Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 6, стр. 967-976

1. ОБОБЩЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПОМПЕЙЮ И ТИПА КОШИ

Пусть конечная область D на комплексной плоскости ограничена гладким контуром Γ класса ${{C}^{{1,\nu }}}$, $0 < \nu < 1$. Рассмотрим в этой области $l \times l$-матрицу-функцию $A(z) \in {{C}^{{1,\nu }}}(\bar {D})$, собственные значения которой не вещественны для всех z. В этом случае в верхней и нижней полуплоскостях лежит одно и то же число собственных значений, соответственно, ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$ с ${{l}_{1}} + {{l}_{2}} = l$. Случаи ${{l}_{1}} = l$ или ${{l}_{2}} = l$ не исключаются.

Удобно с каждым комплексным числом $z = x + iy$ связать матрицу ${{z}_{{[A(t)]}}} = x1 + yA(t)$, которая, очевидно, при $z \ne 0$ обратима. Здесь и ниже 1 означает единичную матрицу, порядок которой ясен из контекста. Аналогичный смысл имеет и комплексный матричный дифференциал $d{{z}_{{[A(t)]}}} = 1dx + A(t)dy$, который используем в криволинейных интегралах по ориентируемому контуру Γ. Для определенности последний ориентируется положительно по отношению к области D, т.е. оставляет ее слева.

Исходя из l-вектор-функций ${{\varphi }^{0}} \in C(\Gamma )$ и ${{\varphi }^{1}} \in C(\bar {D})$, введем криволинейный интеграл по контуру

где матричные выражения поставлены впереди l-векторов ${{\varphi }^{0}}$ и действуют на него по обычному правилу, и интеграл по области где ${{d}_{2}}t$ – элемент площади. Заметим, что по отношению к единичному касательному вектору $e(t) = {{e}_{1}}(t) + i{{e}_{2}}(t)$ к контуру Γ в точке t, направленному в соответствии с его ориентацией, матричный дифференциал $d{{t}_{{[A(t)]}}} = {{[e(t)]}_{{[A(t)]}}}{{d}_{1}}t$, где ${{d}_{1}}t$ есть элемент длины дуги.

В случае скалярной матрицы $A = i$ интеграл $I\varphi $ представляет собой классический интеграл типа Коши (см. [1], [2]), а $T\varphi $ с точностью до множителя –2i совпадает с интегралом Помпейю (см. также [4]).

Отметим, что при фиксированном $z = x + iy \in \mathbb{C}$ матрица-функция $X(\xi ) = \xi _{{A(z)}}^{{ - 1}}$ является параметриксом (см. [5]) эллиптической системы первого порядка

для вектор-функции $U = ({{U}_{1}}, \ldots ,{{U}_{l}})$. Другими словами, с точностью до положительного множителя она является фундаментальной матрицей эллиптической системы

Как и в случае классических интегралов типа Коши для точек $z = {{t}_{0}} \in \Gamma $ можем ввести обобщенный сингулярный интеграл Коши

который понимается в смысле главного значения.

Введем еще интеграл

по единичной окружности $\mathbb{T}$, ориентированной против часовой стрелки. Очевидно, матрица-функция E(t) вместе с A(t) принадлежит классу ${{C}^{{1,\nu }}}(\Gamma )$. Ее можно рассматривать как значение скалярной аналитической вне вещественной оси функции от матрицы A(t). Очевидно, эта функция тождественно равна ±1 в полуплоскости $ \pm \operatorname{Im} \zeta > 0$. В частности, матрица $E(t) = 1$ при ${{l}_{1}} = l$ и $E(t) = - 1$ при ${{l}_{2}} = l$. В общем случае можно лишь утверждать, что ${{E}^{2}}(t) = 1$. Ясно, что как функция от $t \in \Gamma $ эта матрица принадлежит ${{C}^{{1,\nu }}}(\Gamma )$.

Удобно интеграл $U = I{{\varphi }^{0}}$ записать в виде

где отношению к $\xi = t - z$ и $\eta = d{{1}_{1}} + id{{t}_{2}}$, $t = {{t}_{1}} + i{{t}_{2}} \in \Gamma $ положено

Очевидно, по переменной t матрица-функция $Q(t;\xi ,\eta )$ принадлежит классу ${{C}^{{1,\nu }}}(\Gamma )$ вместе со всеми частными производными по ${{\xi }_{1}}$, ${{\xi }_{2}}$ равномерно по $\xi ,\eta \in \mathbb{T}$. Заметим, что функция $Q(t;\xi ,\xi )$ не зависит от $\xi $, поэтому по терминологии [6] интеграл $U = I{{\varphi }^{0}}$ с ядром Q этого типа также называем обобщенным интегралом типа Коши. Поэтому теоремы 3.8.1 и 3.8.2 из [6] приводят к следующему результату.

