Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 12, стр. 2024-2039

ВВЕДЕНИЕ

Для уравнений математической физики, являющихся уравнениями Эйлера–Лагранжа соответствующих вариационных задач, важный класс решений – это решения типа бегущей волны (солитонные решения) (см. [1], [2]). В ряде моделей такие решения хорошо приближаются решениями типа бегущей волны для конечно-разностных аналогов исходных уравнений, которые, взамен непрерывной среды, описывают взаимодействие сгустков среды, помещенных в вершинах решетки (см. [1], [3]). Возникающие системы относятся к классу бесконечномерных динамических систем. К наиболее широко рассматриваемым классам подобных задач относятся бесконечномерные системы с потенциалами Френкеля–Конторовой (периодические и медленно растущие потенциалы) и Ферми–Паста–Улама (потенциалы экспоненциального роста), широкий обзор которых приведен в [4].

В теории пластической деформации изучается бесконечномерная динамическая система

где потенциал $\phi ( \cdot )$ задается гладкой периодической функцией. Уравнение (1) является системой с потенциалом Френкеля–Конторовой (см. [3]). Такая система является конечно-разностным аналогом нелинейного волнового уравнения, моделирует поведение счетного числа шаров массы $m$, помещенных в целочисленных точках числовой прямой, где каждая пара соседних шаров соединена между собой упругой пружиной, и описывает распространение продольных волн в бесконечном однородном абсолютно упругом стержне.

Определение 1. ${\text{\{ }}{{y}_{i}}( \cdot ){\text{\} }}_{{ - \infty }}^{{ + \infty }}$ называется решением системы (1), если для любого $i \in \mathbb{Z}$ функция ${{y}_{i}}( \cdot )$ непрерывно дифференцируема, а ее производная является абсолютно непрерывной функцией, и такая функция почти всюду удовлетворяет уравнению (1).

Изучение таких систем с различными потенциалами является одним из интенсивно развивающихся направлений в теории динамических систем. Для них центральной задачей является изучение солитонных решений (решений типа бегущей волны) как одного из наблюдаемых классов волн.

Определение 2. Будем говорить, что решение ${\text{\{ }}{{y}_{i}}( \cdot ){\text{\} }}_{{ - \infty }}^{{ + \infty }}$ системы (1), определенное для всех $t \in \mathbb{R}$, имеет тип бегущей волны (является солитонным решением), если существует $\tau > 0$, не зависящая от $t$ и $i$ такая, что при всех $i \in \mathbb{Z}$ и $t \in \mathbb{R}$ выполнено равенство

Константу $\tau $ будем называть характеристикой бегущей волны.

Таким образом, для рассматриваемого конечно-разностного аналога волнового уравнения изучение солитонных решений сводится к исследованию пространства решений краевой задачи

с линейными нелокальными краевыми условиями.

Фазовым пространством системы уравнений (2) является пространство бесконечных последовательностей

со стандартной тихоновской топологией. В пространстве $\mathcal{K}_{\mathbb{Z}}^{2}$ определим семейство гильбертовых подпространств $\mathcal{K}_{{\mathbb{Z}2\mu }}^{2}$, $\mu \in (0,\;1)$: с нормой

Определим линейный оператор $\mathbb{A}$, оператор сдвига $\mathbb{T}$ и нелинейный оператор $\mathbb{F}$, действующие непрерывно из пространства $\mathcal{K}_{\mathbb{Z}}^{2}$ в себя по следующему правилу: для любых $i \in \mathbb{Z}$, $\varkappa \in {{\mathcal{K}}^{2}}$

Заметим, что оператор сдвига $\mathbb{T}$ перестановочен с операторами $\mathbb{A}$ и $\mathbb{F}$, что свойственно моделям, описывающим процессы в однородных средах.

Система (2)–(3), задающая солитонные решения, может быть переписана в следующей операторной форме:

являющейся краевой задачей с линейными нелокальными краевыми условиями. Краевые условия (6) означают, что сдвиг решения по времени равен сдвигу по пространству.

Одним из методов исследования таких систем является конструктивное построение решений, использующее явный вид потенциала и, далее, методами теории возмущений установление факта существования солитонных решений и для близких потенциалов. Другим, часто применяемым способом, является использование наличия симметрий у исходных уравнений. Важным является не только вопрос существования солитонных решений, но и вопрос их единственности. Для этого одним из подходов служит локализация решений в пространстве бесконечно дифференцируемых или аналитических функций. Как правило, в пространстве бесконечно дифференцируемых функций удается показать существование решения, а в пространстве аналитических функций показать их единственность (см. [4]).

В настоящей работе используются возможности иного подхода и созданного на его основе формализма (см. [5]–[8]). Используется локализация солитонных решений заданием их асимптотики как по пространству (параметризированное семейство бесконечномерных фазовых пространств в форме гильбертовых пространств $\mathcal{K}_{{\mathbb{Z}2\mu }}^{2}$, $\mu \in (0,\;1)$), так и по времени. Такой подход основан на существовании взаимно однозначного соответствия солитонных решений для бесконечномерных динамических систем с решениями семейства индуцированных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа (см. [5]–[12]).

В случае рассматриваемой задачи солитонные решения (решения системы (2)–(3)) находятся во взаимно однозначном соответствии с решениями однопараметрического семейства индуцированных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа

где параметром семейства является $\tau \in {{\mathbb{R}}_{ + }}$.

Связь между этими решениями имеет следующий вид:

Для изучения вопросов существования и единственности солитонных решений предлагается локализация решений индуцированных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа в пространствах функций, мажорируемых функциями заданного экспоненциального роста с показателем экспоненты в качестве параметра:

Такой подход оказывается особенно успешным для систем с потенциалами Френкеля–Конторовой. При минимальных ограничениях на потенциал $\phi ( \cdot )$ в виде наличия условия Липщица (квазилинейные потенциалы) отмеченная задача была исследована в монографии [8]. Соответствующую константу Липщица для потенциала $\phi ( \cdot )$ будем обозначать через ${{L}_{\phi }}$.

Рассмотрим трансцендентное уравнение относительно двух переменных $\tau \in (0, + \infty )$ и $\mu \in (0,\;1)$

где

Из уравнения (11) определяется неотрицательная функция $\tau (\mu )$, $\mu \in [0,\;1]$, со свойством $\tau (0) = \tau (1) = 0$ и с единственной точкой экстремума (максимума) $\hat {\mu } \in (0,\;1)$. Функция $\tau (\mu )$ на полуинтервале $[0,\hat {\mu })$ – монотонно возрастающая, а на полуинтервале $(\hat {\mu },1]$ – монотонно убывающая. Введем обозначение $\hat {\tau } = \tau (\hat {\mu })$. Для величины $\hat {\tau }$ имеет место некоторая абсолютная оценка $\hat {\tau } \leqslant {{(2{{C}_{\phi }})}^{{ - 1}}}$ и, в частности, $\hat {\tau } \leqslant 1{\text{/}}2$. На интервале $[0,\hat {\tau })$ зависимость $\mu $ от $\tau $ задается двумя ветвями функций ${{\mu }_{1}}(\tau )$, ${{\mu }_{2}}(\tau )$, представленными на фиг. 1.

Сформулируем теорему существования и единственности решения для индуцированного функционально-дифференциального уравнения (7)–(8).

Tеорема 1 (см. [8]). Пусть потенциал $\Phi $ удовлетворяет условию Липщица с константой ${{L}_{\Phi }}$. Тогда при любых начальных данных $a,b \in \mathbb{R}$, $\bar {t} \in \mathbb{R}$ и характеристиках $\tau > 0$, удовлетворяющих условию

в пространстве $\mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{1}}(\tau ),{{\mu }_{2}}(\tau ))$ для системы функционально-дифференциальных уравнений (7)–(8) существует и причем единственное решение $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, такое, что оно удовлетворяет начальным условиям ${{z}_{1}}(\bar {t}) = a$, ${{z}_{2}}(\bar {t}) = b$. Такое решение, как элемент пространства $\mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, непрерывно зависит от начальных данных $a,b \in \mathbb{R}$, а также массы $m$, характеристики $\tau $ и потенциала $\Phi (.)$.

Теорема 1 не только гарантирует существование решения, но и задает ограничение его возможного роста по времени $t$. Очевидно, что при каждом $0 < \tau < \hat {\tau }$ пространства $\mathcal{L}_{{({{\mu }_{2}}(\tau ) - \varepsilon )}}^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ при малых $\varepsilon > 0$ намного уже, чем пространства $\mathcal{L}_{{({{\mu }_{1}}(\tau ) + \varepsilon )}}^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$. Теорема гарантирует существование решения в более узких пространствах и единственность в более широких пространствах.

Теорема 1 допускает переформулировку в терминах решений типа бегущей волны (солитонных решений) для исходного волнового уравнения (в терминах системы (2)–(3)).

Tеорема 2 (см. [8]). Пусть потенциал $\Phi $ удовлетворяет условию Липщица с константой ${{L}_{\Phi }}$. Тогда при любых начальных данных $\bar {i} \in \mathbb{Z}$, $a,b \in \mathbb{R}$, $\bar {t} \in \mathbb{R}$ и характеристиках $\tau > 0$, удовлетворяющих условию

для исходной системы дифференциальных уравнений (2) существует единственное решение $\mathop {\left\{ {{{y}_{i}}( \cdot )} \right\}}\nolimits_{ - \infty }^{ + \infty } $ типа бегущей волны (солитонное решение) с характеристикой $\tau $ такое, что оно удовлетворяет начальным условиям ${{y}_{{\bar {i}}}}(\bar {t}) = a$, $\mathop {\dot {y}}\nolimits_{\bar {i}} (\bar {t}) = b$; для любого параметра $\mu \in ({{\mu }_{1}}(\tau ),{{\mu }_{2}}(\tau ))$ значения вектор-функциипри любом $t \in \mathbb{R}$ принадлежат пространству $\mathcal{K}_{{\mathbb{Z}2\mu }}^{2}$, а функцияпринадлежит пространству $\mathcal{L}_{\mu }^{1}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$. Такое решение непрерывно зависит от начальных данных $a,b \in \mathbb{R}$, а также массы $m$, характеристики $\tau $ и потенциала $\Phi (.)$.

Описаниe процессов в неоднородных средах и с квазилинейным потенциалом сталкивается с трудностями качественно нового типа. Условие коммутативности правой части системы в операторной форме и оператора сдвига нарушается, вследствие чего пространство солитонных решений оказывается тривиальным. Вместе с тем в рамках развиваемого формализма удается получить “правильное” расширение понятия бегущей волны (солитонного решения) в виде решений типа квазибегущих волн (см. [13], [14]).

Предметом изучения настоящей работы являются ограниченные солитонные решения.

Определение 3. Будем говорить, что солитонное решение ${\text{\{ }}{{y}_{i}}( \cdot ){\text{\} }}_{{ - \infty }}^{{ + \infty }}$ системы (1) является ограниченным, если ${{y}_{0}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$, ограниченная функция.

Для рассматриваемой системы с нелинейным потенциалом суть предлагаемого подхода в том, что по исходной системе с нелинейным потенциалом $\Phi $ для каждого $\Delta > 0$ определяется вспомогательная система с периодическим потенциалом ${{\Phi }_{\Delta }}$ периода $2\Delta $ и свойством ${{\left. {{{\Phi }_{\Delta }}} \right|}_{{[ - \Delta ,\Delta ]}}} = {{\left. \Phi \right|}_{{[ - \Delta ,\Delta ]}}}$. Потенциал для такой вспомогательной системы уже является квазилинейным, и к такой системе применимы утверждения теорем 1 и 2, а также ряд утверждений, являющихся следствием наличия симметрий. Если такая вспомогательная система имеет ограниченные солитонные решения и их фазовый портрет полностью расположен в интервале $[ - \Delta ,\Delta ]$, то такие решения будут ограниченными солитонными решениями также и для исходной системы. Реализации такого подхода и посвящена данная работа. Раздел 1 посвящен выводу следствий из существующих симметрий для рассматриваемой системы, на основании которых в разд. 2 доказывается основной результат о существовании ограниченных солитонных решений для конечно-разностного аналога волнового уравнения.

1. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ С КВАДРАТИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Будем изучать солитонные решения (решения системы (2)–(3)) с квадратичным потенциалом $\Phi (\xi ) = \alpha {{\xi }^{2}} + \beta $, $\alpha > 0$, $\beta < 0$:

В рамках такой задачи выявляется ряд универсальных свойств, присущих для систем с нелинейным потенциалом общего вида.

Соответствующее индуцированное функционально-дифференциальное уравнение точечного типа имеет вид

Справедливо соответствие: ограниченному солитонному решению (решению системы (12)–(13)) соответствует решение индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с ограниченной первой координатой ${{z}_{1}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$, и наоборот.

Замечание 1. Точки $\left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,0} \right){\text{'}}$, $\left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,0} \right){\text{'}}$ являются единственными неподвижными точками для индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом.

Для изучения иных решений индуцированного функционально-дифференциального уравнения с условием ограниченности по первой координате построим семейство вспомогательных функционально-дифференциальных уравнений точечного типа.

Для любого $\Delta > 0$ определим периодический потенциал ${{\Phi }_{\Delta }}$ с периодом $2\Delta $ и свойством ${{\left. {{{\Phi }_{\Delta }}} \right|}_{{[ - \Delta ,\Delta ]}}} = {{\left. \Phi \right|}_{{[ - \Delta ,\Delta ]}}}$. Константа Липшица для такой периодической функции ${{\Phi }_{\Delta }}$ равна ${{L}_{{{{\Phi }_{\Delta }}}}} = 2\alpha \Delta $ и является монотонно возрастающей по параметру $\Delta > 0$. Рассмотрим вспомогательное функционально-дифференциальное уравнение точечного типа

По аналогии с уравнением (11) рассмотрим трансцендентное уравнение относительно двух переменных $\tau \in (0, + \infty )$ и $\mu \in (0,\;1)$

где и ${{C}_{{{{\Phi }_{\Delta }}}}}$ является монотонно возрастающей по параметру $\Delta > 0$.

Решение уравнения (18) описывается функциями ${{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau )$, ${{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau )$. Качественное поведение функций ${{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau )$, ${{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau )$ такое же, как поведение функций ${{\mu }_{1}}(\tau )$, ${{\mu }_{2}}(\tau )$ на фиг. 1, а величина $\hat {\tau }$ заменяется соответствующей величиной ${{\hat {\tau }}_{\Delta }}$, которая является монотонно убывающей по параметру $\Delta > 0$.

Для вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) также верна теорема 1, в которой следует потенциал $\Phi $ заменить на ${{\Phi }_{\Delta }}$, функции ${{\mu }_{1}}(\tau )$, ${{\mu }_{2}}(\tau )$ заменить на функции ${{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau )$, ${{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau )$, а величину $\hat {\tau }$ на ${{\hat {\tau }}_{\Delta }}$. Всякое решение $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, вспомогательного функционально-дифференциального уравнения (16)–(17) со свойством ограниченности по первой координате $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$, является решением индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом и тем же условием ограниченности по первой координате. Таким образом, в силу сформулированного выше правила согласования, нам достаточно установить существование решений вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17), удовлетворяющих свойству ограниченности по первой координате $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$.

Замечание 2. При параметре $\Delta $, $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ точки

являются единственными стационарными решениями для вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17).

В [15] для функционально-дифференциального уравнения точечного типа с квазилинейной правой частью получена теорема существования ограниченного решения. В ней представлены условия нового типа, использующие средние по некоторому периоду для правых частей функционально-дифференциального уравнения точечного типа. Такие условия являются новыми и для обыкновенных дифференциальных уравнений. На их основе получен результат о существовании ограниченного солитонного решения для систем с квазилинейным потенциалом, а также осуществлена численная реализация таких солитонных решений (см. [16], [17]). В рамках такого подхода в [18] получена теорема существования ограниченного решения для функционально-дифференциального уравнения точечного типа и с сильно нелинейной правой частью.

Вместе с тем условия из работы [18] оказываются неприменимыми при изучении ряда систем и, в частности, для рассматриваемого конечно-разностного аналога волнового уравнения с нелинейным потенциалом. Причина в том, что у таких систем и индуцированных ими функционально-дифференциальных уравнений точечного типа имеется ряд симметрий, которые препятствуют выполнению нужных условий из отмеченной работы. В свою очередь, наличие симметрий, поведение векторного поля для определенного выше вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17), а также наличие теоремы 1 позволяют установить существование решений, удовлетворяющих свойству ограниченности по первой координате $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$, как для вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа, так и для исходного индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15). Опишем такие симметрии.

Лемма 1. Решения $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) инвариантны относительно сдвига по времени.

Доказательство. Это свойство инвариантности является следствием автономности рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

Лемма 2. Если $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, является решением вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17), то $({{z}_{1}}(t) + 2k\Delta ,{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{Z}$, при каждом фиксированном $k \in \mathbb{Z}$ также являются решениями.

Доказательство. Это свойство инвариантности является следствием периодичности потенциала ${{\Phi }_{\Delta }}$ с периодом $2\Delta $ и может быть получено непосредственной проверкой.

Лемма 3. Если $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, является решением вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17), то $({{\hat {z}}_{1}}(t),{{\hat {z}}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, где ${{\hat {z}}_{1}}(t) = {{z}_{1}}( - t)$, ${{\hat {z}}_{2}}(t) = - {{z}_{2}}( - t)$, $t \in \mathbb{R}$, также является решением.

Доказательство. Это свойство инвариантности может быть получено непосредственной проверкой.

Лемма 4. Пусть $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$, а $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ – решение вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17), для которого существует точка $\hat {t}$ со свойством ${{z}_{2}}(\hat {t}) = 0$. Тогда фазовый портрет такого решения симметричен относительно горизонтальной оси ${{z}_{2}} = 0$. Более того, для такого решения каждая пара отмеченных симметричных точек задается в терминах самого решения следующим образом: $({{z}_{1}}(\hat {t} + t),{{z}_{2}}(\hat {t} + t)){\text{'}}$, $({{z}_{1}}( - \hat {t} - t), - {{z}_{2}}( - \hat {t} - t)){\text{'}}$, $t \in R$.

