Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 3, стр. 369-372

1. В пространстве ${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$ комплексных $n \times n$-матриц рассматриваются два типа конгруэнтных преобразований: $T$-конгруэнции как преобразования вида

и *-конгруэнции В обоих случаях $P$ – произвольная невырожденная матрица. В этой статье речь пойдет о преобразованиях первого типа.

Множество $\mathcal{L}$ матриц $X$, удовлетворяющих соотношению

мы называем $T$-конгруэнтным централизатором матрицы $A$ по той причине, что оно есть аналог классического централизатора в том случае, когда группа $G{{L}_{n}}({\mathbf{C}})$ действует на пространстве ${{M}_{n}}({\mathbf{C}})$ конгруэнциями вместо подобий.

Хорошо известно, как вычисляется обычный централизатор, задаваемый линейным условием коммутирования с матрицей $A$. Напротив, решение квадратичного уравнения (1) представляет собой непростую задачу, решенную до конца лишь для небольшого числа матриц $A$. Нелегко даже просто определить размерность многообразия (1).

Цель настоящей заметки – показать, что вычисление матриц из $\mathcal{L}$, спектр которых не содержит хотя бы одного из чисел 1 и $ - {\kern 1pt} 1$, можно свести к решению линейного матричного уравнения. Как это делается, показано в п. 2. В п. 3 описанный прием редукции применяется к некоторым конкретным матрицам $A$.

2. Найдем дробно-линейные функции

такие, что т.е. Нетрудно проверить, что равенство (3) невозможно, если хотя бы один из коэффициентов $a,\;b,\;c,\;d$ равен нулю. Оно эквивалентно соотношениям или Варианты $a = b,$ $c = d$ и $a = - b,$ $c = - d$ соответствуют несовместным системам. Поэтому (3) имеет два семейства решений: функции вида получающиеся при выборе $a = b,c = - d$, и функции отвечающие выбору $a = - b,$ $c = d$. Здесь $C$ и $D$ – произвольные ненулевые константы.

3. Очевидно, что невырожденные решения уравнения (1) образуют мультипликативную группу. Если $X$ – такое решение, то (1) можно переписать в виде

При любом натуральном $k$ матрица ${{X}^{k}}$ также является решением (1), а потому Рассматривая произвольную линейную комбинацию соотношений (7) для одной и той же матрицы $X$, заключаем, что для всякого многочлена $f$ от матрицы $X$. Для любой аналитической функции $f$, определенной на спектре матрицы $X$, матрица $f(X)$ может интерпретироваться как многочлен от $X$; поэтому равенство (8) имеет место и для всех таких функций.

Выберем многочлен $f$ для формулы (8) так, чтобы матрица $f(X)$ совпала с $\phi (X) \equiv {{\phi }_{1}}(X)$, где ${{\phi }_{1}}(\lambda )$ – функция из семейства (4). Тогда

Согласно (2), Полагая видим, что матрица $Y$ есть решение однородного матричного уравнения типа Сильвестра: При этом она не может иметь собственного значения 1.

Напротив, пусть $Y$ – произвольное решение уравнения (1), не имеющее собственного значения 1. Для такой матрицы $Y$ формула (9) допускает обращение

Эта матрица $X$ принадлежит $T$-конгруэнтному централизатору $\mathcal{L}$.

Если спектр матрицы $X \in {{C}_{A}}$ содержит 1, но не содержит $ - {\kern 1pt} 1$, то функцию ${{\varphi }_{1}}(\lambda )$ в проведенных рассуждениях нужно заменить функцией ${{\psi }_{1}}(\lambda )$ (см. (5)).

Замечание 1. Идея приема, использованного в данном пункте, заимствована автором в книге Веддерберна “Лекции о матрицах” (см. [1]). Рецензент этой статьи указал, что хорошо известное дробно-рациональное преобразование типа (9), обсуждаемое в обзоре [2] и цитируемых там работах, позволяет значительно более простой и изящный переход от уравнения (1) к уравнению (10). Несложно проверить, что для любых квадратных матриц $A$ и $X$ справедливо равенство

Если $X$ – матрица из $T$-конгруэнтного централизатора $\mathcal{L}$, то правая часть этого равенства обращается в нуль. Тем самым, для такой матрицы $X$ имеем Умножая полученное соотношение слева на матрицу, обратную к ${{X}^{ \top }} - I$, и справа на матрицу, обратную к $X - I$, находим Учитывая (9), это и есть равенство (10).

Дополнительное достоинство этого рассуждения состоит в том, что оно не требует невырожденности от матрицы $X$.

4. Полное описание решений уравнения (10) для некоторых матриц $A$ дано в [3]. Уравнение $ZA + A{{Z}^{{\text{T}}}} = 0$, рассматриваемое в этой статье, переходит в наше уравнение (10), если положить $Z = {{Y}^{{\text{T}}}}$.

Пусть $A$ есть жорданова клетка ${{J}_{n}}(0)$ с нулем на главной диагонали. Вид решений $Y$ уравнения (10) зависит от четности числа $n$. Покажем, например, как выглядят матрицы $Y$ для четного $n = 2m$:

Отсюда следует, что размерность пространства решений уравнения (10) равна $m = \tfrac{n}{2}$. Такова же (нелинейная) размерность $T$-конгруэнтного централизатора $\mathcal{L}$. При нечетном $n = 2m + 1$ обе размерности равны числу $m + 1$.

Положим теперь

При любом $n$ решения $Y$ уравнения (10), соответствующего такой матрице $A$, являются верхнетреугольными тёплицевыми матрицами. Размерность пространства решений всегда равна $\left\lfloor {\tfrac{n}{2}} \right\rfloor $. Покажем, как выглядят матрицы $Y$ для нечетного $n = 2m + 1$:

Замечание 2. Выбор именно таких матриц $A$, т.е. ${{J}_{n}}(0)$ и матрицы (11), обозначаемой в [3] как ${{\Gamma }_{n}}$, объясняется следующим обстоятельством. Каноническая форма произвольной $n \times n$-матрицы относительно $T$-конгруэнций есть прямая сумма блоков трех типов. Матрицы ${{J}_{k}}(0)$ и ${{\Gamma }_{k}}$ (при различных порядках $k$) представляют два из этих типов.

В заключение я хотел бы поблагодарить рецензента первоначального варианта этой статьи за очень полезные замечания, в частности, на указание, что аналогичные приемы могут быть использованы для сведения квадратных и полуторалинейных матричных уравнений типа (1) к линейным и полулинейным уравнениям.