Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 2, стр. 206-216

1. ВВЕДЕНИЕ

При анализе численных методов решения дифференциальных уравнений обычно необходима информация о величинах производных приближаемого решения. В сингулярно возмущенном случае максимумы модулей производных порядка $k$ оценивается величиной $O({{\varepsilon }^{{ - \sigma k}}})$, где $\varepsilon > 0$ – малый параметр. Несмотря на то что эта оценка, как правило, является точной, она мало эффективна. Связано это с тем, что указанные значения производные принимают только в малой части области, называемой пограничным слоем. Вне же пограничного слоя производные решения, как правило, ограничены (до порядка, определяемого гладкостью входных данных). Поэтому до проведения оценок решение полезно представить в виде суммы регулярной и сингулярной составляющих. Такое представление называется декомпозицией решения. Разумеется, декомпозиция не определяется однозначно, и тот или иной выбор декомпозиции связан со способом ее дальнейшего анализа и, в первую очередь, со способом анализа ее регулярной составляющей. Известные декомпозиции [1] (см. также литературу, цитированную в [2]), обладая большой общностью и широтой охвата, имеют существенный недостаток – они предъявляют довольно жесткие требования к гладкости исследуемого решения, которые далеко не всегда могут быть удовлетворены. Чтобы иметь возможность снизить требования к гладкости решения, нужны новые декомпозиции и новые методы их анализа. Естественно предположить, что для получения более точных результатов придется сузить класс исследуемых задач. Так, например, в [3] построена декомпозиция при существенно ослабленных по сравнению с [1] предположениях о гладкости решения для двумерного уравнения с постоянными коэффициентами. Неулучшаемые оценки для уравнения с постоянными коэффициентами получены в [2], [4]. Одномерный вариант этих оценок для уравнения с переменными коэффициентами содержится в [5].

В данной работе рассмотрена задача Дирихле в ограниченной области (единичном квадрате) для уравнения с переменными коэффициентами и конвекцией, направленной ортогонально одной из сторон квадрата. Для регулярной составляющей решения этой задачи с использованием результатов [2], [4] получены априорные оценки в нормах гёльдеровых пространств через соответствующие нормы правой части уравнения и граничной функции.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Рассмотрим следующую задачу: в области $\Omega : = {{(0,1)}^{2}}$ с границей $\partial \Omega = \bigcup\nolimits_{\ell = 1}^4 {{{\Gamma }_{\ell }}} $ ищется решение задачи

где $\Delta $ – оператор Лапласа, $\varepsilon \in (0,1]$ – малый параметр, а коэффициенты удовлетворяют условиям Будем, кроме того, предполагать, что

При сделанных предположениях поставленная задача имеет три пограничных слоя: регулярный пограничный слой в окрестности правой границы квадрата и два характеристических слоя в окрестностях верхней и нижней сторон.

Представим решение задачи в виде

где $U$ – регулярная, а $V$ – сингулярная составляющие, причем для регулярной составляющей выполняются условия а

Основной результат работы содержит

Теорема 1. Пусть $r(x,y)$, $q(x,y)$ и $f(x,y)$ $ \in {{C}^{{k,\lambda }}}(\bar {\Omega })$, $g(y) \in {{C}^{{k + 2,\lambda }}}([0,1])$, $k = 0,1, \ldots $, $0 < \lambda < 1$. Тогда существует такая функция $U(x,y)$, удовлетворяющая (2.4), (регулярная составляющая решения задачи (2.1)), для которой справедлива оценка

Здесь $c$ – положительная постоянная, не зависящая от $U$, $\varepsilon $ и рядом стоящего сомножителя, ${{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{{{{C}^{{k,\lambda }}}}}}$ – коэффициент Гёльдера (полунорма), а ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{{{C}^{{k,\lambda }}}}}}$ – норма в пространстве Гёльдера ${{C}^{{k,\lambda }}}$.

Последующее изложение данной работы посвящено доказательству этой теоремы.

3. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ПОЛУПЛОСКОСТИ. НЕУЛУЧШАЕМЫЕ ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ

Рассмотрим следующую задачу: в правой полуплоскости $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ плоскости $Oxy$ найти ограниченное решение задачи

где $\alpha $ и $q$ – коэффициенты, которые предполагаются постоянными и положительными.

В [2] для решения этой задачи при $g(y) \equiv 0$ получена оценка

а в [4] при $f(x,y) \equiv 0$ получена оценка

В силу линейности задачи (3.1), (3.2) отсюда следует, что для решения $u(x,y)$ задачи (3.1), (3.2) справедлива априорная оценка

Из (3.3) следуют оценки для любых $k = 0,1, \ldots $

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ

Построим теперь регулярную составляющую решения задачи (2.1) и установим оценку (2.5). Для этого сначала сделаем замену переменной $u(x,y) = {{e}^{{\beta x}}}v(x,y)$. При $\beta > 0$ для новой функции ${v}(x,y)$ получим задачу

где Пусть Тогда при $0 < \varepsilon \leqslant {{\varepsilon }_{1}}$ для коэффициентов $\hat {r}(x,y)$, $\hat {q}(x,y)$ справедливы оценки Продолжим $\hat {r}(x,y)$, $\hat {q}(x,y)$ и $\hat {f}(x,y)$ гладко с $\Omega $ на $\Omega {\kern 1pt} * = (0,3{\text{/}}2) \times ( - 1{\text{/}}2,3{\text{/}}2)$, ($\hat {g}(0,y) = g(y)$ с $(0,1)$ на (–1/2,3/2)), а затем на всю полуплоскость $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ (всю ось $Oy$), с сохранением класса и нормы. Продолженные функции будем обозначать теми же буквами, но со звездочкой, т.е. для всех $\hat {\varphi }(x,y)$, где под $\hat {\varphi }(x,y)$ понимаются функции $(\hat {r}(x,y)$, $\hat {q}(x,y)$, $\hat {f}(x,y))$и аналогично для одномерной функции $g{\kern 1pt} {\text{*}}(y) = g(y)$ при $y \in [0,1]$. Будем также предполагать, что и, более того, будем предполагать, что Применительно к несвязным областям cуществование таких продолжений функций с указанными свойствами в двумерном и одномерном случаях следует, например, из [7, Дополнение, с. 587–597].

Теперь в правой полуплоскости $x \geqslant 0$ рассмотрим задачу

Из связи функций $u(x,y)$, $v(x,y)$ и $U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,y)$, описанной ранее в этом разделе, очевидно, что сужение функции $U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{e}^{{\beta x}}}$ на $\Omega $ можно рассматривать как регулярную составляющую $U$ декомпозиции (2.3).

Для доказательства теоремы 1 аналогично [6, гл. III, § 2] будем пользоваться методом разбиения единицы и техникой явного применения такого метода в одномерном случае в [5]. Для начала построим разбиение единицы для полуплоскости. Напомним, что разбиение единицы на полуоси $Ox$ в [5] задается при помощи бесконечно дифференцируемой функции

с носителем $[ - {\text{3/4,}}\;{\text{3/4]}}$ следующим образом: где а Аналогично построим разбиение единицы на оси $Oy$.

Очевидно, что искомое разбиение есть

если а Теперь разбиение единицы ${{\zeta }_{{m,n}}}$ на всей полуплоскости $\mathbb{R}_{ + }^{2}$ зададим как тензорное произведение построенных одномерных разбиений (4.6), (4.7): В соответствии с этим разбиением представим функцию $U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,y)$ в виде

5. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ

Умножим уравнение (4.5) для $U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,y)$ на соответствующие функции ${{\zeta }_{{m,n}}}(x,y)$ и, поступая аналогично одномерному случаю [5], получим для функций ${{u}_{{m,n}}}(x,y)$ задачи с постоянными коэффициентами в полуплоскости типа (3.1), (3.2). Затем воспользуемся оценкой (3.3) для решений каждой из этих задач, и, наконец, получим для $U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,y)$, как для суммы решений ${{u}_{{m,n}}}(x,y)$, сначала оценку (3.3), а затем оценку (2.5) при $k = 0$, и, наконец, для любых $k = 0,1, \ldots $.

Опишем этот процесс более подробно. Умножим уравнение (4.5) на ${{\zeta }_{{m,n}}}(x,y)$. Будем иметь

Очевидно, что С учетом того, что ${{\zeta }_{{m,n}}}U{\kern 1pt} * = {{u}_{{m,n}}}$ (см. (4.8)), отсюда следует, что Теперь (5.1) можно записать в виде Далее преобразуем полученное уравнение для ${{u}_{{m,n}}}$ аналогично тому, как это было сделано в [5] для одномерного случая. Будем иметь где ${{\alpha }_{{m,n}}}$ и ${{q}_{{m,n}}}$ – некоторые положительные постоянные, которые будут выбраны в дальнейшем. Для указанных значений $m,n$ носители ${{\Delta }_{{m,n}}} = {{\Delta }_{m}}(x) \times {{\Delta }_{n}}(y)$ функции ${{\zeta }_{{m,n}}}(x,y)$ принадлежат $\mathbb{R}_{ + }^{2}$, поэтому функции ${{u}_{{m,n}}}(x,y)$ можно рассматривать как решения задачи (3.1), (3.2) с соответствующими коэффициентами и правыми частями и граничными условиями Применим к каждому такому решению ${{u}_{{m,n}}}$ оценку (3.3). Получим В правой части полученного неравенства присутствуют слагаемые, зависящие от ${{u}_{{m,n}}}$, аналогичные тем, которые имеются и в левой части, и слагаемые, зависящие от $U{\kern 1pt} *$. Проведем сначала оценку величин, связанных с ${{u}_{{m,n}}}$. Начнем со второго слагаемого правой части. На основании определения нормы в ${{C}_{\lambda }}$ и, принимая во внимание правила вычисления постоянной Гёльдера для произведения двух функций, найдем, что Используя интерполяционное неравенство (см., например, [2], [5]) получим из (5.2), (5.3) оценку Выберем теперь ${{\alpha }_{{m,n}}}$ из условия Будем считать, что размеры ${{\Delta }_{{m,n}}}$ – носителя ${{\zeta }_{{m,n}}}(x,y)$, т.е. длина $\delta $ отрезка ${{\Delta }_{m}}$ – носителя ${{\xi }_{m}}(x)$ (и ${{\Delta }_{n}}$ – носителя ${{\zeta }_{n}}(y)$) столь малы (за счет величины $N$), что и выберем $t$ так, чтобы При оценке третьего слагаемого в правой части (5.2) поступим аналогично, т.е. в выражении выберем Снова за счет малости ${{\Delta }_{{m,n}}}$ получим оценку Теперь, принимая во внимание вышесказанное, а также используя следующую оценку для пятого слагаемого из правой части (5.2) на ${{\Delta }_{{m,n}}}$и очевидные оценки других слагаемых там же, будем иметь где Заметим еще, что, исходя из определения функций ${{g}_{n}}$, имеем следующие оценки для последних слагаемых в правой части (5.5): Суммируя полученные для ${{u}_{{m,n}}}$ оценки (5.5), для получаем оценку Пусть ${{\varepsilon }_{2}} > 0$ таково, что при $\varepsilon \leqslant {{\varepsilon }_{2}} < 1$ выполняется (так как $\varepsilon < \sqrt \varepsilon ,$ $\varepsilon < {{\varepsilon }^{{\tfrac{{1 - \lambda }}{2}}}}$ при $\varepsilon < 1$) Далее для оценки ${{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{x}^{\lambda }}}}$ воспользуемся неравенством Юнга (см., например, [9, гл. I, § 15]) и интерполяционными неравенствами (см., например, [5]) и (5.4). Будем иметь Выберем параметр $s$ так, чтобы выполнялось ($c$ – постоянная из (5.6)) С учетом этого придем к оценке

Замечание 1. Оценка (5.7) справедлива и при $\beta = 0$, однако оценить оставшиеся в правой части (5.7) величины $c{{\left\| {U{\kern 1pt} *} \right\|}_{C}}$ и $c{{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{y}^{\lambda }}}}$ так, чтобы их можно было исключить за счет присутствующих в левой части соответствующих величин, при $\beta = 0$ не удается, так как стоящий перед ними множитель невозможно сделать малым независимо от $\varepsilon $.

Оценим теперь величины ${{\left\| {U{\kern 1pt} *} \right\|}_{C}}$ и ${{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{y}^{\lambda }}}}$ в полуплоскости. Напомним, что $U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (x,y)$ является решением задачи (4.5). Так как решение $U{\kern 1pt} *$ на бесконечности стремится к нулю, то максимальное значение эта функция принимает в конечной (ограниченной) области, и на основании принципа сравнения (см. [8, Ch. 2, § 6])

Для оценки ${{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{y}^{\lambda }}}}$ преобразуем задачу для $U{\kern 1pt} *$ из (4.5) к виду где $\alpha $ и $Q$ – некоторые постоянные, подлежащие выбору в дальнейшем. Теперь для оценки величины ${{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{y}^{\lambda }}}}$ воспользуемся результатами [2, лемма 5.1] и [4]. Согласно указанной лемме, при нулевой граничной функции оценка решения уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид а с учетом оценки решения с нулевой правой частью и ненулевой граничной функцией, из [2], [4] следует Отсюда вытекает следующая оценка: Пусть Тогда $(Q - q{\kern 1pt} *) > 0$. Рассмотрим коэффициент при ${{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{y}^{\lambda }}}}$. Заметим, что при выполняется неравенство а после применения интерполяционного неравенства (5.4) при $\varepsilon \leqslant \min \{ {{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}},{{\varepsilon }_{3}},1\} $ (см. (4.3), (5.9)) получим оценку ${{\left| {U{\kern 1pt} *} \right|}_{{C_{y}^{\lambda }}}}$: Выразим входящие в (5.10) величины, зависящие от коэффициентов уравнения (4.5), с учетом (4.2), (4.3) и будем считать, что $\varepsilon \leqslant \min \{ {{\varepsilon }_{1}},{{\varepsilon }_{2}},{{\varepsilon }_{3}},1\} $. Тогда (5.10) будет иметь вид Выберем теперь $\beta $, а затем $t$ так, чтобы Тогда после подстановки последней оценки в (5.7) получим оценку (3.3) для решения задачи (4.5) в полуплоскости. Из (3.3) очевидным образом следует оценка (2.5) при $k = 0$, так как ${{\varepsilon }^{{(1 - \lambda )/2}}} > \sqrt \varepsilon $ при $0 < \lambda < 1$ и $0 < \varepsilon < 1$.

Теперь рассмотрим функцию $U(x,y)$, являющуюся сужением $U{\kern 1pt} *(x,y){{e}^{{\beta x}}}$ на область $0 \leqslant x \leqslant 3{\text{/}}2$ и докажем для нее оценку (2.5). Тогда сужение $U(x,y)$ на $\Omega $ и будет искомой регулярной составляющей решения задачи (2.1).

Оценку (2.5) для $U(x,y)$ при $0 \leqslant x \leqslant 3{\text{/}}2$ докажем, подставив в левую часть (2.5) при $k = 0$ функцию $U(x,y) = U{\kern 1pt} *{\kern 1pt} {{e}^{{\beta x}}}$. Далее, принимая во внимание оценки

а также используя интерполяционное неравенство (5.4) в нужных местах, будем иметь

Чтобы доказать оценку (2.5) при любом $k$, достаточно для решения $U$ получить соответствующую оценку при $k = 1$. Для этого продифференцируем уравнение (2.4) для $U$ по $y$ и это же уравнение по $x$. Заметим, что полученные уравнения для новых функций $\bar {u}(x,y) = \partial U{\text{/}}\partial y$ и $\hat {u}(x,y) = \partial U{\text{/}}\partial x$ с граничными условиями $\bar {u}(0,y) = g{\kern 1pt} '(y)$ и $\hat {u}(0,y) = (\partial U{\text{/}}\partial x)(0,y)$, соответственно, являются уже рассмотренными задачами (но с другими правыми частями и граничными условиями), и потому, воспользовавшись полученными ранее оценками для каждой из них и, где необходимо, интерполяционным неравенством (5.4), после сложения результатов, придем к оценке (2.5) при $k = 1$. Продолжая этот процесс далее, приходим к доказательству теоремы 1.

Изложим вышесказанное более подробно.

1. Задачу для производной функции $U$ по $y$ можно записать в виде

где оператор $L$ определен в (2.1).

Применим к решению этой задачи доказанную для $k = 0$ оценку (2.5). Будем иметь

Рассмотрим два последних слагаемых в правой части оценки (5.12). Так как по определению нормы в ${{C}^{\lambda }}$

и ${{\left\| {\tfrac{{\partial U}}{{\partial x}}} \right\|}_{C}}$ оценивается при помощи интерполяционного неравенства (5.4) через ${{\left| {\tfrac{{\partial U}}{{\partial x}}} \right|}_{{C_{x}^{\lambda }}}}$ и ${{\left\| U \right\|}_{C}}$, причем эти величины уже были оценены в (2.5) при $k = 0$ через а последнее слагаемое из (5.12) оценивается аналогично, то правая часть неравенства (5.12) оценивается величиной

2. Теперь продифференцируем (2.4) по $x$. Для функции $\tfrac{{\partial U}}{{\partial x}}$ получим задачу, аналогичную (5.11):

Функция $\tfrac{{\partial U}}{{\partial x}}$, как решение этой задачи, также оценивается при помощи (2.5), именно Заметим, что а и потому из (5.12), (5.13) следует оценка Заметим также, что а на основании интерполяционного неравенства (5.4) имеем Входящие же в правые части двух последних неравенств величины оцениваются правой частью (5.12), т.е. величиной (5.13). Осталось оценить два последних слагаемых в правой части (5.15), а именно, Снова используя правило вычисления коэффициента Гёльдера от произведения функций и интерполяционное неравенство (5.4), на основании доказанной для $U$ оценки (2.5) при $k = 0$, оценим сумму указанных последних слагаемых. Складывая теперь оценки (5.12) и (5.15), с учетом (5.13) и очевидных неравенств, выражающих связь между младшими и старшими коэффициентами Гёльдера, получаем оценку (2.5) при $k = 1$. Продолжая этот процесс, т.е. дифференцируя каждое из уравнений для $\partial U{\text{/}}\partial x$, $\partial U{\text{/}}\partial y$ снова по $x$ и эти же уравнения по $y$, после аналогичных рассуждений докажем оценку (2.5) для следующего $k$. И так далее. Тем самым, придем к установлению указанной оценки для $U$ при всех $k$. Следовательно, оценка (2.5) установлена при $0 \leqslant x \leqslant 3{\text{/}}2$, а значит, и для $(x,y) \in \Omega $. Тем самым, теорема 1 полностью доказана.