Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 1, стр. 57-84
Асимптотика контрастной структуры типа ступеньки в стационарной частично диссипативной системе уравнений
В. Ф. Бутузов *
МГУ, физ. ф-т
119992 Москва, Ленинские горы, Россия
* E-mail: butuzov@phys.msu.ru
Поступила в редакцию 18.06.2020
После доработки 18.06.2020
Принята к публикации 18.09.2020
Аннотация
Рассматривается краевая задача для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых второго, а другое – первого порядка, с малым параметром при производных в каждом уравнении. Установлены условия, при которых существует решение этой задачи, обладающее внутренним переходным слоем в окрестности некоторой точки, где происходит быстрый переход решения из малой окрестности одного решения соответствующей вырожденной системы в малую окрестность другого решения вырожденной системы. Решение такого типа называется контрастной структурой типа ступеньки (КСТС). Построено и обосновано асимптотическое приближение КСТС по малому параметру. Оно имеет определенные отличия от КСТС в других сингулярно возмущенных задачах. Это касается, прежде всего, структуры асимптотики решения в переходном слое. Обоснование построенной асимптотики проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств, применение которого в рассмотренной задаче также имеет свои качественные особенности. Библ. 10.
1. ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
1.1. Рассмотрим систему уравнений
(1)
$\begin{gathered} {{\varepsilon }^{2}}\left( {\frac{{{{d}^{2}}u}}{{d{{x}^{2}}}} - w(x)\frac{{du}}{{dx}}} \right) = F(u,{v},x,\varepsilon ), \\ {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d{v}}}{{dx}} = f(u,{v},x,\varepsilon ),\quad x \in (0;1), \\ \end{gathered} $с краевыми условиями
(2)
$u(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}},\quad {v}(0;\varepsilon ) = {{{v}}^{0}},\quad u(1,\varepsilon ) = {{u}^{1}}.$(3)
$D = \{ (u,{v},x,\varepsilon ):u \in {{I}_{u}},\;{v} \in {{I}_{{v}}},\;x \in [0;1],\;\varepsilon \in [0,{{\varepsilon }_{0}}]\} ,$Система вида (1) относится к классу так называемых частично диссипативных систем, поскольку член со второй производной (диффузионный член) содержится только в одном уравнении. Такие системы возникают, в частности, в стационарных задачах химической кинетики в случае быстрых реакций. В этом случае $u$ и ${v}$ – концентрации реагирующих веществ, ${{\varepsilon }^{{ - 2}}}$ – так называемая константа скорости быстрой реакции (большая величина).
При $\varepsilon = 0$ из (1) получаем вырожденную систему
Цель работы – доказать, что при определенных условиях существует решение задачи (1), (2) с переходным слоем в окрестности некоторой внутренней точки ${{x}_{ * }}$ отрезка $0 \leqslant x \leqslant 1$ (точки перехода), где решение задачи совершает резкий переход из малой окрестности одного решения вырожденной системы (4) в малую окрестность другого решения системы (4) (образуется “ступенька”). Такое решение называется контрастной структурой типа ступеньки (КСТС).
Наряду с доказательством существования КСТС будет построено ее асимптотическое приближение по малому параметру $\varepsilon $.
Отметим, что в [1] для системы (1) с краевыми условиями (2) построена и обоснована асимптотика погранслойного решения, т.е. такого решения, которое при $\varepsilon \to 0$ стремится на всем интервале $0 < x < 1$ к одному и тому же решению вырожденной системы (4) и отлично от него только в малых окрестностях точек $x = 0$ и $x = 1$ (пограничных слоях). Результаты работы [1] будут использоваться в данной работе как при построении асимптотики КСТС, так и при ее обосновании, поскольку искомая КСТС будет получена в результате объединения двух погранслойных решений системы (1), построенных раздельно на отрезках $[0,{{x}_{ * }}]$ и $[{{x}_{ * }},1]$.
Опишем кратко структуру работы.
В п. 1.2 представлены условия, которые будут обеспечивать существования искомой КСТС в задаче (1), (2). В разд. 2 при этих условиях построена формальная асимптотика КСТС, причем построение ведется раздельно на отрезках $[0,{{x}_{ * }}]$ и $[{{x}_{ * }},1]$, где ${{x}_{ * }}$ – искомая точка перехода, а затем в результате сшивания в точке ${{x}_{ * }}$ формальных асимптотик, построенных на этих двух отрезках, получено представление ${{x}_{ * }}$ в виде асимптотического ряда по степеням $\varepsilon $. В разд. 3 и 4 рассмотрены две вспомогательные краевые задачи для системы (1) соответственно на отрезках $[0,{{x}_{\delta }}]$ и $[{{x}_{\delta }},1]$, где точка ${{x}_{\delta }}$ выбирается с использованием ряда для ${{x}_{ * }}$, полученного в разд. 2. Доказано существование решений этих задач, обладающих построенной в разд. 2 асимптотикой. В разд. 5 показано, что точку ${{x}_{\delta }}$ можно выбрать так, что функции $u(x,\varepsilon )$ и ${v}(x,\varepsilon )$, составленные из решений двух вспомогательных задач, образуют искомую КСТС. В разд. 6 содержатся некоторые замечания в отношении рассмотренной задачи, а также других возможных задач о контрастных структурах в частично диссипативных системах уравнений.
Отметим, что контрастные структуры в различных сингулярно возмущенных задачах исследовались во многих работах, например, [2]–[8]. Асимптотика КСТС в данной работе имеет свои качественные особенности, относящиеся, прежде всего, к переходному слою.
1.2. Условия
Сформулируем условия, при которых будет доказано существование КСТС в задаче (1), (2) (для достаточно малых $\varepsilon $) и построено асимптотическое приближение КСТС.
В п. 1.1 говорилось о достаточной гладкости заданных функций $w$, $F$, $f$. Как обычно, требуемый порядок гладкости зависит от порядка асимптотики, которую хотят построить. Поскольку речь пойдет об асимптотике произвольного порядка, будем считать эти функции бесконечно дифференцируемыми.
Условие A1. $w(x) \in {{C}^{\infty }}[0;\;1]$, $F \in {{C}^{\infty }}(D)$, $f \in {{C}^{\infty }}(D)$,
где область $D$ определена в (3), и пусть ${{u}^{0}} \in {{I}_{u}}$, ${{{v}}^{0}} \in {{I}_{{v}}}$, ${{u}^{1}} \in {{I}_{u}}$, где ${{I}_{u}}$ и ${{I}_{{v}}}$ – интервалы, фигурирующие в определении области $D$.
Следующее условие относится к вырожденной системе (4).
Условие A2. Уравнение
имеет бесконечно дифференцируемый простой (т.е. однократный) корень а уравнение имеет ровно три бесконечно дифференцируемых простых корня причем(6)
${{\psi }_{1}}(x) < {{\psi }_{2}}(x) < {{\psi }_{3}}(x),\quad {{\psi }_{i}}(x) \in {{I}_{u}}\quad {\text{при}}\quad x \in [0;\;1].$Следующее условие относится к уравнению относительно ${{x}_{0}}$:
(7)
$I({{x}_{0}}): = \int\limits_{{{\psi }_{1}}({{x}_{0}})}^{{{\psi }_{3}}({{x}_{0}})} g (u,{{x}_{0}})du = 0.$Условие A3. Уравнение (7) имеет корень ${{x}_{0}} = {{\bar {x}}_{0}} \in (0;\;1)$, и
Забегая вперед, отметим, что искомая точка перехода ${{x}_{ * }}$ будет иметь представлениеОстальные условия связаны с производными функций $g$, $f$, $F$. Чтобы сформулировать эти условия, определим несколько кривых на плоскости переменных $(u,x)$ и в пространстве переменных $(u,{v},x)$.
Кривые на плоскости $(u,x)$:
Отметим, что кривые ${{l}_{i}}$ ($i = 1,\;2,\; \ldots ,\;6$) являются гладкими, а кривая $l$ – непрерывная кривая, составленная из шести гладких звеньев ${{l}_{1}},\; \ldots ,\;{{l}_{6}}$.
Кривые в пространстве ($u,{v},x$):
Отметим также, что некоторые из введенных кривых могут вырождаться в точку. Например, если ${{{v}}^{0}} = \varphi ({{u}^{0}},0)$, то отрезок ${{L}_{0}}$ вырождается в точку $({{u}^{0}},{{{v}}^{0}},0)$, которая является одним из концов кривой ${{L}_{1}}$. Для определенности будем считать, что ${{L}_{0}}$ – невырожденный отрезок.
Сформулируем теперь остальные условия.
Условие A4. $\tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,x) > 0$ в точках кривых ${{l}_{1}} \cup {{l}_{2}}$ и ${{l}_{5}} \cup {{l}_{6}}$.
Условие A5. $\tfrac{{\partial f}}{{\partial {v}}}(u,{v},x,0) < 0$ в точках кривой $\bigcup\nolimits_{i = 1}^6 {{{L}_{i}}} $, и $f(u,{v},x,0) \ne 0$ на отрезке ${{L}_{0}}$, за исключением его конца $({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0)$.
Условие A6. $\tfrac{{\partial F}}{{\partial {v}}}(u,{v},x,0) < 0$ в точках кривой $L$.
Условие A7. $\tfrac{{\partial f}}{{\partial u}}(u,{v},x,0) > 0$ в точках кривой $L$.
Условие A8. ${{R}^{{( - )}}}(u,{{\bar {x}}_{0}}): = \bar {F}_{u}^{{( - )}}({{\bar {x}}_{0}}) + \bar {F}_{{v}}^{{( - )}}({{\bar {x}}_{0}}){{\varphi }_{u}}(u,{{\bar {x}}_{0}}) > 0$ при ${{\psi }_{1}}({{\bar {x}}_{0}}) \leqslant u \leqslant {{\psi }_{2}}({{\bar {x}}_{0}})$, т.е. в точках кривой ${{l}_{3}}$;
${{R}^{{( + )}}}(u,{{\bar {x}}_{0}}): = \bar {F}_{u}^{{( + )}}({{\bar {x}}_{{_{0}}}}) + \bar {F}_{{v}}^{{( + )}}({{\bar {x}}_{0}}){{\varphi }_{u}}(u,{{\bar {x}}_{0}}) > 0$ при ${{\psi }_{2}}({{\bar {x}}_{0}}) \leqslant u \leqslant {{\psi }_{3}}({{\bar {x}}_{0}})$, т.е. в точках кривой ${{l}_{4}}$;
здесь
(10)
$\begin{gathered} \bar {F}_{u}^{{( - )}}(x) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}\left( {{{\psi }_{1}}(x),\varphi ({{\psi }_{1}}(x),x),x,0} \right), \\ \bar {F}_{{v}}^{{( - )}}(x) = \frac{{\partial F}}{{\partial {v}}}\left( {{{\psi }_{1}}(x),\varphi ({{\psi }_{1}}(x),x),x,0} \right), \\ \end{gathered} $(11)
$\begin{gathered} \mathop {\overline F }\nolimits_u^{( + )} (x) = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}\left( {{{\psi }_{3}}(x),\varphi ({{\psi }_{3}}(x),x),x,0} \right), \\ \bar {F}_{{v}}^{{( + )}}(x) = \frac{{\partial F}}{{\partial {v}}}\left( {{{\psi }_{3}}(x),\varphi ({{\psi }_{3}}(x),x),x,0} \right),\quad {{\varphi }_{u}}(u,x) = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}(u,x). \\ \end{gathered} $Приведем простой пример функций $F$ и $f$, удовлетворяющих условиям А1–А8:
гдеЗаметим, что если в определениях кривых $l$ и $L$ заменить ${{\bar {x}}_{0}}$ на ${{x}_{ * }}$, то неравенства в условиях А4–А8 останутся верными для всех значений ${{x}_{ * }}$ из некоторой достаточно малой и независящей от $\varepsilon $ окрестности точки ${{\bar {x}}_{0}}$. Будем этим пользоваться при построении формальной асимптотики КСТС в разд. 2.
2. ПОСТРОЕНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКИ КСТС
2.1. Вид асимптотики
Возьмем произвольное значение ${{x}_{ * }}$ из указанной в конце п. 1.2 достаточно малой окрестности точки ${{\bar {x}}_{0}}$ и будем строить формальную асимптотику КСТС в задаче (1), (2) в виде
(12)
${{U}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ) = {{\bar {u}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( - )}}}u(\xi ,\varepsilon ) + {{P}^{{( - )}}}u(\zeta ,\varepsilon ) + {{Q}^{{( - )}}}u(\sigma ,\varepsilon ),$(13)
${{V}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ) = {{{\bar {v}}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( - )}}}{v}(\xi ,\varepsilon ) + {{P}^{{( - )}}}{v}(\zeta ,\varepsilon ) + {{Q}^{{( - )}}}{v}(\sigma ,\varepsilon ),$(14)
${{U}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ) = {{\bar {u}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ) + {{Q}^{{( + )}}}u(\sigma ,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( + )}}}u(\tilde {\xi },\varepsilon ),$(15)
${{V}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ) = {\bar {v}}(x,\varepsilon ) + {{Q}^{{( + )}}}{v}(\sigma ,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( + )}}}{v}(\tilde {\xi },\varepsilon ),$Точку ${{x}_{ * }}$ определим условием
(16)
${{U}^{{( - )}}}({{x}_{ * }},\varepsilon ) = {{U}^{{( + )}}}({{x}_{ * }},\varepsilon ) = {{\psi }_{2}}({{x}_{ * }}).$Все слагаемые в правых частях (12)–(15) будут построены в виде рядов по целым степеням $\varepsilon $ с помощью известного алгоритма А.Б. Васильевой (см. [9]). При этом будут использоваться краевые условия, вытекающие из (2) и (16):
2.2. Построение асимптотики на отрезке $[0,{{x}_{ * }}]$
На отрезке $[0,{{x}_{ * }}]$ асимптотика ${{U}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$, ${{V}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$ вида (12), (13) является асимптотикой погранслойного типа. Построение такой асимптотики подробно описано в [1], поэтому ограничимся здесь более кратким описанием.
2.2.1. Регулярные части асимптотики. Построим их в виде
(19)
${{\bar {u}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} \bar {u}_{i}^{{( - )}}(x),\quad {{{\bar {v}}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} {\bar {v}}_{i}^{{( - )}}(x).$(20)
$\begin{gathered} \bar {F}_{u}^{{( - )}}(x)\bar {u}_{i}^{{( - )}} + \mathop {\overline F }\nolimits_{v}^{( - )} (x){\bar {v}}_{i}^{{( - )}} = F_{i}^{{( - )}}(x), \\ \bar {f}_{u}^{{( - )}}(x)\bar {u}_{i}^{{( - )}} + \bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x){\bar {v}}_{i}^{{( - )}} = f_{i}^{{( - )}}(x), \\ \end{gathered} $Определитель ${{\Delta }^{{( - )}}}(x)$ системы (20) запишем в виде
Так как $\bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x) = \tfrac{{\partial f}}{{\partial {v}}}(u,{v},x,0)$ при $(u,{v},x) \in {{L}_{2}}$, т.е. производная $\bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x)$ вычисляется в точках кривой ${{L}_{2}}$, то в силу условия А5 справедливо неравенство
Аналогично, $\bar {g}_{u}^{{( - )}}(x) = \tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,x)$ при $(u,x) \in {{l}_{2}}$, поэтому в силу условия А4 Следовательно, ${{\Delta }^{{( - )}}}(x) < 0$, $x \in [0,{{x}_{ * }}]$, и, значит, система (20) имеет единственное решение.Таким образом, ряды (19) построены.
2.2.2. Погранслойные части асимптотики ${{\Pi }^{{( - )}}}{\mathbf{u}}$, ${{\Pi }^{{( - )}}}{\mathbf{v}}$ и ${{{\mathbf{P}}}^{{( - )}}}{\mathbf{u}}$, ${{{\mathbf{P}}}^{{( - )}}}{\mathbf{v}}$. Построим их в виде
(21)
$\begin{gathered} {{\Pi }^{{( - )}}}u(\xi ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} \Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi ), \\ {{\Pi }^{{( - )}}}{v}(\xi ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} \Pi _{i}^{{( - )}}{v}(\xi ),\quad \xi = x{\text{/}}\varepsilon \geqslant 0; \\ \end{gathered} $(22)
$\begin{gathered} {{P}^{{( - )}}}u(\zeta ,\varepsilon ) = {{\varepsilon }^{2}}\sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} P_{i}^{{( - )}}u(\zeta ), \\ {{P}^{{( - )}}}{v}(\zeta ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta ),\quad \zeta = x{\text{/}}{{\varepsilon }^{2}} \geqslant 0. \\ \end{gathered} $Стандартным способом (см. [9]) для ${{\Pi }^{{( - )}}}u$, ${{\Pi }^{{( - )}}}{v}$ получается система уравнений
(23)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{\Pi }^{{( - )}}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} - \varepsilon w(\varepsilon \xi )\frac{{d{{\Pi }^{{( - )}}}u}}{{d\xi }} = {{\Pi }^{{( - )}}}F: = F({{{\bar {u}}}^{{( - )}}}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( - )}}}u,{{{{\bar {v}}}}^{{( - )}}}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ) + \\ + \;{{\Pi }^{{( - )}}}{v},\varepsilon \xi ,\varepsilon ) - F({{{\bar {u}}}^{{( - )}}}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ),{{{{\bar {v}}}}^{{( - )}}}(\varepsilon \xi ,\varepsilon ),\varepsilon \xi ,\varepsilon ), \\ \varepsilon \frac{{d{{\Pi }^{{( - )}}}{v}}}{{d\xi }} = {{\Pi }^{{( - )}}}f,\quad \xi \geqslant 0, \\ \end{gathered} $(24)
$\begin{gathered} + \;{{P}^{{( - )}}}u,{{{{\bar {v}}}}^{{( - )}}}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( - )}}}{v}(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ) + {{P}^{{( - )}}}{v},{{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) - F({{{\bar {u}}}^{{( - )}}}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + \\ + \;{{\Pi }^{{( - )}}}u(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ),{{{{\bar {v}}}}^{{( - )}}}({{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ) + {{\Pi }^{{( - )}}}{v}(\varepsilon \zeta ,\varepsilon ),{{\varepsilon }^{2}}\zeta ,\varepsilon ), \\ \end{gathered} $Из (23) будем извлекать последовательно для $i = 0,\;1,\;2, \ldots $ уравнения относительно $\Pi _{i}^{{( - )}}u$, $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}$, а из (24) – уравнения относительно $P_{i}^{{( - )}}u$, $P_{i}^{{( - )}}{v}$. Для каждого $i$ эти функции будут определяться в таком порядке:
Для $\Pi _{0}^{{( - )}}u$, $\Pi _{0}^{{( - )}}{v}$ из (23) следует система уравнений(25)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}\Pi _{0}^{{( - )}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = F(\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u,{\bar {v}}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}{v},0,0), \\ 0 = f(\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u,{\bar {v}}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}{v},0,0),\quad \xi \geqslant 0. \\ \end{gathered} $(26)
${\bar {v}}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}{v} = \varphi (\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u,0).$(27)
$\frac{{{{d}^{2}}\Pi _{0}^{{( - )}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = g(\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + {{\Pi }_{0}}u,0),\quad \xi \geqslant 0.$Чтобы получить граничное условие при $\xi = 0$, подставим выражение (12) для ${{U}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$ в граничное условие ${{U}^{{( - )}}}(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}}$ (см. (17)) с учетом того, что все члены ряда ${{Q}^{{( - )}}}u(\tilde {\xi },\varepsilon )$ равны нулю при $x = 0$ (см. замечание 1 в конце пп. 2.2.3). Получим равенство
(28)
$\sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} (\bar {u}_{i}^{{( - )}}(0) + \Pi _{i}^{{( - )}}u(0) + {{\varepsilon }^{2}}P_{i}^{{( - )}}u(0)) = {{u}^{0}}.$В качестве второго граничного условия для $\Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi )$ и также для остальных функций $\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi )$ возьмем стандартное для пограничных функций условие на бесконечности
Заметим, что $g({{\bar {u}}_{0}}(0),0) = g({{\psi }_{1}}(0),0) = 0$ в силу условия А2, поэтому, если ${{u}^{0}} = {{\psi }_{1}}(0)$, то $\Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ) = 0$ при $\xi \geqslant 0$.
Если же ${{u}^{0}} \ne {{\psi }_{1}}(0)$, то воспользуемся тем, что в силу условия А4 производная $\tfrac{{\partial g}}{{\partial u}}(u,x) > 0$ на кривой ${{l}_{1}}$, т.е. при $\{ u \in [{{u}^{0}},{{\psi }_{1}},(0)],\;x = 0\} $, и, следовательно, $g({{\bar {u}}_{0}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u,0) \ne 0$ при $\Pi _{0}^{{( - )}}u \in [{{u}^{0}} - {{\psi }_{1}}(0),0]$. Поэтому задача для $\Pi _{0}^{{( - )}}u$ сводится стандартным образом к уравнению первого порядка
(31)
$\frac{{d\Pi _{0}^{{( - )}}u}}{{d\xi }} = \pm {\kern 1pt} \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{\Pi _{0}^{{( - )}}u} g ({{\psi }_{1}}(0) + s,0)ds} \right]}\nolimits^{1/2} ,\quad \xi \geqslant 0,$(32)
$\left| {\Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0.$Здесь и в дальнейшем буквами $c$ и $\kappa $ (иногда через ${{c}_{1}}$, ${{\kappa }_{1}}$, $ \ldots $) обозначаются не зависящие от $\varepsilon $ подходящие положительные числа, вообще говоря, различные в разных оценках.
Для $P_{0}^{{( - )}}u$, $P_{0}^{{( - )}}{v}$ из (24) получаем систему уравнений
(33)
$\frac{{{{d}^{2}}P_{0}^{{( - )}}u}}{{d{{\zeta }^{2}}}} = F({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + P_{0}^{{( - )}}{v},0,0) - F({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0),$(34)
$\frac{{dP_{0}^{{( - )}}{v}}}{{d\zeta }} = f({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + P_{0}^{{( - )}}{v},0,0),\quad \zeta \geqslant 0.$(36)
$\sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} ({\bar {v}}_{i}^{{( - )}}(0) + \Pi _{i}^{{( - )}}{v}(0) + P_{i}^{{( - )}}{v}(0)) = {{{v}}^{0}}.$(37)
$P_{0}^{{( - )}}{v}(0) = {{{v}}^{0}} - ({\bar {v}}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}{v}(0)) = {{{v}}^{0}} - \varphi ({{u}^{0}},0) = :P_{0}^{{( - )}}.$Заметим, что $f({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0) = 0$ в силу условия А2, и, значит, $P_{0}^{{( - )}}{v} = 0$ является точкой покоя уравнения (34) асимптотически устойчивой в силу неравенства $\tfrac{{\partial f}}{{\partial {v}}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0),0,0) < 0$ (см. условие А5). Если ${{{v}}^{0}} = \varphi ({{u}^{0}},0)$, то $P_{0}^{{( - )}} = 0$, и тогда $P_{0}^{{( - )}}{v}(\zeta ) = 0$ при $\zeta \geqslant 0$. Если же $P_{0}^{{( - )}} \ne 0$, то $f({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + s,0,0) \ne 0$ при $s \in (0,P_{0}^{{( - )}}]$ в силу условия А5, поэтому решение задачи (34), (37) является монотонной функцией и имеет экспоненциальную оценку
(38)
$\left| {P_{0}^{{( - )}}{v}(\zeta )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0.$Так как функция $P_{0}^{{( - )}}{v}(\zeta )$ найдена, то правая часть уравнения (33) является теперь известной функцией, имеющей такую же экспоненциальную оценку, как (38). Обозначив эту функцию $\chi _{0}^{{( - )}}(\zeta )$, запишем решение уравнения (33) с граничным условием (35) в виде
(39)
$P_{0}^{{( - )}}u(\zeta ) = \int\limits_\infty ^\zeta {ds} \int\limits_\infty ^s {\chi _{0}^{{( - )}}} (t)dt.$Таким образом, главные члены погранслойных рядов (21) и (22) определены и имеют оценки вида (32) и (38).
При $i \geqslant 1$ для $\Pi _{i}^{{( - )}}u$, $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}$ из (23) получается система уравнений
(40)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}\Pi _{i}^{{( - )}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = F_{u}^{{( - )}}(\xi )\Pi _{i}^{{( - )}}u + F_{{v}}^{{( - )}}(\xi )\Pi _{i}^{{( - )}}{v} + r_{i}^{{( - )}}(\xi ), \\ f_{u}^{{( - )}}(\xi )\Pi _{i}^{{( - )}}u + f_{{v}}^{{( - )}}(\xi )\Pi _{i}^{{( - )}}{v} + \varrho _{i}^{{( - )}}(\xi ) = 0, \\ \end{gathered} $(41)
$F_{u}^{{( - )}}(\xi ): = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}(\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),{\bar {v}}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}{v}(\xi ),0,0),$Так как
(42)
$\begin{gathered} f_{{v}}^{{( - )}}(\xi ): = \frac{{\partial f}}{{\partial {v}}}({{{\bar {u}}}_{0}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),\varphi (\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),0),0,0) = \\ = \;\frac{{\partial f}}{{\partial {v}}}\left( {u,\varphi (u,0),0,0} \right)\quad {\text{при}}\quad u = {{{\bar {u}}}_{0}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ), \\ \end{gathered} $Это дает возможность выразить $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}$ через $\Pi _{i}^{{( - )}}u$ из второго уравнения системы (40):
(44)
$\Pi _{i}^{{( - )}}{v} = \varphi _{u}^{{( - )}}(\xi )\Pi _{i}^{{( - )}}u - \mathop {(f_{{v}}^{{( - )}}(\xi ))}\nolimits^{ - 1} \varrho _{i}^{{( - )}}\xi ),$(45)
$\varphi _{u}^{{( - )}}(\xi ): = - \mathop {(f_{{v}}^{{( - )}}(\xi ))}\nolimits^{ - 1} f_{u}^{{( - )}}(\xi ) = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}(\bar {u}_{0}^{{( - )}}(0) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),0).$(46)
$\frac{{{{d}^{2}}\Pi _{i}^{{( - )}}u}}{{d{{\xi }^{2}}}} = g_{u}^{{( - )}}(\xi )\Pi _{i}^{{( - )}}u + \pi _{i}^{{( - )}}(\xi ),\quad \xi \geqslant 0,$Из (28) и (30) получаем граничные условия для $\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi )$:
(47)
$\Pi _{i}^{{( - )}}u(0) = - {{\bar {u}}_{i}}(0) - P_{{i - 2}}^{{( - )}}u(0) = :\Pi _{i}^{0},\quad \Pi _{i}^{{( - )}}u(\infty ) = 0,$(48)
$\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi ) = \Phi (\xi ){{\Phi }^{{ - 1}}}(0)\Pi _{i}^{0} + \Phi (\xi )\int\limits_0^\xi {{{\Phi }^{{ - 2}}}} (s)\int\limits_\infty ^s \Phi (t)\pi _{i}^{{( - )}}(t)dtds,$(49)
$\left| {\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0.$Перейдем к функциям $P_{i}^{{( - )}}u(\zeta )$, $P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta )$ при $i \geqslant 1$. Для них из (24) получается система уравнений
(50)
$\frac{{{{d}^{2}}P_{i}^{{( - )}}u}}{{d{{\zeta }^{2}}}} = \hat {F}_{{v}}^{{( - )}}(\zeta )P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta ) + \chi _{i}^{{( - )}}(\zeta ),$(51)
$\frac{{dP_{i}^{{( - )}}{v}}}{{d\zeta }} = \hat {f}{v}_{{}}^{{( - )}}(\zeta )P_{i}^{{( - )}}{v} + p_{i}^{{( - )}}(\zeta ),\quad \zeta \geqslant 0,$(52)
$\begin{gathered} \hat {F}_{{v}}^{{( - )}}(\zeta ): = \frac{{\partial F}}{{\partial {v}}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + P_{0}^{{( - )}}{v}(\zeta ),0,0), \\ \hat {f}_{{v}}^{{( - )}}(\zeta ): = \frac{{\partial f}}{{\partial {v}}}({{u}^{0}},\varphi ({{u}^{0}},0) + P_{0}^{{( - )}}{v}(\zeta ),0,0), \\ \end{gathered} $Зададим для $P_{i}^{{( - )}}u(\zeta )$ граничное условие, аналогичное (35):
а для $P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta )$ из (36) получаем начальное условие(54)
$P_{i}^{{( - )}}{v}(0) = - {\bar {v}}_{i}^{{( - )}}(0) - \Pi _{i}^{{( - )}}{v}(0) = :P_{i}^{{( - )}}.$(55)
$P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta ) = {{K}^{{( - )}}}(\zeta ,0)P_{i}^{{( - )}} + \int\limits_0^\zeta {{{K}^{{( - )}}}} (\zeta ,s)p_{i}^{{( - )}}(s)ds,$(56)
$\left| {P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0.$Решение задачи (50), (53) имеет вид, аналогичный (39):
Итак, погранслойные ряды (21) и (22) построены, причем пограничные функции $\Pi _{i}^{{( - )}}u$, $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}$ и $P_{i}^{{( - )}}u$, $P_{i}^{{( - )}}{v}$ имеют экспоненциальные оценки вида (49) и (56).
2.2.3. Внутрислойные части асимптотики ${{Q}^{{( - )}}}u$, ${{Q}^{{( - )}}}{v}$. Такое название мы дали рядам ${{Q}^{{( - )}}}u(\sigma ,\varepsilon )$ и ${{Q}^{{( - )}}}{v}(\sigma ,\varepsilon )$, имея в виду, что они будут описывать быстрое изменение решения исходной задачи (1), (2) в переходном слое слева от точки ${{x}_{ * }}$. Эти ряды построим в виде
(57)
$\begin{gathered} {{Q}^{{( - )}}}u(\sigma ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}Q_{i}^{{( - )}}u(\sigma )} , \\ {{Q}^{{( - )}}}{v}(\sigma ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} Q_{i}^{{( - )}}{v}(\sigma ),\quad \sigma = (x - {{x}_{ * }}){\text{/}}\varepsilon \leqslant 0. \\ \end{gathered} $Для ${{Q}^{{( - )}}}u$, ${{Q}^{{( - )}}}{v}$ стандартным способом получается система уравнений
(58)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{Q}^{{( - )}}}u}}{{d{{\sigma }^{2}}}} - \varepsilon w({{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma )\frac{{d{{Q}^{{( - )}}}u}}{{d\sigma }} = {{Q}^{{( - )}}}F: = F({{{\bar {u}}}^{{( - )}}}({{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ) + {{Q}^{{( - )}}}u,{{{{\bar {v}}}}^{{( - )}}}({{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ) + \\ + \;{{Q}^{{( - )}}}{v},{{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ) - F({{{\bar {u}}}^{{( - )}}}({{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ),{{{{\bar {v}}}}^{{( - )}}}({{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ),{{x}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ), \\ \varepsilon \frac{{d{{Q}^{{( - )}}}{v}}}{{d\sigma }} = {{Q}^{{( - )}}}f,\quad \sigma \leqslant 0, \\ \end{gathered} $Из системы (58) для $Q_{0}^{{( - )}}u$, $Q_{0}^{{( - )}}{v}$ следует система уравнений, аналогичная (25):
(59)
${\bar {v}}_{0}^{{( - )}}({{x}_{ * }}) + Q_{0}^{{( - )}}{v} = \varphi (\bar {u}_{0}^{{( - )}}({{x}_{ * }}) + Q_{0}^{{( - )}}u,{{x}_{ * }}).$Подставляя в первое уравнение, приходим к уравнению для $Q_{0}^{{( - )}}u$ такого же типа, как уравнение (27) для $\Pi _{0}^{{( - )}}u$:
(60)
$\frac{{{{d}^{2}}Q_{0}^{{( - )}}u}}{{d{{\sigma }^{2}}}} = g(\bar {u}_{0}^{{( - )}}({{x}_{ * }}) + Q_{0}^{{( - )}}u,{{x}_{ * }}),\quad \sigma \leqslant 0.$Чтобы получить для $Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma )$ граничное условие при $\sigma = 0$, подставим выражение (12) для ${{U}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$ в граничное условие ${{U}^{{( - )}}}({{x}_{ * }},\varepsilon ) = {{\psi }_{2}}({{x}_{ * }})$ (см. (17)) с учетом того, что все члены рядов ${{\Pi }^{{( - )}}}u$ и ${{P}^{{( - )}}}u$ равны нулю при $x = {{x}_{ * }}$ (см. замечание 1 в конце этого подпункта). Получим равенство
(61)
$Q_{0}^{{( - )}}u(0) = {{\psi }_{2}}({{x}_{ * }}) - \bar {u}_{0}^{{( - )}}({{x}_{ * }}) = {{\psi }_{2}}({{x}_{ * }}) - {{\psi }_{1}}({{x}_{ * }}) > 0.$Задача (60)–(62) для $Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma )$ сводится стандартным образом к уравнению первого порядка
(63)
$\frac{{dQ_{0}^{{( - )}}u}}{{d\sigma }} = \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{Q_{0}^{{( - )}}u} g ({{\psi }_{1}}({{x}_{ * }}) + s,{{x}_{ * }})ds} \right]}\nolimits^{1/2} ,\quad \sigma \leqslant 0,$(64)
$\left| {Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma )} \right| \leqslant cexp(\kappa \sigma ),\quad \sigma \leqslant 0.$Из (63) при $\sigma = 0$ получаем
(65)
$\frac{{dQ_{0}^{{( - )}}u}}{{d\sigma }}(0) = \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{{{\psi }_{2}}({{x}_{ * }}) - {{\psi }_{1}}({{x}_{ * }})} g ({{\psi }_{1}}({{x}_{ * }}) + s,{{x}_{ * }})ds} \right]}\nolimits^{1/2} = \mathop {\left[ {2\int\limits_{{{\psi }_{1}}({{x}_{ * }})}^{{{\psi }_{2}}({{x}_{ * }})} g (u,{{x}_{ * }})du} \right]}\nolimits^{1/2} .$Зная $Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma )$, из (59) находим функцию $Q_{0}^{{( - )}}{v}(\sigma )$, которая также имеет оценку вида (64).
Функции $Q_{i}^{{( - )}}u(\sigma )$ и $Q_{i}^{{( - )}}{v}(\sigma )$ при $i \geqslant 1$ определяются аналогично тому, как в пп. 2.2.2 были определены функции $\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi )$ и $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}(\xi )$, и имеют оценки вида (64).
Итак, ряды (57) построены, и тем самым завершено построение формальной асимптотики на отрезке $[0,{{x}_{ * }}]$.
Замечание 1. При построении рядов (21), (22) и (57) говорилось о том, что все функции $Q_{i}^{{( - )}}u$ и $Q_{i}^{{( - )}}{v}$ равны нулю при $x = 0$, а функции $\Pi _{i}^{{( - )}}u$, $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}$ и $P_{i}^{{( - )}}u$, $P_{i}^{{( - )}}{v}$ равны нулю при $x = {{x}_{ * }}$. Это достигается применением стандартной процедуры умножения этих функций на срезающие функции (см. [1]), что не влияет на построенные асимптотические разложения. За подправленными пограничными функциями сохраняем старые обозначения. Будем считать, что
(66)
$\begin{gathered} Q_{i}^{{( - )}}u = Q_{i}^{{( - )}}{v} = 0\quad {\text{при}}\quad x \in [0;{{x}_{ * }}{\text{/}}2], \\ \Pi _{i}^{{( - )}}u = \Pi _{i}^{{( - )}}{v} = P_{i}^{{( - )}}u = P_{i}^{{( - )}}{v} = 0\quad {\text{при}}\quad x \in [{{x}_{ * }}{\text{/}}2;{{x}_{ * }}]. \\ \end{gathered} $Замечание 2. Обозначим через $U_{k}^{{( - )}}(x,\varepsilon )$ и $V_{k}^{{( - )}}(x,\varepsilon )$ частичные суммы $k$-го порядка построенных рядов (12) и (13):
(67)
$U_{k}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^k {{{\varepsilon }^{i}}(\bar {u}_{i}^{{( - )}}(x) + \Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi ) + {{\varepsilon }^{2}}P_{i}^{{( - )}}u(\zeta ) + Q_{i}^{{( - )}}u(\sigma ))} ,$(68)
$V_{k}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^k {{{\varepsilon }^{i}}} ({\bar {v}}_{i}^{{( - )}}(x) + \Pi _{i}^{{( - )}}{v}(\xi ) + P_{i}^{{( - )}}{v}(\zeta ) + Q_{i}^{{( - )}}{v}(\sigma )).$2.3. Построение асимптотики на отрезке $[{{x}_{ * }},1]$
Заметим, прежде всего, что вид асимптотики ${{U}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$, ${{V}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$ на отрезке $[{{x}_{ * }},1]$ (см. (14), (15)) существенно отличается от вида ${{U}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$, ${{V}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$ (см. (12), (13)). Отличие состоит в том, что ${{U}^{{( + )}}}$ и ${{V}^{{( + )}}}$ не содержат $P$-функций. Это соответствует тому, что краевые условия (18) не содержат условия для ${{V}^{{( + )}}}$ (в отличие от (17)). На первый взгляд может показаться, что для ${{V}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$ следует задать в точке ${{x}_{ * }}$ краевое условие ${{V}^{{( + )}}}({{x}_{ * }},\varepsilon ) = {{V}^{{( - )}}}({{x}_{ * }},\varepsilon )$, чтобы обеспечить непрерывное сшивание асимптотик ${{V}^{{( + )}}}$ и ${{V}^{{( - )}}}$ в точке ${{x}_{ * }}$. Однако, как будет показано ниже, непрерывное и, более того, сколь угодно гладкое сшивание ${{V}^{{( + )}}}$ и ${{V}^{{( - )}}}$ в точке ${{x}_{ * }}$ будет достигнуто за счет выбора точки ${{x}_{ * }}$.
Регулярные части асимптотики ${{\bar {u}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$ и ${{{\bar {v}}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$ строятся в виде, аналогичном (19):
Внутрислойные части асимптотики ${{Q}^{{( + )}}}u(\sigma ,\varepsilon )$, ${{Q}^{{( + )}}}{v}(\sigma ,\varepsilon )$ построим в виде
(70)
${\bar {v}}_{0}^{{( + )}}({{x}_{ * }}) + Q_{0}^{{( + )}}{v} = \varphi (\bar {u}_{0}^{{( + )}}({{x}_{ * }}) + Q_{0}^{{( + )}}u,{{x}_{ * }}).$(71)
$\frac{{{{d}^{2}}Q_{0}^{{( + )}}u}}{{d{{\sigma }^{2}}}} = g(\bar {u}_{0}^{{( + )}}({{x}_{ * }}) + Q_{0}^{{( + )}}u,{{x}_{ * }}),\quad \sigma \geqslant 0.$Также стандартным способом добавляем граничные условия
(72)
$Q_{0}^{{( + )}}u(0) = {{\psi }_{2}}({{x}_{ * }}) - u_{0}^{{( + )}}({{x}_{ * }}) = {{\psi }_{2}}({{x}_{ * }}) - {{\psi }_{3}}({{x}_{ * }}) < 0,$(74)
$\frac{{dQ_{0}^{{( + )}}u}}{{d\sigma }} = \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{Q_{0}^{{( + )}}u} g ({{\psi }_{3}}({{x}_{ * }}) + s,{{x}_{ * }})ds} \right]}\nolimits^{1/2} ,\quad \sigma \geqslant 0,$Уравнение (74) интегрируется в квадратурах, его решение с начальным условием (72) является отрицательной возрастающей функцией и имеет экспоненциальную оценку
(75)
$\left| {Q_{0}^{{( + )}}u(\sigma )} \right| \leqslant cexp( - \kappa \sigma ),\quad \sigma \geqslant 0.$После этого функция $Q_{0}^{{( + )}}{v}(\sigma )$ находится из (70) и также имеет оценку вида (75). Такую же оценку имеет производная $\tfrac{{dQ_{0}^{{( + )}}u}}{{d\sigma }}(\sigma )$.
Из (74) при $\sigma = 0$ получаем
(76)
$\frac{{dQ_{0}^{{( + )}}u}}{{d\sigma }}(0) = \mathop {\left[ {2\int\limits_{{{\psi }_{3}}({{x}_{ * }})}^{{{\psi }_{2}}({{x}_{ * }})} g (u,{{x}_{ * }})du} \right]}\nolimits^{1/2} .$Функции $Q_{i}^{{( + )}}u(\sigma )$ и $Q_{i}^{{( + )}}{v}(\sigma )$ при $i \geqslant 1$ определяются аналогично тому, как в пп. 2.2.2 были определены функции $\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi )$ и $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}(\xi )$, и имеют оценки вида (75).
Итак, внутрислойные ряды ${{Q}^{{( + )}}}u(\sigma ,\varepsilon )$ и ${{Q}^{{( + )}}}{v}(\sigma ,\varepsilon )$ построены.
Погранслойные части асимптотики ${{\Pi }^{{( + )}}}u(\tilde {\xi },\varepsilon )$, ${{\Pi }^{{( + )}}}{v}(\tilde {\xi },\varepsilon )$ строятся в виде рядов
Стандартным способом для $\Pi _{0}^{{( + )}}u$, $\Pi _{0}^{{( + )}}{v}$ получается система уравнений, аналогичная (25):
(77)
${\bar {v}}_{0}^{{( + )}}(1) + \Pi _{0}^{{( + )}}{v} = \varphi (\bar {u}_{0}^{{( + )}}(1) + \Pi _{0}^{{( + )}}u,1).$(78)
$\frac{{{{d}^{2}}\Pi _{0}^{{( + )}}u}}{{d\mathop {\tilde {\xi }}\nolimits^2 }} = g(\bar {u}_{0}^{{( + )}}(1) + \Pi _{0}^{{( + )}}u,1),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0.$(79)
$\Pi _{0}^{{( + )}}u(0) = {{u}^{1}} - \bar {u}_{0}^{{( + )}}(1) = {{u}^{1}} - {{\psi }_{3}}(1),\quad \Pi _{0}^{{( + )}}u( - \infty ) = 0.$(80)
$\frac{{d\Pi _{0}^{{( + )}}u}}{{d\tilde {\xi }}} = \pm \mathop {\left[ {2\int\limits_0^{\Pi _{0}^{{( + )}}u} g ({{\psi }_{3}}(1) + s,1)ds} \right]}\nolimits^{1/2} ,\quad \tilde {\xi } \leqslant 0,$Уравнение (80) интегрируется в квадратурах, функция $\Pi _{0}^{{( + )}}u(\tilde {\xi })$ является монотонной при $\tilde {\xi } \leqslant 0$ и имеет экспоненциальную оценку
(81)
$\left| {\Pi _{0}^{{( + )}}u(\tilde {\xi })} \right| \leqslant cexp(\kappa \tilde {\xi }),\quad \tilde {\xi } \leqslant 0.$Функции $\Pi _{i}^{{( + )}}u(\tilde {\xi })$, $\Pi _{i}^{{( + )}}{v}(\tilde {\xi })$ при $i \geqslant 1$ определяются аналогично тому, как в пп. 2.2.2 были определены функции $\Pi _{i}^{{( - )}}u(\xi )$, $\Pi _{i}^{{( - )}}{v}(\xi )$ и имеют оценки вида (81).
Таким образом, завершено построение формальной асимптотики на отрезке $[{{x}_{ * }},1]$.
Замечание 3. Как и при построении асимптотики на отрезке $[0,{{x}_{ * }}]$, считаем, что все функции $Q_{i}^{{( + )}}u$, $Q_{i}^{{( + )}}{v}$ и $\Pi _{i}^{{( + )}}u$, $\Pi _{i}^{{( + )}}{v}$ умножены на соответствующие срезающие функции.
Замечание 4. Обозначим через $U_{k}^{{( + )}}(x,\varepsilon )$, $V_{k}^{{( + )}}(x,\varepsilon )$ частичные суммы $k$-го порядка построенных рядов (14) и (15):
(82)
$\begin{gathered} U_{k}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^k {{{\varepsilon }^{i}}} (\bar {u}_{i}^{{( + )}}(x) + Q_{i}^{{( + )}}u(\sigma ) + \Pi _{i}^{{( + )}}u(\tilde {\xi })), \\ V_{k}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) = \sum\limits_{i - 0}^k {{{\varepsilon }^{i}}} ({\bar {v}}_{i}^{{( + )}}(x) + Q_{i}^{{( + )}}{v}(\sigma ) + \Pi _{i}^{{( + )}}{v}(\tilde {\xi })). \\ \end{gathered} $Из самого способа построения рядов (14) и (15) следует, что $U_{k}^{{( + )}}$ и $V_{k}^{{( + )}}$ удовлетворяют для любого $k = 0,\;1,\;2,\; \ldots $ равенствам (операторы ${{L}_{\varepsilon }}$ и ${{M}_{\varepsilon }}$ определены в (69))
(83)
${{L}_{\varepsilon }}(U_{k}^{{( + )}},V_{k}^{{( + )}}) = O({{\varepsilon }^{{k + 1}}}),\quad x \in ({{x}_{ * }},1),$2.4. Сшивание формальных асимптотик в точке ${{x}_{ * }}$
Построенные формальные ряды ${{U}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$ и ${{U}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$ удовлетворяют равенству
так как обе части этого формального равенства равны ${{\psi }_{2}}({{x}_{ * }})$ (см. (17) и (18)). Аналогичное равенство для ${{V}^{{( - )}}}(x,\varepsilon )$ и ${{V}^{{( + )}}}(x,\varepsilon )$ не имеет места при произвольном ${{x}_{ * }}$. Оказывается, однако, что формальное равенство будет выполнено, если ${{x}_{ * }}$ выбрать так, чтобы в точке ${{x}_{ * }}$ выполнялось формальное равенство производных $\tfrac{{d{{U}^{{( - )}}}}}{{dx}}$ и $\tfrac{{d{{U}^{{( + )}}}}}{{dx}}$. Используя выражения (12) и (14), учитывая замечания 1 и 3 и умножив указанные производные в точке ${{x}_{ * }}$ на $\varepsilon $, запишем равенство в видеПодставив в это равенство выражения для ${{\bar {u}}^{{( \pm )}}}$ и ${{Q}^{{( \pm )}}}u$ в виде рядов и учитывая, что функции $Q_{i}^{{( \pm )}}u$ зависят не только от $\sigma $, но и от ${{x}_{ * }}$, т.е. $Q_{i}^{{( \pm )}}u = Q_{i}^{{( \pm )}}u(\sigma ,{{x}_{ * }})$, перепишем равенство в виде
(88)
$\sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} \left( {\frac{{dQ_{i}^{{( - )}}u}}{{d\sigma }}(0,{{x}_{ * }}) - \frac{{dQ_{i}^{{( + )}}u}}{{d\sigma }}(0,{{x}_{ * }})} \right) + \varepsilon \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} \left( {\frac{{d\bar {u}_{i}^{{( - )}}}}{{dx}}({{x}_{ * }}) - \frac{{d\bar {u}_{i}^{{( + )}}}}{{dx}}({{x}_{ * }})} \right) = 0.$Равенство (88) является уравнением относительно ${{x}_{ * }}$. Будем искать ${{x}_{ * }}$ в виде ряда
Подставим это выражение в (88), разложим левую часть уравнения в ряд по степеням $\varepsilon $ и будем приравнивать нулю коэффициенты разложения. В нулевом приближении получимДля следующих коэффициентов ${{x}_{i}}$ ряда (89) последовательно при $i = 1,\;2,\; \ldots $ получаются линейные уравнения
где ${{k}_{i}}$ – известные на $i$-м шаге числа, выражающиеся определенным образом через найденные уже коэффициенты ${{x}_{j}}$ с номерами $j < i$. Так как $J{\text{'}}({{\bar {x}}_{0}}) \ne 0$, то уравнение (90) имеет единственное решение, которое обозначим ${{\bar {x}}_{i}}$:Итак, для точки перехода ${{x}_{ * }}$ получено формальное разложение
(91)
${{x}_{ * }} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} {{\bar {x}}_{i}} = :{{\bar {x}}_{*}},$(92)
$\frac{{d{{U}^{{( - )}}}}}{{dx}}({{\bar {x}}_{ * }},\varepsilon ) = \frac{{d{{U}^{{( + )}}}}}{{dx}}({{\bar {x}}_{ * }},\varepsilon ).$Докажем, что для точки ${{x}_{ * }} = {{\bar {x}}_{ * }}$ с формальным разложением (91) выполнены также формальное равенство (87) и формальное равенство
(93)
$\frac{{d{{V}^{{( - )}}}}}{{dx}}({{\bar {x}}_{ * }},\varepsilon ) = \frac{{d{{V}^{{( + )}}}}}{{dx}}({{\bar {x}}_{ * }},\varepsilon ).$Для ${{u}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon )$, ${{{v}}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon )$, используя (58), получаем систему уравнений
(94)
$\begin{gathered} \frac{{{{d}^{2}}{{u}^{{( - )}}}}}{{d{{\sigma }^{2}}}} - \varepsilon w({{{\bar {x}}}_{ * }} + \varepsilon \sigma )\frac{{d{{u}^{{( - )}}}}}{{d\sigma }} = F({{u}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon ),{{{v}}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon ),{{{\bar {x}}}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ), \\ \varepsilon \frac{{d{{{v}}^{{( - )}}}}}{{d\sigma }} = f({{u}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon ),{{{v}}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon ),{{{\bar {x}}}_{ * }} + \varepsilon \sigma ,\varepsilon ),\quad \sigma \leqslant 0. \\ \end{gathered} $Такая же система уравнений с заменой индекса (–) на (+) имеет место для
Напишем формальные разложения ${{u}^{{( \pm )}}}(\sigma ,\varepsilon )$ и ${{{v}}^{{( \pm )}}}(\sigma ,\varepsilon )$ в ряды по степеням $\varepsilon $:
(95)
${{u}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} u_{i}^{{( - )}}(\sigma ),\quad {{{v}}^{{( - )}}}(\sigma ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} {v}_{i}^{{( - )}}(\sigma ),\quad \sigma \leqslant 0,$(96)
${{u}^{{( + )}}}(\sigma ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} u_{i}^{{( + )}}(\sigma ),\quad {{{v}}^{{( + )}}}(\sigma ,\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\varepsilon }^{i}}} {v}_{i}^{{( + )}}(\sigma ),\quad \sigma \geqslant 0.$(97)
$u_{0}^{{( \pm )}}(\sigma ) = u_{0}^{{( \pm )}}({{\bar {x}}_{0}}) + Q_{0}^{{( \pm )}}u(\sigma ,{{\bar {x}}_{0}}),\quad {v}_{0}^{{( \pm )}}(\sigma ) = {v}_{0}^{{( \pm )}}({{\bar {x}}_{0}}) + Q_{0}^{{( \pm )}}{v}(\sigma ,{{\bar {x}}_{0}}).$(98)
$u_{i}^{{( - )}}(0) = u_{i}^{{( + )}}(0),\quad \frac{{du_{i}^{{( - )}}}}{{d\sigma }}(0) = \frac{{du_{i}^{{( \pm )}}}}{{d\sigma }}(0),\quad i = 0,\;1,\;2,\; \ldots \;.$Докажем, что аналогичные равенства имеют место для ${v}_{i}^{{( \pm )}}(\sigma )$, т.е.
(99)
${v}_{i}^{{( - )}}(0) = {v}_{i}^{{( + )}}(0),\quad \frac{{d{v}_{i}^{{( - )}}}}{{d\sigma }}(0) = \frac{{d{v}_{i}^{{( + )}}}}{{d\sigma }}(0),\quad i = 0,\;1,\;2,\; \ldots \;.$Из (60) и (71) следует, что функция ${{u}_{0}}(\sigma )$ является решением дифференциального уравнения
Функцию ${{{v}}_{0}}(\sigma )$ можно записать в виде (см. (59) и (70))
откуда следует, что ${{{v}}_{0}}(\sigma )$ также бесконечно гладкая функция при $ - \infty < \sigma < \infty $, и, значит, выполнены равенства (99) для $i = 0$.Далее по индукции докажем, что ${{u}_{i}}(\sigma )$ и ${{{v}}_{i}}(\sigma )$ – бесконечно гладкие функции при $\infty < \sigma < \infty $ для всех $i \geqslant 1$. Пусть ${{u}_{i}}(\sigma )$, ${{{v}}_{i}}(\sigma )$ – бесконечно гладкие функции для $i = 0,\;1,\; \ldots ,\;k - 1$. Покажем, что тогда ${{u}_{k}}(\sigma )$, ${{{v}}_{k}}(\sigma )$ также будут бесконечно гладкими функциями при $ - \infty < \sigma < \infty $.
Подставим выражения (95) для ${{u}^{{( - )}}}$, ${{{v}}^{{( - )}}}$ в систему уравнений (94), а выражения (96) – в аналогичную систему уравнений для ${{u}^{{( + )}}}$, ${{{v}}^{{( + )}}}$, и приравняем коэффициенты при ${{\varepsilon }^{k}}$ в разложениях левой и правой части каждого уравнения. Получим систему уравнений
(100)
$\frac{{{{d}^{2}}u_{k}^{{( \pm )}}}}{{d{{\sigma }^{2}}}} = {{F}_{u}}(\sigma )u_{k}^{{( \pm )}} + {{F}_{{v}}}(\sigma ){v}_{k}^{{( \pm )}} + {{r}_{k}}(\sigma ),$(101)
${{f}_{u}}(\sigma )u_{k}^{{( \pm )}} + {{f}_{{v}}}(\sigma ){v}_{k}^{{( \pm )}} + {{\gamma }_{k}}(\sigma ) = 0,$(102)
${v}_{k}^{{( \pm )}} = - f_{{v}}^{{ - 1}}(\sigma )[{{f}_{u}}(\sigma )u_{k}^{{( \pm )}} + {{\gamma }_{k}}(\sigma )].$Таким образом, для ${{x}_{ * }} = {{\bar {x}}_{ * }}$ с разложением (91) выполнены формальные равенства (87) и (93).
3. ПЕРВАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА
Возьмем какое-нибудь целое число $n \geqslant 0$, положим
где ${{X}_{{n + 1}}} = \sum\nolimits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} {{\bar {x}}_{i}}$, ${{\bar {x}}_{i}}$ – коэффициенты ряда (91), а $\delta $ – является величиной порядка $O(\varepsilon )$, и рассмотрим краевую задачу для системы (1) на отрезке $[0,{{x}_{\delta }}]$ с краевыми условиями:(104)
$u(0,\varepsilon ) = {{u}^{0}},\quad {v}(0,\varepsilon ) = {{{v}}^{0}},\quad u({{x}_{\delta }},\varepsilon ) = {{\psi }_{2}}({{x}_{\delta }}).$Теорема 1. Если выполнены условия А1–А8, то для достаточно малых $\varepsilon $ задача (1), (104) имеет решение $u = {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, ${v} = {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, для которого справедливы асимптотические равенства
(105)
$\begin{gathered} {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = U_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}), \\ {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = V_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}),\quad x \in [0,{{x}_{\delta }}]. \\ \end{gathered} $Доказательство. Доказательство теоремы проводится с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств (см. [10]), суть которого состоит в том, что нижнее и верхнее решения задачи (1), (104) конструируются на основе построенной в разд. 2 формальной асимптотики. Это делается во многом так же, как в аналогичной задаче в [1], поэтому ограничимся кратким изложением схемы доказательства. Напомним понятия нижнего и верхнего решений применительно к задаче (1), (104).
Определение 1. Две пары функций $\underline U (x,\varepsilon )$, $\underline V (x,\varepsilon )$ и $\overline U (x,\varepsilon )$, $\overline V (x,\varepsilon )$ называются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (104), если они удовлетворяют следующим условиям:
Если существуют упорядоченные нижнее и верхнее решения задачи (1), (104), то эта задача имеет решение $u = {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, ${v} = {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$ (возможно, не единственное), удовлетворяющее неравенствам
(106)
$\begin{gathered} \underline U (x,\varepsilon ) \leqslant {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) \leqslant \overline U (x,\varepsilon ), \\ \underline V (x,\varepsilon ) \leqslant {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) \leqslant \overline V (x,\varepsilon ),\quad x \in [0,{{x}_{\delta }}]. \\ \end{gathered} $(107)
${{G}_{0}} = \left\{ {(u,{v},x,\varepsilon ):\underline U (x,\varepsilon )} \right. \leqslant u \leqslant \overline U (x,\varepsilon ),\;\underline V (x,\varepsilon ) \leqslant {v} \leqslant \overline V (x,\varepsilon ),\;0 \leqslant x \leqslant {{x}_{\delta }},\;0 \leqslant \varepsilon \leqslant {{\varepsilon }_{0}}{\text{\} }}$(108)
${{L}_{\varepsilon }}(\underline U ,\underline V ) \geqslant 0 \geqslant {{L}_{\varepsilon }}(\overline U ,\overline V ),\quad x \in (0,{{x}_{\delta }}),$(109)
${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) \leqslant 0 \leqslant {{M}_{\varepsilon }}(\overline V ,\overline U ),\quad x \in (0,{{x}_{\delta }}].$Нижнее и верхнее решения задачи (1), (104) строятся в виде
(110)
$\begin{gathered} \underline U (x,\varepsilon ) = U_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) - (\alpha (x,\xi ) + \gamma (\xi ) + \tilde {\gamma }(\sigma )){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + G(\zeta ){{\varepsilon }^{{n + 4}}}, \\ \underline V (x,\varepsilon ) = V_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) - (\beta (x,\xi ) + \varphi _{u}^{{( - )}}(\xi )\gamma (\xi ) + \tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }(\sigma ) + H(\zeta )){{\varepsilon }^{{n + 2}}}, \\ \end{gathered} $(111)
$\begin{gathered} \overline U (x,\varepsilon ) = U_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + \left( {\alpha (x,\xi ) + \gamma (\xi ) + \tilde {\gamma }(\sigma )} \right){{\varepsilon }^{{n + 2}}} - G(\zeta ){{\varepsilon }^{{n + 4}}}, \\ \overline V (x,\varepsilon ) = V_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + (\beta (x,\xi ) + \varphi _{u}^{{( - )}}(\xi )\gamma (\xi ) + \tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }(\sigma ) + H(\zeta )){{\varepsilon }^{{n + 2}}}. \\ \end{gathered} $(112)
${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi )\alpha + {{\hat {F}}_{{v}}}(x,\xi )\beta = A,\quad {{\hat {f}}_{u}}(x,\xi )\alpha + {{\hat {f}}_{{v}}}(x,\xi )\beta = - kA,$(113)
${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ): = \frac{{\partial F}}{{\partial u}}(\bar {u}_{0}^{{( - )}}(x) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),\varphi ({{\bar {u}}_{0}}(x) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),x),x,0) = \bar {F}_{u}^{{( - )}}(x) + F_{u}^{{( - )}}(\xi ) - \bar {F}_{u}^{{( - )}}(0) + O(\varepsilon ),$В силу условий А6, А7, А5 справедливы неравенства
(114)
${{\hat {F}}_{{v}}}(x,\xi ) \leqslant - c < 0,\quad {{\hat {f}}_{u}}(x,\xi ) \geqslant c > 0,\quad {{\hat {f}}_{{v}}}(x,\xi ) \leqslant - c < 0,\quad x \in [0;{{x}_{\delta }}],$(115)
$\mathop {\hat {g}}\nolimits_u (x,\xi ): = \frac{{\partial g}}{{\partial u}}\left( {\bar {u}_{0}^{{( - )}}(x) + \Pi _{0}^{{( - )}}u(\xi ),x} \right) \geqslant c > 0,\quad x \in [0,{{x}_{\delta }}].$(116)
$\Delta (x,\xi ) = {{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ){{\hat {f}}_{{v}}}(x,\xi ) - {{\hat {F}}_{{v}}}(x,\xi ){{\hat {f}}_{u}}(x,\xi ) = {{\hat {f}}_{{v}}}(x,\xi )\mathop {\hat {g}}\nolimits_u (x,\xi ) \leqslant - c < 0,\quad x \in [0,{{x}_{\delta }}].$(117)
$\begin{gathered} \alpha (x,\xi ) = ({{{\hat {f}}}_{{v}}}(x,\xi ) + k{{{\hat {F}}}_{{v}}}(x,\xi )){{\Delta }^{{ - 1}}}(x,\xi )A \geqslant c(1 + k)A, \\ \beta (x,\xi ) = - ({{{\hat {f}}}_{u}}(x,\xi ) + k{{{\hat {F}}}_{u}}(x,\xi )){{\Delta }^{{ - 1}}}(x,\xi )A \geqslant c(1 + k)A. \\ \end{gathered} $Функция $\varphi _{u}^{{( - )}}(\xi )$, входящая в выражения для $\underline V $ и $\overline V $, определена в (45), функция $\tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )$ имеет аналогичное выражение:
(118)
$\hat {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma ) = - \mathop {(\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ))}\nolimits^{ - 1} \mathop {\tilde {f}}\nolimits_u^{( - )} (\sigma ) = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial u}}(\bar {u}_{0}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma ),{{x}_{\delta }}),$(119)
$\begin{gathered} \tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ): = \frac{{\partial f}}{{\partial {v}}}(\bar {u}_{0}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma ),{\vec {v}}_{0}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + Q_{0}^{{( - )}}{v}(\sigma ),{{x}_{\delta }},0), \\ \tilde {f}_{u}^{{( - )}}(\sigma ): = \frac{{\partial f}}{{\partial u}}(\bar {u}_{0}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + Q_{0}^{{( - )}}u(\sigma ),{\bar {v}}_{0}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + Q_{0}^{{( - )}}{v}(\sigma ),{{x}_{\delta }},0). \\ \end{gathered} $(120)
$\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ) \leqslant - \kappa < 0\quad {\text{при}}\quad \sigma \leqslant 0.$Функции $\gamma (\xi )$, $\tilde {\gamma }(\sigma )$, $G(\zeta )$, $H(\zeta )$, входящие в выражения (110) и (111), выбираются в точности так же, как в [1], и имеют оценки
(121)
$\begin{gathered} 0 \leqslant \gamma (\xi ) \leqslant c(1 + k)Aexp( - \kappa \xi ),\quad \xi \geqslant 0;\quad 0 \leqslant \tilde {\gamma }(\sigma ) \leqslant c(1 + k)Aexp(\kappa \sigma ),\quad \sigma \leqslant 0, \\ 0 \leqslant G(\zeta ) \leqslant c(1 + k)Aexp( - \kappa \zeta ),\quad 0 \leqslant H(\zeta ) \leqslant c(1 + k)A\exp ( - \kappa \zeta ),\quad \zeta \geqslant 0. \\ \end{gathered} $(122)
$\begin{gathered} \gamma (\xi ) = 0,\quad G(\zeta ) = 0,\quad H(\zeta ) = 0\quad {\text{на}}\;{\text{отрезке}}\quad [{{x}_{\delta }}{\text{/}}2;{{x}_{\delta }}], \\ \tilde {\gamma }(\sigma ) = 0\quad {\text{на}}\;{\text{отрезке}}\quad [0;{{x}_{\delta }}{\text{/}}2]. \\ \end{gathered} $Заметим теперь, что кривая
Отличие от работы [1] возникает при проверке выполнения неравенств (109) на отрезке $[{{x}_{\delta }}{\text{/}}2;{{x}_{\delta }}]$. Именно здесь выбор числа $k$ играет важную роль. Рассмотрим отрезок $[{{x}_{\delta }}{\text{/}}2;{{x}_{\delta }}]$, учитывая, что на этом отрезке $\Pi _{i}^{{( - )}}u = \Pi _{i}^{{( - )}}{v} = P_{i}^{{( - )}}u = P_{i}^{{( - )}}{v} = 0$ (см. (66)), $\gamma (\xi ) = 0$, $G(\zeta ) = 0$, $H(\zeta ) = 0$ (см. (122)), ${{\hat {F}}_{u}}(x,\xi ) = \bar {F}_{u}^{{( - )}}(x)$, ${{\hat {F}}_{{v}}}(x,\xi ) = \bar {F}_{{v}}^{{( - )}}(x)$, ${{\hat {f}}_{u}}(x,\xi ) = \bar {f}_{u}^{{( - )}}(x)$, ${{\hat {f}}_{{v}}}(x,\xi ) = \bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x)$, и, следовательно, (см. (117))
(123)
$\begin{gathered} \alpha (x,\xi ) = \bar {\alpha }(x): = (\bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x) + k\bar {F}_{{v}}^{{( - )}}(x)){{\Delta }^{{ - 1}}}(x)A, \\ \beta (x,\xi ) = \overline \beta (x): = - (\bar {f}_{u}^{{( - )}}(x) + k\bar {F}_{u}^{{( - )}}(x)){{\Delta }^{{ - 1}}}(x)A, \\ \end{gathered} $(124)
${{\Delta }^{{ - 1}}} = {{(\bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x)\bar {g}_{u}^{{( - )}}(x))}^{{ - 1}}} \leqslant - c < 0,\quad x \in [{{x}_{\delta }}{\text{/}}2;{{x}_{\delta }}],$Рассмотрим выражение для ${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U )$ на отрезке $[{{x}_{\delta }}{\text{/}}2;{{x}_{\delta }}]$:
(125)
$\begin{gathered} {{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) = {{M}_{\varepsilon }}(V_{{n + 1}}^{{( - )}},U_{{n + 1}}^{{( - )}}) - {{\varepsilon }^{2}}\frac{{d\bar {\beta }}}{{dx}}{{\varepsilon }^{{n + 2}}} - \varepsilon \frac{d}{{d\sigma }}(\tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 2}}} - [f(U_{{n + 1}}^{{( - )}} - \left( {\bar {\alpha } + \tilde {\gamma }} \right){{\varepsilon }^{{n + 2}}}, \\ V_{{n + 1}}^{{( - )}} - (\bar {\beta } + \tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 2}}},x,\varepsilon ) - f(U_{{n + 1}}^{{( - )}},V_{{n + 1}}^{{( - )}},x,\varepsilon )] = {{M}_{\varepsilon }}(V_{{n + 1}}^{{( - )}},U_{{n + 1}}^{{( - )}}) + \\ + \;O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 3}}} + {{f}_{a}}(x,\varepsilon )(\bar {\alpha } + \tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + {{f}_{{v}}}(x,\varepsilon )(\bar {\beta } + \tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + O({{(1 + k)}^{2}}{{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 4}}}, \\ \end{gathered} $
и $\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma )$ определены в (119).
Используя написанные выражения для производных, получаем
(126)
$\begin{gathered} {{f}_{u}}(x,\varepsilon )(\bar {\alpha } + \tilde {\gamma }) + {{f}_{v}}(x,\varepsilon )(\bar {\beta } + \tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }) = \bar {f}_{u}^{{( - )}}(x)\bar {\alpha }(x) + (\tilde {f}_{u}^{{( - )}}(\sigma ) - \bar {f}_{u}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}))[\bar {\alpha }({{x}_{\delta }}) + (\bar {\alpha }(x) - \bar {\alpha }({{x}_{\delta }}))] + \\ + \;[(\bar {f}_{u}^{{( - )}}(x) - \bar {f}_{u}^{{( - )}}({{x}_{\delta }})) + \;\tilde {f}_{u}^{{( - )}}(\sigma )]{\kern 1pt} \tilde {\gamma }(\sigma ) + \bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x)\bar {\beta }(x) + (\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ) - \bar {f}_{{v}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}))[\bar {\beta }({{x}_{\delta }}) + (\bar {\beta }(x) - \bar {\beta }({{x}_{\delta }}))] + \\ + \;[(\bar {f}_{{v}}^{{( - )}}(x) - \bar {f}_{{v}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }})) + \tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma )]\tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )\tilde {\gamma }(\sigma ) + O((1 + k)A)\varepsilon = \\ = \;\tilde {f}_{u}^{{( - )}}(\sigma )\bar {\alpha }({{x}_{\delta }}) + \tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma )\bar {\beta }({{x}_{\delta }}) + O((1 + k)A)\varepsilon , \\ \end{gathered} $Введем обозначение
(127)
${{M}_{\varepsilon }}(\underline V ,\underline U ) = O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}) + O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 3}}} + T(\sigma ,{{x}_{\delta }}){{\varepsilon }^{{n + 2}}} + O({{(1 + k)}^{2}}{{A}^{2}}){{\varepsilon }^{{2n + 4}}},$Докажем, что для достаточно большого $k$ функция $T(\sigma ,{{x}_{\delta }})$ удовлетворяет неравенству
С этой целью, используя выражения (123) для $\bar {\alpha }(x)$ и $\overline \beta (x)$ и равенство $\tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma ) = - {{(\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ))}^{{ - 1}}}\tilde {f}_{u}^{{( - )}}(\sigma )$, запишем $T(\sigma ,{{x}_{\delta }})$ в виде(129)
$\begin{gathered} T(\sigma ,{{x}_{\delta }}) = [\tilde {f}_{u}^{{( - )}}(\sigma )(\bar {f}_{{v}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + k\bar {F}_{{v}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }})) - \tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma )(\bar {f}_{u}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + k\bar {F}_{u}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}))]{{\Delta }^{{ - 1}}}({{x}_{\delta }})A = \\ = - [k(\bar {F}_{u}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + \bar {F}_{{v}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }})\tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma )) + (\bar {f}_{u}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + \bar {f}_{{v}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }})\tilde {\varphi }_{u}^{{( - )}}(\sigma ))]\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ){{\Delta }^{{ - 1}}}({{x}_{\delta }})A. \\ \end{gathered} $Так как $\tilde {f}_{{v}}^{{( - )}}(\sigma ) \leqslant - \kappa < 0$ (см. (120)) и ${{\Delta }^{{ - 1}}}({{x}_{\delta }}) \leqslant - c < 0$ (см. (124)), то для достаточно большого $k$ из (129) получаем неравенство (128). В силу (128) из (127) следует неравенство
Выполнение условий $1{\kern 1pt} ^\circ $ и $3^\circ $ из определения 1 проверяется в точности так же, как в [1].
Таким образом, пары функций $\underline U $, $\underline V $ и $\overline U $, $\overline V $, определенные в (110) и (111), для достаточно больших чисел $A$ и $k$ и достаточно малых $\varepsilon $ являются упорядоченными нижним и верхним решениями задачи (1), (104).
Отсюда следует, что эта задача имеет для достаточно малых $\varepsilon $ решение $u = {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, ${v} = {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, удовлетворяющее неравенствам (106). В свою очередь, из этих неравенств, учитывая вид (110) и (111) нижнего и верхнего решений, получаем асимптотические равенства
(130)
$\begin{gathered} {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = U_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + O\left( {(1 + k)A} \right){{\varepsilon }^{{n + 2}}}, \\ {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = V_{{n + 1}}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 2}}},\quad x \in [0,{{x}_{\delta }}], \\ \end{gathered} $Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Так как
(131)
$\begin{gathered} {{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = U_{n}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}), \\ {{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = V_{n}^{{( - )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad x \in [0,{{x}_{\delta }}]. \\ \end{gathered} $Следствие 2. Имеет место равенство
(132)
${{{v}}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = V_{{n + 1}}^{{( - )}}({{X}_{{n + 1}}},\varepsilon ) + O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 2}}}.$Для доказательства справедливости этого равенства воспользуемся равенством (130) при $x = {{x}_{\delta }}$:
(133)
${{{v}}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = V_{{n + 1}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) + O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 2}}}.$Так как функции $\Pi _{i}^{{( - )}}u$ и $P_{i}^{{( - )}}u$ равны нулю в точке ${{x}_{\delta }}$ (см. (66)) и ${{x}_{\delta }} = {{X}_{{n + 1}}} + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}})$ (см. (103)), то
(134)
$\begin{gathered} V_{{n + 1}}^{{( - )}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} ({\bar {v}}_{i}^{{( - )}}({{x}_{\delta }}) + Q_{i}^{{( - )}}{v}(0,{{x}_{\delta }})) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} ({\bar {v}}_{i}^{{( - )}}({{X}_{{n + 1}}}) + Q_{i}^{{( - )}}{v}(0,{{X}_{{n + 1}}})) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}) = \\ = \;V_{{n + 1}}^{{( - )}}({{X}_{{n + 1}}},\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}). \\ \end{gathered} $Следствие 3. Нетрудно доказать, что для производной $\tfrac{{d{{u}^{{( - )}}}}}{{dx}}(x,\varepsilon ,\delta )$ в точке ${{x}_{\delta }}$ имеет место равенство
(135)
$\frac{{d{{u}^{{( - )}}}}}{{dx}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} \left( {\frac{{d\bar {u}_{i}^{{( - )}}}}{{dx}}({{x}_{\delta }}) + \frac{1}{\varepsilon }\frac{{dQ_{i}^{{( - )}}u}}{{d\sigma }}(0,{{x}_{\delta }})} \right) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}).$4. ВТОРАЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА
Рассмотрим теперь краевую задачу для системы (1) на отрезке $\left[ {{{x}_{\delta }},1} \right]$, где ${{x}_{\delta }}$ имеет вид (103), т.е.
(136)
$\begin{gathered} {{x}_{\delta }} = {{X}_{{n + 1}}} + {{\varepsilon }^{{n + 1}}}\delta = {{X}_{{n + 1}}} + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}), \\ {{X}_{{n + 1}}} = \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} {{{\bar {x}}}_{i}}, \\ \end{gathered} $(137)
$u({{x}_{\delta }},\varepsilon ) = {{\psi }_{2}}({{x}_{\delta }}),\quad {v}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) = {{{v}}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ),\quad u(1,\varepsilon ) = {{u}^{1}},$Построим частичные суммы $U_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon )$ и $V_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon )$ рядов (14) и (15), в которых ${{x}_{ * }} = {{x}_{\delta }}$. Отметим, что хотя в этом построении, описанном в п. 2.3, совсем не используется второе краевое условие из (137), тем не менее частичная сумма $V_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon )$ в точке ${{x}_{\delta }}$ отличается от ${{{v}}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta )$ на величину порядка $O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 2}}}$, т.е.
(138)
${{{v}}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = V_{{n + 1}}^{{( + )}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) + O((1 + k)A){{\varepsilon }^{{n + 2}}}.$(139)
$V_{{n + 1}}^{{( + )}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) = V_{{n + 1}}^{{( + )}}({{X}_{n}},\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}).$Величины $V_{{n + 1}}^{{( \mp )}}({{X}_{{n + 1}}},\varepsilon )$ представим в виде (см. (95) и (96))
(140)
$V_{{n + 1}}^{{( - )}}({{X}_{{n + 1}}},\varepsilon ) = V_{{n + 1}}^{{( + )}}({{X}_{{n + 1}}},\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}).$Второе краевое условие в (137) можно теперь записать в виде
(141)
${v}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) = V_{{n + 1}}^{{( + )}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ) + O((1 + k)A{{\varepsilon }^{{n + 2}}}).$Теорема 2. Если выполнены условия А1–А8, то для достаточно малых $\varepsilon $ задача (1), (137) имеет решение $u = {{u}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, ${v} = {{{v}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, для которого справедливы асимптотические равенства
(142)
$\begin{gathered} {{u}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = U_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}), \\ {{{v}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = V_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 2}}}),\quad x \in [{{x}_{\delta }},1]. \\ \end{gathered} $Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1 с помощью асимптотического метода дифференциальных неравенств. Нижнее решение задачи (1), (137) строится в виде
Верхнее решение имеет вид, аналогичный нижнему решению, нужно только знак минус перед суммами в круглых скобках заменить на знак плюс.
В процессе доказательства используются формулы (83)–(85) для $k = n + 1$.
Следствие 1. Так как $U_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) = U_{n}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}})$, $V_{{n + 1}}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) = V_{n}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}})$, то из (142) получаем
(143)
$\begin{gathered} {{u}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = U_{n}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}), \\ {{{v}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta ) = V_{n}^{{( + )}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad x \in [{{x}_{\delta }},1]. \\ \end{gathered} $Следствие 2. Для производной $\tfrac{{d{{u}^{{( + )}}}}}{{dx}}(x,\varepsilon ,\delta )$ в точке ${{x}_{\delta }}$ имеет место асимптотическое равенство
(144)
$\frac{{d{{u}^{{( + )}}}}}{{dx}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = \sum\limits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} \left( {\frac{{d\bar {u}_{i}^{{( + )}}}}{{dx}}({{x}_{\delta }}) + \frac{1}{\varepsilon }\frac{{dQ_{i}^{{( + )}}u}}{{d\sigma }}(0,{{x}_{\delta }})} \right) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}).$Это равенство понадобится в следующем разделе.
5. ТЕОРЕМА О СУЩЕСТВОВАНИИ И АСИМПТОТИКЕ КСТС
Решения ${{u}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, ${{{v}}^{{( - )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$ и ${{u}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$, ${{{v}}^{{( + )}}}(x,\varepsilon ,\delta )$ непрерывно сшиваются в точке ${{x}_{\delta }}$, так как (см. (104) и (137))
(145)
${{u}^{{( + )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = {{u}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = {{\psi }_{2}}({{x}_{\delta }}),\quad {{{v}}^{{( + )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = {{{v}}^{{( - )}}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ).$(146)
$\frac{{d{{u}^{{( - )}}}}}{{dx}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) - \frac{{d{{u}^{{( + )}}}}}{{dx}}({{x}_{\delta }},\varepsilon ,\delta ) = 0.$Докажем, что существует $\delta = O(\varepsilon )$, для которого выполнено (146). Используя асимптотические формулы (135) и (144) для производных в левой части равенства (146) и умножив его на $\varepsilon $, получим уравнение относительно $\delta $, которое запишем в виде
Так как ${{\bar {x}}_{0}}$ и ${{\bar {x}}_{i}}$ ($i = 1,\;2,\; \ldots $) являются решениями уравнений (7) и (90), то уравнение относительно $\delta $ принимает вид
Оно имеет решение $\delta = \overline \delta (\varepsilon ) = O(\varepsilon )$, так как $J{\text{'}}({{\bar {x}}_{0}}) \ne 0$.Следовательно, функции
(147)
$\begin{gathered} u(x,\varepsilon ) = {{U}_{n}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}), \\ {v}(x,\varepsilon ) = {{V}_{n}}(x,\varepsilon ) + O({{\varepsilon }^{{n + 1}}}),\quad x \in [0;1], \\ \end{gathered} $(148)
${{U}_{n}}(x,\varepsilon ) = \left\{ \begin{gathered} U_{n}^{{( - )}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0,{{x}_{{\bar {\delta }}}}], \hfill \\ U_{n}^{{( + )}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [{{x}_{{\bar {\delta }}}},1], \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad {{V}_{n}}(x,\varepsilon ) = \left\{ \begin{gathered} V_{n}^{{( - )}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [0,{{x}_{{\bar {\delta }}}}], \hfill \\ V_{n}^{{( + )}}(x,\varepsilon ),\quad x \in [{{x}_{{\bar {\delta }}}},1], \hfill \\ \end{gathered} \right.$Формулы (147) и (148) имеют тот недостаток, что величина $\overline \delta $ точно не известна, известен только ее порядок $(\overline \delta = O(\varepsilon ))$, и, следовательно, ${{x}_{{\overline \delta }}}$ и ${{\sigma }_{{\overline \delta }}}$ тоже не определены точно. Заменим ${{x}_{{\overline \delta }}}$ в формулах (148) на ${{X}_{{n + 1}}}: = \sum\nolimits_{i = 0}^{n + 1} {{{\varepsilon }^{i}}} {{\bar {x}}_{i}}$, т.е. в выражении для ${{x}_{{\overline \delta }}}$ отбросим последнее слагаемое ${{\varepsilon }^{{n + 1}}}\overline \delta = O({{\varepsilon }^{{n + 2}}})$. Тогда аргумент $Q_{i}^{{( \pm )}}$-функций, т.е. ${{\sigma }_{{\overline \delta }}} = (x - {{x}_{{\overline \delta }}}){\text{/}}\varepsilon $, изменится на величину порядка $O({{\varepsilon }^{{n + 1}}})$, и, значит, эти функции изменятся на величину того же порядка. Поэтому при замене ${{x}_{{\overline \delta }}}$ на ${{X}_{{n + 1}}}$ в формулах (148) формулы (147) не изменятся.
Таким образом, мы доказали следующую основную теорему.
Теорема 3. Если выполнены условия А1–А8, то для достаточно малых $\varepsilon $ задача (1), (2) имеет решение $u(x,\varepsilon )$, ${v}(x,\varepsilon )$, для которого справедливы асимптотические равенства (147), где
6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
6.1. Из (147) следуют предельные равенства
6.2. Предельным положением при $\varepsilon \to 0$ кривой
6.3. Представляет интерес рассмотрение задачи (1), (2) в случае, когда корень ${v} = \varphi (u,x)$ уравнения $f(u,{v},x,0) = 0$ является кратным. Некоторые задачи о контрастных структурах в случаях кратного корня вырожденного уравнения рассмотрены в [6]–[8]. В этих случаях асимптотика решения в переходном слое имеет свои характерные особенности.
6.4. Построенное в задаче (1), (2) решение $u(x,\varepsilon )$, ${v}(x,\varepsilon )$ типа контрастной структуры является стационарным решением нестационарной частично диссипативной системы уравнений, которая получается из системы (1) добавлением в левую часть первого уравнения слагаемого $\left( { - {{\varepsilon }^{2}}w(x)\tfrac{{\partial u}}{{\partial t}}} \right)$ и в левую часть второго уравнения слагаемого ${{\varepsilon }^{2}}\tfrac{{d{v}}}{{dt}}$. Встают вопросы об устойчивости при $t \to \infty $ построенного стационарного решения нестационарной системы уравнений и о его области притяжения, т.е. о множестве начальных функций, для которых решение начально-краевой задачи для нестационарной системы стремится при $t \to \infty $ к стационарному решению. Такая задача для стационарного погранслойного решения нестационарной частично диссипативной системы рассмотрена в [1].
Список литературы
Бутузов В.Ф. Асимптотика и устойчивость стационарного погранслойного решения частично диссипативной системы уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. V. 59. № 7. С. 1201–1229.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах // Фундаментальная и приклад. матем. 1998. V. 4. № 3. С. 799–851.
Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений с разными степенями малого параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. V. 40 № 6. С. 877–899.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Сингулярно возмущенные задачи с пограничными и внутренними слоями // Тр. МИАН. 2010. V. 268. № 2. С. 268–283.
Бутузов В.Ф., Левашова Н.Т., Мельникова А.А. Контрастная структура типа ступеньки в сингулярно возмущенной системе уравнений с различными степенями малого параметра // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. V. 52. № 11. С. 1983–2003.
Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенная краевая задача с многозонным внутренним переходным слоем // Моделирование и анализ информ. систем. 2015. V. 22. № 1. С. 5–22.
Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной параболической задачи с многозонным внутренним переходным слоем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. 2018. V. 58. № 6. С. 961–987.
Бутузов В.Ф. Асимптотика контрастной структуры типа всплеска в задаче с кратным корнем вырожденного уравнения // Дифференц. ур-ния. 2019. V. 55. № 6. С. 774–791.
Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.
Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Дифференц. ур-ния. 1995. V. 31. № 7. С. 1132–1139.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00