Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 12, стр. 2125-2132

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ – ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей $\partial \Omega $. Рассматривается стационарная задача Стокса движения вязкой несжимаемой жидкости

где ${\mathbf{f}} \in {{{\mathbf{H}}}^{{ - 1 - \varepsilon }}}(\Omega ),0 < \varepsilon < 1{\text{/}}2,\nu > 0,{{H}^{s}}(\Omega )$ обозначает гильбертово пространство Соболева порядка s с нормой $\parallel \cdot {{\parallel }_{{s,\Omega }}}$ и полунормой $| \cdot {{|}_{{s,\Omega }}}$ (в очевидных случаях пишем $\parallel \cdot {{\parallel }_{s}}$ и $| \cdot {{|}_{s}}$) [1, с. 56]. Векторы и пространства, состоящие из вектор-функций, компоненты которых принадлежат ${{H}^{s}}(\Omega )$, будем обозначать полужирным шрифтом так, что

Для пространства вектор-функций ${\mathbf{u}} = ({{u}_{1}},{{u}_{2}}) \in {{{\mathbf{H}}}^{s}}(\Omega )$ норма u обозначается аналогично скалярному случаю и определяется равенством

В случае, когда ${\mathbf{f}} \in {{{\mathbf{H}}}^{s}}(\Omega )$ и $s \geqslant - 1$ вопрос существования, единственности и регулярности обобщенного решения задачи (1) вариационным смешанным методом изучен достаточно полно [2, с. 56], [3, с. 80]. Если ${\mathbf{f}} \in {{{\mathbf{H}}}^{{ - 1 - \varepsilon }}}(\Omega )$, то обобщенное решение задачи (1) будем искать с помощью расширенного смешанного вариационного метода [4]. Дадим описание этого метода в абстрактной форме.

Пусть X_i, ${{M}_{i}},i = 1,2$ — четыре вещественных гильбертовых пространства, снабженных скалярными произведениями ${{( \cdot , \cdot )}_{{{{X}_{i}}}}}$, ${{( \cdot , \cdot )}_{{{{M}_{i}}}}}$ с соответствующими нормами $\parallel \cdot {{\parallel }_{{{{X}_{i}}}}}$, $\parallel \cdot {{\parallel }_{{{{M}_{i}}}}}$. Сопряженные к ${{X}_{i}}$, ${{M}_{i}}$ пространства обозначим соответственно как $X_{i}^{'}$, $M_{i}^{'}$ с нормами ${\text{||}}\, \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{X_{i}^{'}}}}$, ${\text{||}}\, \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{M_{i}^{'}}}}$. Через $\langle \cdot , \cdot \rangle $ обозначим отношение двойственности между пространством и его сопряженным пространством.

Введем три непрерывные билинейные формы:

для которых выполняются неравенства

Рассмотрим следующую вариационную задачу. Даны $F \in X_{2}^{'}$ и $G \in M_{1}^{'}$. Требуется найти пару $(u,p) \in {{X}_{1}} \times {{M}_{2}}$ такую, что

Определим два линеала ${{V}_{{{{X}_{1}}}}}$ и ${{V}_{{{{X}_{2}}}}}$:

Отметим, что ввиду непрерывности билинейных форм ${{b}_{i}}( \cdot , \cdot )$ линеалы ${{V}_{{{{X}_{i}}}}}$ являются замкнутыми подпространствами пространств X_i соответственно. Приведем теорему из работы [4] о разрешимости и устойчивости решения расширенной смешанной вариационной задачи (2).

Теорема 1. Пусть в задаче (2) для непрерывных билинейных форм $a( \cdot , \cdot ),{{b}_{i}}( \cdot , \cdot )$ выполняются следующие условия:

(i)

где ${{C}_{1}}$ – положительная постоянная;

(ii) билинейные формы ${{b}_{i}}( \cdot , \cdot )$ удовлетворяют inf – sup условию, т.е. существуют константы ${{\beta }_{i}} > 0$ такие, что

Тогда задача (2) имеет единственное решение $(u,p) \in {{X}_{1}} \times {{M}_{2}}$ с оценкой устойчивости

где K – положительная постоянная.

2. РАСШИРЕННАЯ СМЕШАННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СТОКСА С СИНГУЛЯРНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

Приведем предварительные сведения. Пусть тройка гильбертовых пространств $V,H,V{\kern 1pt} '$ является оснащением пространства $H$ [5, с. 11], т.е. V плотно вложено в $H$ и $H$ плотно вложено в $V{\kern 1pt} '$. Для $f \in V{\kern 1pt} '$ полагают

Эта формула позволяет расширить скалярное произведение в $H$ на тот случай, когда один множитель принадлежит $V$, а второй $V{\kern 1pt} '$. Говорят, что функционал $f \in V{\kern 1pt} '$ представлен через скалярное произведение в $H$ (теорема Рисса). При сделанных предположениях относительно $V,H,V{\kern 1pt} '$ приведем следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть тройка гильбертовых пространств $V,H,V{\kern 1pt} '$ является оснащением пространства $H$. Тогда для каждого элемента ${v} \in V$ существует функционал $f \in V{\kern 1pt} '$ такой, что

Доказательство. Определим линейный функционал  f  на одномерном подпространстве $F$, состоящем из элементов вида $\alpha {v},\alpha \in \mathbb{R}$, формулой $f(\alpha {v}) = \alpha {\text{||}}{v}{\text{||}}_{V}^{2}$. Норма  f  на подпространстве $F$ равна ${\text{||}}{v}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{V}}$. По теореме Хана-Банаха функционал  f  можно продолжить на все $V$ c сохранением нормы ${\text{||}}{v}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{V}}$. Представляя $f \in V{\kern 1pt} '$ через скалярное произведение в $H$, получаем $f({v}) = {{({v},f)}_{H}} = {\text{||}}{v}{\text{||}}_{V}^{2}.$

Пусть

Положим ${{M}_{1}} = H_{ \bot }^{\varepsilon }(\Omega ),{{M}_{2}} = M_{1}^{'}$. Нетрудно видеть, что M₁ плотно и непрерывно вложено в ${{L}_{{2,0}}}(\Omega )$. Действительно, если $f \in {{L}_{{2,0}}}(\Omega )$, то усредненная функция

где ${{\omega }_{h}}({\text{|}}{\mathbf{x}} - {\mathbf{y}}{\text{|}})$ – некоторое ядро усреднения, также имеет по теореме Фубини нулевое среднее и ${{f}_{h}}({\mathbf{x}}) \in {{C}^{\infty }}({{\mathbb{R}}^{2}}),{{f}_{h}} \equiv 0$, вне ${{\Omega }^{h}} = \bigcup\nolimits_{{{{\mathbf{x}}}^{0}} \in \Omega } \,{\text{\{ |}}{\mathbf{x}} - {{{\mathbf{x}}}^{0}}{\text{|}} < h{\text{\} }}$. Далее обычная аппроксимация с помощью усреднения и срезания носителя (см., например, [6, с. 119], [1, с. 47, с. 71]) дает, что множество функций из $C_{0}^{\infty }(\Omega )$ с нулевым средним плотно в ${{L}_{{2,0}}}(\Omega )$ и в $H_{ \bot }^{\varepsilon }(\Omega )$. Таким образом, тройка пространств ${{M}_{1}},{{L}_{{2,0}}}(\Omega ),{{M}_{2}}$ является оснащением пространства ${{L}_{{2,0}}}(\Omega )$. Для $g \in {{M}_{2}}$ норма определяется в виде

Очевидно ${\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{M}_{2}}}}} \leqslant {\text{||}}g{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{ - \varepsilon }}}$. Приведем два следствия леммы 1.

Следствие 1. Для каждой функции $u \in {{M}_{1}}$ существует функционал $f \in {{M}_{2}}$ такой, что

Реализация отношения двойственности между M₁ и M₂ через скалярное произведение в ${{L}_{2}}(\Omega )$ позволяет сформулировать двойственное утверждение.

Следствие 2. Для каждого функционала $f \in {{M}_{2}}$ существует функция $u \in {{M}_{1}}$ такая, что

Далее будем использовать следующую теорему 2.4 из [7], которая доказана с помощью построения левого обратного оператора для оператора градиента $\nabla $ и привлечения теории интерполяции.

Теорема 2. Пусть область Ω является звездной относительно некоторого внутреннего шара, тогда оператор ${{\nabla }^{s}}: = \nabla :H_{ \bot }^{s}(\Omega ) \to {{{\mathbf{H}}}^{{s - 1}}}(\Omega ),s \in [0,1]$, является ограниченным и инъективным с замкнутой областью значений.

Теорема 2 устанавливает, что оператор ${{\nabla }^{s}} \in \mathcal{L}(H_{ \bot }^{s}(\Omega );{{{\mathbf{H}}}^{{s - 1}}}(\Omega ))$ взаимно-однозначно отображает $H_{ \bot }^{s}(\Omega )$ на замкнутую область своих значений $\mathcal{R}({{\nabla }^{s}})$, которая является гильбертовым пространством. По теореме Банаха об обратном операторе [8, с. 225] оператор, обратный к ${{\nabla }^{s}}$, ограничен, т.е. ${{\nabla }^{s}}$ является изоморфизмом и имеет место обобщенное неравенство Пуанкаре

Отметим, что оператор $ - {{\nabla }^{s}}$ является сопряженным к оператору ${\text{di}}{{{\text{v}}}^{s}}: = {\text{div}} \in \mathcal{L}({\mathbf{H}}_{0}^{{1 - s}}(\Omega );{{M}_{2}})$. Тогда, так как $\mathcal{R}({{\nabla }^{s}})$ есть замкнутое подпространство в ${{{\mathbf{H}}}^{{s - 1}}}(\Omega )$, мы можем применить теорему Банаха об операторах с замкнутой областью значений [9, с. 284], из которой следует, что

где ${{V}_{s}} = ker({\text{di}}{{{\text{v}}}^{s}})$ – ядро оператора div^s, а $V_{s}^{0} \subset {{{\mathbf{H}}}^{{s - 1}}}(\Omega )$ обозначает полярное множество для ${{V}_{s}} \subset {\mathbf{H}}_{0}^{{1 - s}}(\Omega )$:

Из леммы Гальярдо [10, с. 93] следует, что всякую ограниченную область, удовлетворяющую условию конуса, можно представить в виде объединения конечного числа ограниченных областей, каждая из которых звездна относительно некоторого содержащегося в ней шара.

Далее везде $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2)$. Сформулируем свойства операторов ${{\nabla }^{\varepsilon }}$ и div^ε в виде следующей леммы для области, удовлетворяющей условию конуса.

Лемма 2. Пусть ограниченная открытая область $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$ удовлетворяет условию конуса. Тогда

(i) oператор ${{\nabla }^{\varepsilon }}$ есть изоморфизм из $H_{ \bot }^{\varepsilon }(\Omega )$ на $V_{\varepsilon }^{0}$;

(ii) оператор div^εесть изоморфизм из $V_{\varepsilon }^{ \bot }$ на M₂.

Доказательство. Обоснование требует только пункт (ii). Благодаря (i) и так как div^ε есть сопряженный оператор для $ - {{\nabla }^{\varepsilon }}$, мы имеем, что div^ε является изоморфизмом из $(V_{\varepsilon }^{0}){\kern 1pt} '$ на ${{M}_{2}} = (H_{ \bot }^{\varepsilon }(\Omega )){\kern 1pt} '$. Теперь достаточно доказать, что $V_{\varepsilon }^{0}$ может быть отождествлено с $(V_{\varepsilon }^{ \bot }){\kern 1pt} '$, где $V_{\varepsilon }^{ \bot }$ есть ортогональное дополнение к ${{V}_{\varepsilon }}$. Пусть f – любой элемент из $(V_{\varepsilon }^{ \bot }){\kern 1pt} '$ и пусть $\tilde {f}$ – продолжение f на ${\mathbf{H}}_{0}^{{1 - \varepsilon }}(\Omega )$ с помощью равенства

где ${{{\mathbf{u}}}^{ \bot }}$ – ортогональная проекция u на $V_{\varepsilon }^{ \bot }$. Тогда $\tilde {f} \in V_{\varepsilon }^{0}$ и линейное отображение $f \to \tilde {f}$ изометрически отображает $(V_{\varepsilon }^{ \bot }){\kern 1pt} '$ на $V_{\varepsilon }^{0}$, что позволяет их отождествить и получить утверждение (ii)

Следствие 3. Для заданного функционала $g \in {{M}_{2}}$ существует вектор-функция ${\mathbf{v}} \in {\mathbf{H}}_{0}^{{1 - \varepsilon }}(\Omega )$ такая, что

где константа $C > 0$ зависит только от Ω.

Лемма 3. Для заданной функции $f \in {{M}_{1}}$ существует вектор-функция ${\mathbf{u}} \in {\mathbf{H}}_{0}^{{1 + \varepsilon }}(\Omega )$ такая, что

где константа $C > 0$ зависит только от $\Omega $.

Доказательство. Доказательство леммы 3 аналогично доказательству леммы 5.4.2 в [11] для случая ε = 0. Если $\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2)$, то следует использовать результаты о регулярности решений эллиптических краевых задач в дробных пространствах Соболева (см., например, [11, гл. 3]).

Перейдем к рассмотрению задачи (1), когда ${\mathbf{f}} \in {{{\mathbf{H}}}^{{ - 1 - \varepsilon }}}(\Omega )$. В таком случае теория смешанных вариационных задач, содержащаяся, например, в [3], [12], [13] для задачи (1) не применима. Сформулируем расширенную смешанную вариационную постановку (2) для задачи (1) и применим теорему 1 для установления существования и устойчивости решения полученной задачи. Пусть ${{X}_{1}} = {\mathbf{H}}_{0}^{{1 - \varepsilon }}(\Omega ),{{X}_{2}} = {\mathbf{H}}_{0}^{{1 + \varepsilon }}(\Omega )$. Требуется найти пару $({\mathbf{u}},p) \in {{X}_{1}} \times {{M}_{2}}$:

где $a( \cdot , \cdot ),{{b}_{1}}( \cdot , \cdot ),{{b}_{2}}( \cdot , \cdot )$ – билинейные формы, определяемые в виде

Здесь и далее для краткости принято $\nu = 1$, а через ${{\langle \cdot , \cdot \rangle }_{{ - s,s}}}(s > 0)$ обозначено отношение двойственности между ${{H}^{{ - s}}}(\Omega )$ и $H_{0}^{s}(\Omega )$, а также между аналогичными векторными и тензорными пространствами, которое реализовано через скалярное произведение в ${{L}_{2}}(\Omega ),{{{\mathbf{L}}}_{2}}(\Omega )$ или ${{({{L}_{2}}(\Omega ))}^{4}}$.

Приступим к доказательству непрерывности и выполнимости $inf - sup$ условия для билинейных форм ${{b}_{1}}( \cdot , \cdot )$ и ${{b}_{2}}( \cdot , \cdot )$.

Лемма 4. Билинейные формы ${{b}_{1}}( \cdot , \cdot )$ и ${{b}_{2}}( \cdot , \cdot )$ непрерывны, т.е.

Доказательство. Отметим, что если ${\mathbf{u}} = ({{u}_{1}},{{u}_{2}}) \in {{X}_{1}}$, то

Действительно, так как отображение

является непрерывным отображением ${\mathbf{H}}_{0}^{{1 - \varepsilon }}(\Omega ) \to {{{\mathbf{H}}}^{{1 - \varepsilon }}}({{\mathbb{R}}^{2}})$ [1, с. 78] и то где для ${v} \in {{H}^{s}}({{\mathbb{R}}^{2}})$${\hat {v}}$ – преобразование Фурье функции ${v}$ и нормы ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{s,{{\mathbb{R}}^{2}}}}}$ и ${\text{|||}} \cdot \,{\text{||}}{{{\text{|}}}_{{s,{{\mathbb{R}}^{2}}}}}$ эквивалентны [1, с. 45].

Используя (12) и неравенство Шварца, получаем

т.е. требуемое неравенство (11). Неравенство (10) устанавливается аналогично.

Лемма 5. Для билинейных форм ${{b}_{1}}( \cdot , \cdot )$ и ${{b}_{2}}( \cdot , \cdot )$ выполняются inf – sup условия (5) и (6) из теоремы 1, т.е. существуют константы ${{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} > 0$:

Доказательство. Докажем неравенство (14). Пусть $q$ – произвольная функция из ${{M}_{1}}$. Тогда из следствия 1 леммы 1 следует, что существует функционал $f \in {{M}_{2}}$ такой, что

Для такой  f из следствия 3 и неравенства (7) получим, что существует вектор-функция ${\mathbf{u}} \in {{X}_{1}}$ такая, что

Тогда имеем

Отсюда следует неравенство (14) с ${{\beta }_{2}} = 1{\text{/}}C$. Неравенство (13) с помощью леммы 3 и неравенства (8) устанавливается аналогично.

Пусть ${\mathbf{\dot {J}}}(\Omega )$ – множество бесконечно дифференцируемых финитных в $\Omega $ соленоидальных векторов. За ${{V}_{{{{X}_{1}}}}}$ примем пополнение ${\mathbf{\dot {J}}}(\Omega )$ по норме пространства ${{X}_{1}} = {\mathbf{H}}_{0}^{{1 - \varepsilon }}(\Omega )$, а за ${{V}_{{{{X}_{2}}}}}$ – пополнение ${\mathbf{\dot {J}}}(\Omega )$ по норме пространства ${{X}_{2}} = {\mathbf{H}}_{0}^{{1 + \varepsilon }}(\Omega ),\varepsilon \in (0,1{\text{/}}2)$. Используя лемму 2, можно показать, модифицируя доказательство теоремы 1.6 из [2], что ${{V}_{{{{X}_{1}}}}} = ker{\text{di}}{{{\text{v}}}^{\varepsilon }}$, ${{V}_{{{{X}_{2}}}}} = ker{\text{di}}{{{\text{v}}}^{{ - \varepsilon }}}$.

Перейдем к рассмотрению билинейной формы $a({\mathbf{u}},{\mathbf{v}})$ на ${{V}_{{{{X}_{1}}}}} \times {{V}_{{{{X}_{2}}}}}$.

Лемма 6. Билинейная форма $a({\mathbf{u}},{\mathbf{v}})$ непрерывна на ${{X}_{1}} \times {{X}_{2}}$ и для нее выполняются условия (3) и (4) теоремы 1 на ${{V}_{{{{X}_{1}}}}} \times {{V}_{{{{X}_{2}}}}}$, т.е. существуют константы ${{C}_{1}},{{C}_{2}} > 0$ такие, что

Доказательство. Аналогично выводу неравенства (12), можно получить, что

Теперь применим неравенство Шварца и неравенства (18) для получения оценки непрерывности (15) формы $a({\mathbf{u}},{\mathbf{v}})$ на ${{X}_{1}} \times {{X}_{2}}$:

Нетрудно видеть, что тройка пространств ${{X}_{1}},{{{\mathbf{L}}}_{2}}(\Omega ),{{X}_{1}}$ является оснащением пространства ${{{\mathbf{L}}}_{2}}(\Omega )$. Пусть ${\mathbf{u}}$ – любая вектор-функция из ${{V}_{{{{X}_{1}}}}}$. Тогда из леммы 1 получим, что существует функционал ${\mathbf{g}} \in {{X}_{1}}$ такой, что $\parallel {\mathbf{g}}{{\parallel }_{{ - 1 + \varepsilon }}} = \parallel {\mathbf{u}}{{\parallel }_{{1 - \varepsilon }}}$ и

