Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 12, стр. 2010-2023

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ГЕОСТРОФИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ВЕРТИКАЛЬНЫМ ПРОФИЛЕМ СКОРОСТИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОКЕАНУ

С. Л. Скороходов^1, *, Н. П. Кузьмина^2, **

¹ ФИЦ ИУ РАН
119991 Москва, ул. Вавилова, 40, Россия

² Институт океанологии им. П.П. Ширшова РАН
117997 Москва, Нахимовский пр-т, 36, Россия

^* E-mail: sskorokhodov@gmail.com
^** E-mail: kuzmina@ocean.ru

Поступила в редакцию 17.03.2021
После доработки 19.05.2021
Принята к публикации 20.06.2021

DOI: 10.31857/S0044466921120140

Полный текст (PDF)

Аннотация

На основе уравнения потенциального вихря в квазигеострофическом приближении представлен анализ устойчивых и неустойчивых возмущений океанских течений конечного поперечного масштаба с параболическим вертикальным профилем скорости (течение типа Пуазейля–Куэтта), т.е. с учетом как линейного, так и постоянного сдвига скорости течения. В модели учитывается влияние вертикальной диффузии плавучести и вертикального трения и полагается, что максимальная скорость среднего течения имеет место на границе слоя. Для анализа используется метод малых возмущений. Задача зависит от нескольких физических параметров и сводится к решению спектральной несамосопряженной задачи для уравнения 4-го порядка с малым параметром при старшей производной. Построены асимптотические разложения собственных функций и собственных значений при малых значениях волнового числа k. С помощью метода продолжения по параметру k вычислены траектории собственных значений для различных значений физических параметров задачи. Представлен подробный анализ влияния особенностей вертикальной структуры течения на характеристики устойчивых и неустойчивых возмущений. Показано, что фазовые скорости неустойчивых возмущений могут существенно меняться в зависимости от величины линейного вертикального сдвига скорости течения. Библ. 14. Фиг. 4.

Ключевые слова: спектральная несамосопряженная задача, асимптотические разложения, метод продолжения по параметру.

ВВЕДЕНИЕ

Работа продолжает исследования устойчивых и неустойчивых возмущений, типичных для океана геострофических течений c учетом вертикальной диффузии импульса и массы (см. [1]–[8]). В отличие от упомянутых исследований настоящая работа посвящена анализу траекторий собственных значений для течения с параболическим вертикальным профилем скорости (течение типа Пуазейля–Куэтта), т.е. для течения с линейным и постоянным сдвигами скорости. Динамика малых возмущений таких течений описывается линейным уравнением потенциального вихря в квазигеострофическом приближении. Вывод основных уравнений модели подробно представлен в [1]–[4].

Постановка задачи. Область, в которой исследуется модельное течение, является бесконечным (вдоль направления течения) горизонтальным слоем с верхней и нижней границами ${{z}_{0}}$ и ${{z}_{1}}$ и боковыми границами ${{y}_{0}}$ и ${{y}_{1}}$. Декартовы координаты внутри такого слоя следующие: вертикальная переменная $z \in [{{z}_{0}},{{z}_{1}}]$, поперечная переменная $y \in [{{y}_{0}},{{y}_{1}}]$ и продольная переменная x направлена вдоль течения, $x \in ( - \infty ,\infty )$.

В соответствии с методами исследования неустойчивости течений (см., например, [3]–[5]) представим отклонения безразмерного давления в виде бегущей вдоль оси x волны:

(0.1)

$p(x,y,z;t) = sin\left( {\pi n\frac{{y - {{y}_{0}}}}{{{{y}_{1}} - {{y}_{0}}}}} \right){{e}^{{ik(x - ct)}}}F\left( {\frac{z}{H}} \right),\quad n \in \mathbb{N},$

где k – волновое число возмущения вдоль координаты x, $({{y}_{1}} - {{y}_{0}}){\text{/}}n$ – масштаб возмущения в поперечном направлении y, H – вертикальный масштаб слоя, c – комплексная фазовая скорость, а $F(z{\text{/}}H)$ – искомый вертикальный профиль возмущения давления. В безразмерных переменных задача исследования неустойчивости течений с параболическими вертикальными профилями скорости $U(z)$ различной кривизны сводится к решению двух спектральных задач на единичном отрезке.

Задача I. На отрезке $z \in [0,1]$ найти комплекснозначные собственные функции (СФ) $F = F(z)$ и собственные значения (СЗ) “c” – решения уравнения

(0.2)

$(\alpha {{z}^{2}} + \beta z - c)(F{\kern 1pt} ''\, - {\text{Bu}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})F) - 2\alpha F = \frac{1}{{ik{\text{R}}}}({{F}^{{(IV)}}} - {\text{BuPr}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})F{\kern 1pt} ''),$

с краевыми условиями

(0.3)

$(1 - c)F{\kern 1pt} '(1) - (1 + \alpha )F(1) = \frac{1}{{ik{\text{R}}}}F{\kern 1pt} '''(1),\quad F{\kern 1pt} ''(1) = 0,$

(0.4)

$ - cF{\kern 1pt} '(0) - \beta F(0) = \frac{1}{{ik{\text{R}}}}F{\kern 1pt} '''(0),\quad F{\kern 1pt} ''(0) = 0,$

и при условии

(0.5)

$\alpha + \beta = 1,\quad \alpha \geqslant 0,\quad \beta \geqslant 0.$

Задача II. На отрезке $z \in [ - 1,0]$ найти комплекснозначные СФ $\Phi = \Phi (z)$ и СЗ $\tilde {c}$ – решения уравнения

(0.6)

$( - a{{z}^{2}} + bz + 1 - \tilde {c})(\Phi {\kern 1pt} ''\, - {\text{Bu}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\Phi ) + 2a\Phi = \frac{1}{{ik{\text{R}}}}({{\Phi }^{{(IV)}}} - {\text{BuPr}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\Phi {\kern 1pt} ''),$

с краевыми условиями

(0.7)

$ - \tilde {c}\Phi {\kern 1pt} '( - 1) - (1 + a)\Phi ( - 1) = \frac{1}{{ik{\text{R}}}}\Phi {\kern 1pt} '''( - 1),\quad \Phi {\kern 1pt} ''( - 1) = 0,$

(0.8)

$(1 - \tilde {c})\Phi {\kern 1pt} '(0) - b\Phi (0) = \frac{1}{{ik{\text{R}}}}\Phi {\kern 1pt} '''(0),\quad \Phi {\kern 1pt} ''(0) = 0,$

и при условии

(0.9)

$a + b = 1,\quad a \geqslant 0,\quad b \geqslant 0.$

В задачах I и II введены следующие обозначения: ${\text{R}} = {\text{Pe}}H{\text{/}}L$, Pe – число Пекле (аналог числа Рейнольдса), $H$ – вертикальный масштаб слоя, $L = {{y}_{1}} - {{y}_{0}}$ – поперечный масштаб течения, $n$ – число полуволн в поперечном направлении ($n = 1,2, \ldots $), Pr – число Прандтля, Bu – число Бургера, $i$ – мнимая единица.

Краевые условия в (0.3), (0.4), (0.7), (0.8) с участием третьих производных задают отсутствие протекания на горизонтальных границах слоев, а условия для вторых производных задают равенство нулю потоков плавучести.

Особенность обеих задач заключается в том, что возникающие операторы являются несамосопряженными, при старшей производной стоят малые коэффициенты (для реальных течений величина kR может быть очень большой), а спектральные параметры $c$ и $\widetilde c$ входят в уравнения и в краевые условия. В обеих задачах будет возникать счетное множество СФ и СЗ. Неустойчивые по времени возмущения давления $p(x,y,z;t)$ возникают для тех СФ, которым соответствуют СЗ c_m и ${{\tilde {c}}_{m}}$ с положительной мнимой частью ${\text{Im}}(c) > 0$ и ${\text{Im}}(\tilde {c}) > 0$, что следует из представления (0.1).

1. СИММЕТРИЯ СФ И СЗ ЗАДАЧ I И II

Докажем свойство симметрии задач I и II.

Tеорема. Собственные значения ${{c}_{n}}$ задачи (0.2)–(0.5) и собственные значения ${{\tilde {c}}_{n}}$ задачи (0.6)–(0.9) при вещественных параметрах α, β, $a$, $b$, $k$, R, Pr, Bu, $n = 1,2, \ldots $, и условии $\alpha = a$ обладают симметрией относительно прямой ${\text{Re}}({{\tilde {c}}_{n}}) = \frac{1}{2}$, т.е.

(1.1)

${\text{Re}}({{\tilde {c}}_{n}}) = 1 - {\text{Re}}({{c}_{n}}),\quad {\text{Im}}({{\tilde {c}}_{n}}) = {\text{Im}}({{c}_{n}}).$

Доказательство. В задаче II сделаем замену $z = - t$, тогда $t \in [0,1]$. Учтем теперь, что

(1.2)

$\frac{{d\Phi }}{{dz}} = - \frac{{d\Phi }}{{dt}},\quad \frac{{{{d}^{2}}\Phi }}{{d{{z}^{2}}}} = \frac{{{{d}^{2}}\Phi }}{{d{{t}^{2}}}},\quad \frac{{{{d}^{3}}\Phi }}{{d{{z}^{3}}}} = - \frac{{{{d}^{3}}\Phi }}{{d{{t}^{3}}}},\quad \frac{{{{d}^{4}}\Phi }}{{d{{z}^{4}}}} = \frac{{{{d}^{4}}\Phi }}{{d{{t}^{4}}}}.$

Перепишем задачу II для функции $\Phi (t),t \in [0,1]$:

(1.3)

$( - a{{t}^{2}} - bt + 1 - \tilde {c})(\Phi {\kern 1pt} ''\, - {\text{Bu}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\Phi ) + 2a\Phi = \frac{1}{{ikR}}({{\Phi }^{{(IV)}}} - {\text{BuPr}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\Phi {\kern 1pt} ''),$

(1.4)

$\tilde {c}\Phi {\kern 1pt} '(1) - (1 + a)\Phi (1) = \frac{{ - 1}}{{ikR}}\Phi {\kern 1pt} '''(1),\quad \Phi {\kern 1pt} ''(1) = 0,$

(1.5)

$ - (1 - \tilde {c})\Phi {\kern 1pt} '(0) - b\Phi (0) = \frac{{ - 1}}{{ikR}}\Phi {\kern 1pt} '''(0),\quad \Phi {\kern 1pt} ''(0) = 0.$

Обе части уравнения (1.3) умножим на (–1) и возьмем комплексное сопряжение в полученном уравнении и в (1.4), (1.5) (сопряженное значение будем обозначать чертой над функциями и параметром: $\overline \Phi $, $\bar {\tilde {c}}$). Учтем вещественность (за исключением СЗ) всех параметров исследуемых задач и аргумента t ∈ [0, 1], а также $\overline i = - i$ и запишем окончательно преобразованную задачу II:

(1.6)

$(a{{t}^{2}} + bt - 1 + \bar {\tilde {c}})(\overline {\Phi {\kern 1pt} ''} - {\text{Bu}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\overline \Phi ) - 2a\overline \Phi = \frac{1}{{ikR}}(\overline {{{\Phi }^{{(IV)}}}} - {\text{BuPr}}({{k}^{2}} + {{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\overline {\Phi {\kern 1pt} ''} ),$

(1.7)

$\bar {\tilde {c}}\overline {\Phi {\kern 1pt} '(1)} - (1 + a)\overline {\Phi (1)} = \frac{1}{{ikR}}\overline {\Phi {\kern 1pt} '''(1)} ,\quad \overline {\Phi {\kern 1pt} ''(1)} = 0,$

(1.8)

$ - (1 - \bar {\tilde {c}})\overline {\Phi {\kern 1pt} '(0)} - b\overline {\Phi (0)} = \frac{1}{{ikR}}\overline {\Phi {\kern 1pt} '''(0)} ,\quad \overline {\Phi {\kern 1pt} ''(0)} = 0.$

Сравнивая теперь задачу (0.2)–(0.4) с полученной задачей (1.6)–(1.8) при $a = \alpha $ (а в силу (0.5), (0.9) и при $b = \beta $), находим, что при условии

(1.9)

$c = 1 - \bar {\tilde {c}}$

решение F(z) совпадает с решением $\overline {\Phi (t)} $ при z = t, что и доказывает утверждение (1.1) теоремы о симметрии СЗ задач I и II. При этом СФ $F(z),z \in [0,1]$ и $\Phi (z),z \in [ - 1,0]$ обладают следующей симметрией:

(1.10)

$F(z) = \overline {\Phi ( - z)} ,\quad z \in [0,1].$

Теорема доказана.

2. МЕТОД РАСЧЕТА СФ И СЗ ЗАДАЧИ I

Из анализа уравнения (0.2) задачи I следует, что собственные функции F(z) являются целыми функциями, поэтому расчет F(z) и соответствующих СЗ c основан на построении степенных разложений F(z) в граничных точках z = 0 и z = 1 и их гладкой сшивке в некоторой точке ${{z}_{ * }} \in (0,1)$ (см. [5]–[7]).

Пусть спектральный параметр $c$ зафиксирован. Тогда $F(c;z)$ – решение уравнения (0.2) – представим в виде следующих разложений в точках z = 0 и z = 1:

(2.1)

$F(c;z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,{{a}_{m}}(c){{(z - 1)}^{m}},\quad F(c;z) = \sum\limits_{m = 0}^\infty \,{{b}_{m}}(c){{z}^{m}},$

сходящихся при всех $z,{\text{|}}z{\text{|}} < \infty $. Подставляя представления (2.1) в уравнение (0.2), получаем соотношения для коэффициентов a_m и b_m:

${{a}_{{m + 4}}} = {\text{\{ }}(m + 1)(m + 2)[{\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) + (1 - c)ik{\text{R}}]{{a}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}m(m + 1){{a}_{{m + 1}}} + $

$ + \,ik{\text{R}}[{\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})(c - 1) - 2\alpha + \alpha m(m - 1)]{{a}_{m}} - ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})(1 + \alpha ){{a}_{{m - 1}}} - $

(2.2)

$ - \,ik{\text{R}}\alpha {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}){{a}_{{m - 2}}}{\text{\} }}{{[(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)]}^{{ - 1}}},$

${{b}_{{m + 4}}} = {\text{\{ }}(m + 1)(m + 2)[{\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}}) - ik{\text{R}}c]{{b}_{{m + 2}}} + ik{\text{R}}m(m + 1)\beta {{b}_{{m + 1}}} + $

$ + \,ik{\text{R}}[{\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})c - 2\alpha + \alpha m(m - 1)]{{b}_{m}} - ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})\beta {{b}_{{m - 1}}} - $

(2.3)

$ - \,ik{\text{RBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})\alpha {{b}_{{m - 2}}}{\text{\} }}{{[(m + 1)(m + 2)(m + 3)(m + 4)]}^{{ - 1}}}.$

Асимптотическое поведение коэффициентов a_m и b_m с ростом номера m может быть получено на основе теории Пуанкаре–Перрона анализа рекуррентных уравнений (см. [9]), что дает для коэффициентов a_m и b_m из (2.2) и (2.3) асимптотику

$\frac{{{{a}_{{m + 1}}}}}{{{{a}_{m}}}} \sim \frac{{{{p}_{a}}}}{{\sqrt m }},\quad \frac{{{{b}_{{m + 1}}}}}{{{{b}_{m}}}} \sim \frac{{{{p}_{b}}}}{{\sqrt m }},\quad m \to \infty ,\quad {{p}_{a}},{{p}_{b}} \ne 0,$

которая обеспечивает быструю сходимость разложений (2.1) на отрезке $z \in [0,1]$.

Краевые условия (0.3), (0.4) дают связь коэффициентов a_m и b_m, $m = 0,1,2,3$:

(2.4)

${{a}_{2}} = 0,\quad {{a}_{3}} = \frac{{ik{\text{R}}}}{6}[(1 - c){{a}_{1}} - (1 + \alpha ){{a}_{0}}],\quad {{b}_{2}} = 0,\quad {{b}_{3}} = - \frac{{ik{\text{R}}}}{6}(c{{b}_{1}} + \beta {{b}_{0}}).$

Теперь построим функцию ${{F}_{1}}(c;z)$ в виде первого разложения (2.1), задав коэффициенты $a_{0}^{{(1)}}$ и $a_{1}^{{(1)}}$ следующими:

$a_{0}^{{(1)}} = 1,\quad a_{1}^{{(1)}} = 0,$

коэффициенты $a_{2}^{{(1)}}$ и $a_{3}^{{(1)}}$ определив из (2.4), а все последующие $a_{m}^{{(1)}}$ вычислив из соотношения (2.2), где дополнительно полагаем $a_{{ - 1}}^{{(1)}} = a_{{ - 2}}^{{(1)}} = 0$.

Аналогично этому строим вторую функцию ${{F}_{2}}(c;z)$ в виде разложения в точке z = 1, но задав $a_{0}^{{(2)}}$ и $a_{1}^{{(2)}}$ следующими:

$a_{0}^{{(2)}} = 0,\quad a_{1}^{{(2)}} = 1.$

Тогда общее решение $F(c;z)$ уравнения (0.2) с краевыми условиями (0.3) в точке z = 1 есть линейная комбинация ${{F}_{1}}(c;z)$ и ${{F}_{2}}(c;z)$:

(2.5)

$F(c;z) = {{t}_{1}}{{F}_{1}}(c;z) + {{t}_{2}}{{F}_{2}}(c;z),$

с произвольными весовыми коэффициентами t₁ и t₂.

Теперь построим две функции ${{F}_{3}}(c;z)$ и ${{F}_{4}}(c;z)$ в виде вторых разложений (2.1), задав коэффициенты $b_{0}^{{(1)}}$, $b_{1}^{{(1)}}$ и $b_{0}^{{(2)}}$, $b_{1}^{{(2)}}$:

$b_{0}^{{(1)}} = 1,\quad b_{1}^{{(1)}} = 0,\quad b_{0}^{{(2)}} = 0,\quad b_{1}^{{(2)}} = 1,$

положив b₂ и b₃ в соответствии с (2.4), а все последующие коэффициенты b_m для обоих разложений вычислив из соотношения (2.3) с учетом равенства $b_{{ - 1}}^{{(1)}} = b_{{ - 1}}^{{(2)}} = 0$.

Тогда общее решение $F(c;z)$ уравнения (0.2) с краевыми условиями (0.4) в точке z = 0 есть линейная комбинация ${{F}_{3}}(c;z)$ и ${{F}_{4}}(c;z)$:

(2.6)

$F(c;z) = {{t}_{3}}{{F}_{3}}(c;z) + {{t}_{4}}{{F}_{4}}(c;z),$

с произвольными весовыми коэффициентами t₃ и t₄.

Теперь задачу построения СФ и вычисления СЗ задачи I (0.2)–(0.5) сведем к сшивке в некоторой точке ${{z}_{ * }} \in (0,1)$ комбинаций $(2.5)$ и $(2.6)$ и их первых трех производных:

(2.7)

${{t}_{1}}F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }}) + {{t}_{2}}F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }}) - {{t}_{3}}F_{3}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }}) - {{t}_{4}}F_{4}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }}) = 0,\quad p = 0,1,2,3.$

Нетривиальное решение системы (2.7) возможно только в случае равенства нулю вронскиана $W({{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}},{{F}_{4}})$:

(2.8)

$W({{F}_{1}},{{F}_{2}},{{F}_{3}},{{F}_{4}};c;{{z}_{ * }}) = 0.$

Решая это уравнение, находим искомую комплексную скорость бегущей волны c, зависящую от параметров задачи (0.2)–(0.5), и весовые коэффициенты ${{t}_{1}},{{t}_{2}},{{t}_{3}},{{t}_{4}}$.

Решение уравнения (2.8) будем строить с помощью итерационного метода Ньютона:

(2.9)

${{c}^{{(q + 1)}}} = {{c}^{{(q)}}} - W(...;{{c}^{{(q)}}};{{z}_{ * }}){{\left[ {\frac{{\partial W(...;{{c}^{{(q)}}};{{z}_{ * }})}}{{\partial c}}} \right]}^{{ - 1}}},\quad q = 0,1, \ldots ,$

а начальные приближения c⁽⁰⁾ будем брать на основе метода продолжения по параметру k и из представленных ниже асимптотических разложений при k → 0.

Необходимая для метода Ньютона производная $\partial W(...;c;{{z}_{ * }}){\text{/}}\partial c$ от вронскиана (2.8) системы (2.7) находилась с помощью явного дифференцирования по спектральному параметру c разложений для всех производных $F_{1}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$, $F_{2}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$, $F_{3}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$, $F_{4}^{{(p)}}(c;{{z}_{ * }})$ при $p = 0,1,2,3$. Такое вычисление явной производной $\partial W(...;c;{{z}_{ * }}){\text{/}}\partial c$ позволило избежать использования конечно-разностной производной

$\frac{{W(...;c + \Delta c;{{z}_{ * }}) - W(...;c;{{z}_{ * }})}}{{\Delta c}}$

и связанной с ней потери точности при малых |Δc|.