Доказательство. Пусть решение $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, удовлетворяет всем условиям из леммы, т.е. найдется такое $\hat {t}$, что ${{z}_{2}}(\hat {t}) = 0$. Так как решения инвариантны относительно сдвига по времени (лемма 1 ), то, не нарушая общности, можем положить $\hat {t} = 0$. По лемме 3 $({{\hat {z}}_{1}}(t),{{\hat {z}}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, где ${{\hat {z}}_{1}}(t) = {{z}_{1}}( - t)$, ${{\hat {z}}_{2}}(t) = - {{z}_{2}}( - t)$, $t \in \mathbb{R}$, также является решением. Заметим, что при этом $\mathop {\hat {z}}\nolimits_1 (0) = {{z}_{1}}(0),\mathop {\hat {z}}\nolimits_2 (0) = - {{z}_{2}}(0) = 0$. Тогда по теореме существования и единственности решения в пространстве функций $\mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ следует, что решения $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $({{\hat {z}}_{1}}(t),{{\hat {z}}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, совпадают. Тогда для любого $t \in \mathbb{R}$ из условия ${{z}_{1}}(t) = {{\hat {z}}_{1}}(t)$, ${{z}_{2}}(t) = {{\hat {z}}_{2}}(t)$ следует, что ${{z}_{1}}(t) = {{z}_{1}}( - t)$, ${{z}_{2}}(t) = - {{z}_{2}}( - t)$. Полученные условия доказывают лемму, и фазовый портрет такого решения будет симметричен относительно горизонтальной оси ${{z}_{2}} = 0$.

Лемма 5. Пусть $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$, а $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ – решение вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) такое, что ${{z}_{2}}(0) = 0$. Такое решение является периодическим, но не стационарным, тогда и только тогда, когда найдется $\hat {t} \ne 0$, для которого ${{z}_{2}}(\hat {t}) = 0$. Минимальное значение таких $\hat {t}$ равно полупериоду решения.

Доказательство. Если решение является периодическим, то значение периода обозначим через $2\hat {t}$. По лемме 4 справедливы условия ${{z}_{2}}(t) = - {{z}_{2}}( - t)$, $t \in [0,\hat {t}]$. Так как $\hat {t}$ равно значению минимального полупериода, то для всех $t \in [0,\hat {t})$ должны выполняться условия ${{z}_{2}}(t) = - {{z}_{2}}( - t) \ne 0$. Тогда из непрерывности решения и условия симметрии решения относительно оси ${{z}_{2}} = 0$ следует, что ${{z}_{2}}(\hat {t}) = 0$.

Доказательство проведем в обратную сторону. Пусть найдется точка $\hat {t}$, для которой выполняется условие ${{z}_{2}}(\hat {t}) = 0$. В силу условия симметрии ${{z}_{2}}(t) = - {{z}_{2}}( - t)$, $t \in \left[ {0,\hat {t}} \right]$, из теоремы 4 следует, что имеет место условие ${{z}_{2}}(\hat {t}) = - {{z}_{2}}( - \hat {t})$. С другой стороны, имеет место и другое условие симметрии ${{z}_{1}}(\hat {t}) = {{z}_{1}}( - \hat {t})$, что ведет к выполнению равенства $({{z}_{1}}(\hat {t}),{{z}_{2}}(\hat {t})) = ({{z}_{1}}( - \hat {t}),{{z}_{2}}( - \hat {t}))$. Следовательно, такое решение является периодическим, а минимальное значение таких $\hat {t}$ равно полупериоду решения.

Лемма 6. Пусть $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta ,1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta ,2}}}(\tau ))$, а $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ – решение вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) такое, что ${{z}_{2}}(0) = 0$. Тогда справедливо одно из условий:

(a) либо решение периодическое с полупериодом $\hat {t}$, для которого выполняется одно из условий: ${{z}_{1}}(\hat {t}) \leqslant {{z}_{1}}(t) \leqslant {{z}_{1}}(0)$ при $t \in \left[ {0,\hat {t}} \right]$ или ${{z}_{1}}(0) \leqslant {{z}_{1}}(t) \leqslant {{z}_{1}}(\hat {t})$ при $t \in \left[ {0,\hat {t}} \right]$;

(б) либо решение не периодическое и выполняется одно из условий: ${{z}_{1}}(t) \leqslant {{z}_{1}}(0)$, $t \in \mathbb{R}$, при $t \in ( - \infty ,0)$ функция ${{z}_{1}}(.)$ монотонно возрастающая, при $t \in (0,\infty )$ функция ${{z}_{1}}(.)$ монотонно убывающая; ${{z}_{1}}(0) \leqslant {{z}_{1}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$, при $t \in ( - \infty ,0)$ функция ${{z}_{1}}(.)$ монотонно убывающая, при $t \in (0,\infty )$ функция ${{z}_{1}}(.)$ монотонно возрастающая.

Доказательство. В силу первого уравнения (16), для рассматриваемого решения при прохождении замкнутой верхней полуплоскости ${{z}_{2}} \geqslant 0$ фазового пространства имеется монотонно возрастающее поведение координаты ${{z}_{1}}(t)$. С другой стороны, при прохождении замкнутой нижней полуплоскости ${{z}_{2}} \leqslant 0$ фазового пространства имеется монотонно убывающее поведение координаты ${{z}_{1}}(t)$. В силу леммы 4 (наличие симметрии для такого решения) и леммы 5, решение имеет следующее поведение. Первый случай: решение является периодическим. При положительных моментах времени полупериода ($t \in [0,\hat {t}]$) решение находится в замкнутой нижней полуплоскости ${{z}_{2}} \leqslant 0$ и выполняется первое двойное неравенство. Если при $t \in [0,\hat {t}]$ решение находится в замкнутой верхней полуплоскости ${{z}_{2}} \geqslant 0$, то выполняется второе двойное неравенство. Второй случай: а) при отрицательных моментах времени ($t < 0$) решение находится в замкнутой верхней полуплоскости ${{z}_{2}} \geqslant 0$, а при положительных моментах времени ($t > 0$) решение находится в замкнутой нижней полуплоскости ${{z}_{2}} \leqslant 0$; б) с точностью до наоборот. Так как в условиях а) в замкнутой верхней полуплоскости имеет место ограничение ${{z}_{2}} \geqslant 0$, то, в силу первого уравнения (16), оно будет монотонно возрастающим и будет выполняться соотношение ${{z}_{1}}(t) \leqslant {{z}_{1}}(0)$ при $t > 0$. Точно так же в замкнутой нижней полуплоскости имеет место ограничение ${{z}_{2}} \leqslant 0$. Поэтому, в силу первого уравнения (16), оно будет монотонно убывающим и будет выполняться ограничение ${{z}_{1}}(t) \leqslant {{z}_{1}}(0)$ при $t < 0$. Следовательно, в условиях а) первая координата решения удовлетворяет ограничению ${{z}_{1}}(t) \leqslant {{z}_{1}}(0)$ при $t \in \mathbb{R}$. Точно так же в условиях б) можно показать, что первая координата решения удовлетворяет ограничению ${{z}_{1}}(t) \geqslant {{z}_{1}}(0)$ при $t \in \mathbb{R}$ и соответствующим условиям монотонности.

Предложение 1. Пусть заданы $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ и $\tau \in (0,{{\tau }_{\Delta }})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$. Тогда не существует периодического не стационарного решения $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) с начальным условием $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$.

Доказательство. Заметим, что любые два периодических решения либо не имеют точек пересечения для внутренних областей, которые они выделяют, либо эти области вложены одна в другую. Для любого стационарного решения не существует последовательности периодических (но не стационарных) решений $(z_{1}^{r}(.),z_{2}^{r}(.)){\text{'}}$, $r = 1,\;2,\; \ldots $, с начальными условиями $(z_{1}^{r}(0),z_{2}^{r}(0)){\text{'}} = ({{a}^{r}},0)'$, которые сгущаются к стационарному решению. Это следует из теоремы существования и единственности решения, а также непрерывной зависимости от начальных условий.

Пусть существует периодическое (но не стационарное) решение $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}}$ с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$. Тогда найдется не периодическое решение $({{\hat {z}}_{1}}(.),{{\hat {z}}_{2}}(.)){\text{'}}$ с начальными условиями $({{\hat {z}}_{1}}(0),{{\hat {z}}_{2}}(0)){\text{'}} = (\hat {a},0){\text{'}}$. Более того, найдутся последовательности периодических решений $(z_{1}^{r}(.),z_{2}^{r}(.)){\text{'}}$, $r = 1,\;2,\; \ldots $, с начальными условиями $(z_{1}^{r}(0),z_{2}^{r}(0)){\text{'}} = ({{a}^{r}},0){\text{'}}$ и последовательность не периодических решений $(z_{1}^{l}(.),z_{2}^{l}(.)){\text{'}}$, $l = 1,\;2,\; \ldots $, с начальными условиями $(z_{1}^{l}(0),z_{2}^{l}(0)){\text{'}} = ({{a}^{l}},0){\text{'}}$ такие, что последовательности начальных данных сгущаются к одному и тому же начальному данному $\left( {a,0} \right){\text{'}}$. Такое свойство противоречит теореме существования и единственности решения, а также непрерывной зависимости от начальных условий. Предложение доказано.

Лемма 7. Пусть $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $, $\tau \in \left( {0,{{{\hat {\tau }}}_{\Delta }}} \right)$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta ,1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta ,2}}}(\tau ))$, а $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\kern 1pt} {\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ – решение вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) с начальным условием $\left( {{{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)} \right){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$. Тогда

1) при любом $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, выполняется условие ${{\dot {z}}_{2}}(0) < 0$; для $t \in ( - \infty ,0)$ выполнены оценки ${{z}_{2}}(t) > 0$, ${{z}_{1}}(t) < a$, и первая координата ${{z}_{1}}(t)$ монотонно возрастает; для $t \in (0,\infty )$ выполнены оценки ${{z}_{2}}(t) < 0$, ${{z}_{1}}(t) < a$ и первая координата ${{z}_{1}}(t)$ монотонно убывает;

2) при любом $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2(k - 1)\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, выполняется условие ${{\dot {z}}_{2}}(0) > 0$; для $t \in ( - \infty ,0)$ выполнены оценки ${{z}_{2}}(t) < 0$, ${{z}_{1}}(t) > a$, и первая координата ${{z}_{1}}(t)$ монотонно убывает; для $t \in (0,\infty )$ выполнены оценки ${{z}_{2}}(t) > 0$, ${{z}_{1}}(t) > a$, и первая координата ${{z}_{1}}(t)$ монотонно убывает.

Доказательство. По лемме 2 решения инвариантны относительно сдвига на $2\Delta $ по первой координате ${{z}_{1}}$. Поэтому нам достаточно рассмотреть решения с начальными значениями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right) \cup \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$. В силу уравнения (17) и леммы 4, для рассматриваемого решения выполнено соотношение

В силу непрерывной зависимости решения системы (16)–(17) от начальных данных и характеристики $\tau $ (теорема 1), для любого сколь угодно малого $\delta > 0$ решения на интервале $[0,2\tau ]$ будут равномерно ограниченными для всех Из системы (16)–(17) следует, что и, учитывая равномерную ограниченность ${{z}_{1}}(t)$, $t \in [0,2\tau ]$, получаем соотношение $\left| {{{z}_{1}}(\tau ) - a} \right| = o({{\tau }^{2}})$. Подставив полученное соотношение в равенство (19), получим представление ${{\dot {z}}_{2}}(0) = {{m}^{{ - 1}}}[o({{\tau }^{2}}) + {{\Phi }_{\Delta }}(a)]$.

Пусть $a \in \left[ { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + \delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - \delta } \right]$. При таких $a$ значение потенциала ${{\Phi }_{\Delta }}(a)$ отрицательное. Поэтому при достаточно малых характеристиках $\tau $ выполняется неравенство ${{\dot {z}}_{2}}(0) < 0$. Из последнего неравенства и начального условия ${{z}_{2}}(0) = 0$ следует, что при малых $t > 0$ выполняется условие ${{z}_{2}}(t) < 0$, а при малых $t < 0$ – условие ${{z}_{2}}(t) > 0$. По предложению 1 не существует периодического решения, отличного от стационарного. Тогда, в силу симметрии из леммы 4, будут выполняться более сильные соотношения ${{z}_{2}}(t) < 0$ при $t > 0$, ${{z}_{2}}(t) > 0$ при $t < 0$, а в силу уравнения (16), будут выполняться также и соотношения: ${{z}_{1}}(t) < a$ при $t > 0$ и монотонно убывает, ${{z}_{1}}(t) < a$ при $t < 0$ и монотонно возрастает.

Если условие ${{\dot {z}}_{2}}(0) < 0$ будет выполняться при всех характеристиках $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$, то, в силу произвольности малой величины $\delta > 0$, пункт 1) леммы доказан. Покажем, что это так. Пусть найдется $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$, при котором для решения выполняется условие ${{\dot {z}}_{2}}(0) = 0$, а $\underline \tau $ – нижняя грань таких значений. Очевидно, что $\underline \tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$. Из равенства (19) и отрицательности значения потенциала будет следовать условие ${{z}_{1}}(\underline \tau ) > a$. В силу симметрии из леммы 4, а также отсутствия не стационарных периодических решений (предложение 1), будут выполняться более сильные соотношения: ${{z}_{1}}(t) > a$ при $t > 0$ и монотонно возрастает, ${{z}_{1}}(t) > a$ при $t < 0$ и монотонно убывает. Это противоречит непрерывной зависимости решения системы (16)–(17) от начальных данных и характеристики $\tau $ (теорема 1), которая нарушается при значении характеристики, равной $\underline \tau $.

Точно так же доказывается пункт 2).

В действительности мы можем получить более сильную оценку для производной ${{\dot {z}}_{2}}(0)$.

Следствие 1. Пусть $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $, $\tau \in \left( {0,{{{\hat {\tau }}}_{\Delta }}} \right)$, ${{\mu }^{\tau }} \in \left( {{{\mu }_{{\Delta ,1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta ,2}}}(\tau )} \right)$, а $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ – решение вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) с начальным условием $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$. Тогда

1) при любом $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, выполняется условие ${{\dot {z}}_{2}}(0) < {{\Phi }_{\Delta }}(a)$;

2) при любом $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2(k - 1)\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, выполняется условие ${{\dot {z}}_{2}}(0) > {{\Phi }_{\Delta }}(a)$.

Доказательство. Докажем п. 1). Для рассматриваемых $a$ по предложению 2 имеет место оценка ${{z}_{1}}(0) < a$. Тогда из соотношения (19) и отрицательности потенциала ${{\Phi }_{\Delta }}(a)$ будет следовать оценка ${{\dot {z}}_{2}}(0) < {{\Phi }_{\Delta }}(a)$.

Докажем п. 2). Для рассматриваемых $a$ по предложению 2 имеет место оценка ${{z}_{1}}(0) > a$. Тогда из соотношения (19) и положительности потенциала ${{\Phi }_{\Delta }}(a)$ будет следовать оценка ${{\dot {z}}_{2}}(0) > {{\Phi }_{\Delta }}(a)$.

Теперь мы можем описать качественное поведение решений $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа с начальными данными $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, $a \in \mathbb{R}$.

Предложение 2. Пусть заданы $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ и $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$, а $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ – решение вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$. Тогда

1) при любом $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, решение по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает интервал $\left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, и выполняются соотношения

Граница области фазовых кривых таких решений состоит из двух сепаратрис $({{\bar {z}}_{1}}(.),{{\bar {z}}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, $({{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{z} }_{1}}(.),{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{z} }_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ со свойствами

2) при любом $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2(k - 1)\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, $k \in \mathbb{Z}$, решение по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает интервал $\left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2(k - 1)\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} + 2k\Delta } \right)$, и выполняются соотношения

Граница области фазовых кривых таких решений состоит из двух сепаратрис $({{\bar {z}}_{1}}(.),{{\bar {z}}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, $({{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{z} }_{1}}(.),{{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{z} }_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{Z})$ и выполняются условия

Доказательство. По лемме 2 решения инвариантны относительно сдвига на $2\Delta $ по первой координате ${{z}_{1}}$. Поэтому нам достаточно рассмотреть решения с начальными значениями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)) = (a,0)$, $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$. Так как точка $ - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ является стационарной точкой для рассматриваемой системы, то нам достаточно рассмотреть начальные значения $(a,0)$, где $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right) \cup \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$.

Сформулируем ряд утверждений относительно качественного поведения решений.

(i) Пусть решение с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ (либо $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$), по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидают интервала, которому принадлежит $a$. Тогда для такого решения справедливы утверждения доказываемого предложения.

Доказательство утверждения (i). Рассматриваемое решение будет удовлетворять всем условиям монотонности из леммы 6. Тогда предел для первой координаты ${{z}_{1}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$, будет существовать. Если для такого решения вторая координата ${{z}_{2}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$, окажется ограниченной, то утверждения о конечности предела по первой координате и предельных переходах будет следовать из теоремы существования и единственности решения для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения точечного типа и теоремы о продолжении решения до не продолжаемого, основанной на ней.

Покажем ограниченность координаты ${{z}_{2}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$. Мы уже отмечали, что функция ${{z}_{1}}(t)$, $t \in \mathbb{R}$, монотонна на полупрямых $t \in ( - \infty ,0)$, $t \in (0, + \infty )$ и, соответственно, конечные пределы $li{{m}_{{t \to \pm \infty }}}{{z}_{1}}(t) = A$ существуют. При больших $\left| t \right| > N$ величина $[{{z}_{1}}(t - \tau ) - 2{{z}_{1}}(t) + {{z}_{1}}(t + \tau )]$ будет сколь угодно малой. Если $A \ne - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $, то потенциал ${{\Phi }_{\Delta }}({{z}_{1}}(t))$ не равен нулю и, в силу системы (16)–(17), условие $li{{m}_{{t \to \pm \infty }}}{{z}_{1}}(t) = A$ нарушается. Следовательно, $A = - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $. В таком случае при больших $\left| t \right| > N$ правая часть уравнения (17) будет сколь угодно малой. Следовательно, в силу уравнения (16), при $\left| t \right| > N$ значения ${{z}_{2}}(t)$ будут не только ограниченными, но будут удовлетворять также и условию $li{{m}_{{t \to \pm \infty }}}{{z}_{2}}(t) = 0$.

Наличие сепаратрис с отмеченными свойствами является следствием теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Качественное поведение решений, описанное в предложении 2, показано на фиг. 2.

Утверждение (i) доказано.

Остается показать, что решения с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)) = (a,0)$, $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ (либо $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$), по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидают интервала, которому принадлежит $a$.

Для решений с начальными условиями $(a,0){\text{'}}$, где $a$ принадлежит одному из рассматриваемых интервалов, сформулируем результат о структуре решений, если известен характер одного из рассматриваемых решений.

(ii) Пусть задано решение $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}}$ = $(\tilde {a},0){\text{'}}$, $\tilde {a} \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ (либо $\tilde {a} \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$). Если решение по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает интервал, которому принадлежит $\tilde {a}$, тогда для любого $a \in \left[ {\tilde {a}, - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ (либо $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\tilde {a}} \right]$) решение с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ по первой координате ${{z}_{1}}$ также не покидают интервал, которому принадлежит $\tilde {a}$. Если решение по первой координате ${{z}_{1}}$ покидает интервал, которому принадлежит $\tilde {a}$, тогда для любого $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta ,\tilde {a}} \right]$ (либо $a \in \left[ {\tilde {a},\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решение с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ также по первой координате ${{z}_{1}}$ покидают интервал, которому принадлежит $\tilde {a}$.

Доказательство утверждения (ii) следует из теоремы существования и единственности решения для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения точечного типа.

Сформулируем результат о структуре решений, для которых первая координата начальных условий $(a,0){\text{'}}$ принадлежит одному из рассматриваемых интервалов в зависимости от характера какого-либо индивидуального решения, для которого первая координата начальных условий принадлежит другому интервалу.

(iii) Пусть задано решение $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ с начальными условиями

Если решение по первой координате ${{z}_{1}}$ покидает интервал, которому принадлежит $\tilde {a}$, тогда для любого $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ $\left( {a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)} \right)$ решение с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидают интервал, которому принадлежит $a$.

Доказательство утверждения (iii) следует из теоремы существования и единственности решения для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения точечного типа.

Теперь мы можем окончательно сформулировать результат о структуре решений с начальными данными $(a,0){\text{'}}$, где $a$ принадлежит рассматриваемым интервалам.

(iv) Всякое решение $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$ с начальными условиями

не покидает интервал, которому принадлежит $a$.

Доказательство утверждения (iv). Для определенности будем полагать, что $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$. Предположим, что при каком-либо $\tilde {a} \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решение по первой координате ${{z}_{1}}$ покидает рассматриваемый интервал. В утверждении (ii) описан характер такого решения. Через $\underline a $ обозначим минимальное среди таких $\tilde {a}$.

Если $\underline a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$, то по утверждению (ii) при каждом $\tilde {a} \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta ,\underline a } \right)$ решение по первой координате ${{z}_{1}}$ также покидает интервал $\left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$, а при каждом $\tilde {a} \in \left[ {\underline a , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решение по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает интервал $\left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$, их поведение описано в пункте (i) и изображено на фиг. 1. В таком случае для решения с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (\underline a ,0){\text{'}}$ нарушается непрерывная зависимость от начальных условий. Следовательно, $\underline a = - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ и при всех $\tilde {a} \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решение по первой координате ${{z}_{1}}$ покидает рассматриваемый интервал.

По утверждению (iii) для любого $a \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решения с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидают интервал, которому принадлежит $a$. В   таком случае для решений с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, $a \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right) \cup \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$, в окрестности стационарного решения $\left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,0} \right){\kern 1pt} {\text{'}}$ нарушается теоремa существования и единственности решения, а также непрерывной зависимости от начальных условий. Следовательно, ни при каком $\tilde {a} \in \left( {\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} - 2\Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решение по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает рассматриваемый интервал. Точно так же доказывается, что ни при каком $\tilde {a} \in \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$ решение по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает рассматриваемый интервал. Утверждение (iv) доказано.

Завершим доказательство предложения. По п. (iv) решения с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ по первой координате ${{z}_{1}}$ не покидает интервал, которому принадлежит $a$. Тогда, в силу п. (i), для таких решений справедливы все утверждения доказываемого предложения.

Дадим комментарий к фиг. 2. График по координате ${{z}_{1}}$ является $2\Delta $-периодичным и симметричным относительно оси ${{z}_{1}}$. Малыми кругами обозначены стационарные решения, имеющие гиперболический тип. Крестиками обозначены стационарные решения, являющиеся стоками и истоками для одних и тех же решений и имеющие также гиперболический тип. Штриховыми линиями обозначены сепаратрисы, а зеленым цветом обозначены решения, неограниченные по первой координате ${{z}_{1}}$.

2. ВОПРОСЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ СОЛИТОННЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ КВАДРАТИЧНОМ ПОТЕНЦИАЛЕ. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

На основе утверждений предложения 2 сформулируем результат о существовании ограниченного по первой координате ${{z}_{1}}$ решения индуцированного функционально-дифференциального уравнения.

Tеорема 3. Пусть заданы $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ и $\tau \in (0,{{\hat {\tau }}_{\Delta }})$. Тогда при любых $a \in \left[ { - \Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right]$ существует решение $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}}$ индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом и начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, фазовый портрет которого ограничен в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Более того, такое решение единственное и по первой координате ${{z}_{1}}$ удовлетворяет условию ограниченности $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$.

Доказательство. По теореме существования и единственности решения для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения точечного типа для соответствующего вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) с начальными условиями $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, $a \in \left[ { - \Delta , - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right) \cup \left( { - \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right)$, существует решение $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$, и такое решение единственное. По предложению 2 такое решение удовлетворяет условию ограниченности $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$. В случае $a = \pm \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ точки $\left( { \pm \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} ,0} \right)$ задают фазовые портреты стационарных решений и также удовлетворяют условию ограниченности $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$. Очевидно, что такие решения будут одновременно и решениями индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом. Более того, из фиг. 2 следует, что фазовый портрет для таких решений ограничен в ${{\mathbb{R}}^{2}}$.

С другой стороны, всякое решение индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом, фазовый портрет которого ограничен в ${{\mathbb{R}}^{2}}$ и удовлетворяет условию ограниченности $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$, является решением и вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17). Более того, такое решение принадлежит пространству $({{z}_{1}}(.),{{z}_{2}}(.)){\text{'}} \in \mathcal{L}_{\mu }^{2}{{C}^{{(0)}}}(\mathbb{R})$, ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$, при любом $\mu \in (0,\;1)$ и, в частности, при любом ${{\mu }^{\tau }} \in ({{\mu }_{{\Delta 1}}}(\tau ),{{\mu }_{{\Delta 2}}}(\tau ))$. Тогда по теореме существования и единственности решения для вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (16)–(17) такое решение единственное.

Дадим комментарий к фиг. 3. На фиг. 3 по сравнению с фиг. 2 сохранены только те ограниченные по координате ${{z}_{1}}$ решения, которые принадлежат цилиндру ${\text{\{ }}({{z}_{1}},{{z}_{2}}):{{z}_{1}} \in [ - \Delta ,\Delta ]{\text{\} }}$, так как только такие решения вспомогательного функционально-дифференциального уравнения точечного типа являются одновременно и решениями индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа.

Теперь мы можем привести эквивалентную переформулировку теоремы 3 о существовании решения индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (системы (16)–(17)), ограниченного по первой координате. Такая переформулировка примет форму основного результата о существовании ограниченных солитонных решений для исходного волнового уравнения (для системы (12)–(13)).

Tеорема 4. Пусть задано $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $. Тогда для системы (12)–(13) с квадратичным потенциалом при каждом фиксированном $\tau $, $0 < \tau < {{\hat {\tau }}_{\Delta }}$, и $a \in \left[ { - \Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right]$ существует ограниченное солитонное решение ${\text{\{ }}({{y}_{i}}(t),\mathop {\dot {y}}\nolimits_i (t)){\text{'\} }}_{{ - \infty }}^{{ + \infty }}$, $t \in \mathbb{R}$, с характеристикой $\tau $ и начальными данными $({{y}_{0}}(0),\mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, для которого фазовый портрет $({{y}_{0}}(t),\mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, ограничен в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. Такое решение единственное. Более того, условие ограниченности такого солитонного решения имеет вид $\left| {{{y}_{0}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$.

Доказательство. По теореме 3 для $\Delta \geqslant \sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} $ и $\tau $, $0 < \tau < {{\hat {\tau }}_{\Delta }}$, а также каждого начального данного $(a,0){\text{'}}$, $a \in \left[ { - \Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right]$, существует с ограниченным фазовым портретом в ${{\mathbb{R}}^{2}}$ решение $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом, с начальным условием $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ и условием ограниченности по первой координате $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$. Такое решение единственное. В силу соотношений (9), решению $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, с начальными данными $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, $a \in \left[ { - \Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right]$, соответствует солитонное решение ${\text{\{ }}({{y}_{i}}(t),\mathop {\dot {y}}\nolimits_i (t)){\text{'\} }}_{{ - \infty }}^{{ + \infty }}$, $t \in \mathbb{R}$, системы (12)–(13) с характеристикой $\tau $, начальными условиями $({{y}_{0}}(0),\mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$, и имеют место соотношения ${{z}_{1}}(t) = {{y}_{0}}(t)$, ${{z}_{2}}(t) = \mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (t)$, $t \in \mathbb{R}$. Из последних соотношений следует ограниченность фазового портрета $({{y}_{0}}(t),\mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$ в ${{\mathbb{R}}^{2}}$, а также условие ограниченности $\left| {{{y}_{0}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$.

Справедливы рассуждения и в обратную сторону. Пусть при $\tau $, $0 < \tau < {{\hat {\tau }}_{\Delta }}$, и $a \in \left[ { - \Delta ,\sqrt {\tfrac{{ - \beta }}{\alpha }} } \right]$ для системы (12)–(13) с квадратичным потенциалом существует ограниченное солитонное решение ${\text{\{ }}({{y}_{i}}(t),\mathop {\dot {y}}\nolimits_i (t)){\text{'\} }}_{{ - \infty }}^{{ + \infty }}$, $t \in \mathbb{R}$, с характеристикой $\tau $, начальными данными $({{y}_{0}}(0),\mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ и условием ограниченности $\left| {{{y}_{0}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$, для которого фазовый портрет $({{y}_{0}}(t),\mathop {\dot {y}}\nolimits_0 (t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, ограничен в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. В силу соотношений (9), $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, является решением индуцированного функционально-дифференциального уравнения точечного типа (14)–(15) с квадратичным потенциалом и отклонением $\tau $, с начальным условием $({{z}_{1}}(0),{{z}_{2}}(0)){\text{'}} = (a,0){\text{'}}$ и условием ограниченности по первой координате $\left| {{{z}_{1}}(t)} \right| \leqslant \Delta $, $t \in \mathbb{R}$, для которого фазовый портрет $({{z}_{1}}(t),{{z}_{2}}(t)){\text{'}}$, $t \in \mathbb{R}$, ограничен в ${{\mathbb{R}}^{2}}$. По теореме 3 такое решение единственное.

Большинство приведенных предварительных результатов получено без учета конкретного вида нелинейного потенциала. Поэтому представленный подход носит универсальный характер и может быть применен к изучению широкого класса систем с нелинейным потенциалом.