {0,T} \right]$, где ${{c}_{0}} > 0$ – некоторая постоянная.

Теорема 1. Пусть выполнены перечисленные выше условия. Тогда при любом $\alpha \geqslant 0$ и $\forall \omega \in H$ вариационная задача (6) имеет хотя бы одно решение.

Доказательство. Сперва проверим непрерывность функционала ${{J}_{0}}\left( {v} \right)$ на множестве $V$. Пусть   $\delta {v} \in H$ – приращение произвольного элемента ${v} \in V$ такое, что ${v} + \delta {v} \in V$ и $\delta \psi = \delta \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v} + \delta {v}} \right) - \psi \left( {x,t;{v}} \right)$, где $\psi \left( {x,t;{v}} \right)$ – решение прямой задачи (1)–(4) при ${v} \in V$. Из соотношений (1)–(4) следует, что функция $\delta \psi = \delta \psi \left( {x,t} \right)$ является решением следующей начально-краевой задачи:

где ${{\psi }_{\delta }} = {{\psi }_{\delta }}\left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v} + \delta {v}} \right)$. Теперь оценим решение этой начально-краевой задачи. С этой целью обе части уравнения (8) умножим на функцию $\delta \bar {\psi }\left( {x,t} \right)$ и полученное равенство проинтегрируем по области ${{\Omega }_{t}}$. Тогда, вычитая из полученного равенства его комплексное сопряжение и используя условие (9), имеем для $\forall t \in \left[ {0,T} \right]$. Отсюда в силу условия ${v} + \delta {v} \in V$ получим неравенство Из предположения, что ${v} + \delta {v} \in V$, имеем С учетом (11) и условия ${{h}_{2}} \geqslant 2\left| {{{h}_{1}}} \right|$, из (10) получим неравенство В силу теорем вложения, пространство вложено в пространство $C\left( {\bar {\Omega }} \right)$ [12]. Поэтому имеют место следующие неравенства: Из этих неравенств, с учетом (12) и неравенства Коши–Буняковского, а также леммы Гронуолла имеем

Теперь рассмотрим приращение функционала ${{J}_{0}}\left( {v} \right)$ на произвольном элементе ${v} \in V$:

Применяя неравенство Коши–Буняковского и используя оценки (7) и (14), а также условие $y \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$, получаем справедливость оценки: Отсюда следует, что $\delta {{J}_{0}}\left( {v} \right) \to 0$ при ${{\left\| {\delta {v}} \right\|}_{Н}} \to 0$ для $\forall {v} \in V$ и функционал ${{J}_{0}}\left( {v} \right)$ непрерывен на множестве $V$.

Ввиду того, что ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right) \geqslant 0,$ $\forall {v} \in V$, этот функционал ограничен снизу на множестве $V$ для любого α ≥ 0. Поэтому существует минимизирующая последовательность для этого функционала. Возьмем любую минимизирующую последовательность $\{ {{{v}}^{{(k)}}}\} \in V$, т.е. $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {{J}_{\alpha }}({{{v}}^{{(k)}}}) = {{J}_{{\alpha *}}} = \mathop {\inf }\limits_{{v} \in V} {{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$. Положим ${{\psi }_{k}} = {{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{{{v}}^{{(k)}}}} \right)$, $k = 1,\;2,\; \ldots $. Элемент ${{{v}}^{{(k)}}}$ при любом $k$ принадлежит множеству $V$ и в силу сказанного выше утверждения прямая задача (1)–(4) при каждом $k$ имеет единственное решение из ${{B}_{0}}$ и тогда справедлива оценка

для $\forall t \in \left[ {0,T} \right]$. Правая часть этой оценки не зависит от k. Поскольку $V$ является непустым замкнутым и ограниченным множеством пространства Н, то из последовательности $\{ {{{v}}^{{(k)}}}\} $ можно извлечь подпоследовательность (для простоты изложения снова обозначим через $\{ {{{v}}^{{(k)}}}\} $), которая в ${{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ $\left( * \right)$-слабо сходится: ${v}_{m}^{{(k)}} \to {{{v}}_{m}}$, при $m = 0,1$ и $k \to \infty $. В силу структуры множества $V$ нетрудно проверить, что оно является $\left( * \right)$-слабо замкнутым множеством, следовательно, ${v} \in V$ и справедливо следующее предельное соотношение: для любой функции $q \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $.

Из оценки (17) следует, что последовательность $\left\{ {{{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right)} \right\}$ равномерно ограничена в норме пространства ${{B}_{0}}$. Тогда из этой последовательности можно извлечь подпоследовательность (для простоты изложения ее снова обозначим через $\left\{ {{{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right)} \right\}$), что ${{\psi }_{k}}\left( {.,t} \right) \to \psi \left( {.,t} \right)$ слабо в $W_{2}^{2}\left( {0,l} \right)$ и $\frac{{\partial {{\psi }_{k}}\left( {.,t} \right)}}{{\partial t}} \to \frac{{\partial \psi \left( {.,t} \right)}}{{\partial t}}$ слабо в ${{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $ для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$. Ясно, что каждый элемент подпоследовательности $\left\{ {{{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right)} \right\} \in {{B}_{0}}$ удовлетворяет тождеству

для $\forall t \in \left[ {0,T} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ c начальным условием и краевым условиям Используя вышеуказанные предельные соотношения, имеем для каждого $t \in \left[ {0,L} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $. Теперь докажем, что имеют место соотношения: для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $. Ясно, что имеют место равенства для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$. Ввиду того, что для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ функция $\psi \left( {x,t} \right)$ принадлежит пространству $W_{2}^{1}\left( {0,l} \right)$, а пространство $W_{2}^{1}\left( {0,l} \right)$ вложено в ${{L}_{\infty }}\left( {0,l} \right)$, для произвольной функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ имеем С учетом этого и из предельного соотношения (18) при $m = 0$ получим для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $. Из компактного вложения пространства $W_{2}^{2}\left( {0,l} \right)$ в пространство ${{L}_{\infty }}\left( {0,l} \right)$ следует, что для слабо сходящейся подпоследовательности $\left\{ {{{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right)} \right\}$ справедливо предельное соотношение: ${{\psi }_{k}}\left( {.,t} \right) \to \psi \left( {.,t} \right)$ сильно в ${{L}_{\infty }}\left( {0,l} \right)$, для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$. Пользуясь этим соотношением и неравенством где $t \in \left[ {0,T} \right]$, $L_{\infty }^{{\left( 2 \right)}}\left( {0,l} \right) = {{L}_{\infty }}\left( {0,l} \right) \times {{L}_{\infty }}\left( {0,l} \right)$, а также условием, что ${{\left\| {{v}_{0}^{{(k)}}} \right\|}_{{L_{\infty }^{{\left( 2 \right)}}\left( {0,l} \right)}}} \leqslant {{b}_{1}} + {{b}_{2}},$ получаем справедливость предельного соотношения для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $. Тогда, используя предельные соотношения (25), (27) и переходя к пределу в равенствах (24) при $k \to \infty $, получаем справедливость предельного соотношения (22). Используя предельное соотношение (27), устанавливаем справедливость соотношения (23). Таким образом, с учетом предельных соотношений (22), (23), переходя к пределу в интегральном тождестве (19) при $k \to \infty $, получаем справедливость следующего интегрального тождества: для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$. Отсюда следует, что предельная функция $\psi \left( {x,t} \right)$ для каждого $t \in \left[ {0,T} \right]$ и для почти всех $x \in \left( {0,l} \right)$ удовлетворяет уравнению (1). Действуя, как в работe [3], нетрудно установить, что предельная функция $\psi \left( {x,t} \right)$ удовлетворяет начальному и краевому условиям (4). Наряду с этим указанная выше предельная процедура показывает, что предельная функция $\psi = \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ принадлежит пространству ${{B}_{0}}$ и является решением прямой задачи (1)–(4) при ${v} \in V$.

В силу теорем вложения, пространство В₀ компактно вложено в пространство ${{C}^{0}}\left( {\left[ {0,T} \right],{{L}_{2}}\left( {0,l} \right)} \right)$, (см. [2], [12]). Тогда для слабо сходящейся подпоследовательности $\left\{ {{{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right)} \right\}$ из ${{B}_{0}}$ к функцию $\psi \left( {x,t} \right)$ имеет место соотношение: ${{\psi }_{k}}\left( {.,T} \right) \to \psi \left( {.,T} \right)$ сильно в ${{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ при $k \to \infty $. Используя этот факт и слабую полунепрерывность снизу нормы в пространствах ${{L}_{2}}\left( {0,l} \right)$ и $H$, при $\alpha \geqslant 0$ и для любого $\omega \in H$ имеем

${{J}_{{\alpha *}}} \leqslant {{J}_{\alpha }}{\kern 1pt} \left( {v} \right) \leqslant \mathop {\lim }\limits_{\mathop {k \to \infty }\limits^{\_\_\_\_\_} } {{J}_{\alpha }}({{{v}}^{{(k)}}}) = \mathop {\inf }\limits_{v \in V} {{J}_{\alpha }}{\kern 1pt} \left( {v} \right) = {{J}_{{\alpha *}}}$.

Отсюда следует, что ${v} = {v}\left( x \right) \in V$ предоставляет минимум функционалу (6) на множестве $V$, т.е. ${v} \in V$ является решением вариационной задачи (6) при $\alpha \geqslant 0$ и при любом $\omega \in H$. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. При перечисленных выше условиях существует такое всюду плотное подмножество K пространства$H$, что для любых $\omega \in K$ и $\alpha > 0$ задача (6) имеет единственное решение.

Доказательство. При доказательстве теоремы 1 была установлена непрерывность функционала ${{J}_{0}}\left( {v} \right)$ на множестве $V.$ Дальнейшее доказательство теоремы базируется на утверждении из работ [13], [14] о том, что если функционал I(${v}$) полунепрерывен снизу и снизу ограничен на непустом замкнутом ограниченном множестве W равномерно выпуклого банахова пространства Х, тогда существует такое всюду плотное множество K пространства Х, что для любого $\omega \in K$, задача минимизации функционала I(${v}$)+ $\alpha \left\| {{v} - \omega } \right\|_{X}^{2}$ на W, при α > 0 имеет единственное решение.

Ввиду того, что ${{J}_{0}}\left( {v} \right) \geqslant 0$, $\forall {v} \in V$, этот функционал снизу ограничен на множестве $V$. Выше доказана непрерывность функционала ${{J}_{0}}\left( {v} \right)$ на множестве $V$. Кроме того, по принятому выше предположению множество $V$является непустым замкнутым и ограниченным множеством в пространстве $H.$ Пространство $H$ как гильбертово пространство является равномерно выпуклым пространством. В утверждении из работ [13], [14] примем I(${v}$) = ${{J}_{0}}\left( {v} \right)$, W = V, α > 0. Тогда выполнятся все условия этого утверждения и получим справедливость теоремы 2.

4. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛА

Пусть функция $\Phi = \Phi \left( {x,t} \right)$ является решением следующей задачи, называемой сопряженной задачей:

где $\psi = \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ – решение прямой задачи (1), (4) при ${v} \in V$, ${{{\bar {v}}}_{m}} = {{{\bar {v}}}_{m}}\left( x \right)$, $m = 0,\;1$, есть комплексные сопряжения функций ${{{v}}_{m}} = {{{v}}_{m}}\left( x \right)$, $m = 0,\;1$.

Под решением сопряженной задачи (29)–(31) будем понимать функцию $\Phi = \Phi \left( {x,t} \right)$ из пространства ${{B}_{0}}$, удовлетворяющую уравнению (29) для любого $t \in \left( {0,T} \right)$ и почти всех $x \in \left( {0,l} \right)$ и условиям (30), (31) для почти всех $x \in \left( {0,l} \right)$, $t \in \left( {0,T} \right)$ соответственно. Очевидно, что сопряженная задача (29)–(31) является начально-краевой задачей для уравнения типа Шрёдингера (29). Как доказано в [2], [3], при перечисленных выше условиях и при , сопряженная задача (29)–(31) имеет единственное решение из пространства ${{B}_{0}}$ и для этого решения при $\forall t \in \left[ {0,T} \right]$ справедлива оценка

Выше при доказательстве теоремы 1 была установлена непрерывность функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$. Теперь докажем дифференцируемость функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$. С этой целью введем функцию

которую называем функцией Гамильтона–Понтрягина для вариационной задачи (6), где $\psi = \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ – решение прямой, а $\Phi = \Phi \left( {x,t} \right) \equiv \Phi \left( {x,t;{v}} \right)$ – решение сопряженной задачи при ${v} \in V$, ${{\omega }_{{ms}}}(x)$ – m = 0, 1; s = 1, 2 – компоненты заданной вектор-функции $\omega (x) \in H$.

Теорема 3. Пусть выполнены перечисленные выше условия и $\omega \in H$ – заданный элемент. Тогда функционал ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ дифференцируем по Фреше на множестве $V$ и для его градиента справедлива формула

Доказательство. Рассмотрим приращение функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ на произвольном элементе ${v} \in V.$ Оно может быть представлено в виде

где $\delta \psi = \delta \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v} + \delta {v}} \right) - \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ и $\delta {v} \in H$ – приращение на элементе ${v} \in V$ такое, что ${v} + \delta {v} \in V$. Сначала преобразуем первое слагаемое в правой части этой формулы. Ясно, что функция $\delta \psi = \delta \psi \left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v} + \delta {v}} \right) - \psi \left( {x,t;{v}} \right)$ принадлежит пространству ${{B}_{0}}$. Тогда для любой функции $\eta \in {{L}_{2}}\left( \Omega \right)$ можем писать следующее тождество: Кроме того, решение сопряженной задачи также принадлежит пространству ${{B}_{0}}$. Поэтому для любой функции ${{\eta }_{1}} \in {{L}_{2}}\left( \Omega \right)$ можем написать следующее тождество: В этом тождестве вместо функции ${{\eta }_{1}} = {{\eta }_{1}}\left( {x,t} \right)$ возьмем функцию $\delta \psi = \delta \psi \left( {x,t} \right)$ из ${{B}_{0}}$. Тогда имеем Произведя интегрирование по частям в первом и во втором слагаемых левой части этого равенства и используя условия (9), (30), (31), получаем следующее равенство: В тождестве (36) вместо функции $\eta = \eta \left( {x,t} \right)$ возьмем функцию $\Phi = \Phi \left( {x,t} \right)$ и из полученного равенства вычтем комплексное сопряжение равенства (38). В результате, суммируя полученное равенство с его комплексным сопряжением, имеем Учитывая это равенство в правой части (35), получаем следующую формулу для приращения функционала: где $R\left( {\delta {v}} \right)$ определяется формулой: С помощью этой формулы, в силу оценок (8), (17), (32), имеем В результате получим следующее соотношение: С учетом этого соотношения приращение функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ может быть представлено в виде Используя вид функции Гамильтона–Понтрягина и определение дифференцируемости по Фреше функционалов в функциональных пространствах, из последней формулы для приращения функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ на любом элементе ${v} \in V$ получаем, что этот функционал дифференцируем по Фреше на множестве $V$ и для его градиента справедлива формула (34). Теорема 3 доказана.

5. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ

Теорема 4. Пусть выполнены перечисленные выше условия. Для того чтобы ${v}{\kern 1pt} * \in V$ было решением вариационной задачи (6), необходимо для любого ${v} \in V$ выполнение следующего неравенства:

где $\psi {\text{*}}\left( {x,t} \right) \equiv \psi \left( {x,t;{v}{\kern 1pt} {\text{*}}} \right)$, $\Phi {\text{*}}\left( {x,t} \right) \equiv \Phi \left( {x,t;{v}{\kern 1pt} {\text{*}}} \right)$ – решения прямой и сопряженной задач, соответственно, на элементе ${v}{\kern 1pt} * \in V$.

Доказательство. Согласно теореме 2, функционал ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ дифференцируем по Фреше на множестве $V$ и для его градиента верна формула (34). Докажем, что градиент функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ непрерывен на множестве $V$. С этой целью достаточно доказать непрерывность любого компонента градиента $J_{\alpha }^{'}\left( {v} \right)$ на множестве $V$. Действительно, градиент функционала $J_{\alpha }^{'}\left( {v} \right)$ имеет компоненты ($J_{{\alpha 01}}^{'}\left( {v} \right)$, $J_{{\alpha 02}}^{'}\left( {v} \right)$, $J_{{\alpha 03}}^{'}\left( {v} \right)$, $J_{{\alpha 04}}^{'}\left( {v} \right)$). Формула приращения для компоненты $J_{{\alpha 01}}^{'}\left( {v} \right)$ будет иметь вид:

Здесь $\delta \Phi = \delta \Phi \left( {x,t} \right) = {{\Phi }_{\delta }}\left( {x,t} \right) - \Phi \left( {x,t} \right) \equiv \Phi \left( {x,t;{v} + \delta {v}} \right) - \Phi \left( {x,t;{v}} \right)$ является решением следующей начально-краевой задачи: где ${{\Phi }_{\delta }} = {{\Phi }_{\delta }}\left( {x,t} \right) \equiv \Phi \left( {x,t;{v} + \delta {v}} \right)$ – решение сопряженной задачи при ${v} + \delta {v} \in V$.

Аналогично выводу оценки для решения начально-краевой задачи (10)–(12), нетрудно оценить решение задачи (42), (43) в виде

Используя эту оценку и оценки (8), (17), (38), из равенства (41) получаем Аналогично этому для $J_{{\alpha 02}}^{'}\left( {v} \right)$, $J_{{\alpha 11}}^{'}\left( {v} \right)$, $J_{{\alpha 12}}^{'}\left( {v} \right)$ могут быть доказаны неравенства Если объединим эти оценки, то получим Итак, доказано, что функционал ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ непрерывно дифференцируем по Фреше на множестве $V.$ С другой стороны, множество $V$ является непустым ограниченным замкнутым и выпуклым множеством. Тогда, согласно доказанному в [10], выполнится следующее необходимое условие минимума функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$ на $V$: ${{\left\langle {J_{\alpha }^{'}\left( {{v}{\kern 1pt} {\text{*}}} \right),{v} - {v}{\kern 1pt} {\text{*}}} \right\rangle }_{Н}} \geqslant 0$  $\forall {v} \in V$, где элемент ${v}{\kern 1pt} * \in V$ доставляет минимум функционалу (6) на множестве $V$. Учитывая здесь формулу (34) для градиента функционала ${{J}_{\alpha }}\left( {v} \right)$, получаем утверждение теоремы 4.

6. ИТЕРАТИВНАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ

Приведем пример об определении комплеснозначного коэффициента уравнения Шрёдингера и одновременно поясним случаи неустойчивости решения этой задачи. Проверим, что при α = 0 задача (6) становится неустойчивой.

Пример. Рассмотрим задачу об определении комплекснозначного коэффициента v₀ уравнения

со следующими начальным и краевыми условиями: и финальным наблюдением Здесь ${{{v}}_{0}} = {{{v}}_{{00}}} + i{{{v}}_{{01}}}$ является искомым комплексным числовым коэффициентом уравнения (44). Очевидно, что функционал качества J_α(${v}$), составленный по финальному наблюдению (46), имеет вид где ω – заданное комплексное число. Пусть $\omega {\text{ = 2 + 3}}i{\text{,}}$ коэффициент ${{{v}}_{0}}$ уравнения (44) ищется как минимум функционала J_α(${v}$) на множестве V = {${v}$ = (${{{v}}_{{00}}},{{{v}}_{{01}}}$): ${v}$ $ \in $ R², |${{{v}}_{{00}}}$| ≤ 2, |${{{v}}_{{00}}}$| ≤ 3}. Теоремы 1 и 2 утверждают разрешимость и единственность решения задачи о минимизации функционала (47). Теорема 4 дает необходимое условие для решения этой задачи. Нетрудно проверить, что величины ${{{v}}_{0}}$ = 2 + 3i и $\psi \left( {x,t} \right) = {\text{exp\{ 3(1}} - i{\text{)}}t{\text{\} sin}}x$ удовлетворяют условиям (44)–(46). Функционал J_α(${v}$) ≥ 0 и на элементе ${{{v}}_{0}}$ = 2 + 3i множества V он достигает наименьшего значения, что является решением рассматриваемой задачи. Проверим, что решение задачи минимизации функционала J_α(${v}$) при условиях (44), (45) на множестве V, когда α = 0 неустойчиво. Действительно, рассмотрим последовательность $\{ {v}_{0}^{{(k)}} = \sin k\} $. Нетрудно проверить, что элементы этой последовательности вместе с функциями ${{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right) = {\text{exp\{ }} - i{\text{(}}\sin k + {\text{1)}}t{\text{\} sin}}x$, k = 1, 2, 3, … удовлетворяют уравнению следующему начальному и краевым условиям: При этом финальное наблюдение имеет вид Функционал качества J_α(${v}$), составленный по этому финальному наблюдению, имеет вид Для каждого k = 1, 2, … элементы ${v}_{0}^{{(k)}}$ = $\sin k$ и функции ${{\psi }_{k}}\left( {x,t} \right) = {\text{exp\{ }} - i{\text{(}}\sin k + {\text{1)}}t{\text{\} sin}}x$, $x \in \left( {0,\pi } \right)$, удовлетворяют условиям (48), (49). При этом и при α = 0 функционал J_α(${v}$) ≥ 0 на элементе ${v}_{0}^{{(k)}}$ = $\sin k$ множества V достигает наименьшего нулевого значения. Однако последовательность {${v}_{0}^{{(k)}}$ = $\sin k$} не имеет предела, что свидетельствует о неустойчивости решения рассматриваемой вариационной задачи (6) при α = 0.

Неустойчивость решения задачи (6) указывает на необходимость регуляризации ее решения. Итеративная регуляризация является не только одним из универсальных, но и эффективным устойчивым вычислительным методом решения некорректных задач (см. [9], [10] и др.). Доказанные выше теоремы и установленная формула для градиента функционала качества, которая вычисляется по решениям основной и сопряженной задач, а также установленное необходимое условие для решения дают основание разработать итеративные алгоритмы решения вариационной задачи (6). Здесь приемлемы также другие методы итеративной регуляризации, например, регуляризованные методы Ньютона, проекции градиента и др. [9], [10].

Пусть теперь исходные данные задачи (6) заданы с погрешностью δ > 0 и это выражено в задании финального наблюдения:

Рассмотрим итерационный процесс по схеме “условного градиента” [10]: где ${{{v}}^{{\left( 0 \right)}}}\left( х \right)$ – начальное приближение, которое является произвольным элементом множества $V$ $ \in $ Н, ${{\beta }_{k}} \in \left( {0,1} \right)$ – числовой параметр, который определяется из условия убывания функционала: $J_{{~0}}^{~}({{{v}}^{{(k + 1)}}}) \leqslant J_{0}^{{~~}}({{{v}}^{{(k)}}})$, w^(k)(x) – минимум следующего линейного функционала: на множестве $V$, $\left\langle {\;,\;} \right\rangle $ – скалярное произведение соответствующих элементов, ${{\alpha }_{k}} \geqslant 0$ – параметр итерационного процесса, который выбирается из условия (52) в зависимости от $\delta > 0$. Элементы, найденные из условий (53), (54), обозначим через ${{{v}}^{{(k)}}}$(x), k = 1, 2, … . Проводя этот итерационный процесс, находим последовательность {${{{v}}^{{(k)}}}$(x)}. При принятых выше предположениях и указанных условиях на параметры алгоритма ${{\beta }_{k}}$, ${{\alpha }_{k}}$, а также предположении выпуклости функционала J₀(${v}$) на множестве V, в [10, с. 855–862] доказаны сходимость и регуляризуемость итерационного процесса (53), (54). Практика решения экстремальных задач типа (6) указывает, что параметры алгоритма и число итерации выбираются в зависимости от погрешности исходных данных в соответствии с правилом “останова” (см. [5]–[10] и др.). При этом удобной формой реализации условия (52) является выполнение его в виде равенства: $\left\| {\psi \left( {.,T} \right) - y} \right\|_{{{{L}_{2}}\left( {0,l} \right)}}^{2} = \delta $. Вопрос сходимости решения вариационной постановки к решению соответствующей невариационной постановки задачи с приближенными данными требует отдельного рассмотрения. Отметим лишь, что при стремлении погрешности данных к нулю в случае выпуклости функционалов качества, для решения операторных уравнений I рода при довольно общих предположениях доказаны сходимости решения вариационных постановок к решению соответствующих невариационных [9], [10]. Нелинейность и неустойчивость задачи определения коэффициентов уравнений сильно усложняют не только их теоретическое исследование, но и увеличивают объем вычислительной работы [11].