3. АСИМПТОТИКА СФ И СЗ ЗАДАЧИ I ПРИ k → 0

Построим при k → 0 асимптотическое разложение СФ и СЗ при ненулевых параметрах R, Bu, Pr и $n \in \mathbb{N}$. Здесь необходимо отдельно рассмотреть два варианта: случай конечных (ограниченных) СЗ и случай неограниченных СЗ.

3.1. Ограниченные СЗ

Исследуем сначала асимптотическое разложение при k → 0 для СФ и СЗ задачи I (0.2)–(0.5) при условии, что СЗ имеет конечный предел.

Введем следующую сдвижку аргумента $z$ и СЗ c:

(3.1)

$z = w + \frac{1}{2},\quad c = \omega + \frac{1}{2}.$

Тогда уравнение (0.2) для F(w) и краевые условия (0.3), (0.4) примут следующий вид на отрезке $w \in \left[ { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right]$:

(3.2)

${{F}^{{(4)}}} - {\text{PrBu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F{\kern 1pt} '' = ik{\text{R}}\left\{ {\left( {\alpha {{w}^{2}} + w - \frac{\alpha }{4} - \omega } \right)[F{\kern 1pt} ''\, - {\text{Bu}}({{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + {{k}^{2}})F] - 2\alpha F} \right\},$

(3.3)

$F{\kern 1pt} '''\left( { - \frac{1}{2}} \right) = ik{\text{R}}\left[ { - \left( {\frac{1}{2} + \omega } \right)F{\kern 1pt} '\left( { - \frac{1}{2}} \right) - (1 - \alpha )F\left( { - \frac{1}{2}} \right)} \right],\quad F{\kern 1pt} ''\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0,$

(3.4)

$F{\kern 1pt} '''\left( {\frac{1}{2}} \right) = ik{\text{R}}\left[ {\left( {\frac{1}{2} - \omega } \right)F{\kern 1pt} '\left( {\frac{1}{2}} \right) - (1 + \alpha )F\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right],\quad F{\kern 1pt} ''\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0.$

Используя методы асимптотического анализа (см. [10], [11]), представим решение задачи (3.2)–(3.4) и соответствующее СЗ ω(k) в виде разложения по степеням малого параметра $ik{\text{R}}$:

(3.5)

$F(k;w) = {{\varphi }_{0}}(w) + ik{\text{R}}{{\varphi }_{1}}(w) + {{(ik{\text{R}})}^{2}}{{\varphi }_{2}}(w) + \ldots ,$

(3.6)

$\omega (k) = {{\omega }_{0}} + ik{\text{R}}{{\omega }_{1}} + {{(ik{\text{R}})}^{2}}{{\omega }_{2}} + \ldots ,\quad k \to 0.$

Подстановка (3.5), (3.6) в уравнение (3.2) и краевые условия (3.3), (3.4) приводит к цепочке краевых задач для ${{\varphi }_{0}}(w)$, ${{\varphi }_{1}}(w)$, … . Первая из них, для ${{\varphi }_{0}}(w)$, имеет вид

(3.7)

$\varphi _{0}^{{''''}}(w) - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}\varphi _{0}^{{''}}(w) = 0,$

(3.8)

$\varphi _{0}^{{'''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \varphi _{0}^{{''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0,\quad \varphi _{0}^{{'''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \varphi _{0}^{{''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0.$

Решением (3.7), (3.8) является линейная функция

(3.9)

${{\varphi }_{0}}(w) = {{A}_{0}} + {{B}_{0}}w\quad \forall {{A}_{0}},{{B}_{0}}.$

Далее, для функции ${{\varphi }_{1}}(w)$ и величины ω₀ имеем уравнение

(3.10)

$\varphi _{1}^{{''''}}(w) - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}\varphi _{1}^{{''}}(w) = - \left[ {\left( {\alpha {{w}^{2}} + w - \frac{\alpha }{4} - {{\omega }_{0}}} \right){\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} + 2\alpha } \right]{{\varphi }_{0}}(w)$

и краевые условия

(3.11)

$\varphi _{1}^{{'''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \left( {\frac{1}{2} + {{\omega }_{0}}} \right)\varphi _{0}^{'}\left( { - \frac{1}{2}} \right) - (1 - \alpha ){{\varphi }_{0}}\left( { - \frac{1}{2}} \right),\quad \varphi _{1}^{{''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0,$

(3.12)

$\varphi _{1}^{{''''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = \left( {\frac{1}{2} - {{\omega }_{0}}} \right)\varphi _{0}^{'}\left( {\frac{1}{2}} \right) - (1 + \alpha ){{\varphi }_{0}}\left( {\frac{1}{2}} \right),\quad \varphi _{1}^{{''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0.$

Решение уравнения (3.10) ищем в виде суммы ${{\varphi }_{1}} = {{\varphi }_{h}} + {{\varphi }_{{nh}}}$, где φ_h – общее решение однородного уравнения, а ${{\varphi }_{{nh}}}$ – частное решение неоднородного уравнения. Учитывая вид (3.9) для φ₀, выводим следующее представление для функции ${{\varphi }_{{nh}}}(w)$:

(3.13)

${{\varphi }_{{nh}}}(w) = {{D}_{2}}{{w}^{2}} + {{D}_{3}}{{w}^{3}} + {{D}_{4}}{{w}^{4}} + {{D}_{5}}{{w}^{5}},$

где

${{D}_{2}} = \frac{{{{A}_{0}}}}{{2{\text{Pr}}}}\left[ {\frac{{2\alpha ({\text{Pr}} + 1)}}{{{\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}}} - \frac{\alpha }{4} - {{\omega }_{0}}} \right] + \frac{{{{B}_{0}}}}{{{{{\Pr }}^{2}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}}},\quad \quad {{D}_{3}} = \frac{{{{A}_{0}}}}{{6{\text{Pr}}}} + \frac{{{{B}_{0}}}}{{6{\text{Pr}}}}\left[ {\frac{{2\alpha ({\text{Pr}} + 3)}}{{{\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}}} - \frac{\alpha }{4} - {{\omega }_{0}}} \right],$

(3.14)

${{D}_{4}} = \frac{\alpha }{{12{\text{Pr}}}}{{A}_{0}} + \frac{1}{{12{\text{Pr}}}}{{B}_{0}},\quad {{D}_{5}} = \frac{\alpha }{{20{\text{Pr}}}}{{B}_{0}}.$

Решение ${{\varphi }_{h}}(w)$ запишем в форме

(3.15)

${{\varphi }_{h}}(w) = {{A}_{1}}{\text{sh}}\lambda w + {{B}_{1}}{\text{ch}}\lambda w + {{D}_{0}} + {{D}_{1}}w,\quad \lambda = \pi n\sqrt {{\text{PrBu}}} ,$

с произвольными константами ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{D}_{0}}$ и D₁. Тогда, подставляя решение ${{\varphi }_{1}} = {{\varphi }_{h}} + {{\varphi }_{{nh}}}$ в краевые условия (3.11), (3.12), получаем систему для искомых коэффициентов A₁ и B₁:

${{\lambda }^{2}}{{B}_{1}}{\text{ch}}\frac{\lambda }{2} + 2{{D}_{2}} + 3{{D}_{4}} = 0,\quad {{\lambda }^{2}}{{A}_{1}}{\text{sh}}\frac{\lambda }{2} + 3{{D}_{3}} + \frac{5}{2}{{D}_{5}} = 0,$

${{\lambda }^{3}}\left( {{{A}_{1}}{\text{ch}}\frac{\lambda }{2} - {{B}_{1}}{\text{sh}}\frac{\lambda }{2}} \right) + 6{{D}_{3}} - 12{{D}_{4}} + 15{{D}_{5}} + (1 - \alpha ){{A}_{0}} + \left( {{{\omega }_{0}} + \frac{\alpha }{2}} \right){{B}_{0}} = 0,$

${{\lambda }^{3}}\left( {{{A}_{1}}{\text{ch}}\frac{\lambda }{2} + {{B}_{1}}{\text{sh}}\frac{\lambda }{2}} \right) + 6{{D}_{3}} + 12{{D}_{4}} + 15{{D}_{5}} + (1 + \alpha ){{A}_{0}} + \left( {{{\omega }_{0}} + \frac{\alpha }{2}} \right){{B}_{0}} = 0.$

Учитывая соотношения (3.14) и разрешая эту систему относительно A₁ и B₁, получаем систему относительно коэффициентов A₀ и B₀ в представлении ${{\varphi }_{0}}(z)$ из (3.9):

$\left[ {\left( {\frac{2}{\lambda } + \frac{\lambda }{4}} \right){\text{sh}}\frac{\lambda }{2} - {\text{ch}}\frac{\lambda }{2}} \right]{{B}_{0}} + \left[ {\frac{{2\alpha ({\text{Pr}} + 1)}}{\lambda }{\text{sh}}\frac{\lambda }{2} - \alpha ({\text{Pr}} + 1){\text{ch}}\frac{\lambda }{2} - {{\omega }_{0}}\lambda {\text{sh}}\frac{\lambda }{2}} \right]{{A}_{0}} = 0,$

$\left[ {\frac{{\alpha ({\text{Pr}} + 3)}}{\lambda }{\text{ch}}\frac{\lambda }{2} - \frac{{2\alpha ({\text{Pr}} + 3)}}{{{{\lambda }^{2}}}}{\text{sh}}\frac{\lambda }{2} - \frac{\alpha }{2}({\text{Pr}} + 1){\text{sh}}\frac{\lambda }{2} - {{\omega }_{0}}\left( {\frac{\lambda }{2}{\text{ch}}\frac{\lambda }{2} + ({\text{Pr}} - 1){\text{sh}}\frac{\lambda }{2}} \right)} \right]{{B}_{0}} + $

(3.16)

$ + \,\left[ {\frac{\lambda }{2}{\text{ch}}\frac{\lambda }{2} - ({\text{Pr}} + 1){\text{sh}}\frac{\lambda }{2}} \right]{{A}_{0}} = 0.$

Для нетривиальности решения системы (3.16) необходимо равенство нулю ее детерминанта, что приводит к квадратному уравнению для искомой величины ω₀:

(3.17)

${{Q}_{2}}\omega _{0}^{2} - {{Q}_{1}}{{\omega }_{0}} + {{Q}_{0}} = 0,$

где

${{Q}_{2}} = \lambda {\text{th}}\frac{\lambda }{2}\left[ {\frac{\lambda }{2} + ({\text{Pr}} - 1)\frac{\lambda }{2}} \right],$

(3.18)

${{Q}_{1}} = \alpha {\text{th}}\frac{\lambda }{2}\left[ {{\text{Pr}} + 3 - \left[ {\frac{\lambda }{2}({\text{Pr}} + 1) + \frac{2}{\lambda }({\text{Pr}} + 3)} \right]{\text{th}}\frac{\lambda }{2}} \right] + \alpha \left[ {\frac{\lambda }{2} + ({\text{Pr}} - 1){\text{th}}\frac{\lambda }{2}} \right]({\text{Pr}} + 1)\left( {\frac{2}{\lambda }{\text{th}}\frac{\lambda }{2} - 1} \right),$

${{Q}_{0}} = {{\alpha }^{2}}({\text{Pr}} + 1)\left( {\frac{2}{\lambda }{\text{th}}\frac{\lambda }{2} - 1} \right)\left[ {\frac{{{\text{Pr}} + 3}}{\lambda } - \left[ {\frac{{{\text{Pr}} + 1}}{2} + \frac{2}{{{{\lambda }^{2}}}}({\text{Pr}} + 3)} \right]{\text{th}}\frac{\lambda }{2}} \right] - $

$ - \,\left[ {\left( {\frac{2}{\lambda } + \frac{\lambda }{4}} \right){\text{th}}\frac{\lambda }{2} - 1} \right]\left[ {\frac{\lambda }{2} - ({\text{Pr}} + 1){\text{th}}\frac{\lambda }{2}} \right].$

Решая уравнение (3.17) и учитывая связь (3.1) между параметрами c и ω, получаем главный член c₀ в разложении двух СЗ при k → 0:

(3.19)

${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}} = \frac{1}{2} + \frac{{{{Q}_{1}} \pm \sqrt {Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}}} }}{{2{{Q}_{2}}}}.$

Коэффициенты ${{Q}_{0}},{{Q}_{1}},{{Q}_{2}}$ в дисперсионном уравнении (3.17) вещественны, поэтому вещественность значений ${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$ в (3.19) зависит от знака дискриминанта $D = Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}}$. При D < 0 два СЗ ${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$ комплексносопряженные, одно из них лежит в верхней полуплоскости ${\text{Im}}{{c}_{0}} > 0$, а значит, при малых волновых числах k в силу представления (3.1), (3.6) оно обеспечивает условие ${\text{Im}}c > 0$, что приводит к неустойчивости исследуемого течения.

При $D = Q_{1}^{2} - 4{{Q}_{0}}{{Q}_{2}} > 0$ оба значения ${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$, как видно из (3.19), лежат на оси ${\text{Im}}{{c}_{0}} = 0$, а значит, при $k \to + 0$ это практически соответствует нейтральности возмущений с точностью до первого члена разложения (3.6).

