Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 11, стр. 1937-1952

1. ВВЕДЕНИЕ. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ БАРНЕТТА И КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БГК

Задачи, связанные с различными аспектами гидродинамического движения в условиях, существенно отличающихся от равновесных и требующих при этом особых условий замыкания (например, при наличии значительных температурных градиентов и внутренних интенсивных источников/стоков тепла – типа фазовых переходов – в течении, а также в условиях присутствия значительной локальной пространственной неоднородности тензора напряжений), требуют использования принципиально иных математических моделей, чем известные и широко используемые подходы, основанные на решении уравнений Эйлера или Навье–Стокса (УНС). В частности, проблемы описания эволюции двухфазных (парожидкостных) систем в охлаждающих контурах АЭС, котлоагрегатах тепловых станций и пр. приводят к мысли о целесообразности введения в рассмотрение (и построения соответствующей вычислительной модели) системы уравнений Барнетта (см. [1]–[5]).

Помимо использования в выделенной зоне гидродинамического расчета приближения Барнетта, весьма привлекательной является возможность применения кинетического подхода в существенно неравновесном слое жидкости, прилегающем к сильно и неравномерно нагретой стенке (либо ко внешней по отношению к нагреваемой аэродинамическим потоком поверхности – как, например, при гиперзвуковом режиме обтекания). Для этого представляется вполне правомерным обратиться к кинетическому уравнению Бхатнагара–Гросса–Крука (БГК). Оно является максимально простым по структуре и в то же время достаточно адекватно передающим физическую картину, имеющую место при взаимодействии молекул среды в пристеночной области (обобщенном слое Кнудсена).

В настоящей работе рассматриваются несколько вариантов численного моделирования течения в трубе с нагреваемыми стенками:

1) введение в рассмотрение рассчитываемого по модифицированному (далее это уточнение подразумевается неявно) Барнетту погранслоя при наличии основного потока, описываемого уравнениями Навье–Стокса;

2) наличие погранслоя, полностью рассчитываемого с помощью уравнения БГК при условии основного потока, рассматриваемого в рамках УНС;

3) расчет всей массы движущейся жидкости в трубе по Барнетту;

4) введение в рассмотрение переходного слоя жидкости, расположенного между кинетическим погранслоем (рассчитываемым по кинетической модели БГК) и основной массой потока (рассчитываемым по Навье–Стоксу или Барнетту).

Можно утверждать, что сочетание кинетического расчета с гидродинамическим может быть оправдано в ряде важных случаев, причем основными основаниями для такого комплексного кинетически-гидродинамического подхода являются эффекты существенной неравновесности течения в областях резких градиентов температур, плотностей и при возможном фазовом переходе в жидкости (в этом случае гидродинамика выходит за рамки свой применимости из-за непригодности метода усреднения по всему объему среды, используемому в методах Гильберта, Грэда, Чэпмена–Энскога перехода от кинетического уравнения к системе гидродинамических уравнений). Чрезвычайно важной и сложной задачей при таких сложных расчетах является учет взаимной передачи информации о среде через формальную границу расчетных областей (в каждой из областей моделирование ведется на основании своей методики: БГК–Барнетт, БГК–Навье–Стокс и т.д.).

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БГК

Уравнение БГК для функции распределения молекул пара в пограничном слое может быть записано в следующей форме:

Оно рассматривается в осесимметричном цилиндрическом слое ${{r}_{0}} < r < {{R}_{0}}$, $0 < z < H$. Предполагается, что решение $f$ не зависит от азимутальной пространственной координаты.

Функция распределения $f$ [молекул/(м³(м/с)³)] зависит от шести переменных: пространственных координат $r,z$ [м]; модуля скорости молекулы $v$ [м/с]; времени $t$ [c]; углов, определяющих единичный вектор $\Omega (\theta ,\varphi )$ направления переноса частиц в сферической системе координат ($0 < \theta < \pi $, $0 < \varphi < \pi $). Предположение об изотропии функции распределения по угловой переменной $\varphi $ эквивалентно условию $f(r,z,\mu ,\varphi ,v,t) = f(r,z,\mu ,2\pi - \varphi ,v,t)$ ($\mu \equiv cos\theta $). Обозначение ${{f}_{e}}(f)$ используется в том смысле, что локально-равновесное квазимаксвелловское распределение ${{f}_{e}}$ зависит от функции распределения в той же точке посредством параметров $\rho (f),\;T(f),\;{\mathbf{V}}(f)$, являющихся моментами функции $f$ (явный вид ${{f}_{e}}$ см. ниже). Производная по направлению в уравнении (1) в цилиндрических координатах имеет вид

Интеграл по скоростям от функции распределения (пространственная удельная плотность частиц) записывается в форме Частота взаимодействия молекул $I(f)$ [c$^{{ - 1}}$] принимается в расчетах равной модельной величине (cущественно зависящей от скорости частиц и их функции распределения, что отличает используемую модель от классической модели БГК) где $\sigma = \pi d_{0}^{3}$ [м²] – эффективное сечение взаимодействия молекул, ${{d}_{0}} = 0.3 \times {{10}^{{ - 9}}}$ [м] – эффективный диаметр молекулы воды, ${{k}_{B}} = 1.380648 \times {{10}^{{ - 23}}}$ [Дж/К] – постоянная Больцмана, ${{m}_{0}} = 3.01510 \times {{10}^{{ - 26}}}$ [кг] – масса молекулы воды, $\rho (f)$ [кг] – локальная массовая плотность частиц: величина $T(f)$ [K] – локальная температура микроканонического ансамбля: $R = {{k}_{B}}{\text{/}}{{m}_{0}}$ – газовая постоянная. Компоненты скорости потока ([м/c]) определяются соотношениями Локально-равновесное распределение [молекул/(м³(м/с)³)] в правой части уравнения БГК определяется выражением где коэффициенты ${{\left. {{{A}_{k}}} \right|}_{{k = 1,...,4}}}$ находятся из вышеприведенных определений $\rho (r,z,t)$, $T(r,z,t)$, ${{v}_{r}},\;{{v}_{z}}$ при замене интегралов в правых частях выражений квадратурными формулами.

Приведем постановку краевых условий для уравнений БГК в кольцевой цилиндрической области погранслоя (см. фиг. 1). На границе $z = H$ задаются значения функции распределения для молекул, вытекающих из открытого торца цилиндра (при $\mu > 0$):

На границе $r = {{r}_{0}}$ задается значение функции распределения для молекул, поступающих из газодинамической области (для которых $0 < \varphi < \pi {\text{/}}2$) при заданных макропараметрах ${{v}_{r}}(r,z = H,t),$ ${{v}_{z}}(r,z = H,t),$ $\rho (r,z = H,t),$ $T(r,z = H,t)$ и ${{v}_{r}}(r = {{r}_{0}},z,t),$ ${{v}_{z}}(r = {{r}_{0}},z,t),$ $\rho (r = {{r}_{0}},z,t),$ $T(r = {{r}_{0}},z,t)$. Подчеркнем, что условия (2), (3) задают значения функции распределения и тем самым макропараметров только для молекул, влетающих в трубу, но не для молекул, вылетающих из трубы.

На границе $r = {{R}_{0}}$ (жесткая стенка трубы) при $\pi {\text{/}}2 < \varphi < \pi $ (такой интервал угла отвечает молекулам, движущимся от стенки) задается следующее условие:

Вышеприведенное условие на жесткой стенке трубы обеспечивает выполнение равенства аннуляции cоответствующего (радиального) потока молекул: (откуда следует соотношение “непротекания” ${{v}_{r}}(r = {{R}_{0}},z,t) = 0$). Также условие (4) обеспечивает заданные плотность, температуру и продольную скорость для молекул, отраженных от стенки трубы.

На границе $z = 0$ задается краевое условие (для молекул, втекающих в цилиндр через его открытый торец, чему соответствует условие $\mu > 0$) задается условие

причем

Эти условия фиксируют макропараметры (плотность, скорости и температуру) для всего ансамбля молекул (как влетающих в цилиндр, так и вылетающих из него).

Приведем постановку начальных условий для смешанной задачи для уравнения БГК в погранслое. В начальный момент времени задаются функции

во всей расчетной области (кольцевого цилиндра), т.е. ${{r}_{0}} \leqslant r \leqslant {{R}_{0}}$, $0 \leqslant z \leqslant H$. Начальное условие для уравнения БГК имеет вид

Рассмотрим метод решения поставленной выше начально-граничной задачи (1)–(6) для кинетического уравнения БГК. Для этого проведем аппроксимацию по времени. Интегрируя уравнение (1) по переменной $t$, находим

где ${{f}^{ - }}(r,z,\mu ,\varphi ,v) = f(r,z,\mu ,\varphi ,v,{{t}^{ - }})$ – решение в начале временного шага при $t = {{t}^{ - }}$, ${{f}^{ + }}(r,z,\mu ,\varphi ,v) = f(r,z,\mu ,\varphi ,v,{{t}^{ + }})$ – решение в начале временного шага при $t = {{t}^{ + }}$, $\Delta = {{t}^{ + }} - {{t}^{ - }}$, есть cреднее на временном шаге решение. Заметим,что здесь частота взаимодействий $I({{f}^{ - }})$ и локально-равновесное распределение ${{f}_{e}}({{f}^{ - }})$ в правой части уравнения берутся для начала временного шага.

Примем кусочно-линейную аппроксимацию функции распределения

${{f}^{ + }} = (1 + p){{f}^{0}} - p{{f}^{ - }}$, параметр $p \in [0,1]$ (при $p = 0$ функция $f(t)$ является кусочно-постоянной, при $p = 1$ – кусочно-линейной). Подставляя это выражение для ${{f}^{ + }}$ в уравнение (7), получаем Значения макропараметров на границе погранслоя с областью гидродинамического расчета берутся из решения уравнений газодинамики в соседней области на предыдущем временном шаге.

Значения макропараметров на открытых торцах трубы и на жесткой стенке

считаются фиксированными во все моменты времени.

В расчетах установлено, что функция распределения молекул в кинетическом погранслое далека от равновесной. Поэтому непосредственная передача данных о состоянии погранслоя к жидкостному течению, в котором проводятся расчеты по гидродинамической программе, невозможна (на границе этих двух расчетных областей должен производиться обмен информацией о сохранении баланса массы, импульса и энергии: 1) co стороны погранслоя в виде квазиравновесной псевдомаксвелловской функции распределения, моменты которой являются локальными макровеличинами ${{\rho }_{{{\text{kin}}}}},\;{{T}_{{{\text{kin}}}}},\;{{{\mathbf{v}}}_{{{\text{kin}}}}}$, передаваемыми в качестве граничных условий в область гидродинамического расчета; 2) со стороны основного потока жидкости – в виде макровеличин ${{\rho }_{{{\text{Hydr}}}}},\;{{T}_{{{\text{Hydr}}}}},\;{{{\mathbf{V}}}_{{{\text{Hydr}}}}}$, формирующих на границе областей со стороны кинетического погранслоя локальную псевдомаксвелловскую функцию). Поэтому введена в рассмотрение дополнительная релаксационная область “над” погранслоем, в которой происходит изотропизация распределения молекул и формируется необходимая при обмене информацией псевдомаксвелловская функция распределения (см. фиг. 2).

Отдельным весьма нетривиальным вопросом является соответствие термодинамических параметров неравновесного микроканонического ансамбля частиц в кинетическом погранслое макропараметрам ($T,\;S,\;W$ и т.п.) канонического ансамбля области основного гидродинамического течения в процессе выравнивания их в переходной релаксационной зоне между расчетными зонами ${{r}_{0}} < r < {{R}_{0}}$ и $0 < r < {{R}_{0}} - {{\Delta }_{K}}$.

В качестве выводов из проведенных расчетов можно с уверенностью привести следующие:

1. В релаксационном слое воды реализуется распределение, близкое к максвелловскому, в то время как в кнудсеновском (“паровом”) погранслое распределение существенно анизотропно и близким к максвелловскому не является. Tолщина кнудсеновского погранслоя выбиралась ${{\Delta }_{K}} \sim 100\left\langle \ell \right\rangle $ (где $\left\langle \ell \right\rangle $ – длина среднего пробега в паре молекулы), толщина релаксационного слоя ${{\Delta }_{{{\text{Rel}}}}} = 4{{\Delta }_{K}}$; по-видимому, установлению релаксации препятствует нагрев стенки, который и формирует анизотропию функции распределения.

2. С начального момента времени возникает тенденция к потоку вещества из воды в паровой погранслой (что, очевидно, связано с существенной исходной разницей в плотности среды в этих областях), происходит постепенное нагревание пара до температуры выше, чем температура стенки.

3. Максимум температуры пара находится у стенки трубы, а максимум его плотности – на центральной линии парового погранслоя.

3. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ (НАВЬЕ–СТОКСА И БАРНЕТТА)

Метод Чэпмена–Энскога получения из кинетического уравнения Больцмана цепочки гидродинамических уравнений состоит в представлении функции распределения посредством асимптотического рада по малому параметру:

В этом случае тензор напряжений и тепловой поток можно также представить в виде рядов (в качестве малого параметра $\varepsilon $ используем число Кнудсена Kn): где величины ${{v}_{0}}$, ${{\ell }_{0}}$, ${{\Lambda }_{0}}$, ${{\mu }_{0}}$, ${{p}_{0}}$, ${{\rho }_{0}}$, ${{T}_{0}}$, ${{c}_{0}}$ – соответственно, характерные значения: cкорости движения cреды, средней длины $\left\langle \ell \right\rangle $ свободного пробега молекул (массы $m$), размера течения, коэффициента сдвиговой вязкости $\mu $, изотропного давления $p$, плотности среды $\rho $, температуры cреды $T$ и локальной скорости звука в среде $c$; полагаем, что справедливо уравнение состояния среды $p = p(\rho ,T)$ в аналитической табличной форме.

В вышеприведенных формулах из барнеттовских напряжений выделены температурные:

при этом остальные члены содержат производные от компонентов скорости и давления: Барнеттовские коэффициенты ${{\theta }_{1}}$, ${{\xi }_{j}} \sim O(1)$ предполагаются (ограниченными в изменении) функциями переменных $\mu $, $T$, $\mu _{T}^{'}$ (в свою очередь, зависящих от вида межмолекулярного взаимодействия).

Поскольку для введенного выше коэффициента первой вязкости имеем ${{\mu }_{0}} \approx {{\rho }_{0}}{{c}_{0}}{{\lambda }_{0}}$, то справедливы cледующие оценки:

где $\mathfrak{X} \equiv {{(\delta T)}_{0}}{\text{/}}{{T}_{0}}$ – характерное значение относительного перепада температур в среде (например, в трубах или каналах: ${{(\delta T)}_{0}} = {{T}_{{{\text{bound}}}}} - {{T}_{0}}$, где в данном случае ${{T}_{{{\text{bound}}}}}$ – усредненная по некоторому отрезку канала температура стенок, ${{T}_{0}}$ – характерное значение температуры в среднем по сечению течения либо на некотором определенном расстоянии от стенки). Если изменения температуры в течении обусловлены исключительно переходом кинетической энергии движущейся среды в тепловую вследствие диссипативных процессов, то $\mathfrak{X} \ll 1$, и все барнеттовские члены уравнений сохранения малы по сравнению с навье-стоксовскими (cooтветствующими наличию только первых двух слагаемых в выражениях для ${{\sigma }_{{ik}}}$ и ${{q}_{i}}$): их отношение порядка ${\text{K}}{{{\text{n}}}^{2}} \sim \mathfrak{X} \ll 1$ (см. [6]). Однако для $\mathfrak{X} \gtrsim 1$ (данное условие выполняется, например, при контакте жидкости в течении с нагретой до достаточной высокой температуры стенкой канала в упомянутых ранее задачах о теплоотводе и вынужденном охлаждении, см., например, [7]–[9]) уже совершенно неправомерно игнорировать наличие как минимум трех слагаемых в вышеприведенных выражениях для ${{\sigma }_{{ik}}}$ и ${{q}_{i}}$. В этом случае температурные напряжения $\sigma _{{ik}}^{{(T)}}$ могут быть того же порядка величины, что и обычные вязкие напряжения $\sigma _{{ik}}^{{(1)}}$, входящие в уравнения Навье–Стокса. Действительно, $\sigma _{{ik}}^{{(T)}}{\text{/}}\sigma _{{ik}}^{{(1)}} \sim {\text{Kn}}\,{\text{M}}{{{\text{a}}}^{{ - 1}}}\mathfrak{X} = O(1)$, и малость числа Кнудсена (условие возможности описания течения как движения “сплошной среды” с физической точки зрения и условие формальной применимости метода Чэпмена–Энскога – с математической) может компенсироваться произведением двух последних сомножителей $\mathfrak{X},{\text{M}}{{{\text{a}}}^{{ - 1}}} \gtrsim 1$ (при этом необходимо учитывать, что характерный размер ${{\Lambda }_{0}}$, входящий в определение параметра Кнудсена, должен соответствовать некоторому приграничному слою, а не полному масштабу системы). В то же время (в частности, при рассмотрении критических режимов течения в задачах, связанных с гидродинамикой теплоносителей) справедлива оценка $\sigma _{{ik}}^{{(p,{v})}}{\text{/}}\sigma _{{ik}}^{{(1)}} \sim {\text{KnMa}} = o(1)$.

Отметим, что понятие “пограничного слоя”, в котором сосредоточено основное влияние эффектов учета дополнительных барнеттовских членов в уравнениях гидродинамики, необходимо существенным образом модифицировать: это связано с тем, что уравнения движения в приграничной области не могут быть построены в соответствии с теорией Прандтля из-за наличия интенсивной “термострессовой псевдоконвекции”, обусловленной наличием значительного температурного градиента в окрестности нагреваемой стенки. Исключение уравнения для поперечной компоненты скорости (существование которой обусловлено не гравитационными или какими-либо иными внешними силами, а изменением плотности среды при ее контакте с нагревателем, вследствие чего происходит “оттеснение” внешних “холодных” слоев жидкости/газа от источника тепла) в погранслое в барнеттовском приближении невозможно и основное предположение теории Прандтля о том, что давление в нем “…как бы создaется внешним течением” (см. [10]) неправомерно. Более того, в рассматриваемом случае неправомерно использование также классической модели конвективного погранслоя (см. [11]): выделение для отдельного рассмотрения пристенного слоя определенной толщины ($\delta > {{\delta }_{{{\text{Prandtl}}}}} \sim \sqrt {{{\Lambda }_{0}}{{\mu }_{0}}{\text{/}}{{v}_{0}}} $, где ${{\Lambda }_{0}}$, ${{\mu }_{0}}$, ${{v}_{0}}$ – характерные величины течения) в рассматриваемых условиях представляется рациональным только на условиях принятия некоторого априорного критерия ослабления поперечного конвективного движения среды (с характерной скоростью порядка ${{v}_{{{\text{conv}}}}} \sim {{\mathfrak{X}}^{3}}{{v}_{\mu }}$, где ${{v}_{\mu }} = {{\mu }_{0}}{\text{/}}({{\rho }_{0}}{{\Lambda }_{0}})$ – так называемая вязкая скорость течения).

Приведем расчетные уравнения в приближениях Навье–Стокса и (модифицированного) Барнетта в цилиндрической системе координат:

уравнение непрерывности

уравнения переноса импульса и энергии

Компоненты тензора вязких напряжений равны ${{\sigma }_{{ij}}} = \sigma _{{ij}}^{N} + \sigma _{{ij}}^{B},$ где первое слагаемое соответствует вязкости уровня приближения Навье–Стокса:

а второе слагаемое соответствует вязкости уровня приближения Барнетта: $\sigma _{{ij}}^{B} = {{(\mu {\text{/}}p)}^{2}} \cdot {{\Phi }_{{ij}}}.$ Обозначения и размерности переменных в данных формулах следующие: $t$ – время [с], ${\mathbf{v}} = ({{v}_{z}},{{v}_{r}},{{v}_{\varphi }})$ – скорость течения [м/с], $\mu $ – коэффициент вязкости [Па с]. Явный вид тензорных коэффициентов ${{\Phi }_{{ij}}}$ приведен в Приложении к монографии [12].

Уравнение баланса импульса при наличии контакта среды с нагревателем, обеспечивающего наличие однородного ($T = {{T}_{{{\text{bound}}}}} = {\text{const}}$) или неоднородного ($T = {{T}_{{{\text{bound}}}}}({\mathbf{x}},t)$) температурного поля, и локальных пристенных значениях ${\text{Ma}} \lesssim 1$, ${\text{Re}} \gg 1$ замыкается учетом группы слагаемых $\sigma _{{ik}}^{{(T)}}$ во втором приближении для тензора напряжений. Будем полагать для простоты, что $f_{i}^{{({\text{out}})}} \equiv 0$ (отсутствие внешних массовых сил), коэффициент второй вязкости $\eta \equiv 0$.

4. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ ПОЛНОЙ ОБЛАСТИ

Полная расчетная область – круговой цилиндр (труба) длины ${{x}_{{{\text{max}}}}} = 1$ м и радиуса $R = {{y}_{{{\text{max}}}}} = 0.005$ м. Внешний нагрев стенок трубы неравномерен и описывается нелинейной функцией с явно выраженным максимумом (см. далее). Расчет во внутренней области осуществляется по газодинамической модели, в погранслое ($0.004994 < r( \equiv {\kern 1pt} y) < 0.005$) – по кинетической модели.

По длине цилиндра (вдоль оси симметрии) 100 ячеек, по радиусу в погранслое 5 ячеек, во внутренней области основного течения 25 ячеек (область 2).

Начальные данные задаются по областям. Продольная скорость $u$ воды в начальный момент времени зависит от радиальной координаты точки и изменяется от ${{u}_{0}} = 50$ м/с на оси симметрии до нуля на внешней границе ${{y}_{{{\text{max}}}}}$: $u = {{u}_{0}}[1 - {{(y{\text{/}}{{y}_{{{\text{max}}}}})}^{2}}]$ (пуазейлевский профиль). Плотности пара придавалось для анализа получаемых расчетных данных два значения: $\rho _{0}^{{(1)}} = 10$ кг/м$^{3}$ и $\rho _{0}^{{(2)}} = 200$ кг/м³ (последнее значение соответствует состоянию фазового перехода “пар–жидкость”); температура ${{T}_{0}} = 373 + (673 - 373)si{{n}^{2}}(\pi x)$ K. Давление оказывается в диапазоне ${{p}_{0}} = 1.011 \times {{10}^{5}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 2.981 \times {{10}^{6}}$ Па. Во внутренней области основного течения (области гидродинамического расчета, $0 < y < 0.004994$ м) давление линейно зависит от продольной координаты:

Начальная температура воды ${{T}_{0}} = 373$ K, плотность воды ${{p}_{0}} = 958.457$–958.458 кг/м³.

Граничные условия:

1) на внешней границе трубы ${{r}_{{{\text{max}}}}} = {{R}_{0}}$ задана температура, равная начальной температуре в прилегающей области в соответствии с приведенной выше формулой: ${{p}_{{{\text{wall}}}}} = 1.011 \times {{10}^{5}}$–$2.981 \times {{10}^{6}}$ Па. Нормальная и тангенциальная скорости равны нулю;

2) на торцевых границах $x = 0$ (для кольцевой области входа в погранслой и круговой области входа в основное течение) заданы параметры входящего потока, примерно равные начальным величинам из прилегающих внутренних ячеек. Продольная граничная скорость для погранслоя задается $0.1$ м/с, для внутренней области $50$ м/с;

3) на торцевых границах $x = {{x}_{{{\text{max}}}}}$ заданы “нулевые производные” по нормали от всех газодинамических величин.

Область погранслоя рассчитывается по уравнению БГК. Внутренняя область – по газодинамической системе (модифицированного Барнетта или Навье–Стокса) с учетом вязкости и теплопроводности. Газодинамическая область разбита на две подобласти на радиусе $0.004988$ м, так что толщина дополнительной релаксационной подобласти, прилегающей к погранслою, равна толщине погранслоя и имеет также $5$ ячеек по радиусу. В нижней подобласти $25$ ячеек по радиусу. Граница между подобластями внутренняя эйлерова, не требующая дополнительных граничных условий. В расчете использовалось уравнение состояния воды из [13].

Более подробно рассмотрим расчеты с начальной плотностью пара $\rho _{0}^{{(2)}}$ в погранслое.

На фиг. 3–5 показаны профили функции распределения молекул по скоростям в расчетной области по мере приближения вдоль радиуса к нагреваемой стенке при $t = 10$ нс. Bидно существенное увеличение степени анизотропии профиля функции распределения, т.е. отклонения от равнораспределения по скоростям. На фиг. 6 показана функция распределения на стенке, она представляет собой квазимаксвелловское распределение, практически сразу преобразующееся в существенно неоднородное по скоростям (см. фиг. 5).

На фиг. 7 показаны профили радиальной и тангенциальной скорости массового течения в поперечном сечении пограничного кинетического слоя в зависимости от времени. Видно, что радиальная скорость существенно растет со временем у верхнего края кинетического погранслоя, в то время как тангенциальная скорость еще быстрее растет около стенки. На фиг. 8 показаны срезы плотности и температуры в поперечном сечении пограничного кинетического слоя в зависимости от времени и радиуса. По ним приближенно можно судить о динамике пространственного изменения макропараметров. Зависимость $\rho (r,t)$ можно считать куполовидной, в то время как температура $T(r,t)$ фактически аппроксимируется почти равномерным по времени увеличением температуры слоя, максимально далекого от стенки (чрезвычайно быстрая перекачка энергии через кинетический погранслой).

На фиг. 9 и 10 показана изотропизация функций распределения в релаксационном подслое (над кинетическим погранслоем) при переходе к гидродинамической области.

На фиг. 11–13 показана в динамике зависимость радиальной скорости, плотности и температуры (интегральных величин) в погранслое в зависимости от радиуса и времени.

На фиг. 14, 15 и 16, 17 – сравнение давления и температуры в рассчитываемом по гидродинамическим формулам погранслое для случаев приближения Барнетта и для Навье–Стокса.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан и реализован универсальный алгоритм расчета течений в каналах и трубах при наличии значительного теплового потока от стенки, учитывающий возможность введения кинетического расчета в погранслое. Установлено, что течение в погранслое существенно зависит от формы уравнения среды в основной области расчета и метода учета вязкости там же. При этом успешно внедрен программный подход перехода от области кинетических расчетов по БГК-методике к области гидродинамических расчетов по модифицированному Барнетту или по Навье–Стоксу. Полученная реализация сочетания гидродинамических расчетов в основной области и погранслое основана на введении релаксационной подобласти, размер которой зависит от размеров погранслоя и степени различия квазимаксвелловских граничных условий и формы функции внешнего нагрева стенки. Изменение начальных условий для плотности и температуры погранслоя в достаточно широком диапазоне величин (до порядка) не выявили изменений кинетики в слое и возможности его сочетаемости с гидродинамической областью. Было высказано предположение о частичном несовпадении термодинамических величин канонического ансамбля жидкости и микроканонического ансамбля в погранслое (связанное с появлением вихревых структур и фазовым переходом в жидкости). В расчетах это предположение явного подтверждения не нашло, хотя тенденции были намечены – для точных заключений требуется продолжение расчетов на существенно большие времена.