Журнал вычислительной математики и математической физики, 2020, T. 60, № 9, стр. 1496-1502

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим сильно эллиптическую систему дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости $(x,y)$

относительно вещественнозначных функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ с постоянными вещественными матрицами коэффициентов $A$, $B$, $C$ размера $2 \times 2$. Эллиптичность означает, что характеристическая форма $det(A{{\xi }^{2}} + 2B\xi \eta + C{{\eta }^{2}})$ с вещественными переменными $\xi $ и $\eta $ обращается в нуль только при $\xi = \eta = 0$. Сильная эллиптичность накладывает дополнительное требование, что $det(A + 2\alpha B + \beta C) \ne 0$ при $\alpha \leqslant {{\beta }^{2}}$ (см. [1]– [4]).

Любую эллиптическую систему вида (1.1) можно с помощью линейной замены координат, линейной замены искомых функций и линейной комбинации уравнений привести к уравнению

относительно комплекснозначной функции $f$ комплексного переменного $z = x + iy$ с вещественными параметрами $\tau \in [0,1)$ и (см. [4], [5]). Здесь суть операторы Коши–Римана в новой системе координат. При $\sigma = \infty $ считаем, что $(\tau \partial{ \bar {\partial }} + {{\partial }^{2}})\overline {f(z)} = 0$. В случае сильной эллиптичности будет ${\text{|}}\sigma {\text{|}} < 1$.

Выделим несколько частных случаев. При $\tau = \sigma = 0$ получаем комплексное уравнение Лапласа $\Delta f(z) = 4\partial{ \bar {\partial }}f(z) = 0$, а при $\tau = 0$, $\sigma = \infty $ – уравнение Бицадзе [6] ${{\bar {\partial }}^{2}}f(z) = 0$. Если $\tau = 0$, то возникает плоское изотропное уравнение Ламе теории упругости, которое в наших переменных записывается в виде $\partial{ \bar {\partial }}f(z) + \sigma {{\partial }^{2}}\overline {f(z)} = 0$, причем параметр $\sigma $ связан с коэффициентом Пуассона $p$ соотношением $\sigma = 1{\text{/}}(3 - 4p)$. Поскольку, как известно [7], $p \in (0,1{\text{/}}2)$, а значит, $\sigma \in (1{\text{/}}3,1)$, то соответствующая система (1.1) сильно эллиптическая. Если же $\sigma = 0$, то получаем кососимметрическую систему, которая может быть записана в виде уравнения $a{{f}_{{xx}}} + 2b{{f}_{{xy}}} + c{{f}_{{yy}}} = 0$ с комплексными коэффициентами $a$, $b$, $c$.

Для дальнейшего понадобятся операторы линейного преобразования координат

с комплексными параметрами $\alpha $ и $\beta $; здесь $\mathcal{I}\,:w \to w$ – тождественный оператор, $\mathcal{C}\,:w \to \bar {w}$ – оператор комплексного сопряжения. Операторам вида (1.3) взаимно однозначно ставятся в соответствие вещественные квадратные матрицы второго порядка. В самом деле, положим $\alpha = a + ib$, $\beta = c + id$ и $w = u + iv$. Тогда легко проверить, что Умножению матриц соответствует операция композиции операторов вида ${{\mathcal{T}}_{{\alpha ,\beta }}}$, а если ${\text{|}}\alpha {\text{|}} \ne {\text{|}}\beta {\text{|}}$, то существует обратный оператор и можно определить деление операторов по правилу С помощью введенных обозначений уравнение (1.2) может быть записано в виде с оператором Будем считать этот оператор заданным при комплексных значениях параметров $\tau $ и $\sigma $; запишем его в развернутом виде: С помощью непосредственной подстановки в мультипликативную запись (1.6) оператора ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}$ можно проверить, что решение уравнения (1.5) при $\tau \ne 0$ имеет вид а при $\tau = 0$ – вид где ${{z}_{\tau }}: = {{\mathcal{T}}_{{1, - \tau }}}z = z - \tau \bar {z}$, а $g$ и $h$ – голоморфные функции своих аргументов.

Оператор ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}$ можно задавать не только на комплекснозначных функциях комплексного переменного, но и на операторах вида $\mathcal{F}: = \varphi (z)\mathcal{I} + \psi (z)\mathcal{C}$ с функциями $\varphi ,\psi {\kern 1pt} :\;\mathbb{C} \to \mathbb{C}$. В частности, если $\psi \equiv 0$, то вместо оператора $\mathcal{F}$ получаем обычную функцию: $\mathcal{F} = \varphi $. Будем использовать запись ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}(z)[\mathcal{F}]$ для действия оператора ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}$, заданного в системе координат $z = x + iy$, на оператор $\mathcal{F}$.

Предложение 1. Пусть $a$, $b$, $\alpha $, $\beta $, $\tau $, $\sigma \in \mathbb{C}$, причем $a \ne 0$ и ${\text{|}}\tau {\text{|}} \ne 1$, ${\text{|}}\sigma {\text{|}} \ne 1$, а $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ – операторы вида $\varphi (z)\mathcal{I} + \psi (z)\mathcal{C}$. Оператор ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}$ обладает следующими свойствами:

Доказательство. Из развернутой записи (1.7) оператора видно, что он инвариантен относительно сдвига начала координат, а поворот системы координат на угол $\theta $ приводит к повороту параметров $\tau $ и $\sigma $ на удвоенный угол. Действительно, пусть $z{\text{'}} = z{{e}^{{i\theta }}}$ и $\partial {\text{'}}$, $\bar {\partial }'$ – операторы Коши–Римана в системе координат $z{\text{'}}$. Тогда имеем

Подставляя эти соотношения в (1.7), получаем, что если ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}(z)[f] = 0$, то ${{\mathcal{L}}_{{\tau {\text{'}},\sigma {\text{'}}}}}(z{\text{'}})[f] = 0$, где $\tau {\text{'}} = \tau {{e}^{{2i\theta }}}$, $\sigma {\text{'}} = \sigma {{e}^{{2i\theta }}}$. Таким образом, представляя число $a$ в виде $a = {\text{|}}a{\kern 1pt} {\text{|}}{{e}^{{i\theta }}}$, получаем свойство 1. Свойства 2 и 3 проверяются непосредство с помощью представления (1.7). Свойство 4 следует из ассоциативности операции умножения матриц. Предложение доказано.

Два логарифмических решения рассматриваемого уравнения (1.5) играют важную роль. Первым из них является функция-оператор

(действующая на число $w \in \mathbb{C}$) с выбором главной ветви логарифма. Функция $\Phi (z)$ имеет логарифмический полюс в начале координат и однозначно определена вне его, поскольку приращение аргументов функций ${{z}_{\tau }}\bar {z}$ и ${{z}_{\tau }}{\text{/}}z$ при его обходе равно нулю. Она является фундаментальным решением, т.е. ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}\Phi (z) = {{\delta }_{0}}(z)$, где ${{\delta }_{0}}(z)$ – дельта-функция Дирака с центром в нуле [8]. Другим примером является функция-оператор с выбором любой ветви логарифма в плоскости с разрезом по какой-либо гладкой жордановой кривой в , идущей от начала координат к бесконечно удаленной точке. Функция $F(z)$ представляет собой пример решения с многозначностью в точке $0$. Отметим, что функции $\Phi (z)$ и $F(z)$ могут быть определены и при $\tau = 0$, несмотря на то, что параметр $\tau $ стоит в знаменателе в формулах (1.8) и (1.9): для этого случая функции определяются с помощью предельного перехода ${{\tau }^{{ - 1}}}log({{z}_{\tau }}{\text{/}}z) = {{\tau }^{{ - 1}}}log(1 - \tau \bar {z}{\text{/}}z) \to - \bar {z}{\text{/}}z$.

С использованием функции $F(z)$ в разд. 2 показано, что задача Дирихле для рассматриваемого уравнения (1.5) в области с кусочно-гладкой границей и кусочно-непрерывными граничными данными имеет решение, и установлено поведение этого решения вблизи точки, в которой граничные значения терпят разрыв. В разд. 3 показан характер предельной кривой для такой точки.

2. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ

Рассмотрим задачу Дирихле для оператора ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}$ с коэффициентами $\tau \in [0,1)$, $\sigma \in ( - 1,1)$ в следующей постановке.

Задача. Пусть $\Omega $ – ограниченная односвязная область с кусочно-гладкой границей $\Gamma $ без точек (внутреннего и внешнего) заострения, на которой задана кусочно-непрерывная функция $\varphi (\zeta )$, имеющая разрывы I рода в точках ${{\zeta }_{k}}$, $k = 1, \ldots ,n$. Найти ограниченную в $\bar {\Omega }$ функцию $f(z)$, непрерывную в $\bar {\Omega }{\backslash }\bigcup\nolimits_k^{} {\{ {{\zeta }_{k}}\} } $, удовлетворяющую в $\Omega $ уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}f = 0$ и совпадающую на $\Gamma {\backslash }\bigcup\nolimits_k^{} {\{ {{\zeta }_{k}}\} } $ с $\varphi (\zeta )$.

Обозначим через $\varphi _{k}^{ + }$ и $\varphi _{k}^{ - }$ пределы функции $\varphi (\zeta )$ при стремлении точки $\zeta $ к ${{\zeta }_{k}}$ вдоль $\Gamma $ по часовой и против часовой стрелки соответственно, а через $\Delta {{\varphi }_{k}}: = \varphi _{k}^{ + } - \varphi _{k}^{ - }$ – скачок $\varphi $ в точке ${{\zeta }_{k}}$.

Далее, через $T_{k}^{ + }$ и $T_{k}^{ - }$ обозначим односторонние касательные к $\Gamma $ в точке ${{\zeta }_{k}}$ и через $\alpha _{k}^{ + }$ и $\alpha _{k}^{ - }$ их углы наклона относительно положительного направления горизонтальной прямой, выходящей из точки ${{\zeta }_{k}}$, причем выбираем эти углы так, что $\alpha _{k}^{ - } > \alpha _{k}^{ + }$ (см. фиг. 1). Положим $\Delta {{\alpha }_{k}}: = \alpha _{k}^{ - } - \alpha _{k}^{ + }$; если кривая $\Gamma $ гладкая в точке ${{\zeta }_{k}}$, то $\Delta {{\alpha }_{k}} = \pi $. Наконец, введем прямую ${{\Lambda }_{{k,\alpha }}}$, проходящую через точку ${{\zeta }_{k}}$ и составляющую угол $\alpha $ с полупрямой $T_{k}^{ - }$, отсчитываемый от $T_{k}^{ - }$ в направлении движения часовой стрелки. Если точка $z \in \Omega $ стремится к точке ${{\zeta }_{k}}$ вдоль гладкой кривой, то значение угла $\alpha $ между касательной к этой кривой в ${{\zeta }_{k}}$ и полупрямой $T_{k}^{ - }$ лежит на отрезке $[0,\Delta {{\alpha }_{k}}]$.

Поскольку $\Omega $ – односвязная область, то из точки ${{\zeta }_{k}}$ можно провести разрез вдоль гладкой жордановой кривой, лежащей вне $\Omega $ и уходящей на бесконечность. В плоскости с таким разрезом можно выделить однозначную ветвь функции $arg(z - {{\zeta }_{k}})$, которая будет непрерывна в $\bar {\Omega }{\backslash }\{ {{\zeta }_{k}}\} $. Выделим эту ветвь, задав условие $arg(z - {{\zeta }_{k}}) = 0$ при $z \in T_{k}^{ - }$. Тогда при $z \in {{\Lambda }_{{k,\alpha }}}$ будет $arg(z - {{\zeta }_{k}}) = - \alpha $.

В (1.9) положим $\tau = \tau {\text{'}}$, $\sigma = \sigma {\text{'}}$ и рассмотрим функцию

для которой при $z \in {{\Lambda }_{{k,\alpha }}}$ верно Из (2.1) и сделанного выбора ветви $arg(z - {{\zeta }_{k}})$ видно, что ${{\lambda }_{k}}(z)$ удовлетворяет уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau {\text{'}},\sigma {\text{'}}}}}(z{\text{'}})[{{\lambda }_{k}}] = 0$ в системе координат $z{\text{'}} = x{\text{'}} + iy{\text{'}}$ с центром в точке ${{\zeta }_{k}}$ и вещественной осью $x{\text{'}}$, направленной по односторонней касательной $T_{k}^{ - }$, см. фиг. 1. Такая система координат $z{\text{'}}$ получается из исходной системы $z = x + iy$ сдвигом ее в точку ${{\zeta }_{k}}$ и дальнейшим поворотом на угол $\alpha _{k}^{ - }$, т.е. $z{\text{'}} = {{\zeta }_{k}} + z{{e}^{{i\alpha _{k}^{ - }}}}$. Но тогда в системе координат $z$ функция ${{\lambda }_{k}}$ будет удовлетворять уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}(z)[{{\lambda }_{k}}] = 0$ с параметрами $\tau = \tau {\text{'}}{{e}^{{2i\alpha _{k}^{ - }}}}$, $\sigma = \sigma {\text{'}}{{e}^{{2i\alpha _{k}^{ - }}}}$, см. свойство 1 в предложении 1. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}(z)[{{\mu }_{k}}] = 0$ в области $\Omega $ и является непрерывной на $\bar {\Omega }{\backslash }\{ {{\zeta }_{k}}\} $. Устраивая дополнительно сдвиг и масштабирование, получаем функцию где деление операторов вида (1.3) определяется согласно (1.4). Построенная функция удовлетворяет тому же уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}(z)[{{p}_{k}}] = 0$ (см. свойство 4 в предложении 1) и условиям ${{p}_{k}}(0) = 0$ и ${{p}_{k}}(\Delta {{\alpha }_{k}}) = \mathcal{I}$. Если кривая $\Gamma $ является гладкой в точке ${{\zeta }_{k}}$, т.е. $\Delta {{\alpha }_{k}} = \alpha _{k}^{ - } - \alpha _{k}^{ + } = \pi $, то формула (2.2) приобретает более простой вид Как обычно, при $\tau = 0$ выражения (2.2) и (2.3) определяются с помощью предельного перехода. В частности, при $\tau = \sigma = 0$, что соответствует уравнению Лапласа, или гармоническим функциям, из (2.3) получаем ${{p}_{k}}(\alpha ) = \alpha {\text{/}}\pi $.

Зададим теперь функцию

которая удовлетворяет уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}[{{f}_{k}}] = 0$ в $\Omega $, непрерывна в $\bar {\Omega }{\backslash }\{ {{\zeta }_{k}}\} $ и имеет в точке ${{\zeta }_{k}}$ скачок $\Delta {{\varphi }_{k}}$. Тогда функция будет непрерывной на $\Gamma $. В области $\Omega $ с кусочно-гладкой границей, согласно [8], задача Дирихле для непрерывной граничной функции $\psi (\zeta )$ имеет единственное решение, т.е. существует функция $g \in C(\bar {\Omega })$, удовлетворяющая в $\Omega $ уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}[g] = 0$ и совпадающая на $\Gamma $ с $\psi (z)$. Поскольку все функции ${{f}_{k}}(z)$ удовлетворяют уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}[{{f}_{k}}] = 0$ в $\Omega $, то функция $f(z) = g(z) + \sum\nolimits_{k = 1}^n \,{{f}_{k}}(z)$ удовлетворяет тому же уравнению и решает поставленную задачу Дирихле с граничной функцией $\varphi (\zeta )$.

Выясним теперь поведение функции $f(z)$ вблизи любой из точек ${{\zeta }_{m}}$, в которых граничная функция $\varphi (\zeta )$ терпит разрыв. Введем функцию

непрерывную в точке ${{\zeta }_{m}}$, и запишем $f(z) = {{g}_{m}}(z) + {{f}_{m}}(z)$. Тогда Отсюда при $\alpha \to 0$ получим $f(z) \to \varphi _{m}^{ - }$, ${{f}_{m}}(z) \to 0$ и, следовательно, ${{g}_{m}}({{\zeta }_{m}}) = \varphi _{m}^{ - }$, так что с учетом (2.4) находим Таким образом, множество угловых некасательных пределов в точке ${{\zeta }_{m}}$ образует кривую соединяющую точки $\varphi _{m}^{ - }$ и $\varphi _{m}^{ + }$. Итак, доказано следующее.

Предложение 2. Пусть $\Omega $ – ограниченная односвязная область с кусочно-гладкой границей $\Gamma $ без точек (внутреннего и внешнего) заострения, на которой задана кусочно-непрерывная функция $\varphi (\zeta )$, имеющая разрывы I рода в точках ${{\zeta }_{k}}$, $k = 1, \ldots ,n$. Тогда существует и единственна ограниченная в $\bar {\Omega }$ функция $f(z)$, непрерывная в $\bar {\Omega }{\backslash }\bigcup\nolimits_k^{} {\{ {{\zeta }_{k}}\} } $, удовлетворяющая в $\Omega $ уравнению ${{\mathcal{L}}_{{\tau ,\sigma }}}f = 0$ и совпадающая на $\Gamma {\backslash }\bigcup\nolimits_k^{} {\{ {{\zeta }_{k}}\} } $ с $\varphi (\zeta )$. Эта функция $f(z)$ имеет в любой точке $\zeta \in \Gamma $ все угловые пределы, которые в точках непрерывности функции $\varphi (\zeta )$ совпадают с ее значением, а в точках ${{\zeta }_{k}}$, в которых нарушается непрерывность $\varphi (\zeta )$, вычисляются по формуле (2.5). Множество угловых пределов образует кривую (2.6).

3. ПРЕДЕЛЬНАЯ КРИВАЯ

Изучим характер предельной кривой $\gamma $ для точки ${{\zeta }_{k}}$, в которой $\Gamma $ гладкая (далее опускаем индекс $k$). Обозначим ${{w}_{1}} = {{\varphi }^{ - }}$, ${{w}_{2}} = {{\varphi }^{ + }}$ и $\Delta w = {{w}_{2}} - {{w}_{1}}$. Согласно (2.6), $\gamma $ задается уравнением $w = {{w}_{1}} + p(\alpha )[\Delta w]$ с параметром $\alpha \in ({{\alpha }^{ + }},{{\alpha }^{ + }} + \pi )$ и функцией $p(\alpha )$, определяемой по формуле (2.3). Устроим замену координаты $w$ на

которая сводится к сдвигу, повороту и растяжению (сжатию), и получим где $\beta : = arg\Delta w$. Отсюда так что при ${\text{|}}\tau {\kern 1pt} {\text{|}} < 1$, ${\text{|}}\sigma {\kern 1pt} {\text{|}} < 1$ (сильная эллиптичность) имеем $\tilde {w}{\kern 1pt} '(\alpha ) \ne 0,\infty $, т.е. $\gamma $ – гладкая кривая.

Отметим, что при $\tau = \sigma = 0$, т.е. в гармоническом случае, предельная кривая $\gamma $, как известно [9], представляет собой отрезок прямой. Кроме того, уравнение кривой упрощается, когда один из параметров $\tau $ или $\sigma $ равен нулю. Рассмотрим случай, когда $\tau = 0$, что соответствует системе Ламе (см. введение). Имеем

Заменим параметр $\alpha $ на $\theta = 2(\alpha - {{\alpha }^{ - }} - \beta ) + \pi $ и устроим сдвиг и масштабирование системы координат по формуле $\hat {w}: = 2\pi [\tilde {w} - ({{\alpha }^{ - }} + \beta ){\text{/}}\pi + 1{\text{/}}2] - i$ и получим $\hat {w} = i + \alpha - \sigma {{e}^{{i\alpha }}}$. Отделяя вещественную и мнимую части $u = \operatorname{Re} \hat {w}$ и $v = {\text{Im}}\hat {w}$, приходим к параметрическим уравнениям где $\theta \in ( - 3\pi {\text{/}}2 - 2\beta ,\pi {\text{/}}2 - 2\beta )$. Эти уравнения задают трохоиду, которая является траекторией точки, отстоящей от центра окружности радиуса $1$ на расстояние $\sigma $, при движении этой окружности по горизонтальной прямой, см. фиг. 2. В случае сильной эллиптичности $\sigma \in [0,1)$, так что точка, описывающая трохоиду, лежит внутри окружности; такая трохоида называется укороченной циклоидой (при $\sigma > 1$ удлиненной). Если $\sigma = 1$, то получаем циклоиду [10]. Предельная кривая $\gamma $ с точностью до сдвига, поворота и растяжения (сжатия) является отрезком одного периода полученной трохоиды.

Автор выражает благодарность В.И. Власову за полезные советы при подготовке статьи.