Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 12, стр. 1955-1973

1. ВВЕДЕНИЕ

Кубические сплайны широко применяются для гладкой интерполяции функций [1], [2]. При применении разностных методов к решению сингулярно возмущенных задач используются сетки, сгущающиеся в пограничном слое. При этом возникает необходимость восстановления функции для всех значений независимой переменной. В случае кусочно-равномерной сетки Г.И. Шишкина [3] в [4] получены асимптотически точные оценки погрешности и показано, что сходимость интерполяционного процесса неравномерна по малому параметру. Построен модифицированный сплайн на сетке Шишкина, погрешность которого равномерна по малому параметру.

В данной работе исследуется кубическая сплайн-интерполяция [2] на сетке Н.С. Бахвалова [5], сгущающейся в пограничном слое. Получены оценки погрешности интерполяции, которые, однако, не являются равномерными по малому параметру $\varepsilon $. На основе численных экспериментов показано, что при $\varepsilon \to 0$ погрешность интерполяции на погранслойной составляющей может неограниченно возрастать, и необходима разработка специальных методов интерполяции для данного класса задач. Предложен модифицированный интерполяционный сплайн, позволяющий построить интерполяционный процесс, сходящийся с порядком $O({{N}^{{ - 4}}})$ равномерно по малому параметру $\varepsilon .$

Обозначения. Зададим сетку интервала $[0,\;1]$:

Обозначим через $S(\Omega ,k,1)$ пространство полиномиальных сплайнов степени $k$ дефекта 1 [2] на сетке $\Omega $. В случае необходимости будем считать разбиение $\Omega $ продолженным левее точки $x = 0$ с шагом ${{h}_{1}} = {{x}_{1}} - {{x}_{0}}$ и правее точки $x = 1$ с шагом ${{h}_{N}} = {{x}_{N}} - {{x}_{{N - 1}}}$. Под $C$ и ${{C}_{j}}$ будем подразумевать положительные постоянные, не зависящие от параметра $\varepsilon $ и числа узлов сетки. При этом один и тот же символ ${{C}_{j}}$ может обозначать разные константы. Будем писать $f = O(g)$, если справедлива оценка $\left| f \right| \leqslant C\left| g \right|$ и $f = O{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (g)$, если $f = O(g)$ и $g = O(f);$ $C[a,b]$, ${{L}_{2}}[a,b]$ – пространства непрерывных и квадратично суммируемых на $[a,b]$ функций с нормами ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{C[a,b]}}}$ и ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{{{L}_{2}}[a,b]}}}$ соответственно, $( \cdot , \cdot )$ – скалярное произведение в ${{L}_{2}}[0,1]$. Пусть $h$ – постоянный шаг сетки $\Omega $ вне области пограничного слоя $[0,\sigma ].$

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть интерполируемая функция $u(x)$ представима в виде

где для некоторой постоянной ${{C}_{1}}$ имеем где функции $q(x)$ и $\Phi (x)$ в явном виде не заданы, $\alpha > 0$, $\varepsilon > 0$. Декомпозиция (2.1) справедлива для решения сингулярно возмущенной краевой задачи [3].

Зададим сетку интервала $[0,\;1]$ на основе [5].

Пусть $\sigma = min\left\{ {\tfrac{1}{2},\tfrac{{4\varepsilon }}{\alpha }ln\tfrac{1}{\varepsilon }} \right\}$ при $\varepsilon \leqslant {{e}^{{ - 1}}}$ и $\sigma = 1{\text{/}}2$ при $\varepsilon > {{e}^{{ - 1}}}$.

В случае $\sigma < \tfrac{1}{2}$ определим узлы сетки $\Omega $ по формуле

где Таким образом, при $\sigma < \tfrac{1}{2}$ сетка $\Omega $ равномерна на промежутке $[\sigma ,1]$ с шагом $h = 2(1 - \sigma ){\text{/}}N = O{\kern 1pt} {\text{*}}{\kern 1pt} (1{\text{/}}N)$.

В случае $\sigma = \tfrac{1}{2}$ сетку $\Omega $ определим как равномерную с шагом $1{\text{/}}N$.

Зададим кубический сплайн ${{S}_{3}}(x,u) \in S(\Omega ,3,\;1)$ на сетке $\Omega $, определяемый из условий интерполяции

Целью работы является оценка погрешности сплайна ${{S}_{3}}(x,u)$ на сетке, заданной в соответствии с работами [5], [6], в случае функции $u(x)$, представимой в виде (2.1), а также построение интерполяционного сплайна, позволяющего получить интерполяционный процесс, сходящийся равномерно по параметру $\varepsilon .$

3. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Теорема 1. Найдутся такие постоянные ${{C}_{2}}$, ${{C}_{3}}$ и $\beta > 0$, не зависящие от $\varepsilon ,N$, что при $\varepsilon \leqslant {{C}_{2}}{{N}^{{ - 1}}}$ будут справедливы оценки

Теорема 2. Для произвольной постоянной ${{C}_{2}}$ найдется такая постоянная ${{C}_{4}}$, что при ${{C}_{2}}{{N}^{{ - 1}}} \leqslant \varepsilon $ будет справедлива оценка

В связи с неравномерной по $\varepsilon $ сходимостью кубического сплайна ${{S}_{3}}(x,u)$ согласно оценкам (3.1) и результатам вычислительных экспериментов, приведенным ниже, по аналогии с [4] определим модифицированный интерполяционный сплайн. Положим ${{\bar {x}}_{n}} = ({{x}_{n}} + {{x}_{{n + 1}}}){\text{/}}2,n \in [N{\text{/}}2 - 1,N{\text{/}}2]$, ${{\bar {x}}_{n}} = {{x}_{n}}$, $n \in [0,N{\text{/}}2 - 2] \cup [N{\text{/}}2 + 1,N]$. Пусть ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$ – интерполяционный кубический сплайн, определяемый из условий

Теорема 3. Найдутся такие не зависящие от $\varepsilon $, $N$ постоянные ${{C}_{2}}$, $C$, что при $\varepsilon \leqslant {{C}_{2}}{{N}^{{ - 1}}}$ будет справедлива оценка

Замечание 1. Можно считать, что в теоремах 2, 3 константа ${{C}_{2}}$ одна и та же. Иначе достаточно в качестве ${{C}_{2}}$ взять минимум этих констант.

Замечание 2. В силу теорем 2, 3 применение интерполяционного сплайна ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$ при $\varepsilon = O({{N}^{{ - 1}}})$ и интерполяционного сплайна ${{S}_{3}}(x,u)$ при ${{N}^{{ - 1}}} = O(\varepsilon )$ позволяет получить равномерные по $\varepsilon $ оценки погрешности порядка $O({{N}^{{ - 4}}}).$

4. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ТЕОРЕМЫ 1

Как и в условии теоремы 1, в этом разделе считаем выполненным условие $\varepsilon \leqslant {{C}_{2}}{\text{/}}N$, где ${{C}_{2}}$ – достаточно малая константа.

Ниже, не ограничивая общности, будем считать, что в (2.2) $\alpha = 1$, так как общий случай сводится к этому заменой $\alpha x = y$ с сохранением оценок вида (2.2).

Лемма 1. При $\sigma < \tfrac{1}{2}$ последовательность шагов ${{h}_{n}}$ при $n \leqslant N{\text{/}}2$ монотонно возрастает и справедливы формулы

Формула (4.1) следует из (2.3) и задания $g(t)$, формула (4.2) следует из (4.1).

Пусть

есть $B$-сплайн первой степени, ${{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}} = \tfrac{1}{{\sqrt 3 }}{{\left( {{{h}_{{n + 1}}} + {{h}_{{n + 2}}}} \right)}^{{1/2}}}$. С учетом леммы 1 ${{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {O{\text{*}}({{{(\varepsilon {\text{/}}(N{\text{/}}2 - n))}}^{{1/2}}}),\quad 0 \leqslant n \leqslant N{\text{/}}2 - 3,} \\ {O{\text{*}}\left( {{{{\left( {\varepsilon ln\left( {1 + \tfrac{h}{\varepsilon }} \right)} \right)}}^{{1/2}}}} \right),\quad n = N{\text{/}}2 - 2,} \\ {O{\text{*}}({{h}^{{1/2}}}),\quad N{\text{/}}2 - 1 \leqslant n \leqslant N - 1.} \end{array}} \right.$

Пусть $\mathop {\tilde {N}}\nolimits_{n,1} (x) = {{{{N}_{{n,1}}}(x)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{N}_{{n,1}}}(x)} {{{{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}}}}} \right. \kern-0em} {{{{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}}}},$ $0 \leqslant n \leqslant N - 2$. При $n = - 1$ и $n = N - 1$ положим ${{\tilde {N}}_{{ - 1,1}}}(x) = {{\tilde {N}}_{{0,1}}}(x + {{h}_{1}})$, ${{\tilde {N}}_{{N - 1,1}}}(x) = {{\tilde {N}}_{{N - 2,1}}}(x - {{h}_{N}})$. Тогда с учетом двух последних формул получаем

Пусть $e(x) = {{S}_{3}}(x,\Phi ) - \Phi (x)$. Изучим функцию $e{\text{''}}(x) = S_{3}^{{''}}(x,\Phi ) - \Phi {\text{''}}(x)$. Согласно [7, гл. 5], справедлива формула $S_{3}^{{''}}(x,\Phi ) = P\Phi {\text{''}}(x)$, где $P$ – ортогональный в ${{L}_{2}}[0,\;1]$ проектор на $S(\Omega ,1,\;1)$. Обозначим через $\tilde {g}I(x) \in S(\Omega ,1,\;1)$ линейный интерполянт $\Phi {\kern 1pt} ''(x)$ в узлах сетки, а через $gI(x)$ функцию из $S(\Omega ,1,1)$, равную $\tilde {g}I(x)$ при $x \in [0,{{x}_{{N/2 - 2}}}]$ и нулю при $x \in [{{x}_{{N/2 - 1}}},1]$. Очевидно, что $gI(x) \in S(\Omega ,1,\;1)$. Тогда имеем

Представим функцию $P(\Phi {\text{''}}(x) - gI(x))$ в виде

Из условий ортогональности разности $S_{3}^{{''}}(x,\Phi ) - \Phi {\text{''}}(x)$ пространству $S(\Omega ,1,\;1)$ получаем систему линейных уравнений для коэффициентов Представим систему (4.7) в матричном виде где $\Gamma = {\text{\{ }}{{\gamma }_{{nk}}}{\text{\} }} = {\text{\{ }}({{\tilde {N}}_{{n,1}}},{{\tilde {N}}_{{k,1}}}){\text{\} }}$ – матрица Грама нормированных $B$-сплайнов, где $0 \leqslant {{\gamma }_{{nk}}} \leqslant 1$,

Лемма 2. Матрица $\Gamma $ имеет вид

Матрица $\Gamma $ имеет строгое диагональное преобладание по строкам с показателем преобладания $1{\text{/}}\sqrt 2 $.

Доказательство получается вычислением интегралов в (4.7) с учетом (4.2)–(4.4). Обозначим через ${\text{con}}{{{\text{d}}}_{2}}\Gamma $ спектральное число обусловленности $\Gamma $.

Следствие 1. Матрица $\Gamma $ имеет вид

где ${{\Gamma }_{{11}}}$, ${{\Gamma }_{{22}}}$ – трехдиагональные матрицы порядка $(N{\text{/}}2) \times (N{\text{/}}2)$ и $(N{\text{/}}2 + 1) \times (N{\text{/}}2 + 1)$ соответственно, с диагональным преобладанием по строкам с показателем преобладания $1{\text{/}}\sqrt 2 ,$ $\;{\text{con}}{{{\text{d}}}_{2}}\Gamma = O(1)$, ${\text{con}}{{{\text{d}}}_{2}}{{\Gamma }_{{ii}}} = O(1)$, $i = 1,\;2$; ${{\Gamma }_{{12}}}$ и ${{\Gamma }_{{21}}}$ – прямоугольные матрицы с единственным ненулевым элементом порядка $O{\kern 1pt} {\text{*}}\left( {{{{\left( {\tfrac{{\varepsilon ln(1 + h{\text{/}}\varepsilon )}}{h}} \right)}}^{{1/2}}}} \right)$ в левом нижнем и правом верхнем углах соответственно. Матрица ${{\Gamma }_{{11}}}$ имеет вид где ${{\hat {\Gamma }}_{{11}}}$ – трехдиагональная квадратная матрица порядка $(N{\text{/}}2 - 1) \times (N{\text{/}}2 - 1)$ со строгим диагональным преобладанием по строкам с показателем преобладания $1{\text{/}}\sqrt 2 $, ${{\hat {\Gamma }}_{{22}}} = 1$, ${{\hat {\Gamma }}_{{21}}} = (0\; \cdots 0{{a}_{{N/2 - 2}}})$; ${{\hat {\Gamma }}_{{12}}} = \hat {\Gamma }_{{21}}^{{\text{т}}}$ – матрицы с единственным ненулевым элементом порядка $O{\kern 1pt} {\text{*}}({{(1 + h{\text{/}}\varepsilon )}^{{ - 1/2}}})$.

Лемма 3. Матрицы ${{\Gamma }_{{11}}}$, ${{\Gamma }_{{22}}}$ обратимы, и для элементов обратных матриц $\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_{nk}^{ii} $ при $i = 1,\;2$ справедливы оценки $\left| {\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_{nk}^{ii} } \right| \leqslant C{{e}^{{ - \beta |n - k|}}}.$ Аналогичные оценки справедливы для элементов матрицы ${{\hat {\Gamma }}_{{11}}}$. Здесь $\beta > 0$, $C$, $\beta $ не зависят от $N,\varepsilon $.

Доказательство. Обратимость матриц ${{\Gamma }_{{11}}}$, ${{\Gamma }_{{22}}}$ и оценки элементов вытекают из строгого диагонального преобладания с показателем преобладания $1{\text{/}}\sqrt 2 $ и теоремы Демко [8]. Лемма доказана.

Лемма 4. Для матрицы $\Gamma _{{11}}^{{ - 1}}$ справедливо представление

где элементы $\bar {\gamma }_{{nk}}^{{ij}}$ матриц $\mathop {\bar {\Gamma }}\nolimits_{ij} $ при некотором $\beta > 0$, не зависящим от $\varepsilon $, $N$, удовлетворяют оценкам

Доказательство. Применяя блочный метод Гаусса, находим

где $\tilde {\Gamma } = \hat {\Gamma }_{{22}}^{{}} - \hat {\Gamma }_{{21}}^{{}}\hat {\Gamma }_{{11}}^{{ - 1}}\hat {\Gamma }_{{12}}^{{}}$. Здесь обратимость всех блоков и равномерная по $\varepsilon $, $N$ ограниченность норм всех обратных матриц вытекает из следствия 1. Отсюда получаем, что и ${{\tilde {\Gamma }}^{{ - 1}}}$ равномерно ограничена по норме. Из теоремы Демко [8] получаем, что элементы матрицы $\hat {\Gamma }_{{11}}^{{ - 1}}$ удовлетворяют оценкам вида (4.11). С учетом этого оценки (4.11), (4.12) вытекают из (4.13) и следствия 1. Лемма доказана.

Лемма 5. Для матрицы ${{\Gamma }^{{ - 1}}}$ справедливо представление

где элементы $\tilde {\gamma }_{{nk}}^{{ij}}$ матриц ${{\tilde {\Gamma }}_{{ij}}}$ при некоторой постоянной $\beta > 0$, не зависящей от $\varepsilon $, $N$, удовлетворяют оценкам где $ - 1 \leqslant n \leqslant N{\text{/}}2 - 3$, $N{\text{/}}2 - 1 \leqslant k \leqslant N - 1$ при $i = 1$, $j = 2$; $ - 1 \leqslant k \leqslant N{\text{/}}2 - 3$, $N{\text{/}}2 - 1 \leqslant n \leqslant N - 1$ при $i = 2$, $j = 1$; где $n = N{\text{/}}2 - 2$, $N{\text{/}}2 - 1 \leqslant k \leqslant N - 1$ при $i = 1$, $j = 2$; $k = N{\text{/}}2 - 3,\;N{\text{/}}2 - 1 \leqslant n \leqslant N - 1$ при $i = 2$, $j = 1$.

Доказательство. Применяя блочный метод Гаусса аналогично (4.13), находим

где $\tilde {\Gamma } = {{\Gamma }_{{22}}} - {{\Gamma }_{{21}}}\Gamma _{{11}}^{{ - 1}}{{\Gamma }_{{12}}}$. Здесь обратимость всех блоков и равномерная по $\varepsilon $, $N$ ограниченность всех обратных матриц вытекают из следствия 1. Более того, из теоремы Демко [8] вытекает, что элементы матрицы $\Gamma _{{11}}^{{ - 1}}$ удовлетворяют оценкам вида (4.14), поэтому в силу вида матриц ${{\Gamma }_{{12}}}$, ${{\Gamma }_{{21}}}$ таким же оценкам удовлетворяют и элементы матрицы $\tilde {\Gamma }$. Но для матриц, имеющих обратную, ограниченную в спектральной норме константой, не зависящей от порядка матрицы и параметров, определяющих ее элементы, в [9] было доказано, что и элементы обратной матрицы ${{\tilde {\Gamma }}^{{ - 1}}}$ удовлетворяют таким же оценкам, возможно, с другой константой ${{\beta }_{1}} \in (0,\;1)$, также не зависящей от $N$, $\varepsilon $. Там же было доказано, что элементы произведения двух матриц, удовлетворяющих оценкам вида (4.14), удовлетворяют таким же оценкам. Отсюда вытекают оценки (4.14).

Оценки (4.15) вытекают из (4.18), леммы 4, следствия 1 и оценок вида (4.14) для элементов ${{\tilde {\Gamma }}^{{ - 1}}}$. Докажем оценки (4.16) при $i = 1$, $j = 2$. Пусть

$\Gamma _{{11}}^{{ - 1}} = \{ \tilde {\gamma }_{{nk}}^{{11}},1 \leqslant n,\;k \leqslant N{\text{/}}2 - 2\} $. Поскольку у матрицы ${{\Gamma }_{{12}}}$ отличен от нуля единственный элемент ${{\gamma }_{{(N/2 - 2)(N/2 - 1)}}}$, то, перемножая матрицы, находим для элементов матрицы ${{\tilde {\Gamma }}_{{12}}}$: $\tilde {\gamma }_{{nk}}^{{12}} = \tilde {\gamma }_{{n(N/2 - 2)}}^{{11}}{{\gamma }_{{(N/2 - 2)(N/2 - 1)}}}\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_{(N/2 - 2)k} $. Учитывая оценки (4.12), (4.10), (4.14) для первого, второго и третьего сомножителей соответственно, получаем (4.16). При $i = 2$, $j = 1$ оценки (4.17) получаются в силу симметрии ${{\Gamma }^{{ - 1}}}$. Лемма доказана.

Лемма 6. Для элементов ${{F}_{n}}$ из (4.9) справедливы оценки

Доказательство получается прямым вычислением интегралов в (4.9) с учетом (4.4) и оценки погрешности формулы линейной интерполяции.

Лемма 7. Для коэффициентов ${{\alpha }_{n}}$ в разложении $P(\Phi {\text{''}}(x) - gI(x))$ по ${{\tilde {N}}_{{n,1}}}(x)$ справедливы оценки

Доказательство. Имеем $\alpha = {{\Gamma }^{{ - 1}}}F$. Пусть $\alpha = ({{\alpha }^{{(1)}}},{{\alpha }^{{(2)}}},{{\alpha }^{{(3)}}})$, где $\dim ({{\alpha }^{{(1)}}})$ $ = N{\text{/}}2 - 1$, $\dim ({{\alpha }^{{(2)}}}) = 1$. Тогда согласно лемме 5, для произвольного $n \in [ - 1,N{\text{/}}2 - 3]$ справедливо представление

В силу (4.14), (4.19) имеем

Далее, так как ${{h}_{k}}{\text{/}}{{h}_{n}} \leqslant 1$ при $k \leqslant n$, учитывая (4.2), получаем

В силу (4.15), (4.19), (4.2) имеем

Учитывая (4.16), (4.19), (4.2), имеем

Первая оценка в (4.20) получена. Теперь оценим ${{\alpha }^{{(2)}}}$. Имеем

Аналогично имеем

Так как норма ${{\Gamma }^{{ - 1}}}$ равномерно ограничена, то $\left| {\mathop {\tilde {\gamma }}\nolimits_{(N/2 - 2)(N/2 - 2)}^{11} } \right| \leqslant C$. Учитывая (4.19), имеем

Наконец,

Покажем, что последняя сумма в (4.34) является равномерно ограниченной. Эту сумму запишем в виде Тогда если $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant 2\beta $. Далее, при $h{\text{/}}\varepsilon \geqslant \beta $ имеем

Утверждение леммы следует из (4.21)–(4.37).

Лемма 8. Найдутся такие константы $C > 0$, $\beta > 0$, не зависящие от $\varepsilon $, $N$, что будут справедливы оценки

Доказательство. Поскольку в каждом узле ${{x}_{n}}$ отличен от нуля только один $B$-сплайн ${{N}_{{n - 1,1}}}$, то справедливо равенство $P(\Phi {\text{''}} - gI)({{x}_{n}}) = {{\alpha }_{{n - 1}}}{{\tilde {N}}_{{n - 1,1}}}({{x}_{n}})$. Отсюда, из леммы 7 и оценок (4.4) следует утверждение леммы.

Лемма 9. Пусть $e(x) = {{S}_{3}}(x,\Phi ) - \Phi (x)$. Справедливы оценки

Доказательство. В силу (4.5), (4.38) достаточно оценить ${{\left\| {gI(x) - \Phi {\text{''}}(x)} \right\|}_{{C[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]}}}$. Это выражение представляет собой погрешность формулы линейной интерполяции на интервале $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]$, поэтому для него справедлива оценка (4.39). Это доказывает лемму.

5. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ТЕОРЕМЫ 2

Как и в ограничениях теоремы 2, в этом разделе предполагаем, что $\varepsilon \geqslant {{C}_{2}}{{N}^{{ - 1}}}.$

Лемма 10. При $\sigma < \tfrac{1}{2}$ последовательность шагов ${{h}_{n}}$, $n \leqslant N{\text{/}}2,$ монотонно возрастает и справедливы оценки

Доказательство. В силу (2.3), при $1 \leqslant n \leqslant N{\text{/}}2$ имеем

и первая оценка в (5.1) доказана. Вторая оценка очевидна, так как при $N{\text{/}}2 + 1 \leqslant n \leqslant N$ шаги сетки имеют одинаковую длину $h$. Лемма доказана.

Рассмотрим $B$-сплайн (4.3). Тогда ${{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}} = \tfrac{1}{{\sqrt 3 }}{{\left( {{{h}_{{n + 1}}} + {{h}_{{n + 2}}}} \right)}^{{1/2}}}$, и с учетом (5.1) ${{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}} = O{\kern 1pt} {\text{*}}(h_{{n + 1}}^{{1/2}})$, $ - 1 \leqslant n \leqslant N - 1$.

Пусть ${{\tilde {N}}_{{n,1}}}(x) = {{N}_{{n,1}}}(x){\text{/}}{{\left\| {{{N}_{{n,1}}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}[0,1]}}}$. Тогда

Пусть $e(x) = {{S}_{3}}(x,\Phi ) - \Phi (x)$. Повторяя рассуждения, приведенные после леммы 1, и используя те же обозначения, приходим к системе уравнений вида (4.7).

Лемма 11. Матрица $\Gamma $ из (4.8) имеет вид:

Матрица $\Gamma $ имеет строгое диагональное преобладание по строкам с показателем преобладания $1{\text{/}}\sqrt 2 $.

Доказательство получается вычислением интегралов в (4.7) с учетом (5.1), (5.2).

Лемма 12. Матрица $\Gamma $ обратима, и для элементов обратной матрицы ${{\Gamma }^{{ - 1}}} = {\text{\{ }}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{\gamma } }_{{nk}}}{\text{\} }}$ справедливы оценки

Доказательство. Обратимость матрицы $\Gamma $ и оценки элементов вытекают из строгого диагонального преобладания с показателем преобладания $1{\text{/}}\sqrt 2 $ и теоремы Демко [8]. Лемма доказана.

Лемма 13. Для элементов ${{F}_{n}}$ справедливы оценки

Доказательство получается прямым вычислением интегралов в (4.9), с учетом (5.2) и оценок погрешности линейной интерполяции.

Лемма 14. Найдется достаточно малая постоянная ${{C}_{2}}$, что при $1{\text{/}}N \leqslant {{C}_{2}}\varepsilon $ для коэффициентов ${{\alpha }_{n}}$ в (4.6) справедливы оценки

Доказательство. В силу (5.3), (5.4) имеем

Покажем, что сумма в (5.6) ограничена константой. Имеем

Оценим ${{\Sigma }_{1}}.$ В силу (5.1) получаем при $n > k$

если $\varepsilon \geqslant 2{{C}_{3}}{\text{/}}(N\beta )$. Это условие выполнится, если задать ${{C}_{2}} = \beta {\text{/}}(2{{C}_{3}})$. Учитываем, что в силу (5.1) ${{h}_{{k + 1}}}{\text{/}}{{h}_{{n + 1}}} = O(1)$, поэтому при таком задании ${{C}_{2}}$

Наконец, в силу (5.1) при $n \leqslant k$ имеем

Поэтому

Из (5.6)–(5.11) вытекает (5.5). Лемма доказана.

Лемма 15. Пусть для произвольных постоянных ${{C}_{2}}$, ${{C}_{3}}$ выполняется оценка ${{C}_{2}}\varepsilon \leqslant 1{\text{/}}N \leqslant {{C}_{3}}\varepsilon $. Тогда найдется постоянная $C$ такая, что будут справедливы оценки:

Доказательство. Пусть $ - 1 \leqslant n \leqslant N{\text{/}}2 - 1.$ Оценим $\left| {{{\alpha }_{n}}} \right|$, используя соотношения (5.6), (5.7). В силу (5.1) имеем

Поэтому с учетом того, что $(N{\text{/}}2 - k){\text{/}}(N{\text{/}}2 - n) \leqslant n - k + 1$, для ${{\Sigma }_{1}}$ из (5.7) имеем а оценка (5.11) для ${{\Sigma }_{2}}$ сохраняет силу. Итак, ${{\Sigma }_{1}}$, ${{\Sigma }_{2}}$ ограничены сверху постоянной. С учетом (5.6) получаем оценку (5.12) при $ - 1 \leqslant n \leqslant N{\text{/}}2 - 1$.

Рассмотрим случай $n \geqslant N{\text{/}}2$. По аналогии с (5.6) с учетом ${{h}_{{k + 1}}}{\text{/}}h \leqslant C$ имеем

Далее аналогично (5.7) представим

Очевидно, что ${{\Sigma }_{2}} \leqslant C$, так как ${{x}_{{N/2 - 1}}} - {{x}_{k}} < 0$. Оценим ${{\Sigma }_{1}}$. При $n \geqslant N{\text{/}}2$ имеем

Оценивая $({{x}_{{N/2 - 1}}} - {{x}_{k}}){\text{/}}\varepsilon $ по аналогии с (5.13), получаем, что оценка для ${{\Sigma }_{1}}$ соответствует (5.14) при $n = N{\text{/}}2 - 1$. Итак, для некоторой постоянной ${{C}_{8}}$ будет ${{\Sigma }_{1}} \leqslant {{C}_{8}}$.

По условию леммы $1{\text{/}}N \leqslant {{C}_{3}}\varepsilon $, поэтому с учетом (2.3), (2.4) получаем, что ${{\varepsilon }^{{ - 4}}}{{e}^{{ - {{x}_{{N/2 - 1}}}}}} \leqslant C.$ Теперь оценка (5.12) при $n \geqslant N{\text{/}}2$ следует из (5.15)–(5.17). Лемма доказана.

Лемма 16. Пусть для некоторой постоянной ${{C}_{2}}$ будет $1{\text{/}}N \leqslant {{C}_{2}}\varepsilon $. Тогда найдется такая постоянная $C$, что будут справедливы оценки

Доказательство. Поскольку в каждом узле ${{x}_{n}}$ отличен от нуля только один $B$-сплайн ${{N}_{{n - 1,1}}}$, то справедливо равенство $P(\Phi {\text{''}} - gI)({{x}_{n}}) = {{\alpha }_{{n - 1}}}{{\tilde {N}}_{{n - 1,1}}}({{x}_{n}})$. Отсюда, из лемм 14, 15 и оценок (5.2) следует утверждение леммы.

Лемма 17. Пусть для некоторой постоянной ${{C}_{2}}$ $1{\text{/}}N \leqslant {{C}_{2}}\varepsilon $. Тогда справедливы оценки

Доказательство. В силу (4.5), (5.18) достаточно оценить ${{\left\| {gI(x) - \Phi {\text{''}}(x)} \right\|}_{{C[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]}}}$. Но оценка этого выражения вытекает из оценки погрешности формулы линейной интерполяции на отрезке $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]$ и соответствует (5.19). Лемма доказана.

6. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ТЕОРЕМЫ 3

Рассмотрим модифицированный сплайн ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$ из (3.3). Обозначим через ${{N}_{{n,l}}}(x)$ нормализованный $B$-сплайн степени $l$ на сетке $\Omega $ [2]. Для функций ${{N}_{{n,l}}}(x)$ справедливы следующие формулы (см. [2, с. 31]):

Представим ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$ в виде

Далее коэффициенты ${{\alpha }_{n}}$ соответствуют разложению сплайна ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$. Из условий интерполяции (3.3) получаем систему уравнений для коэффициентов:

Преобразуем систему (6.3) в соответствии с [10]. Для этого вычислим значения входящиx в нее кубических сплайнов и их производных по формулам (6.1), (6.2) и исключим из двух первых и двух последних уравнений неизвестные ${{\alpha }_{{ - 3}}}$ и ${{\alpha }_{{N - 1}}}$. В результате формулы для ${{\alpha }_{{ - 3}}}$ и ${{\alpha }_{{N - 1}}}$ будут иметь вид

а система уравнений для остальных коэффициентов примет вид где $A = {\text{\{ }}{{a}_{{nk}}}{\text{\} }}$, $ - 2 \leqslant n$, $k \leqslant N - 2$, – матрица порядка $(N + 1) \times (N + 1),$ $U = {{({{U}_{{ - 2}}},{{U}_{{ - 1}}},\; \cdots ,\;{{U}_{{N - 2}}})}^{{\text{т}}}}$. Ненулевые элементы матрицы $A$ имеют вид

Элементы вектора $U$ имеют вид

Учитывая, что в силу (4.1) имеем ${{h}_{2}} = {{h}_{1}}(1 + O(1{\text{/}}N))$, из (6.7) находим, что в строке с номером (–2) матрица $A$ будет иметь диагональное преобладание с показателем преобладания $1{\text{/}}3 + O(1{\text{/}}N)$. Отсюда же следует диагональное преобладание с показателем $1{\text{/}}3$ в строках с номерами $k \in [N{\text{/}}2,N - 2]$.

Далее в силу (6.6) при $k \in [ - 1,N{\text{/}}2 - 4]$ имеем

Но в силу (4.1) получаем Далее, Поэтому ${{h}_{{k + 1}}} + {{h}_{{k + 2}}} - {{h}_{{k + 3}}} > 0$ при $k \leqslant N{\text{/}}2 - 4$. Отсюда в силу (6.20), (6.21) и того, что последовательность ${{h}_{k}}$ возрастает, имеем Осталось рассмотреть строки с номерами $N{\text{/}}2 - 3$, $N{\text{/}}2 - 2$, $N{\text{/}}2 - 1$.

Пусть ${{\bar {a}}_{{nk}}} = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon /h \to 0} {{a}_{{nk}}}$. Учитывая, что при $k \leqslant N{\text{/}}2 - 1$ $\mathop {lim}\limits_{\varepsilon /h \to 0} \tfrac{{{{h}_{k}}}}{{{{h}_{{N/2}}}}} = 0$, при $k \geqslant N{\text{/}}2 + 1$ $\mathop {lim}\limits_{\varepsilon /h \to 0} \tfrac{{{{h}_{{N/2}}}}}{{{{h}_{k}}}} = 0$, из (6.5)–(6.18) получаем, что

Таким образом, доказано, что при достаточно малых $\varepsilon {\text{/}}h$ в строках с номерами $N{\text{/}}2 - 3$, $N{\text{/}}2 - 2$, $N{\text{/}}2 - 1$ также будет диагональное преобладание с показателем преобладания, не зависящим от $\varepsilon $, $h$.

Итак, доказана

Лемма 18. Найдутся такие константы ${{C}_{2}} > 0$, $r > 0$, не зависящие от $\varepsilon ,N$, что при $\varepsilon \leqslant {{C}_{2}}{{N}^{{ - 1}}}$ матрица $A$ имеет строгое диагональное преобладание по строкам с показателем преобладания $r$.

Изучим аппроксимационные свойства пространства $S(\Omega ,\;3,\;1)$.

Лемма 19. Пусть функция $u(x)$ удовлетворяет оценкам (2.2). Тогда найдется такая функция $g{{p}_{3}}(x) \in S(\Omega ,\;3,\;1)$, что будут справедливы оценки

Доказательство. В соответствии с [2] для кубического сплайна справедлива оценка погрешности

Согласно (2.2), $\left| {{{q}^{{(4)}}}(x)} \right| \leqslant {{C}_{1}}$, поэтому в соответствии с (6.24) имеем

В соответствии с (6.25) остается оценить погрешность на составляющей $\Phi (x)$. Тогда при обосновании будем считать, что $u(x) = \Phi (x)$, $\alpha = 1$. Будем считать функцию $u(x)$ продолженной левее точки $x = 0$ и правее точки $x = 1$ многочленами Тейлора третьей степени с центрами в $x = 0$ и $x = 1$ соответственно. Обозначим через ${{P}_{3}}$ множество всех многочленов третьей степени. Тогда, согласно [7, с. 137], существует такая функция $g{{p}_{3}}(x) \in S(\Omega ,\;3,\;1)$, что справедливы оценки

Зафиксируем произвольный отрезок $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]$ . Обозначим через ${{P}_{n}}(x)$ многочлен Тейлора степени 3 функции $u(x)$ с центром разложения в точке ${{x}_{{n + 3}}}$. Имеем Из (6.27), (2.2) получаем для $0 \leqslant n \leqslant N - 1$Но в силу (2.3) имеем Из (6.28), (6.29), (4.2), учитывая, что $\varepsilon N \leqslant {{C}_{2}}$, при $0 \leqslant n \leqslant N{\text{/}}2 - 4$ получаем

При $N{\text{/}}2 - 3 \leqslant n \leqslant N - 1$ имеем

Из (6.30), (6.31), (6.26) получаем (6.22).

Докажем (6.23). Для этого заметим, что в силу (6.22), (6.30), (6.31) будет

Но функция $(g{{p}_{3}}(x) - {{P}_{n}}(x))$ на отрезке $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]$ есть многочлен третьей степени. Поэтому в силу эквивалентности норм в пространстве многочленов третьей степени на фиксированном отрезке будем иметь

Далее, дифференцируя равенство (6.27), получаем

Повторяя для (6.33) выкладки, проделанные с (6.27) при доказательстве (6.22), находим

Из (6.32), (6.34), учитывая соотношение ${{h}_{1}} = O(\varepsilon {{N}^{{ - 1}}}),$ получаем (6.23) при $n = 0$. При $n = N - 1$ будет ${{\left\| {{{u}^{{(4)}}}(x)} \right\|}_{{C[{{x}_{{N - 1}}},{{x}_{N}}]}}} \leqslant C$ и ${{\left\| {u{\text{'}}(x) - P_{n}^{'}(x)} \right\|}_{{C[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]}}} \leqslant {{C}_{3}}{{N}^{{ - 3}}}$, откуда аналогично получаем (6.23) при $n = N - 1$. Лемма доказана.

7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ

Доказательство теоремы 1. В соответствии с [2] для интерполяционного кубического сплайна ${{S}_{3}}(x,u) \in S(\Omega ,\;3,\;1)$ справедлива оценка погрешности (6.24).

В соответствии с представлением (2.1) ${{S}_{3}}(x,u) = {{S}_{3}}(x,q) + {{S}_{3}}(x,\Phi )$, а для погрешности сплайна на составляющей $q(x)$ справедлива оценка (6.25). Остается оценить ${{\left\| {{{S}_{3}}(x,\Phi ) - \Phi (x)} \right\|}_{{C[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]}}}$ для каждого сеточного интервала.

В случае $\sigma = 1{\text{/}}2$ параметр $\varepsilon $ ограничен положительной константой снизу, поэтому в соответствии с (6.24), (2.2) сплайн ${{S}_{3}}(x,\Phi )$ имеет погрешность порядка $O({{N}^{{ - 4}}})$ равномерно по $\varepsilon .$ Поэтому ниже будем предполагать, что $\sigma < 1{\text{/}}2$ и $\varepsilon < {{e}^{{ - 1}}}$.

Вначале докажем оценки (3.1) для $n \leqslant \tfrac{N}{2} - 2$. Зафиксируем $n \in \left[ {0,\tfrac{N}{2} - 2} \right]$. Пусть $e(x) = {{S}_{3}}(x,\Phi ) - \Phi (x)$ $e(x) = {{S}_{3}}(x,\Phi ) - \Phi (x)$. Тогда, поскольку $e({{x}_{n}}) = e({{x}_{{n + 1}}}) = 0$, то, рассматривая $e(x)$ как решение краевой задачи $e{\text{''}}(x) = e{\text{''}}(x)$ с нулевыми краевыми условиями на интервале $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]$, получаем

где функция Грина имеет вид

Поскольку $\left| {G(x,s)} \right| \leqslant {{h}_{{n + 1}}}$, то из (4.39), (4.2), (2.3) получаем

С учетом оценки (6.25) получаем оценку (3.1) для $n \leqslant \tfrac{N}{2} - 2$.

При $n \geqslant N{\text{/}}2 - 1$ имеем

Далее, при $n = N{\text{/}}2 - 1$ имеем Учитывая (4.38) и то, что $gI(x) = 0$ при $x \geqslant {{x}_{{N/2 - 1}}}$, т.е. $P(\Phi {\text{''}} - gI)(x) = S_{3}^{{''}}(x,\Phi )$, получаем Из (7.2), (7.3), (7.4), (6.25) получаем оценку (3.1) для $n = \tfrac{N}{2} - 1$.

Аналогично при $n \geqslant N{\text{/}}2$

Учитывая, что при $n \geqslant N{\text{/}}2,$ согласно сказанному выше, $S_{3}^{{''}}(x,\Phi ) = P\Phi {\text{''}}(x)$, $gI(x) = 0$ и учитывая (4.38), получаем

Из (7.5), (7.6), леммы 1 и (6.25) следуют оценки (3.1) при $n \geqslant N{\text{/}}2$. Теорема 1 доказана полностью.

Доказательство теоремы 2. Оценку (3.2) получим на основе оценивания погрешности на каждом интервале $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}].$ Для погрешности $e(x)$ на интервале $[{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}]$ справедливо соотношение (7.1). На основе (7.1), (5.19) получаем

Из (2.3), (2.4), (5.1), (7.7) находим при $n \leqslant \tfrac{N}{2} - 1$Отсюда получаем оценку (3.2) при $x \in [{{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}}],$ $n \leqslant \tfrac{N}{2} - 1$.

При $N{\text{/}}2 \leqslant n \leqslant N - 1$ оценка (3.2) непосредственно вытекает из (7.7). Теорема 2 доказана.

Доказательство теоремы 3. Введем в рассмотрение err(x) = ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u) - g{{p}_{3}}(x)$, где $g{{p}_{3}}(x)$ – функция из леммы 19. Представим ее в виде

Тогда аналогично (6.3)–(6.5) для коэффициентов ${{\beta }_{n}}$ получаем систему и условия С учетом условий интерполяции для сплайна ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$ имеем причем в силу леммы 19 и (7.10), (7.11) справедливы оценки Из леммы 18, (7.8), (7.9), (7.12) получаем, что $\mathop {max}\limits_{ - 3 \leqslant n \leqslant N - 1} \left| {{{\beta }_{n}}} \right| \leqslant C{{N}^{{ - 4}}}$, откуда следует, что

Из (7.13) и леммы 19 получаем оценку (3.4) теоремы 3.

8. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Зададим функцию вида (2.1):

Результаты расчетов сведены в две таблицы. В таблицах приведены максимальные погрешности сплайновой интерполяции, вычисленные в узлах сгущенной сетки, получающейся из исходной расчетной сетки разбиением каждого ее сеточного интервала на 10 равных частей.

В табл. 1 приведены погрешности сплайна ${{S}_{3}}(x,u)$ на сетке Бахвалова в зависимости от $\varepsilon $ и $N$. Результаты вычислений согласуются с оценками теоремы 1. Из таблицы видно, что погрешность возрастает при уменьшении $\varepsilon $ для фиксированного $N$ при $\varepsilon < 1{\text{/}}N$. Этот результат аналогичен результату, установленному в [4] для интерполяционного кубического сплайна на сетке Шишкина.

Теперь остановимся на погрешности модифицированного сплайна ${{\tilde {S}}_{3}}(x,u)$, определяемого на основе условий интерполяции (3.3). В табл. 2 приведены погрешности и вычисленные порядки точности для модифицированного сплайна. Результаты вычислений согласуются с погрешностью сплайна порядка $O({{N}^{{ - 4}}}).$

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые проведен анализ погрешности кубического сплайна на сетке Бахвалова при наличии экспоненциального пограничного слоя. Получена оценка погрешности сплайна, из которой следует, что погрешность может неограниченно расти с уменьшением значения малого параметра. Проведена модификация кубического сплайна, основанная на сдвиге двух точек интерполяции, при которой оценка погрешности становится порядка $O({{N}^{{ - 4}}})$ равномерно по малому параметру. Приведены результаты вычислительных экспериментов, согласующиеся с полученными оценками погрешностей.