Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 8, стр. 1287-1294

Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения I рода с применением многочленов Чебышёва, обращающихся в нуль на обоих концах отрезка интегрирования

Ш. С. Хубежты^1, 2, *

¹ Северо-Осетинский государственный университет
362030 Владикавказ, ул. Ватутина, 46, Россия

² Институт ВНЦ РАН
362027 Владикавказ, ул. Маркуса, 22, Россия

^* E-mail: shalva57@rambler.ru

Поступила в редакцию 17.09.2020
После доработки 18.11.2020
Принята к публикации 11.02.2021

DOI: 10.31857/S0044466921080032

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается сингулярное интегральное уравнение I рода на отрезке интегрирования $[ - 1,1]$. Ищется решение, обращающееся в нуль на концах отрезка. С применением многочленов Чебышёва II рода происходит дискретизация уравнений. Коэффициенты разложения неизвестной функции в ряд по многочленам Чебышёва II рода находятся с помощью решения систем линейных алгебраических уравнений. Учитывается тот факт, что единственное решение указанного уравнения, обращающееся в нуль на концах отрезка интегрирования, существует при дополнительных условиях на ядра и на правой части. Это дополнительное условие также дискретизируется. Построенная вычислительная схема обосновывается методом функционального анализа – по общей теории приближенных методов. Вводится пространство гёльдеровых функций с соответствующими нормами. Оцениваются разности норм сингулярного и приближенного операторов. При некоторых условиях доказываются существование и единственность решения приближенного сингулярного интегрального уравнения и оценивается погрешность вычисления. Дается порядок стремления к нулю остаточного члена. Изложенная теория проверяется на тестовых примерах, показывающих эффективность метода. Библ. 13. Табл. 1.

Ключевые слова: сингулярный интеграл, ортогональный многочлен, дискретизация уравнения, квадратурные формулы, гауссовская точность.

1. ВВЕДЕНИЕ

Сингулярные интегральные уравнения находят широкое применение в различных областях математики. Хорошо известен спектр применения в механике и технике: теории упругости, термоупругости, гидро- и аэродинамике. В последние годы сингулярные интегральные уравнения являются одним из основных аппаратов математического моделирования задач электродинамики.

Однако вычисление сингулярных интегралов, а также решение сингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях, и основным аппаратом в прикладных задачах являются численные методы. В этом направлении хорошо известны работы И.К. Лифанова, Г.Х. Габдулхаева, И.В. Бойкова, Д.Г. Саникидзе и др. (см. [1]–[4]). Указанные авторы в основном строят дискретные решения в виде таблицы значений неизвестной функции. Но часто требуется найти решения в любой точке отрезка интегрирования. Первые такие решения построил С. Пашковский (см. [5, с. 332–349]) с применением многочленов Чебышёва для интегральных уравнений.

В данной работе предложена вычислительная схема приближенного решения сингулярного интегрального уравнения, обращающегося в нуль на концах отрезка, с применением многочленов Чебышёва II рода. Отметим, что разложение функции в ряды по многочленам Чебышёва сходится гораздо быстрее, чем другие разложения. Это подтверждается на многочисленных примерах, некоторые из них представлены в данной работе.

2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение вида

(1)

${{\mathbb{K}}_{0}}{{\varphi }_{0}} \equiv \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{{{{\varphi }_{0}}(t)}}{{t - x}}dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,K(x,t){{\varphi }_{0}}(t)dt = f(x),\quad - {\kern 1pt} 1 < x < 1,$

где $K(x,t)$, $f(x)$ – заданные непрерывно дифференцируемые функции на отрезке $[ - 1,1]$, ${{\varphi }_{0}}(t)$ – неизвестная функция.

Решение ищется на классе функций, обращающихся в нуль на концах отрезка интегрирования $[ - 1,1]$ (см. [6, c. 340], [7, c. 446]). Это означает, что ${{\varphi }_{0}}(t) = \sqrt {1 - {{t}^{2}}} \varphi (t)$, т.е. рассматривается уравнение

(2)

$\mathbb{K}\varphi \equiv \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{\varphi (t)}}{{t - x}}dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} K(x,t)\varphi (t)dt = f(x).$

Как известно (см. [1, с. 168], [7, с. 447]), уравнение (2) имеет единственное решение при условии

(3)

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{1}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}(f(t) - \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} K(t,\tau )\varphi (\tau )d\tau )dt = 0.$

Также известно (см. [8, с. 332–347]), что многочлены Чебышёва II рода

$\begin{gathered} {{U}_{n}}(t) = \frac{{sin(n + 1)arccost}}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }},\quad n = 0,1,2, \ldots , \\ {{U}_{0}}(t) = 1,\quad {{U}_{1}}(t) = 2t,\quad {{U}_{2}}(t) = 4{{t}^{2}} - 1,\quad {{U}_{3}}(t) = 8{{t}^{3}} - 4t, \ldots , \\ \end{gathered} $

суть ортогональные на отрезке $[ - 1,1]$ с весовой функцией $p(t) = \sqrt {1 - {{t}^{2}}} $ и справедливо равенство

(4)

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} {{U}_{n}}(t){{U}_{m}}(t)dt = \left\{ \begin{gathered} 0,\quad {\text{если}}\;n \ne m, \hfill \\ 1,\quad {\text{если}}\;n = m. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Тогда с использованием теории рядов Чебышёва (см. [5, с. 104–173]) справедливы представления

$\varphi (t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}{{U}_{k}}(t),\quad {{a}_{k}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \varphi (t){{U}_{k}}(t)dt,\quad k = 0,1, \ldots ,$

(5)

$\begin{gathered} f(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(x),\quad {{d}_{i}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{x}^{2}}} f(x){{U}_{i}}(x)dx,\quad i = 0,1, \ldots , \\ K(x,t) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{U}_{i}}(x)\sum\limits_{j = 0}^\infty \,{{c}_{{ij}}}{{U}_{j}}(t), \\ \end{gathered} $

${{c}_{{ij}}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} {{U}_{j}}(t)\left( {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{x}^{2}}} K(x,t){{U}_{i}}(x)dx} \right)dt,\quad i,j = 0,1, \ldots \;.$

Коэффициенты ${{d}_{i}}$ ($i = 0,1, \ldots $), ${{c}_{{ij}}}$ ($i,j = 0,1, \ldots $) вычисляются по указанным формулам (5) или приближенно с помощью квадратурных формул Гаусса наивысшей алгебраической степени точности (см. [9, с. 132]). Коэффициенты ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $ \ldots $ – неизвестны, так как функция $\varphi (t)$ – неизвестная.

Подставляя разложения (5) функции $\varphi (t)$, $f(x)$, $K(x,t)$ в (2), получаем

(6)

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{1}{{t - x}}\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}{{U}_{k}}(t)dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \left( {\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{U}_{i}}(x)\sum\limits_{j = 0}^\infty \,{{c}_{{ij}}}{{U}_{j}}(t)} \right)\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}{{U}_{k}}(t)dt = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(x).$

Суммы $\sum\nolimits_{i = 0}^\infty \,{{U}_{i}}(x)\sum\nolimits_{j = 0}^\infty \,{{c}_{{ij}}}{{U}_{j}}(t)$ равномерно сходятся (см. [5, c. 111–112]), т.е. законно менять порядок суммирования.

Справедливо равенство (см. [10, с. 85])

$\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{{{U}_{k}}(t)}}{{t - x}}dt = - {{T}_{{k + 1}}}(x),$

где ${{T}_{{k + 1}}}(t) = cos(k + 1)arccost$ ($k = 0,1, \ldots $) – многочлены Чебышёва I рода.

Используя (4), равенство (6) можно переписать следующим образом:

(7)

$ - 2\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}{{T}_{{k + 1}}}(x) + \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{c}_{{ik}}}{{U}_{i}}(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(x).$

Разложим еще $ - 2{{T}_{{k + 1}}}(x)$ в ряд по многочленам Чебышёва II рода. Имеем

$ - 2{{T}_{{k + 1}}}(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{b}_{{ik}}}{{U}_{i}}(x),$

где

${{b}_{{ik}}} = - 2\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{x}^{2}}} {{T}_{{k + 1}}}(x){{U}_{i}}(x)dx = \left\{ \begin{gathered} 0,\quad {\text{если}}\quad i = 0,1, \ldots ,k - 2,k,k + 2, \ldots , \hfill \\ 1,\quad {\text{если}}\quad i = k - 1, \hfill \\ - 1,\quad {\text{если}}\quad i = k + 1. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

После этого уравнение (7) принимает вид

$\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{b}_{{ik}}}{{U}_{i}}(x) + \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{c}_{{ik}}}{{U}_{i}}(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(x)$

или

$\sum\limits_{i = 0}^\infty \,\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}({{b}_{{ik}}} + {{c}_{{ik}}})} \right){{U}_{i}}(x) = \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(x).$

Отсюда следует равенство

(8)

$\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}({{b}_{{ik}}} + {{c}_{{ik}}}) = {{d}_{i}},\quad i = 0,1, \ldots \;.$

Это есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $ \ldots $ .

Теперь рассмотрим условие (3). Аналогичным образом его можно представить в виде

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{1}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}\left( {\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(t) - \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{\tau }^{2}}} \sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{U}_{i}}(t)\sum\limits_{j = 0}^\infty \,{{c}_{{ij}}}{{U}_{j}}(\tau )\sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}{{U}_{k}}(\tau )d\tau } \right)dt = 0.$

Учитывая ортонормированность многочленов Чебышёва II рода, т.е. формулу (4), получаем

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{1}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}\left( {\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{d}_{i}}{{U}_{i}}(t) - \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}\sum\limits_{i = 0}^\infty \,{{c}_{{ik}}}{{U}_{i}}(t)} \right)dt = 0.$

Объединяя полученное равенство и (8), получается система линейных алгебраических уравнений бесконечного порядка с бесконечным количеством неизвестных:

(9)

$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}({{b}_{{ik}}} + {{c}_{{ik}}}) = {{d}_{i}},\quad i = 0,1, \ldots , \hfill \\ \sum\limits_{j = 0}^\infty \,\left( {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{1}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}\left( {{{d}_{j}} - \sum\limits_{k = 0}^\infty \,{{a}_{k}}{{c}_{{jk}}}} \right){{U}_{j}}(t)dt} \right) = 0. \hfill \\ \end{gathered} $

Приближенная система будет следующая:

(10)

$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 0}^n \,{{a}_{k}}({{b}_{{ik}}} + {{c}_{{ik}}}) = {{d}_{i}},\quad i = 0,1, \ldots ,n - 1, \hfill \\ \sum\limits_{j = 0}^n \,\left( {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{1}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}\left( {{{d}_{j}} - \sum\limits_{k = 0}^n \,{{a}_{k}}{{c}_{{jk}}}} \right){{U}_{j}}(t)dt} \right) = 0. \hfill \\ \end{gathered} $

После вычисления интеграла

${{g}_{j}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{1}{{\sqrt {1 - {{t}^{2}}} }}{{U}_{j}}(t)dt = \left\{ \begin{gathered} 0,\quad {\text{при}}\quad j = 2m - 1, \hfill \\ 2,\quad {\text{при}}\quad j = 2m, \hfill \\ \end{gathered} \right.$

система (10) упрощается, и получаем

(11)

$\begin{gathered} \sum\limits_{k = 0}^n \,{{a}_{k}}({{b}_{{ik}}} + {{c}_{{ik}}}) = {{d}_{i}},\quad i = 0,1, \ldots ,n - 1, \hfill \\ \sum\limits_{k = 0}^n \,{{a}_{k}}{{G}_{k}} = H, \hfill \\ \end{gathered} $

где

${{G}_{k}} = \sum\limits_{j = 0}^n \,{{g}_{j}}{{c}_{{jk}}},\quad H = \sum\limits_{j = 0}^n \,{{g}_{j}}{{d}_{j}}.$

Если функции $f(x)$ и $K(x,t)$ удовлетворяют условиям

$\int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{{f(x)}}{{\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}dx = 0,\quad \int\limits_{ - 1}^1 \,\frac{{K(x,t)}}{{\sqrt {1 - {{x}^{2}}} }}dx = 0,$

тогда автоматически условие (3) переходит в тождество (см. [4]) и для приближенного решения уравнения (2) достаточно решить только систему

(12)

$\sum\limits_{k = 0}^n \,{{a}_{k}}({{b}_{{ik}}} + {{c}_{{ik}}}) = {{d}_{i}},\quad i = 0,1, \ldots ,n.$

После решения этой системы относительно неизвестных ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $ \ldots $, ${{a}_{n}}$ приближенным решением будет выражение

(13)

$\varphi (t) \approx {{\varphi }_{n}}(t) = \sum\limits_{k = 0}^n \,{{a}_{k}}{{U}_{k}}(t).$

3. ОБОСНОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СХЕМЫ

В начале заметим, что обоснование вычислительной схемы проводится аналогично статье [11].

Обозначим через $X$ пространство функций вида ${{\varphi }_{0}}(t) = \sqrt {1 - {{t}^{2}}} \varphi (t)$, где $\varphi (t)$ – непрерывно дифференцируемая функция на отрезке $[ - 1;1]$, производная которой удовлетворяет условию Гёльдера $H(\alpha )$, $0 < \alpha \leqslant 1$. Норма пространства $X$ определяется формулой

(14)

$\left\| {{{\varphi }_{0}}(t)} \right\| = {{\left\| {\varphi (t)} \right\|}_{{C[ - 1,1]}}} + \mathop {sup}\limits_{{{t}_{1}} \ne {{t}_{2}}} \frac{{\left| {\varphi ({{t}_{1}}) - \varphi ({{t}_{2}})} \right|}}{{{{{\left| {{{t}_{1}} - {{t}_{2}}} \right|}}^{\beta }}}},\quad 0 < \beta < \alpha .$

Через ${{X}_{n}}$ обозначим подпространство пространства $X$, состоящее из функций ${{\varphi }_{{0n}}}(t) = \sqrt {1 - {{t}^{2}}} {{\varphi }_{n}}(t)$, где ${{\varphi }_{n}}(t) = \sum\nolimits_{k = 0}^n \,{{\alpha }_{k}}{{U}_{k}}(t)$ – множество полиномов степени $n$. Норма в пространстве ${{X}_{n}}$ определяется формулой (14).

Через $Y$ обозначим пространство непрерывных функций $y(t)$ класса Гёльдера, определенных на отрезке $[ - 1,1]$, с нормой

$\left\| {y(t)} \right\| = \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 1} \left| {y(t)} \right| + \mathop {sup}\limits_{{{t}_{1}} \ne {{t}_{2}}} \frac{{\left| {y({{t}_{1}}) - y({{t}_{2}})} \right|}}{{{{{\left| {{{t}_{1}} - {{t}_{2}}} \right|}}^{\beta }}}},\quad 0 < \beta < \alpha .$

Через ${{Y}_{n}}$ обозначим пространство полиномов вида ${{y}_{n}}(t) = \sum\nolimits_{k = 0}^n \,{{\alpha }_{k}}{{U}_{k}}(t)$ с нормой

$\left\| {{{y}_{n}}(t)} \right\| = \mathop {max}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 1} \left| {{{y}_{n}}(t)} \right| + \mathop {sup}\limits_{{{t}_{1}} \ne {{t}_{2}}} \frac{{\left| {{{y}_{n}}({{t}_{1}}) - {{y}_{n}}({{t}_{2}})} \right|}}{{{{{\left| {{{t}_{1}} - {{t}_{2}}} \right|}}^{\beta }}}},\quad 0 < \beta < \alpha .$

Через ${{P}_{n}}$ обозначим проектор, действующий из $Y$ в ${{Y}_{n}}$ по формуле ${{y}_{n}}(t) = {{P}_{n}}[y(t)]$, а из пространства $X$ в ${{X}_{n}}$ – по формуле ${{P}_{n}}[{{\varphi }_{0}}(t)] = \sqrt {1 - {{t}^{2}}} {{P}_{n}}[\varphi (t)]$. Здесь ${{P}_{n}}[y(t)]$ – оператор проектирования на множестве полиномов вида $\sum\nolimits_{k = 0}^n \,{{\alpha }_{k}}{{U}_{k}}(t)$ степени $n$. Известно (см. [8, с. 342], [12, с. 540]), что в пространстве $C[ - 1;1]$ $\left\| {{{P}_{n}}} \right\| \leqslant Clnn$, где $C = {\text{const}}$.

Требуется доказать, что оператор $\mathbb{K}$ действует из пространства $X$ в $Y$.

Это очевидно, так как по свойству сингулярных операторов (см. [6, с. 76]), если $K(x,t) \in H(\alpha )$, $\varphi (t) \in H(\alpha )$, то

$\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{\varphi (t)}}{{t - x}}dt \in H(\alpha )\quad {\text{и}}\quad \int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} K(x,t)\varphi (t)dt \in H(\alpha ),$

т.е. $\mathbb{K}\varphi \in H(\alpha )$.

Будем считать, что существует обратный оператор ${{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}$, действующий из $Y$ в $X$.

Приближенное уравнение для уравнения (2) перепишем в виде

(15)

$\mathbb{K}{{\varphi }_{n}} \equiv \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{{{\varphi }_{n}}(t)}}{{t - x}}dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} K(x,t){{\varphi }_{n}}(t)dt = f(x).$

Тогда систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ${{a}_{0}}$, ${{a}_{1}}$, $ \ldots $, ${{a}_{n}}$ можно записать в виде

(16)

${{\mathbb{K}}_{n}}{{\varphi }_{n}} = {{P}_{n}}\left[ {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{{{\varphi }_{n}}(t)}}{{t - x}}dt} \right] + {{P}_{n}}\left[ {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} K(x,t){{\varphi }_{n}}(t)dt} \right] = {{P}_{n}}[f(x)].$

Оценим норму разности

$\left\| {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} (K(x,t) - K_{n}^{x}(x,t)){{\varphi }_{n}}(t)dt} \right\|,$

где $K_{n}^{x}(x,t)$ – полином наилучшего равномерного приближения степени $n$ функции $K(x,t)$ по переменной $x$. Очевидно,

$\begin{gathered} {{\left\| {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} (K(x,t) - K_{n}^{x}(x,t)){{\varphi }_{n}}(t)dt} \right\|}_{{C[ - 1,1]}}} \leqslant \\ \, \leqslant max\left| {K(x,t) - K_{n}^{x}(x,t)} \right|max\left| {{{\varphi }_{n}}(t)} \right| \leqslant \bar {E}_{n}^{x}(K(x,t))\left\| {{{\varphi }_{n}}(t)} \right\|, \\ \end{gathered} $

где $\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t)) = \mathop {sup}\limits_{ - 1 \leqslant t \leqslant 1} E_{n}^{x}(K(x,t))$, $E_{n}^{x}(K(x,t))$ – наилучшее приближение функции $K(x,t)$ по переменной $x$ полиномом Чебышёва II рода.

Повторяя ход доказательства обратной теоремы Бернштейна (см. [12, с. 165]), можно показать, что

$\left\| {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} (K(x,t) - K_{n}^{x}(x,t)){{\varphi }_{n}}(t)dt} \right\| \leqslant C{{n}^{\beta }}\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t))\left\| {{{\varphi }_{n}}(t)} \right\|,$

где $C = {\text{const}}$, не зависящая от $n$.

Из общей теории приближенных методов (см. [13, с. 211, 517]) следует, что при $n$ таких, что

$q = C{{n}^{\beta }}\left\| {{{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}} \right\|\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t))lnn < 1,$

система (16) однозначно разрешима, оператор ${{\mathbb{K}}_{n}}$ непрерывно обратим и справедлива оценка

(17)

$\left\| {\varphi - {{{\bar {\varphi }}}_{n}}} \right\| \leqslant C{{n}^{\beta }}\left\| {{{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}} \right\|\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t))lnn,$

где $\varphi (t)$ и ${{\bar {\varphi }}_{n}}(t)$ – решения уравнений (2) и (16).

Теперь используем метод механических квадратур для сингулярного интегрального уравнения (2). Оно в операторной форме имеет вид

(18)

${{P}_{n}}\left[ {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{{{\varphi }_{n}}(t)}}{{t - x}}dt} \right] + {{P}_{n}}\left[ {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} P_{n}^{t}[K(x,t)]{{\varphi }_{n}}(t)dt} \right] = {{P}_{n}}[f(x)].$

Аналогично рассуждая, применением метода коллокации, тогда (18) можно переписать следующим образом:

(19)

${{\bar {\mathbb{K}}}_{n}}{{\varphi }_{n}} = \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{{{\varphi }_{n}}(t)}}{{t - x}}dt + {{P}_{n}}\left[ {\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} P_{n}^{t}[K(x,t)]{{\varphi }_{n}}(t)dt} \right] = {{P}_{n}}[f(x)].$

После оценки разности ${{\left\| {{{\mathbb{K}}_{n}}{{\varphi }_{n}} - {{{\bar {\mathbb{K}}}}_{n}}{{\varphi }_{n}}} \right\|}_{{[C[ - 1,1]]}}}$ и, используя обратную теорему Бернштейна (см. [11, с. 165]), получаем

$\left\| {{{\mathbb{K}}_{n}}{{\varphi }_{n}} - {{{\bar {\mathbb{K}}}}_{n}}{{\varphi }_{n}}} \right\| \leqslant C{{n}^{\beta }}\bar {E}_{n}^{t}(K(x,t))lnn\left\| {{{\varphi }_{n}}} \right\|.$

Далее из теоремы Банаха (см. [13, с. 211]) следует, что при $n$ таких, что

${{q}_{n}} = C{{n}^{\beta }}\left\| {{{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}} \right\|\bar {E}_{n}^{t}(K(x,t))lnn < 1,$

оператор ${{\bar {\mathbb{K}}}_{n}}$ непрерывно обратим и справедлива оценка

(20)

$\left\| {{{\varphi }_{n}} - {{{\bar {\varphi }}}_{n}}} \right\| \leqslant C{{n}^{\beta }}\left\| {{{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}} \right\|\bar {E}_{n}^{t}(K(x,t))lnn.$

Таким образом, доказанa

Теорема. Пусть оператор $\mathbb{K}$ непрерывно обратим. Функции $K(x,t)$ и $f(x)$ – непрерывно дифференцируемые и принадлежат классу Гёльдера $H(\alpha )$, $0 < \alpha \leqslant 1$. Тогда при $n$ таких, что

$C\left\| {{{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}} \right\|(\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t)) + \bar {E}_{n}^{t}(K(x,t))){{n}^{\beta }}lnn < 1,$

система (11) имеет единственное решение и справедлива оценка

(21)

$\left\| {\varphi - {{\varphi }_{n}}} \right\| \leqslant C\left\| {{{\mathbb{K}}^{{ - 1}}}} \right\|(\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t)) + \bar {E}_{n}^{t}(K(x,t))){{n}^{\beta }}lnn.$

А если $K(x,t)$ и $f(x)$ имеют непрерывные производные до порядка $r - 1$ $(r \geqslant 1)$ и производная порядка $r$ принадлежит классу Гёльдера $H(\alpha )$, $0 < \alpha \leqslant 1$, тогда из (21) с учетом неравенства $\bar {E}_{n}^{x}(K(x,t)) \leqslant O\left( {\tfrac{1}{{{{n}^{{r + \alpha }}}}}} \right)$ (см. [12, с. 138]) следует оценка

$\left\| {\varphi - {{\varphi }_{n}}} \right\| = O\left( {\frac{{lnn}}{{{{n}^{{r + \alpha - \beta }}}}}} \right),\quad 0 < \beta < \alpha .$

4. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ

Рассмотрим следующие уравнения:

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{\varphi (t)}}{{t - x}}dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} ({{x}^{3}} + tx)\varphi (t)dt = - 2x + {{x}^{3}}.$

Здесь дополнительное условие (3) автоматически выполняется, поэтому уравнение имеет единственное решение $\varphi (t) = 1$.

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{\varphi (t)}}{{t - x}}dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} ({{x}^{3}} + 4tx)\varphi (t)dt = - 2{{x}^{2}} + 1 + x.$

Здесь также дополнительное условие (3) выполняется и уравнение имеет единственное решение $\varphi (t) = t$.

$\frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} \frac{{\varphi (t)}}{{t - x}}dt + \frac{2}{\pi }\int\limits_{ - 1}^1 \,\sqrt {1 - {{t}^{2}}} (4{{x}^{3}} + tx)\varphi (t)dt = x - {{x}^{3}}.$

И здесь выполняется условие (3) и уравнение имеет единственное решение $\varphi (t) = {{t}^{2}}$.

После решения систем линейных алгебраических уравнений (12) для каждого примера при $n = 10$ получены численные результаты, представленные в табл. 1.

Таблица 1

Коэффициенты разложения решения	Пример 1 решение $\varphi (t) = 1$	Пример 2 решение $\varphi (t) = t$	Пример 3 решение $\varphi (t) = {{t}^{2}}$
${{a}_{0}}$	$0.9999999$	$9.685755{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$0.2499998$
${{a}_{1}}$	$ - 6.81494{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$0.5000001$	$ - 2.384186{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 07$
${{a}_{2}}$	$ - 3.583727{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$ - 1.48749{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$0.25$
${{a}_{3}}$	$ - 3.927067{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$6.214358{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$ - 4.396021{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$
${{a}_{4}}$	$ - 3.965056{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$	$ - 1.40607{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$9.742919{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$
${{a}_{5}}$	$ - 1.961513{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$6.712615{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$ - 9.037535{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$
${{a}_{6}}$	$5.037663{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$	$ - 6.926157{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$	$2.199927{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$
${{a}_{7}}$	$ - 2.116015{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$5.175345{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$2.166799{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$
${{a}_{8}}$	$2.833207{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$	$3.793914{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$	$ - 7.175324{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$
${{a}_{9}}$	$ - 5.829515{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$1.990343{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 08$	$9.166978{\text{E}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} 09$
Приближенное решение уравнения	$\varphi (t) \approx \sum\limits_{k = 1}^{10} \,{{a}_{{k - 1}}}{{U}_{{k - 1}}}(t) \approx 1$	$\varphi (t) \approx \sum\limits_{k = 1}^{10} \,{{a}_{{k - 1}}}{{U}_{{k - 1}}}(t) \approx t$	$\varphi (t) \approx \sum\limits_{k = 1}^{10} \,{{a}_{{k - 1}}}{{U}_{{k - 1}}}(t) \approx {{t}^{2}}$

Полученные в настоящей работе результаты показывают, что построенная вычислительная схема удобна для реализации и эффективна по точности.

Список литературы

Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: Янус, 1995. 520 с.
Габдулхаев Б.Г., Шарипов Р.Н. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур // Докл. АН СССР. 1968. Т. 179. № 2. С. 260–263.
Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во Пензен. гос. ун-та, 2004. 316 с.
Саникидзе Д.Г. К численному решению граничных задач методом аппроксимации сингулярных интегралов // Дифференц. ур-ния. 1993. Т. 29. № 9. С. 1–13.
Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1983. 384 с.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1966. 707 с.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: ГИФМЛ, 1962. 500 с.
Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.
Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения. Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2011. 236 с.
Бойков И.В., Бойкова А.И., Сёмов М.А. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Приволжский регион. Физико-матем. науки. Математика. 2015. № 3 (35). С. 11–27.
Натансон И.Н. Конструктивная теория функций. М.–Л.: ГИФМЛ, 1949. 688 с.
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1965. 540 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал