Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 12, стр. 2085-2097

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейные эллиптические дифференциальные уравнения рассматривались начиная с середины прошлого века многими математиками, см., например, библиографию в работе [1]. К середине 60-х годов прошлого века признаным стал операторный подход с использованием операторов монотонного (псевдомонотонного) типа. В 1966 г. эта методика была применена к абстрактным дифференциально-разностным уравнениям [2], но конкретные задачи рассмотрены не были. В то же время достаточно широко рассматривались более конкретные линейные дифференциально-разностные уравнения, подробную библиографию см. [3]. В 80-х–90-х годах была создана теория линейных дифференциально-разностных уравнений эллиптического типа [4], [5]. В работах [6], [7] было начато исследование нелинейных дифференциально-разностных уравнений эллиптического типа с использованием методов линейной теории дифференциально-разностных уравнений и теории операторов псевдомонотонного типа. В [6] было показано, что даже “хороший” (в смысле линейной теории) разностный оператор может нарушить сильную эллиптичность дифференциально-разностного оператора. В [8] приведен пример неоднозначной разрешимости уравнения с сильно-эллиптичным дифференциальным и положительно-определенным разностным операторами.

В данной работе рассматриваются нелинейные эллиптические дифферeнциальные операторы с дифференцируемыми коэффициентами. Это позволяет использовать методы [9].

Предложено достаточное условие сильной эллиптичности дифференциально-разностного оператора. Как известно, задача Дирихле с сильно эллиптичным оператором имеет единственное обобщенное решение. При наличии зависимости оператора от младших членов переходим к классу псевдомонотонных ${{(S)}_{ + }}$-операторов; в этом случае доказано существование обобщенного решения. Заметим, что данное условие не является единственным. В зависимости от способа разложения матриц, характеризующих оператор сдвигов, на сумму произведений матриц для конкретных операторов можно предложить другие достаточные условия сильной эллиптичности или свойства ${{(S)}_{ + }}$. В частности, для симметричных операторов сдвига другое достаточное условие предложено в [7].

В качестве примера рассмотрена нелокальная задача с краевым условием типа Бицадзе–Самарского. Взаимооднозначное соответствие нелокальной задачи и задачи Дирихле с соответствующим дифференциально-разностным оператором для $p = 2$ доказано в [5].

В дальнейшем через ${{c}_{j}}$ будут обозначены положительные постоянные, не зависящие от функций или переменных, входящих в неравенство.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим функционально–дифференциальное уравнение вида

с краевым условием Здесь $Q \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ – ограниченная область с границей $\partial Q$ класса ${{C}^{\infty }}$ или $Q = (0,d) \times G,$ $G \subset {{\mathbb{R}}^{{n - 1}}}$ – ограниченная область (с границей $\partial G$ класса ${{C}^{\infty }}$, если $n \geqslant 3$). В случае $n = 1$ мы полагаем $Q = (0,d)$. Полагаем также, что $2 \leqslant p < \infty $, $1{\text{/}}p + 1{\text{/}}q = 1$, $f \in W_{q}^{{ - 1}}(Q)$, а оператор $A$ задан формулой Функции будем полагать вещественнозначными. Ограниченный разностный оператор $R\,:{{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}}) \to {{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ определяется по формуле где ${{a}_{h}} \in \mathbb{R}$, $\mathcal{M} \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$ – конечное множество векторов с целочисленными (или соизмеримыми) координатами, $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$. Заметим, что разностный оператор $R$ является нелокальным. Сдвиги на векторы $h \in \mathcal{M}$ могут отображать точки $x \in Q$ в точки $x + h \in {{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }Q$. Поэтому краевые условия должны задавать значения неизвестной функции не только на границе $\partial Q$, но и на некотором множестве вне $Q$. Для простоты в дальнейшем мы можем считать, что это множество совпадает с ${{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }Q$.

2. РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ И СВОЙСТВА РАЗНОСТНОГО ОПЕРАТОРА

Доказательства результатов данного раздела приведены в § 3 [6], см. также [3]–[5].

Через $\,M\,$ обозначим аддитивную группу, порожденную множеством $\mathcal{M}$, а через ${{Q}_{r}}$ – открытые связные компоненты множества $Q{\backslash }\left( {\bigcup\nolimits_{h \in M}^{} {(\partial Q + h)} } \right)$.

Определение 2.1. Множество ${{Q}_{r}}$ называется подобластью. Семейство $\mathcal{R}$ всех подобластей ${{Q}_{r}}$ ($r = 1,2, \ldots $) называется разбиением области $Q$.

Легко видеть, что множество $\mathcal{R}$ не более чем счетно, при этом

Известно, что для любой подобласти ${{Q}_{{{{r}_{1}}}}}$ и произвольного вектора $h \in M$ либо найдется подобласть ${{Q}_{{{{r}_{2}}}}}$ такая, что ${{Q}_{{{{r}_{2}}}}} = {{Q}_{{{{r}_{1}}}}} + h$, либо ${{Q}_{{{{r}_{1}}}}} + h \subset {{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }\bar {Q}$, см. Лемму 7.1 из [5]. Таким образом, семейство $\mathcal{R}$ можно разбить на непересекающиеся классы следующим образом: подобласти ${{Q}_{{{{r}_{1}}}}},{{Q}_{{{{r}_{2}}}}} \in \mathcal{R}$ принадлежат одному классу, если ${{Q}_{{{{r}_{2}}}}} = {{Q}_{{{{r}_{1}}}}} + h$ для некоторого $h \in M$. Будем обозначать подобласти ${{Q}_{r}}$ через ${{Q}_{{sl}}}$, где $s$ – номер класса, а $l$ – номер подобласти в $s$-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа $N = N(s)$ подобластей ${{Q}_{{sl}}}$ и $N(s) \leqslant {{([\operatorname{diam} Q] + 1)}^{n}}$. Множество классов может быть конечным или счетным, см. примеры в § 7 гл. II из [5].

Введем оператор ${{R}_{Q}} = {{P}_{Q}}R{{I}_{Q}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}(Q)$, где ${{I}_{Q}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ – оператор продолжения функций из ${{L}_{p}}(Q)$ нулем в ${{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }Q$, ${{P}_{Q}}:{{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}}) \to {{L}_{p}}(Q)$ – оператор сужения функций из ${{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ на $Q$. Это связано с тем, что оператор $R$ нелокальный. Сдвиги на вектор $h$ могут отображать точки $x \in Q$ в ${{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }Q$. Поэтому краевые условия (1.2) для дифференциально-разностного уравнения (1.1) задаются не только на множестве $Q$, но и на всем множестве ${{\mathbb{R}}^{n}}{\backslash }Q$. Для учета краевых условий (1.2) в разностном операторе $R$ вводится оператор ${{I}_{Q}}$. Таким образом, функция $u(x)$, определенная на $Q$, отображается в функцию $({{I}_{Q}}u)(x)$, определенную на всем пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$. После действия оператора $R$ на ${{I}_{Q}}u$ мы вновь получаем функцию, определенную на всем пространстве ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Оператор ${{P}_{Q}}$ вводится для того, чтобы получить сужение функции $(R{{I}_{Q}}u)(x)$ на область $Q$.

Лемма 2.1. Операторы ${{I}_{Q}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и ${{P}_{Q}}:{{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}}) \to {{L}_{p}}(Q)$, а также $R:{{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}}) \to {{L}_{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ и ${{R}_{Q}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}(Q)$ ограничены, $1 < p < \infty $.

Обозначим через ${{L}_{p}}\left( {\bigcup\nolimits_l^{} {{{Q}_{{sl}}}} } \right)$ подпространство функций из ${{L}_{p}}(Q)$, обращающихся в нуль вне $\bigcup\nolimits_l^{} {{{Q}_{{sl}}}} $ ($l = 1, \ldots ,N(s)$). Введем ограниченный оператор ${{P}_{s}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}\left( {\bigcup\nolimits_l^{} {{{Q}_{{sl}}}} } \right)$ по формуле ${{P}_{s}}u(x) = u(x)$ $\left( {x \in \bigcup\nolimits_l^{} {{{Q}_{{sl}}}} } \right)$, ${{P}_{s}}u(x) = 0$ $\left( {x \in Q{\backslash }\bigcup\nolimits_l^{} {{{Q}_{{sl}}}} } \right)$. Очевидно, что ${{P}_{s}}$ является оператором проектирования на ${{L}_{p}}\left( {\bigcup\nolimits_l^{} {{{Q}_{{sl}}}} } \right)$. Поскольку ${\text{me}}{{{\text{s}}}_{n}}(\partial {{Q}_{{sl}}}) = 0$, имеем

Изоморфизм рефлексивных банаховых пространств имеет вид

и определяется по формуле где $l = 1, \ldots ,N = N(s)$, а вектор ${{h}_{{sl}}}$ таков, что Введем матрицу ${{R}_{s}}$ порядка $N(s) \times N(s)$ с элементами

Oператор ${{R}_{{Qs}}}:L_{p}^{N}({{Q}_{{s1}}}) \to L_{p}^{N}({{Q}_{{s1}}})$, заданный соотношением

является оператором умножения на матрицу ${{R}_{s}}$, см. Лемму 3 [6] и Лемму 8.9 [5].

Из ограниченности области $Q$ и формул (2.3) следует, что в случае постоянных коэффициентов ${{a}_{h}}$ число различных матриц ${{R}_{s}}$ конечно. Обозначим это число ${{n}_{1}}$, и пусть ${{R}_{{{{s}_{\nu }}}}}$ обозначают все различные матрицы ${{R}_{s}}$ ($\nu = 1, \ldots ,{{n}_{1}}$).

Множество всех распределений $u \in \mathcal{D}{\kern 1pt} '(Q)$, являющихся вместе со всеми своими частными производными $1$-го порядка функциями из ${{L}_{p}}(Q)$, обозначим через $W_{p}^{1}(Q)$. При $p \in (1,\infty )$ соболевские пространства $W_{p}^{1}(Q)$ рефлексивны и банаховы относительно нормы

Через $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ обозначается замыкание множества финитных бесконечно дифференцируемых в $Q$ функций $\mathop {\dot {C}}\nolimits^\infty (Q)$ в пространстве $W_{p}^{1}(Q)$. Как известно, эквивалентной нормой в пространстве $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ является норма

Лемма 2.2. (cм. Леммы 5 и 6 из [6]). Пусть коэффициенты ${{a}_{h}}$ постоянны. Tогда

1) оператор ${{R}_{Q}}$ непрерывно отображает $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ в $W_{p}^{1}(Q)$, причем

2) для всех $u \in W_{p}^{1}(Q)$ имеем ${{R}_{Q}}u \in W_{p}^{1}({{Q}_{{sl}}})$ и

3) если $det{{R}_{{{{s}_{\nu }}}}} \ne 0$ $(\nu = 1, \ldots ,{{n}_{1}})$, то существует обратный оператор $R_{Q}^{{ - 1}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}(Q)$ и $R_{Q}^{{ - 1}}w \in W_{p}^{1}({{Q}_{{sl}}})$ для всех $w \in W_{p}^{1}(Q)$, при этом обратный оператор определен формулой

где через $R_{{Qs}}^{{ - 1}}$ обозначен оператор умножения на матрицу $R_{s}^{{ - 1}}$, и справедлива оценкаЗдесь константы ${{c}_{1}},{{c}_{2}} > 0$ не зависят от $s$, $u$ и $w$.

3. УСЛОВИЕ СИЛЬНОЙ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Определение 1. Оператор $A:X \to Y$ называется деминепрерывным, если из того, что ${{u}_{m}} \to u$ в $X$ следует слабая сходимость $A{{u}_{m}} \rightharpoonup Au$ в $Y$.

Лемма 3.1. Пусть разностный оператор ${{R}_{Q}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{p}^{1}(Q)$ имеет постоянные коэффициенты ${{a}_{h}}$, коэффициенты оператора $A:W_{p}^{1}(Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$, заданного в (1.3), являются функциями типа Каратеодори (т.е. измеримы по $x \in Q$ и непрерывны по остальным переменным), а также удовлетворяют оценке

где $g \in {{L}_{q}}(Q)$. Тогда оператор $A{{R}_{Q}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ деминепрерывен.

Доказательство. В силу леммы 2.2 линейный оператор ${{R}_{Q}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{p}^{1}(Q)$ ограничен. Деминепрерывеность оператора $\mathcal{A}:W_{p}^{1}(Q) \to (W_{p}^{1}(Q)){\kern 1pt} *$ в силу условия (3.1) известна, см., например, [10, Гл. 1, § 2]. Следовательно, их композиция является деминепрерывным оператором.

Через $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $ обозначим спаривание в соответствующих банаховых пространствах. В частном случае, для оператора $A:W_{p}^{1}(Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$, заданного формулой

имеем

Определение 3.2. Оператор $\mathcal{A}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ называется сильно эллиптичным, если существуют константы ${{c}_{4}} > 0$ и $\alpha > 0$ такие, что

для любых $u,y \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$.

Напомним, что в случае линейности дифференциального M-периодического оператора $A$ положительная определенность симметризации разностного оператора ${{R}_{Q}}$ гарантирует сильную эллиптичность дифференциально-разностного оператора, см. [5]. Для квазилинейных дифференциальных операторов существует алгебраическое условие сильной эллиптичности, см. [9, Гл. 2, § 2]. Рассмотрим достаточное условие сильной эллиптичности для квазилинейного дифференциально-разностного оператора.

Теорема 3.1. Пусть $p \in [2,\infty )$, $\{ {{R}_{s}}\} $ – невырожденные матрицы, соответствующие оператору ${{R}_{Q}}$. Мы предполагаем, что оператор $A:W_{p}^{1}(Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$, заданный формулой (3.2), имеет измеримые по $x \in Q$ и дифференцируемые по ${{\xi }_{j}} \in \mathbb{R}$ $(j = 1, \ldots ,n)$ коэффициенты ${{A}_{i}}(x,\xi )$, $\xi = ({{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, причем производные ${{A}_{{ij}}}(x,\xi ) = \frac{{\partial {{A}_{i}}(x,\xi )}}{{\partial {{\xi }_{j}}}}$ удовлетворяют оценкам

для почти всех $x \in {{Q}_{{s1}}}$ и любых $s = 1,2, \ldots $, $\zeta \in {{\mathbb{R}}^{{N(s) \times n}}}$ и $\eta \in {{\mathbb{R}}^{{N(s) \times n}}}$; здесь ${{g}_{1}} \in {{L}_{{p/(p - 2)}}}(Q)$, ${{c}_{5}},{{c}_{6}} > 0$ не зависят от $x,\;\zeta $ и $\eta $, ${{\zeta }_{{m \cdot }}} = ({{\zeta }_{{m1}}}, \ldots ,{{\zeta }_{{mn}}}).$

Тогда оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}: = A{{R}_{Q}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$, заданный формулой

сильно эллиптичен.

Доказательство. Пусть $w = {{R}_{Q}}(u - y)$ и $v = {{R}_{Q}}y$, где $u,y \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$. Согласно Лемме 2.2.3 существует ограниченный обратный оператор $R_{Q}^{{ - 1}}:{{L}_{p}}(Q) \to {{L}_{p}}(Q)$. Из равенства (3.3) и леммы 2.2 получим

Тогда, используя формулу (2.8), имеем Используем дифференцируемость коэффициентов ${{A}_{i}}$ и формулу Тейлора: Заметим, что интегралы по ${{Q}_{{s1}}}$ существуют в силу (3.5).

Из равенства (2.2) следует, что

где ${\text{diag}}\left\{ {{{U}_{s}}{{P}_{s}}\int_0^1 \,{{A}_{{ij}}}(x,\nabla v + \tau \nabla w)d\tau } \right\}$ – диагональная матрица порядка $N(s) \times N(s)$ с диагональными элементами $\int_0^1 \,{{A}_{{ij}}}(x + {{h}_{{sm}}},(\nabla v + \tau \nabla w)(x + {{h}_{{sm}}}))d\tau $, $m = 1, \ldots ,N(s)$.

Используя неравенство (3.4), получаем

Согласно известной оценке $\int\limits_0^1 \,{{\left| {a + \tau b} \right|}^{{p - 2}}}d\tau \geqslant {{c}_{7}}{{\left| b \right|}^{{p - 2}}}$ имеем По построению $w = {{R}_{Q}}(u - y)$. Следовательно, в силу невырожденности матрицы ${{R}_{s}}$ и условия $p \geqslant 2$ получаем Сильная эллиптичность оператора доказана.

Замечание 3.1. Достаточные условия сильной эллиптичности для дифференциально-разностного оператора ${{\mathcal{A}}_{R}}$ с симметричным разностным оператором ${{R}_{Q}}$, отличающиеся от (3.4), рассматривались в [7]. В настоящей работе разностный оператор не предполагается симметричным. Аналогично теореме 3.1 можно получить достаточные условия сильной эллиптичности для дифференциально-разностного оператора порядка $2m$, который, вообще говоря, не является симметричным. При отсутствии сдвигов оценка (3.4) точно соответствует оценке, рассматривавшейся в [9, Гл. 2, § 2].

Определение 3.3. Пусть $f \in W_{q}^{{ - 1}}(Q)$. Функция $u \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} Q)$ называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором $\mathcal{A}$, заданным формулой (3.2), если для любого $\xi \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ справедливо интегральное тождество

Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда для любого $f \in W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ существует единственное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2).

Доказательство. Оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ деминепрерывный, см. лемму 3.1, поскольку условие (3.5) сильнее условия (3.1). Деминепрерывный, сильно эллиптичный оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ является гомеоморфизмом, см. следствие 1.1.1 из [9].

Теорема 3.3. Пусть $p \in [2,\infty )$, $\{ {{R}_{s}}\} $ – невырожденные матрицы, соответствующие оператору ${{R}_{Q}}$. Мы предполагаем, что оператор $A$, заданный формулой

имеет измеримые по $x \in Q$ и дифференцируeмые по ${{\xi }_{j}} \in \mathbb{R}$ $(j = 0,1, \ldots ,n)$ коэффициенты ${{A}_{i}}(x,\xi )$, $\xi = ({{\xi }_{0}},{{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{{n + 1}}}$, удовлетворяющие оценкам: для всех $s$ и почти всех $x \in {{Q}_{{s1}}}$, $\zeta \in {{\mathbb{R}}^{{N(s) \times (n + 1)}}}$ и $\eta \in {{\mathbb{R}}^{{N(s) \times n}}}$, где ${{c}_{9}},{{c}_{{10}}} > 0$ не зависят от $x,\;\zeta $ и $\eta $, ${{\zeta }_{{m \cdot }}} = ({{\zeta }_{{m0}}},{{\zeta }_{{m1}}}, \ldots ,{{\zeta }_{{mn}}})$, ${{g}_{1}} \in {{L}_{{p/(p - 2)}}}(Q)$.

Тогда оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ сильно эллиптичен.

Определение 3.4. Пусть $f \in W_{q}^{{ - 1}}(Q)$. Функция $u \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2) с дифференциальным оператором $\mathcal{A}$, заданным формулой (3.11), если для любого $\xi \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ справедливо интегральное тождество

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3. Тогда для любого $f \in W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ существует единственное обобщенное решение $u \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ задачи (1.1), (1.2).

Доказательство теорем 3.3 и 3.4 совпадает с доказательствами теорем 3.1 и 3.2 соответственно.

4. $({{S}_{ + }})$-ОПЕРАТОРЫ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ

Определение 4.1. Оператор $A:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ обладает свойством ${{(S)}_{ + }}$, если каждая слабо сходящаяся последовательность ${{u}_{m}} \rightharpoonup u$ в $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$, для которой справедлива оценка $\mathop {\overline {{\text{lim}}} }\limits_{m \to \infty } \left\langle {A{{u}_{m}},{{u}_{m}} - u} \right\rangle \leqslant 0$, является сильно сходящейся.

Определение 4.2. Оператор $A:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ называется псевдомонотонным, если для каждой слабо сходящейся последовательности ${{u}_{m}} \rightharpoonup u$ в $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ при выполнении оценки $\mathop {\overline {{\text{lim}}} }\limits_{m \to \infty } \left\langle {A{{u}_{m}},{{u}_{m}} - u} \right\rangle \leqslant 0$ справедливо неравенство

Очевидно, каждый деминепрерывный оператор, обладающий свойством ${{(S)}_{ + }}$, является псевдомонотонным.

Определение 4.3. Оператор $A$ называется коэрцитивным, если существует непрерывная функция $c{\kern 1pt} :\;{{\mathbb{R}}_{ + }} \to \mathbb{R}$ такая, что

и $c(s) \to \infty $ при $s \to \infty $.

Теорема 4.1. Пусть $p \in [2,\infty )$ и оператору ${{R}_{Q}}$ соответствуют невырожденные матрицы ${{R}_{s}}$. Пусть также оператор $\mathcal{A}$, заданный формулой (3.11), имеет измеримые по $x \in Q$ и непрерывные по ${{\xi }_{j}} \in \mathbb{R}$ $(j = 0,1, \ldots ,n)$ коэффициенты ${{A}_{i}}(x,\xi )$, $\xi = ({{\xi }_{0}},{{\xi }_{1}}, \ldots ,{{\xi }_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{{n + 1}}}$. Более того, существуют производные ${{A}_{{ij}}}(x,\xi ): = \frac{{\partial {{A}_{i}}(x,\xi )}}{{\partial {{\xi }_{j}}}}$, $i,j = 1,2, \ldots ,n$, удовлетворяющие алгебраическому условию

для всех $s$ и почти всех $x \in {{Q}_{{s1}}}$, $\zeta \in {{\mathbb{R}}^{{N(s) \times (n + 1)}}}$, $\eta \in {{\mathbb{R}}^{{N(s) \times n}}}$, где ${{c}_{{11}}} > 0$ не зависит от $x,\;\zeta $ и $\eta $; причем для почти всех $x \in Q$ и любых $\xi \in {{\mathbb{R}}^{{n + 1}}}$, здесь $2 - 1{\text{/}}p < p{\kern 1pt} ' < p$, ${{g}_{1}} \in {{L}_{{p/(p - 2)}}}(Q)$, ${{g}_{2}} \in {{L}_{q}}(Q)$, ${{c}_{{12}}},{{c}_{{13}}} > 0$ не зависят от $x$ и $\xi $.

Тогда оператор ${{\mathcal{A}}_{R}} = \mathcal{A}{{R}_{Q}}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ – деминепрерывный, коэрцитивный оператор, обладающий свойством $({{S}_{ + }})$.

Доказательство. В силу формулы Тейлора и теорем вложения для пространств Лебега условия (4.3)–(4.5) гарантируют выполнение условия (3.1). Тогда в силу леммы 3.1 оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ деминепрерывный.

Представим оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ в виде суммы операторов следующим образом:

где Согласно условию (4.2), аналогично теореме 3.1 доказывается, что оператор $\mathcal{A}_{R}^{1}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ сильно эллиптичен.

Покажем, что оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ обладает свойством $({{S}_{ + }})$. Пусть ${{u}_{m}} \rightharpoonup u$ слабо в $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$. Тогда, с точностью до подпоследовательности, ${{u}_{m}} \to u$ в ${{L}_{p}}(Q)$. В силу непрерывности оператора ${{R}_{Q}}$, ${{R}_{Q}}{{u}_{m}} \rightharpoonup {{R}_{Q}}u$ в $W_{p}^{1}(Q)$ и ${{R}_{Q}}{{u}_{m}} \to {{R}_{Q}}u$ в ${{L}_{p}}(Q)$. Из сходимости ${{R}_{Q}}{{u}_{m}} \to {{R}_{Q}}u$ в ${{L}_{p}}(Q)$, условий (4.3), (4.4) и [10, Глава 1, § 2, п. 4] следует, что ${{A}_{i}}( \cdot ,{{R}_{Q}}{{u}_{m}},\nabla {{R}_{Q}}u) \to {{A}_{i}}( \cdot ,{{R}_{Q}}u,\nabla {{R}_{Q}}u)$ в ${{L}_{q}}(Q)$.

Заметим, что $\mathop {lim}\limits_{m \to \infty } \left\langle {{{\mathcal{A}}_{R}}u,{{u}_{m}} - u} \right\rangle = 0$ в силу слабой сходимости $\{ {{u}_{m}}\} $. Тогда

Рассмотрим второе слагаемое под знаком предела: Здесь первый интеграл сходится к нулю, поскольку подынтегральной функцией является произведение, первый сомножитель которого принадлежит ограниченной в ${{L}_{q}}(Q)$ последовательности, а второй – последовательности функций, сходящихся к нулю в ${{L}_{p}}(Q)$. В последней строке рассмотрена сумма интегралов, подынтегральными функциями которых являются произведения, первый сомножитель которых принадлежит последовательности функций, сходящихся к нулю в пространстве ${{L}_{q}}(Q)$, а второй – последовательности функций, слабо сходящихся к нулю в ${{L}_{p}}(Q)$. То есть, Поскольку выше было доказано, что оператор $\mathcal{A}_{R}^{1}:\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{q}^{{ - 1}}(Q)$ сильно эллиптичен, то мы можем использовать оценку (3.9): Из неравенства (4.6) следует, что для любой слабо сходящейся последовательности ${{u}_{m}} \rightharpoonup u$ в $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ при выполнении условия $\mathop {\overline {{\text{lim}}} }\limits_{m \to \infty } \left\langle {{{\mathcal{A}}_{R}}{{u}_{m}},{{u}_{m}} - u} \right\rangle \leqslant 0$ справедливо, что Таким образом, получена оценка Доказано, что последовательность $\{ {{u}_{m}}\} $ сходится в пространстве $\mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ по норме, т.е. оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ обладает свойством $({{S}_{ + }})$.

Осталось проверить коэрцитивность оператора ${{\mathcal{A}}_{R}}$:

Для первого слагаемого в силу условия (4.2) выше получена оценка: Оценим второе слагаемое. Используем условие (4.4), а также неравенство Гёльдера: Заметим, что $1 < (p{\kern 1pt} '\; - 1)p{\text{/}}(p - 1) = (p{\kern 1pt} '\; - 1)q < p$ при $(2 - 1{\text{/}}p) < p{\kern 1pt} ' < p$. Используем непрерывность вложения пространств Лебега ${{L}_{{\tfrac{{(p{\kern 1pt} ' - 1)p}}{{p - 1}}}}}(Q) \subset {{L}_{p}}(Q)$, а также непрерывность оператора ${{R}_{Q}}:{{L}_{{\tfrac{{(p{\kern 1pt} ' - 1)p}}{{p - 1}}}}}(Q) \to {{L}_{{\tfrac{{(p{\kern 1pt} ' - 1)p}}{{p - 1}}}}}(Q)$: Таким образом, Аналогично для последнего слагаемого (4.7), используем непрерывность вложения ${{L}_{{p'}}}(Q) \subset {{L}_{p}}(Q)$ для $1 < p{\kern 1pt} ' < p$, а также непрерывность оператора ${{R}_{Q}}:{{L}_{{p{\kern 1pt} '}}}(Q) \to {{L}_{{p'}}}(Q)$: Выберем $\varepsilon $ таким образом, что ${{c}_{{15}}}\varepsilon {\text{/}}p = {{c}_{8}}{\text{/}}2$, подставим оценки (4.8)–(4.10) в (4.7) и используем неравенство Фридрихса ${{\left\| u \right\|}_{{{{L}_{p}}(Q)}}} \leqslant {{c}_{{21}}}{{\left\| u \right\|}_{{\mathop W\limits^{^{ \circ }} {\kern 1pt} _{p}^{1}(Q)}}}$. Тогда имеем Первое слагаемое в правой части неравенства (4.11) положительно и имеет степенной рост порядка $p$ относительно ${{\left\| u \right\|}_{{\mathop W\limits^{^{ \circ }} {\kern 1pt} _{p}^{1}(Q)}}}$, а остальные слагаемые имеют степенной рост порядков меньше $p$. Таким образом, оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ является коэрцитивным.

Замечание 4.1. Заметим, что свойство ${{(S)}_{ + }}$ сохраняется, если $p{\kern 1pt} ' = p$ в оценках (4.4), (4.5) при выполнении остальных условий теоремы 4.1.

Замечание 4.2. Аналогичные исследования можно провести в случае задач $2m$-го порядка. Для симметричного разностного оператора подобные результаты были получены в [7].

Определение 4.4. Функция $u \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ называется обобщенным решением задачи (1.1), (1.2), если для любого $\xi \in \mathop {W_{p}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ справедливо интегральное тождество

Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, а также $f \in W_{q}^{{ - 1}}(Q)$. Тогда существует обобщенное решение задачи (1.1), (1.2). Более того, множество решений задачи (1.1), (1.2) слабо компактно.

Доказательство. Согласно теореме 4.1, оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ деминепрерывен, коэрцитивен и обладает свойством $({{S}_{ + }})$, т.е. псевдомонотонен. Следовательно, обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) существует, см. теорему 2.7 гл. 2 из [11].

Доказательство слабой компактности множества решений уравнения с коэрцитивным, деминепрерывным оператором, обладающим свойством $({{S}_{ + }})$, приведено, например, в теореме 3 (см. [6]).

5. ПРИМЕР: НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ БИЦАДЗЕ–САМАРСКОГО

Пусть $p = 2$, $Q = (0,2) \times (0,1)$, $f \in {{L}_{2}}(Q)$. Рассмотрим квазилинейное уравнение

с краевыми условиями типа Бицадзе–Самарского: Здесь

В работе [12] был рассмотрен оператор $A = - \Delta $ и доказана разрешимость задачи при ${{\gamma }_{1}} = 0$ и ${{\gamma }_{{ - 1}}} = 1$. Существование и единственность обобщенного решения в пространстве $W_{2}^{1}(Q)$ для произвольного линейного сильно эллиптичного оператора $A$, заданного $1$-периодическими функциями ${{A}_{{ij}}}(x,w) = {{A}_{{ij}}}(x)$, при $\left| {{{\gamma }_{1}} + {{\gamma }_{{ - 1}}}} \right| < 2$ была доказана в [5]. Там же была установлена взаимосвязь задачи (5.1), (5.2) и эллиптичеcкого функционально-дифференциального уравнения

c краевым условием где оператор ${{R}_{Q}} = {{I}_{Q}}R{{P}_{Q}}$ задан соотношением А именно, было доказано, что если ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{{ - 1}}} \ne 1$, то оператор ${{R}_{Q}}:\mathop {W_{2}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{{2,\gamma }}^{1}(Q)$ является изоморфизмом, здесь Таким образом, функция $w \in W_{2}^{1}(Q)$ тогда и только тогда является обобщенным решением (5.1), (5.2), когда существует обобщенное решение $u \in \mathop {W_{2}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q)$ задачи (5.4), (5.5), причем $w = {{R}_{Q}}u$.

В рассматриваемой квазилинейной задаче нельзя наложить условие $1$-периодичности функций ${{A}_{{ij}}}$, поскольку имеется явная зависимость ${{A}_{{ij}}}$ от $w$. Используем теорему 3.2 для проверки сильной эллиптичности оператора $A{{R}_{Q}}$. Заметим, что оператору ${{R}_{Q}}$ соответствует матрица

где ${{\gamma }_{0}}: = 1$. Матрица ${{R}_{1}}$ невырождена при ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{{ - 1}}} \ne 1$. Cогласно теореме 3.1 оператор $A{{R}_{Q}}$ сильно эллиптичен, если ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{{ - 1}}} \ne 1$, а непрерывные функции ${{A}_{{ij}}}$ удовлетворяют неравенству где ${{c}_{{25}}} > 0$ не зависит от $\xi \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ и $\eta \in {{\mathbb{R}}^{{2 \times 2}}}$.

Теорема 5.1. Пусть ${{\gamma }_{1}}{{\gamma }_{{ - 1}}} \ne 1$, и пусть выполнены неравенства (5.3) и (5.6). Тогда нелокальная эллиптическая задача (5.1), (5.2) имеет единственное обобщенное решение $w \in W_{{2,\gamma }}^{1}(Q)$ для любого $f \in W_{2}^{{ - 1}}(Q)$.

Доказательство вытекает из теоремы 3.4 и сформулированного утверждения о том, что ${{R}_{Q}}:\mathop {W_{2}^{1}}\limits^{^{ \circ }} (Q) \to W_{{2,\gamma }}^{1}(Q)$ – изоморфизм.