Теорема 1.1. При $0 < \mu < \nu $ оператор I ограничен ${{C}^{\mu }}(\Gamma ) \to {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ и ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma ) \to {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$, причем для граничных значений функции $U = I{{\varphi }^{0}}$ справедлива формула

где ${{\phi }^{ + }}({{t}_{0}}) = lim\phi (z)$ при $z \to {{t}_{0}} \in \Gamma $.

В основе доказательства теоремы 3.8.2 лежит формула дифференцирования интеграла $U = I\varphi $, составляющая суть леммы 3.8.2 статьи [6]. Применительно к (1.5) для фиксированного $\eta = {{\eta }_{1}} + i{{\eta }_{2}}$ эта формула имеет следующий вид:

где Здесь штрих означает производную по параметру длины дуги, отсчитываемой на контуре в положительном направлении.

В этой формуле при фиксированном η выражения $Q(t;\xi ,\eta )$ и ${{Q}_{0}}(t;\xi ,\eta )$ уже не являются ядрами Коши и по отношению к ним нужно воспользоваться теоремой 3.6.1 из [6]. На основании этой теоремы операторы, определяемые слагаемыми в правой части (1.7), ограничены ${{C}^{\mu }}(\Gamma ) \to {{C}^{\mu }}(\bar {D})$, что приводит к ограниченности оператора $I\,:{{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma ) \to {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$.

Из теоремы 1.1 следует, что сингулярный оператор S ограничен в пространствах ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$ и ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$. Зависимость S от матрицы A – S_(A), в частности, для скалярной матрицы $A = i$ имеем классический оператор Коши ${{S}_{{(i)}}}$.

Лемма 1.1. (а) Оператор ${{S}_{{(A)}}} - {{S}_{{(i)}}}$ компактен в пространствах ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$ и ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$. В частности, аналогичным свойством обладает и оператор ${{S}_{{(A)}}} - {{S}_{{(\bar {A})}}}$.

(б) Пусть матрица-функция $a \in {{C}^{\mu }}(\Gamma )$ рассматривается как оператор умножения $\varphi \to a\varphi $. Тогда оператор $aS - Sa$ компактен в пространстве ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$. При дополнительном предположении $a \in {{C}^{{1,\nu }}}(\Gamma )$ этот оператор компактен и в пространстве ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$.

Доказательство. (а) Утверждение леммы по отношению к ${{C}^{\mu }}$ будет установлено, если убедимся, что для любой дуги ${{\Gamma }_{0}} \subseteq \Gamma $ интегральный оператор

компактен в пространстве ${{C}^{\mu }}({{\Gamma }_{0}})$. С этой целью выберем параметризацию $\gamma \in {{C}^{{1,\nu }}}([0,1])$ дуги ${{\Gamma }_{0}}$, что в силу принятого предположения $\Gamma \in {{C}^{{1,\nu }}}$ возможно. Тогда оператор K можем записать в форме где положено Видно, что функция $k({{s}_{0}},s)$ принадлежит ${{C}^{\nu }}([0,1] \times [0,1])$ и обращается в нуль при $s = {{s}_{0}}$. Поэтому остается воспользоваться теоремой 3.2.1 из [6], обеспечивающей компактность оператора K.

По отношению к ${{C}^{{1,\mu }}}$ доказательство леммы основывается на формуле дифференцирования сингулярного интеграла. Как показано в теореме 3.9.2 из [6], формула (1.7) вместе с соотношениями для граничных значений приводят к формуле дифференцирования

с операторами где $e({{t}_{0}}) = {{e}_{1}}({{t}_{0}}) + i{{e}_{2}}({{t}_{0}})$ – единичный касательный вектор к Γ в точке ${{t}_{0}}$, направленный в направлении выбранной ориентации контура.

На основании теорем 3.2.1 и 3.5.1 из [6], примененных к слагаемым равенства

оператор ${{S}_{0}}$ ограничен в пространстве ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$. Из этих же соображений аналогичный факт справедлив и для оператора ${{S}_{1}}$. Поскольку $Q[t;\xi ,e(t)]{{d}_{1}}t = Q(t;\xi ,dt)$, этот оператор можем представить в виде с компактным оператором ${{K}_{1}}$.

Очевидно, формулы, аналогичные (1.8), (1.9), можно записать и для оператора ${{S}_{{(i)}}}$, отвечающего $A = i$, а также для разности $N = {{S}_{{(A)}}} - {{S}_{{(i)}}}$. С учетом первой части леммы

где оператор ${{N}_{0}}$ ограничен, а ${{N}_{1}}$ – компактен в пространстве ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$. С помощью этой формулы компактность оператора N в пространстве ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$ выводится непосредственно.

Вторая часть (б) леммы доказывается аналогично.

С помощью леммы 1.1 аналогично [7] классические результаты из [1] о разрешимости сингулярных интегральных уравнений распространяются с ${{S}_{{(i)}}}$ на оператор $S = {{S}_{{(A)}}}$.

Теорема 1.2. Оператор $N\varphi = \operatorname{Re} ({{G}_{1}}\varphi + S{{G}_{2}}\varphi )$, где $l \times l$ – матрицы-функции ${{G}_{1}},{{G}_{2}} \in {{C}^{\nu }}(\Gamma )$, фредгольмов в пространстве ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$ тогда и только тогда, когда матрица $G = \operatorname{Re} {{G}_{1}} + i\operatorname{Im} {{G}_{2}}$ обратима, и его индекс дается формулой

где приращение аргумента берется на контуре в соответствии с его ориентацией.

Если дополнительно ${{G}_{1}},{{G}_{2}} \in {{C}^{{1,\nu }}}(\Gamma )$, то любое решение $\varphi \in {{C}^{\mu }}(\Gamma )$ уравнения $N\varphi = f$ с правой частью $f \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$ также принадлежит классу ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$. В частности, оператор N фредгольмов в пространстве ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$ с тем же индексом.

Рассмотрим подробнее композицию с I дифференциального оператора

Лемма 1.2. Оператор LI ограничен ${{C}^{\mu }}(\Gamma ) \to {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ и, в частности, компактен: ${{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma ) \to {{C}^{\mu }}(\bar {D})$.

Доказательство. Очевидно, утверждение леммы достаточно установить локально в области ${{D}_{0}} \subseteq D$, примыкающей к граничной дуге ${{\Gamma }_{0}} = \Gamma \cap \bar {D}$ достаточно малой длины. Пусть подобласть ${{D}_{1}} \supseteq {{\bar {D}}_{0}}$ и дуга Γ₁ имеют аналогичный смысл. Тогда утверждение леммы достаточно установить по отношению к оператору

т.е. доказать, что оператор $L{{I}_{1}}$ ограничен: ${{C}^{\mu }}({{\Gamma }_{1}}) \to {{C}^{\mu }}({{\bar {D}}_{0}})$.

Прямое дифференцирование (1.12) дает выражение

Существуют такие матрицы-функции ${{A}_{1}}(z,t),{{A}_{2}}(z,t) \in {{C}^{\nu }}({{\bar {D}}_{1}} \times {{\bar {D}}_{1}}),$ что

В самом деле, это утверждение инвариантно относительно линейных преобразований плоскости, поэтому, не ограничивая общности, можно считать, что прямые, параллельные координатным осям, могут пересекать дугу Γ₁ не более чем в одной точке. При этом саму область D₁ можно выбрать так, чтобы ее граница состояла из Γ₁ и двух отрезков, параллельных координатным осям. В этом случае возможность разложения (1.14) достигается интегрированием от t к z по двум отрезкам этого типа.

Подстановка (1.14) в (1.13) дает выражение

где ${{Q}_{1}}(t,\xi ) = \xi \xi _{{[A(t)]}}^{{ - 2}}e{{(t)}_{{[A(t)]}}}$ и ${{Q}_{2}}(t,\xi ) = \overline \xi \xi _{{[A(t)]}}^{{ - 2}}e{{(t)}_{{[A(t)]}}}$. К операторам ${{U}_{j}}$ можно применить вторую часть теоремы 3.8.1 из [6], согласно которой функции ${{U}_{j}}$ принадлежат ${{C}^{\mu }}({{\bar {D}}_{0}} \times {{\bar {D}}_{0}})$ с соответствующей оценкой ${{C}^{\mu }}$-норм. В результате приходим к справедливости леммы.

Обратимся к обобщенному интегралу Помпейю (1.2).

Теорема 1.3. Оператор T ограничен: ${{C}^{\mu }}(\bar {D}) \to {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$, причем

с интегральным операторомкоторый компактен в пространстве ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$.

Доказательство основано на применении теорем 3.5.1 и 3.5.3 из [6]. С этой целью покажем, что для любой полуокружности ${{\mathbb{T}}^{ + }}$ единичной окружности $\mathbb{T}$ интеграл

В самом деле, этот интеграл есть значение ${{\chi }_{0}}(A)$ от матрицы $A = A(t)$ аналитической вне вещественной оси функции

Поэтому достаточно доказать, что эта функция тождественно равна нулю. Очевидно, Следовательно, для любых вещественных ненулевых чисел a, b справедливы соотношения ${{\chi }_{0}}(\zeta + a) = b{{\chi }_{0}}(b\zeta ) = {{\chi }_{0}}(\zeta )$, что возможно только при ${{\chi }_{0}} \equiv 0$.

Таким образом, применительно к ядру $Q(t,\xi ) = {{(2\pi i)}^{{ - 1}}}\xi _{{[A(t)]}}^{{ - 2}}$ равенство (1.16) переходит в условие (3.5.1) теоремы 3.5.1 из [6]. Поэтому на основании теорем 3.5.2 и 3.5.3 из [6] оператор T ограничен: ${{C}^{\mu }}(\bar {D}) \to {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$, причем

где Очевидно, так что  с учетом  (1.4) это выражение совпадает с E(z). В результате приходим к соотношению (1.15). Что касается компактности оператора T¹, то это свойство является следствием теоремы 3.2.1 из [6].

2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

Напомним, что при каждом $z \in \bar {D}$ собственные значения матрицы $A(z)$ лежат вне действительной оси $\mathbb{R}$, суммарное число их в верхней и нижней полуплоскостях обозначено, соответственно, ${{l}_{1}}$ и ${{l}_{2}}$. Известно, что эту матрицу можно привести к специальному блочно-диагональному виду: существует такая обратимая матрица-функция $B(z) \in {{C}^{{1,\nu }}}(\bar {D})$, что

где все собственные значения матрицы ${{J}_{1}}({{J}_{2}})$ лежат в верхней (нижней) полуплоскости. В частности, ${{J}_{k}}$ является ${{l}_{k}} \times {{l}_{k}}$-матрицей.

Для односвязных областей этот факт был установлен В.С. Виноградовым (см. [8]), в общем случае многосвязных областей М.М. Сиражутдиновым (см. [9], [10]).

Исходя из пары l-вектор-функций $\varphi = ({{\varphi }^{0}},{{\varphi }^{1}})$, где ${{\varphi }^{0}}$ и ${{\varphi }^{1}}$ заданы на, соответственно, Γ и D, введем оператор

В дальнейшем этот оператор рассматриваем для комплексных вектор-функций ${{\varphi }^{1}} \in {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ и вещественных вектор-функций ${{\varphi }^{0}}$, указывая этот факт обозначением ${{\varphi }^{0}} \in C_{\mathbb{R}}^{\mu }(\Gamma )$ или ${{\varphi }^{0}} \in C_{\mathbb{R}}^{{1,\mu }}(\Gamma )$.

Наряду с ${{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$, введем в рассмотрение пространство $C_{A}^{\mu }(\bar {D})$ всех l-вектор-функций $U \in {{C}^{\mu }}(\bar {D}) \cap {{C}^{1}}(D)$, для которых $LU \in {{C}^{\mu }}(\bar {D})$. Это пространство зависит от матрицы A, определяющей дифференциальное выражение L, и снабжается нормой

относительно которой оно банахово.

В самом деле, пусть последовательности функций ${{U}_{n}} \in {{C}^{\mu }}(\bar {D}) \cap {{C}^{1}}(D)$ и $L{{U}_{n}}$ сходятся, соответственно, к U и V по ${{C}^{\mu }}$-норме. Достаточно убедиться, что $U \in {{C}^{1}}(D)$ и $LU = V$. Очевидно, функция U является слабым решением уравнения $LU = V$, т.е. выполнено тождество

справедливое для любой l-вектор-функции $\varphi \in {{C}^{1}}(D)$ с компактным носителем. Поэтому остается воспользоваться тем (см. [11], [12]), что для эллиптических систем любое слабое решение в области D с правой частью $V \in {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ является классическим (и принадлежит классу ${{C}^{{1,\mu }}}({{\bar {D}}_{0}})$ в любой замкнутой подобласти ${{\bar {D}}_{0}} \subseteq D$).

Очевидно, оператор T ограничен: ${{C}^{\mu }}(\bar {D}) \to C_{A}^{\mu }(\bar {D})$. В силу леммы 1.2, этот факт распространяется и на $\mathbb{R}$-линейный оператор I, который ограничен: ${{C}^{\mu }}(\Gamma ) \to C_{A}^{\mu }(\bar {D})$.

Таким образом, на основании теорем 1.1, 1.3 и леммы 1.2 имеем ограниченные $\mathbb{R}$-линейные операторы

Теорема 2.1. Каждый из операторов (2.3) фредгольмов и его индекс равен $l(m - 2)$, где m – число связных компонент контура Γ.

Доказательство достаточно провести для случая ${{l}_{1}} = l$, ${{l}_{2}} = 0$, когда все собственные значения матрицы A лежат в верхней полуплоскости.

В самом деле, из определений (1.1), (1.2) следует, что

где указанa явно зависимость операторов от матрицы A. Отсюда приходим к равенству ${{R}_{A}}\varphi = {{I}_{J}}({{\varphi }^{0}}) + {{T}_{J}}({{\varphi }^{1}})$, согласно которому утверждение теоремы достаточно установить по отношению к блочно-диагональной матрице J или, что равносильно, по отношению к каждой из матриц $J = {{J}_{1}}$ и $J = {{J}_{2}}$ в отдельности. В последнем случае имеем очевидное соотношение где черта означает комплексное сопряжение, принятa во внимание вещеcтвенность функции ${{\varphi }^{0}}$. Поскольку $\mathbb{R}$-линейное отображение $({{\varphi }^{0}},{{\varphi }^{1}}) \to ({{\varphi }^{0}},\overline {{{\varphi }^{1}}} )$ является изоморфизмом, то следует справедливость рассматриваемого предложения.

Итак, пусть все собственные значения матрицы A лежат в верхней полуплоскости. В этом случае матрица E в (1.4) единична, а в (2.2) можем положить R = 1. Покажем, что оператор

который, очевидно, ограничен: ${{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D}) \to C_{\mathbb{R}}^{{1,\mu }}(\Gamma ) \times {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ и $C_{A}^{\mu }(\bar {D}) \to C_{\mathbb{R}}^{\mu }(\Gamma ) \times {{C}^{\mu }}(\bar {D})$, является регуляризатором к оператору (2.3).

Согласно (1.6) и (1.11), для функции $U = R\varphi $ имеем соотношения

Рассмотрим оператор $N = {{R}^{{( - 1)}}}R$, который соответственно двум случаям (2.3) и действует в прямом произведении одного из пространств $C_{\mathbb{R}}^{{1,\mu }}(\Gamma )$, ${{C}^{\mu }}(\Gamma )$ на ${{C}^{\mu }}(\bar {D})$, т.е. представляет собой операторную $2 \times 2$-матрицу Согласно (2.5), элементы этой матрицы действуют по формулам Условимся для двух операторов ${{N}_{1}}$ и ${{N}_{2}}$, заданных и ограниченных в одном и том же пространстве, писать ${{N}_{1}} \sim {{N}_{2}}$, если их разность является компактным оператором. Утверждается, что соответственно двум случаям (2.3) имеют место соотношения В самом деле, поскольку первое соотношение вытекает из леммы 1.1(а), а второе – из теоремы 1.3. Что касается третьего соотношения, то в случае (б) оно очевидно, а в случае (а) непосредственно следует из леммы 1.2.

Соотношения (2.6) показывают, что соответственно двум случаям как $2 \times 2$-матрица оператор

Поскольку матрица в правой части этих соотношений обратима, отсюда на основании известных свойств фредгольмовых операторов заключаем, что оператор N – фредгольмов и его индекс равен нулю.

Напомним, что ограниченный оператор $M\,:X \to Y$ в банаховых пространствах X и Y полуфредгольмов, если его образ $\operatorname{im} M = M(X)$ замкнут и одно из пространств $Y{\text{/}}\operatorname{im} M$ и $\ker M = \{ x \in X,Mx = 0\} $ конечномерно. В этом случае можем ввести индекс $\operatorname{ind} M$, равный разности $\dim (Y{\text{/}}\operatorname{im} M) - \dim (\ker M)$, допускающий значения $ \pm \infty $. Таким образом, условие конечности индекса выделяет в классе полуфредгольмовых операторов фредгольмовые операторы. Известно (см. [13]), что в банаховом пространстве $\mathcal{L}(X,Y)$ всех ограниченных операторов множество полуфредгольмовых операторов открыто и индекс как функция оператора постоянна на каждой связной компоненте этого множества.

Обратимся к оператору $N = {{R}^{{( - 1)}}}R$, который сначала рассмотрим в пространстве $C_{\mathbb{R}}^{{1,\mu }}(\Gamma ) \times {{C}^{\mu }}(\bar {D})$. Очевидно,

По условию образ $\operatorname{im} N$ замкнут и имеет конечную коразмерность. Поэтому любое подпространство, содержащее $\operatorname{im} N$, также обладает этим свойством. Поэтому на основании (2.7) заключаем, что операторы R и ${{R}^{{( - 1)}}}$ полуфредгольмовы, причем их индексы противоположны и $\operatorname{ind} {{R}^{{( - 1)}}} > - \infty $, $\operatorname{ind} R < + \infty $. При этом фредгольмовость одного из операторов R, ${{R}^{{( - 1)}}}$ влечет фредгольмовость другого.

Напомним, что в каждой точке $z \in \bar {D}$ все собственные значения матрицы A(z) лежат в верхней полуплоскости. Но тогда для любого $0 \leqslant \tau \leqslant 1$ аналогичным свойством обладает и матрица ${{A}_{\tau }}(z) = i(1 - \tau ) + \tau A(z)$, которая совпадает с постоянной скалярной матрицей i при $\tau = 0$. Пусть операторы ${{I}_{\tau }}$ и ${{T}_{\tau }}$ определяются как в (1.1), (1.2) по отношению к ${{A}_{\tau }}$ и аналогичный смысл имеют ${{R}_{\tau }}$ и ${{L}_{\tau }}$, $R_{\tau }^{{( - 1)}}$. Из определения (2.4) видно, что отображение $\tau \to R_{\tau }^{{( - 1)}}$ непрерывно;

Поскольку по доказанному выше при каждом τ оператор $R_{\tau }^{{( - 1)}}$ полуфредгольмов, его индекс не зависит от τ. Утверждается, что при $\tau = 0$ операторы ${{R}_{\tau }}$ и $R_{\tau }^{{( - 1)}}$ фредгольмовы и их индексы

В самом деле, ${{I}_{0}}{{\varphi }^{0}}$ является классическим интегралом типа Коши, определяющим аналитические l-вектор-функции в области D, а ${{T}_{0}}{{\varphi }^{1}}$ – оператором Помпейю. В рассматриваемом случае оператор $T_{1}^{1} = 0$ и равенство (1.15) переходят в ${{L}_{0}}{{T}_{0}} = 1$. Пусть ${{\Gamma }_{j}}$, $1 \leqslant j \leqslant m$, есть связные компоненты контура Γ, причем для определенности контур Γ_m охватывает все остальные. Любая функция $U \in {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$ единственным образом представляется в виде

где функция ${{\varphi }^{0}} \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$ и удовлетворяет условиям Этот факт является следствием известной теоремы Н.И. Мусхелишвили (см. [1]) о представлении аналитической функции $\phi = U - {{L}_{0}}{{T}_{0}}U$ интегралом типа Коши с вещественной плотностью.

Из (2.9), в частности, следует, что ${{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D}) = (\operatorname{im} R_{0}^{{( - 1)}}) \oplus (i{{\mathbb{R}}^{l}})$. Это представление показывает (см. [14]), что образ  $\operatorname{im} R_{0}^{{( - 1)}}$) замкнут, так что совместно с (2.10) отсюда следуют его фредгольмовость и формула (2.8) индекса. Поскольку, как отмечалось, индекс операторов ${{R}_{\tau }}$ и $R_{\tau }^{{( - 1)}}$ не зависит от τ, этот индекс конечен и дается той же формулой (2.8). Тем самым утверждение теоремы для случая (а) установлено.

В случае (б) область определения $C_{{{{A}_{\tau }}}}^{\mu }(\bar {D})$ оператора $R_{\tau }^{{( - 1)}}$ зависит от τ, и потому доказательство теоремы требует другого подхода. Достаточно убедиться, что оператор ${{R}^{{( - 1)}}}$ фредгольмов: $C_{A}^{\mu }(\bar {D}) \to C_{\mathbb{R}}^{\mu }(\Gamma ) \times {{C}^{\mu }}(\bar {D})$, и имеет тот же индекс $\unicode{230} = l(2 - m)$, что и в первом случае.

Рассмотрим решение $U \in C_{A}^{\mu }(\bar {D})$ уравнения $R_{b}^{{( - 1)}}U = f$ с правой частью $f = ({{f}^{0}},{{f}^{1}})$, в которой ${{f}^{0}} \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$. Очевидно, U есть решение краевой задачи

которая удовлетворяет так называемым условиям дополнительности или Шапиро–Лопатинского (см. [9], [12]). Поэтому на основании общих результатов (см. [12], [15]) о гладкости вплоть до границы ее решение U в действительности принадлежит классу ${{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$. Поэтому остается воспользоваться следующим общим утверждением, уже встречающимся в теореме 1.2.

Пусть банаховы пространства вложены ${{X}_{1}} \subseteq X$, ${{Y}_{1}} \subseteq Y$, оператор N фредгольмов $X \to Y$ и ${{N}_{1}}x = Nx \in {{Y}_{1}}$ для $x \in {{Y}_{1}}$, причем оператор ${{N}_{1}}$ ограничен ${{X}_{1}} \to {{Y}_{1}}$. Тогда если прообраз ${{N}^{{ - 1}}}{{Y}_{1}} \subseteq {{X}_{1}}$, то оператор ${{N}_{1}}$ фредгольмов и его индекс $\operatorname{ind} {{N}_{1}} = \operatorname{ind} N$.

Теореме 2.1 можно придать следующую эквивалентную формулировку.

Следствие 2.1. Существуют такие конечномерные подпространства ${{X}_{0}} \subseteq {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$ и ${{Y}_{0}} \subseteq C_{\mathbb{R}}^{\mu }(\Gamma ) \times {{C}^{\mu }}(\bar {D})$, для которых $dimY - dimX = l(m - 2)$, что любая l-вектор-функция $U \in C_{A}^{\mu }(\bar {D})$ единственным образом представима в виде

где вектор-функции ${{\varphi }^{0}} \in C_{\mathbb{R}}^{\mu }(\Gamma )$, ${{\varphi }^{1}} \in {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ и

Если в этом представлении $U \in {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$, то и ${{\varphi }^{0}} \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$.

Здесь произведения под знаком интегралов означают обычные скалярные произведения l-векторов. Кроме того, согласно теореме 2.1, можно положить

а в качестве ${{Y}_{0}}$ можно выбрать ядро $\ker R$ оператора R.

Следствие 2.1 особенно упрощается в случае, когда матрица A постоянна.

Теорема 2.2. Пусть матрица A постоянна и в разложении (2.1) матрица  J треугольна (например, жорданова). Пусть Γ составлено из простых контуров ${{\Gamma }_{j}}$, $1 \leqslant j \leqslant m$, причем ${{\Gamma }_{m}}$ охватывает все остальные контуры.

Тогда любая l-вектор-функция $U \in C_{A}^{\mu }(\bar {D})$ единственным образом представима в виде

где вектор-функции ${{\varphi }^{0}} \in C_{\mathbb{R}}^{\mu }(\Gamma )$, ${{\varphi }^{1}} \in {{C}^{\mu }}(\bar {D})$ иПри этом $U \in {{C}^{{1,\mu }}}(\bar {D})$ влечет ${{\varphi }^{0}} \in {{C}^{{1,\mu }}}(\Gamma )$.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 2.1, не ограничивая общности, можно считать, что матрица A треугольна и ее собственные значения лежат в верхней полуплоскости. В этом случае в соответствии с теоремой 1.3 функция $\phi = U - TLU$ удовлетворяет однородному уравнению

т.е. по терминологии из [16] является A-аналитической функцией. В этом случае утверждение теоремы для $\phi $ установлено в [17] (см. также [18]).

Отметим, что в частном случае $A = i$ эта теорема хорошо известна и уже использовалась при доказательстве теоремы 2.1.