1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 61, № 11, 2021

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 11, стр. 1927-1936

Нелинейные уравнения теории ионно-звуковых волн в плазме

М. О. Корпусов 1, 2, *

1 МГУ, физ. факультет
119991 Москва, Ленинские горы, Россия

2 РУДН
117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6, Россия

* E-mail: korpusov@gmail.com

Поступила в редакцию 05.07.2020
После доработки 05.07.2020
Принята к публикации 11.02.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Мы вывели новые нелинейные уравнения высокого порядка соболевского типа, описывающие ионно-звуковые волны в плазме во внешнем электрическом или магнитном полях. Несмотря на громоздкий вид уравнений, для исследования соответствующих начальных и начально-краевых задач развиты методы исследования. Так, используя наши результаты, мы в дальнейшем предложим достаточные условия возникновения режимов с обострением. Библ. 18.

Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, “blow-up”, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения.

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе мы впервые получили нелинейные уравнения теории нелинейных ионно-звуковых волн в плазме, находящейся либо во внешнем электрическом, либо во внешнем магнитном полях. Эти нелинейные уравнения являются собoлевскими уравнениями (см. [1]) шестого порядка – второго по координатам и четвертого по времени следующих видов:

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}({{x}_{3}})exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{\Delta }_{2}}\phi + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{3}}}}\left( {\omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right) = {{f}_{0}}(x,t),$
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{3}}\phi + \omega _{{pi}}^{2}\omega _{{Bi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = 0.$
Отметим, что соответствующее уравнение ионно-звуковых волн в однородной и изотропной плазме описывается уравнением четвертого порядка – второго по координатам и второго по времени следующего вида:
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}{{\Delta }_{3}}\phi = 0.$
Наконец, в заключительным разделе нами получено следующее уравнение:
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}\frac{\partial }{{\partial t}}{{\Delta }_{3}}\phi + {{\sigma }_{1}}\omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = 0,$
которое учитывает слабую диссипативность ионно-звуковых волн во внешнем магнитном поле.

Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [2]–[6] и посвященные выводу нелинейных уравнений соболевского типа.

Заметим, что некоторые начальные и начально-краевые задачи для различных вариантов нелинейных уравнений ионно-звуковых волн исследовались в [7]–[14].

2. ИЗОТРОПНАЯ И ОДНОРОДНАЯ ПЛАЗМА

Рассмотрим незамагниченную однородную плазму. Будем рассматривать такие колебания частиц плазмы, частота которых не превышает ионной ленгмюровской частоты

${{\omega }_{{pi}}} = \mathop {\left( {\frac{{4\pi {{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}} \right)}\nolimits^{1/2} .$
В этом случае в волновом движении участвуют не только электроны, но и ионы. Обычно при рассмотрении ионно-звуковых волн полагают температуру ионов ${{T}_{i}} = 0,$ поскольку температура электронов ${{T}_{e}} \gg {{T}_{i}}.$ Кроме того, при рассмотрении волн частоты $\omega \leqslant {{\omega }_{{pi}}}$ считается, что можно пренебречь инерцией электронов и положить в соответствующих уравнениях массу электрона $m = 0.$

Выберем декартову систему координат $\{ O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\} $ с репером $\{ {{{\mathbf{e}}}_{1}},{{{\mathbf{e}}}_{2}},{{{\mathbf{e}}}_{3}}\} $. Гидродинамика ионов и электронов описывается следующей системой уравнений (см. [15]):

(2.1)
$M{{n}_{i}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{i}}}}{{\partial t}} + M{{n}_{i}}({{{\mathbf{v}}}_{i}},\nabla ){{{\mathbf{v}}}_{i}} = - \nabla {{p}_{i}} - e{{n}_{i}}\nabla \phi ,\quad {{p}_{i}} = {{n}_{i}}k{{T}_{i}},$
(2.2)
$m{{n}_{e}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{e}}}}{{\partial t}} + m{{n}_{e}}({{{\mathbf{v}}}_{e}},\nabla ){{{\mathbf{v}}}_{e}} = - \nabla {{p}_{e}} + e{{n}_{e}}\nabla \phi ,\quad {{p}_{e}} = {{n}_{e}}k{{T}_{e}},$
где $M$ – масса иона, ${{n}_{i}}$ – концентрация ионов, ${{{\mathbf{v}}}_{i}}$ – скорость иона, ${{p}_{i}}$ – давление, создаваемое ионами, ${{T}_{i}}$ – температура ионов, $m$ – масса электрона, ${{n}_{e}}$ – концентрация электронов, ${{{\mathbf{v}}}_{e}}$ – скорость электрона,${{p}_{e}}$ – давление, создаваемое электронами, ${{T}_{e}}$ – температура электронов, $\phi $ – потенциал электрического поля.

Положим в уравнении (2.2) $m = 0$ и получим следующее равенство:

(2.3)
$0 = - k{{T}_{e}}\nabla {{n}_{e}} + e{{n}_{e}}\nabla \phi \Rightarrow {{n}_{e}} = {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right).$
Положим в уравнении (2.1) температуру ионов ${{T}_{i}} = 0$ и получим в линейном приближении уравнение
(2.4)
$M{{n}_{0}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{i}}}}{{\partial t}} = - e{{n}_{0}}\nabla \phi .$
Дополним полученные уравнения (2.3) и (2.4) уравнениями электрической части системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближении
(2.5)
$\operatorname{div} {\mathbf{D}} = - 4\pi {{n}_{e}},\quad {\mathbf{D}} = - \nabla \phi + 4\pi {\mathbf{P}},$
(2.6)
$\frac{{\partial {\mathbf{P}}}}{{\partial t}} = e{{n}_{0}}{{{\mathbf{v}}}_{i}},$
где ${\mathbf{D}}$ – вектор индукции электрического поля, ${\mathbf{P}}$ – вектор поляризации.

Из уравнений (2.4) и (2.6) вытекает уравнение

(2.7)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{\mathbf{P}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\nabla \phi .$
Из уравнений (2.3), (2.5) и (2.7) вытекает
(2.8)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}{{\Delta }_{3}}\phi = 0,\quad {{\omega }_{{pi}}} = \mathop {\left( {\frac{{4\pi {{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}} \right)}\nolimits^{1/2} ,$
где
${{\Delta }_{3}} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{3}^{2}}}.$
Уравнение (2.8) называется уравнением ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме и ее линейный вариант был впервые получен в [15].

В заключение данного раздела отметим, что в уравнении (2.8) в приближении большой температуры ${{T}_{e}}$ электронов можно вместо рассмотрения экспоненты рассмотреть первые три слагаемые разложения ее в ряд и тогда уравнение (2.8) примет вид

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}} - 4\pi {{n}_{0}}\frac{{{{{(e\phi )}}^{2}}}}{{2{{{(k{{T}_{e}})}}^{2}}}}} \right) + \omega _{{pi}}^{2}{{\Delta }_{3}}\phi = 0.$

3. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Выберем декартову систему координат $\{ O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\} $ с репером $\{ {{{\mathbf{e}}}_{1}},{{{\mathbf{e}}}_{2}},{{{\mathbf{e}}}_{3}}\} $. Пусть плазма находится во внешнем постоянном и однородном поле

${{{\mathbf{E}}}_{0}} = {{E}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}},\quad {{E}_{0}} > 0.$
Гидродинамика ионов во внешнем электрическом поле описывается системой уравнений
(3.1)
$M{{n}_{i}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{i}}}}{{\partial t}} + M{{n}_{i}}({{{\mathbf{v}}}_{i}},\nabla ){{{\mathbf{v}}}_{i}} = - \nabla {{p}_{i}} + e{{n}_{i}}{\mathbf{E}},$
(3.2)
$\frac{{\partial {{n}_{i}}}}{{\partial t}} + {\text{div}}({{n}_{i}}{{{\mathbf{v}}}_{i}}) = 0,\quad \operatorname{div} {{{\mathbf{v}}}_{i}} = 0,$
где $M$ – масса иона, ${{n}_{i}}$ – концентрация ионов, ${{{\mathbf{v}}}_{i}}$ – скорость иона, ${{p}_{i}}$ – давление. Гидродинамика электронов во внешнем электрическом поле описывается, в частности, уравнением
(3.3)
$m{{n}_{e}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{e}}}}{{\partial t}} + m{{n}_{e}}({{{\mathbf{v}}}_{e}},\nabla ){{{\mathbf{v}}}_{e}} = - \nabla {{p}_{e}} - e{{n}_{e}}{\mathbf{E}},$
где $m$ – масса электрона, ${{n}_{e}}$ – концентрация электронов, ${{{\mathbf{v}}}_{e}}$ – скорость электрона, ${{p}_{e}}$ – давление. В уравнении (3.3) положим
(3.4)
$m = 0,\quad {{p}_{e}} = {{n}_{e}}k{{T}_{e}},\quad {\mathbf{E}} = {{E}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}} - \nabla \phi $
и предположим, что температура ${{T}_{e}}$ постоянна. В результате из (3.3) и (3.4) получим дифференциальное уравнение
$k{{T}_{e}}\nabla {{n}_{e}} = e{{n}_{e}}( - {{E}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}} + \nabla \phi ),$
решение которого выписывается явно следующим образом:
(3.5)
${{n}_{e}} = {{n}_{0}}({{x}_{3}})exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right),\quad {{n}_{0}}({{x}_{3}}) = {{n}_{0}}exp\left( { - \frac{{e{{E}_{0}}}}{{k{{T}_{e}}}}{{x}_{3}}} \right),\quad {{n}_{0}} = {\text{const}} > 0.$
Добавим к уравнениям (3.1), (3.2) и (3.5) электрическую часть квазистационарной системы уравнений Максвелла:
(3.6)
$\operatorname{div} {\mathbf{D}} = - 4\pi {{n}_{e}},\quad {\mathbf{D}} = - \nabla \phi + 4\pi {\mathbf{P}},$
(3.7)
$\frac{{\partial {\mathbf{P}}}}{{\partial t}} = e{{n}_{i}}{{{\mathbf{v}}}_{i}},$
где ${\mathbf{D}}$ – вектор индукции электрического поля, ${\mathbf{P}}$ – вектор поляризации, $\phi $ – потенциал электрического поля.

Проведем линеаризацию в уравнениях (3.1), (3.2) и (3.7). Именно, положим

${{n}_{i}} = {{N}_{0}} + n,\quad {{p}_{i}} = k{{T}_{i}}{{N}_{0}} + p,\quad {\mathbf{E}} = {{E}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}} - \nabla \phi .$
Из уравнения (3.1) получим следующие два:
(3.8)
$k{{T}_{i}}\nabla {{N}_{0}} = e{{N}_{0}}{{E}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}},$
(3.9)
$M{{N}_{0}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{i}}}}{{\partial t}} = - \nabla p - e{{N}_{0}}\nabla \phi + en{{E}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}}.$
Дифференциальное уравнение (3.8) легко интегрируется, и мы получаем явный вид функции ${{N}_{0}} = {{N}_{0}}({{x}_{3}})$:
(3.10)
${{N}_{0}}({{x}_{3}}) = {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e{{E}_{0}}}}{{k{{T}_{i}}}}{{x}_{3}}} \right).$
Теперь проведем линеаризацию уравнений (3.2) и (3.7) и получим уравнения
(3.11)
$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} + {\text{div}}({{N}_{0}}({{x}_{3}}){{{\mathbf{v}}}_{i}}) = 0,\quad \operatorname{div} {{{\mathbf{v}}}_{i}} = 0,$
(3.12)
$\frac{{\partial {\mathbf{P}}}}{{\partial t}} = e{{N}_{0}}({{x}_{3}}){{{\mathbf{v}}}_{i}}.$
Таким образом, мы пришли к системе уравнений (3.9), (3.11), (3.12) и (3.6).

Заметим, что первое уравнение из (3.11) с учетом второго уравнения из (3.11) и явного вида функции ${{N}_{0}}({{x}_{3}}),$ определенной равенством (3.10), примет следующий вид:

$\frac{{\partial n}}{{\partial t}} + \frac{{e{{E}_{0}}}}{{k{{T}_{i}}}}{{N}_{0}}({{x}_{3}}){{v}_{{i3}}} = 0,\quad \operatorname{div} {{{\mathbf{v}}}_{i}} = 0.$
Из уравнения (3.9) в координатах получаем
(3.13)
$M{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{\partial {{v}_{{i1}}}}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{1}}}} - e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}},$
(3.14)
$M{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{\partial {{v}_{{i2}}}}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{2}}}} - e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},$
(3.15)
$M{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{\partial {{v}_{{i3}}}}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{3}}}} - e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}} + en{{E}_{0}}.$
Продифференцируем обе части равенства (3.15) по времени и с учетом равенства (3.11) получим равенство
(3.16)
$M{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{{{\partial }^{2}}{{{v}}_{{i3}}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{\partial }^{2}}p}}{{\partial t\partial {{x}_{3}}}} - e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{3}}}} - \frac{{{{{(e{{E}_{0}})}}^{2}}}}{{k{{T}_{i}}}}{{N}_{0}}({{x}_{3}}){{{v}}_{{i3}}}.$
Из равенства (3.12) и из (3.13), (3.14), (3.16) получим равенства
(3.17)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{1}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{1}}}} - \frac{{{{e}^{2}}{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}},$
(3.18)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{{{e}^{2}}{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},$
(3.19)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\frac{{\partial {{P}_{3}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}p}}{{\partial t\partial {{x}_{3}}}} - \frac{{{{e}^{2}}{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{3}}}},$
где мы ввели обозначение
${{\omega }_{0}}: = \frac{{e{{E}_{0}}}}{{\sqrt {k{{T}_{i}}M} }}.$
Проинтегрируем равенство (3.19) по времени и получим уравнение
(3.20)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{P}_{3}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{3}}}} - \frac{{{{e}^{2}}{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}} + {{f}_{0}}(x),$
где функция ${{f}_{0}}(x)$ считается заданной. Из уравнений (3.5), (3.6), (3.17), (3.18) и (3.20) вытекает следующее уравнение шестого порядка:
(3.21)
$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}({{x}_{3}})exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\left( {\frac{{4\pi e}}{M}{{\Delta }_{2}}p + \omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}}){{\Delta }_{2}}\phi } \right) + \\ \, + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{4\pi e}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}p}}{{\partial x_{3}^{2}}} + \frac{\partial }{{\partial {{x}_{3}}}}\left( {\omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right)} \right) = 0, \\ \end{gathered} $
где
(3.22)
$\omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}}) = \frac{{4\pi {{e}^{2}}{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}{M},\quad \omega _{0}^{2} = \frac{{{{{(e{{E}_{0}})}}^{2}}}}{{k{{T}_{i}}M}},$
(3.23)
${{N}_{0}}({{x}_{3}}) = {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e{{E}_{0}}}}{{k{{T}_{i}}}}{{x}_{3}}} \right),\quad {{n}_{0}}({{x}_{3}}) = {{n}_{0}}exp\left( { - \frac{{e{{E}_{0}}}}{{k{{T}_{e}}}}{{x}_{3}}} \right).$
Кроме того, мы использовали следующие обозначения:
(3.24)
${{\Delta }_{3}} = {{\Delta }_{2}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{3}^{2}}},\quad {{\Delta }_{2}} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}.$
Теперь получим второе уравнение искомой системы уравнений. С этой целью перепишем уравнения (3.13), (3.14) и (3.16) в виде
(3.25)
$\frac{{\partial {{v}_{{i1}}}}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{M{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{1}}}} - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}},$
(3.26)
$\frac{{\partial {{v}_{{i2}}}}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{M{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{2}}}} - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},$
(3.27)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{v}_{{i3}}} = - \frac{1}{{M{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}\frac{{{{\partial }^{2}}p}}{{\partial t\partial {{x}_{3}}}} - \frac{e}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{3}}}}.$
Из уравнений (3.25), (3.26) и (3.27), а также второго уравнения (3.11) вытекает следующее уравнение четвертого порядка:
(3.28)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{2}}p + e{{N}_{0}}({{x}_{3}}){{\Delta }_{2}}\phi } \right) + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{\partial }{{\partial {{x}_{3}}}}\left( {\frac{1}{{{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right) + e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}}} \right) = 0.$
Итак, мы пришли к нелинейной системе уравнений (3.21) и (3.28) относительно давления $p$ и электрического потенциала $\phi $, описывающей нелинейные ионно-звуковые волны в плазме во внешнем электрическом поле.

Рассмотрим некоторые возможные упрощения системы уравнений (3.21) и (3.28). Предположим, что область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$, в которой физически расположена плазма, находится в полуплоскости ${{x}_{3}} \leqslant - \delta $ при $\delta > 0.$ Тогда заметим, что

$\frac{{{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}{{T_{i}^{\lambda }}} = \frac{{{{n}_{0}}exp\left( {\tfrac{{e{{E}_{0}}}}{{k{{T}_{i}}}}{{x}_{3}}} \right)}}{{T_{i}^{\lambda }}} \to + 0\quad {\text{при}}\quad {{T}_{i}} \to + 0$
для любого $\lambda \geqslant 0$. В приближении малого ${{T}_{i}}$ уравнение (3.28) примет вид
(3.29)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{\Delta }_{2}}p + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{\partial }{{\partial {{x}_{3}}}}\left( {\frac{1}{{{{N}_{0}}({{x}_{3}})}}\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right)} \right) = 0.$
Формально это уравнение получено из (3.28) отбрасыванием следующих слагаемых с “бесконечно” малыми коэффициентами:
$e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{\Delta }_{2}}\phi \quad {\text{и}}\quad e{{N}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}}.$
Отметим, что линейное уравнение (3.29) хорошо изучено и совпадает с уравнением внутренних волн в стратифицированной жидкости, но с коэффициентами, имеющими другой физический смысл (см. [16]).

Следовательно, при учете начальных и граничных условий функцию $p = p(x,t)$ в уравнении (3.21) можно считать заданной и поэтому уравнение (3.21) можно переписать в виде

(3.30)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}({{x}_{3}})exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{\Delta }_{2}}\phi + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{3}}}}\left( {\omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right) = {{f}_{0}}(x,t),$
где
${{f}_{0}}(x,t): = - \frac{{4\pi e}}{M}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{\Delta }_{2}}p(x,t) - \frac{{4\pi e}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}p}}{{\partial x_{3}^{2}}},$
и мы использовали обозначения (3.22), (3.23) и (3.24). Назовем уравнение (3.30) уравнением ионно-звуковых волн в незамагниченной плазме во внешнем электрическом поле с заданной функцией ${{f}_{0}}(x,t)$.

В заключение данного раздела отметим, что в уравнении (3.30) в приближении большой температуры ${{T}_{e}}$ электронов можно вместо рассмотрения экспоненты рассмотреть первые три слагаемые разложения ее в ряд и тогда уравнение (3.30) примет вид

$\begin{gathered} \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}} - 4\pi {{n}_{0}}({{x}_{3}})\frac{{{{{(e\phi )}}^{2}}}}{{2{{{(k{{T}_{e}})}}^{2}}}}} \right) + \\ + \;\omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{0}^{2}} \right){{\Delta }_{2}}\phi + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\frac{\partial }{{\partial {{x}_{3}}}}\left( {\omega _{{pi}}^{2}({{x}_{3}})\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}} \right) = {{f}_{0}}(x,t). \\ \end{gathered} $

4. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Выберем декартову систему координат $\{ O{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\} $ с репером $\{ {{{\mathbf{e}}}_{1}},{{{\mathbf{e}}}_{2}},{{{\mathbf{e}}}_{3}}\} $. Пусть плазма находится во внешнем постоянном и однородном поле

${{{\mathbf{B}}}_{0}} = {{B}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}},\quad {{B}_{0}} > 0.$
Линеаризованное уравнение, описывающее гидродинамику ионов в плазме во внешнем магнитном поле, имеет следующий вид (см. [17]):
(4.1)
$\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{i}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\nabla \phi + {{\omega }_{{Bi}}}[{{{\mathbf{e}}}_{3}},{{{\mathbf{v}}}_{i}}],\quad {{\omega }_{{Bi}}} = \frac{{e{{B}_{0}}}}{{Mc}}.$
Линейная гидродинамика электронов описывается уравнением
(4.2)
$m{{n}_{{e0}}}\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{e}}}}{{\partial t}} = - \nabla {{p}_{e}} + \frac{{e{{n}_{{e0}}}{{B}_{0}}}}{c}[{{{\mathbf{e}}}_{3}},{{{\mathbf{v}}}_{e}}] + e{{n}_{{e0}}}\nabla {{\phi }_{e}},\quad {{p}_{e}} = {{n}_{{e0}}}k{{T}_{e}}.$
Как и в предыдущем разделе положим в уравнении (4.2) массу электрона $m = 0$. Кроме того, поскольку скорость электронов много меньше скорости света, то положим в (4.2) $c = + \infty .$ В результате получим следующее уравнение:
(4.3)
$0 = - k{{T}_{e}}\nabla {{n}_{{e0}}} + e{{n}_{{e0}}}\nabla {{\phi }_{e}} \Rightarrow {{n}_{{e0}}} = {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right).$
Дополним (4.1) и (4.3) уравнениями электродинамики
(4.4)
$\operatorname{div} {\mathbf{D}} = - 4\pi {{n}_{{e0}}},\quad {\mathbf{D}} = - \nabla \phi + 4\pi {\mathbf{P}},$
(4.5)
$\frac{{\partial {\mathbf{P}}}}{{\partial t}} = e{{n}_{0}}{{{\mathbf{v}}}_{i}}.$
Перепишем уравнение (4.1) в координатах
(4.6)
$\frac{{\partial {{v}_{{i1}}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}} - {{\omega }_{{Bi}}}{{v}_{{i2}}},$
(4.7)
$\frac{{\partial {{v}_{{i2}}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}} + {{\omega }_{{Bi}}}{{v}_{{i1}}},$
(4.8)
$\frac{{\partial {{v}_{{i3}}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}.$
Из уравнений (4.6) и (4.7) вытекают следующие два:
(4.9)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{{v}_{{i1}}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}{{v}_{{i1}}} = - \frac{e}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}} + \frac{e}{M}{{\omega }_{{Bi}}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},$
(4.10)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{{v}_{{i2}}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}{{v}_{{i2}}} = - \frac{e}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{2}}}} - \frac{e}{M}{{\omega }_{{Bi}}}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}}.$
Из уравнений (4.5), (4.9), (4.10) и (4.8) вытекают следующие:
(4.11)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\frac{{\partial {{P}_{1}}}}{{\partial t}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}{{\omega }_{{Bi}}}}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},$
(4.12)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\frac{{\partial {{P}_{2}}}}{{\partial t}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}{{\omega }_{{Bi}}}}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}},$
(4.13)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{3}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}.$
В свою очередь, из уравнений (4.11) и (4.12) получаем
(4.14)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{1}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{3}}\phi }}{{\partial {{t}^{2}}\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}{{\omega }_{{Bi}}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{2}}}},$
(4.15)
$\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{3}}\phi }}{{\partial {{t}^{2}}\partial {{x}_{2}}}} - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}{{\omega }_{{Bi}}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}}.$
Теперь из уравнений (4.13), (4.14) и (4.15) вытекает равенство
(4.16)
$4\pi \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\operatorname{div} {\mathbf{P}} = - \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{2}}\phi - \omega _{{pi}}^{2}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = - \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{3}}\phi - \omega _{{pi}}^{2}\omega _{{Bi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}},$
где
(4.17)
${{\omega }_{{pi}}} = \mathop {\left( {\frac{{4\pi {{n}_{0}}{{e}^{2}}}}{M}} \right)}\nolimits^{1/2} ,\quad {{\omega }_{{Bi}}} = \frac{{e{{B}_{0}}}}{{Mc}}.$
Из уравнений (4.3), (4.4) и (4.16) вытекает уравнение шестого порядка
(4.18)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{3}}\phi + \omega _{{pi}}^{2}\omega _{{Bi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = 0,$
которое мы назовем уравнением ионно-звуковых волн в замагниченной плазме.

В заключение данного раздела отметим, что в уравнении (4.18) в приближении большой температуры ${{T}_{e}}$ электронов можно вместо рассмотрения экспоненты рассмотреть первые три слагаемых разложения ее в ряд и тогда уравнение (4.18) примет вид

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} + \omega _{{Bi}}^{2}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}} - 4\pi {{n}_{0}}\frac{{{{{(e\phi )}}^{2}}}}{{2{{{(k{{T}_{e}})}}^{2}}}}} \right) + \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{3}}\phi + \omega _{{pi}}^{2}\omega _{{Bi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = 0,$
где использованы обозначения (4.17).

5. ПЛАЗМА ВО ВНЕШНЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ: СЛАБАЯ ДИССИПАЦИЯ

В этом разделе мы несколько модифицируем базовую модель ионно-звуковых волн, изложенную в разд. 2, и получим еще одно нелинейное уравнение ионно-звуковых волн со слабой диссипацией во внешнем магнитном поле.

Пусть однородная плазма находится во внешнем постоянном магнитном поле

${{{\mathbf{B}}}_{0}} = {{B}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}},\quad {{B}_{0}} > 0.$
Рассмотрим следующие соотношения из [18, с. 340]:
(5.1)
$\begin{gathered} {\mathbf{j}} = \sigma \left( { - \nabla \phi + \frac{1}{c}[{{{\mathbf{v}}}_{i}},{{{\mathbf{B}}}_{0}}]} \right), \\ {\mathbf{f}}: = \frac{1}{c}[{\mathbf{j}},{{{\mathbf{B}}}_{0}}] = \frac{\sigma }{c}[{{{\mathbf{B}}}_{0}},\nabla \phi ] + \frac{\sigma }{{{{c}^{2}}}}[{{{\mathbf{B}}}_{0}},[{{{\mathbf{B}}}_{0}},{{{\mathbf{v}}}_{i}}]], \\ \end{gathered} $
где $\sigma > 0$ – коэффициент проводимости плазмы, $c$ – скорость света, ${{{\mathbf{v}}}_{i}}$ – вектор скорости ионов, ${\mathbf{j}}$ – вектор плотности тока в плазме. Тогда в линейном приближении и при температуре ионов ${{T}_{i}} = 0$ получим следующую линейную систему уравнений гидродинамики ионов [18, c. 341]:
(5.2)
$\frac{{\partial {{{\mathbf{v}}}_{i}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\nabla \phi + {\mathbf{f}},$
где объемная плотность сторонних сил ${\mathbf{f}}$ определена равенством (5.1). Как и в разд. 2 предполагаем, что плотность электронов описывается распределением Больцмана
(5.3)
${{n}_{e}} = {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right).$
Наконец, как и выше, систему уравнений (5.2), (5.1) и (5.3) замыкаем следующими уравнениями из электрической части квазистационарной системы уравнений Максвелла:
(5.4)
$\operatorname{div} {\mathbf{D}} = - 4\pi {{n}_{e}},\quad {\mathbf{D}} = - \nabla \phi + 4\pi {\mathbf{P}},$
(5.5)
$\frac{{\partial {\mathbf{P}}}}{{\partial t}} = e{{n}_{0}}{{{\mathbf{v}}}_{i}},$
где ${\mathbf{D}}$ – вектор индукции электрического поля, ${\mathbf{P}}$ – вектор поляризации. Из системы уравнений (5.2) и (5.1) в координатах получаем следующие равенства:
(5.6)
$\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right){{v}_{{i1}}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}} - \frac{{\sigma {{B}_{0}}}}{c}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},\quad {{\sigma }_{1}}: = \frac{{\sigma B_{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}}},$
(5.7)
$\begin{gathered} \left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right){{v}_{{i2}}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{\sigma {{B}_{0}}}}{c}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}}, \\ \frac{{\partial {{v}_{{i3}}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}. \\ \end{gathered} $
Теперь из уравнений (5.5) и (5.6), (5.7) получаем уравнения
(5.8)
$\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\frac{{\partial {{P}_{1}}}}{{\partial t}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}} - \frac{{e{{n}_{0}}\sigma {{B}_{0}}}}{c}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}},$
(5.9)
$\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\frac{{\partial {{P}_{2}}}}{{\partial t}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{e{{n}_{0}}\sigma {{B}_{0}}}}{c}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{1}}}},$
(5.10)
$\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{3}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}}.$
Из (5.8) и (5.9) вытекают уравнения
(5.11)
$\begin{gathered} \left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{1}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}} - \frac{{e{{n}_{0}}\sigma {{B}_{0}}}}{c}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{2}}}}, \hfill \\ \left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}{{P}_{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}} = - \frac{{{{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{2}}}} + \frac{{e{{n}_{0}}\sigma {{B}_{0}}}}{c}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial t\partial {{x}_{1}}}}. \hfill \\ \end{gathered} $
Из уравнений (5.10), (5.11) вытекает следующая цепочка равенств:
(5.12)
$\begin{gathered} 4\pi \left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{\text{div}}{\mathbf{P}} = - \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{3}}\phi }}{{\partial t\partial x_{1}^{2}}} - \omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{3}}\phi }}{{\partial t\partial x_{2}^{2}}} - \omega _{{pi}}^{2}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = \\ \, = - \omega _{{pi}}^{2}\frac{\partial }{{\partial t}}{{\Delta }_{3}}\phi - {{\sigma }_{1}}\omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}},\quad \omega _{{pi}}^{2}: = \frac{{4\pi {{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}. \\ \end{gathered} $
Из уравнений (5.3), (5.4) и (5.12) вытекает нелинейное уравнение
(5.13)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}exp\left( {\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}}} \right)} \right) + \omega _{{pi}}^{2}\frac{\partial }{{\partial t}}{{\Delta }_{3}}\phi + {{\sigma }_{1}}\omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = 0,$
где
${{\sigma }_{1}} = \frac{{\sigma B_{0}^{2}}}{{{{c}^{2}}}},\quad \omega _{{pi}}^{2} = \frac{{4\pi {{e}^{2}}{{n}_{0}}}}{M}.$
Полученное уравнение пятого порядка (5.13) назовем уравнением ионно-звуковых волн со слабой диссипацией во внешнем магнитном поле.

В заключение данного раздела отметим, что в уравнении (5.13) в приближении большой температуры ${{T}_{e}}$ электронов можно вместо рассмотрения экспоненты рассмотреть первые три слагаемых разложения ее в ряд, и тогда уравнение (5.13) примет вид

$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {\frac{\partial }{{\partial t}} + {{\sigma }_{1}}} \right)\left( {{{\Delta }_{3}}\phi - 4\pi {{n}_{0}}\frac{{e\phi }}{{k{{T}_{e}}}} - 4\pi {{n}_{0}}\frac{{{{{(e\phi )}}^{2}}}}{{2{{{(k{{T}_{e}})}}^{2}}}}} \right) + \omega _{{pi}}^{2}\frac{\partial }{{\partial t}}{{\Delta }_{3}}\phi + {{\sigma }_{1}}\omega _{{pi}}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} = 0.$

Список литературы

  1. Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations. De Gruyter: Ser. Nonlinear Anal. Appl., 2011.

  2. Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О нестационарных волнах в средах с анизотропной дисперсией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 6. С. 1006–1022.

  3. Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40. № 8. С. 1237–1249.

  4. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Об одной начально-краевой задаче магнитной гидродинамики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. № 11. С. 1734–1741.

  5. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2003. Т. 43. № 12. С. 1835–1869.

  6. Корпусов М.О., Свешников А.Г. Трехмерные нелинейные эволюционные уравнения псевдопараболического типа в задачах математической физики. 2 // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. № 11. С. 2041–2048.

  7. Корпусов М.О. О разрушении ионно-звуковых волн в плазме // Матем. сб. 2011. Т. 202. № 1. С. 37–64.

  8. Корпусов М.О. О разрушении ионно-звуковых волн в плазме с сильной пространственно-временной дисперсией // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23. № 6. С. 96–130.

  9. Корпусов М.О. О разрушении ионно-звуковых волн в плазме с нелинейными источниками на границе // Изв. РАН. Сер. матем. 2012. Т. 76. № 2. С. 103–140.

  10. Корпусов М.О. О разрушении за конечное время решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения ионно-звуковых волн // Теор. и матем. физ. 2016. Т. 187. № 3. С. 447–454.

  11. Корпусов М.О., Лукьяненко Д.В., Овсянников Е.А., Панин А.А. Локальная разрешимость и разрушение решения одного уравнения с квадратичной некоэрцитивной нелинейностью // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Матем. моделирование и программирование. 2017. Т. 10. № 2. С. 107–123.

  12. Корпусов М.О., Панин А.А. О непродолжаемом решении и разрушении решения одномерного уравнения ионно-звуковых волн в плазме // Матем. заметки. 2017. Т. 102. № 3. С. 383–395.

  13. Корпусов М.О., Лукьяненко Д.В., Панин А.А., Юшков Е.В. О разрушении решений одного полного нелинейного уравнения ионно-звуковых волн в плазме с некоэрцитивными нелинейностями // Изв. РАН. Сер. матем. 2018. Т. 82. № 2. С. 43–78.

  14. Корпусов М.О., Овсянников Е.А. Взрывная неустойчивость в нелинейных волновых моделях с распределенными параметрами // Изв. РАН. Сер. матем. 2020. Т. 84. № 3. С. 15–70.

  15. Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М.: Физматлит, 1998.

  16. Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990.

  17. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989.

  18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. Теоретическая физика. Т. 8. М.: Наука, 1992.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал