Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 1, стр. 162-176

1. ВВЕДЕНИЕ

Метод межотраслевого баланса В.В. Леонтьева был удостоен премии имени Нобеля по экономике и успешно использовался в XX веке для анализа экстенсивного восстановительного роста экономики США после великой экономической депрессии и экономик европейских стран и Японии в послевоенное тридцатилетие. Модели межотраслевого баланса позволяли строить мультипликаторы, выявлять узкие места экономической динамики, определять драйверы экономического роста. В основу метода В.В. Леонтьева были положены система материальных балансов и гипотеза о постоянстве норм затрат на выпуск продукции в процессе межотраслевого взаимодействия. Однако в 90-е годы в развитых капиталистических странах изменился характер экономической динамики: экстенсивное увеличение объемов производства сменилось ростом разнообразия и качества товаров и услуг. В этих условиях гипотеза В.В. Леонтьева о постоянстве норм затрат перестала соответствовать возросшей взаимозаменяемости товаров и услуг. Модели межотраслевого баланса в этот период утратили прежнюю популярность. Их стали вытеснять модели, в которых игнорировалась отраслевая специфика, а экономическая динамика описывалась как воспроизводство валового внутреннего продукта (см., например, [1], [2]). Однако мировые экономические кризисы конца XX века и начала XXI века вновь актуализировали модели межотраслевых балансов как инструмент исследования структурных диспропорций. Стали разрабатываться сетевые модели межотраслевых связей для экономики США (см., например, [3]). В [3] гипотеза В.В. Леонтьева о постоянстве норм материальных затрат заменена гипотезой о постоянстве структуры финансовых затрат в процессе производства товаров и услуг с учeтом их отраслевой дифференциации. Эта гипотеза соответствует допущению, что производитель фиксирует пропорции своих расходов, в рамках которых в зависимости от ценовой конъюнктуры осуществляет материальные затраты, варьируя качество приобретаемых товаров и услуг. В экономических условиях конца XX века и начала XXI века такая гипотеза представляется более адекватной, чем гипотеза В.В. Леонтьева. В отличие от леонтьевских отраслевых производственных функций с постоянными пропорциями, ей соответствуют производственные функции, учитывающие замещение производственных факторов. В данной работе рассматриваются новые математические задачи агрегирования и калибровки моделей нелинейного межотраслевого баланса.

2. НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС

Рассмотрим группу из $m$ чистых отраслей, связанных взаимными поставками продукции в качестве производственных факторов текущего пользования (ПФТП). Обозначим через $X_{i}^{j}$ объем продукции $i$-й отрасли, который используется в качестве ПФТП в процессе производства в $j$-й отрасли, а через ${{X}^{j}} = (X_{1}^{j},\; \ldots ,\;X_{m}^{j})$ – затраты $j$-й отраслью ПФТП, производимых рассматриваемой группой отраслей. Будем также предполагать, что в процессе производства отрасли затрачивают в качестве ПФТП первичные ресурсы ($n$ видов), т.е. продукты, не производимые рассматриваемой группой отраслей. Обозначим через ${{l}^{j}} = (l_{1}^{j},\; \ldots ,\;l_{n}^{j})$ вектор затрат первичных ресурсов $j$-й отраслью, а через ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$ – производственную функцию $j$-й отрасли, т.е. зависимость выпуска $j$-й отрасли от затрат ПФТП. Будем предполагать, что производственные функции отраслей обладают неоклассическими свойствами, т.е. являются вогнутыми, монотонно неубывающими, непрерывными функциями на $R_{ + }^{{m + n}}$, обращающимися в нуле в нуль. Кроме того, будем считать, что ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$ являются функциями, положительно-однородными первой степени. Будем говорить, что такие функции принадлежат классу ${{\Phi }_{{m + n}}}$.

Обозначим через ${{X}^{0}} = (X_{1}^{0},\; \ldots ,\;X_{m}^{0})$ объемы поставок производимой рассматриваемыми отраслями продукции внешним потребителям. Будем считать, что спрос внешних потребителей описывается с помощью функции полезности ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$. Предположим, что функция ${{F}_{0}}({{X}^{0}}) \in {{\Phi }_{m}}$ и что предложение первичных ресурсов рассматриваемой группе отраслей ограничено объемом $l = \left( {{{l}_{1}},\; \ldots ,\;{{l}_{n}}} \right) \geqslant 0$. Рассмотрим задачу об оптимальном распределении этих ресурсов между отраслями в целях максимизации функции полезности внешних потребителей при балансовых ограничениях по первичным ресурсам и выпускаемой отраслями продукции:

Будем считать, что рассматриваемая группа отраслей продуктивна, т.е. существуют ${{\hat {X}}^{1}} \geqslant 0,\; \ldots ,\;{{\hat {X}}^{m}} \geqslant 0,\;{{\hat {l}}^{1}} \geqslant 0,\; \ldots ,\;{{\hat {l}}^{m}} \geqslant 0$, такие, что

Нетрудно доказать, что если группа отраслей продуктивна и $l = \left( {{{l}_{1}},\; \ldots ,\;{{l}_{n}}} \right) > 0$, то задача оптимизации (2.1)–(2.4) удовлетворяет условиям Слейтера.

Предложение 1 (см. [4]). Для того чтобы набор векторов $\{ {{\hat {X}}^{0}},\;{{\hat {X}}^{1}},\; \ldots ,\;{{\hat {X}}^{m}},{{\hat {l}}^{1}},\; \ldots ,\;{{\hat {l}}^{m}}\} $, удовлетворяющих ограничениям (2.2)–(2.4), являлся решением задачи оптимизации (2.1)–(2.4), необходимо и достаточно, чтобы существовали множители Лагранжа ${{p}_{0}} > 0$, $q = \left( {{{q}_{1}},\; \ldots ,\;{{q}_{m}}} \right) \geqslant 0$, $s = \left( {{{s}_{1}},\; \ldots ,\;{{s}_{n}}} \right) \geqslant 0$ такие, что

Будем интерпретировать множители Лагранжа $q = \left( {{{q}_{1}},\; \ldots ,\;{{q}_{m}}} \right)$ к балансовым ограничениям по выпускаемым отраслями продуктам как цены на эти продукты, а множители Лагранжа $s = \left( {{{s}_{1}},\; \ldots ,\;{{s}_{n}}} \right)$ к балансовым ограничениям по первичным ресурсам – как цены на первичные ресурсы. Тогда соотношение (2.5) означает, что предложение продукции отраслями и их спрос на ПФТП определяются из максимизации прибыли при ценах $\left( {q,s} \right)$. Соотношение (2.8) описывает спрос при ценах $q$ репрезентативного рационального конечного потребителя с функцией полезности ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$, и, кроме того, ${{p}_{0}} = {{q}_{0}}\left( q \right),$ где функция ${{q}_{0}}\left( q \right)$ является преобразованием Янга функции ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$, т.е.

Соотношения (2.2) и (2.6), (2.3) и (2.7) означают, что цены $q = \left( {{{q}_{1}},\; \ldots ,\;{{q}_{m}}} \right)$ и $s = \left( {{{s}_{1}},\; \ldots ,\;{{s}_{n}}} \right)$ равновесные. Таким образом, оптимальными механизмами распределения являются равновесные рыночные механизмы.

Двойственным описанием технологии производства $j$-й отрасли является функция себестоимости

Функция себестоимости ${{q}_{j}}\left( {q,s} \right)$ является преобразованием Янга производственной функции ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$.

3. ЗАДАЧА ОБ АГРЕГИРОВАННОМ ОПИСАНИИ ГРУППЫ ОТРАСЛЕЙ

Рассмотрим задачу агрегирования межотраслевого баланса (2)–(4) с помощью функции полезности ${{F}_{0}}({{X}^{0}})$. Обозначим через ${{F}^{A}}{\kern 1pt} \left( l \right)$ оптимальное значение функционала в задаче (2.1)–(2.4) в зависимости от вектора предложения первичных ресурсов $l$ в правой части балансового ограничения (2.3). Функция ${{F}^{A}}{\kern 1pt} \left( l \right) \in {{\Phi }_{n}}$ интерпретируется как агрегированная производственная функция. Агрегированной производственной функции ${{F}^{A}}\left( l \right)$ соответствует двойственная агрегированная функция себестоимости

Функция себестоимости ${{q}_{A}}\left( s \right) \in {{\Phi }_{n}}$ и, кроме того, справедливо соотношение (см., например, [5])

В силу двойственности между производственными функциями и функциями себестоимости, например, производственной функции с постоянной эластичностью замещения (constant elasticity substitution, CES) ${{\left( {{{{\left( {\frac{{{{X}_{1}}}}{{{{w}_{1}}}}} \right)}}^{{ - \rho }}} + {{{\left( {\frac{{{{X}_{2}}}}{{{{w}_{2}}}}} \right)}}^{{ - \rho }}} + {{{\left( {\frac{{{{X}_{n}}}}{{{{w}_{n}}}}} \right)}}^{{ - \rho }}}} \right)}^{{ - 1/\rho }}}$, где $\rho \in \left[ { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right]$, ${{w}_{1}} > 0,\; \ldots ,\;{{w}_{n}} > 0$, в силу преобразования Янга соответствует CES-функция себестоимости ${{\left( {{{{\left( {{{s}_{1}}{{w}_{1}}} \right)}}^{{ - \sigma }}} + {{{\left( {{{s}_{2}}{{w}_{2}}} \right)}}^{{ - \sigma }}} + {{{\left( {{{s}_{n}}{{w}_{n}}} \right)}}^{{ - \sigma }}}} \right)}^{{ - 1/\sigma }}}$, где $\sigma = - \frac{\rho }{{1 + \rho }}$. Производственной функции Кобба–Дугласа (предельный случай при $\rho \to 0$) ${{F}_{{KD}}}\left( {{{X}_{1}},\; \ldots ,\;{{X}_{n}}} \right) = AX_{1}^{{{{\alpha }_{1}}}}\; \ldots \;.X_{n}^{{{{\alpha }_{n}}}}$, где $A > 0$, ${{\alpha }_{1}} > 0,\; \ldots ,\;{{\alpha }_{n}} > 0$, ${{\alpha }_{1}} + \; \ldots \; + {{\alpha }_{n}} = 1$, в силу преобразования Янга соответствует функция себестоимости

Теорема 1. Агрегированная функция себестоимости представима в виде

Доказательство. Построим двойственную задачу к задаче (2.1)–(2.4), предполагая, что $l \in R_{ + }^{n}$. Для этого переформулируем задачу (2.1)–(2.4) в виде ${\text{inf}}\left\{ {f({{X}^{0}}) + g({{X}^{0}})} \right\}$, где

Вычислим сопряженные функции:

По теореме Фенхеля (см. [6, с. 47]) имеем, что

В силу положительной однородности первой степени функций ${{q}_{0}}{\kern 1pt} \left( p \right)$, ${{q}_{j}}{\kern 1pt} \left( {s,p} \right),$ $j = 1,\; \ldots ,\;m$, из (3.1) и (3.3) следует (3.2). Теорема 1 доказана.

Определение 1. Будем называть задачу (3.2) двойственной по Янгу к задаче (2.1)–(2.4).

Предложение 2. Если множители Лагранжа $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = \left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}_{1}},\; \ldots ,\;{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}_{m}}} \right) \geqslant 0$, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{s} \geqslant 0$ к задаче (1)–(4) удовлетворяют условиям

то являeтся решением задачи (3.2) для $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = \left( {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}_{1}},\; \ldots ,\;{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}_{m}}} \right) \geqslant 0$, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{s} \geqslant 0$.

Доказательство. В силу положительной однородности и вогнутости функции ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$ получаем из (3.4), что ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }_{j}} \leqslant {{q}_{j}}\left( {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} ,\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{s} } \right)$, $j = 1,\; \ldots ,\;m$, ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }_{j}}{{F}_{j}}({{\hat {X}}^{j}},{{\hat {l}}^{j}}) = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} {{\hat {X}}^{j}} + \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{s} {{\hat {l}}^{j}}$. Из (3.7) следует, что ${{q}_{0}}\left( {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} } \right) = 1$, ${{F}_{0}}({{\hat {X}}^{0}}) = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} {{\hat {X}}^{0}}$. Из (3.5) имеем, что

Откуда следует с учeтом (3.6) и $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{s} \in \partial {{F}^{A}}\left( l \right)$, что Предложение 2 доказано.

4. ОБОБЩEННАЯ КОНВОЛЮЦИЯ

В качестве примера рассмотрим две технологии ${{F}_{1}}({{l}^{1}})$ и ${{F}_{2}}({{l}^{2}})$, использующие одни и те же производственные факторы. Будем считать, что по этим технологиям выпускается частично взаимозаменяемая продукция и что потребители этой продукции оценивают еe с помощью функции полезности ${{F}_{0}}(X_{1}^{0},X_{2}^{0})$, которая является положительно-однородной, вогнутой, непрерывной на множестве $R_{ + }^{2}$ функцией, принимающей положительные значения на множестве $\operatorname{int} R_{ + }^{2}$.

Рассмотрим задачу распределения ресурсов между технологиями:

Функция ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} }^{A}}\left( l \right)$, задающая зависимость оптимального значения функционала задачи (4.1)–(4.3) от вектора $l$ суммарных затрат производственных факторов, описывает агрегированную технологию. Заметим, что операция построения функции ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} }^{A}}{\kern 1pt} \left( l \right)$ по функциям ${{F}_{1}}({{l}^{1}})$ и ${{F}_{2}}({{l}^{2}})$ может рассматриваться как обобщение операции конволюции в выпуклом анализе.

Следствие 1. Пусть

Функция ${{q}_{0}}{\kern 1pt} \left( {{{q}_{1}}{\kern 1pt} \left( s \right),{{q}_{2}}{\kern 1pt} \left( s \right)} \right)$ является функцией себестоимости для производственной функции ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{F} }^{A}}{\kern 1pt} \left( l \right)$.

Двойственный к функции полезности ${{F}_{0}}\left( {{{Y}_{1}},{{Y}_{2}}} \right)$ индекс цены выражается с помощью преобразования Янга:

Предположим, что в силу преобразования Янга технологиям ${{F}_{1}}({{l}^{1}})$ и ${{F}_{2}}({{l}^{2}})$ соответствуют функции себестоимости ${{q}_{1}}{\kern 1pt} \left( {{{s}_{1}}{{x}_{1}},{{s}_{2}}{{x}_{2}}} \right)$ и ${{q}_{1}}{\kern 1pt} \left( {{{s}_{1}}{{y}_{1}},{{s}_{2}}{{y}_{2}}} \right)$.

Рассмотрим задачу об агрегировании технологий: для каких функций ${{q}_{0}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$, ${{q}_{1}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$, ${{q}_{2}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$ существуют положительные числа ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ такие, что для любых ${{s}_{1}} \geqslant 0$, ${{s}_{2}} \geqslant 0$ справедливо, что

Предложение 3. Пусть функции ${{q}_{0}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$, ${{q}_{1}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$, ${{q}_{2}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$ положительно однородны, вогнуты, непрерывны на $R_{ + }^{2}$, принимают положительные значения на множестве $\operatorname{int} R_{ + }^{2}$ и удовлетворяют для любых ${{\beta }_{1}} \geqslant 0$, ${{\beta }_{2}} \geqslant 0$ условиям ${{q}_{j}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right) = {{q}_{j}}{\kern 1pt} \left( {{{\beta }_{2}},{{\beta }_{1}}} \right)$, ${{q}_{j}}{\kern 1pt} \left( {0,{{\beta }_{2}}} \right) = {{\beta }_{2}}$, $j = 0,\;1,\;2$. Тогда имеем

где $ - 1 \leqslant \sigma < 0$.

Доказательство. Полагая ${{s}_{2}} = 0$, получаем, что

откуда следует, что ${{z}_{1}} = {{q}_{0}}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$. Полагая ${{s}_{1}} = 0$, аналогично получаем, что ${{z}_{2}} = {{q}_{0}}\left( {{{y}_{1}},{{y}_{2}}} \right)$. Таким образом, задача сводится к вопросу о существовании функции ${{q}_{2}}\left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right)$ такой, что для любых ${{\beta }_{1}} \geqslant 0$, ${{\beta }_{2}} \geqslant 0$ ${{q}_{2}}\left( {{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}} \right) = {{q}_{2}}\left( {{{\beta }_{2}},{{\beta }_{1}}} \right)$, ${{q}_{2}}\left( {0,{{\beta }_{2}}} \right) = {{\beta }_{2}}$ и для любых ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$, ${{y}_{1}} \geqslant 0$, ${{y}_{2}} \geqslant 0$ справедливо равенство

Полагая в этом соотношении ${{y}_{1}} = {{y}_{2}} = 0$, получаем, что

Откуда следует, что ${{q}_{1}}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right) = {{q}_{2}}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$. Таким образом, для любых ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$, ${{y}_{1}} \geqslant 0$, ${{y}_{2}} \geqslant 0$ справедливо равенство

Полагая в этом соотношении ${{x}_{2}} = {{y}_{1}} = 0$, получаем, что Из этого следует, что ${{q}_{1}}\left( {{{x}_{1}},{{y}_{2}}} \right) = {{q}_{0}}\left( {{{x}_{1}},{{y}_{2}}} \right)$. Таким образом, для любых ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0,$ ${{y}_{1}} \geqslant 0$, ${{y}_{2}} \geqslant 0$ справедливо равенство

По теореме Дебре–Гормана–Кукушкина (см. [7, теорема 1, с. 29]) существуют непрерывные, строго монотонные, обращающиеся в нуле в нуль функции $\lambda \left( \beta \right)$, $\mu \left( \beta \right)$ такие, что для любых ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$, ${{y}_{1}} \geqslant 0$, ${{y}_{2}} \geqslant 0$ справедливо равенство

Полагая ${{y}_{1}} = {{y}_{2}} = 0$, получаем, что для любых ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$ справедливо равенство

Заметим, что для любого ${{x}_{1}} \geqslant 0$ справедливо равенство

т.е. функция $\lambda \left( \beta \right)$ является обратной функцией к $\mu \left( \beta \right)$. Таким образом, для любых ${{x}_{1}} \geqslant 0,{{x}_{2}} \geqslant 0$ справедливо равенство

Без ограничения общности, умножая, если нужно, функцию $\mu \left( x \right)$ на положительное число, будем считать, что $\mu \left( 1 \right) = 1$. Из положительной однородности функции ${{q}_{0}}\left( {{{x}_{1}},{{x}_{2}}} \right)$ следует, что если числа ${{x}_{1}} \geqslant 0$, ${{x}_{2}} \geqslant 0$ таковы, что $\mu \left( {{{x}_{1}}} \right) + \mu \left( {{{x}_{2}}} \right) = 1$, то для любого $t \geqslant 0$ справедливо равенство

откуда следует, что $\mu \left( \beta \right) = {{\beta }^{{ - \sigma }}}$, где $\sigma < 0$. Из этого следует, что где $ - 1 \leqslant \sigma < 0$ в силу предположения о вогнутости функции. Предложение 3 доказано.

5. АГРЕГИРОВАНИЕ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

Рассмотрим вопрос об агрегировании межотраслевого баланса (2.1)–(2.4). Предположим, что множество номеров отраслей и выпускаемых ими продуктов $\left\{ {1,...,m} \right\}$ разбито на непересекающиеся подмножества $\left\{ {{{I}_{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$. Обозначим через ${{Z}^{\alpha }} = (X_{j}^{0}\,\left| {\,j \in {{I}_{\alpha }}} \right.)$, где $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $. Предположим, что функция полезности внешних потребителей имеет структуру ${{F}_{0}}({{X}^{0}}) = {{G}_{0}}({{G}_{1}}({{Z}^{1}}),\; \ldots ,\;{{G}_{\nu }}({{Z}^{\nu }})),$ где функции ${{G}_{\alpha }}$, $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $, являются положительно-однородными первой степени, вогнутыми, монотонно неубывающими, непрерывными функциями.

Лемма 1 (см. [8]). Пусть ${{G}_{1}}({{Z}^{1}}),\; \ldots ,\;{{G}_{\nu }}({{Z}^{\nu }})$ – положительно-однородные, вогнутые, непрерывные функции, принимающие положительные значения при положительных значениях аргументов, а функция ${{G}_{0}}\left( {{{Y}_{1}},\; \ldots ,\;{{Y}_{\nu }}} \right)$ является положительно-однородной, вогнутой, непрерывной на множестве $R_{ + }^{\nu }$ функцией, принимающей положительные значения на множестве ${\text{int}}R_{ + }^{\nu }$. Пусть функции

являются их преобразованиями Янга. Тогда получимЗдесь ${{Z}^{\alpha }} = (X_{j}^{0}\,\left| {\,j \in {{I}_{\alpha }}} \right.)$, ${{p}^{\alpha }} = \left( {{{p}_{j}}\left| {\,j \in {{I}_{\alpha }}} \right.} \right)$, $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $.

По лемме 1 функция ${{h}_{0}}({{h}_{1}}({{p}^{1}}),\; \ldots ,\;{{h}_{\nu }}({{p}^{\nu }}))$ в силу преобразования Янга будет двойственной к функции ${{F}_{0}}({{X}^{0}}) = {{G}_{0}}({{G}_{1}}({{Z}^{1}}),\; \ldots ,\;{{G}_{\nu }}({{Z}^{\nu }}))$.

Рассмотрим вспомогательную задачу

Теорема 2. Пусть

где ${{r}^{\alpha }}\left( {{{h}_{1}},\; \ldots ,\;{{h}_{{\alpha - 1}}},{{h}_{{\alpha + 1}}},\; \ldots ,\;{{h}_{\nu }},s} \right)$ – положительно-однородные, вогнутые, непрерывные функции, принимающие положительные значения при положительных значениях аргументов. Тогда

Кроме того, если $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.)$ – решение задачи (3.2), то $\left\{ {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }}_{\alpha }} = {{h}^{\alpha }}({{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }}^{\alpha }})\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$ – решение задачи (5.3).

Доказательство. Пусть $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.)$ – решение задачи (3.2). Положим ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{\alpha }} = {{h}^{\alpha }}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\alpha }})$, $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $. Из (5.1) следует, что ${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{\alpha }} \leqslant {{r}^{\alpha }}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{1}},\; \ldots ,\;{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{{\alpha - 1}}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{{\alpha + 1}}},\; \ldots ,\;{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{\nu }},s)$, $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $. Поскольку ${{q}_{0}}(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} ) = {{h}_{0}}({{h}_{1}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{1}}),\; \ldots ,\;{{h}_{\nu }}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\nu }}))$, получаем, что

В обратную сторону, пусть $({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{1}},\; \ldots ,\;{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} }_{\nu }})$ – решение задачи

Используя свойства функций ${{h}_{\alpha }}({{p}^{\alpha }})$, выберем $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} = ({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.) \geqslant 0$ так, чтобы Поскольку ${{q}_{0}}\left( {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} } \right) = {{h}_{0}}({{h}_{1}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{1}}),\; \ldots ,\;{{h}_{\nu }}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} }^{\nu }}))$, получаем, что Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть

и $\{ {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }^{0}},\; \ldots ,\;{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }^{m}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{l} }^{1}},\; \ldots ,\;{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{l} }^{m}}\} $ – решение задачи (2.1)–(2.4). Положим

Тогда $\left\{ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{0},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{\alpha },{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{L} }}^{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu ;\;\beta = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$ является решением задачи

Доказательство. По теореме 1 задача (5.5)–(5.8) является двойственной по Янгу к задаче (5.4). Из теоремы 2 следует, что оптимальные значения функционалов в задачах (3.2) и (5.4) равны, а значит, в  силу  двойственности по Янгу, равны и оптимальные значения функционалов в  задачах (2.1)–(2.4) и (5.5)–(5.8). Из (2.3), (2.4) по построению следует, что $\left\{ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{0},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{\alpha },{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{L} }}^{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu ;\;\beta = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$ удовлетворяют (5.7) и (5.8). Таким образом, для доказательства теоремы достаточно проверить, что $\left\{ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{0},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{Y} _{\beta }^{\alpha },{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{L} }}^{\alpha }}\,\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu ;\;\beta = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$ удовлетворяют (5.6).

В силу предложения 1 существуют $\,\tilde {p} = \left( {{{{\tilde {p}}}_{1}},\; \ldots ,\;{{{\tilde {p}}}_{m}}} \right) \geqslant 0$, $\tilde {s} = \left( {{{{\tilde {s}}}_{1}},\; \ldots ,\;{{{\tilde {s}}}_{n}}} \right) \geqslant 0$ такие, что выполняются условия

В силу положительной однородности и вогнутости функции ${{F}_{j}}({{X}^{j}},{{l}^{j}})$ получаем из (5.9), что ${{\tilde {p}}_{j}} = {{q}_{j}}\left( {\tilde {p},\tilde {s}} \right)$ и ${{\tilde {p}}_{j}}{{F}_{j}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }^{j}},{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{l} }^{j}}) = \tilde {p}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }^{j}} + \tilde {s}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{l} }^{j}}$ (здесь $j = 1,\; \ldots ,\;m$). Откуда следует, что

С учетом (5.10), (5.12) получаем

Из (5.12) следует, что ${{q}_{0}}\left( {\tilde {p}} \right) = {{h}_{0}}({{h}_{1}}({{\tilde {p}}^{1}}),\; \ldots ,\;{{h}_{\nu }}({{\tilde {p}}^{\nu }})) = 1,$ ${{F}_{0}}({{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }^{0}}) = \tilde {p}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }^{0}}$, т.е.

Рассмотрим вспомогательную задачу

Набор переменных $\left\{ {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} _{j}^{0},{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{X} }}^{j}},{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{l} }}^{j}}\,\left| {\,j \in {{I}^{\alpha }}} \right.} \right\}$ является решением задачи (5.13)–(5.17). Множители Лагранжа $p$, $s$ удовлетворяют

Следовательно, набор $\left\{ {{{h}_{\alpha }}({{{\tilde {p}}}^{\alpha }}),\tilde {p},\tilde {s}} \right\}$ является множителями Лагранжа для задачи (5.13)–(5.17). Задача (5.1) является двойственной по Янгу к задаче (5.13)–(5.17). В силу предложения 2 вектор ${{\tilde {p}}^{\alpha }}$ является решением задачи (5.1), т.е.

и, значит, Кроме того, Заметим, что Отсюда следует, что В силу определения преобразования Янга справедливо неравенство Из (5.18) и (5.19) получаем, что Теорема 3 доказана.

Замечание. Агрегированные балансы (5.6) не зависят от конкретного вида функции ${{G}_{0}}$, описывающей спрос внешнего потребителя. Поэтому конструкцию построения балансов (5.6) можно рассматривать как агрегирование межотраслевых балансов (2.2). Будем называть условия (5.2) из теоремы 2 условиями агрегирования балансов. Анализ условия (5.2) сводится к задаче о слабой отделимости.

Предложение 4. Пусть $H({{p}^{1}},{{p}^{2}}) \in {{\Phi }_{{m + n}}} \cap {{C}^{2}}(R_{ + }^{{m + n}})$, $h({{p}^{1}}) \in {{\Phi }_{m}} \cap {{C}^{2}}(R_{ + }^{m})$. Для того чтобы $H({{p}^{1}},{{p}^{2}}) = r(h({{p}^{1}}),{{p}^{2}})$, где $r(h,{{p}^{2}}) \in {{\Phi }_{{n + 1}}} \cap {{C}^{2}}(R_{ + }^{{n + 1}})$, ${{p}^{1}} = (p_{1}^{1},\; \ldots ,\;p_{m}^{1}) \in R_{ + }^{m},$ ${{p}^{2}} = (p_{1}^{2},\; \ldots ,\;p_{n}^{2}) \in R_{ + }^{n}$, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция $\psi ({{p}^{1}},{{p}^{2}}) \in {{C}^{1}}(R_{ + }^{{m + n}})$ такая, что

для любых $u = \left( {{{u}_{1}},\; \ldots ,\;{{u}_{m}}} \right)$ таких, что

Доказательство. Необходимость. Поскольку $H({{p}^{1}},{{p}^{2}}) = r(h({{p}^{1}}),{{p}^{2}})$, где $r(h,{{p}^{2}}) \in {{\Phi }_{{n + 1}}} \cap {{C}^{2}}(R_{ + }^{{n + 1}})$, то

Положим

При сделанных предположениях $\psi ({{p}^{1}},{{p}^{2}}) \in {{C}^{1}}(R_{ + }^{{m + n}})$.

Если

то

Достаточность. В силу тождества Эйлера

Пусть  для  определенности  $\frac{{\partial h({{p}^{1}})}}{{\partial p_{k}^{1}}} > 0$.  По  теореме  о неявной функции существует дважды непрерывно дифференцируемая функция $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} _{k}^{1}(h,p_{1}^{1},\; \ldots ,\;p_{{k - 1}}^{1},p_{{k + 1}}^{1},\; \ldots ,\;p_{m}^{1})$ такая, что $h(p_{1}^{1},\; \ldots ,\;p_{{k - 1}}^{1},\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} _{k}^{1}(\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} ,p_{1}^{1},\; \ldots ,\;p_{{k - 1}}^{1},p_{{k + 1}}^{1},\; \ldots ,\;p_{m}^{1}),p_{{k + 1}}^{1},\; \ldots ,\;p_{m}^{1}) = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{h} $.

Причем для $j \ne k$ имеем

Сделаем в функции $H({{p}^{1}},{{p}^{2}})$ замену переменных. Перейдем от переменных $({{p}^{1}},{{p}^{2}})$ к переменным $(p_{1}^{1},\; \ldots ,\;p_{{k - 1}}^{1},h,p_{{k + 1}}^{1},\; \ldots ,\;p_{m}^{1},{{p}^{2}})$, полагая $p_{k}^{1} = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} _{k}^{1}(h,p_{1}^{1},\; \ldots ,\;p_{{k - 1}}^{1},p_{{k + 1}}^{1},\; \ldots ,\;p_{m}^{1})$. Заметим, что для $j \ne k$ справедливо равенство

Откуда следует, что $H({{p}^{1}},{{p}^{2}}) = r(h({{p}^{1}}),{{p}^{2}})$, где $r(h,{{p}^{2}}) \in {{C}^{2}}(R_{ + }^{{n + 1}})$ и $\psi ({{p}^{1}},{{p}^{2}}) = {{\left. {\frac{{\partial r(h,{{p}^{2}})}}{{\partial h}}} \right|}_{{h = h({{p}^{1}})}}}$.

Кроме того, $\lambda r(h({{p}^{1}}),{{p}^{2}}) = \lambda H({{p}^{1}},{{p}^{2}}) = H(\lambda {{p}^{1}},\lambda {{p}^{2}}) = r(h(\lambda {{p}^{1}}),\lambda {{p}^{2}})$ = $r(\lambda h({{p}^{1}}),\lambda {{p}^{2}})$ при $\lambda > 0$. Откуда получаем, что если $\lambda > 0$, то справедливо равенство $r(\lambda h,\lambda {{p}^{2}}) = \lambda r(h,{{p}^{2}})$. Заметим, что в силу положительной однородности функции $h({{p}^{1}})$ справедливо равенство

В силу вогнутости функции $H({{p}^{1}},{{p}^{2}})$ для любых $u = \left( {{{u}_{1}},\; \ldots ,\;{{u}_{m}}} \right)$, ${v} = \left( {{{{v}}_{1}},\; \ldots ,\;{{{v}}_{n}}} \right)$ справедливо неравенство

Полагая $u = {{p}^{1}}$ и выбирая

получаем, что для произвольных значений $\alpha $, ${v}$. Следовательно, $r(h,{{p}^{2}}) \in {{\Phi }_{{n + 1}}} \cap {{C}^{2}}(R_{ + }^{{n + 1}})$. Предложение 4 доказано.

6. АГРЕГИРОВАНИЕ В СЛУЧАЕ ФУНКЦИЙ С ПОСТОЯННОЙ ЭЛАСТИЧНОСТЬЮ ЗАМЕЩЕНИЯ

Обозначим через ${{J}_{0}}$ множество номеров товаров, которые выпускаются рассматриваемыми отраслями и используются конечными потребителями. Обозначим через ${{J}_{i}}$ множество номеров товаров, которые выпускаются рассматриваемыми отраслями и используются в качестве производственных факторов $i$-й отраслью, а через ${{I}_{i}}$ – множество номеров первичных ресурсов, которые используются в качестве производственных факторов $i$-й отраслью. Будем предполагать, что каждая отрасль использует хотя бы один вид первичных ресурсов, т.е. ${{I}_{i}} \ne \emptyset $. Предположим, что функции

где $\rho \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$, ${{\lambda }_{j}} > 0\,\,\left( {j \in {{J}_{0}}} \right)$, ${{w}_{{ij}}} > 0$ $\left( {j \in {{J}_{i}},i = 1,\; \ldots ,\;m} \right)$, ${{{v}}_{{ik}}} > 0$ ($k \in {{I}_{i}}$, $i = 1,\; \ldots ,\;m$).

Обозначим

Рассмотрим матрицы

$E$ – единичную матрицу $\left( {m \times m} \right)$. Если матрица $A$ продуктивна, то матрица $C = \left\| {{{c}_{{ik}}}} \right\|_{{k = 1,\; \ldots ,\;n}}^{{i = 1,\; \ldots ,\;m}} = {{\left( {E - A} \right)}^{{ - 1}}}B$ является неотрицательной.

Следствие 2. Пусть матрица $A$ продуктивна. Задача

имеет решение вида

Агрегированная функция себестоимости и агрегированная производственная функция имеют вид

где

Доказательство. Если $\rho \in \left( {0, + \infty } \right)$, то неравенства ${{q}_{i}}\left( {p,s} \right) \geqslant {{p}_{i}} \geqslant 0$, $i = 1,\; \ldots ,\;m$, эквивалентны неравенствам

В силу продуктивности матрицы $A$ существует неотрицательная матрица ${{\left( {E - A} \right)}^{{ - 1}}}$ (см. [9, с. 132]), и эти неравенства эквивалентны неравенствам

Если $\rho \in \left( { - 1,0} \right)$, то, аналогично, неравенства ${{q}_{i}}\left( {p,s} \right) \geqslant {{p}_{i}} \geqslant 0$, $i = 1,\; \ldots ,\;m$, эквивалентны неравенствам

Для любых $\rho \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$ имеем систему неравенств

Функция

монотонно не убывает по переменным $p$, откуда следует, что решение задачи (6.1), (6.2) имеет вид

Подставляя решение в (6.3), получаем выражение для функции ${{q}_{A}}\left( s \right)$. Используя выражение для преобразования Янга CES-функции, получаем выражение для ${{F}^{A}}\left( l \right)$. Следствие 2 доказано.

Рассмотрим агрегирование межотраслевого баланса в случае CES-функций. Так же, как в разд. 5, предположим, что множество номеров отраслей и выпускаемых ими продуктов $\left\{ {1,\; \ldots ,\;m} \right\}$ разбито на непересекающиеся подмножества $\left\{ {{{I}_{\alpha }}\left| {\,\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu } \right.} \right\}$. Будем считать, что производственные функции отраслей являются CES-функциями:

где $\rho \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0, + \infty } \right)$, ${{w}_{{ij}}} > 0$, ($j \in {{J}_{i}}$, $i = 1,\; \ldots ,\;m$), ${{{v}}_{{ik}}} > 0$ ($k \in {{I}_{i}}$, $i = 1,\; \ldots ,\;m$).

Будем искать агрегирующие функции также в классе CES-функций:

Обозначим через ${{A}_{{\alpha \beta }}} = \left\| {{{a}_{{ij}}}} \right\|_{{j \in {{I}^{\beta }}}}^{{i \in {{I}^{\alpha }}}}$, $\alpha ,\beta = 1,\; \ldots ,\;\nu $, подматрицу матрицы $A$, а через ${{E}_{{\alpha \alpha }}}$ – единичную матрицу, у которой $\left| {{{I}^{\alpha }}} \right|$ строк. Определим вектор-строку

Следствие 3. Пусть матрица $A$ продуктивна. Тогда матрицы ${{A}_{{\alpha \alpha }}}$, $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $, продуктивны. Для того чтобы функции (6.4) удовлетворяли условиям агрегирования балансов (5.2), необходимо и достаточно, чтобы для любой упорядоченной пары $\left( {\alpha ,\beta } \right)$, где $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $, $\beta = 1,\; \ldots ,\;\nu $, $\beta \ne \alpha $, существовало число ${{\mu }_{{\beta \alpha }}} \geqslant 0$ такое, что выполняется равенство

Заметим, что матрицы ${{A}_{{\alpha \alpha }}}$, $\alpha = 1,\; \ldots ,\;\nu $, продуктивны, так как продуктивна матрица $A$. Доказательство следствия 3 непосредственно вытекает из следствия 2.

Замечание 2. Из (6.5) следует, что вектор ${{\theta }^{\alpha }}$ должен быть собственным вектором матрицы ${{\left( {{{E}_{{\alpha \alpha }}} - {{A}_{{\alpha \alpha }}}} \right)}^{{ - 1}}}{{A}_{{\alpha \beta }}}{{\left( {{{E}_{{\beta \beta }}} - {{A}_{{\beta \beta }}}} \right)}^{{ - 1}}}{{A}_{{\beta \alpha }}}$, где $\beta \ne \alpha $. По теореме Фробениуса–Перрона такой неотрицательный собственный вектор существует для каждого $\beta \ne \alpha $. Более того, если ${{\mu }_{{\alpha \beta }}} > 0$, то неотрицательный вектор ${{\theta }^{\beta }} = \frac{1}{{{{\mu }_{{\alpha \beta }}}}}{{\theta }^{\alpha }}{{\left( {{{E}_{{\alpha \alpha }}} - {{A}_{{\alpha \alpha }}}} \right)}^{{ - 1}}}{{A}_{{\alpha \beta }}}$ является собственным вектором матрицы ${\text{ }}{{\left( {{{E}_{{\beta \beta }}} - {{A}_{{\beta \beta }}}} \right)}^{{ - 1}}}{{A}_{{\beta \alpha }}}{{\left( {{{E}_{{\alpha \alpha }}} - {{A}_{{\alpha \alpha }}}} \right)}^{{ - 1}}}{{A}_{{\alpha \beta }}}$, при этом выполняются соотношения (6.5) для пар $\left( {\alpha ,\beta } \right)$ и $\left( {\beta ,\alpha } \right)$.