Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 12, стр. 1974-1985

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается нелинейное операторное уравнение

с дифференцируемым по Фреше оператором $F:{{H}_{1}} \to {{H}_{2}}$, где ${{H}_{1}}$, ${{H}_{2}}$ — гильбертовы пространства, ${{0}_{{{{H}_{2}}}}}$ — нулевой элемент пространства ${{H}_{2}}$. Пусть $x{\kern 1pt} *$ — искомое решение уравнения (1). Однозначная разрешимость уравнения (1) далее не предполагается. Считаем, что оператор $F$ дифференцируем по Фреше, и производная ${{F}^{\prime }}$ удовлетворяет на шаре условию Липшица Таким образом, для подходящей константы $M$ выполняется Например, можно положить $M = {{\left\| {F{\kern 1pt} '(\bar {x})} \right\|}_{{L({{H}_{1}},{{H}_{2}})}}} + 2LR$ с произвольной $\bar {x} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$.

При наших предположениях, не требующих регулярности оператора $F$ в окрестности решения, задача (1) является в общем случае некорректной. Регулярность оператора $F$ по определению означает, что оператор $F{\kern 1pt} '(x)$, либо $F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x)F{\kern 1pt} '(x)$ непрерывно обратим для всех точек $x$ из некоторой окрестности $x{\kern 1pt} {\text{*}}$.

В виде нерегулярного операторного уравнения (1) записывается широкий спектр нелинейных интегральных уравнений и прикладных обратных задач (см., например, [1], [2] и имеющиеся там ссылки). На практике вместо точного оператора $F$ часто бывает известна лишь его аппроксимация ${{F}_{\delta }}:{{H}_{1}} \to {{H}_{2}}$. Будем предполагать, что оператор ${{F}_{\delta }}$ также непрерывно дифференцируем по Фреше и

Кроме того, потребуем выполнения оценок с известным уровнем погрешности $\delta > 0$.

Для получения устойчивой аппроксимации точки $x{\kern 1pt} *$ по данным $(\delta ,{{F}_{\delta }})$ могут быть использованы различные классы итерационных процессов (см. [3]–[5]). В настоящей работе объектом исследования является группа итеративно регуляризованных методов типа Гаусса–Ньютона (см. [3, с. 127]):

Здесь ${{x}_{0}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} *{\kern 1pt} )$ — начальное приближение, $\xi \in {{H}_{1}}$ — параметр процесса, служащий наряду с ${{x}_{0}}$ аппроксимацией решения $x{\kern 1pt} *$, $\{ {{\alpha }_{n}}\} $ — управляющая последовательность параметров регуляризации, удовлетворяющая условиям Функция $\Theta (\lambda ,\alpha )$, называемая порождающей функцией группы методов (4), при каждом $\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]$ как вещественнозначная функция аргумента $\lambda $ должна допускать аналитическое продолжение в открытое множество, содержащее отрезок $[0,{{M}^{2}}]$. Наложим на нее следующие условия: Пусть для некоторого семейства ${{\{ {{\Gamma }_{\alpha }}\} }_{{\alpha \in (0,{{\alpha }_{0}}]}}}$ положительно ориентированных контуров на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, такого что выполняется соотношение В дополнение к этим условиям, изложенным в [3, с. 114], потребуем, чтобы выполнялось Похожее условие использовалось ранее в [6, p. 80]. Здесь и далее константы ${{C}_{1}},\;{{C}_{2}},\; \ldots $ не зависят от $n$, $\delta $.

Перечисленным выше условиям удовлетворяет, например, функция (см. [3, с. 122])

с константой $p{\kern 1pt} * = m$. Итерационный процесс (4), (9) реализуется следующим образом: ${{x}_{{n + 1}}} = x_{{n + 1}}^{{(N)}}$, где $x_{{n + 1}}^{{(0)}} = \xi $ и точки внутреннего итерационного процесса $\{ x_{{n + 1}}^{{(k)}}\} _{{k = 1}}^{N}$ определяются рекуррентно из уравнений В частном случае $m = 1$ имеем хорошо известный итеративно регуляризованный метод Гаусса–Ньютона Здесь и далее ${{E}_{j}}$ — единичный оператор в пространстве ${{H}_{j}}$, $j = 1,2$. Заметим, что итерационный процесс (10) заключается в применении к линеаризованному уравнению $m$ раз итерированного метода Тихонова (см. [7, с. 20]).

Известно, что в случае $\delta > 0$ процессы вида (4), вообще говоря, расходятся при $n \to \infty $. Поэтому для получения приближения к $x{\kern 1pt} *$, адекватного уровню погрешности $\delta $, требуется останов итераций на шаге с подходящим номером $n = N$. Различают априорные и апостериорные правила останова. В первом случае количество выполняемых итераций $N = N(\delta )$ назначается до начала расчетов. Во втором случае момент останова счета определяется непосредственно в процессе реализации итераций, так что номер $N = N(\delta ,{{F}_{\delta }})$ кроме погрешности $\delta $ зависит и от приближенного оператора ${{F}_{\delta }}$. При выполнении условия истокопредставимости

с показателем $p \in [1{\text{/}}2,p{\kern 1pt} *{\kern 1pt} ]$ и подходящем априорном правиле останова $N = N(\delta )$ для методов класса (4) имеет место оценка (см. [3, с. 128]) Упомянутое правило описывается условием $\alpha _{{N(\delta )}}^{{p + 1/2}} \sim \delta $. Существенным недостатком таких правил останова является то обстоятельство, что в них номер $N = N(\delta ,p)$ помимо $\delta $ зависит еще и от параметра истокопредставимости $p$, который в прикладных задачах обычно неизвестен.

Преимущества апостериорных правил связаны с возможностью более гибкой настройки итерационного процесса на конкретную задачу за счет использования дополнительной информации о ней, доставляемой оператором ${{F}_{\delta }}$. Наиболее известный апостериорный критерий останова (принцип невязки В.А. Морозова) имеет вид

Гибкость апостериорных правил вида (13) проявляется в том, что эти правила не требуют задания параметра истокопредставимости $p$ и в то же время при подходящих дополнительных условиях обеспечивают выполнение оптимальной по порядку оценки точности (12). Таким образом, итерационный процесс с таким правилом останова обладает свойством самонастройки на задачу с решением из определенного класса истокопредставимости. Наиболее завершенный вид теория решения нерегулярных уравнений с апостериорными правилами выбора параметра регуляризации имеет в случае линейных уравнений (см. [7, гл. 2, 3]). В нелинейном случае обозначенный выше результат до сих пор удавалось получить (см. [8]–[10]) лишь при наложении на оператор $F$ дополнительных структурных условий вида Если отказаться от условий типа (14), то уже для установления сходимости $\mathop {lim}\limits_{\delta \to 0} {{\left\| {{{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}} - x{\kern 1pt} *} \right\|}_{{{{H}_{1}}}}} = 0$ требуется модификация первоначального критерия (13). Один из возможных способов (см. [3, с. 131], [11]) состоит в выборе момента останова из условия В этом случае устанавливается, что номер $N(\delta ,{{F}_{\delta }})$ корректно определен и выполняется оценка точности Оценка (16) (см. также аналогичную оценку (3.8) в [12]) оставляет открытым вопрос о точности приближения ${{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}}$, выраженной непосредственно в терминах уровня шума $\delta $. Целью настоящей работы является получение такой оценки для итерационного процесса (4). При этом вместо (13), (15) используется следующее модифицированное правило останова: Без использования дополнительных предположений относительно оператора $F$ ниже в теореме 3 устанавливается оценка точности Как показывает сравнение (18) с оценкой (12), обеспечиваемой априорным правилом останова, получаемая оценка охватывает более узкий отрезок изменения показателей истокопредставимости $p$. Кроме того, оценка (18) уступает по порядку оценке (12) при $p < p{\kern 1pt} {\text{*}}$ и совпадает с ней лишь в случае $p = p{\kern 1pt} *$. Тем не менее (18) не предполагает не только каких-либо условий на нелинейность оператора $F$, но и наличия априорной информации о значении $p$ помимо условия $p \geqslant (p{\kern 1pt} {\text{*}} + 1){\text{/}}2$.

Структура работы следующая. В разд. 2 устанавливаются корректность правила останова (17) и сходимость получаемых аппроксимаций к решению задачи (1). Раздел 3 посвящен доказательству основного утверждения работы, устанавливающего оценку точности аппроксимаций, доставляемых итерациями (4), (17), в терминах уровня погрешности $\delta $.

2. СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИЙ

В этом разделе при определенных дополнительных условиях будут установлены корректность правила останова (17) и сходимость порождаемых приближений ${{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}}$ к решению $x{\kern 1pt} {\text{*}}$. Ниже нам понадобится вытекающее из (2) представление

Пусть при некотором $1{\text{/}}2 \leqslant p \leqslant p{\kern 1pt} {\text{*}}$ выполняется условие (11), последовательность итерационных точек $\{ {{x}_{n}}\} $ строится согласно (4), ${{x}_{0}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$. Используя (19), получаем (см. [3, с. 130]), что если ${{x}_{n}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$, то с подходящими постоянными ${{C}_{4}},\; \ldots ,\;{{C}_{7}}$ выполняется

Вначале покажем, что условие (17) корректно определяет номер $N(\delta ,{{F}_{\delta }}) \in \mathbb{N}$. Будем предполагать, что

Предположим, что номер $N(\delta ,{{F}_{\delta }})$, удовлетворяющий (17), не существует. Возможны два случая.

1. Для всех $n = 1,2, \ldots $ выполняется ${{x}_{n}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$ и $\sqrt {{{\alpha }_{n}}} {{\left\| {{{F}_{\delta }}({{x}_{n}})} \right\|}_{{{{H}_{2}}}}} > \tau \delta $.

2. Найдется номер $K \in \mathbb{N}$ такой, что ${{x}_{n}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$, $\sqrt {{{\alpha }_{n}}} {{\left\| {{{F}_{\delta }}({{x}_{n}})} \right\|}_{{{{H}_{2}}}}} > \tau \delta $ для всех $n = 1,2, \ldots ,K$, но ${{x}_{{K + 1}}} \notin {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$.

Заметим, что в силу (2)

Поэтому $\mathop {sup}\limits_{n = 0,1, \ldots } {{\left\| {{{F}_{\delta }}({{x}_{n}})} \right\|}_{{{{H}_{2}}}}} < \infty $, и случай 1 противоречит условию $\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } {{\alpha }_{n}} = 0$ из (5).

Далее укажем условия на параметры процесса (4), (17), при выполнении которых случай 2 также не реализуется. Пусть выполняется условие

Тогда для произвольного номера $1 \leqslant n \leqslant K$ с учетом (5) имеем Отсюда следует, что Объединяя оценки (20) и (23), получаем Предположим, что с некоторой постоянной $l > 0$ выполняется Покажем, что при некоторых дополнительных предположениях тогда будет справедливо Доказательство проведем по индукции. При $n = 0$ искомое утверждение совпадает с (25). Пусть теперь неравенство (26) верно для некоторого номера $0 \leqslant n \leqslant K$. Убедимся, что тогда Из (24) и (5) в силу предположения индукции получаем Дополнительно к сделанным ранее предположениям будем считать выполненным условие Поскольку $r \geqslant 1$, требуемая оценка (27) непосредственно следует из (28), (29). Этим шаг индукции завершен. Из (26) с учетом (5) и (25) теперь следует, что ${{x}_{{K + 1}}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$. Мы убедились, что случай 2) также не реализуется. Одновременно доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполняются условия $(21),\;(22),\;(25),\;(29)$. Тогда условие $(17)$ корректно определяет номер $N(\delta ,{{F}_{\delta }}) \in \mathbb{N}$. При этом имеет место оценка

Замечание 1. Условие (29) выполняется, если величина $l$ выбрана достаточно малой, а параметр $\tau $ достаточно большим так, что

При этом на элемент ${v}$ в условии истокопредставимости (11) следует наложить требование

Исследуем теперь сходимость приближений ${{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}} = {{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}}({{F}_{\delta }})$ к решению $x{\kern 1pt} {\text{*}}$ при $\delta \to 0$. Примем техническое предположение о том, что шар ${{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$ не содержит отличных от $x{\kern 1pt} {\text{*}}$ решений уравнения (1). Для простоты будем считать, что задана дискретная последовательность приближенных операторов $\{ {{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}\} $ с соответствующими уровнями погрешности $\{ {{\delta }_{q}}\} \to 0$. Тогда получаем последовательность приближений $\{ {{x}_{{N({{\delta }_{q}},{{F}_{{{{\delta }_{q}}}}})}}}({{F}_{{{{\delta }_{q}}}}})\} $.

Зафиксируем ${{x}_{0}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$ и будем обозначать через ${{x}_{n}}(\widetilde F)$ результат $n$ шагов процесса (4) с ${{F}_{\delta }} = \widetilde F$. Пусть $x_{n}^{{(q)}} = {{x}_{n}}({{F}_{{{{\delta }_{q}}}}})$, $x_{n}^{ * } = {{x}_{n}}(F)$. Ниже нам понадобится следующая лемма.

Лемма 1. Пусть положительная числовая последовательность $\{ {{\delta }_{q}}\} $, $\mathop {lim}\limits_{q \to \infty } {{\delta }_{q}} = 0$, и последовательность $\{ {{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}\} $ дифференцируемых по Фреше операторов удовлетворяют соотношениям $(2)$ и $(3)$ с $\delta = {{\delta }_{q}}$, ${{F}_{\delta }} = {{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}$ при любом $q$. Тогда для любого номера $n \in \mathbb{N}$, при котором $x_{k}^{{(q)}} \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$ для всех $k \leqslant n$ и $q \in \mathbb{N}$, справедливо

Доказательство проведем по индукции. Пусть для некоторого номера $n$, удовлетворяющего условию леммы, соотношение (31) верно. Тогда $x_{n}^{ * } \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$. Отметим, что для номера $n = 0$ сказанное справедливо. Тогда

В силу непрерывности функций $\Theta (\lambda ,{{\alpha }_{n}})$ и $\Theta (\lambda ,{{\alpha }_{n}})\lambda $ при $\lambda \in [0,{{M}^{2}}]$ операторы $\Theta (F_{{{{\delta }_{q}}}}^{{'*}}(x_{n}^{{(q)}})F_{{{{\delta }_{q}}}}^{'}(x_{n}^{{(q)}}),{{\alpha }_{n}})$ и $\Theta (F_{{{{\delta }_{q}}}}^{{'*}}(x_{n}^{{(q)}})F_{{{{\delta }_{q}}}}^{'}(x_{n}^{{(q)}}),{{\alpha }_{n}})F_{{{{\delta }_{q}}}}^{{'*}}(x_{n}^{{(q)}})F_{{{{\delta }_{q}}}}^{{}}(x_{n}^{{(q)}})$ равномерно ограничены по $q$. Кроме того, Отсюда Кроме того, нетрудно видеть, что последовательность операторов $\{ F_{{{{\delta }_{q}}}}^{{'*}}(x_{n}^{{(q)}})F_{{{{\delta }_{q}}}}^{'}(x_{n}^{{(q)}})\} $ равномерно сходится к оператору $F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x_{n}^{ * })F{\kern 1pt} '(x_{n}^{ * })$, поэтому (см. [13, с. 626]) имеет место сходимость в операторной норме при $q \to \infty $. Объединяя (32)–(36), приходим к соотношению Лемма доказана.

Рассмотрим два возможных случая.

1. Последовательность моментов останова $\{ N({{\delta }_{q}},{{F}_{{{{\delta }_{q}}}}})\} $ ограничена, так что $N({{\delta }_{q}},{{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}) \leqslant \overline N $, $q \in N$. В этом случае найдется такой номер ${{K}_{0}}$, что $\{ N({{\delta }_{q}},{{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}):q \geqslant {{K}_{0}}\} $ есть объединение конечного числа бесконечных стационарных подпоследовательностей вида $\{ N({{\delta }_{{q_{j}^{{(l)}}}}},{{F}_{{{{\delta }_{{q_{j}^{{(l)}}}}}}}}) \equiv {{N}_{l}}\} _{{j = 1}}^{\infty }$, где ${{N}_{l}} \ne {{N}_{m}}$ при $l \ne m$. Как следует из (17) и (3), для каждого $l$ справедливо

В этом двойном неравенстве при любом $l$ левая часть стремится при $j \to \infty $ к нулю, а правая часть в силу леммы 1 к величине ${{\left\| {F(x_{{{{N}_{l}}}}^{ * })} \right\|}_{{{{H}_{2}}}}}$. Отсюда следует $F(x_{{{{N}_{l}}}}^{ * }) = {{0}_{{{{H}_{2}}}}}$. Поскольку по предположению точка $x{\kern 1pt} {\text{*}}$ является единственным решением уравнения (1) в шаре ${{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$, мы имеем $x_{{{{N}_{l}}}}^{ * } = x{\kern 1pt} {\text{*}}$ для каждого $l$.

2. В последовательности номеров $\{ N({{\delta }_{q}},{{F}_{{{{\delta }_{q}}}}})\} $ имеется неограниченная монотонно возрастающая подпоследовательность $\{ N({{\delta }_{{{{q}_{s}}}}},{{F}_{{{{\delta }_{{{{q}_{s}}}}}}}})\} $. В этом случае, согласно (5), имеем

Тогда из (30) и (37) следует

Итак, мы показали, что если подпоследовательность номеров $N({{\delta }_{{{{q}_{s}}}}},{{F}_{{{{\delta }_{{{{q}_{s}}}}}}}})$ имеет предел, конечный или бесконечный, то вдоль этой подпоследовательности выполняется (38). Легко видеть, что отсюда следует и

В самом деле, в противном случае для некоторого $\varepsilon > 0$ найдется возрастающая последовательность $\{ {{q}_{s}}\} \subset N$ такая, что Выделив из последовательности номеров $N({{\delta }_{{{{q}_{s}}}}},{{F}_{{{{\delta }_{{{{q}_{s}}}}}}}})$ подпоследовательность, имеющую конечный или бесконечный предел, придем к противоречию с доказанным выше. Мы приходим к следующей теореме.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы $1$ и заданы последовательности $\{ {{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}\} $, $\{ {{\delta }_{q}}\} $ такие, что для каждого $q$ выполняется $(3)$ с ${{F}_{\delta }} = {{F}_{{{{\delta }_{q}}}}}$, $\delta = {{\delta }_{q}}$. Тогда справедливо $(39)$.

Перейдем к оценке точности приближений, доставляемых итерациями (4), (17).

3. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ

Из (30) вытекает оценка

В этом разделе получим оценку для ${{\left\| {{{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}} - x{\kern 1pt} {\text{*}}} \right\|}_{{{{H}_{1}}}}}$ непосредственно в терминах уровня погрешности $\delta $. В силу теоремы 2 Дополнительно предположим, что условие истокопредставимости (11) выполнено с параметром $(p{\kern 1pt} {\text{*}} + 1){\text{/}}2 \leqslant p \leqslant p{\kern 1pt} {\text{*}}$.

Пусть $0 \leqslant n \leqslant N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1$. Из (4) следует, что

Кроме того, где ${{G}_{n}} = G({{x}_{n}},{{x}_{{n + 1}}})$ и, согласно (19), Отсюда получаем Используя тождество $A\Theta (A{\kern 1pt} {\text{*}}A,\alpha ) = \Theta (AA{\kern 1pt} {\text{*}},\alpha )A$, справедливое для произвольного оператора $A \in L({{H}_{1}},{{H}_{2}})$ и $\alpha > 0$ (см. [7, с. 34]), запишем Таким образом,

Из (2) следует, что спектры операторов $F_{\delta }^{'}(x)F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}(x)$, $x \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$, принадлежат отрезку $[0,{{M}^{2}}]$ вещественной оси. Зафиксируем $\nu \in (0,{{M}^{2}})$ и обозначим через

ортопроектор из H₂ на собственное подпространство оператора $F_{\delta }^{'}({{x}_{n}})F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}({{x}_{n}})$, отвечающего части его спектра в отрезке $[\nu ,{{M}^{2}}]$.

Подействуем на обе части равенства (44) оператором ${{P}_{n}}$. Поскольку ${{\left\| {{{P}_{n}}} \right\|}_{{L({{H}_{2}},{{H}_{2}})}}} \leqslant 1$, из (44) следует

В силу (7) Поэтому Для оценки нормы элемента ${{G}_{n}}$ воспользуемся (42) и (43). Имеем Здесь Из (6) следует, что при $\lambda \in [0,\alpha ]$ справедливо $\left| {1 - \Theta (\lambda ,\alpha )\lambda } \right| \leqslant {{C}_{1}} + 1$, а в силу (7) при $\lambda \in [\alpha ,M]$ имеет место $\left| {1 - \Theta (\lambda ,\alpha )\lambda } \right| \leqslant {{C}_{2}}(p{\kern 1pt} {\text{*}})$. Поэтому для первого слагаемого в правой части (49) выполняется Кроме того,

Для первого слагаемого в правой части (51) с учетом (11) и (7) имеем оценку

Заметим, что Используя это неравенство, оценим второе слагаемое в правой части (51) по схеме из [3, с. 117]: Из (49)–(53) с учетом (30) следует

Для второго слагаемого в правой части (48) справедливо

Из (43), (48), (54), (55) следует

Обратимся к левой части неравенства (45). Обозначим через $Q(x) = \chi (F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}(x)F_{\delta }^{'}(x))$, $x \in {{\Omega }_{R}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})$, ортопроектор из ${{H}_{1}}$ на собственное подпространство оператора $F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}(x)F_{\delta }^{'}(x)$, соответствующее части его спектра в $[\nu ,{{M}^{2}}]$, и положим ${{Q}_{n}} = Q({{x}_{n}})$. Кроме того, пусть $Q{\kern 1pt} {\text{*}} = \chi (F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})F{\kern 1pt} '(x{\kern 1pt} {\text{*}}))$ — ортопроектор из ${{H}_{1}}$ на собственное подпространство оператора $F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})F{\kern 1pt} '(x{\kern 1pt} {\text{*}})$, соответствующее части его спектра в $[\nu ,{{M}^{2}}]$. Отметим, что ненулевые части спектров операторов $F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}(x)F_{\delta }^{'}(x)$ и $F_{\delta }^{'}(x)F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}(x)$ совпадают. С использованием (8) и известного тождества (см. [3, с. 26])

получаем оценку Здесь $\{ {{E}_{{n\lambda }}}\} $ есть семейство спектральных проекторов оператора $F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}({{x}_{n}})F_{\delta }^{'}({{x}_{n}})$.

Для дальнейшего нам потребуется следующее условие.

Условие 1. Точка $\lambda = \nu $ принадлежит резольвентному множеству оператора $F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})F{\kern 1pt} '(x{\kern 1pt} {\text{*}})$.

Ввиду условия 1, некоторая окрестность $(\nu - \varepsilon ,\;\nu + \varepsilon )$, $\varepsilon > 0$, свободна от точек спектра $F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})F{\kern 1pt} '(x{\kern 1pt} {\text{*}})$. Нам понадобится следующая оценка для нормы возмущения спектрального проектора (см., например, [14, § 135]).

Лемма 2. Пусть $A$, $B$ — ограниченные самосопряженные операторы в ${{H}_{1}}$,

интервал $(\nu - {{\varepsilon }_{0}},\;\nu + {{\varepsilon }_{0}})$ лежит в резольвентном множестве операторов $A$, $B$ и ${{Q}_{A}} = \chi (A)$, ${{Q}_{B}} = \chi (B)$. Тогда для некоторой константы $D = D(M,\nu ,{{\varepsilon }_{0}})$ выполняется

Из (2), (3) следует, что

Положим в предыдущих построениях $n = N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1$. Ввиду (41) и (58), интервал $(\nu - \varepsilon {\text{/}}2,\;\nu + \varepsilon {\text{/}}2)$ свободен от точек спектра оператора $F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}({{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1}}})F_{\delta }^{'}({{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1}}})$ для всех $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ с  достаточно малым ${{\delta }_{0}} > 0$. Применяя лемму 2 к операторам $A = F_{\delta }^{'}{\kern 1pt} {\text{*}}({{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1}}})F_{\delta }^{'}({{x}_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1}}})$, $B = F{\kern 1pt} '{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} {\text{*}})F{\kern 1pt} '(x{\kern 1pt} {\text{*}})$ и используя (58), получаем

Из (57), (59) следует, что при $n = N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1$ величина оценивается снизу выражением В дополнение к сделанным ранее предположениям введем следующее условие.

Условие 2. Справедливо соотношение

При выполнении условия 2 заключаем, что величина (60) при $n = N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1$ оценивается снизу величиной $\kappa \alpha _{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}^{{p*}}$, $\delta \in (0,{{\delta }_{1}}]$ с подходящим $0 < {{\delta }_{1}} \leqslant {{\delta }_{0}}$ и $\kappa = \sqrt {{{C}_{{15}}}} {{\left\| {Q{\kern 1pt} {\text{*}}(x{\kern 1pt} {\text{*}} - \xi )} \right\|}_{{{{H}_{1}}}}}{\text{/}}2$.

Объединяя (46), (47), (56), заключаем, что правая часть (45) при $n = N(\delta ,{{F}_{\delta }}) - 1$ оценивается сверху выражением

Здесь при выводе использовались соотношения (2), (5), (17) и условие $(p{\kern 1pt} {\text{*}} + 1){\text{/}}2 \leqslant p \leqslant p{\kern 1pt} {\text{*}}$. Таким образом, при $\delta \in (0,{{\delta }_{1}}]$ выполняется Величину $l$ считаем выбранной настолько малой, что Тогда из (61) и (62) следует, что если $\delta \in (0,{{\delta }_{2}}]$ с подходящим $0 < {{\delta }_{2}} \leqslant {{\delta }_{1}}$, то Решая квадратное неравенство (63) относительно $t = \delta {\text{/}}\sqrt {{{\alpha }_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}}} $, находим Отсюда следует необходимая нам верхняя оценка ${{\alpha }_{{N(\delta ,{{F}_{\delta }})}}}$ в терминах $\delta $: Объединяя (64) и (40), получаем следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть $(p{\kern 1pt} {\text{*}} + 1){\text{/}}2 \leqslant p \leqslant p{\kern 1pt} {\text{*}}$, выполняются предположения теоремы $1$, условия $1,2$ и соотношение $(62)$. Тогда справедлива оценка

Замечание 2. Из доказательства теоремы 3 следует, что если показатель $p$ в (11) удовлетворяет условию $(p{\kern 1pt} {\text{*}} + 1){\text{/}}2 + \varepsilon \leqslant p \leqslant p{\kern 1pt} {\text{*}}$, $\varepsilon > 0$, то условие (62) может быть снято.