Теперь рассмотрим случай достаточно широких течений, которым соответствуют значения параметра Bu ≪ 1; при этом значения Pr ~ 1. Тогда, учитывая определение λ в (3.15), заключаем, что при не слишком больших значениях $n$ величина λ ≪ 1. Разложим выражения ${{Q}_{0}}$, ${{Q}_{1}}$ и ${{Q}_{2}}$ из равенств (3.18) в ряд по малому параметру λ, что позволяет получить для ${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}}$ главный член:

(3.20)

${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}} = \frac{1}{2} \pm \left[ {\frac{{\alpha ({\text{Pr}} + 3)}}{{12}} - \frac{{\sqrt {{{\alpha }^{2}}{{{({\text{Pr}} - 1)}}^{2}} - 12} }}{{12}}} \right] + O({{\lambda }^{2}}).$

Из (3.20) в частном случае α = 0 следует результат, ранее полученный в [6], что в исходной задаче ограниченные СЗ при k → 0 имеют следующую асимптотику при малых $\lambda = \pi n\sqrt {{\text{PrBu}}} $:

${{c}_{{{{0}_{{1,2}}}}}} = \frac{1}{2} \pm i\frac{{\sqrt 3 }}{6} + O({{\lambda }^{2}}).$

Отсюда получаем, что исследуемое течение с такими параметрами является неустойчивым.

3.2. Неограниченные СЗ

Построение асимптотического разложения при k → 0 для СФ и неограниченно растущих СЗ задачи (0.2)–(0.5) проводится так же, как это было сделано в [6].

Домножая обе части уравнения (0.2) и краевого условия (0.4) на величину $ik{\text{R}}$, вводя сдвижку $z = \frac{1}{2} + w$, обозначая $\tilde {C} = ik{\text{R}}\left( {c - \frac{1}{2}} \right)$ и представляя функциию F(w) и значение $\tilde {C}$ в виде ряда по степеням малого параметра $ik{\text{R}}$,

(3.21)

$F(w) = {{\varphi }_{0}}(w) + ik{\text{R}}{{\varphi }_{1}}(w) + \ldots ,\quad \widetilde C = ik{\text{R}}\left( {c - \frac{1}{2}} \right) = {{\chi }_{0}} + ik{\text{R}}{{\chi }_{1}} + \ldots ,$

получаем цепочку краевых задач для ${{\varphi }_{0}}(w),{{\varphi }_{1}}(w), \ldots $ . Первая из них для ${{\varphi }_{0}}(w)$ и χ₀ имеет вид

(3.22)

$\varphi _{0}^{{''''}}(w) + ({{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}})\varphi _{0}^{{''}}(w) - {{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}{{\varphi }_{0}}(w) = 0,$

(3.23)

$\varphi _{0}^{{'''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = - {{\chi }_{0}}\varphi _{0}^{'}\left( {\frac{1}{2}} \right),\quad \varphi _{0}^{{''}}\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0,\quad \varphi _{0}^{{'''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - {{\chi }_{0}}\varphi _{0}^{'}\left( { - \frac{1}{2}} \right),\quad \varphi _{0}^{{''}}\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0.$

Представляя решение уравнения (3.22) в виде

(3.24)

${{\varphi }_{0}}(w) = Acos(\lambda w) + Bsin(\lambda w),$

получаем для λ характеристическое уравнение

(3.25)

${{\lambda }^{4}} - ({{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}){{\lambda }^{2}} - {{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} = 0.$

Некратные корни $\lambda _{1}^{2}$ и $\lambda _{2}^{2}$ ($\lambda _{1}^{2} \ne \lambda _{2}^{2}$) этого уравнения возникают при условии неравенства нулю его дискриминанта, т.е.

(3.26)

$\mathop {({{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}})}\nolimits^2 + 4{{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} \ne 0;$

в дальнейшем рассмотрении ограничимся только этим условием.

Решение уравнения (3.25) запишем относительно величин ${{q}_{1}} = \lambda _{1}^{2}$ и ${{q}_{2}} = \lambda _{2}^{2}$:

(3.27)

${{q}_{{1,2}}} = \frac{1}{2}\left[ {{{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}} \pm \sqrt {\mathop {({{\chi }_{0}} - {\text{PrBu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}})}\nolimits^2 + 4{{\chi }_{0}}{\text{Bu}}{{\pi }^{2}}{{n}^{2}}} } \right].$

Дальнеший анализ задачи (3.22), (3.23) аналогичен решению задачи для μ = 0 в [6], поэтому приведем здесь окончательные результаты для асимптотики СЗ и СФ.

3.2.1. Решения ${{\varphi }_{0}}(w)$ вида ${\mathbf{cos}}(\lambda w)$. Представляя решение ${{\varphi }_{0}}(w)$ уравнения (3.22) в виде

(3.28)

${{\varphi }_{0}}(w) = {{A}_{1}}cos(\sqrt {{{q}_{1}}} w) + {{A}_{2}}cos(\sqrt {{{q}_{2}}} w),$

получаем для χ₀ трансцендентное уравнение

(3.29)

$\sqrt {{{q}_{2}}} ({{q}_{1}} - {{\chi }_{0}})sin\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2}cos\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2} = \sqrt {{{q}_{1}}} ({{q}_{2}} - {{\chi }_{0}})sin\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2}cos\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2},$

где q₁ и q₂ определены в (3.27). Решая (3.29) численно и проверяя условие некратности корней (3.26), получаем счетное множество искомых коэффициентов χ₀ в представлении (3.21).

В частных случаях уравнение (3.29) имеет явные решения. Например, при Pr = 1 получаем условие $cos\frac{{\sqrt {{{\chi }_{0}}} }}{2} = 0$, решение которого есть

(3.30)

${{\chi }_{{0,m}}} = {{\pi }^{2}}{{(1 + 2m)}^{2}},\quad m = 0,1,2,...\;.$

Тогда счетное множество СЗ исходной задачи, неограниченно растущих при k → 0 и Pr = 1, имеют асимптотику

(3.31)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{(1 + 2m)}^{2}} + \frac{1}{2} + O(1),\quad k \to 0,\quad m = 0,1,2,...\;.$

3.2.2. Решения ${{\varphi }_{0}}(w)$ вида ${\mathbf{sin}}(\lambda w)$. Представляя решение ${{\varphi }_{0}}(w)$ уравнения (3.22) в виде

(3.32)

${{\varphi }_{0}}(w) = {{B}_{1}}sin(\sqrt {{{q}_{1}}} w) + {{B}_{2}}sin(\sqrt {{{q}_{2}}} w),$

получаем для χ₀ трансцендентное уравнение

(3.33)

$\sqrt {{{q}_{2}}} ({{q}_{1}} - {{\chi }_{0}})cos\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2}sin\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2} = \sqrt {{{q}_{1}}} ({{q}_{2}} - {{\chi }_{0}})cos\frac{{\sqrt {{{q}_{2}}} }}{2}sin\frac{{\sqrt {{{q}_{1}}} }}{2},$

где q₁ и q₂ определены в (3.27). Решая (3.33) численно и проверяя условие некратности корней (3.26), получаем счетное множество искомых коэффициентов χ₀ в представлении (3.21).

В частных случаях уравнение (3.33) имеет явные решения. Например, при Pr = 1, аналогично п. 3.2.1, для χ₀ получаем уравнение $sin\frac{{\sqrt {{{\chi }_{0}}} }}{2} = 0$. Множество его решений ${{\chi }_{{0,m}}}$ имеет вид

(3.34)

${{\chi }_{{0,m}}} = {{\pi }^{2}}4{{m}^{2}},\quad m = 1,2,...\;.$

Таким образом, в исходной задаче для решений вида (3.32) возникает счетное множество СЗ, неограниченно растущих при k → 0; при Pr = 1 первые члены их асимптотики имеют вид

(3.35)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}4{{m}^{2}} + \frac{1}{2} + O(1),\quad k \to 0,\quad m = 1,2,...\;.$

Объединяя вместе результаты (3.31) и (3.35), получаем, что в задаче при Pr = 1 первые члены асимптотики множества неограниченно растущих СЗ имеют вид

(3.36)

${{c}_{m}} = - i\frac{{{{\pi }^{2}}}}{{k{\text{R}}}}{{m}^{2}} + \frac{1}{2} + O(1),\quad m = 1,2,...,\quad k \to 0.$

4. ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА

Для проверки результатов расчета СЗ и СФ исходной задачи (0.2)–(0.5) были проведены многочисленные расчеты в широком диапазоне физических параметров Pr, Bu, R и $n$, параметров α, β и волновых чисел $k$. При этом варьировалась длина обрываемых разложений (2.1) и их производных по $z$ и по $c$, значительно увеличивалась мантисса в используемой арифметике, изменялась точка сшивки ${{z}_{ * }} \in (0,1)$ разложений в системе (2.7). Итерационный метод Ньютона (2.9) строился так, что начальное приближение c⁽⁰⁾ при малых k бралось из асимптотических разложений, построенных в разд. 3, а при увеличении k использовался метод продолжения по параметру. Дополнительным инструментом проверки наличия СЗ в некоторой области $\mathcal{D}$ на комплексной плоскости “c” служил обобщенный принцип аргумента (см. [12]) для аналитической в области $\mathcal{D}$ функции $W(c)$,

(4.1)

$K = \frac{1}{{2\pi i}}\oint\limits_{\partial{ \mathcal{D}}} {\frac{{W'(...;c;{{z}_{*}})}}{{W(...;c;{{z}_{*}})}}} dc,\quad \sum\limits_{p = 1}^K {{{c}_{p}} = \frac{1}{{2\pi i}}} \oint\limits_{\partial{ \mathcal{D}}} {c\frac{{W'(...;c;{{z}_{*}})}}{{W(...;c;{{z}_{*}})}}} dc,$

где $W(...;c;{{z}_{ * }})$ – вронскиан (2.8) четырех независимых решений, вычисляемых в точке сшивки ${{z}_{ * }}$, $K$ – число комплексных нулей функции $W(...;c;{{z}_{ * }})$ внутри области $\mathcal{D}$, $\sum\nolimits_{p = 1}^K \,{{c}_{p}}$ – сумма координат этих нулей. В качестве области $\mathcal{D}$ выбирался круг в комплексной плоскости спектрального параметра c, а интегрирование по границе $\partial{ \mathcal{D}}$ проводилось с помощью квадратур Гаусса.

Для случая α = 0 результаты расчета СЗ полностью совпали с СЗ, найденными в [6]. Отметим, что в этом случае возникают двойные СЗ с вещественной частью ${\text{Re}}(c) = 1{\text{/}}2$ при определенных волновых числах ${{k}_{ * }}$, которые также совпали с двойными СЗ в [6]. Такое поведение исследуемых СЗ имеет много схожего с траекториями СЗ в задаче Орра–Зоммерфельда для течения Куэтта (см. [13], [14]).

В окрестности этих значений ${{k}_{ * }}$ метод Ньютона (2.9) начинал сходиться очень медленно, что связано со стремлением к нулю не только вронскиана W(c) (см. (2.8)), но и его производной $W{\kern 1pt} '(c)$ в точке ветвления ${{c}_{m}}({{k}_{ * }})$. Исключение этой неопределенности типа 0/0 приводит к необходимости использования модификации метода Ньютона с включением второй производной:

(4.2)

${{c}^{{(q + 1)}}} = {{c}^{{(q)}}} - T \pm \sqrt {{{T}^{2}} - \frac{{2W({{c}^{{(q)}}})}}{{W{\kern 1pt} ''({{c}^{{(q)}}})}}} ,\quad T = \frac{{W{\kern 1pt} '({{c}^{{(q)}}})}}{{W{\kern 1pt} ''({{c}^{{(q)}}})}},\quad q = 0,1, \ldots ,$

причем знаки ± выбираются так, чтобы обеспечить непрерывность обеих ветвей двух функций ${{c}_{m}}(k)$ и ${{c}_{{m + 1}}}(k)$. Второй порядок ветвления функций ${{c}_{m}}(k)$ и ${{c}_{{m + 1}}}(k)$ в окрестности точек ${{k}_{ * }}$ обеспечивает численную устойчивость итерационного процесса (4.2) и его быструю сходимость.

Совокупность описанных методов позволила гарантированно вычислять СЗ и СФ, а также двойные СЗ ${{c}_{m}}({{k}_{ * }})$ с относительной точностью не менее 20–40 верных десятичных значащих цифр.

5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Приведем результаты расчетов спектра задач I и II для различных параметров α, β, Pr, Bu, R, $n$ и волновых чисел k.

На фиг. 1 в плоскости комплексного c приведены траектории первых двух СЗ ${{c}_{1}}(k)$ и ${{c}_{2}}(k)$ задачи (0.2)–(0.5) при возрастании числа $k \in (0,2000]$ для различных значений α.

Фиг. 1.

Траектории первых двух СЗ задачи I при α = 0 (а), при $\alpha = 0.1$ (б), при $\alpha = 0.8$ (в) для параметров ${\text{R}} = 1$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $n = 1$ и $k \in (0,2000]$. Точки “1” и “4” соответствуют СЗ при $k = 1$, точки “2” и “5” – СЗ при k = 220, точки “3” и “6” – СЗ при k = 1000; (г) – для наглядности показаны эти траектории при α = 0 (тонкая сплошная линия), при $\alpha = 0.1$ (толстая сплошная линия), при $\alpha = 0.8$ (штриховая линия).

Согласно траекториям, представленным на фиг. 1, кривизна профиля скорости течения, возникающая из-за учета вертикального линейного сдвига скорости ($\alpha \ne 0$ ), существенно влияет на фазовые скорости как устойчивых, так и неустойчивых возмущений. При постоянном сдвиге течения (фиг. 1а), т.е. при α = 0, фазовые скорости возмущений имеют постоянную фазовую скорость в широком диапазоне волновых чисел k (вплоть до k ~ 1000), в то время как с учетом линейного сдвига фазовые скорости возмущений зависят от волнового числа во всем рассмотренном диапазоне $k \in (0,2500]$ (фиг. 1б, 1в).

На фиг. 2 приведены траектории первых двух СЗ ${{c}_{1}}(k)$ и ${{c}_{2}}(k)$ задачи I при $\alpha = 0.1$ (показаны сплошными линиями) и траектории первых двух СЗ задачи II при $a = 0.1$ (показаны штриховыми линиями). Представленные траектории иллюстрируют доказанное в разд. 1 свойство симметрии СЗ задач I и II.

Фиг. 2.

Траектории первых двух СЗ при $\alpha = 0.1$ задачи I (сплошные линии) и при $a = 0.1$ задачи II (штриховые линии) для параметров ${\text{R}} = 1$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $n = 1$, $k \in (0,2000]$.

На фиг. 3 для задачи I показаны зависимости от волнового числа k величины $G(k) = k{\text{Im}}(c)$. При ${\text{Im}}(c) > 0$ значение G есть инкремент роста (или скорость роста) неустойчивых возмущений, обратная величина к которому равняется времени увеличения начальной амплитуды возмущения в $e$ раз.

Фиг. 3.

Зависимость $G(k)$ при α = 0 (тонкая сплошная линия), при $\alpha = 0.1$ (толстая сплошная линия), при $\alpha = 0.8$ (штриховая линия). Фиг. 3а соответствует параметрам ${\text{R}} = 1$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $n = 1$; фиг. 3б – параметрам ${\text{R}} = 100$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{Bu}} = 1$, $n = 1$.

На фиг. 3а даны зависимости $G(k)$ для широких течений при различных α, а на фиг. 3б – для узких течений. Как видно из представленных результатов, для широких течений величина $G(k)$ достигает максимума при $k \approx 230$, а для узких течений – при $k \approx 4.4$. Эти результаты показывают, что с увеличением величины α скорость роста всех неустойчивых возмущений возрастает. Доказательство того, что узкие течения (при ${\text{Bu}} \geqslant 1$) с постоянным вертикальным сдвигом скорости могут быть неустойчивыми, впервые было получено в [6], [8]. Рассмотренные здесь задачи анализа неустойчивости течения с более сложным вертикальным профилем скорости подтверждают этот результат.

Учитывая, что в океане максимальная скорость течения может наблюдаться не только на верхней границе слоя, например, на поверхности океана, но и внутри слоя, в частности, в “пикноклине”, целесообразно сравнить результаты расчета нашей задачи при α = 1 с результатами исследования неустойчивости течения с профилем скорости течения вида $U(z) = 1 - {{z}^{2}}$ в области $z \in [ - 1,1]$, представленными в [4], [5].

На фиг. 4а–4в показаны траектории первых трех СЗ ${{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}$ задачи, рассмотренной в [4], [5]. СЗ ${{c}_{1}}(k)$ и ${{c}_{3}}(k)$ соответствуют четным СФ, а ${{c}_{2}}(k)$ – нечетной СФ этой задачи.

Фиг. 4.

Траектории СЗ ${{c}_{1}}$ (а), ${{c}_{2}}$ (б) и ${{c}_{3}}$ (в) задачи, рассмотренной в [4], [5] для ${\text{R}} = 1$, ${\text{Pr}} = 1$, ${\text{Bu}} = 0.0001$, $n = 1$, $\alpha = 1$ при $k \in (0,2000]$. Траектории СЗ ${{c}_{1}}$ (г), ${{c}_{2}}$ (д) и ${{c}_{3}}$ (е) задачи II при тех же параметрах. Точки “0” соответствуют СЗ при $k = 0.1$, точки “1” – СЗ при $k = 1$, точки “2” – СЗ при k = 220, точки “3” – СЗ при k = 1000.

На фиг. 4г–4е показаны траектории первых трех ${{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}}$ задачи II с параметрами, соответствующими фиг. 4а–4в.

Важным отличием представленных траекторий является то, что длинноволновые возмущения течения, имеющего максимум скорости в центральной части слоя, могут иметь фазовую скорость, превышающую максимальную скорость потока.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках уравнения потенциального вихря проводится исследование устойчивых и неустойчивых возмущений геострофического течения с параболическим вертикальным профилем скорости с учетом вертикальной диффузии плавучести, трения и для различных значений волнового числа $k$ и номера моды $n$. Анализ проводится с помощью метода малых возмущений.

Для возникающих двух спектральных задач I и II на отрезках [–1, 0] и [0, 1] доказано свойство симметричности СЗ относительно прямой ${\text{Re}}(c) = 1{\text{/}}2$.

Искомые СФ и СЗ задач I и II строятся с помощью степенных разложений для линейно-независимых решений и их гладкой сшивки.

Найдены асимптотики СФ и СЗ при малых значениях волнового числа k в зависимости от физических параметров R, Pr, Bu, $n \in \mathbb{N}$. Показано, что при $k \to + 0$ в задаче существуют два ограниченных СЗ и счетное множество неограниченно растущих СЗ с предельной точкой $c = - i\infty $.

Численный анализ, в частности, показал, что в случае параметра α = 0 при определенных значениях волнового числа k образуются двойные СЗ, лежащие на прямой ${\text{Re}}(c) = 1{\text{/}}2$.

Представленные результаты дают возможность судить о важных эффектах динамики геострофических течений применительно к океану: 1) увеличение вертикального линейного сдвига в течении с вертикальным параболическим профилем скорости (т.е. увеличение параметра α) может существенно влиять на фазовые скорости устойчивых и неустойчивых возмущений; 2) с учетом вертикальной диффузии массы и импульса течения с поперечным масштабом, меньшим радиуса Россби, могут быть неустойчивыми и в случае параболического вертикального профиля скорости.

Список литературы

Кузьмина Н.П. Об одной гипотезе образования крупномасштабных интрузий в Арктическом бассейне // Фундамент. и прикл. гидрофизика. 2016. Т. 9. № 2. С. 15–26.
Kuzmina N.P. Generation of large-scale intrusions at baroclinic fronts: An analytical consideration with a reference to the Arctic ocean // Ocean Sci. 2016. V. 12. P. 1269–1277. https://doi.org/10.5194/os-12-1269-2016
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. О неустойчивости геострофического течения с линейным вертикальным сдвигом скорости на масштабах интрузионного расслоения // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 1. С. 54–63.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. Описание возмущений океанских геострофических течений с линейным вертикальным сдвигом скорости с учетом трения и диффузии плавучести // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2019. Т. 55. № 2. С. 73–85.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Аналитико-численный метод решения задачи типа Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в океане // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58. № 6. С. 1022–1039.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Спектральный анализ модельных течений типа Куэтта применительно к океану // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 5. С. 867–888.
Скороходов С.Л., Кузьмина Н.П. Эффективный метод решения модифицированной задачи Орра–Зоммерфельда для анализа неустойчивости течений в Арктическом бассейне // Таврический вестн. информат. и матем. 2016. № 3 (32). С. 88–97.
Кузьмина Н.П., Скороходов С.Л., Журбас Н.В., Лыжков Д.А. О влиянии трения и диффузии плавучести на динамику геострофических океанских течений с линейным вертикальным профилем скорости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2020. Т. 56. № 6. С. 676–688.
Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967.
Найфэ А. Методы возмущений. М.: Наука, 1976. 474 с.
Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.
Скороходов С.Л. Численный анализ спектра задачи Орра–Зоммерфельда // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 10. С. 1672–1691.
Скороходов С.Л. Точки ветвления собственных значений оператора Орра–Зоммерфельда // Докл. РАН. 2007. Т. 416. № 5. С. 600–605.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал