Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 11, стр. 1779-1785

1. Пусть $A$ – невырожденная комплексная $n \times n$-матрица. Матрица ${{\mathcal{C}}_{A}} = {{A}^{ - }}{\kern 1pt} *{\kern 1pt} A$ называется коквадратом матрицы $A$. Спектр и жорданова структура коквадрата дают много информации о нормальной форме $A$ относительно конгруэнций. В данной статье конгруэнция понимается как преобразование вида

где $P$ – произвольная невырожденная матрица.

Предположим, что жорданова форма коквадрата ${{\mathcal{C}}_{A}}$ состоит из единственной жордановой клетки

где ${{\lambda }_{0}} = {{e}^{{i\theta }}}$ – число с модулем 1. В этом случае нормальная форма ${{F}_{A}}$ матрицы $A$ относительно конгруэнций представляет собой $n \times n$-матрицу взятую со скалярным множителем ${{e}^{{i\theta /2}}}$ или $ - {{e}^{{i\theta /2}}}$ (см. [1, § 4.5]). Ту же нормальную форму имеет всякая матрица, конгруэнтная матрице $A$.

Положим ${{\lambda }_{0}} = 1.$ В предлагаемой статье рассматривается следующая задача: описать множество ${{\mathcal{K}}_{n}}$ всех невырожденных $n \times n$-матриц, коквадратом которых является жорданова клетка ${{J}_{n}}(1)$.

2. Множество

является многообразием в матричном пространстве ${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$, рассматриваемом как вещественное линейное пространство. Переписывая определение коквадрата в виде и отказываясь от требования невырожденности матрицы $X$, мы погружаем ${{\mathcal{K}}_{n}}$ в вещественное линейное подпространство ${{\mathcal{L}}_{n}}$ решений уравнения (3).

Какова размерность подпространства ${{\mathcal{L}}_{n}}$? Положив

заменим комплексное уравнение (3) парой вещественных уравнений Подпространства решений этих уравнений обозначим соответственно через ${{\mathcal{Y}}_{n}}$ и ${{\mathcal{Z}}_{n}}$. Очевидно, что они пересекаются только по нулевой матрице, поэтому подпространство есть прямая сумма ${{\mathcal{Y}}_{n}}$ и ${{\mathcal{Z}}_{n}}$.

Из (5a) выводим

Подставляя это выражение для ${{Y}^{ \top }}$ в (5a), приходим к однородному уравнению Стейна для матрицы $Y$: Умножая обе части справа на ${{({{J}_{n}}(1))}^{{ - 1}}}$, получаем однородное уравнение Сильвестра: К этому же уравнению (6) (с заменой $Y$ на $Z$) приводят аналогичные выкладки с уравнением (5б).

Итак, обе матрицы $Y$ и $Z$ в формуле (4) принадлежат подпространству ${{\mathcal{S}}_{n}}$ вещественных решений линейного однородного матричного уравнения (6). Размерность этого подпространства известна. Оба матричных коэффициента уравнения, т.е. матрицы ${{({{J}_{n}}(1))}^{ \top }}$ и ${{({{J}_{n}}(1))}^{{ - 1}}}$, имеют единственный элементарный делитель ${{(\lambda - 1)}^{n}}$. Согласно формуле (19) из [2, глава VIII],

Поскольку ${{\mathcal{Y}}_{n}},$ ${{\mathcal{Z}}_{n}}$ и ${{\mathcal{W}}_{n}}$ вложены в ${{\mathcal{S}}_{n}}$, то Размерности подпространств ${{\mathcal{W}}_{n}}$ и ${{\mathcal{L}}_{n}}$ одинаковы, поэтому Ниже мы показываем, что, в действительности,

3. Приведем вид общих решений уравнений (5a) и (5б) для малых порядков $n$. Символы $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta $ и $\varepsilon $ используются для обозначения свободных параметров. Начнем с уравнения (5a).

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

n = 6

Перейдем теперь к уравнению (5б).

n = 2

n = 3

n = 4

n = 5

4. Покажем, как выводятся эти представления общих решений на примере уравнения (5a) при $n = 5$. Транспонируем это уравнение и положим ${{J}_{5}}(1) = {{I}_{5}} + {{J}_{5}}(0)$:

или Таким образом, матрица отличаясь лишь знаком от матрицы $Y - {{Y}^{ \top }}$, должна быть кососимметричной. Отсюда выводим Матрицы $Y, - {{({{J}_{5}}(0))}^{ \top }}Y$ и $Y - {{Y}^{ \top }}$ теперь выглядят так: Равенство двух последних матриц дает соотношения Полагая ${{y}_{{15}}} \equiv \alpha ,$ ${{y}_{{35}}} \equiv - \beta $ и ${{y}_{{55}}} \equiv \gamma $, приходим к формуле (11).

5. Внимательный взгляд на формулы (8)–(16) обнаруживает такую закономерность: при фиксированном порядке $n$ общее решение $Y$ зависит от $\left\lceil {\tfrac{n}{2}} \right\rceil $ свободных параметров, а общее решение $Z$ – от $\left\lfloor {\tfrac{n}{2}} \right\rfloor $ свободных параметров. Это наблюдение относится пока лишь к малым значениям $n$. В данном разделе мы покажем по индукции, что указанная закономерность верна для всех $n$.

Базисом индукции могут служить сами представления (8)–(16). Индуктивный переход проанализируем для определенности для уравнения (5a). При этом будем различать случаи нечетного и четного $n$.

Пусть $n = 2k - 1$ и ${{Y}_{{2k - 1}}}$ – произвольное решение уравнения (5a) для этого значения $n$, т.е.

Сопоставление формул (9) и (10) показывает, что общее решение для $n = 4$ получается из общего решения для $n = 3$ окаймлением нулевой строкой сверху и нулевым столбцом слева. Это же верно для перехода от $n = 5$ к $n = 6$ (см. формулы (11) и (12)). Исходя из этого наблюдения, построим матрицу порядка $2k$ и вычислим произведение $Y_{{2k}}^{ \top }{{J}_{{2k}}}(1)$:

Таким образом, все матрицы вида (18) являются решениями уравнения (5a) при $n = 2k$ и, согласно индуктивному предположению, образуют линейное подпространство размерности $\left\lceil {\tfrac{{2k - 1}}{2}} \right\rceil = k = \left\lceil {\tfrac{n}{2}} \right\rceil $.

Рассмотрим теперь случай четного $n = 2k$. Сопоставление формул (8) и (9), а также (10) и (11), приводит к такому выводу: общее решение для $n = 2k + 1$ получается из общего решения для $n = 2k$ окаймлением (ненулевыми) строкой и столбцом (снизу и справа). Само по себе окаймление не увеличивает число свободных параметров, а новым свободным параметром становится последний диагональный элемент ${{y}_{{2k + 1,2k + 1}}}$.

Итак, пусть ${{Y}_{{2k}}}$ – произвольное решение уравнения (5a) для $n = 2k$, т.е.

Будем искать решение уравнения (5a) для $n = 2k + 1$ в виде Здесь $a$ и $b$ – это вектор-столбцы размерности $2k$, а $\gamma $ – скаляр.

Вычислим произведение $Y_{{2k + 1}}^{ \top }{{J}_{{2k + 1}}}(1)$:

Проверим совместность системы условий

Уравнение (22в) удовлетворяется тогда и только тогда, когда последняя компонента вектора $a$ равна нулю. (Заметим, что это условие выполнено при $n = 3$ и $n = 5$.) Положив ${{a}_{{2k}}} = 0$, транспонируем уравнение (22б):

Подставляя это выражение в (22a), имеем или Первые компоненты левой и правой частей равны нулю, так как обе матрицы ${{({{J}_{{2k}}}(0))}^{ \top }}$ и $Y_{{2k}}^{ \top }$ имеют нулевые первые строки. Остальные компоненты этого равенства однозначно определяют элементы вектора $a$ в позициях $1,2, \ldots ,n - 1$. Напомним, что ${{a}_{{2k}}} = 0$.

Итак, нужный нам вектор $a$ однозначно определяется вектором $Y_{{2k}}^{ \top }{{e}_{{2k}}}$, т.е. последней строкой матрицы ${{Y}_{{2k}}}$. Вслед за $a$ находим $b$ по формуле (23). Оба вектора зависят от тех же $k$ свободных параметров, что и ${{Y}_{{2k}}}$.

Матрица (21), соответствующая этим векторам $a$ и $b$, совпадает с ${{Y}_{{2k + 1}}}$, каково бы ни было число $\gamma $. Это число является новым свободным параметром, и суммарное число параметров в общем решении равно $k + 1 = \left\lceil {\tfrac{{2k + 1}}{2}} \right\rceil $.

Из проведенного исследования заключаем, что линейное подпространство ${{\mathcal{T}}_{n}}$ решений уравнения (5a) имеет размерность не меньшую, чем $\left\lceil {\tfrac{n}{2}} \right\rceil $. Аналогичным образом показываем, что линейное подпространство ${{\mathcal{U}}_{n}}$ решений уравнения (5б) имеет размерность не меньшую, чем $\left\lceil {\tfrac{n}{2}} \right\rceil $. В соответствующем анализе используются наблюдения, почерпнутые из формул (13)–(16): при переходе от четного $n$ к $n + 1$ происходит окаймление нулевыми строкой и столбцом сверху и слева; при переходе от нечетного $n$ к $n + 1$ окаймление, напротив, производится (ненулевыми) строкой и столбцом снизу и справа.

6. Подведем итог.

Подпространства ${{\mathcal{T}}_{n}}$ и ${{\mathcal{U}}_{n}}$ пересекаются только по нулевому вектору. Поэтому (см. (4)) вещественное линейное подпространство ${{\mathcal{L}}_{n}}$, составленное из решений уравнения (3), имеет размерность, не меньшую, чем $\left\lceil {\tfrac{n}{2}} \right\rceil + \left\lfloor {\tfrac{n}{2}} \right\rfloor = n$. С другой стороны, в разд. 2 было показано (см. (7)), что

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. $dim{{\mathcal{L}}_{n}} = dim{{\mathcal{S}}_{n}} = n$.

Вопрос, поставленный в начале статьи, получает следующий ответ: множество ${{\mathcal{K}}_{n}}$ матриц, имеющих коквадрат ${{J}_{n}}(1)$, состоит из всех невырожденных решений уравнения (3). Решения этого уравнения образуют подпространство размерности $n$. Все они имеют нижнюю антитреугольную форму, что следует из представления (4) и рассуждений разд. 5.

7. Все матрицы из ${{\mathcal{K}}_{n}}$ имеют один и тот же коквадрат ${{J}_{n}}(1)$. Тем не менее не все они конгруэнтны. Покажем это на примере простейшего случая $n = 2$.

Матрицы $X$ из ${{\mathcal{K}}_{2}}$ имеют вид

Тёплицево разложение матрицы $X$ таково:

Эрмитовы матрицы $\tfrac{1}{2}(X + X{\kern 1pt} *)$ имеют при всех $\delta \ne 0$ одно положительное и одно отрицательное собственные значения, а потому все они конгруэнтны. Вырожденные матрицы $\tfrac{1}{{2i}}(X - X{\kern 1pt} *)$ имеют при $\delta \ne 0$ единственное собственное значение, которое положительно при $\delta < 0$ и отрицательно, если $\delta > 0$. Поэтому матрицы $X$ с $\delta < 0$ не могут быть конгруэнтны матрицам $X$ с $\delta > 0$.