Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 6, стр. 977-989

1. ВВЕДЕНИЕ. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

На протяжении длительного периода не ослабевает интерес к исследованию краевых задач и задач управления для линейных и нелинейных моделей массо- и теплопереноса (см. [1]–[15]). При этом приложения задач управления не ограничиваются поиском эффективных механизмов управления физическими полями в сплошных средах. В рамках оптимизационного подхода задачи восстановления коэффициентов рассматриваемых моделей по дополнительной информации о решении соответствующих краевых задач сводятся к мультипликативным задачам управления. Роль управлений в указанных задачах играют искомые коэффициенты модели (о корректности данного подхода см. [9], [15], [16]). В частности, задачи восстановления параметров среды играют важную роль в задачах тепловой и электромагнитной маскировки (см. [17] и ссылки там). Например, задачу восстановления коэффициента диффузии $\lambda $ по дополнительной информации о концентрации $\varphi $ можно свести к рассматриваемой в статье задаче управления, роль управления в которой играет функция $\lambda $.

Настоящая работа является продолжением и обобщением результатов [12] и [14] по исследованию разрешимости краевых и экстремальных задач для нелинейного уравнения реакции–диффузии–конвекции. Так же данная статья дополняет результаты [12]–[15], посвященные исследованию устойчивости решений экстремальных задач путем установления новых важных свойств оптимальных решений.

В ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей $\Gamma $ рассматривается краевая задача для стационарного уравнения конвекции–диффузии–реакции

Здесь функция $\varphi $ имеет смысл концентрации загрязняющего вещества, ${\mathbf{u}}$ – заданный вектор скорости, $f$ – объемная плотность внешних источников вещества, $\lambda ({\mathbf{x}})$ – коэффициент диффузии, коэффициент реакции $k = k(\varphi ,{\mathbf{x}})$ нелинейно зависит от концентрации вещества $\varphi $, а также от пространственной переменной ${\mathbf{x}} \in \Omega $. Ниже на задачу (1.1) при заданных функциях $\lambda ,\;f,\;{\mathbf{u}},$ $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$ и $\psi $ будем ссылаться как на задачу 1.

В настоящей работе доказываются глобальная разрешимость задачи 1 и локальная единственность ее решения в случае, когда нелинейность $k(\varphi ,{\mathbf{x}})\varphi $ не является монотонной во всей области $\Omega $, как предполагалось в [12]. Здесь мы полагаем, что нелинейность $k(\varphi ,{\mathbf{x}})\varphi $ монотонна лишь в конкретном подмножестве $\Omega $, тогда как вне данного подмножества коэффициент реакции $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$ ограничен по норме. Это позволит расширить круг математических моделей, для которых удается доказать разрешимость краевых и экстремальных задач, включив в их число модели горения из [18]. Для концентрации $\varphi $ устанавливается строгий принцип минимума и максимума, который существенно используется при исследовании свойств оптимальных решений.

Далее для задачи 1 формулируется задача управления, роль управлений в которой играют функции $\lambda ,\;f$ и $\psi $, и в общем виде доказывается ее разрешимость. Отдельно рассматривается двухпараметрическая задача управления в случае, когда коэффициент реакции имеет вид произведения $k(\varphi ,{\mathbf{x}}) = \beta ({\mathbf{x}}){{k}_{0}}(\varphi )$. Роль управлений в рассматриваемой задаче играют функции $\beta $ и $f$. Представление коэффициента $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$ в указанном виде позволяет моделировать неоднородность среды в пространстве.

В случае, когда коэффициент реакции, а также функционалы качества дифференцируемы по Фреше, для экстремальных задач выводятся системы оптимальности. На основе их анализа для оптимальных решений двухпараметрической задачи управления устанавливается справедливость стационарного аналога принципа bang–bang (см. о смысле этого термина ниже или в [12], [20]).

При анализе рассматриваемых задач будем использовать функциональные пространства Соболева ${{H}^{s}}(D)$, $s \in \mathbb{R}$. Здесь $D$ обозначает область $\Omega $, либо некоторую подобласть $Q \subset \Omega $, либо границу $\Gamma $. Через ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{s,Q}}},\;{{\left| {\, \cdot \,} \right|}_{{s,Q}}}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{{s,Q}}}$ будем обозначать норму, полунорму и скалярное произведение в ${{H}^{s}}(Q)$ соответственно. Нормы и скалярные произведения в ${{L}^{2}}(Q)$, ${{L}^{2}}(\Omega )$ либо в ${{L}^{2}}(\Gamma )$ будем обозначать соответственно через ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{Q}}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{Q}}$, ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\Omega }}$ и $( \cdot , \cdot )$ либо ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{\Gamma }}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{\Gamma }}$. Пусть $L_{ + }^{p}(\Omega ) = \{ k \in {{L}^{p}}(\Omega ):k \geqslant 0\} $, $p \geqslant 3{\text{/}}2$, $Z = \{ {\mathbf{v}} \in {{L}^{4}}{{(\Omega )}^{3}}:\operatorname{div} {\mathbf{v}} = 0\;{\text{в}}\;\Omega \} $, $H_{{{{\lambda }_{0}}}}^{s}(\Omega ) = \{ h \in {{H}^{s}}(\Omega ):h \geqslant {{\lambda }_{0}} > 0\;{\text{в}}\;\Omega \} $, $s > 3{\text{/}}2$.

Предположим, что выполняются следующие условия:

(i) $\Omega $ – ограниченная область в пространстве ${{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей $\Gamma \in {{C}^{{0,1}}}$;

(ii) $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$, ${\mathbf{u}} \in Z$, $\psi \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$;

(iii) Для любой функции $v \in {{H}^{1}}(\Omega )$ справедливо вложение $k(v, \cdot ) \in L_{ + }^{p}(\Omega )$ для некоторого $p \geqslant 5{\text{/}}3$, не зависящего от $v$, и на любом шаре ${{B}_{r}} = \{ v \in {{H}^{1}}(\Omega ):{{\left\| v \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant r\} $ радиуса $r$ выполняется неравенство

Здесь константа $L$ зависит от $r$, но не зависит от ${{v}_{1}},{{v}_{2}} \in {{B}_{r}}$.

(iv) Пусть ${{\Omega }_{1}} \subset \Omega $ – такая подобласть области $\Omega $, что ${{\bar {\Omega }}_{1}} \subset \Omega $. Положим ${{\Omega }_{2}} = \Omega {{\backslash }}{{\bar {\Omega }}_{1}}$. Функция $k(\varphi , \cdot )\varphi $ является монотонной в подобласти ${{\Omega }_{2}}$ в следующем смысле:

и ограниченной в том смысле, что существуют положительные константы ${{A}_{1}},\;{{B}_{1}}$, зависящие от $k$, такие, что В подобласти ${{\Omega }_{1}}$ для функции $k(\varphi , \cdot )$ с константой ${{C}_{1}} > 0$ справедливо неравенство

Отметим, что условия (iii), (iv) описывают оператор, действующий из ${{H}^{1}}(\Omega )$ в ${{L}^{p}}(\Omega )$, $p \geqslant 5{\text{/}}3$, позволяющий учитывать достаточно произвольную зависимость коэффициента реакции, как от концентрации $\varphi $, так и от пространственной переменной ${\mathbf{x}}$. Например,

где $Q$ – подобласть области ${{\Omega }_{2}}$.

Напомним также, что в силу теоремы вложения Соболева пространство ${{H}^{1}}(\Omega )$ вкладывается в пространство ${{L}^{s}}(\Omega )$ непрерывно при $s \leqslant 6$ и компактно при $s < 6$, и с некоторой константой ${{C}_{s}}$, зависящей от $s$ и $\Omega $, справедлива оценка

Замечание 1. Ниже для простоты будем писать $k(\varphi )$, вместо $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$ за исключением тех случаев, где зависимость от ${\mathbf{x}}$ также играет важную роль.

Справедливы следующие леммы (см., например, [8]).

Лемма 1. При выполнении условий (i), (ii), ${\mathbf{u}} \in Z$, $\lambda \in H_{{{{\lambda }_{0}}}}^{s}(\Omega )$, $s > 3{\text{/}}2$, ${{k}_{1}} \in L_{ + }^{p}(\Omega )$, $p \geqslant 5{\text{/}}3$, существуют положительные константы ${{C}_{0}},\;{{\delta }_{0}},\;{{\gamma }_{1}},\;\gamma _{1}^{'},\;{{\gamma }_{p}}$, зависящие от $\Omega $ или от $\Omega $ и $p$, с которыми справедливы соотношения

Лемма 2. Пусть выполняются условия (i). Тогда для любой функции $\psi \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ существует функция ${{\varphi }_{0}} \in {{H}^{1}}(\Omega )$ такая, что ${{\varphi }_{0}} = \psi $ на $\Gamma $ и с некоторой константой ${{C}_{\Gamma }}$, зависящей от $\Omega $ и $\Gamma $, справедлива оценка ${{\left\| {{{\varphi }_{0}}} \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant {{C}_{\Gamma }}{{\left\| \psi \right\|}_{{1/2,\Gamma }}}$.

Умножим уравнение в (1.1) на $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и проинтегрируем по $\Omega $, применяя формулу Грина. Получим

Функцию $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$, удовлетворяющую (1.9), назовем слабым решением задачи 1.

Решение задачи 1 будем искать в виде $\varphi = \tilde {\varphi } + {{\varphi }_{0}}$, где ${{\varphi }_{0}}$ – функция из леммы 2, а $\tilde {\varphi } \in H_{0}^{1}(\Omega )$ – неизвестная функция. Подставляя $\varphi = \tilde {\varphi } + {{\varphi }_{0}}$ в (1.9), получаем

Прибавим к обеим частям (1.10) слагаемое $ - {{(k({{\varphi }_{0}}){{\varphi }_{0}},h)}_{{{{\Omega }_{2}}}}}$, получим

Для доказательства разрешимости задачи (1.10) применим теорему Лере–Шаудера (см. [20]). Для этого введем билинейную форму $a(\eta ,h) = (\lambda \nabla \eta ,\nabla h)$ и нелинейный оператор $G$ по формуле

где $\tilde {f}(\tilde {\varphi }) \in {{H}^{{ - 1}}}(\Omega )$.

По теореме Лакса–Мильграма из (1.12) вытекает, что для любой функции $\tilde {\varphi } \in H_{0}^{1}(\Omega )$ существует единственная функция $w \in H_{0}^{1}(\Omega )$, с которой справедливо равенство

В таком случае оператор $G$, определенный формулой (1.12), действует из $H_{0}^{1}(\Omega )$ в $H_{0}^{1}(\Omega )$ и ставит в соответствие каждой функии $\tilde {\varphi } \in H_{0}^{1}(\Omega )$ элемент $G(\tilde {\varphi }) \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Тогда для доказательства существования решения задачи (1.10) достаточно доказать существование решения $\tilde {\varphi } \in H_{0}^{1}(\Omega )$ операторного уравнения

Пусть ${{\tilde {\varphi }}_{1}},{{\tilde {\varphi }}_{2}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$. Вычтем (1.12) при $\tilde {\varphi } = {{\tilde {\varphi }}_{2}}$ из (1.12) при $\tilde {\varphi } = {{\tilde {\varphi }}_{1}}$. Для этого (1.12) лучше переписать в виде

Имеем Используя лемму 1, неравенство Гёльдера, свойство (iii) и (1.4), из (1.14) приходим к неравенству Полагая $h = G(\mathop {\tilde {\varphi }}\nolimits_1 ) - G(\mathop {\tilde {\varphi }}\nolimits_2 )$ в (1.15), приходим в силу (1.8) и свойства (iv) к оценке из которой в силу компактности вложения ${{H}^{1}}(\Omega ) \subset {{L}^{5}}(\Omega )$ вытекают непрерывность и компактность оператора $G:H_{0}^{1}(\Omega ) \to H_{0}^{1}(\Omega )$.

Наряду с (1.13), рассмотрим операторное уравнение ${{\tilde {\varphi }}_{w}} + wG({{\tilde {\varphi }}_{w}}) = 0$ в $H_{0}^{1}(\Omega )$, где $w \in (0,1]$, и вариационное равенство

Применив (1.5), (1.7), с учетом свойства (iv) оценим норму функционала ${{l}_{w}}$ из (1.16):

Полагая $h = {{\tilde {\varphi }}_{w}}$ в (1.16), в силу (1.8) и свойства (iv) приходим к оценке из которой вытекает, что

В таком случае в силу теоремы Лере–Шаудера существует решение $\tilde {\varphi } \in H_{0}^{1}(\Omega )$ задачи (1.11), для которого справедлива оценка (1.23), и слабое решение $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$, $\varphi = \tilde {\varphi } + {{\varphi }_{0}}$ задачи 1, причем

Установим достаточные условия, при которых решение задачи (1.9) единственно. Пусть ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}} \in {{H}^{1}}(\Omega )$ – два решения задачи (1.9). Тогда их разность $\varphi = {{\varphi }_{1}} - {{\varphi }_{2}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ удовлетворяет соотношению

Полагая в (1.21) $h = \varphi $, в силу условий (iii), (iv) и леммы 1 приходим к оценке Из (1.22) вытекает, что при выполнении условия получаем ${{\left\| \varphi \right\|}_{{1,\Omega }}} = 0$, т.е. ${{\varphi }_{1}} = {{\varphi }_{2}}$ п.в. в $\Omega $.

Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема 1. При выполнении условий (i)–(iv) существует слабое решение $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$ задачи 1 и справедлива оценка (1.20). Если, к тому же, выполняется условие (1.23), то слабое решение единственно.

В рамках подхода [21] докажем принцип максимума и минимума для $\varphi $.

Пусть в дополнение к (i)–(iv) выполняются следующие условия:

(v) ${{\psi }_{{{\text{min}}}}} \leqslant \psi \leqslant {{\psi }_{{{\text{max}}}}}$ п.в. на $\Gamma $, ${{\lambda }_{0}} \leqslant \lambda \leqslant {{\lambda }_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в $\Omega $, ${{f}_{{{\text{min}}}}} \leqslant f \leqslant {{f}_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в ${{\Omega }_{2}}$ и $f = 0$ п.в. в ${{\Omega }_{1}}$ (либо ${{\Omega }_{1}} = \not {0}$);

(vi) $k(\varphi ,{\mathbf{x}})\varphi $ удовлетворяет неравенству (1.2), при этом $k(\varphi ,{\mathbf{x}}) = a({\mathbf{x}}){{k}_{1}}(\varphi )$, где функция ${{k}_{1}}(\varphi ) \geqslant 0$ непрерывно зависит от $\varphi $, $0 < {{a}_{{{\text{min}}}}} \leqslant a({\mathbf{x}}) \leqslant {{a}_{{{\text{max}}}}} < \infty $ п.в. в $\Omega $, при этом $[{{f}_{{{\text{min}}}}}{\text{/}}{{a}_{{{\text{max}}}}},{{f}_{{{\text{max}}}}}{\text{/}}{{a}_{{{\text{min}}}}}] \in E({{k}_{1}}(\varphi )\varphi )$.

Здесь ${{\psi }_{{{\text{min}}}}}$, ${{\psi }_{{max}}}$, ${{f}_{{{\text{min}}}}}$, ${{f}_{{{\text{max}}}}}$ – неотрицательные числа, ${{\lambda }_{{{\text{max}}}}} > {{\lambda }_{0}} > 0$.

Лемма 3. При выполнении условий (i)–(vi) для решения $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$ задачи 1 справедлив следующий принцип максимума и минимума:

Здесь ${{M}_{1}}$ и ${{m}_{1}}$ находятся из соотношений ${{k}_{1}}({{M}_{1}}){{M}_{1}} = {{f}_{{{\text{max}}}}}{\text{/}}{{a}_{{{\text{min}}}}}$ и ${{k}_{1}}({{m}_{1}}){{m}_{1}} = {{f}_{{{\text{min}}}}}{\text{/}}{{a}_{{{\text{max}}}}}$ соответственно. Если функция ${{k}_{1}}(\varphi )\varphi $ возрастает, то указанные параметры определяются однозначно.

Доказательство. Сначала докажем, что $\varphi \leqslant M$ п.в. в $\Omega $. С этой целью введем функцию $\tilde {\varphi } = max\{ \varphi - M,0\} $. Ясно, что принцип максимума или оценка $\varphi \leqslant M$ п.в. в $\Omega $ выполняется тогда и только тогда, когда $\tilde {\varphi } = 0$ п.в. в $\Omega $. Через ${{Q}_{M}} \subset \Omega $ обозначим открытое измеримое подмножество области $\Omega $, в котором $\varphi > M$. Из [22], [23] вытекает, что $\nabla \tilde {\varphi } = \nabla \varphi $ п.в. в ${{Q}_{M}}$ и функция $\tilde {\varphi } \in H_{0}^{1}(\Omega )$. Тогда справедливы равенства

С учетом этого, полагая $h = \tilde {\varphi }$ в (1.9), получаем

Ясно, что и в силу (vi) для функций ${{\varphi }_{1}} = \tilde {\varphi } + M$ и ${{\varphi }_{2}} = M$ из ${{H}^{1}}(\Omega )$ справедливо неравенство поскольку $\tilde {\varphi } = 0$ в $\Omega {{\backslash }}{{\bar {\Omega }}_{M}}$. Заметим, что если ${{Q}_{M}} \cap {{\Omega }_{2}} = \not {0}$, то ${{(f,\tilde {\varphi })}_{{{{Q}_{M}}}}} = 0$ в силу условия (v). Тогда, вычитая ${{(k(M, \cdot )M,\tilde {\varphi })}_{{{{Q}_{M}} \cap {{\Omega }_{2}}}}}$ из обеих частей (1.25), получаем Поскольку ${{(k(\varphi , \cdot )\varphi ,\tilde {\varphi })}_{{{{Q}_{M}} \cap {{\Omega }_{1}}}}} \geqslant 0$, то в силу леммы 1 и (1.26) из (1.27) приходим к оценке из которой вытекает, что если $M$ выбрано из условия (1.24), то $\tilde {\varphi } = 0$.

Для доказательства принципа минимума введем функцию $\tilde {w} = min\{ \varphi - m,0\} $, $\tilde {w} \in H_{0}^{1}(\Omega )$. Будем предполагать, что в открытом измеримом подмножестве ${{Q}_{m}} \subset \Omega $ справедливо неравенство $\varphi < m$. Рассуждая, как и выше, приходим к равенству

из которого выводим оценку Из полученной оценки вытекает, что $\tilde {w} = 0$ для $m$ из (1.24).

Замечание 2. Для степенных коэффициентов реакции параметры ${{M}_{1}}$ и ${{m}_{1}}$ легко вычисляются. Например, при $k(\varphi ) = {{\varphi }^{2}}$ получаем, что ${{M}_{1}} = f_{{{\text{max}}}}^{{1/3}}$, ${{m}_{1}} = f_{{{\text{min}}}}^{{1/3}}$.

2. ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ

Для постановки задачи управления разобьем множество исходных данных задачи 1 на две группы: группу фиксированных данных, куда отнесем функции ${\mathbf{u}}$ и $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$, и группу управлений, куда отнесем функции $\lambda ,\;f$ и $\psi $, предполагая, что они могут изменяться в некоторых множествах ${{K}_{1}},\;{{K}_{2}}$ и ${{K}_{3}}$, удовлетворяющих условию

(j) ${{K}_{1}} \subset H_{{{{\lambda }_{0}}}}^{s}(\Omega )$, $s > 3{\text{/}}2$, ${{K}_{2}} \subset {{L}^{2}}(\Omega )$ и ${{K}_{3}} \subset {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ – непустые выпуклые замкнутые множества.

Введем пространство $Y = {{H}^{{ - 1}}}(\Omega ) \times {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$, положим $u = (\lambda ,f,\psi )$, $K = {{K}_{1}} \times {{K}_{2}} \times {{K}_{3}}$ и введем оператор $F = ({{F}_{1}},{{F}_{2}}):{{H}^{1}}(\Omega ) \times K \to Y$ по формулам

и перепишем (1.9) в виде $F(\varphi ,u) = 0$. Рассматривая это равенство как условное ограничение на состояние $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$ и управление $u \in K$, сформулируем следующую задачу условной минимизации: Здесь $I:{{H}^{1}}(\Omega ) \to \mathbb{R}$ – функционал, полунепрерывный снизу относительно слабой сходимости.

Обозначим через ${{Z}_{{ad}}} = \{ (\varphi ,u) \in {{H}^{1}}(\Omega ) \times K:F(\varphi ,u) = 0,J(\varphi ,u) < \infty \} $ множество допустимых пар для задачи (2.1) и предположим, что выполняется условие

(jj) ${{\mu }_{0}} > 0$, ${{\mu }_{i}} \geqslant 0$, $i = 1,2,3$, и $K$ – ограниченное множество, либо ${{\mu }_{j}} > 0$, $j = 0,1,2,3$, и функционал $I$ ограничен снизу.

Будем использовать следующие функционалы качества:

Здесь ${{\varphi }^{d}} \in {{L}^{2}}(Q)$ (либо ${{\varphi }^{d}} \in {{H}^{1}}(Q)$) – заданная в подобласти $Q \subset \Omega $ функция.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (i)–(iv) и (j), (jj), функционал $I:{{H}^{1}}(\Omega ) \to \mathbb{R}$ слабо полунепрерывен снизу и множество ${{Z}_{{ad}}}$ не пусто. Тогда существует по крайней мере одно решение $(\varphi ,u) \in {{H}^{1}}(\Omega ) \times K$ задачи (2.1).

Доказательство. Пусть $({{\varphi }_{m}},{{u}_{m}}) \in {{Z}_{{ad}}}$ – минимизирующая последовательность, для которой

Из условия (jj) и теоремы 1 вытекают следующие оценки:

где константы ${{c}_{1}},...,{{c}_{3}}$ не зависят от $m$.

Из оценок (2.3) и условия (j) вытекает, что существуют слабые пределы $\lambda {\kern 1pt} * \in {{K}_{1}}$, $f{\kern 1pt} * \in {{K}_{2}}$, $\psi {\kern 1pt} * \in {{K}_{3}}$ и $\varphi {\kern 1pt} * \in {{H}^{1}}(\Omega )$ некоторых подпоследовательностей последовательностей $\{ {{\lambda }_{m}}\} $, $\{ {{f}_{m}}\} $, $\{ {{\psi }_{m}}\} $ и $\{ {{\varphi }_{m}}\} $. Соответствующие подпоследовательности будем обозначать также через $\{ {{\lambda }_{m}}\} $, $\{ {{f}_{m}}\} $, $\{ {{\psi }_{m}}\} $ и $\{ {{\varphi }_{m}}\} $, причем в силу компактности вложений ${{H}^{1}}(\Omega ) \subset {{L}^{p}}(\Omega )$ при $p < 6$, ${{H}^{s}}(\Omega ) \subset {{L}^{\infty }}(\Omega )$ при $s > 3{\text{/}}2$ можно считать, что при $m \to \infty $

Ясно, что ${{F}_{2}}(\varphi {\kern 1pt} *) = 0$. Покажем, что ${{F}_{1}}(\varphi {\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) = 0$, т.е., что

Для этого заметим, что пара функций $({{\varphi }_{m}},{{u}_{m}})$ удовлетворяет соотношению Перейдем в (2.6) к пределу при $m \to \infty $. Из (2.4) вытекает, что все линейные слагаемые в (2.6) переходят в соответствующие слагаемые в (2.5). Исследуем поведение при $m \to \infty $ нелинейных слагаемых, начиная с $(k({{\varphi }_{m}}){{\varphi }_{m}},h)$.

Из условий (iii) вытекает, что $k({{\varphi }_{m}}) \to k(\varphi {\kern 1pt} {\text{*}})$ сильно в ${{L}^{{5/3}}}(\Omega )$. Используя (2.4), несложно показать, что ${{\varphi }_{m}}h \to \varphi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} h$ слабо в ${{L}^{3}}(\Omega )$ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$. В таком случае $k({{\varphi }_{m}}){{\varphi }_{m}}h \to k(\varphi {\kern 1pt} *)\varphi {\kern 1pt} *{\kern 1pt} h$ сильно в ${{L}^{1}}(\Omega )$ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$ или

Для слагаемого $({{\lambda }_{m}}\nabla {{\varphi }_{m}},\nabla h)$ справедливо равенство

Поскольку $\lambda {\kern 1pt} *{\kern 1pt} \nabla h \in {{L}^{2}}{{(\Omega )}^{3}}$, то в силу (2.4) получим, что $(\nabla ({{\varphi }_{m}} - \varphi {\kern 1pt} {\text{*}}),\lambda {\text{*}}\nabla h) \to 0$ при $m \to \infty $ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Применяя неравенство Гельдера, в силу (2.4) и (2.3) получаем, что

В таком случае $({{\lambda }_{m}}\nabla {{\varphi }_{m}},\nabla h) \to (\lambda {\kern 1pt} *{\kern 1pt} \nabla \varphi {\kern 1pt} *,\nabla h)$ при $m \to \infty $.

Поскольку функционал $J$ слабо полунепрерывен снизу на ${{H}^{1}}(\Omega ) \times {{H}^{s}}(\Omega ) \times {{L}^{6}}(\Omega ) \times $ $ \times \;{{L}^{2}}(\Omega ) \times {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$, то из вышесказанного следует, что $J(\varphi {\kern 1pt} *,u{\kern 1pt} *) = J{\kern 1pt} *$.

Следующим этапом в исследовании экстремальной задачи является вывод системы оптимальности, которая дает ценную информацию о дополнительных свойствах оптимальных решений. На основе ее анализа можно установить, в частности, единственность и устойчивость оптимальных решений. Например, устойчивость некоторых частных случаев задачи (2.1) была исследована в [12], [14]. Исследованию единственности и устойчивости оптимальных решений будет посвящена отдельная статья авторов.

Пусть в дополнение к (i)–(iv) выполняется следующее условие:

(vii) оператор $k(\varphi )\varphi :{{H}^{1}}(\Omega ) \to {{L}^{q}}(\Omega )$, $q > 30{\text{/}}23$, непрерывно дифференцируем по Фреше по концентрации $\varphi $ и его производная есть линейный непрерывный оператор $b(\varphi ):{{H}^{1}}(\Omega ) \to L_{ + }^{2}(\Omega )$.

Введем сопряженное к $Y$ пространство $Y{\kern 1pt} * = H_{0}^{1}(\Omega ) \times {{H}^{{ - 1/2}}}(\Gamma )$. Несложно показать, что производная Фреше от оператора $F = ({{F}_{1}},{{F}_{2}}):{{H}^{1}}(\Omega ) \times K \to Y$ по $\varphi $ в каждой точке $(\hat {\varphi },\hat {u}) = (\hat {\varphi },\hat {\lambda },\hat {f},\hat {\psi })$ есть линейный оператор $F_{\varphi }^{'}(\hat {\varphi },\hat {u}):{{H}^{1}}(\Omega ) \times K \to Y$, ставящий в соответствие каждому элементу $h \in {{H}^{1}}(\Omega )$ элемент $F_{\varphi }^{'}(\hat {\varphi },\hat {u})(h) = (\mathop {\hat {y}}\nolimits_1 ,\mathop {\hat {y}}\nolimits_2 ) \in Y$. Здесь элементы $\mathop {\hat {y}}\nolimits_1 \in {{H}^{{ - 1}}}(\Omega )$ и $\mathop {\hat {y}}\nolimits_2 \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ определяются по $\hat {\varphi }$ и $\tau $ соотношениями

Через $F_{\varphi }^{'}(\hat {\varphi },\hat {u}){\kern 1pt} *:Y{\kern 1pt} * \to {{H}^{1}}(\Omega ){\kern 1pt} *$ обозначим сопряженный к $F_{\varphi }^{'}(\hat {\varphi },\hat {u})$ оператор.

Следуя общей теории гладко-выпуклых экстремальных задач из [27], введем элемент ${\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = (\theta ,\zeta ) \in Y{\kern 1pt} *$, на который будем ссылаться как на сопряженное состояние, и введем Лагранжиан $\mathcal{L}\,:{{H}^{1}}(\Omega ) \times K \times \mathbb{R} \times Y{\kern 1pt} * \to \mathbb{R}$ по формуле

где ${{\left\langle {\zeta , \cdot } \right\rangle }_{\Gamma }} = {{\left\langle {\zeta , \cdot } \right\rangle }_{{{{H}^{{ - 1/2}}}(\Gamma ) \times {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )}}}$.

Поскольку $b(\hat {\varphi }) \in L_{ + }^{2}(\Omega )$, то из [8] вытекает, что для любых $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$ и $\psi \in {{H}^{{1/2}}}(\Gamma )$ существует единственное решение $\tau \in {{H}^{1}}(\Omega )$ линейной задачи

Тогда оператор $F_{\varphi }^{'}(\hat {\varphi },\hat {u}):{{H}^{1}}(\Omega ) \times K \to Y$ – изоморфизм, а из [17] вытекает

Теорема 3. Пусть выполняются условия (i)–(iv), (vii) и (j), (jj), функционал $I:{{H}^{1}}(\Omega ) \to \mathbb{R}$ непрерывно дифференцируем по $\varphi $ в точке $\hat {\varphi }$ и локальный минимум в задаче (2.1) достигается в точке $(\hat {\varphi },\hat {u}) \in {{H}^{1}}(\Omega ) \times K$. Тогда существует единственный множитель Лагранжа ${\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = (\theta ,\zeta ) \in Y{\kern 1pt} *$ такой, что выполняется уравнение Эйлера–Лагранжа ${{F}_{\varphi }}(\hat {\varphi },\hat {u}){\kern 1pt} {\text{*}}{\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = - {{J}_{\varphi }}(\hat {\varphi },\hat {u})$ в ${{H}^{1}}(\Omega ){\kern 1pt} *$, эквивалентное тождеству

и справедлив принцип минимума $\mathcal{L}(\hat {\varphi },\hat {u},{\mathbf{y}}{\kern 1pt} {\text{*}}) \leqslant \mathcal{L}(\hat {\varphi },u,{\mathbf{y}}{\kern 1pt} {\text{*}})$ $\forall u \in K$, эквивалентный неравенствам

3. АНАЛИЗ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ УАПРАВЛЕНИЯ. СВОЙСТВО bang–bang

Ниже будем полагать, что функция $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$ удовлетворяет условию

(viii) $k(\varphi ,{\mathbf{x}}) = \beta ({\mathbf{x}}){{k}_{0}}(\varphi )$, причем нелинейность ${{k}_{0}}(\varphi )\varphi $ монотонна, $\beta ({\mathbf{x}}) \in L_{ + }^{6}(\Omega )$, ${{k}_{0}}(\varphi ) \in L_{ + }^{2}(\Omega )$ для всех $\varphi \in {{H}^{1}}(\Omega )$, удовлетворяет неравенству (1.3) при $p > 2$ и в любом шаре ${{B}_{r}} = \{ \varphi \in {{H}^{1}}(\Omega ):{{\left\| \varphi \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant r\} $ ${{B}_{r}} = \{ \varphi \in {{H}^{1}}(\Omega ):{{\left\| \varphi \right\|}_{{1,\Omega }}} \leqslant r\} $ радиуса $r$ справедливо неравенство:

Здесь константа ${{L}_{2}}$ зависит от радиуса $r$ и не зависит от конкретных ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}} \in {{B}_{r}}$.

Несложно показать, что условия (viii) описывают частный случай функции $k(\varphi ,{\mathbf{x}})$, удовлетворяющей (iii). Действительно, (см. также [14]):

В данном разделе будут установлены дополнительные свойства оптимального решения следующей задачи управления:

роль управления в которой играют функции $f$ и $\beta $, которые могут изменяться в подмножествах ${{K}_{2}}$ и ${{K}_{4}}$ соответственно. Тогда как $\lambda $ и $\psi $ считаются заданными функциями. Оператор определен формулами

Пусть выполняется условие

(jjj) ${{K}_{2}} \subset {{L}^{2}}(\Omega )$ и ${{K}_{4}} \subset L_{ + }^{6}(\Omega )$ – непустые выпуклые замкнутые и ограниченные множества.

Обозначим через ${{\mathcal{Z}}_{{ad}}} = \{ (\varphi ,f,\beta ) \in {{H}^{1}}(\Omega ) \times {{K}_{2}} \times {{K}_{4}}:\mathcal{F}(\varphi ,f,\beta ) = 0,J(\varphi ,f,\beta ) < \infty \} $ множество допустимых пар для задачи (3.2) и предположим, что выполняется условие

Теорема 4. Пусть выполнены условия (i)–(iv), (viii) и (jjj), функционал $I:{{H}^{1}}(\Omega ) \to R$ слабо полунепрерывен снизу и множество ${{\mathcal{Z}}_{{ad}}}$ не пусто. Тогда существует по крайней мере одно решение $(\varphi ,f,\beta ) \in {{H}^{1}}(\Omega ) \times {{K}_{2}} \times {{K}_{4}}$ задачи (3.2).

Доказательство. Пусть $({{\varphi }_{m}},{{f}_{m}},{{\beta }_{m}}) \in {{\mathcal{Z}}_{{ad}}}$ – минимизирующая последовательность, для которой

Из условия (jjj) и теоремы 1 вытекают следующие оценки:

где константы ${{c}_{1}},\;{{c}_{2}},\;{{c}_{3}}$ не зависят от $m$.

Из оценок (3.3) и условия (jjj) вытекает, что существуют слабые пределы $\beta {\kern 1pt} * \in {{K}_{4}}$, $f{\kern 1pt} * \in {{K}_{2}}$ и $\varphi {\kern 1pt} * \in {{H}^{1}}(\Omega )$ некоторых подпоследовательностей последовательностей $\{ {{\beta }_{m}}\} $, $\{ {{f}_{m}}\} $ и $\{ {{\varphi }_{m}}\} $. Соответствующие подпоследовательности будем обозначать также через $\{ {{\beta }_{m}}\} $, $\{ {{f}_{m}}\} $ и $\{ {{\varphi }_{m}}\} $, причем в силу компактности вложения ${{H}^{1}}(\Omega ) \subset {{L}^{p}}(\Omega )$ при $p < 6$ можно считать, что при $m \to \infty $

Ясно, что ${{F}_{2}}(\varphi {\kern 1pt} *) = 0$. Покажем, что ${{\mathcal{F}}_{1}}(\varphi {\kern 1pt} *,f{\kern 1pt} *,\beta {\kern 1pt} *) = 0$, т.е., что

Для этого заметим, что тройка $({{\varphi }_{m}},{{f}_{m}},{{\beta }_{m}})$ удовлетворяет соотношению Перейдем в (3.6) к пределу при $m \to \infty $. Из (2.4) вытекает, что все линейные слагаемые в (3.6) переходят в соответствующие слагаемые в (3.5). Исследуем поведение при $m \to \infty $ нелинейных слагаемых, начиная с $({{\beta }_{m}}{{k}_{0}}({{\varphi }_{m}}){{\varphi }_{m}},h)$.

Справедливо равенство

Из неравенства Гёльдера, (3.3), свойства (vii) и (3.4) вытекает, что для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$

Поскольку $\mathcal{D}(\Omega )$ плотно вложено в $H_{0}^{1}(\Omega )$, то существует последовательность $\{ {{h}_{n}}\} \in \mathcal{D}(\Omega )$, сходящаяся к $h$ по норме ${{\left\| {\, \cdot \,} \right\|}_{{1,\Omega }}}$. Используя $\{ {{h}_{n}}\} $, для второго слагаемого в (3.7) выводим

В силу равномерной ограниченности по $m$ величин ${{\left\| {{{\beta }_{m}}} \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}$ и ${{\left\| {{{\varphi }_{m}} - \varphi {\kern 1pt} *} \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}$, вытекающей из (3.3), и сходимости ${{\left\| {h - {{h}_{n}}} \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}} \to 0$ при $n \to \infty $ следует, что для любого $\varepsilon > 0$ существует номер $N = N(\varepsilon ,h)$ такой, что

В силу равномерной ограниченности по $m$ величины ${{\left\| {{{\varphi }_{m}}} \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}}$ и сходимости ${{\left\| {{{\varphi }_{m}} - \varphi {\kern 1pt} *} \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}} \to 0$ при $m \to \infty $ следует, что существует такой номер $M = M(\varepsilon ,h)$, что

Из (3.10) и (3.11) вытекает, что $({{\beta }_{m}}{{k}_{0}}(\varphi {\kern 1pt} {\text{*}})({{\varphi }_{m}} - \varphi {\kern 1pt} {\text{*}}),h) \to 0$ при $m \to \infty $ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Тогда с учетом (3.8) получаем, что $({{\beta }_{m}}{{k}_{0}}({{\varphi }_{m}}){{\varphi }_{m}},h) \to (\beta {\kern 1pt} {\text{*}}{{k}_{0}}(\varphi {\kern 1pt} {\text{*}})\varphi {\kern 1pt} *,h)$ при $m \to \infty $ для всех $h \in H_{0}^{1}(\Omega )$.

Поскольку функционал $J$ слабо полунепрерывен снизу на ${{H}^{1}}(\Omega ) \times {{L}^{2}}(\Omega ) \times {{L}^{6}}(\Omega )$, то из вышесказанного следует, что $J(\varphi {\kern 1pt} *,f{\kern 1pt} *,\beta {\kern 1pt} {\text{*}}) = J{\kern 1pt} *$.

Пусть для функции ${{k}_{0}}(\varphi )\varphi $ выполняется условие

(ix) оператор ${{k}_{0}}(\varphi )\varphi :{{H}^{1}}(\Omega ) \to {{L}^{q}}(\Omega )$, $q > 30{\text{/}}23$, непрерывно дифференцируем по Фреше и его производная есть линейный непрерывный оператор ${{b}_{0}}(\varphi ):{{H}^{1}}(\Omega ) \to L_{ + }^{2}(\Omega )$.

Тогда для задачи (3.2) справедлив аналог теоремы 3, поскольку $\hat {\beta }{{b}_{0}}(\hat {\varphi }) \in L_{ + }^{{3/2}}(\Omega )$. При этом уравнение Эйлера–Лагранжа (2.12) принимает вид

Принцип минимума для задачи (3.2) имеет вид следующих неравенств:

Пусть вместо (jjj) выполняется более жесткое условие:

(jjj') ${{\beta }_{{{\text{min}}}}} \leqslant \beta \leqslant {{\beta }_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в $\Omega $ для всех $\beta \in {{K}_{4}}$ и ${{f}_{{{\text{min}}}}} \leqslant f \leqslant {{f}_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в $\Omega $ для всех $f \in {{K}_{2}}$, где ${{\beta }_{{{\text{min}}}}},\;{{\beta }_{{{\text{max}}}}},\;{{f}_{{{\text{min}}}}}$ и ${{f}_{{{\text{max}}}}}$ – положительные числа.

Ясно, что условия (jjj') задают частный случай выпуклых, ограниченных и замкнутых множеств ${{K}_{2}}$ и ${{K}_{4}}$, введенных в (jjj).

Покажем, что оптимальные управления $\hat {\beta }({\mathbf{x}})$ и $\hat {f}({\mathbf{x}})$ задачи (3.2) обладают свойством bang–bang, согласно которому они принимают одно из двух значений ${{\beta }_{{{\text{min}}}}}$ или ${{\beta }_{{{\text{max}}}}}$ и ${{f}_{{{\text{min}}}}}$ или ${{f}_{{{\text{max}}}}}$ соответственно в зависимости от знака функции $\theta ({\mathbf{x}})$ в точке ${\mathbf{x}} \in \Omega $.

Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.1 из [20, с. 67].

Лемма 4. При выполнении условия (jjj') и ${{k}_{0}}(\varphi ) > 0$ неравенства (3.13), (3.14) эквивалентны следующим неравенствам:

Замечание 3. Лемма 4 может быть доказана методом от противного. Сначала покажем, что из (3.13) вытекает (3.15). Предположим, что существует функция ${{\beta }_{1}} \in {{K}_{4}}$, с которой на множестве $D \subset \Omega $, meas $D > 0$, выполняется неравенство $({{\beta }_{1}} - \hat {\beta }){{k}_{0}}(\hat {\varphi })\hat {\varphi }\theta < 0$ п.в. в $D$. Рассмотрим функцию ${{\beta }_{2}}$ такую, что ${{\beta }_{2}} = \hat {\beta },$ если и ${{\beta }_{2}} = {{\beta }_{1}}$, если ${\mathbf{x}} \in D$. Ясно, что ${{\beta }_{2}} \in {{K}_{4}}$ и для нее справедливо неравенство

противоречащее (3.13).

Рассуждая аналогично, покажем, что из (3.14) вытекает (3.16). Пусть существует функция ${{f}_{1}} \in {{K}_{2}}$, с которой на множестве ${{D}_{0}} \subset \Omega $, meas ${{D}_{0}} > 0$, выполняется неравенство $({{f}_{1}} - \hat {f})\theta > 0$ п.в. в ${{D}_{0}}$. Рассмотрим функцию ${{f}_{2}}$ такую, что ${{f}_{2}} = \hat {f}$, если и ${{f}_{2}} = {{f}_{1}}$, если ${\mathbf{x}} \in {{D}_{0}}$. Ясно, что ${{f}_{2}} \in {{K}_{2}}$ и для нее справедливо неравенство $({{f}_{2}} - \hat {f},\theta ) = {{({{f}_{1}} - \hat {f},\theta )}_{{{{D}_{0}}}}} > 0$, которое противоречит (3.14).

Следствие 1. Из лемм 4 и 3 вытекает, что функция, если функция ${{k}_{0}}(\varphi )\varphi $ возрастает, то (3.13) эквивалентно неравенству

Из (3.17) следует, что если $\theta < 0$ п.в. в ${{D}_{1}} \subseteq \Omega $, то $\beta \leqslant \hat {\beta }$ п.в. в ${{D}_{1}}$ для всех $\beta \in {{K}_{4}}$. Тогда $\hat {\beta } = {{\beta }_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в ${{D}_{1}}$. В свою очередь, $\hat {\beta } = {{\beta }_{{{\text{min}}}}}$ п.в. в ${{D}_{2}} \subseteq \Omega $, если $\theta > 0$ п.в. в ${{D}_{2}}$.

Из (3.16) вытекает, что если $\theta < 0$ п.в. в ${{D}_{1}}$, то $\hat {f} = {{f}_{{{\text{min}}}}}$ п.в. в ${{D}_{1}}$ и $\hat {f} = {{f}_{{{\text{max}}}}}$ п.в. в ${{D}_{2}}$, если $\theta > 0$ п.в. в ${{D}_{2}}$.

Заметим, что ${{k}_{{01}}}(\varphi ) = {{\varphi }^{2}} > 0$ и ${{k}_{{02}}}(\varphi ) = {{\varphi }^{2}}\left| \varphi \right| > 0$ п.в. в $\Omega $ в силу леммы 3, поскольку функции ${{k}_{{0i}}}(\varphi )\varphi $, $i = 1,2$, возрастают.

Замечание 4. С физической точки зрения тот факт, что если на множестве $D \subset \Omega $ управление $\beta $ принимает максимальное значение ${{\beta }_{{{\text{max}}}}}$, то управление $f$ принимает минимальное значение ${{f}_{{{\text{min}}}}}$, означает, что управления $\beta $ и $f$ выполняют одно и то же действие – уменьшение концентрации $\varphi $. Действительно, коэффициент реакции (распада) вещества $k(\varphi ,{\mathbf{x}}) = \beta ({\mathbf{x}}){{k}_{0}}(\varphi )$ принимает максимальное значение при $\beta = {{\beta }_{{{\text{max}}}}}$. В свою очередь, при $f = {{f}_{{{\text{min}}}}}$ происходит минимальный приток загрязняющего вещества в область $\Omega $. Аналогичную согласованность показывает пара $({{\beta }_{{{\text{min}}}}},{{f}_{{{\text{max}}}}})$, действие которой направлено на увеличение концентрации $\varphi $.

Обратимся к функционалам ${{I}_{i}}(\varphi )$, $i = 1,2$, введенным в (2.2). Ясно, что если ${{I}_{i}}(\hat {\varphi }) > 0$, то $\hat {\varphi } \ne {{\varphi }^{d}}$ в ${{Q}_{1}} \subseteq Q$, meas ${{Q}_{1}} > 0$. Покажем, что при этом $\theta \ne 0$, по крайней мере, п.в. в ${{Q}_{1}}$.

Пусть $I(\varphi ) = {{I}_{1}}(\varphi )$. Выбирая в (3.12) функцию $\tau \in H_{0}^{1}(\Omega )$ и рассуждая, как в [25], приходим к соотношению

где ${{\chi }_{Q}}$ – характеристическая функция подобласти $Q \subset \Omega $. Из (3.18) вытекает, что $\theta \ne 0$ п.в. в ${{Q}_{1}}$. Используя (2.12), несложно показать, что аналогичный результат верен для ${{I}_{2}}$.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (i)–(v), (viii), (ix) и (jjj'). Тогда существует по крайней мере одно решение $(\hat {\varphi },\hat {f},\hat {\beta }) \in {{H}^{1}}(\Omega ) \times {{K}_{2}} \times {{K}_{4}}$ задачи (3.2), которому соответствует единственный множитель Лагранжа ${\mathbf{y}}{\kern 1pt} * = (\theta ,\zeta ) \in Y{\kern 1pt} *$, удовлетворяющий (3.12)–(3.14). Пусть $I(\hat {\varphi }) = {{I}_{i}}(\hat {\varphi }) > 0$, $i = 1,2$, ${{k}_{0}}(\varphi ) > 0$ и ${{k}_{0}}(\varphi )\varphi $ возрастает. Тогда $\hat {\beta } = {{\beta }_{{{\text{min}}}}}$, $\hat {f} = {{f}_{{{\text{max}}}}}$, если $\theta > 0$, и $\hat {\beta } = {{\beta }_{{{\text{max}}}}}$, $\hat {f} = {{f}_{{{\text{min}}}}}$, если $\theta < 0$.

Следствие 2. Если $I(\hat {\varphi }) = {{I}_{i}}(\hat {\varphi }) > 0$, $i = 1,2$, то оптимальное управление $\hat {\beta }$ задачи (3.2) не может быть внутренней точкой множества ${{K}_{4}}$, а оптимальное управление $\hat {f}$ не может быть внутренней точкой множества ${{K}_{2}}$.

Замечание 5. В дополнение к замечанию 4 заметим, что в случае функционалов ${{I}_{1}}(\varphi )$ и ${{I}_{2}}(\varphi )$ увеличение концентрации $\varphi $ уместно, если $\varphi < {{\varphi }^{d}}$. Соответственно при $\varphi > {{\varphi }^{d}}$ концентрацию следует уменьшать.

Наконец, отметим, что если существует подмножество ${{D}_{0}} \subset \Omega $, meas ${{D}_{0}} > 0$, на котором $\theta = 0$, то в этом подмножестве управление $\hat {\beta }$ принимает значение ${{\beta }_{{{\text{max}}}}}$ или ${{\beta }_{{{\text{min}}}}}$, аналогично, управление $\hat {f}$ принимает значение ${{f}_{{{\text{min}}}}}$ или ${{f}_{{{\text{max}}}}}$, а свойство bang–bang для задачи (3.2) является нестрогим. Если $\theta \ne 0$ п.в. в $\Omega $, то свойство bang–bang для задачи (3.2) называют строгим, так как не нужно уточнять поведение $\hat {\beta }$ и $\hat {f}$ при $\theta = 0$ (см. [29 ] , [20]).

Например, если $I(\varphi ) = (1{\text{/}}2)\left\| {\varphi - {{\varphi }^{d}}} \right\|_{\Omega }^{2}$ и вместо условия $I(\hat {\varphi }) > 0$ выполняется более жесткое условие: $\hat {\varphi } \ne {{\varphi }^{d}}$ п.в. в $\Omega $, то из (3.18) вытекает, что $\theta \ne 0$ п.в. в $\Omega $.

В заключение отметим, что интерес к свойству bang–bang вызван исследованием задач управления, в которых из практических соображений не используется регуляризация. В частности, такая постановка задач управления используется при исследовании прикладных задач тепловой и электромагнитной маскировки (см., например, [17] и ссылки там). В следующих работах на основе анализа полученных систем оптимальности будут выведены точные оценки локальной устойчивости оптимальных решений задач мультипликативного управления (см. [14], [15], [25]).