Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 4, стр. 684-688

Вихревые фантомы в стационарной задаче о протекании Кочина–Юдовича

О. В. Трошкин^*

ФГУ ФНЦ НИИСИ РАН
117218 Москва, Нахимовский пр-т, 36, кор. 1, Россия

^* E-mail: troshkin1955@mail.ru

Поступила в редакцию 04.06.2020
После доработки 04.06.2020
Принята к публикации 16.12.2020

DOI: 10.31857/S0044466921040128

Аннотация

Впервые увиденным в ярких вспышках света и обусловленным большим числом Рейнольдса спонтанным появлением нестационарных вихрей турбулентности, неизменно выравнивающих параболический профиль скорости в трубе, динамика сплошной среды отнюдь не исчерпывается. В окружающем пространстве наблюдаемы также и стационарные смерчи, и водовороты, приближаемые обычно аналитическими зависимостями, разложимыми в степенные ряды. Вопрос же о существовании, пусть сколь угодно гладкого, но не аналитического, а стало быть фантомного, т.е. классически уже не приближаемого полиномами с какой-либо заданной степенью точности, или, словом, точно не вычисляемого, но устанавливаемого со временем стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости в граничной задаче о протекании Кочина–Юдовича, как оказалось, тоже сводится к такого же рода вихрям, конкретно, к нахождению их бесконечно гладкого невычисляемого массового расхода как функции тока, разрешающей двумерную задачу Дирихле для отрицательного оператора Лапласа, с правой частью – бесконечно гладкой срезкой Соболева, известной еще в 30-х годах 20-го века, ставшей по ее окончанию сглаживателем Фридрихса. Эта задача кратко обсуждается ниже. Библ. 14. Фиг. 1.

Ключевые слова: cтационарные гидродинамические уравнения Эйлера, задача о протекании Кочина–Юдовича, фантомные вихри неединственности.

1. ГЛАДКО ВМОРОЖЕННЫЕ ВИХРИ

Принимая во внимание срезку Соболева [1] и сглаживатель Фридрихса [2] и задавшись прямоугольником и достаточно малым расстоянием,

$V:\left| x \right| < l,\quad 0 < y < h,\quad \varepsilon < \min \left( {{{l,h} \mathord{\left/ {\vphantom {{l,h} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\quad {\text{для}}\quad l,h,\varepsilon = {\text{const}} > 0,$

рассмотрим плоскопараллельное стационарное поле скоростей несжимаемой жидкости,

$u = {{\psi }_{y}},\quad {v} = - {{\psi }_{x}},\quad {{u}_{x}} + {{{v}}_{y}} = 0,\quad {{{v}}_{x}} - {{u}_{y}} = \omega = - \Delta \psi = - {{\psi }_{{xx}}} - {{\psi }_{{yy}}},$

из линий уровня $\psi \left( {x,y} \right) = {\text{const}}$ массового расхода, или функции тока $\psi $ Дезина [3],

$\psi = Uh\exp \frac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{{{{r}^{2}} - {{\varepsilon }^{2}}}}\quad {\text{или}}\quad \psi = 0\quad {\text{для}}\quad r = \sqrt {{{{(x - {{x}_{0}})}}^{2}} + {{{(y - {{y}_{0}})}}^{2}}} < \varepsilon \quad {\text{или}}\quad r \geqslant \varepsilon ,$

соответственно, образующей плоский вихрь, как бы вмороженный в покоящуюся сплошную среду бесконечно гладкого линейного многообразия (см. [4])

$С_{0}^{\infty } = \left\{ {\psi \in {{С}^{\infty }} = {{С}^{\infty }}(\bar {V}):{{{\left. \psi \right|}}_{{\partial V}}} = 0} \right\}.$

Другой пример вмороженного вихря доставляет нетривиальное решение $\psi = \psi \left( {x,y} \right) > 0$, $\left( {x,y} \right) \in V$, граничной задачи

(1)

$ - \Delta \psi = f\left( \psi \right) = 1 - {{e}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\psi }^{2}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }^{2}}}}}}}\quad {\text{в}}\;\;V\;\;{\text{для}}\quad \psi \in С_{0}^{\infty }\quad {\text{и}}\quad \psi \ne 0,$

где строгий принцип максимума $ - \Delta \psi > 0$ при $\psi \in С_{0}^{\infty }$ (см. [5]) влечет $\psi > 0$ в $V$.

Разрешимость же задачи (1) гарантирует отрицательная производная

${{f}_{\psi }} = {{\left( { - {{e}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\psi }^{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }^{3}}}}}}}} \right)}_{\psi }} = - {{2{{e}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\psi }^{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }^{3}}}}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{e}^{{ - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\psi }^{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }^{3}}}}}}}} {{{\psi }^{3}}}}} \right. \kern-0em} {{{\psi }^{3}}}} < 0,\quad \psi \ne 0,$

что для гильбертовых норм

$\left\| {\nabla \varphi } \right\| = \sqrt {\left\langle {{{{\left| {\nabla \varphi } \right|}}^{2}}} \right\rangle } \quad {\text{и}}\quad \left\| \varphi \right\| = \sqrt {\left\langle {{{\varphi }^{2}}} \right\rangle } \quad {\text{при}}\quad \left\langle \varphi \right\rangle = \int\limits_V {\varphi dV} \quad {\text{и}}\quad dV = dxdy,$

предполагает как положительную определенность квадратичной формы

$\left( {E{\kern 1pt} {\text{''}}\varphi ,\varphi } \right) = {{\left\| {\nabla \varphi } \right\|}^{2}} - \left\langle {{{f}_{\psi }}{{\varphi }^{2}}} \right\rangle \geqslant {{\left\| {\nabla \varphi } \right\|}^{2}} \geqslant {{\lambda }_{{\min }}}{{\left\| \varphi \right\|}^{2}},\quad {{\lambda }_{{\min }}} = {{\left( {\frac{\pi }{h}} \right)}^{2}} + {{\left( {\frac{\pi }{{2l}}} \right)}^{2}},$

повторного дифференциала Фреше [6], так и, по известным конструкциям Соболева [7, § 16], наличие минимума $\psi $ у функционала

$E = E[\psi ] = \frac{1}{2}{{\left\| {\nabla \psi } \right\|}^{2}} - \int\limits_0^\psi {f(\tau )d\tau } ,$

в его критической точкe $\psi $, в замыкании

${{W}^{1}} = \left\{ {\psi :\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {\nabla {{\psi }_{n}} - \nabla \psi } \right\| = 0,\;{{\psi }_{n}} \in С_{0}^{\infty }} \right\}$

пространства $С_{0}^{\infty }$, обобщенно разрешающей задачу (1),

$\left( {E{\kern 1pt} ',\varphi } \right) = \left\langle {\nabla \psi \cdot \nabla \varphi } \right\rangle - \left\langle {f\left( \psi \right)\varphi } \right\rangle = 0\quad {\text{для}}\;{\text{любой}}\quad \varphi \in С_{0}^{\infty } \subset {{W}^{1}}$

и обладающей к тому же требуемой гладкостью, $\psi \in С_{0}^{\infty }$, обеспечиваемой как необходимыми приграничными оценками [8], так и тождеством

$\left\langle {\nabla \psi \cdot \nabla \varphi } \right\rangle = - \left\langle {\varphi \Delta \psi } \right\rangle \quad {\text{при}}\quad \psi \in С_{0}^{\infty }.$

2. ВЫЧИСЛЯЕМЫЕ ВИХРИ ПРОСТОГО ПРОТЕКАНИЯ

В подвижной стационарной жидкой среде вмороженные вихри превращаются в точно невычисляемые, но сколь угодно гладкие вихревые фантомы бесконечно гладкого неаналитического расхода $\psi $ и завихренности $\omega $, по-прежнему связанные лапласианом и скалярным коммутатором в области течения,

(2)

$ - \Delta \psi = {{{v}}_{x}} - {{u}_{y}} = \omega \quad {\text{и}}\quad [\psi ,\omega ] = {{\psi }_{y}}{{\omega }_{x}} - {{\psi }_{x}}{{\omega }_{y}} = u{{\omega }_{x}} + {v}{{\omega }_{y}} = 0\quad {\text{в}}\quad V,$

что и обеспечивает выполнение соотношений (1) для $\omega = f\left( \psi \right)$.

Взяв теперь в роли такой области канал $V$ с непроницаемыми стенками$y = 0,h$ и постоянной завихренностью $\omega $ на участке втекания $x = - l$ границы $\partial V$, приходим к следующей граничной задаче Кочина–Юдовича [9], в ее стационарной постановке [10], [11] для (2),

(3)

${{\left. \omega \right|}_{{x = - l}}} = \Omega = {\text{const}} > 0\quad {\text{при}}\quad {{\left. {u{\kern 1pt} } \right|}_{{x = \mp l}}} = U = {\text{const}} > 0\quad {\text{и}}\quad {{\left. {v} \right|}_{{y = 0,h}}} = 0.$

Как известно [10], последняя обладает единственным аналитическим решением из

$\omega = \Omega \quad {\text{и}}\quad \psi = {{\psi }_{*}} = Uy + \Omega h\Phi + {\text{const}}\quad {\text{для}}\quad - {\kern 1pt} \Delta \Phi = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 h}} \right. \kern-0em} h}\quad {\text{в}}\quad V\quad {\text{и}}\quad {{\left. \Phi \right|}_{{\partial V}}} = 0,$

одиночный вихрь которой с расходом $\Phi $ оказывается симметричным,

$\Phi \left( { - x,y} \right) = \Phi \left( {x,y} \right) = \Phi \left( {x,h - y} \right),\quad \left| x \right| \leqslant l,\quad 0 \leqslant y \leqslant h,$

и, сверх того, выпуклым отдельно по $x$ и $y$,

${{\Phi }_{{xx}}},{{\Phi }_{{yy}}} < 0\quad {\text{в}}\quad V\quad {\text{при}}\quad {{\left. \Phi \right|}_{{\partial V}}} = 0.$

Им же определяется число

${{\beta }_{0}} = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\Phi }_{y}}\left( {0,0} \right)}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{y}}\left( {0,0} \right)}} = - {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{{\Phi }_{y}}\left( {0,h} \right)}}} \right. \kern-0em} {{{\Phi }_{y}}\left( {0,h} \right)}} > 0,$

которое оказывается критическим значением безразмерного параметра

$\beta = \frac{{\Omega h}}{U}\quad {\text{для}}\quad u\left( {x,y} \right) = u\left( { - x,y} \right) \leqslant u\left( {0,y} \right) = U + \Omega h{{\Phi }_{y}}\left( {0,y} \right),$

или для

$u\left( {0,0} \right) = U\left( {1 + {\beta \mathord{\left/ {\vphantom {\beta {{{\beta }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\beta }_{0}}}}} \right)\quad {\text{и}}\quad u\left( {0,h} \right) = U\left( {1 - {\beta \mathord{\left/ {\vphantom {\beta {{{\beta }_{0}}}}} \right. \kern-0em} {{{\beta }_{0}}}}} \right),$

как на фиг. 1.

Фиг. 1.

Картины аналитического течения (2), (3).

3. ФАНТОМЫ ПРОСТОГО ПРОТЕКАНИЯ

Как и в покоящейся среде разд. 1, в простом протекании из разд. 2 каждый фантом возникает при нарушении принципа максимума

$0 = \mathop {\min }\limits_{\partial V} \psi \leqslant {{\left. \psi \right|}_{V}} \leqslant \mathop {\max }\limits_{\partial V} \psi = Uh$

для секундного расхода $\psi $ перемешиваемой жидкости в замыкании $\bar {V} = V + \partial V$ области течения $V$, т.е. при $\left| \beta \right| > {{\beta }_{0}}$, как выше на фиг. 1. Он как бы садится на вычисляемый аналитический вихрь, если регулируемый на участке втекания $x = - l$ секундный расход $\psi $ в области течения $V$ превосходит измеряемый на границе: $\mathop {\max }\limits_{\bar {V}} \psi > \mathop {\max }\limits_{\partial V} \psi $ при $\beta > {{\beta }_{0}}$ либо $\mathop {\min }\limits_{\bar {V}} \psi < \mathop {\min }\limits_{\partial V} \psi $ при $\beta < - {{\beta }_{0}}$.

Конкретно для задачи (2), (3) это происходит следующим образом.

Желаемое однозначное продолжение центрального условия

$ - \Delta \psi = \Omega \quad {\text{с}}\quad 0 \leqslant \psi \left( { - l,0 \leqslant y \leqslant h} \right) \leqslant Uh\quad {\text{на}}\quad - {\kern 1pt} \infty < \psi = \psi \left( {x,y} \right) < \infty \quad {\text{в}}\quad V$

с участка втекания $x = - l$ на всю область стационарного течения $V$ действительно возможно только для вычисляемых расходов, т.е. для аналитических функций тока $\psi = {{\psi }_{*}} \in С{\kern 1pt} *$ [10]. В классе же ${{С}^{\# }} = {{С}^{\infty }}{{\backslash }}С{\kern 1pt} *$ такое продолжение уже неединственно [11]:

(4)

$ - \Delta \psi = \omega = \Omega + \varepsilon \Omega \left\{ \begin{gathered} {{e}^{{{{Uh} \mathord{\left/ {\vphantom {{Uh} {({{\psi }_{ * }} - \psi )}}} \right. \kern-0em} {({{\psi }_{ * }} - \psi )}}}}},\quad \psi > {{\psi }_{*}}, \hfill \\ 0,\quad 0 \leqslant \psi \leqslant {{\psi }_{*}}, \hfill \\ {{e}^{{{{Uh} \mathord{\left/ {\vphantom {{Uh} \psi }} \right. \kern-0em} \psi }}}},\quad \psi < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad {\text{в}}\quad V,\quad {{\left. {(\psi - {{\psi }_{*}}){\kern 1pt} } \right|}_{{\partial V}}} = 0,\quad \left| \beta \right| > {{\beta }_{0}},$

и, как и в разд. 1, приводит к нетривиальному решению

$\psi = {{\psi }_{*}} + Uh\varphi ,\quad \varphi > 0\quad {\text{для}}\quad - {\kern 1pt} \Delta \varphi = \frac{{ - \Delta \psi + \Delta {{\psi }_{*}}}}{{Uh}} = \varepsilon \beta {{e}^{{ - 1/\varphi }}}\quad {\text{в}}\quad V,\quad {{\left. \varphi \right|}_{{\partial V}}} = 0,$

задачи (2), (4), или решению $\varphi \in С_{0}^{\# }$ задачи (4), поскольку производная

${{\left( {\varepsilon \beta \exp \left( {\frac{{ - 1}}{\varphi }} \right)} \right)}_{\varphi }} = \frac{{\varepsilon \beta }}{{{{\varphi }^{2}}}}\exp \left( {\frac{{ - 1}}{\varphi }} \right) > 0\quad {\text{при}}\quad \beta > {{\beta }_{0}} > 0,$

$\psi = {{\psi }_{*}} - Uh\varphi ,\quad \varphi > 0\quad {\text{для}}\quad - {\kern 1pt} \Delta \varphi = \frac{{\Delta \psi - \Delta {{\psi }_{*}}}}{{Uh}} = - \varepsilon \beta {{e}^{{1/\varphi }}}\quad {\text{в}}\quad V,\quad {{\left. \varphi \right|}_{{\partial V}}} = 0,$

в альтернативном случае

${{\left( { - \varepsilon \beta \exp \frac{1}{\varphi }} \right)}_{\varphi }} = \frac{{\varepsilon \beta }}{{{{\varphi }^{2}}}}\exp \frac{1}{\varphi } < 0\quad {\text{при}}\quad \beta < - {{\beta }_{0}} < 0,$

чтобы обеспечить положительную определенность квадратичной формы функционала задачи (4), как в разд. 1.

4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Включение ньютоновых вязкости и условий прилипания в простое протекание для плоского периодического канала [12], разумеется, избавит его от катастрофы неединственности стационарного течения, обусловленной рассмотренными выше фантомами, или пространственными вихревыми трубками, продолжаемыми, однако, вихревыми кольцами без закрутки [13], но с осевой симметрией [14].

Список литературы

Соболев С.Л. Новый метод решения задачи Коши для уравнений в частных производных нормального гиперболического типа // Mатем. сб. 1936. Т. 1(43). № 1. С. 39–72. S. Soboleff. Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales. Rec. Math. Mat. Sbornik. N.S., 1936, V. 1(43), No. 1. Р. 39–72.
Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1944. V. 55. P. 132–151.
Дезин А.А. Об одном классе векторных полей. Комплексный анализ и его приложения. М.: Наука, 1978. С. 203–208. Dezin A.A. A class of vector fields // in “Complex analysis and its applications”. Moscow: Nauka, 1978. Р. 203–208.
Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач.М.: Наука, 1980. 207 с. Dezin A.A. Partial differential equations: An introduction to a general theory of linear boundary value problems. Springer, 1987. 161 p.
Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. 287 с. Landis E.M. Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type. Translation of Mathematical Monographs. US–Rhode Island–Providence: American Mathematical Society. 1997. V. 171. 203 p.
Ekeland I., Temam R. Convex Analysis and Variational Problems.–Amsterdam–Oxford: North–Holland Publ. Company, 1976. 402 p. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 399 с.
Sobolev S.L. Some applications of functional analysis in mathematical physics. Translation of Mathematical Monographs. US–Rhode Island–Providence: American Mathematical Society, 1963. V. 7. 239 p. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. Изд. 3-е. 337 с.
Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions I, II // Comm. Pure Appl. Math. 1959. V. 12. Iss. 4. P. 623–727. 1964. V. 17. Iss. 1. P. 35–92. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 208 с.
Юдович В.И. Двумерная нестационарная задача протекания идеальной жидкости через заданную область // Матем. сб. 1964. Т. 64. С. 562–588. Yudovich V. I. A two-dimensional problem of unsteady flow of an ideal incompressible fluid across a given domain // Amer. Math. Soc. Translations. 1966. V. 57. P. 277–304.
Трошкин О.В. О топологическом анализе структуры гидродинамических течений // Успехи матем. наук. 1988. Т. 43. Вып. 4(262). С. 129–158. Troshkin O.V. Topological analysis of the structure of hydrodynamic flows // Russian Mathematical Surveys. 1988. V. 43. No. 4. P. 153–190.
Трошкин О.В. Двумерная задача о протекании для стационарных уравнений Эйлера // Матем. сб. 1989. Т. 180. В. 3. С. 354–374. Troshkin O.V. A two-dimensional flow problem for steady-state Euler equations // Mathematics of the USSR-Sbornik. 1990. V. 66. No. 2. P. 363–382.
Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с. Ladyzhenskaya О.А. The Маthematical Theory of Viscous Incompressible Flow. 2014 Reprint of 1963 Edition–NY: Gordon and Breach, 1969. 224 p.
Moffatt H.K. Generalised vortex rings with and without swirl // Fluid Dynamic Research. 1988. V. 3. P. 22–30.
Troshkin O.V. On Smooth Vortex Catastrophe of Uniqueness for Stationary Flows of an Ideal Fluid // Comput. Math. and Math. Phys. 2019. V. 59. No. 10. P. 1742–1752. Трошкин О.В. О гладкой вихревой катастрофе единственности стационарных течений идеальной жидкости // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 10. С. 1803–1814.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал