Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 4, стр. 666-683

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. РЕЗУЛЬТАТЫ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Пусть $\varpi $ – область на плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}$, ограниченная простым гладким (для простоты) замкнутым контуром $\partial \varpi $, а $\Pi _{ \pm }^{\varepsilon } \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ – полубесконечные цилиндры (далее полуцилиндры или рукава)

Масштабированием сведем к единице характерный размер сечения $\varpi $ и тем самым сделаем декартовы координаты ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$ и все геометрические параметры безразмерными; в частности, $\varepsilon > 0$ – малый параметр. На торцах $\varpi _{ \pm }^{\varepsilon } = \varpi \times \{ \pm {{L}^{\varepsilon }}\} $ полуцилиндров (1) выделим тонкие прямоугольники $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon } = \{ x\,:{{x}_{1}} = \pm {{L}^{\varepsilon }},\;{\text{|}}{{x}_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \ell ,\;{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \varepsilon {\text{/}}2\} $ и соединим их параллелепипедом играющим роль перемычки-канала. Интерпретируя область (фиг. 1) как акустический волновод (см., например, [1]), рассмотрим спектральную задачу Неймана для оператора Лапласа ${{\Delta }_{x}}$, описывающую распространение волн и потому требующую постановки условий излучения (см. (8)) При этом ${{u}^{\varepsilon }}$ – давление в акустической среде, а волновое число $\omega > 0$ поршневых мод расположено ниже первой положительной частоты ${{\omega }_{1}}(\varpi )$ отсечки спектра в цилиндре $\varpi \times \mathbb{R}$ (наименьшее положительное собственное значение задачи Неймана на сечении $\varpi $), т.е. других распространяющихся акустических волн нет (ср. разд. 6, 3°).

Кроме того, ${{\partial }_{\nu }}$ – производная вдоль внешней нормали, определенная всюду кроме ребер на границе $\partial {{\Omega }^{\varepsilon }}$. Параллелепипед (2) имеет малую высоту $\varepsilon > 0$, а его полудлина

также зависит от $\varepsilon $ и будет выбрана специальным образом для обеспечения особых свойств волновода (3).

В статье будет построена асимптотика при $\varepsilon \to + 0$ порожденного приходящей в рукаве $\Pi _{ - }^{\varepsilon }$ волной ${{w}^{ + }}$ решения дифракционной задачи (4), (5)

а также комплексных коэффициентов рассеяния ${{R}^{\varepsilon }}$ и ${{T}^{\varepsilon }}$, присутствующих в правой части (8) множителями при уходящих волнах ${{w}^{ \pm }}$ в рукавах $\Pi _{ \pm }^{\varepsilon }$. При этом для упрощения дальнейших формул волны (6) включены в разложение (8) со сдвигом фазы, ${{\chi }_{ \pm }}$ – гладкие срезающие функции, локализующие волны в полуцилиндрах, а остаток ${{\tilde {u}}^{\varepsilon }}(x)$ затухает на бесконечности со скоростью $O({{e}^{{ - {{{({{\omega }_{1}}{{{(\varpi )}}^{2}} - {{\omega }^{2}})}}^{{1/2}}}|{{x}_{1}}|}}})$. Согласно общим результатам [1], [2] решение (8) задачи (4), (5) существует вне завимости от формы резонатора (перемычки (2)) и наличия или отсутствия захваченных волн $u_{{tr}}^{\varepsilon }$ (решения однородной задачи с экспоненциальным затуханием на бесконечности). Само поле (8) находится с точностью до слагаемого $cu_{{tr}}^{\varepsilon }$, однако коэффициенты рассеяния определены однозначно и подчинены равенству выражающему закон сохранения энергии.

Основной результат данной работы состоит в том, что при некоторой, тщательно подобранной, полудлине (7) перемычки ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ вместо привычного почти полного отражения волны ${{w}^{ + }}$, приходящей из рукава ${{\Pi }_{ - }}$, реализуется почти полное ее прохождение, т.е. выполнены представления

с малыми остатками ${{\widetilde T}^{\varepsilon }} = o(1)$, ${{\widetilde R}^{\varepsilon }} = o(1)$ при $\varepsilon \to + 0$ и главным членом ${{T}^{0}} = 1$ или ${{T}^{0}} = - 1$ коэффициента прохождения (см. окончательные формулы (63) и (70)). Полному прохождению отвечают равенства ${\text{|}}{{T}^{0}}{\kern 1pt} {\text{|}} = 1$, ${{\widetilde T}^{\varepsilon }} = 0$ и ${{\widetilde R}^{\varepsilon }} = 0$ в формулах (10). Разумеется, почти полное отражение характеризуется совершенно другими соотношениями при сохранении качества остатков

Впервые эффект почти полного отражения волны на околопороговых частотах, названный аномалией Вайнштейна, был описан в [3] для полубесконечной круговой цилиндрической трубы с жесткими стенками, открытой в пространство. Похожие аномалии были обнаружены в статьях [4]–[9] и др. для волноводов иных геометрических форм, причем помимо почти полного отражения (11) были найдены условия, при которых происходит почти полное прохождение (10) волны, называемое инвертированной аномалией Вайнштейна и связанное с возникновением порогового резонанса [10]–[12]. Более того, известно, что в случае близкого расположения точки комплексного резонанса к вещественной оси наблюдается очень быстрая изменяемость коэффициентов рассеяния на частотах около этой точки. Такое явление выражает резонанс Фано [13], который подвергался многократным исследованиям как при помощи вычислительных [14]–[18], так и теоретических методов [19]–[23]. Рассматриваемая задача (4), (5) в значительной мере воспроизводит упомянутый механизм: при $\varepsilon \to + 0$ у нее появляются точки комплексного резонанса вблизи собственных значений предельной задачи (12)–(14), вызывающий быструю изменяемость коэффициентов рассеяния на околорезонансных частотах и, в частности, позволяющий достичь почти полного прохождения поршневой моды сквозь сколь угодно тонкий соединительный канал ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ путем тщательного подбора длины канала.

Похожие постановки задач рассматривались в [24]–[28], а именно, двумерные задачи о рассеянии волны, падающей под углом на стенку с периодически расположенными узкими щелями. В перечисленных работах применялось сведение задачи к интегральным уравнениям, которое подразумевает знание точной формулы для соответствующей функции Грина и, следовательно, не годится в нашей ситуации хотя бы потому, что сечение $\varpi $ трехмерного цилиндра – произвольная ограниченная область на плоскости . Далее предлагается иной, всеохватывающий подход к построению асимптотики, опирающийся на метод сращиваемых разложений (ср. [29]–[39] и др. о сингулярно возмущенных эллиптических задачах при родственной геометрии). Вместе с тем предлагаемый подход отличается от упомянутых публикаций, так как не только толщина, но и длина (7) тонкого канала зависят от параметра $\varepsilon $, причем именно последнее обстоятельство позволяет добиться почти полного или даже полного прохождения поршневой моды.

Наиболее близкий асимптотический анализ представлен в работах [33], [34], где получены полные асимптотические разложения решений задач Неймана для уравнения Пуассона на сочленениях областей с различными предельными размерностями. Соответствующие процедуры применяются в окрестностях зон присоединения перемычки к полуцилиндрам, и поэтому переход к рассмотрению уравнения Гельмгольца (4) не встретил дополнительных трудностей. На самих областях ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ и $\Pi _{ \pm }^{\varepsilon }$ возможно разделение переменных, что упрощает решение соответствующих предельных задач. Схема обоснования полученных в разд. 2–4 асимптотик (см. (63) и (70)) описана в разд. 5 и основана на технике весовых пространств с отделенной асимптотикой в варианте, разработанном в [40]. В заключительном разд. 6 обсуждаются доступные обобщения, следствия и открытые вопросы.

2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ОБЪЕКТЫ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Обсудим пару краевых задач, из решений которых в следующих разделах будут сформированы асимптотические представления акустического поля (8).

Введем новые обозначения для декартовых координат: $y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}}) = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$ и $z = {{x}_{3}}$. Разделение переменных и устранение вертикальной координаты $z$ в уравнении (4), суженном на перемычку ${{\Theta }^{\varepsilon }}$, приводит к двумерному уравнению Гельмгольца в прямоугольнике $\theta = ( - L,L) \times ( - \ell ,\ell ) \mathrel\backepsilon y$ ∋ y

снабженному вытекающими из (5) условиями Неймана и назначенными искусственно условиями Дирихле Отметим, что $\theta $ – продольное сечение параллелепипеда $\{ x:{\text{|}}{{y}_{1}}{\text{|}} < L,\;{\text{|}}{{y}_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \ell ,\;{\text{|}}z{\kern 1pt} {\text{|}} < \varepsilon {\text{/}}2\} $ (ср. (2) с заменой ${{L}^{\varepsilon }} \mapsto L$), и далее не различаем в обозначениях двумерные фигуры и их погружения в пространство на плоскость $\{ x:z = 0\} $.

Собственные значения и функции смешанной краевой задачи (12)–(14) имеют вид

где $m \in \mathbb{N} = \{ 1,2,3, \ldots \} $, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}} = \mathbb{N} \cup \{ 0\} $. Далее рассматриваются специфические частоты отвечающие числам (15) с индексом $j = 0$. Разумеется, при малом $L$ множество (17) пусто, т.е. $M = 0$, но увеличение длины $2L$ приводит к неограниченному росту размера $M$ списка (17).

Еще одна двумерная задача, нужная для построения асимптотики, описывает явление пограничного слоя около зон $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$ соединения перемычки и рукавов и ставится на объединении $\Xi = {{\Xi }^{ - }} \cup {{\Xi }^{ + }}$ полуплоскости и полуполосы (см. фиг. 2a)

Эта задача имеет вид а используемый далее метод сращиваемых асимптотических разложений (см. [41], [42], [43; гл. 2] и др.) оперирует ее решениями, ограниченными или полиномиально растущими в полуполосе при ${{\xi }_{1}} \to + \infty $. Одно из таких решений очевидно: постоянная ${{Y}^{0}}(\xi ) = 1$. Другое линейно независимое решение – гармоническая в области $\Xi $ функция с нулевой нормальной производной на границе, однозначно определенная представлениями При этом ${{C}_{\Xi }}$ – некоторая абсолютная постоянная. Связь коэффициентов при растущих слагаемых в (20) и (21) вызвана понятным ограничением: у гармонической функции ${{Y}^{1}}$ равен нулю суммарный поток на бесконечность.

3. НЕКРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ

Пусть заданная частота $\omega \in (0,{{\omega }_{1}}(\varpi ))$ не совпадает с критическими (17), т.е.

При этом производить “настройку” полудлины (7) не требуется – положим $L{\kern 1pt} ' = 0$ и обозначим через $\Pi _{ \pm }^{0}$ полученные полуцилиндры (1). Асимптотическое строение решения (8) задачи (4), (5) весьма просто. Именно, в анзаце положим Иными словами, аналогично формулам (11) величины фигурируют в асимптотических разложениях коэффициентов отражения и прохождения Здесь и далее многоточие заменяет младшие асимптотические члены, не существенные для предпринимаемого анализа. Такой несложный вывод основан на следующем наблюдении: для обеспечения непрерывного перехода из рукавов $\Pi _{ \pm }^{0}$ на перемычку ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ главный член в асимптотическом анзаце нужно искать как решение уравнения Гельмгольца (12) с краевыми условиями Неймана (13) и Дирихле где $\gamma _{ \pm }^{0} = \{ y:{{y}_{1}} = \pm L,\;{\text{|}}{{y}_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \ell \} $ и Благодаря введенному ограничению (22) на частоту $\omega $ такая задача однозначно разрешима и

Производные главных членов анзацев (23) и (27) претерпевают скачки на соединительных прямоугольниках $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$. Для их устранения построим поправочные члены анзацев. Применим метод сращиваемых асимптотических разложений (см. [41], [42], [43; гл. 2] и др.), интерпретируя (23) и (27) как внешние разложения, пригодные на удалении от прямоугольников $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$, и построим внутренние разложения в непосредственной близости от $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$:

В правой части (31) аргументами служат растянутые координаты а для координаты ${{y}_{2}}$ сохранен исходный масштаб. Замена координат $(y,z) \mapsto ({{\xi }^{ \pm }},{{y}_{2}})$ и формальный переход к $\varepsilon = 0$ трансформируют волновод (3) в множество $\Xi \times ( - \ell ,\ell )$ (ср. определения (2) и (18)). Поскольку ${{\Delta }_{x}} + {{\omega }^{2}} = {{\varepsilon }^{{ - 2}}}{{\Delta }_{{{{\xi }^{ \pm }}}}} + \ldots $, в результате возникает задача Неймана (19) в области $\Xi $ с параметром ${{y}_{2}} \in ( - \ell ,\ell )$.

В силу формул (30) и (32) имеем

при ${{y}_{1}} \to - L + 0$ и при ${{y}_{1}} \to + L - 0$. Таким образом, при учете представления (20) функции ${{Y}_{1}}$ процедура сращивания разложений (27), (33), (34) и (31), (35) на уровнях $1 = {{\varepsilon }^{0}}$ и $\varepsilon $ показывает, что и где ${{Y}^{1}}$ – упомянутое специальное решение задачи (19), а $C_{ \pm }^{0}({{y}_{1}})$ – произвольная постоянная (напоминаем, что ${{y}_{2}}$ – параметр в этой задаче). Сравнивая соотношения (35), (36) и (31), (20), находим, что Теперь произведем сращивание разложений (31) и (23). На уровне $1 = {{\varepsilon }^{0}}$ сращивание обеспечено соотношениями (35) и (24). Кроме того, поправочный член $u_{ \pm }^{'}$ в анзаце (23) должен удовлетворять задаче и вытекающим из (26) и (8) условиям излучения с экспоненциально затухающими на бесконечности остатками $\tilde {u}_{ \pm }^{'}$ и коэффициентами Коэффициенты (40) суть не что иное, как поправочные члены в представлениях (26) коэффициентов рассеяния. Наконец, благодаря представлению (21) придаем следующее сингулярное поведение поправочному члену $u_{ \pm }^{'}$: Отметим, что соотношение (41) требует уточнения вблизи концевых точек и (см. разд. 5).

Поскольку $\frac{1}{\pi }ln\frac{1}{r}$ – функция Грина для оператора Лапласа на полуплоскости $\mathbb{R}_{ - }^{2}$ с краевыми условиями Неймана и особенностью на границе, упомянутые остатки являются решениями задач

где ${{\delta }_{{\gamma _{ \pm }^{0}}}}$ – дельта-функция Дирака, распределенная с единичной плотностью вдоль отрезка $\gamma _{ \pm }^{0} \subset {{\varpi }_{ \pm }}$. Применим формулу интегрирования по частям в интеграле по множеству $\Pi _{ \pm }^{0}(H) = \{ x \in \Pi _{ \pm }^{0}: \pm {{x}_{1}} < H,\;{{r}_{ \pm }} > 1{\text{/}}H\} $ и вычислим предел при $H \to + \infty $. В результате выводим связи где ${\text{|}}\varpi {\text{|}}$ – площадь сечения $\varpi $ полуцилиндров (1). Подставив сюда формулы (37) для величин $C_{ \pm }^{1}$, находим выражения для поправок в анзацах (26) для коэффициентов рассеяния: Отметим, что в силу равенств (25) и закона сохранения энергии (9) величина $R{\kern 1pt} '$ должна быть чисто мнимой. Кроме того, $sin(2\omega L) = 0$ и $\operatorname{ctg} (2\omega L) = 0$ в критическом случае а значит, асимптотические представления коэффициентов рассеяния изменяются существенно (см. разд. 4), так как формулы (42) теряют смысл.

Обратим внимание на два обстоятельства. Во-первых, поправочные слагаемые в анзацах (18) для акустического поля ${{u}^{\varepsilon }}$ представимы в виде

где ${\mathbf{u}}$ – каноническое решение задачи в зафиксированном полуцилиндре Оно затухает на бесконечности и согласно выкладке (42) допускает представление Здесь $u_{ \pm }^{ \bullet }$ – некоторая функция на отрезке $( - \ell ,\ell ) \mathrel\backepsilon {{x}_{2}} = {{y}_{2}}$ ∋ x₂ = y₂.

Во-вторых, можно найти поправочное слагаемое ${v}{\kern 1pt} '$ в анзаце (27) для поля ${{u}^{\varepsilon }}$ на тонком канале. С этой целью уточним процедуру сращивания разложений (23), (31) внутри рукавов $\Pi _{ \pm }^{0}$ и (31), (27) на перемычке ${{\Theta }^{\varepsilon }}$. Сначала согласно соотношениям (36), (21) и (44), (46) находим, что

Подчеркнем, что а последнее соотношение – результат сравнения слагаемых, выделенных в первых двух строках (47), причем множители при $ln{{r}_{ \pm }}$ совпали автоматически.

Затем формулы (36), (20) и (44), (46), а также очевидное равенство $v{\kern 1pt} '(y) = v{\kern 1pt} '( \pm L,{{y}_{2}}) + $ $ + \;O({\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} {{y}_{1}} \mp L{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )$ приводят к краевым условиям

которые вместе с уравнениями (12) и (13) образуют однозначно разрешимую (по предположению (22)) смешанную краевую задачу для поправочного члена в анзаце (27). Подчеркнем, что этот член $v{\kern 1pt} '$ линейно зависит от большого параметра ${\text{|}}{\kern 1pt} ln\varepsilon {\kern 1pt} {\text{|}}$, однако множитель $\varepsilon $ делает поправку $\varepsilon v{\kern 1pt} '$ малой.

4. КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ

Пусть теперь выполнено соотношение (43), т.е. ${{\omega }^{2}}$ – собственное значение задачи (12)–(14) (ср. (17) и (15)). Подчеркнем, что эта задача по-прежнему ставится в фиксированном прямоугольнике $\theta $, однако истинная полудлина (7) перемычки (2) считается зависящей от параметра $\varepsilon $. Анзацы (23) в полуцилиндрах $\Pi _{ \pm }^{\varepsilon }$ остаются без изменений, но анзац (27) превращается в такой:

Выбор частоты (43) предоставляет собственную функцию предельной задачи (12)–(14) в прямоугольнике $\theta $, определенную равенством (16) при $j = 0$. Таким образом, положим где $a$ – подлежащая определению постоянная. Благодаря условиям Дирихле (14) формула Тейлора показывает, что Здесь использованы растянутые координаты (32), в которых по-прежнему фигурирует величина $L = {{L}^{0}}$. Поэтому область, где ставится задача (19) о пограничном слое, приобретает вид и в ней имеется решение $Y{\kern 1pt} '(\xi ) = {{Y}^{1}}({{\xi }_{1}} + L{\kern 1pt} ',{{\xi }_{2}})$ задачи Неймана со следующим поведением на бесконечности: Производя сращивание разложений (51), (52) и (31) на перемычке ${{\Theta }^{\varepsilon }}$, обнаруживаем, что главные члены внутренних разложений принимают вид где множители $C_{ \pm }^{1}$ взяты из (51), а $C_{ \pm }^{0}({{y}_{2}})$ – величины, которые предстоит вычислить.

Продолжим сращивание и при учете второго разложения (52) аналогично предыдущему разделу получим сингулярное условие для главного члена внешнего разложения (23)

где обозначения аналогичны использованным в формуле (41). Итак, $u_{ \pm }^{0}$ – решения задач дополненных сингулярными условиями (54) и обычными условиями излучения

Задачи (55), (54), (56) зависят от малого параметра $\varepsilon $ фиктивно: замена координат $x \mapsto (x{\kern 1pt} ',{{x}_{3}} \mp \varepsilon L{\kern 1pt} ')$ уничтожает эту зависимость. Выкладки, аналогичные приведшим к связям (42), показывают, что согласно формулам (51) для $C_{ \pm }^{'}$ нужные решения существуют при выполнении равенств

и принимают вид Здесь ${\mathbf{u}}$ – решение задачи (45) в зафиксированном полуцилиндре $\varpi \times {{\mathbb{R}}_{ + }}$. Теперь похожая на представленную в (47) процедура сращивания внутри рукавов (1) приводит к следующим формулам для последних слагаемых во внутреннем разложении (45) около прямоугольников $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$:

Процедура сращивания внешнего (49) и внутреннего (31) разложений на перемычке несколько отличается от изложенной в предыдущем разделе. Именно, при учете формул (51)–(53) и (58) выводим соотношения

Выражение (50) для собственной функции ${\mathbf{v}}$ превращает условие разрешимости задачи (12), (13), (59) в равенство где ${{{\mathbf{\bar {u}}}}^{ \bullet }}\frac{1}{{2\ell }}\int_{ - \ell }^\ell {{{{\mathbf{u}}}^{ \bullet }}({{y}_{2}})d{{y}_{2}}} $ – среднее функции ${{{\mathbf{u}}}^{ \bullet }}$ по отрезку $( - \ell ,\ell )$.

Теперь зафиксируем возмущение $\varepsilon L{\kern 1pt} '$ полудлины (7):

В результате соотношение (60) (без средней его части) принимает вид Наконец, решив систему трех линейных уравнений (57), (62), находим, что

Обратим внимание на то, что величина (61) отрицательна при малом $\varepsilon > 0$, а значит, для достижения эффекта почти полного прохождения поршневой моды на частоте $\omega \in (0,{{\omega }_{1}}(\varpi ))$ необходимо несколько уменьшить критическую длину $L = {{L}^{0}} = 2\omega {\text{/}}\pi m$ (ср. (43)).

5. ОБОСНОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ И ТРЕХМЕРНЫЕ ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ

Решение задачи (38) с условиями излучения (39) имеет сингулярность (41) на отрезке $\gamma _{ \pm }^{0}$, которая требует отдельного изучения около его концов и . Согласно предназначению функция Грина $\frac{1}{{2\pi }}\frac{1}{{\sqrt {y_{2}^{2} + {{r}^{2}}} }}$ для задачи Неймана в полупространстве с особенностью на границе поведение эталонного решения ${\mathbf{u}}$ задачи (45) около отрезка описывается интегралом

где $r = {{r}_{ \pm }}$ – расстояние до прямой, продолжающей отрезок $\gamma _{ \pm }^{0}$. В силу формулы (64) представление (46) решения задачи (45) включает функцию с логарифмическими особенностями в точках ${{y}_{2}} = \pm \ell $ и регулярным остатком ${{{\mathbf{\hat {u}}}}^{ \bullet }} \in {{H}^{2}}( - \ell ,\ell )$. Такая – слабая – сингулярность не оказывает влияния на разрешимость трехмерных задач (38), (39), (41) и (45), однако ее появление в краевом условии лишает задачу (38), (48) привычной постановки в пространствах Соболева.

Обобщенная формулировка задачи (12), (13), (28) состоит в отыскании функции $v$, для которой разность $v - g$ попадает в пространство $H_{0}^{1}(\theta ;\gamma _{ \pm }^{0})$, и выполнено интегральное тождество [45]

с пробными функциями $\psi \in H_{0}^{1}(\theta ;\gamma _{ \pm }^{0})$. Здесь $H_{0}^{1}(\theta ;\gamma _{ \pm }^{0})$ – подпространство функций из класса Соболева ${{H}^{1}}(\theta )$, подчиненных условиям Дирихле (14), а $g$ – продолжение функций ${{g}_{ \pm }}$ с отрезков $\gamma _{ \pm }^{0}$ на прямоугольник $\theta $ в классе ${{H}^{1}}(\theta )$. К сожалению, для сингулярных функций (65) нужного продолжения не существует, однако на помощь приходит теория Кондратьева [46] (см. также [2], [47] и др.), которая передает все основные свойства оператора задачи в обычном пространстве Соболева ${{H}^{1}}(\theta )$ оператору той же задачи в весовом пространстве $V_{\mu }^{1}(\theta )$ с нормой для весовых показателей $\mu \in ( - 1,1)$; здесь $s(y)$ – расстояние от точки $y \in \theta $ до вершин прямоугольника $\theta $. Нетрудно убедиться в том, что правые части (48) с составляюшей (65) допускают продолжение в классе $V_{\mu }^{1}(\theta )$ с любым показателем $\mu > 0$. Таким образом, задачу (12), (14), (48) приходится решать в весовом пространстве с положительным показателем $\mu $ – правильная переформулировка интегрального тождества (66) включает пробные функции $\psi \in V_{{ - \mu }}^{1}(\theta )$, для которых выполнены условия Дирихле (14) и все интегралы оказываются сходящимися. Подчеркнем, что для собственной функции задачи (12)–(14) благодаря ее обращению в нуль в вершинах прямоугольника справедливо включение ${\mathbf{v}} \in V_{\varphi }^{1}(\theta )$ для всех показателей $\varphi > - 1$, что и обеспечивает разрешимость нужных задач в прямоугольнике $\theta $ и сходимость всех возникших ранее интегралов.

Указанные слабые сингулярности усугубляются при дифференцировании, т.е. на следующих шагах итерационного процесса, и, как следствие, вблизи коротких сторон прямоугольников $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$, т.е. ребер параллелепипеда ${{\Theta }^{\varepsilon }}$, реализуется явление трехмерного пограничного слоя. Оно описывается при помощи задачи Неймана для уравнения Лапласа в области (фиг. 2б), являющейся объединением полупространства $\mathbb{R}_{ - }^{3}$ и четвертушки слоя $\mathbb{K} \times ( - 1{\text{/}}2,1{\text{/}}2)$, где $\mathbb{K}$ – квадрант плоскости (первый или четвертый), – как обычно, такая область получается в результате растяжения координат в ${{\varepsilon }^{{ - 1}}}$ раз и формального перехода к $\varepsilon = 0$. Исследование разрешимости названной задачи и асимптотики ее решений на бесконечности не проводилось (ср. близкую по тематике работу [48]) и поэтому построение младших асимптотических членов в разложении решения (8) задачи (4), (5) встречает серьезные затруднения и остается важным открытым вопросом.

Вместе с тем обоснование главных членов асимптотик (23), (27) и (26) не требует информации о младших членах. В некритическом случае оно достаточно просто, так как функция $u_{{{\text{as}}}}^{\varepsilon }$, заданная формулами (24) в рукавах $\Pi _{ \pm }^{0}$ и (30) на перемычке ${{\Theta }^{\varepsilon }}$, была сделана непрерывной и удовлетворяющей задаче (4), (5) всюду, кроме прямоугольников $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$, на которых ее производные по переменной ${{x}_{3}}$ имеют ограниченные скачки $J_{ \pm }^{\varepsilon }$. В результате разность ${{\mathcal{U}}^{\varepsilon }} = {{u}^{\varepsilon }} - u_{{{\text{as}}}}^{\varepsilon } \in H_{{loc}}^{1}({{\bar {\Omega }}_{\varepsilon }})$ удовлетворяет интегральному тождеству

с непрерывным (анти)линейным функционалом ${{\mathcal{F}}^{\varepsilon }}$ в правой части, При этом $\beta \in \left( {0,\sqrt {{{\omega }_{1}}{{{(\varpi )}}^{2}} - {{\omega }^{2}}} } \right)$ и $\tau \in ( - 1,0)$ – весовые показатели, а $W_{{\beta ,\tau }}^{{1,\varepsilon }}({{\Omega }^{\varepsilon }})$ – пополнение линейного множества $C_{c}^{\infty }({{\bar {\Omega }}_{\varepsilon }})$ (бесконечно дифференцируемые функции с компактными носителями) по весовой норме а весовые множители $s_{{j,\varepsilon }}^{\tau }$ заданы формулами и согласованы по порядку при подходе из перемычки и из рукавов к зоне их соединения.

Функции из пространства $W_{{\beta ,\tau }}^{{1,\varepsilon }}({{\Omega }^{\varepsilon }})$ исчезают на бесконечности с экспоненциальной скоростью, и поэтому решение задачи (67) ищется в классе $W_{{ - \beta , - \tau }}^{{1,\varepsilon }}({{\Omega }^{\varepsilon }})$ функций с некоторым экспоненциальным ростом на бесконечности. Вместе с тем носитель функционала (68) компактен, а значит, этот функционал попадает в сопряженное пространство $W_{{\beta ,\tau }}^{{1,\varepsilon }}({{\Omega }^{\varepsilon }}){\kern 1pt} *$. Таким образом, общие результаты монографии [2; гл. 5] (см. также статьи [49], [50] и др.) показывают, что решение, подчиненное условиям излучения

обладает экспоненциально затухающим ($\beta > 0$) остатком, становится единственным (захваченных волн нет) и допускает оценку Множитель ${{c}_{\varepsilon }}$, вообще говоря, зависит от малого параметра $\varepsilon $, но развитая в работе [40] техника весовых пространств с отделенной асимптотикой (см. также [43], [2]) доказывает, что в некритическом случае (22) этот множитель равномерно ограничен относительно параметра $\varepsilon \in (0,{{\varepsilon }_{0}}]$ с некоторым ${{\varepsilon }_{0}} > 0$. Наконец, очевидная оценка функционала (68) вместе с обычным следовым неравенством (см., например, [45]) предоставляет мажоранту $c{{\varepsilon }^{{\tau + 1/2}}}$ для правой части (69). Поскольку левая часть (69) содержит модули коэффициентов рассеяния ${{\mathcal{R}}^{\varepsilon }} = {{R}^{\varepsilon }} - {{R}^{0}}$ и ${{\mathcal{T}}^{\varepsilon }} = {{T}^{\varepsilon }} - {{T}^{0}}$, получаем оценку асимптотических остатков в представлениях (11) коэффициентов отражения и прохождения волны (8):

В критическом случае (43) требуется модификация рассуждений и выкладок из [40], в частности, областью определения оператора задачи (67) объявляется пространство функций, представимых в виде

и имеющих норму $inf\left( {\left\| {\mathcal{U}_{0}^{\varepsilon };W_{{\beta , - \tau }}^{{1,\varepsilon }}({{\Omega }^{\varepsilon }})} \right\|\; + \;{\text{|}}{{a}^{\varepsilon }}{\kern 1pt} {\text{|}}} \right)$, причем инфимум вычисляется по всем представлениям (71), а ${{\mathcal{X}}^{\varepsilon }}$ – гладкая срезающая функция, Появление в (71) дополнительного слагаемого с собственной функцией задачи (12)–(14), локализованного на перемычке ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ благодаря множителю (72) и гладко продолженного на рукава $\Pi _{ \pm }^{\varepsilon }$, согласуется с анзацем (43). Поэтому более сложная конструкция приближенного решения задачи (4), (5) приводит к прежней оценке (70) остатков в асимптотических формулах (10) и (63) для коэффициентов рассеяния из (8), а значит, действительно наблюдается почти полное прохождение поршневых мод (6). Именно упомянутые формулы представляют собой основной асимптотический результат работы.

6. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, ДОСТУПНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ И ОТКРЫТЫЕ ВОПРОСЫ

1°. Можно изменить постановку вопроса: зафиксировать длину $L > 0$ перемычки и отыскивать частоты $\omega _{m}^{\varepsilon } \in (0,{{\omega }_{1}}(\varpi ))$, при которых происходит почти полное прохождение волны. Эти частоты находятся по формуле

где $m$ – натуральное число на интервале $(0,2L)$. Если $L < {{(2{{\omega }_{1}}(\varpi ))}^{{ - 1}}}\pi $, то критических частот (73) не существует.

2°. Пусть точная настройка (61) приращения длины перемычки (7) нарушена, т.е.

Графики функций $\varepsilon \mapsto {{(2\omega )}^{{ - 1}}}\pi m + \varepsilon L{\kern 1pt} '$ приведены на фиг. 3а. Решение алгебраической системы (57), (60) принимает вид Кривые $\{ {{R}^{0}}(t):t \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{C}$ и $\{ {{R}^{0}}(t):t \in \mathbb{R}\} \subset \mathbb{C}$, изображенные на фиг. 3б, показывают, что главные асимптотические члены коэффициентов отражения ${{R}^{\varepsilon }}$ и прохождения ${{T}^{\varepsilon }}$ при приращении $\varepsilon t$ длины ${{L}^{\varepsilon }}$ канала двигаются вдоль окружностей с радиусом $\frac{1}{2}$ и соответственно с центрами в точках $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}{{( - 1)}^{m}}$ на вещественной оси. В частности, формулы (74) поясняют, как при изменении длины перемычки (в быстром масштабе ${{\varepsilon }^{{ - 1}}}{{(1\; + \;{\text{|}}{\kern 1pt} ln\varepsilon {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )}^{{ - 1}}}$) почти полное прохождение поршневой моды трансформируется в ее почти полное отражение: Подчеркнем, что в случае $L{\kern 1pt} ' = 0$, т.е. при невозмущенной критической длине ${{L}^{\varepsilon }} = \pi m{\text{/}}2\omega $ соотношения (11) приобретают остатки ${{\widetilde R}^{\varepsilon }},{{\widetilde T}^{\varepsilon }} = O({{(1\; + \;{\text{|}}{\kern 1pt} ln\varepsilon {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )}^{{ - 1}}})$, т.е. эффект почти полного отражения сохраняется, правда, с бóльшими погрешностями.

3°. Разработанные процедуры нуждаются в переработке при рассмотрении частот $\omega $ выше первой положительной точки отсечки ${{\omega }_{1}}(\varpi )$ непрерывного спектра, в частности, потому, что помимо поршневых мод возникают другие уходящие волны в каждом из рукавов (1), и приходится искать асимптотики нескольких коэффициентов рассеяния, главным членам которых требуется придать вполне определенные значения (возможность сделать это – сложная алгебраическая задача). Остается совершенно открытым вопрос о возможности обеспечить почти полное прохождение двух разных волн, приходящих с бесконечности в рукаве $\Pi _{ - }^{\varepsilon }$. При этом обращение в нуль всех коэффициентов отражения вовсе не означает почти полное прохождение какой-либо волны из-за перераспределения энергии между несколькими волнами в “принимающем” рукаве $\Pi _{ + }^{\varepsilon }$.

4°. Благодаря симметрии волновода ${{\Omega }^{\varepsilon }}$ относительно плоскости $\{ x:{{x}_{1}} = 0\} $ можно не только сделать малым коэффициент отражения ${{R}^{\varepsilon }}$, но и обратить его в нуль, т.е. добиться полного прохождения поршневой моды через тонкий канал ${{\Theta }^{\varepsilon }}$. Для этой цели пригодна схема, разработанная в [51], [23] и предлагающая представить поле (8) как сумму $u_{D}^{\varepsilon } + u_{N}^{\varepsilon }$ решений задач в половине $\Omega _{ + }^{\varepsilon } = \{ x \in {{\Omega }^{\varepsilon }}:{{x}_{1}} > 0\} $ волновода (3) с искусственными условиями Дирихле и Неймана на малой усекающей поверхности $\{ x \in {{\Theta }^{\varepsilon }}:{{x}_{1}} = 0\} $. Функция $u_{D}^{\varepsilon }$ гладко зависит от параметра $L$, так как при нечетном $m$ число ${{(2L)}^{{ - 2}}}{{\pi }^{2}}{{m}^{2}}$ не является собственным для аналогичной (12)–(14) предельной двумерной задачи на половине ${{\theta }_{ + }} = \{ y \in \theta :{{y}_{1}} > 0\} $ прямоугольника $\theta $. В то же время у решения $u_{N}^{\varepsilon }$ сохраняется быстрая осцилляция коэффициента отражения, а значит, повторение аргументов из работ [51], [23 ] позволяет убедиться в том, что кривая $L \mapsto {{R}^{\varepsilon }}$ проходит через нуль при вариации полудлины $L$ в малой окрестности ее критического значения ${{L}^{\varepsilon }}$.

5°. Представленный в статье асимптотический анализ годится и в случае тонкой перемычки переменной толщины (фиг. 4а) или искривленного продольного сечения (фиг. 4б)

Здесь ${{H}_{ \pm }} \in {{C}^{2}}(\bar {\theta })$ – профильные функции, $H = {{H}_{ - }} + {{H}_{ + }} > 0$ в замыкании $\overline \theta $ области $\theta \in {{\mathbb{R}}^{2}}$, расположенной в полосе $\{ y:{\text{|}}{{y}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}} < L\} $ и ограниченной кусочно-гладким контуром $\partial \theta $, который состоит из отрезков $\gamma _{ \pm }^{0}\{ y:{{y}_{1}} = \pm L,\;{\text{|}}{\kern 1pt} {{y}_{2}} - {{h}_{ \pm }}{\kern 1pt} {\text{|}} < {{\ell }_{ \pm }}\} $ и замкнутых дуг, соединяющих пары точек $( - L,{{h}_{ - }} \pm {{\ell }_{ - }})$ $( + L,{{h}_{ + }} \pm {{\ell }_{ + }})$. Разумеется, погружения названных отрезков на плоскости $\{ x:{{x}_{3}} = \pm L\} $ должны попасть вовнутрь торцов ${{\varpi }_{ \pm }}$ полуцилиндров $\Pi _{ \pm }^{0}$.

Если спектральный параметр ${{\omega }^{2}}$ не является собственным значением предельной задачи (ее вывод несложен – см., например, [43; гл. 11])

то построение асимптотики решения (8) задачи (4), (5) в целом следует схеме, изложенной в данной статье. Если же ${{\omega }^{2}}$ – простое собственное число (критический случай), то асимптотические анзацы (23), (49) и (31) сохраняются, однако процедура “точной настройки”, обеспечивающая почти полное прохождение волны ${{w}^{ + }}$, усложняется существенно: в частности, около торцов полуцилиндров $\Pi _{ - }^{\varepsilon }$ и $\Pi _{ + }^{\varepsilon }$ могут потребоваться разные приращения длины перемычки ${{\Theta }^{\varepsilon }}$.

6°. Если ${{\omega }^{2}} = {{\mu }_{{jk}}}$ и ${{\mu }_{{jk}}}$ – собственное значение задачи (12)–(14) с индексом $j \geqslant 1$, но выполнено требование (22), то задача (12), (13), (28) с данными (29) разрешима, а значит, эффект почти полного прохождения отсутствует. Вместе с тем он может проявиться выше первой частоты отсечки, т.е. при $\omega > {{\omega }_{1}}(\varpi )$ для распространяющихся волн, отличных от поршневой. Такой феномен нуждается в отдельном изучении (ср. разд. 3°).

7°. На протяжении всей статьи считалось, что грани $\gamma _{ \pm }^{\varepsilon }$ параллелепипеда (2) лежали строго внутри торцов полуцилиндров (1) – это сделано для унификации изложения. Вместе с тем при квадратном сечении $\varpi = \{ x{\kern 1pt} ':{\text{|}}{{x}_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \ell ,\;{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}} < 1{\text{/}}2\} $ и канале (2) задача (4), (5) допускает разделение переменных и после исключения переменной ${{x}_{2}}$ сводится к задаче Неймана в двумерной области $\{ x \in {{\Omega }^{0}}:{{x}_{2}} = 0\} $, содержащейся в единичной полосе (см. формулы (1)–(3) и фиг. 1б), в которой ${{\omega }_{1}}(\varpi ) = \pi $. Для вычислений в усеченном волноводе применен P2-метод конечных элементов и на усекающих отрезках назначены прозрачные искусственные краевые условия с оператором Стеклова–Пуанкаре (Dirichlet-to-Neumann mapping), удерживая пятнадцать членов в разложении Фурье. При $\omega = 0.8\pi < {{\omega }_{1}}(\varpi )$ первая критическая полудлина равна ${{L}_{c}} = 0.625$ (ср. (17) и (43)). Коэффициенты рассеяния вычисляем по найденному решению при помощи соотношений

где $H > L$. На фиг. 5 и 6 представлены коэффициенты рассеяния для полудлин $L$ из интервала $(0.4,0.8) \mathrel\backepsilon {{L}_{c}}$ ∋ L_c, причем $\varepsilon = 0.2$ на фиг. 5 и $\varepsilon = 0.02$ на фиг. 6. Как предсказал асимптотический анализ, для большинства рассмотренных значений $L$ коэффициент прохождения $T(L)$ близок к нулю, однако для некоторого ${{L}_{*}}$ наблюдается эффект почти полного прохождения поршневой моды, причем ${{L}_{*}} < {{L}_{c}}$ и можно уточнить значение ${{L}_{*}}$ так, чтобы обеспечить условие $R({{L}_{*}}) = 0$ полного прохождения поршневой моды. Более того, изменяемость коэффициентов рассеяния увеличивается при уменьшении $\varepsilon $, а также ${{L}^{\varepsilon }} \to {{L}_{c}}$ при $\varepsilon \to + 0$.

На фиг. 7 представлены конкретные вычисления поля ${{u}^{\varepsilon }}$ при $\varepsilon = 0.02$ в случае общего положения, для которого коэффициент прохождения близок к нулю, и при $L \approx {{L}_{*}}$. В последнем случае действительно рассеянное поле экспоненциально затухает при ${{x}_{1}} \to - \infty $, причем в согласии с формулами (49), (50) и (63) внутри канала ${{\Theta }^{\varepsilon }}$ величина $\operatorname{Re} {{u}^{\varepsilon }}$ приобрела порядок ${{\varepsilon }^{{ - 1}}} = P$.

Фиг. 8 включает те же графики коэффициентов рассеяния при $L \in (0.4,0.8)$, что и на фиг. 5, однако для несимметричного волновода, схематично изображенного на фиг. 9 и не обладающего симметрией относительно оси ординат. Последнее обстоятельство не позволяет применить изложенный ранее асимптотический анализ. На фиг. 8 видно, что модуль коэффициента отражения существенно отличен от нуля, т.е. эффект почти полного прохождения, вообще говоря, отсутствует при потере волноводом симметрии. Вместе с тем результат вычислений на фиг. 9 подсказывает, что, возможно, симметрия все-таки не нужна для достижения полного прохождения волны, однако сделать этот вывод на основе асимптотического анализа не удается.