Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 3, стр. 458-474

2.1. Дисперсионное соотношение

Система уравнений выведена из гиперболических уравнений и в значительной степени сохраняет их свойства. Дисперсионное соотношение, получаемое из линеаризованного варианта уравнений (2.4) подстановкой, в которой все неизвестные пропорциональны $exp(ikx - \omega t)$, в недиссипативном случае имеет следующий вид:

2.2. О числе граничных условий

Рассматриваемая ниже задача о распаде произвольного разрыва математически ставится в неограниченной области. Фактический же расчет делается в конечной области с границами, достаточно удаленными от области распада, задаются значения величин на границе и нулевые значения производных, если постановку производных требует численная схема. Поэтому возникает вопрос о корректной постановки краевой задачи. Согласно теории, основанной на анализе дисперсионного соотношения $\omega = \omega (k)$ [5], [17], [18], число граничных условий на краях расчетной области должно определяться на левой границе числом корней $k(\omega )$ с $\operatorname{Im} k > 0$ при $\operatorname{Im} \omega > M > 0$, а на правой границе – числом корней с $\operatorname{Im} k < 0$, здесь имеются в виду неподвижные границы; принято говорить, что эти числа определяют число уходящих волн, подробное объяснение такой терминологии есть в [18]. Величина $M$ выбирается достаточно большой так, чтобы значения $k(\omega )$ не пересекали действительную ось. Данные уравнения формально не входят в класс уравнений, описанных в [18], из-за наличия пространственно-временных производных, но будем применять этот критерий. Большим значениям $\left| M \right|$ в случае магнитозвуковых и альвеновских волн соответствуют волны с большим $\left| k \right|$, при этом $k \approx \omega {\text{/}}V$, $V = {{V}_{0}} + u \in R$. У быстрых магнитозвуковых волн скорость $V$ при $k \to \infty $ такая же, как в газовой динамике, если рассматривать первые два уравнения системы (2.4) без включения в них магнитного поля. В этом смысле можно говорить о дозвуковом и сверхзвуковом течении. Скорость альвеновских и медленных магнитозвуковых волн при $k \to \infty $ равна $u$. Для корней $k(\omega )$, соответствующих рассмотренным волнам, понятие приходящих и уходящих волн совпадает с этим понятием для гиперболических систем, если рассматривать указанные выше скорости как характеристические. Волна уходящая, если характеристическая скорость положительна для левой границы и отрицательна для правой. Кроме того, имеются еще четыре ветви $k(\omega )$, для которых в соответствии с (2.7) ${{k}_{{1,2,3,4}}} \approx \pm i\sqrt {n{{R}_{i}}{{R}_{e}}} $ при больших значениях $\left| \omega \right|$, т.е. две из этих волн всегда приходящие и две уходящие, скорость распространения этих волн может быть сколь угодно большой (при этом $k$ – комплексное число). Таким образом, при сверхзвуковом течении требуется 8 или 2 условия на границах, при дозвуковом – 7 или 3 условия, при $u = 0$, возможно, достаточно трех условий, но это требует дальнейшего исследования.

2.3. Применение конечно-разностных численных методов

В расчетах для устранения схемной диссипации используются схемы с центральными пространственными разностями, поэтому с обеих сторон на границах ставится одинаковое число условий. Ранее проведенные исследования показали, что наличие избыточного числа граничных условий обычно не создает проблем в решении задачи о распаде произвольного разрыва [5]. Стоит обратить внимание на существенное различие при применении конечно-разностных методов к системам (2.4) или (2.5), (2.6) или к системе, приведенной в [10]. В случае систем (2.4) или (2.5) число граничных условий при применении центральных разностей совпадает с числом уравнений, т.е. равно шести, что меньше необходимого числа в общем случае, поставить граничные условия для производных невозможно. Попытка расчета системы (2.4) центральными разностями ранее проводилась автором с применением неявной аппроксимации для пространственно-временных производных, система неявных уравнений успешно разрешалась методом итераций. Но была обнаружена краевая неустойчивость, делавшая применение такого метода невозможным или требовавшая модификации уравнений вблизи границ, например путем введения поглощающих диссипативных зон с производными высокого порядка. При применении систем (2.6) или [10] в случае одномерного баротропного варианта уравнений без учета термодинамики число условий равно 10, что больше, чем нужно и равно общему числу корней $k(\omega )$, поскольку дисперсионное соотношение (2.7) описывается полиномом от $k$ десятой степени. Таким образом, можно было гарантировать достаточное число граничных условий даже без исследования дисперсионного соотношения. В случае расчета (2.6) по сравнению с расчетом (2.4) дополнительно ставятся условия на производные от ${v}$, $w$, ${{B}_{z}}$, ${{B}_{y}}$, в случае уравнений [10] дополнительно ставятся два условия на электрическое поле и два условия на производные магнитного поля. Результаты одномерного расчета системы [10] для холодной плазмы, т.е. без учета давления и без уравнения для энтропии, приведены в [11] для уединенных волн в вакууме. Применялся метод Лакса–Вендроффа. Отметим, что в [11] для упрощения расчетов использовалось представление части уравнений через комплексные переменные, что связано со свойствами инвариантности этих уравнений при перестановке неизвестных. Анализ уравнений из [10] и [11] показывает, что, исключив из них электрическое поле, можно получить систему с пространственно-временными производными от магнитного поля, аналогичную (2.6), но требующую постановки при баротропном варианте или для холодной плазмы только восьми граничных условий.

Для решения системы (2.6) использовалась консервативная численная схема с аппроксимацией временных производных по методу Рунге–Кутты четвертого порядка и центральными разностями для пространственных производных. В работе [15] проводилось исследование такой схемы, было показано, что схемная диссипация в ней пропорциональна шестому порядку от временного шага. Было показано, что, по крайней мере, для скалярных эволюционных уравнений она условно устойчива, показатель степени в условии устойчивости $\tau < c{{h}^{q}}$ определяется показателем роста $\omega (k)$ при $k \to \infty $ (для скалярных эволюционных уравнений $q$ – порядок старшей производной), при этом роста возмущений нет. Численный эксперимент показывает, что все это подтверждается и при применении ее для данной системы уравнений. Краевой и какой-либо иной неустойчивости при подходящем выборе временного шага обнаружено не было. Все пространственно-временные производные (волны, распространяющиеся с бесконечной скоростью связаны именно с ними) аппроксимируются на каждом шаге с помощью неявных шаблонов, скорости распространения магнитозвуковых и альвеновских волн конечны, поэтому, как и предполагалось, расчеты показали, что для достижения устойчивости при выборе соотношения между пространственным и временным шагом в недиссипативном случае можно ориентироваться на классическое условие Куранта $\tau < Ch$, где $\tau $ и $h$ – временной и пространственный шаг, $C$ – константа. Поскольку используемая численная схема обладает очень малой схемной диссипацией, пропорциональной ${{\tau }^{6}}$, все наблюдаемые схемные эффекты связаны с недиссипативной схемной дисперсией. Они выявляются путем изменения пространственного шага, длина волны при схемных эффектах меняется при изменении шага. Для выявления опрокидывания волны использовалась методика, разработанная в [15]. В случае наличия классического решения амплитуда схемных волн, если они есть, быстро убывает при уменьшении пространственного шага, если уменьшения нет или развивается вычислительный блоуап, то можно предположить отсутствие классического решения.

Построение конечно-разностной схемы, набор и проверку вычислительных операторов значительно упрощает не непосредственная аппроксимация уравнений (2.6), а использование новых переменных для расчета разностных аппроксимаций правых частей последних четырех уравнений системы (2.4) без включения пространственно-временных производных и последующая подстановка этих переменных в консервативные разностные аппрокcимации уравнений (2.5). Упрощение дает также использование подпрограмы для расчета ${v}$ и ${{B}_{y}}$ с использованием ее же для расчета $w$ и ${{B}_{z}}$ путем засылки в нее $R_{e}^{{ - 1}}$ и $R_{i}^{{ - 1}}$, взятых с противоположным знаком. В последних четырех уравнениях систем (2.5) и (2.4) при замене ${{B}_{z}} \to {{B}_{y}}$, ${v} \to w$ меняются только знаки при некоторых членах.

3.1. Основные элементы теории разрывов и особенности постановки задачи о распаде разрыва

В классической теории разрывов [18] есть понятие упрощенных уравнений, это нелинейные гиперболические уравнения (в данном случае уравнения МГД без диссипации), в которых имеются решения с разрывами, и понятие полных уравнений с диссипацией (в данном случае уравнения МГД с диссипацией), в которых этим разрывам соответствуют гладкие решения с локальными структурами разрывов, т.е. переходами между однородными состояниями. Стационарные структуры разрывов находятся как решения уравнений бегущих волн, т.е. уравнений, описывающих стационарные решения в системе координат, движущейся со скоростью разрыва. В теории бездиссипативных структур разрывов [5], [13], [14] рассматриваются два типа структур, возникающих при решении задачи о распаде произвольного разрыва. Расширяющиеся со временем структуры разделяют однородные состояния, в упорядоченном случае они описываются автомодельными решениями усредненных уравнений, усредненные уравнения в этом случае играют роль упрощенных уравнений. Другой тип – не расширяющиеся локальные структуры, т.е. переходы между однородными, периодическими или стохастическими состояниями, эти структуры могут быть элементами расширяющихся структур или быть самостоятельными в случае переходов между однородными состояниями. На границах волновых зон могут быть также структуры солитонного типа, т.е. переходы между однородным и периодическим состоянием, в котором краевая волна приближается к уединенной при $t \to \infty $. Роль полных уравнений в теории недиссипативных разрывов играют недиссипативные уравнения с дисперсией (в данном случае уравнения ЭМГД без диссипации), т.е. с наличием зависимости скорости волн от волнового числа. Здесь под понятием дисперсия подразумевается именно недиссипативная дисперсия. В случае, если в полные уравнения добавляется слабая диссипация, расширяющиеся структуры замещаются протяженными локальными структурами, упорядоченные волновые зоны в них также описываются усредненными уравнениями, локальные стационарные бездиссипативные структуры при этом сохраняются [13].

Согласно теории каждой ветви дисперсионноного соотношения, проходящей через начало координат, при решении задачи о распаде разрыва должна соответствовать своя структура или простая волна, и решения могут включать в себя быстрые магнитозвуковые структуры, альвеновские структуры и медленные магнитозвуковые структуры. При длительном расчете решения должны представлять собой комбинации из однородных участков, центрированных простых волн, описываемых уравнениями МГД, и структур разрывов, описываемых уравнениями ЭМГД.

Для сравнения помимо расчетов ЭМГД проводились также расчеты обычной МГД, в которых возникали схемные бездиссипативные структуры, а также расчеты с дополнительными диссипативными членами, в которых возникали классические локальные структуры с диссипацией.

Граничные условия на разрывах для магнитной и электромагнитной гидродинамики получаем из интегральной формы уравнений (2.5), имеющих вид законов сохранения

Условия на разрывах для МГД при расчетах задачи о распаде разрыва на основе ЭМГД можно использовать для получения начальных данных для решений с преимущественной структурой определенного типа. Для этого можно задать значение $U$ и значения величин по одну сторону разрыва, а затем найти значения по другую сторону разрыва. В недиссипативном случае для быстрых и медленных магитозвуковых волн при расчете уравнений ЭМГД получаются расширяющиеся со временем структуры, а при включении диссипации – локальные, для которых приведенные выше соотношения выполняются точно. Для расширяющихся структур эти соотношения после исключения $U$ должны выполняться приблизительно для параметров по разные стороны разрыва, но в проведенных расчетах существенных отличий обнаружено не было, видимо, это связано с небольшими амплитудами разрывов. Скорости распространения локальных недиссипативных разрывов на границах волновых зон заметно отличаются от получаемых из (3.1)–(3.6). Для альвеновских волн удобнее использовать известные условия вращения [1] поперечного магнитного поля и поперечной скорости без изменения остальных параметров: $[{v}] = \pm [{{B}_{y}}]{\text{/}}{{n}^{{1/2}}}$, $[w] = \pm [{{B}_{z}}]{\text{/}}{{n}^{{1/2}}}$, $[B_{y}^{2} + B_{z}^{2}] = 0$. В случае отсутствия вращения в начальных данных альвеновские структуры не возникают, хотя альвеновские волны в ЭМГД, но не в МГД модели все же наблюдаются. Начальные данные для всех неизвестных брались в виде сглаженной ступеньки, сглаживание производилось при помощи функции $tanh(x{\text{/}}{{l}_{0}})$ с помощью параметра ${{l}_{0}}$ варьировалась длина переходной зоны.

Программный комплекс был оборудован средствами, позволяющими вырезать некоторый участок решения с целью выделения структуры определенного типа и фиксировать новые граничные условия, а также средствами расширения расчетной области. Кроме того, было включено средство для автоматического периодического расширения области, с одной стороны, и сокращения, с другой. Это нужно для отслеживания волн, движущихся с некоторой скоростью, и это предпочтительнее, чем изменение величины $u$ с целью изменения скорости системы координат наблюдателя, поскольку такое изменение может ухудшать условие устойчивости и усиливать схемные дисперсионные эффекты.

Пример расчета полной задачи о распаде произвольного разрыва для ЭМГД приведен на фиг. 1, показаны графики $n - 1$ – кривая 1 и ${{B}_{z}}$ – кривая 2, ${{b}^{2}} = 0.25$, $t = 60\,000$, $\theta = 1.555$, $n = 1$, $\left| {\mathbf{B}} \right| = 1$ для состояния справа. Имеются слева направо полностью сформировавшаяся быстрая магнитозвуковая структура солитонного типа (первая волна в этом решении стремится к уединенной волне при $t \to \infty $), формируются альвеновская структура, медленная магнитозвуковая структура и еще одна медленная магнитозвуковая структура, еще одна альвеновская структура, справа имеется полностью сформировавшаяся быстрая магнитозвуковая простая волна. Растянутый по оси $x$ фрагмент графиков формирующихся альвеновских и медленных магнитозвуковых структур показан в рамке. В связи с большими различиями в скорости распространения, характерной длине волны и во времени, необходимым для формирования структуры, вырезка фрагментов с отдельными структурами предпочтительнее.

Фиг. 1.

3.2. Быстрые магнитозвуковые структуры

В случае быстрых магнитозвуковых волн образуются структуры солитонного типа, структуры с излучением и нестационарные структуры хаотического типа. Волновые зоны в упорядоченных магнитозвуковых структурах могут быть описаны усредненными уравнениями. Дисперсионная ветвь быстрых магнитозвуковых волн может быть двух типов: с точкой перегиба при $k > 0$ и ростом групповой скорости в окрестности начала координат и без точки перегиба при $k > 0$ с убыванием групповой скорости при $k > 0$ на всей ветви. В первом случае касательная к дисперсионной ветви пересекает эту ветвь при $k > 0$, прогнозируется решение нестационарного типа с двухволновой хаотической зоной, во втором случае – структура солитоного типа. В обоих случаях при увеличении амплитуды разрыва возможен переходный вариант решения – структура с излучением, т.е. структура с локальным разрывом типа перехода между однородным и периодическим состоянием с конечной длиной волны. Эти исследования подробно изложены в работах [4]–[8]. Практически в случае дисперсионной кривой с точкой перегиба, если параметры разрыва не близки к переходным значениям, решение неотличимо от решения солитонного типа, только на границе волновой зоны график плотности выглядит как уединенная волна-яма, тогда как в случае без точки перегиба это уединенная волна-горб, кроме того, направление затухания волн в волновой зоне противоположно случаю дисперсионной кривой без точки перегиба.

При добавлении вязкости упорядоченные структуры замещаются стационарными структурами, которые в случае слабой вязкости могут быть описаны усредненными уравнениями. В случае нестационарных хаотических бездиссипативных структур для получения стационарных решений требуются конечные значения вязкости, такое исследование проводилось в [13] для обобщенного уравнения Кортевега–Бюргерса с производной пятого порядка. Уравнение Кортевега–де Вриза с производной пятого порядка – модельное уравнение для быстрых магнитозвуковых волн [3], [5].

В случае уравнений МГД численная схема может сама добавить дисперсию, получаются решения со структурами солитонного типа, качественно неотличимые от решений системы ЭМГД, фиг. 2, показана структура, распространяющаяся влево, аналогичная имеющейся на фиг. 1, сплошная жирная линия – МГД, штриховая – ЭМГД (дисперсионная кривая быстрых магнитозвуковых волн ЭМГД не имеет точки перегиба при $k \ne 0$), тонкая линия – МГД с магнитной вязкостью $\varepsilon = 1$; $b = 0$, $t = 4000$. Отличие между случаями МГД и ЭМГД только в длине волны в волновой зоне, но в случае МГД длина волны привязана к пространственному шагу, при уменьшении шага уменьшается и длина волны по закону, близкому к пропорциональному. При уменьшении пространственного шага имеется сходимость огибающей волновой зоны в решении для МГД, а в случае ЭМГД есть еще сходимость по длине волны и при непродолжительных расчетах можно проверить поточечную сходимость. При большой амплитуде разрыва в случае МГД возможен вычислительный блоуап. Добавление вязкости для МГД приводит к локальным стационарным структурам.

Фиг. 2.

3.3. Медленные магнитозвуковые структуры

Структуры медленных магнитозвуковых волн теоретически должны быть двухволновыми нестационарными [5], поскольку касательная к дисперсионной ветви в начале координат всегда пересекает альвеновскую ветвь [4] (резонанс). Прямая $\omega = {{U}_{l}}k$, соответствующая скорости ${{U}_{l}}$ локального медленного магнитозвукового разрыва тоже пересекает эту ветвь. В случае большой амплитуды разрыва есть еще и пересечение быстрой магнитозвуковой ветви. Это означает, что солитонного решения нет и должны возникать нестационарные двухволновые и трехволновые структуры. Но при не слишком большой амплитуде разрыва в расчетах наблюдаются структуры солитонного типа, поскольку согласно теории амплитуда второй излучаемой волны мала. На фиг. 3 показана структура, распространяющаяся вправо, показаны графики $n - 1$ – кривая 1 и ${{B}_{z}}$ – кривая 2, ${{b}^{2}} = 0.5$, $t = 85\,000$. В [7] численно исследовалась эволюция приближенного решения ЭМГД для медленных магнитозвуковых волн типа уединенной волны уравнения Кортевега–де Вриза. Наблюдался распад уединенной волны, но излучаемой альвеновской волны обнаружить не удалось, излучались медленные магнитозвуковые волны. Провести расчет с достаточно мелким пространственным шагом, чтобы добиться того, чтобы на длине резонансной излучаемой волны, прогнозируемой теорией, располагалось достаточное количество шагов сетки, не представляется возможным. При увеличении амплитуды разрыва все же выявляются двухволновые решения качественно правильного вида: первая солитоноподобная волна излучает короткую волну малой амплитуды внутрь волновой зоны. Но длина короткой волны меняется с изменением шага сетки, амплитуда ее не уменьшается при уменьшении шага, что указывает на возможность отсутствия классического решения и на недостаточно малую величину пространственного шага, чтобы точно рассчитать короткие волны. В наблюдаемой короткой волне существенны только изменения $n$ и $u$, т.е. эта волна имеет в основном газодинамический характер. Ее наличие связано с резонансом с быстрой магнитозвуковой ветвью. Можно предположить, что при включении слабой вязкости здесь возникнет гибридная диссипативно-дисперсионная структура с излучением коротких волн, наблюдавшаяся для волн в трубах внутри структуры продольных волн [15].

Фиг. 3.

В холодной плазме (b = 0) медленные магнитозвуковые волны вырождаются (обе дисперсионные ветви описываются соотношением $\omega = uk$), в решениях задачи о распаде разрыва наблюдается локальный большой рост плотности со временем (расчеты не позволяют сделать однозначный вывод, идет ли речь о блоуапе или рост может продолжаться сколь угодно долго). Этот рост имеется как в случае МГД, так и ЭМГД уравнений и не устраняется включением магнитной и газодинамической вязкости. При расчетах с $b \to 0$ получаются решения с двумя медленными магнитозвуковыми разрывами с $n \to \infty $ в области между ними. Но в каком-то смысле решение задачи о распаде разрыва для холодной плазмы все же существует. На фиг. 4 показаны графики решения для МГД с $b = 0$, $\theta = 1.555$, $n = 1$, $\left| {\mathbf{B}} \right| = 1$ для состояния справа и включением магнитной вязкости, $\varepsilon = 1$; ${{B}_{z}} = 0$, $w = 0$, альвеновских волн нет. Выясняется, что в области между двумя магнитозвуковыми разрывами ${{B}_{y}} = {\text{const}}$, из уравнения для ${{B}_{y}}$ системы (2.4) следует, что ${{B}_{x}}{v} - {{B}_{y}}u = {\text{const}}$ и что уравнение для ${v}$ совпадает с уравнением для $u$, эволюция решения описывается первыми двумя уравнениями газодинамического типа. Область с локальным ростом плотности можно интерпретировать как структуру разрыва, на котором $[{{B}_{y}}] = 0$, ${{B}_{x}}[{v}] - {{B}_{y}}[u] = 0$. Имеем два условия на рассматриваемом разрыве без включения в них его скорости. Исключив из (3.1)–(3.3), (3.5) на быстром магнитозвуковом разрыве слева скорость разрыва, получим три соотношения. С учетом наличия аналогичных трех соотношений для простой волны (или в случае иных начальных данных для быстрого магнитозвукового разрыва) справа, приходим к выводу, что имеющихся соотношений достаточно, чтобы определить величины $n$, $u$, ${v}$, ${{B}_{y}}$ на однородных участках.

Фиг. 4.

Отметим, что утверждение об отсутствии в некоторых случаях ограниченного решения при $b = 0$ для уравнений ЭМГД уже делалось в [9]. Предлагалось использовать при расчетах холодной плазмы малые значения $b$.

3.4. Альвеновские структуры

Вначале расчеты проводились методом вырезки формирующейся альвеновской структуры, выявляемой визуально между быстрой и медленной магнитозвуковой волной. При этом величины $u$, $n$, $B_{y}^{2} + B_{z}^{2}$, ${{{v}}^{2}} + {{w}^{2}}$ по разные стороны структуры оказывались одинаковыми, что позволило в дальнейшем применять в качестве начальных данных решения уравнений МГД типа простой альвеновской волны [1] с углом вращения поперечного магнитного поля пропорциональным $1 - \tanh (x{\text{/}}{{l}_{0}})$. Расчеты показывают, что структуры альвеновского типа имеют нетипичный вид для теории обратимых структур разрывов. Они расширяются со временем, имеются колебания, но солитонных или локальных структур не образуется. На одном краю альвеновской структуры имеется колебание с максимальной амплитудой, длина волны этого колебания растет со временем, а значения производных уменьшаются, за этим колебанием идут пространственно затухающие колебания. В зависимости от величины $\theta $ (для альвеновской структуры эта величина по обе стороны одинакова) при фиксированных значениях $n = 1$ и $\left| {\mathbf{B}} \right| = 1$ по обоим сторонам структуры направление затухания может быть как вправо, так и влево в зависимости от того, растет или убывает групповая скорость при увеличении $k$ от нулевого значения. Согласно (2.7) при малых k имеем

Фиг. 5.

Расширение альвеновской структуры сохраняется при добавлении магнитозвуковой или газодинамической вязкости. Включение вязкости, как магнитной, так и газодинамической при расчете полной задачи о распаде разрыва ведет к замещению однородного участка между медленной магнитозвуковой и альвеновской структурой участком с изменяющимися величинами $u$ и $n$. При этом справа и слева от альвеновской структуры значения $u$ и $n$ не совпадают, т.е. это уже не совсем альвеновская структура. Этот эффект наблюдается как в случае ЭМГД, так и МГД, но мало заметен в случае слабой вязкости.

В случае недостаточно протяженного перехода в начальных данных через некоторое время может возникать опрокидывание альвеновских волн. Опрокидывание выявляется путем обнаружения коротких схемных излучаемых волн аналогичных наблюдавшимся при расчетах магнитозвуковых волн при использовании уравнений МГД, фиг. 5в, ${{b}^{2}} = 0.5$, $\theta = 0.84675$, $\left| {\mathbf{B}} \right| = 1.0076$, $t = 15\,000$, первый вариант. В обоих вариантах схемная волна излучается и затухает в левом направлении. По мере расширения структуры эти волны исчезают. Если же в случае варианта 1 на начальном этапе гладкое решение все же существует, то это качественно правильный вид решения, поскольку есть пересечение прямой $U = \omega {\text{/}}k$ с альвеновской ветвью при $k > 0$, а групповая скорость коротких альвеновских волн убывает при росте $k$. При увеличении шага сетки схемные волны исчезают.

При удлинении переходного участка в начальных данных в случае варианта 2 вместо излучаемых волн возникают локализованные схемные структуры с концентрацией плотности, фиг. 5г, ${{b}^{2}} = 0.5$, $\theta = 0.76025$, $\left| {\mathbf{B}} \right| = 1.0512$, $t = 120\,000$. Эти структуры движутся вправо и могут со временем уходить из области альвеновской структуры по мере ее расширения, образуя уединенные волны, фиг. 6, ${{b}^{2}} = 0.5$, $\theta = 0.3834$, $\left| {\mathbf{B}} \right| = 0.9463$. Показанная уединенная волна возникла в ходе расчета структуры медленной магнитозвуковой волны, альвеновской структуры разрыва в этом расчете не было из-за того, что не было вращения поперечного магнитного поля и скорости в начальных данных, но возникла альвеновская волна колебательного типа, которая опрокинулась. Несколько таких схемных структур не мешают расчету, но в случае большого количества этих структур возникает хаотизация. Увеличение числа схемных структур при опрокидывании волны наблюдается при уменьшении пространственного шага. Наоборот, при увеличении шага эти структуры пропадают. При дальнейшем увеличении длины переходного участка в начальных данных опрокидывание исчезает.

Фиг. 6.

При включении слабой газодинамической вязкости в случае опрокидывания в решении может возникать структура типа ударной волны, фиг. 7, $\lambda = 0.125$, $\mu = 0$, $\varepsilon = 0$, ${{b}^{2}} = 0.5$, $\theta = 1.0414$, $\left| {\mathbf{B}} \right| = 1.0697$, первый вариант решения, $t = 20\,000$. Ее амплитуда при расчете альвеновской структуры со временем уменьшается и формируется классическое гладкое решение. Этот тип разрыва рассматривается ниже. Сходимость при уменьшении шага сетки при расчетах с вязкостью есть.

Фиг. 7.

3.5. Анализ разрывов в решениях уравнений электромагнитной гидродинамики

В ходе расчетов было установлено существование структур типа газодинамических ударных волн при включении малой газодинамической вязкости (при этом достаточно включать ее только в уравнение для $u$), фиг. 7. Включение магнитной вязкости к такой структуре не приводит. В полученной структуре $[{v}] = 0$, $[w] = 0$, $[{{B}_{y}}] = 0$, $[{{B}_{z}}] = 0$, это можно рассматривать как четыре дополнительных условия, выявляемые при исследовании структуры разрыва. Это приводит к тому, что скорость разрыва и скачки величин $u$ и $n$ определяются соотношениями (3.1), (3.2), т.е. также как в газовой динамике. Оставшиеся соотношения (3.3)–(3.6) представляют собой условия на производные

Обнаруженные структуры в отличие от классической теории структур разрывов с диссипацией не являются точными решениями уравнений бегущих волн

Заметим, что в [10] были предложены условия на разрывах решений уравнений ЭМГД, они получались из дивергентного вида уравнений сохранения массы, импульса, энергии и преобразованного обобщенного закона Ома. К ним добавлялись условия отсутствия скачка магнитного поля, скачка касательного к поверхности разрыва электрического поля и скачка нормального тока, эти условия выводились из уравнений Максвелла исходя из отсутствия поверхностных токов и зарядов. Полученные здесь дополнительные условия на разрыве типа ударной волны аналогичные: скачка магнитного поля нет, используя формулу (2.3), можно убедиться, что из условий $[{v}] = 0$, $[w] = 0$, $[{{B}_{y}}] = 0$, $[{{B}_{z}}] = 0$ следует отсутствие скачка касательного (поперечного) электрического поля. Продольного тока в одномерном случае нет и в качестве условия на разрыве здесь это не используется.

В ходе расчетов без диссипации было выявлено, что при опрокидывании альвеновских волн схемная дисперсия может создавать недиссипативные структуры (кинки), фиг. 5г, фиг. 6. Судя по виду графиков, в этих структурах внутри концентрируется некоторое количество массы и импульса, которое меняется со временем, поэтому в нестационарном случае условия (3.1) и (3.2) могут не выполняться. В работе [10] подобные разрывы со скачком поперечного магнитного поля были исключены из рассмотрения в связи с тем, что такой скачок предполагает конечные значения тока, а значит, заряда и массы в бесконечно малом объеме. При выходе рассматриваемых структур на однородное состояние в их окрестности формируются уединенные волны с внутренним кинком, движущиеся с постоянной скоростью, фиг. 6, здесь выбрано однородное состояние с ${{B}_{z}} = 0$ и $w = 0$. В этих решениях имеется пространственная симметрия для переменных $n$, $u$, $w$, ${{B}_{y}}$ и антисимметрия для переменных ${v}$ и ${{B}_{z}}$. В понимании магнитной гидродинамики кинки внутри уединенных волн являются специальными структурами альвеновского разрыва (класс –1 согласно терминологии [14]). Кинки возникают за счет схемной дисперсии, описываемой членами с производными высокого порядка. Они сходны с решениями МКДВ, у этого уравнения в зависимости от знака при дисперсионном члене могут быть решения с симметричными кинками или без них [5]. Длинноволновая часть солитонного решения возникает за счет дисперсии самих уравнений. У этих уединенных волн скорость растет с ростом амплитуды, они обгоняют друг друга без заметного изменения параметров. Рассмотренные структуры – численный эффект, но их наличие показывает, что добавка в уравнения дисперсионных членов с высшими производными может привести к существованию структур такого типа. Даже если не найдется физических эффектов, формирующих такие структуры, это представляет математический интерес и может встречаться в других моделях с дисперсией.

3.6. Сравнение с результатами для волн в трубах с упругими стенками

Возможность отсутствия классических решений при некоторых начальных данных в системах с дисперсией уже обсуждалась в работе [15], в контексте решения уравнений волн в трубе с упругими стенками. В случае трубы с газом в отличие от системы, рассматриваемой здесь, число ветвей $\omega (k)$ совпадает с числом корней $k(\omega )$, но в случае трубы с жидкостью, как и здесь, уравнения можно привести к форме с пространственно-временной производной, общее число корней $k(\omega )$ на два корня больше, чем число ветвей $\omega (k)$. У этих уравнений, как и у рассматриваемой здесь системы, скорость распространения физически осмысленных волн с $k \in R$ при $k \to \infty $ стремится к постоянной величине, т.е исчезает дисперсия, поэтому волны могут опрокидываться. Было предложено, если непрерывного решения не существует, для расчета таких решений применять дополнительные диссипативные или дисперсионные члены с высшими производными. Были приведены примеры расчетов с возникающими при этом разрывами. Но диссипапативные разрывы были элементами решения задачи о распаде произвольного разрыва, а не исчезали со временем как в случае опрокидывания альвеновской волны. Кроме того, использовалась лагранжева неконсервативная форма уравнений, все условия на разрыве в таком случае получаются как результат расчета структуры разрыва. Здесь в отличие от [15] используется именно физическая вязкость, что указывает, что такой разрыв может наблюдаться в реальности.