Для доказательства неравенства (16) рассмотрим решение $({\mathbf{v}},p)$ задачи Стокса (1) с правой частью g. В нашем двумерном случае нахождение скорости v можно путем введения функции тока ϕ так, что ${{{v}}_{1}} = \partial \phi {\text{/}}\partial {{x}_{2}},{{{v}}_{2}} = - \partial \phi {\text{/}}\partial {{x}_{1}}$ свести к решению краевой задачи для бигармонического уравнения относительно ϕ:

Известные результаты о регулярности решения эллиптических краевых задач (см., например, [11, теорема 3.8.1]) дают для решения задачи (20) оценку

из которой следует, что

Тогда, так как ${\mathbf{v}} \in {{V}_{{{{X}_{2}}}}}$, то из первого уравнения системы (1) имеем

Возьмем в качестве пробной функции в (22) вместо w вектор u. Тогда применяя (19) и (21), получаем

Откуда следует справедливость неравенства (16) с ${{C}_{2}} = 1{\text{/}}C$. Ввиду включения ${{V}_{{{{X}_{2}}}}} \subseteq {{V}_{{{{X}_{1}}}}}$ выполнение условия (17) является очевидным. Для каждого ${\mathbf{v}} \in {{V}_{{{{X}_{2}}}}}$ полагаем u = v, тогда получаем

Откуда следует выполнение условия (17).

Таким образом, для смешанной вариационной формулировки (9) задачи Стокса (1) выполнены все условия теоремы 1 и можно сформулировать окончательный результат в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Задача Стокса (1), когда ${\mathbf{f}} \in {{{\mathbf{H}}}^{{ - 1 - \varepsilon }}}(\Omega )(0 < \varepsilon < 1{\text{/}}2)$, имеет единственное обобщенное решение $({\mathbf{u}},p) \in {\mathbf{H}}_{0}^{{1 - \varepsilon }}(\Omega ) \times (H_{ \bot }^{\varepsilon }(\Omega ))'$ как решение смешанной вариационной задачи (9), и для него справедлива оценка

где $C > 0$ – положительная постоянная, не зависящая от f.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По теореме вложения Соболева, когда $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{2}}$, пространство ${{{\mathbf{H}}}^{{1 + \varepsilon }}}(\Omega )$ непрерывно вкладывается в ${\mathbf{C}}(\bar {\Omega })$. Отсюда следует, что дельта-функция Дирака $\delta ({\mathbf{x}} - {{{\mathbf{x}}}_{0}})$, действующая на функции ${\mathbf{v}} \in {\mathbf{H}}_{0}^{{1 + \varepsilon }}(\Omega )$ как $(\delta ({\mathbf{x}} - {{{\mathbf{x}}}_{0}}),{\mathbf{v}}({\mathbf{x}})) = {\mathbf{v}}({{{\mathbf{x}}}_{0}})$ является линейным непрерывным функционалом на пространстве ${\mathbf{H}}_{0}^{{1 + \varepsilon }}(\Omega )$, т.е. принадлежит пространству ${{{\mathbf{H}}}^{{ - 1 - \varepsilon }}}(\Omega )$. Таким образом, в случае, когда в задаче Стокса (1) на месте функции f в правой части стоит сингулярная обобщенная функция $\Psi ({{{\mathbf{x}}}_{0}})\delta ({\mathbf{x}} - {{{\mathbf{x}}}_{0}})$ применима теорема 3.

Приведенный в работе анализ расширенной смешанной постановки (9) задачи Стокса (1) с сингулярной правой частью может служит основой для построения и обоснования численных схем метода конечных элементов в дробных пространствах Соболева.