Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 1, стр. 85-94

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы существования и единственности решения задач рассеяния электромагнитных волн на ограниченных диэлектрических трехмерных телах Q, находящихся в свободном пространстве, имеют большое значение как с теоретической, так и с практической точек зрения. Как правило, при доказательстве единственности используются уравнения Максвелла с соответствующими условиями сопряжения и условием излучения на бесконечности. Для доказательства существования решения исходная задача сводится к интегральному уравнению. Тогда, если оператор интегрального уравнения является фредгольмовым в соответствующем функциональном пространстве, доказательство завершается и формулируется теорема существования и единственности решения. По такой схеме были доказаны теоремы для следующих классов задач рассеяния:

– неоднородная среда характеризуется гладкой во всем пространстве ℝ³ скалярной функцией диэлектрической проницаемости $\varepsilon (x)$ или тензор-функцией диэлектрической проницаемости $\hat {\varepsilon }(x)$, а магнитная проницаемость всюду постоянна, при этом среда в $Q$ может не иметь потерь (см. [1]–[3]);

– неоднородная среда характеризуется всюду гладкими в ℝ³ тензор-функциями диэлектрической $\hat {\varepsilon }(x)$ и магнитной $\hat {\mu }(x)$ проницаемостями, при этом среда в $Q$ может не иметь потерь (см. [4], [5]);

– область неоднородности является поглощающей, при этом тензор-функции $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ могут иметь разрывы, в том числе на границе Q (см. [4], [5]).

Случай, когда область неоднородности среды не имеет потерь, а параметры среды являются разрывными, в том числе на $\partial {\kern 1pt} Q$, является наиболее сложным. Результаты в этом направлении получены в [6]–[9]. В [6] доказана теорема о единственности решения задачи рассеяния в обобщенной постановке (условия сопряжения на границе тела не ставятся) в анизотропной среде, которая характеризуется вещественными тензор-функциями $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$, имеющими разрывы, в частности, на $\partial {\kern 1pt} Q$. В [7]–[9] доказана теорема о существовании и единственности решения задачи рассеяния на изотропном теле, которое характеризуется вещественной функцией диэлектрической проницаемости $\varepsilon (x) > 0$, также имеющей разрывы на $\partial {\kern 1pt} Q$.

В настоящей работе доказаны теоремы единственности решения задач рассеяния в классической постановке (с условиями сопряжения на границе тел) на анизотропных телах, в том числе без потерь и имеющих разрывы параметров – диэлектрической и магнитной проницаемостей. Предложенный метод доказательства является оригинальным и отличается от используемых в перечисленных выше работах. Также доказаны теоремы о существовании и единственности решения системы объемных сингулярных интегральных уравнений, к которой сводится исходная краевая задача.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть $Q$ – ограниченная область в пространстве ℝ³. Будем предполагать, что граница $\partial Q$ области $Q$ кусочно-гладкая (точное определение см. в [10]).

Будем рассматривать следующий класс задач электродинамики. В области $Q$ среда характеризуется тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ (матрицы-функции размерности 3 × 3), причем компоненты этих тензоров являются кусочно-дифференцируемыми функциями координат. Точнее, пусть область $Q$ состоит из конечного числа подобластей ${{Q}_{i}}$ с кусочно-гладкой границей $\partial {{Q}_{i}}$; $\overline Q = \bigcup\nolimits_i^{} {{{{\overline Q }}_{i}}} $, ${{Q}_{i}} \cap {{Q}_{j}} = \emptyset $ при $i \ne j$. Предположим, что $\hat {\varepsilon } \in {{C}^{3}}(\overline {{{Q}_{i}}} )$_, $\hat {\mu } \in {{C}^{3}}(\overline {{{Q}_{i}}} )$ для всех $i$. Точнее, будем предполагать, что $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ являются сужениями на ${{Q}_{i}}$ функций, заданных на более широком множестве, т.е. $\hat {\varepsilon }(x) = {{\hat {\varepsilon }}_{i}}(x)$, $\hat {\mu }(x) = {{\hat {\mu }}_{i}}(x)$ при $x \in {{Q}_{i}}$, ${{\hat {\varepsilon }}_{i}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$, ${{\hat {\mu }}_{i}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$, где $B$ – (открытый) шар, содержащий $Q$, $\overline Q \subset B$. На $\partial {{Q}_{i}}$ будем определять только предельные значения функций $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ с разных сторон в точках гладкости поверхности.

Вне области $Q$ (в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $) среда изотропна с постоянными параметрами, $\varepsilon = {{\varepsilon }_{0}}$ и $\mu = {{\mu }_{0}}$. Требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое в данной среде внешним полем с временной зависимостью в виде множителя $\exp ( - i\omega t)$, источником которого может быть как падающая плоская волна, так и сторонний ток $\vec {J}_{{}}^{0}$.

В такой постановке соответствующая математическая задача формулируется следующим образом: найти векторные непрерывно дифференцируемые в ${{Q}_{i}}$ и вне $\overline Q $ функции электромагнитного поля, удовлетворяющие в областях гладкости параметров среды уравнениям Максвелла

и условию излучения на бесконечности где ${{k}_{0}} = \omega \sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}} $, ($\operatorname{Im} {{\varepsilon }_{0}} = 0$, $\operatorname{Im} {{\mu }_{0}} = 0$, $\operatorname{Re} \,{{\varepsilon }_{0}} > 0$, $\operatorname{Re} {{\mu }_{0}} > 0$), а $u$ – любая из декартовых компонент полей $E$ или $H$. В (1) $J_{{}}^{0}$ – заданный электрический ток, создающий внешнее поле ${{E}^{0}}$, ${{H}^{0}}$. Далее, на гладких частях поверхностей разрыва проницаемостей $\partial {{Q}_{i}}$ функции $E$ и $H$ должны быть непрерывны вплоть до $\partial {{Q}_{i}}$ (с каждой стороны) и удовлетворять условию непрерывности тангенциальных компонент полей: где ${{[\, \cdot \,]}_{{\partial {{Q}_{i}}}}}$ означает разность следов с разных сторон $\partial {{Q}_{i}}$, $\tau $ – касательный вектор к $\partial {{Q}_{i}}$. Мы не будем вводить новые обозначения именно для гладких частей $\partial {{Q}_{i}}$, а будем в случае необходимости оговаривать особо это обстоятельство.

Кроме того, поля $E$ и $H$ должны удовлетворять условию ограниченности энергии в любом конечном объеме пространства, т.е. условию

Решения задачи (1)–(4) будем называть классическими.

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

Для большей прозрачности доказательств сначала рассмотрим задачу, для которой магнитная проницаемость всюду постоянна и равна μ₀. В этом разделе предположим, что $\hat {\varepsilon }(x) = \varepsilon (x)$ – скалярная функция, $\operatorname{Re} {{\varepsilon }_{i}}(x) > 0$, $\operatorname{Im} {{\varepsilon }_{i}}(x) \geqslant 0$.

Однородные уравнения Максвелла для такой задачи имеют вид

С помощью леммы Реллиха, используя условия на бесконечности (2), стандартным способом доказывается (см. [6]–[9]), что в области ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $ электромагнитное поле, удовлетворяющее (2)–(5), равно нулю. Тогда из (5), учитывая теорему Стокса, следует, что тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей на $\partial {\kern 1pt} Q$ равны нулю.

Рассмотрим однородную задачу (2)–(5). Обозначим эту задачу через А. Предположим, что в области $Q$ электромагнитное поле не равно тождественно нулю. Не ограничивая общности, можно считать, что во всех подобластях ${{Q}_{i}}$ (для всех $i$) поле $E$, $H$ не равно тождественно нулю. Действительно, в противном случае области ${{Q}_{i}}$, в которых поля тождественно равны нулю, можно исключить из $Q$ и рассмотреть задачу в оставшейся части $Q$ с теми же граничными условиями.

Определим функцию-срезку со следующими свойствами: $\zeta (t;a,b) \in {{C}^{\infty }}({{{\mathbf{R}}}^{{\text{1}}}})$, $0 \leqslant \zeta (t;a,b) \leqslant 1$, $\zeta (t;a,b) = 1$ при $t \leqslant a$, $\zeta (t;a,b) = 0$ при $t \geqslant b$, $\zeta (t;a,b) > 0$ при $a < t < b$ ($0 < a < b$). Пусть шар $B$, содержащий $Q$ (см. разд. 1), имеет центр в ${{x}_{0}} \in Q$ и радиус $2d$, где $d$ – диаметр области $Q$, т.е.  максимальное расстояние между точками границы $\partial Q$. Определим функции $\varepsilon _{i}^{c}(x): = ({{\varepsilon }_{i}}(x) - {{\varepsilon }_{0}})\zeta \left( {\left| {x - {{x}_{0}}} \right|;d,2d} \right) + {{\varepsilon }_{0}}$. Из свойств функции-срезки следует, что $\varepsilon _{i}^{c} \in {{C}^{3}}({{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}})$, $\varepsilon _{i}^{c}(x) = \varepsilon (x)$ при $x \in {{Q}_{i}}$, $\varepsilon _{i}^{c}(x) = {{\varepsilon }_{0}}$ при $x \notin B$. Кроме того, записывая функцию в виде $\varepsilon _{i}^{c}(x) = {{\varepsilon }_{i}}(x)\zeta \left( {\left| {x - {{x}_{0}}} \right|;d,2d} \right) + {{\varepsilon }_{0}}(1 - \zeta \left( {\left| {x - {{x}_{0}}} \right|;d,2d)} \right)$, получаем, что если $\operatorname{Re} {{\varepsilon }_{i}}(x) > 0$, то и $\operatorname{Re} \varepsilon _{i}^{c}(x) > 0$ при $x \in B$.

Так как, по предположению, для задачи А во всех подобластях ${{Q}_{i}}$ поле $E$, $H$ не равно тождественно нулю, то найдется такое $j$, что $\partial {{Q}_{j}} \cap \partial Q \ne \emptyset $, т.е. у ${{Q}_{j}}$ и $Q$ имеется общий гладкий кусок границы.

Теперь рассмотрим вспомогательную задачу С. Задача С описывается уравнениями (2)–(5), в которых диэлектрическая проницаемость ${{\varepsilon }^{c}}(x)$ в области $Q$ совпадает с диэлектрической проницаемостью из задачи А, а вне области $Q$ диэлектрическая проницаемость ${{\varepsilon }^{c}}(x)$ равна $\varepsilon _{j}^{c}(x)$ для указанного выше $j$.

Теперь опишем множество решений задачи С. Поскольку $\varepsilon _{j}^{c}(x) = {{\varepsilon }_{0}}$ при $x \notin B$, то, аналогично изложенному выше, получим, что в области ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline B $ электромагнитное поле равно нулю. Обозначим ${{Q}^{j}}: = Q{\backslash }\overline {{{Q}_{j}}} $. Из построения функции $\varepsilon _{j}^{c}(x)$ следует, что $\varepsilon _{j}^{c} \in {{C}^{3}}({{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} )$. Тогда из однородных уравнений (5) следует уравнение относительно электрического поля в области ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $

Далее, поскольку $\operatorname{div} \operatorname{rot} \equiv 0$, из первого уравнения (5) следует, что $\operatorname{div} {\text{(}}\varepsilon _{j}^{c}E) = 0$, поэтому получим где круглые скобки обозначают скалярное произведение векторов. Теперь из (6), (7), учитывая тождество $\operatorname{rot} \operatorname{rot} = - \Delta + \operatorname{grad} \operatorname{div} $, получаем следующее уравнение: Поскольку $\varepsilon _{j}^{c}(x) \ne 0$, то уравнение (8) является эллиптическим в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $. Далее, все коэффициенты уравнения (8) являются функциями из ${{C}^{2}}({{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} )$. Поэтому можно применить принцип продолжения решения уравнения (8) по непрерывности (см. [1], [12], [13]) из области ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline B $ в область ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $. Учитывая, что в области ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline B $ поле $E \equiv 0$, получаем, что в области ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $поле $E \equiv 0$ и (как следует из второго уравнения (5)) $H \equiv 0$. Значит, электромагнитное поле в подобласти ${{Q}_{j}}$ равно нулю, и из условий сопряжения (3) следует, что тангенциальные компоненты полей $E$ и $H$ на $\partial {\kern 1pt} Q$ равны нулю.

Далее, электромагнитное поле в задачах А и С удовлетворяет одним и тем же уравнениям (5) в области $Q$ и одинаковым граничным условиям на $\partial {\kern 1pt} Q$ (тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей на $\partial {\kern 1pt} Q$ равны нулю). Поэтому множества решений задач А и С совпадают в области $Q$. Но решение задачи С в области ${{Q}_{j}}$ только тривиальное, что противоречит нетривиальности решения задачи А в этой же области.

Таким образом, из изложенного выше следует

Теорема 1. Пусть область $Q$ состоит из конечного числа подобластей ${{Q}_{i}}$ с кусочно-гладкой границей $\partial {{Q}_{i}}$; $\overline Q = \bigcup\nolimits_i^{} {{{{\overline Q }}_{i}}} $, ${{Q}_{i}} \cap {{Q}_{j}} = \emptyset $ при $i \ne j$. Предположим, что $\mu = {{\mu }_{0}}$ в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}$, $\varepsilon = {{\varepsilon }_{0}}$ в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $, а $\varepsilon (x)$ в $Q$ задается сужениями на ${{Q}_{i}}$ функций ${{\varepsilon }_{i}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$ ($\varepsilon (x) = {{\varepsilon }_{i}}(x)$ при $x \in {{Q}_{i}}$), где $B$ – (открытый) шар, содержащий $Q$, $\overline Q \subset B$. Пусть $\operatorname{Re} {{\varepsilon }_{i}}(x) > 0$, $\operatorname{Im} {{\varepsilon }_{i}}(x) \geqslant 0$ в $B$. Тогда задача (2)–(5) имеет только тривиальное решение.

Аналогично можно получить теорему единственности для изотропных магнитодиэлектрических сред.

3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

Теперь рассмотрим анизотропный случай. Наложим следующие ограничения на тензор-функции ${{\hat {\varepsilon }}_{i}}(x)$ и ${{\hat {\mu }}_{i}}(x)$ в области $B$, которые определяют значения $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ в области $Q$. Будем полагать, что эрмитовы тензор-функции $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{i}}(x) + \hat {\varepsilon }_{i}^{*}(x)){\text{/}}2$ и $({{\hat {\mu }}_{i}}(x) + \hat {\mu }_{i}^{*}(x)){\text{/}}2$ положительно определены (аналог условия $\operatorname{Re} {{\varepsilon }_{i}}(x) > 0$, $\operatorname{Re} {{\mu }_{i}}(x) > 0$ для изотропной среды); тензор-функции $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{i}}(x) - \hat {\varepsilon }_{i}^{*}(x)){\text{/}}(2i)$ и $({{\hat {\mu }}_{i}}(x) - \hat {\mu }_{i}^{*}(x)){\text{/}}(2i)$ неотрицательно определены (аналог условия $\operatorname{Im} {{\varepsilon }_{i}}(x)$, $\operatorname{Im} {{\mu }_{i}}(x) \geqslant 0$ для изотропной среды); ${{\hat {\varepsilon }}_{i}},{{\hat {\mu }}_{i}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$. Символ * обозначает сопряженный тензор, т.е. транспонированный тензор с комплексно-сопряженными элементами.

Будем рассматривать однородные уравнения

и соответственно краевую задачу (2)–(4), (9). Доказательство единственности решения задачи проводится по той же схеме, что и в разд. 2, поэтому остановимся только на отличиях анизотропного случая от изотропного.

Снова рассматриваются задачи А и С с заменой $\varepsilon $ и $\mu $ на $\hat {\varepsilon }$ и $\hat {\mu }$. Построение тензоров ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}$ и ${{\hat {\mu }}^{c}}$ для задачи С такое же, как и в разд. 2, т.е. с использованием функции-срезки:

Из [2], [11] следует, что уравнения (9) в области гладкости ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}$ и ${{\hat {\mu }}^{c}}$ сводятся в декартовой системе координат к следующей системе дифференциальных уравнений:

где ${{\varepsilon }_{{lm}}}$ и ${{\mu }_{{lm}}}$ – компоненты тензоров ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}$ и ${{\hat {\mu }}^{c}}$. В (11) используется правило суммирования по повторяющимся индексам, а ${{L}_{{kmn}}}$ – символ Леви–Чивита, который определяется формулой Из уравнений (11) следует, что детерминант главного символа дифференциального оператора определяется формулой

Поскольку $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{i}}(x) + \hat {\varepsilon }_{i}^{*}(x))$ и $({{\hat {\mu }}_{i}}(x) + \hat {\mu }_{i}^{*}(x))$ положительно определены, то получим, что $\det \,{{P}^{0}}(\xi ) \ne 0$ при $\left| \xi \right| \ne 0$ в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $. Значит, система уравнений (11) является эллиптической в этой области. Далее, все коэффициенты в (11) являются дифференцируемыми функциями в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $. Поэтому можно применить принцип продолжения решения уравнений (11) по непрерывности (см. [12], [13]). Дальнейшие рассуждения повторяют аналогичные из разд. 2. Из изложенного выше следует

Теорема 2. Пусть область $Q$ состоит из конечного числа подобластей ${{Q}_{i}}$ с кусочно-гладкой границей $\partial {{Q}_{i}}$; $\overline Q = \bigcup\nolimits_i^{} {{{{\overline Q }}_{i}}} $, ${{Q}_{i}} \cap {{Q}_{j}} = \emptyset $ при $i \ne j$. Предположим, что $\hat {\varepsilon } = {{\varepsilon }_{0}}\hat {I}$ $\hat {\mu } = {{\mu }_{0}}\hat {I}$ в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $, а $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }(x)$ в $Q$ задаются сужениями на ${{Q}_{i}}$ функций ${{\hat {\varepsilon }}_{i}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$ и ${{\hat {\mu }}_{i}} \in {{C}^{3}}(\overline B )$ ($\hat {\varepsilon }(x) = {{\hat {\varepsilon }}_{i}}(x)$ и $\hat {\mu }(x) = {{\hat {\mu }}_{i}}(x)$ при $x \in {{Q}_{i}}$), где $B$ – (открытый) шар, содержащий $Q$, $\overline Q \subset B$. Пусть эрмитовы тензор-функции $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{i}}(x) + \hat {\varepsilon }_{i}^{*}(x)){\text{/}}2$ и $({{\hat {\mu }}_{i}}(x) + \hat {\mu }_{i}^{*}(x)){\text{/}}2$ положительно определены, а тензор-функции $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\varepsilon } }_{i}}(x) - \hat {\varepsilon }_{i}^{*}(x)){\text{/}}(2i)$ и $({{\hat {\mu }}_{i}}(x) - \hat {\mu }_{i}^{*}(x)){\text{/}}(2i)$ неотрицательно определены в $B$. Тогда задача (2)–(4), (9) имеет только тривиальное решение.

4. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Будем рассматривать задачи в анизотропной среде, которые удовлетворяют условиям теоремы 2. Рассматриваемые задачи могут быть сведены к системе объемных сингулярных интегральных уравнений относительно электромагнитного поля в области $Q$ (см. [3]–[5]):

В (12), (13) ${{\hat {\varepsilon }}_{r}} = \hat {\varepsilon }{\text{/}}{{\varepsilon }_{0}}$, ${{\hat {\mu }}_{r}} = \hat {\mu }{\text{/}}{{\mu }_{0}}$; G – функция Грина (фундаментальное решение) для уравнения Гельмгольца где $R = \left| {x - y} \right|$; $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$; $y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})$, $ \times $ – векторное произведение. E⁰ и H⁰ – внешнее электромагнитное поле, создаваемое сторонним током $J_{{}}^{0}$ и удовлетворяющее уравнениям Максвелла для свободного пространства и условию излучения на бесконечности. Если источником поля является плоская волна, то в (15) $J_{{}}^{0} = 0$.

Для ответа на вопрос о существовании решения рассматриваемых задач необходимо выбрать подходящее для анализа функциональное пространство. Интегралы от квадрата модуля комплексных амплитуд электромагнитного поля присутствуют в законе сохранения энергии. Значит, можно полагать, что пространство интегрируемых с квадратом вектор-функций является наиболее “физичным” для исследования интегральных уравнений задач электромагнитного рассеяния. Ниже будем использовать гильбертово пространство шестимерных вектор-функций L₂(Q) со скалярным произведением, определяемым формулой

Отметим, что оператор уравнений (12), (13) определен в L₂(Q) (см. [4], [5]).

Систему уравнений (12), (13) можно записать в эквивалентной форме, в виде интегродифференциальных уравнений (см. [4]):

Выражения (16), (17) справедливы и при $x \in {{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $. В этом случае они являются интегральными представлениями и определяют электромагнитное поле вне области $Q$ по найденному значению полей в $Q$. Отметим, что, поскольку ${{\hat {\varepsilon }}_{r}}(x) = \hat {I}$, ${{\hat {\mu }}_{r}}(x) = \hat {I}$, $x \in {{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $, то в этой области интегральные представления полей (16), (17) не будут иметь сингулярности.

Для существования и единственности решения уравнений (16), (17) в L₂(Q) достаточно, чтобы оператор уравнений был фредгольмов и однородные уравнения имели только тривиальное решение в этом пространстве функций.

Рассмотрим сначала вопрос о единственности решения уравнений (16), (17). Непосредственное использование теоремы 2 затруднительно, поскольку пространство функций из ${{L}_{2}}$ шире класса функций, описывающих классические решения уравнений Максвелла. Для применения теоремы 2 необходимо получать результаты о гладкости решений интегральных уравнений (см. [14]). Мы же для доказательства единственности решения системы (16), (17) будем использовать идеи, описанные в разд. 2 и 3.

Рассмотрим однородные уравнения (16), (17):

Предположим, что в области $Q$ решение $E$, $H$ уравнений (18), (19) не равно тождественно нулю. Обозначим эту систему уравнений через А1. Не ограничивая общности, можно считать, что во всех подобластях ${{Q}_{i}}$ (для всех $i$) решение $E$, $H$ не равно тождественно нулю. Действительно, в противном случае области ${{Q}_{i}}$, в которых решения тождественно равны нулю, исключим из $Q$ и рассмотрим интегральные уравнения в оставшейся части $Q$. Так как во всех ${{Q}_{i}}$ поле $E$, $H$ не равно тождественно нулю, то найдется такое $j$, что $\partial {{Q}_{j}} \cap \partial Q \ne \emptyset $, т.е. у ${{Q}_{j}}$ и $Q$ имеется общий гладкий кусок границы. Электромагнитное поле вне $Q$ определяется только значениями полей в $Q$ с помощью интегральных представлений полей в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $, удовлетворяющих условию излучения.

Рассмотрим решение однородных уравнений (18), (19) в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}$. Из интегральной формулировки теоремы Пойнтинга следует соотношение для электромагнитного поля рассматриваемой задачи

где ${{S}_{r}}$ – сфера радиуса $r$ с центром в нуле, а ${{E}_{S}}$ – касательные составляющие электрического поля на поверхности сферы. Поскольку параметры среды в $Q$ удовлетворяют условиям теоремы 2, то первые два интеграла в этом соотношении неотрицательны, поэтому третий поверхностный интеграл тоже равен нулю. Далее, интегральные представления (18), (19) удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла для свободного пространства в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $ и условиям излучения. Поэтому из леммы Реллиха следует, что $E$, $H$ равны нулю в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}{\backslash }\overline Q $.

Теперь рассмотрим вспомогательную систему интегральных уравнений С1 в функциональном пространстве ${{L}_{2}}(D)$, где $D$ – шар радиуса $3d$ с центром в точке ${{x}_{0}} \in Q$ ($d$ – диаметр области $Q$, ${{x}_{0}} \in Q$ – центр шара $B$). Параметры среды в системе уравнений С1 определим следующим образом: диэлектрическая и магнитная проницаемости ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}(x)$, ${{\hat {\mu }}^{c}}(x)$ в области $Q$ совпадают с проницаемостями из системы А1, а вне области $Q$ определяются формулами (10).

Система С1 описывается следующими уравнениями:

В (20), (21) $\hat {\varepsilon }_{r}^{c} = {{\hat {\varepsilon }}^{c}}{\text{/}}{{\varepsilon }_{0}}$, $\hat {\mu }_{r}^{c} = {{\hat {\mu }}^{c}}{\text{/}}{{\mu }_{0}}$ – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно.

Нетривиальное решение $E$, $H$ однородной системы А1 (18), (19) продолжим нулем из области $Q$ на область $D{\backslash }\overline Q $ и обозначим получившиеся функции через ${{{\mathbf{E}}}_{1}}$, ${{{\mathbf{H}}}_{1}}$. Получим ${{E}_{1}},{{H}_{1}} \in {{L}_{2}}(D)$_. Тогда ${{E}_{1}}$, ${{H}_{1}}$ будет решением (20), (21). Действительно, поскольку ${{E}_{1}}$, ${{H}_{1}}$ равны нулю в $D{\backslash }\overline Q $, то при $x \in Q$ уравнения (20), (21) совпадают с (18), (19). Вне $Q$ интегральные представления (18), (19) дают $E \equiv 0$, $H \equiv 0$, т.е. при $x \in D{\backslash }\overline Q $ снова совпадают с (20), (21). Получаем, что система (20), (21), рассматриваемая в ${{L}_{2}}(D)$, имеет нетривиальное (в $Q$) решение.

Теперь опишем множество решений системы С1. Поскольку ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}(x) = {{\varepsilon }_{0}}\hat {I}$ и ${{\hat {\mu }}^{c}}(x) = {{\mu }_{0}}\hat {I}$ при $x \notin B$, то, аналогично изложенному выше, получим, что в $D{\backslash }\overline B $ электромагнитное поле равно нулю. Далее, из определения ${{\hat {\varepsilon }}^{c}}$, ${{\hat {\mu }}^{c}}$следует, что ${{\hat {\varepsilon }}^{c}},{{\hat {\mu }}^{c}} \in {{C}^{3}}(D{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} )$, где ${{Q}^{j}} = Q{\backslash }\overline {{{Q}_{j}}} $. В областях гладкости параметров среды решение (20), (21) из ${{\vec {L}}_{2}}(D)$ удовлетворяет уравнениям Максвелла (9) (см. [4]). Значит, в области $D{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $ решение (20), (21) удовлетворяет уравнениям (11), которые, поскольку ${{\hat {\varepsilon }}_{j}}$, ${{\hat {\mu }}_{j}}$ подчиняются условиям теоремы 2, являются эллиптическими (см. разд. 3). Все коэффициенты в уравнениях (11) являются дифференцируемыми функциями. Теперь, применяя принцип продолжения (см. [12], [13]) решения (11) по непрерывности из области $D{\backslash }\overline B $ в область $D{\backslash }\overline {{{Q}^{j}}} $, получим, что электромагнитное поле в подобласти ${{Q}_{j}}$ для системы А1 равно нулю, что противоречит предположению о нетривиальности решения А1 в ${{Q}_{j}}$. Таким образом, имеет место

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 2 система однородных сингулярных интегральных уравнений (12), (13) (или (16), (17)) имеет единственное решение в ${{L}_{2}}(Q)$.

Теперь рассмотрим вопрос о фредгольмовости интегральных уравнений. Приведем несколько определений, которые используются в дальнейшем изложении.

Определение 1. Пусть A – линейный ограниченный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H. Тогда оператор $A{\text{*}}$, который также определен в H, называется сопряженным к A, если равенство $(Af,g) = (f,A{\kern 1pt} {\text{*}}g)$ выполняется для всех $f,g \in H$.

Решения однородного уравнения $Au = 0$ будем называть нулями оператора A. Обозначим размерность подпространства нулей через $n{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (A)$. Тогда $n(A{\kern 1pt} *)$ – размерность подпространства нулей сопряженного оператора $A{\kern 1pt} {\text{*}}$. Разность $\operatorname{Ind} A = n(A) - n(A{\kern 1pt} {\text{*}})$ называется индексом оператора A.

Определение 2. Линейный ограниченный оператор A, действующий в гильбертовом пространстве H, называется фредгольмовым оператором, если значения $n{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (A)$ и $n(A{\kern 1pt} *)$ конечны и индекс равен нулю.

Сначала рассмотрим интегральное уравнение в анизотропной диэлектрической среде, т.е. магнитная проницаемость всюду в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}$ постоянна и равна ${{\mu }_{0}}$. Тогда система интегральных уравнений (12), (13) сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению относительно электрического поля в области Q

Обозначим через ${{\hat {B}}_{0}}$ оператор уравнения (22). Тогда

В (23) тензор-функция $\hat {\eta }{\kern 1pt} (x) = ({{\hat {\varepsilon }}_{r}}{\kern 1pt} (x) - \hat {I})$, а ${{\hat {G}}_{0}}(x,y)$ и ${{\hat {G}}_{1}}(x,y)$ – матричные функции, очевидным образом определяемые из (22).

Рассмотрим оператор в пространстве L₂ вида

где $\hat {G}(x,y)$ – тензор-функция. Сопряженный оператор определяется формулой где $\hat {G}{\kern 1pt} {\text{*}}$ – сопряженный к $\hat {G}$ тензор.

Тогда оператор, сопряженный к ${{\hat {B}}_{0}}$ в пространстве ${{L}_{2}}(Q)$, будет иметь следующий вид:

Ниже будем полагать, что тензор-функция $\hat {\eta }(x) = \left( {{{{\hat {\varepsilon }}}_{r}}(x) - \hat {I}} \right)$ имеет обратную в каждой точке из $\overline Q $. Из (22), (23), (25) следует, что ${{\hat {G}}_{0}}(x,y) = {{\hat {G}}_{0}}(y,x)$, ${{\hat {G}}_{0}} = \hat {G}_{0}^{t}$ и ${{\hat {G}}_{1}} = \hat {G}_{1}^{t}$, ${{\hat {G}}_{1}}(x,y) = {{\hat {G}}_{1}}(y,x)$. Учитывая эти свойства тензоров, возьмем комплексное сопряжение от выражения (26):

В (27) символы t и * обозначают соответственно транспонированный тензор и комплексно-сопряженный вектор.

Пусть $W$ – нуль оператора (26), т.е. $\hat {B}_{0}^{*}W = 0$. Пусть $V = {{({{\hat {\eta }}^{t}})}^{{ - 1}}}W{\kern 1pt} {\text{*}}$. Тогда из (23), (26), (27) имеем

где ${{\hat {B}}_{0}}({{\hat {\varepsilon }}^{t}})$– оператор уравнения (22) с тензором диэлектрической проницаемости в Q, равным ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}$. Значит, размерности подпространств нулей операторов $\hat {B}_{0}^{*}(\hat {\varepsilon })$ и ${{\hat {B}}_{0}}({{\hat {\varepsilon }}^{t}})$ связаны неравенством $n(\hat {B}_{0}^{*}(\hat {\varepsilon })) \leqslant n({{\hat {B}}_{0}}({{\hat {\varepsilon }}^{t}}))$. Теперь пусть $W$ – нуль оператора (23) с диэлектрической проницаемостью ${{\hat {\varepsilon }}^{t}}$, т.е. ${{\hat {B}}_{0}}({{\hat {\varepsilon }}^{t}})W = 0$. Обозначим $V{\kern 1pt} {\text{*}} = {{\hat {\eta }}^{t}}W$. Тогда из (23), (26), (27) имеем откуда следует, что $n({{\hat {B}}_{0}}({{\hat {\varepsilon }}^{t}})) \leqslant n(\hat {B}_{0}^{*}(\hat {\varepsilon }))$. Значит, т.е. размерности подпространств нулей операторов $\hat {B}_{0}^{*}(\hat {\varepsilon })$ и ${{\hat {B}}_{0}}({{\hat {\varepsilon }}^{t}})$равны. Если $\hat {\varepsilon } = {{\hat {\varepsilon }}^{t}}$ выполняется, например, в изотропных средах, то $n({{\hat {B}}_{0}}) = n(\hat {B}_{0}^{*})$ и, значит, $\operatorname{Ind} ({{\hat {B}}_{0}}) = 0$.

Если какой-либо эрмитов тензор $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\delta } $ неотрицательно/положительно определен, то и эрмитов тензор ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\delta } }^{t}}$ будет также неотрицательно/положительно определен. Поэтому при выполнении условий теоремы 2 получим

Далее, из (28), (29) следует, что

Значит, при выполнении приведенных выше условий оператор ${{\hat {B}}_{0}}$ будет фредгольмовым в пространстве ${{L}_{2}}(Q)$. Таким образом, имеем следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть выполняются условия теоремы 2 для тензор-функции $\hat {\varepsilon }(x)$, а $\hat {\mu } = {{\mu }_{0}}$ в ${{\mathbb{R}}^{{\text{3}}}}$, и, кроме того, тензор-функция $({{\hat {\varepsilon }}_{r}}(x) - \hat {I})$ имеет обратную в каждой точке из $\overline Q $. Тогда существует и единственно решение сингулярного интегрального уравнения (22) в пространстве ${{L}_{2}}(Q)$.

Теперь рассмотрим задачи рассеяния на магнитодиэлектрическом теле, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого являются кусочно-дифференцируемыми функциями координат в $Q$, а поверхности разрыва параметров удовлетворяют приведенным выше условиям.

Запишем систему сингулярных интегральных уравнений (12), (13) в символическом виде

где вид операторов $\hat {S}$ и $\hat {F}$ ясен из (12), (13). Очевидно, что оператор $\hat {S}$ является сингулярным оператором в ${{L}_{2}}(Q)$, а оператор $\hat {F}$ – компактным. Здесь ${{L}_{2}}(Q)$ – гильбертово пространство интегрируемых с квадратом шестимерных вектор-функций.

Рассмотрим следующее уравнение в ${{L}_{2}}(Q)$_:

Из вида (32) следует, что при выполнении условий теоремы 4 для тензор-функций $\hat {\varepsilon }(x)$ и $\hat {\mu }\,(x)$ оператор уравнения (32) будет фредгольмовым в ${{L}_{2}}(Q)$. Оператор уравнения (31) отличается от оператора (32) прибавлением компактных операторов. Значит, оператор уравнения (31) является фредгольмовым оператором в ${{L}_{2}}(Q)$. Получаем следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть выполняются условия теоремы 2, и, кроме того, тензор-функции $({{\hat {\varepsilon }}_{r}}(x) - \hat {I})$ и $({{\hat {\mu }}_{r}}(x) - \hat {I})$ имеют обратные в каждой точке из $\overline Q $. Тогда существует и единственно решение системы сингулярных интегральных уравнений (12), (13) в пространстве ${{L}_{2}}(Q)$.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вопросы существования и единственности решения задач рассеяния электромагнитных волн на прозрачных телах (диэлектрических или магнитодиэлектрических) имеют не только теоретический, но и практический интерес. Единственность решения уравнений Максвелла, удовлетворяющих соответствующим условиям, означает, что в области неоднородности среды Q не может быть ненулевое электромагнитное поле, которое не излучает энергию в окружающее пространство.

В настоящей статье доказаны теоремы единственности решения задач рассеяния электромагнитных волн на трехмерных ограниченных неоднородных анизотропных телах в общей дифференциальной постановке, в том числе для тел без потерь и имеющих разрывы диэлектрической и магнитной проницаемости. Также доказаны теоремы о существовании и единственности решения объемных сингулярных интегральных уравнений, отвечающих задачам рассеяния электромагнитных волн на ограниченных трехмерных неоднородных анизотропных магнитодиэлектрических телах, т.е. для задач рассеяния в интегральной постановке, в том числе для сред без потерь и с разрывами параметров.