Журнал вычислительной математики и математической физики, 2021, T. 61, № 8, стр. 1295-1308

1. ВВЕДЕНИЕ

Классическими задачами для полигармонического уравнения ${{\Delta }^{m}}u = 0$ являются задачи Дирихле (см., например, [1]–[4]) и Неймана (см., например, [5]–[8]). Разрешимость этих задач хорошо исследована в теории краевых задач. Установлено, что все задачи данного типа фредгольмовы и их разрешимость для однородных краевых условий гарантируется ортогональностью правых частей всем решениям однородного сопряженного уравнения.

В [9], [10] были исследованы условия разрешимости краевых задач для полигармонического уравнения в шаре с нормальными производными в граничных условиях. Условия разрешимости в этих работах, а также в работе А.В. Бицадзе [5] имели вид ортогональности некоторых вектор-функций, зависящих от данных задачи или равенства рангов некоторых матриц высокого порядка. Чтобы установить, при каких граничных условиях конкретная задача такого типа разрешима, необходимо выполнить некоторые непростые вычисления.

Рассматриваемый в настоящей работе класс задач является естественным обобщением классической постановки задачи Неймана, предложенной для полигармонического уравнения А.В. Бицадзе (см. [6]). В [11] с помощью целочисленного треугольника Неймана (см. [12]) были найдены необходимые условия разрешимости этого класса задач. В настоящей работе доказывается, что найденный ранее набор необходимых условий разрешимости задач типа Неймана является также и достаточным условием разрешимости.

Пусть $S = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{n}}:{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} < 1\} $ – единичный шар в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 2$, а $\partial S = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{n}}:{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} = 1\} $ – единичная сфера, где ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} = \sqrt {x_{1}^{2} + \ldots + x_{n}^{2}} $. В единичном шаре $S$ рассмотрим следующий класс краевых задач типа Неймана ${{\mathcal{N}}_{k}}$, зависящий от параметра $k \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ (значения параметров $n$ и $m$ в дальнейшем исследовании будем считать фиксированными) для однородного полигармонического уравнения

где $\partial {\text{/}}\partial \nu $ – внешняя нормальная производная к единичной сфере, $m \in \mathbb{N}$. Гладкость граничных функций ${{\varphi }_{i}}(s)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, определенных на $\partial S$, будет указана ниже. Задача ${{\mathcal{N}}_{0}}$ является задачей Дирихле, которая безусловно разрешима, а задача ${{\mathcal{N}}_{1}}$ совпадает с задачей Неймана (см. [6], [7]). В [5] А.В. Бицадзе выписал необходимые и достаточные условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{1}}$ при $m = 1,2$ и показал, что она решается в квадратурах.

Исследования разрешимости некоторых постановок задач типа Неймана в единичном шаре, кроме перечисленных выше работ, можно найти также для бигармонического уравнения (в частности, задачи ${{\mathcal{N}}_{1}}$ и ${{\mathcal{N}}_{2}}$) – в [13]–[17], а для полигармонического уравнения в [18]. В [19], [20] для краевых задач для полигармонического уравнения с нормальными производными в граничных условиях получены достаточное условие фредгольмовости этих задач и новая форма критерия фредгольмовости, эквивалентного условию дополнительности.

Настоящая работа устроена следующим образом. В лемме 1 из разд. 2 исследована гладкость гармонических компонент решения задачи Дирихле ${{\mathcal{N}}_{0}}$. В леммах 2 и 3 из разд. 3 найдены достаточные условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ в терминах функции ${v}(x)$ – решения вспомогательной задачи Дирихле и зависящие от треугольника Неймана $\mathbb{P}$. В теореме 1 из разд. 4 приводятся необходимые условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ в терминах граничных функций задачи. В лемме 4 и теореме 3 из разд. 5 условия из теоремы 1 в случае четных $k - l$ выражаются через вспомогательную функцию ${v}(x)$, в случае нечетных $k - l$ это сделано в теореме 4. Наконец, в теореме 5 из разд. 6 доказано, что при $k \leqslant m$ необходимые условия теоремы 1 являются также и достаточными условиями разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$. Приводится пример задачи ${{\mathcal{N}}_{3}}$ для 7-гармонического уравнения.

2. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ${{\mathcal{N}}_{0}}$

Рассмотрим сначала задачу Дирихле ${{\mathcal{N}}_{0}}$ для однородного полигармонического уравнения. Если воспользоваться обозначениями $\Lambda = \sum\nolimits_{i = 1}^n \,{{x}_{i}}\tfrac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}$, ${{t}^{{[m]}}} = t(t - 1) \ldots (t - m + 1)$ есть $m$-я факториальная степень $t$, причем ${{t}^{{[0]}}} = 1$, и равенством ${{\Lambda }^{{[i]}}}u = \tfrac{{{{\partial }^{i}}u}}{{\partial {{\nu }^{i}}}}$ на $\partial S$, то эту задачу можно переписать в виде

Указанные выше свойства оператора $\Lambda = x \cdot \nabla $ были замечены раннее в работе А.В. Бицадзе [6]. Известно (см. [2]), что если функция $u(x)$ является $m$-гармонической в звездной области $D \subset {{\mathbb{R}}^{n}}$, то она может быть разложена по формуле Альманси

где ${{u}^{{(i)}}}(x)$ – “гармонические компоненты” $m$-гармонической функции $u(x)$. Далее нам понадобится гладкость вплоть до границы $\partial S$ гармонических компонент решения задачи Дирихле (3). Пусть $\varepsilon $ – малое положительное число.

Лемма 1. Пусть ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$ при $i = 1,2, \ldots ,m$, тогда все гармонические компоненты ${{u}^{{(i - 1)}}}(x)$ из (4) решения задачи Дирихле (3) таковы, что ${{u}^{{(i - 1)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$, $i = 1,2, \ldots ,m$.

Доказательство. Пусть ${{w}_{i}}(x)$ – решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в $S$ с граничным условием ${{\left. {{{w}_{i}}} \right|}_{{\partial S}}} = {{\varphi }_{i}}(x)$, где $i = 1,2, \ldots ,m$. Если использовать разложение Альманси $m$-гармонической в $S$ функции $u(x)$, то будем иметь в $S$

а поэтому для $i$-го граничного условия задачи Дирихле (3) запишем

Поскольку оператор $\Lambda $ сохраняет гармоничность функции, то в силу единственности решения задачи Дирихле получим следующие уравнения в гармонических в $S$ функциях:

где $i = 1,2, \ldots ,m$. Обозначим матрицу этой системы дифференциальных уравнений через

Пусть $W({{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}) = {{(\lambda _{i}^{{j - 1}})}_{{i,j = 1, \ldots ,m}}}$ – матрица Вандермонда размера $m \times m$, тогда матрицу $W[{{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}] = {{(\lambda _{i}^{{[j - 1]}})}_{{i,j = 1, \ldots ,m}}}$ будем называть факториальной матрицей Вандермонда. Видно, что

Первые две строки определителей $W({{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}})$ и $W[{{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}]$ совпадают, и если вторую строку определителя $W[{{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}]$ сложить с его третьей строкой, то получим третью строку определителя $W({{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}})$. Продолжая аналогичные действия, убеждаемся, что $\det W({{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}})\, = \,\det W[{{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}]$. Поэтому

а значит,

Пусть $A{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\Lambda ) = {{({{A}_{{j,i}}}(\Lambda ))}_{{i,j = 1, \ldots ,m}}}$ – присоединенная матрица к $A(\Lambda )$, где ${{A}_{{i,j}}}(\Lambda )$ – алгебраические дополнения к элементам исходной матрицы. Докажем, что $deg{{A}_{{j,i}}}(\Lambda ) = m - j$.

Сначала исследуем операторы ${{A}_{{m,s}}}(\Lambda )$. Для этого рассмотрим алгебраическое дополнение до элементов $m$-й строки в факториальной матрице Вандермонда $W_{{m,s}}^{*}[{{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}]$ при $s = 1,2, \ldots ,m$. Видно, что

откуда находим и, значит, $deg{{A}_{{m,s}}}(\Lambda ) = 0$. Далее рассмотрим оператор ${{A}_{{k,s}}}(\Lambda )$ при $k = 1 \ldots ,m - 1$, $s = 1,2, \ldots ,m$ и предположим, что $deg{{A}_{{i,s}}}(\Lambda ) = m - i$ при $i = k + 1, \ldots ,m$ и $s = 1,2, \ldots ,m$. Заменим оператор $\Lambda $ на числовой параметр $\lambda $ и для простоты обозначений рассмотрим последний элемент в $k$-й строке матрицы $A{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\lambda )$

Для нахождения степени полинома ${{A}_{{k,m}}}(\lambda )$ рассмотрим дискретную производную многочлена $P(\lambda )$ в виде ${{P}^{{(1)}}}(\lambda ) = P(\lambda + 1) - P(\lambda )$ (см. [21, с. 220]. Видно, что

и ${{({{\lambda }^{{[k]}}})}^{{(1)}}} = k{{\lambda }^{{[k - 1]}}}$ при $k > 0$, а ${{({{\lambda }^{{[0]}}})}^{{(1)}}} = 0$. Поэтому производная $A_{{k,m}}^{{(1)}}(\lambda )$ равняется сумме ($m - 1$) определителей, в которых производные берутся по каждой строке отдельно. При взятии производных от первых ($k - 1$) строк мы получаем определители, в которых строка, по которой берется производная, линейно зависит от предыдущих строк, а значит, эти определители равны нулю. При взятии производных от последних ($m - k - 1$) строк получаем определители, являющиеся линейными комбинациями определителей ${{A}_{{i,m}}}(\lambda )$ при $i > k + 1$. Производная $k$-й строки${{A}_{{k,m}}}(\lambda )$ равна откуда по предположению $deg{{A}_{{k,m}}}(\lambda ) = deg{{A}_{{k + 1,m}}}(\lambda ) + 1 = m - k - 1 + 1 = m - k$. Поскольку значение $W_{{m,s}}^{*}[{{\lambda }_{1}}, \ldots ,{{\lambda }_{m}}]$ зависит от разности ${{\lambda }_{j}} - {{\lambda }_{i}}$, то по аналогии с проделанным $deg{{A}_{{k,s}}}(\lambda ) = m - k$ при $s = 1,2, \ldots ,m$. Таким образом, доказано, что $deg{{A}_{{j,i}}}(\Lambda ) = m - j$. Например, при $m = 3$ имеем

Поэтому, если обозначить столбцы матрицы $A{\kern 1pt} *{\kern 1pt} (\Lambda )$ через $A_{1}^{*}(\Lambda ), \ldots ,A_{m}^{*}(\Lambda )$, то

где $deg{{(A_{i}^{*})}_{j}}(\Lambda ) = m - i$ для всех $j = 1,2, \ldots ,m$. Следовательно, для того чтобы достаточно потребовать ${{w}_{j}} \in {{C}^{{m - j}}}(\bar {S})$, а значит, для того чтобы ${{u}^{{(i - 1)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ достаточно ${{w}_{j}} \in {{C}^{{2m - j - 1}}}(\bar {S})$, а это выполнено, например, если ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$ (см. [22, лемма 2.7]). Очевидно, что решение задачи Дирихле обладает такой же гладкостью $u \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$. Лемма доказана.

В [23] приводится решение задачи ${{\mathcal{N}}_{0}}$ в шаре при полиномиальных данных.

3. ЗАДАЧА ${{\mathcal{N}}_{k}}$

Рассмотрим теперь общую задачу ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для однородного полигармонического уравнения. Ее можно переписать в виде

Из равенства $(\Lambda + 2m){{\Delta }^{m}}u = {{\Delta }^{m}}\Lambda u$ следует, что если функция $u$ $m$-гармоническая в $S$, то функция $\Lambda u$ тоже $m$-гармоническая в $S$. Рассмотрим $m$-гармоническую в $S$ функцию ${v} = {{\Lambda }^{{[k]}}}u$. Относительно этой функции получим следующую краевую задачу:

Лемма 2. Задача (6) эквивалентна задаче Дирихле

где функции ${{\psi }_{i}}(x)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, находятся из рекуррентных равенств

Если ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, то ${{\psi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$ при $i = 1,2, \ldots ,m$, а значит, ${{v}^{{(i)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$.

Доказательство. Пусть $v(x)$ – решение задачи (6). Рассмотрим $i$-е граничное условие этой задачи

С помощью биномиальной теоремы о факториальных степенях (см. [21]) запишем

Если обозначить ${{\left. {{{\Lambda }^{{[j]}}}v} \right|}_{{\partial S}}} = {{\psi }_{{j + 1}}}(x)$ и использовать полученную формулу в $i$-м граничном условии, сдвигая при этом индекс суммирования $j \to j - 1$, то найдем

где $i = 1,2, \ldots ,m$. Видно, что ${{\psi }_{i}}(x)$ находится из уравнений (8) единственным образом и поэтому $v(x)$ – решение задачи (7). Верно и обратное утверждение, поскольку

Для завершения доказательства леммы вспомним гладкость гармонических компонент ${{v}^{{(i)}}}(x)$ функции $v(x)$ из леммы 1. Лемма доказана.

Задача Дирихле из леммы 2 безусловно разрешима и ее решение можно находить по лемме 1.

Исследуем уравнение $v = {{\Lambda }^{{[k]}}}u$ относительно неизвестной функции $u(x)$ в $m$-гармонических в $S$ функциях. Достаточные условия разрешимости этого уравнения и будут достаточными условиями разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$.

Лемма 3. Пусть $v(x)$ – решение задачи (6). Уравнение $v(x) = {{\Lambda }^{{[k]}}}u(x)$ разрешимо в $m$-гармонических в $S$ функциях тогда и только тогда, когда $m$-гармоническая в $S$ функция $v(x)$ не имеет членов до $(k - 1)$-го порядка малости включительно в своем разложении в окрестности нуля. Решение $u(x)$ единственно с точностью до $m$-гармонических многочленов степени $k - 1$. Если $v \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ и $u(x)$ существует, то ${{\Lambda }^{i}}u \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ для любого $i = 0,1, \ldots ,k$.

Доказательство. Достаточность. Разложим функцию $v(x)$ в ряд в окрестности начала координат $v(x) = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty \,{{v}_{i}}(x)$, где ${{v}_{i}}(x)$ – однородные $m$-гармонические полиномы степени $i$ и ряд сходится равномерно в некоторой окрестности нуля $U \subset S$. При выполнении условия леммы мы имеем $v(x) = \sum\nolimits_{i = k}^\infty \,{{v}_{i}}(x)$. Рассмотрим функцию

где ${{a}_{i}} = {{( - 1)}^{{k - i - 1}}}i!{\kern 1pt} (k - i - 1)!$. Видно, что при $0 \leqslant i \leqslant k - 1$

Выберем $\mu > 0$ такое, что $\mu S \in U$. Поскольку при $0 \leqslant i < k$ интеграл

сходится, а других особенностей интеграл, задающий $u(x)$, не имеет, то функция $u(x)$ определена в $S$. Аналогичные рассуждения показывают, что функция $u(x)$ является также $m$-гармонической в $S$. Проверим выполнения уравнения ${{\Lambda }^{{[k]}}}u = {v}$ в $S$. Обозначим

В силу (9) будем иметь

Очевидно, что ${{Q}_{{k - 1}}}(\lambda ) - 1$ – действительный многочлен степени $k - 1$. Он имеет $k$ корней. Действительно, если $0 \leqslant j \leqslant k - 1$, то ${{\left. {\Lambda _{i}^{{[k]}}} \right|}_{{\Lambda = j}}} = {{a}_{i}}{{\delta }_{{i,j}}}$, где ${{\delta }_{{i,j}}}$ – символ Кронеккера и поэтому

Это значит, что ${{Q}_{{k - 1}}}(\Lambda ) - 1 \equiv 0$ и поэтому ${{\Lambda }^{{[k]}}}u(x) = {v}(x)$ в $S$.

Исследуем гладкость функций ${{\Lambda }^{i}}u$. Заметим, что $\sum\nolimits_{i = 0}^{k - 1} \,{{i}^{s}}{\text{/}}{{a}_{i}} = 0$ при $s = 0,1, \ldots ,k - 2$ и $\sum\nolimits_{i = 0}^{k - 1} \,{{i}^{{k - 1}}}{\text{/}}{{a}_{i}} = 1$. В силу (9) можно записать

и, аналогично, при $s = 0,1, \ldots ,k - 1$

Наконец,

Поэтому, если $v \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$, то ${{\Lambda }^{i}}u \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ для любого $i = 0,1, \ldots ,k$.

Необходимость. Пусть $u(x)$ – решение уравнения ${{\Lambda }^{{[k]}}}u = v$ в $m$-гармонических в $S$ функциях и $u(x) = \sum\nolimits_{i = 0}^\infty \,{{u}_{i}}(x)$ – разложение функции $u(x)$ в ряд в окрестности начала координат, $U \subset S$. Тогда из единственности разложения функции $u(x)$ в ряд и свойства ${{\Lambda }^{{[k]}}}{{u}_{i}}(x) = {{i}^{{[k]}}}{{u}_{i}}(x) = 0$, где $i = 0,1, \ldots ,k - 1$, получаем

т.е. ${{{v}}_{i}}(x) = 0$ при $i = 0,1, \ldots ,k - 1$. Более того, однородные многочлены ${{u}_{i}}(x)$, $i \geqslant k$, находятся единственным образом из равенства ${{\Lambda }^{{[k]}}}{{u}_{i}}(x) \equiv {{i}^{{[k]}}}{{u}_{i}}(x) = {{{v}}_{i}}(x)$. Наконец, если $u(x)$ – решение уравнения ${v}(x) = {{\Lambda }^{{[k]}}}u(x)$, а ${{R}_{{k - 1}}}(x)$ – некоторый полином степени $k - 1$, то $u(x) + {{R}_{{k - 1}}}(x)$ – тоже решение данного уравнения. Лемма доказана.

4. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ

Условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$, полученные в лемме 3, явным образом не связаны с граничными функциями задачи. Попытаемся из них получить достаточные условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$, похожие на необходимые условия разрешимости этой задачи из [11]. Необходимые условия разрешимости были получены на основании работы [24] и явным образом зависят от граничных функций задачи. Затем покажем, что найденные условия будут необходимыми и достаточными условиями разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$.

Рассмотрим следующий целочисленный треугольник (см. [12]):

где $p_{i}^{{(k)}}$ при $1 \leqslant i \leqslant k$, $k \in \mathbb{N}$, – элемент $k$-й строки треугольника $\mathbb{P}$, стоящий на $i$-м месте, и $p_{1}^{{(1)}} = 1$ – начальное условие, а $p_{i}^{{(k)}} = 0$ при $i > k$ и $0 \geqslant i$ – граничные условия для приведенного рекуррентного уравнения. Числа $p_{i}^{{(k)}}$ удовлетворяют равенству (см. [12])

Треугольник $\mathbb{P}$ называется треугольником Неймана, поскольку он играет важную роль в исследовании задач типа Неймана ${{\mathcal{N}}_{k}}$. Теорема 1 из [11] при $k \leqslant 2m$ имеет следующий вид.

Теорема 1. Пусть функции ${{\varphi }_{i}}(s)$ при $i = 1,2, \ldots ,m$ такие, что решение $u(x)$ задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ для однородного полигармонического уравнения (1) существует и оно такое, что $u \in {{C}^{{m + k - 1}}}(\bar {S})$. Тогда при всяком $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ таком, что $l < k$ должны быть выполнены следующие условия ортогональности:

где $p_{j}^{{(i)}}$ – элементы треугольника $\mathbb{P}$, ${{\lambda }_{0}} = [(k - l){\text{/}}2]$, ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$,

Число условий (12) при $l < k \leqslant 2m$ равно ${{N}_{k}} = [(k + 1){\text{/}}2][(k + 2){\text{/}}2]$.

Замечание 1. Гладкость решения в теореме 1 можно ослабить, т.е. достаточно требовать ${{\Lambda }^{i}}u \in C(\bar {S})$ при $i = 0,1, \ldots ,m + k - 1$. Поэтому, если ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, то из лемм 2 и 3 следует, что ${{\Lambda }^{i}}u \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ при $i = 0,1, \ldots ,k$, а значит, ${{\Lambda }^{i}}u \in C(\bar {S})$ для $i = 0,1, \ldots ,m + k - 1$. Следовательно, по теореме 1, при таких ${{\varphi }_{i}}(x)$ и $k \leqslant m$ из существования $u(x)$ следуют условия (12), т.е. условия (12) – необходимые условия задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$.

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ ${{\mathcal{N}}_{k}}$

Исследуем необходимые условия задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ из теоремы 1, когда $k \leqslant m$. В этом случае $2m + l - k + 1 \geqslant m + l + 1 > m$ и, значит, второй группы условий вида (12) не будет.

Рассмотрим случай, когда разность $(k - l)$ – четное число, где $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ и $l < k$. Выясним, что означают условия (12) при $k \leqslant m$ в терминах функции $v(x) = {{\Lambda }^{{[k]}}}u(x)$. В дальнейшем понадобится обобщенный символом Похгаммера ${{(a,b)}_{l}} = a(a + b) \cdots (a + (l - 1)b)$.

Лемма 4. Пусть $v(x)$ – решение задачи (6) и данные задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ удовлетворяют условиям (12) при четном $k - l$ и ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, $i = 1,2, \ldots ,m$. Тогда должны быть выполнены $(k - l){\text{/}}2$ следующих равенств:

где ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$.

Доказательство. Пусть условия (12) выполнены при четном $k - l$. Тогда ${{\lambda }_{0}} = (k - l){\text{/}}2$, $\lambda = (k - l){\text{/}}2,\;(k - l){\text{/}}2 + 1,\; \ldots ,\;k - l - 1$, ${{\delta }_{\lambda }} = 1,3, \ldots ,k - l - 1$, ${{\sigma }_{\lambda }} = (k - l){\text{/}}2 - 1,\;(k - l){\text{/}}2 - 2,\; \ldots ,\;0$ и число условий (12) равно ${{N}_{{m,k,l}}} = (k - l){\text{/}}2$,

В силу лемм 2 и 1 при ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, где $i = 1,2, \ldots ,m$, функция ${v}(x)$ обладает гладкостью $v \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$. С учетом равенств ${{\varphi }_{i}} = {{(\Lambda - k)}^{{[i - 1]}}}{v}$ на $\partial S$, оставляя первое равенство неизменным, вынося общий множитель ${{\Lambda }^{{[2]}}}$ во втором равенстве и т.д. и ${{\Lambda }^{{[k - l - 2]}}}$ – в последнем равенстве, получим

Обозначим $w = (\Lambda - k)(\Lambda - k - 2) \ldots (\Lambda - 2m - l + 2)v = $ ${{(\Lambda - k, - 2)}_{{m - (k - l)/2}}}v$. Тогда, согласно равенству ${{P}_{{[k]}}}(\lambda ) = {{(\lambda , - 2)}_{k}}$ (см. [11]), выражение под интегралом без множителя ${{H}_{l}}(x)$ в первом равенстве преобразуется к виду

во втором равенстве – к виду и, наконец, в последнем $(k - l)/2$-м равенстве к виду

Тогда полученные выше $(k - l)/2$ равенств можно записать в виде

Из первого и второго равенств следует $\int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x)wd{{s}_{x}} = \int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x)\Lambda wd{{s}_{x}} = 0$. Затем из третьего равенства – $\int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x){{(\Lambda - k - 1, - 2)}_{2}}wd{{s}_{x}} = 0$, и с учетом уже полученных следует $\int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x){{\Lambda }^{2}}wd{{s}_{x}} = 0$. Продолжая этот процесс, мы будем получать равенства вида $\int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x){{\Lambda }^{i}}wd{{s}_{x}} = 0$ при $i = 0,1, \ldots ,(k - l){\text{/}}2 - 2$. С их учетом из $\int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x){{(\Lambda - k - 1, - 2)}_{{(k - l)/2 - 1}}}wd{{s}_{x}} = 0$ получим $\int_{\partial S} \,{{H}_{l}}(x){{\Lambda }^{i}}wd{{s}_{x}} = 0$ при $i = 0,1, \ldots ,(k - l){\text{/}}2 - 1$. Из найденных равенств, в свою очередь, аналогичным образом следует, что

Вспоминая обозначение $w = {{(\Lambda - k, - 2)}_{{m - (k - l)/2}}}v$ и учитывая, что

где $i = 0,1, \ldots ,(k - l){\text{/}}2 - 1$, из (15) получим (14). Лемма доказана.

В дальнейшем исследовании необходима будет теорема 6 из [26].

Теорема 2. Пусть $w(x)$ – гармоническая в $S$ и непрерывная в $\bar {S}$ функция, тогда имеет место равенство

где $\{ {{G}_{{(\nu )}}}(x):\nu \in \mathbb{N}_{0}^{n},\;{{\nu }_{1}} \geqslant \ldots \geqslant {{\nu }_{n}},\;{{\nu }_{n}} = 0,1\} $ – полная система гармонических полиномов (см. [27]), а ${{g}_{\nu }} > 0$ – некоторая константа.

Обозначим через ${{v}_{l}}(x)$ малые $l$-го порядка малости в разложении $m$-гармонической в $S$ функции $v(x)$ в окрестности нуля.

Теорема 3. Пусть данные задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ удовлетворяют условиям (12) при четном $k - l$, имеют гладкость ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, а $m$-гармоническая функция ${v}(x)$, являющаяся решением задачи (6), имеет следующее разложение Альманси:

Тогда при четном $k - l$ верны равенства

Доказательство. Из лемм 2 и 1 следует, что при ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, гармонические компоненты функции $v(x)$ обладают гладкостью ${{v}^{{(i)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$, $i = 0,1, \ldots ,m - 1$, а значит, $v \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$. Кроме того, в силу леммы 4 верны равенства (14). Докажем, что в этом случае из равенств (14) вытекают условия (17).

Рассмотрим последнее равенство из (14). Применим к разложению Альманси функции $v(x)$ оператор ${{(\Lambda - l - 2, - 2)}_{{m - 1}}}$:

и рассмотрим гармоническую в $S$ функцию которая в силу гладкости ${{{v}}^{{(i)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ и последнего равенства из (14) удовлетворяет условию где ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$. Тогда из теоремы 2 следует, что $h_{l}^{{(0)}}(x) = 0$. В силу однородности оператора $\Lambda $ и определения обобщенного символа Похгаммера запишем

Поэтому $v_{l}^{{(0)}}(x) = 0$. Далее применим оператор ${{(\Lambda - l - 4, - 2)}_{{m - 2}}}$ к разложению Альманси функции $v(x)$:

и рассмотрим гармоническую в $S$ функцию которая в силу гладкости ${{{v}}^{{(i)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ и предпоследнего равенства из (14) удовлетворяет условию для произвольного однородного гармонического полинома ${{H}_{l}}(x)$. Тогда из теоремы 2 следует, что с учетом равенства $v_{l}^{{(0)}}(x) = 0$

Поэтому ${v}_{l}^{{(1)}}(x) = 0$. Продолжая этот процесс, будем иметь равенства ${v}_{l}^{{(i)}}(x) = 0$ при $i = 0,1, \ldots ,(k - l){\text{/}}2 - 2$. Наконец, применим оператор ${{(\Lambda - k, - 2)}_{{m - (k - l)/2}}}$ к разложению Альманси функции ${v}(x)$:

и рассмотрим гармоническую в $S$ функцию которая в силу гладкости ${{v}^{{(i)}}} \in {{C}^{{m - 1}}}(\bar {S})$ и первого равенства из (14) удовлетворяет равенству

Тогда по теореме 2, аналогично предыдущим случаям, с учетом равенств $v_{l}^{{(i)}}(x) = 0$, где $i = 0,1, \ldots ,(k - l){\text{/}}2 - 2$, имеем

Поэтому ${v}_{l}^{{((k - l)/2 - 1)}}(x) = 0$. Таким образом, при четных $k - l$ из равенств (14) вытекает, что ${v}_{l}^{{(0)}}(x) = {v}_{l}^{{(1)}}(x) = \ldots = {v}_{l}^{{((k - l)/2 - 1)}}(x) = 0$. Теорема доказана.

Случай нечетной разности $k - l$ при $l \in {{\mathbb{N}}_{0}}$ и $l < k$ доказывается аналогично. Поэтому, опуская соответствующие выкладки, сформулируем результат.

Теорема 4. Пусть данные задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ удовлетворяют условиям (12) при нечетном $k - l$, имеют гладкость ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, а $m$-гармоническая функция $v(x)$, являющаяся решением задачи (6), имеет следующее разложение Альманси в $S$:

Тогда при нечетном $k - l$ выполнены равенства

6. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Докажем, что необходимые условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$, полученные в теореме 1 при $k \leqslant m$, являются также и достаточными условиями, если данные задачи обладают необходимой гладкостью. Таким образом, предположение 1 из [11] при $k \leqslant m$ будет доказано.

Теорема 5. Пусть $k \leqslant m$ и ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, тогда необходимыми и достаточными условиями разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ являются ${{N}_{k}} = [(k + 1){\text{/}}2][(k + 2){\text{/}}2]$ условий

при $l = 0,1, \ldots ,k - 1$, $\lambda = [(k - l){\text{/}}2], \ldots ,k - l - 1$, ${{\delta }_{\lambda }} = 2\lambda - k + l + 1$, ${{\sigma }_{\lambda }} = k - l - \lambda - 1$, где ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$. Решение задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ существует и единственно с точностью до $m$-гармонических полиномов степени $k - 1$.

Доказательство. Достаточность. Пусть ${v}(x)$ – решение задачи (6)

По лемме 2 эта задача безусловно разрешима. По лемме 3 решение $u(x)$ задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ может быть получено из уравнения $v(x) = {{\Lambda }^{{[k]}}}u(x)$, которое решается в $m$-гармонических в $S$ функциях. Функцию $u(x)$ можно определить тогда и только тогда, когда $m$-гармоническая в $S$ функция $v(x)$ не имеет членов до $(k - 1)$-го порядка малости включительно в своем разложении в окрестности нуля. Функцию $v(x)$ представим в виде

и пусть гармонические компоненты $v(x)$ имеют следующее разложение в окрестности нуля:

Поскольку функции ${{\varphi }_{i}}(s)$ при $i = 1,2, \ldots ,m$ удовлетворяют условиям (12) при $k \leqslant m$, то из теорем 3 и 4 вытекает, что для функции ${v}(x)$ верны равенства (17) и (18). Из них следует, что

а значит, ${v}_{l}^{{(i)}} = 0$, если $i < (k - l){\text{/}}2$, где $0 \leqslant l \leqslant k - 1$. Отсюда ${v}_{j}^{{(i)}}(x) = 0$, если $2i + j < k$ и, следовательно, в разложении ${v}(x)$ в окрестности нуля: все однородные полиномы ${\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{2i}}}{v}_{j}^{{(i)}}(x)$, имеющие степени $deg{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{2i}}}{v}_{j}^{{(i)}}(x) = 2i + j < k$, обращаются в нуль. Поэтому условия леммы 3 выполнены, а значит, решение задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$ существует и единственно с точностью до $m$-гармонических полиномов степени $k - 1$. Достаточность условий (19) доказана.

Условия теоремы являются необходимыми и достаточными условиями разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$, поскольку по замечанию 1 при ${{\varphi }_{i}} \in {{C}^{{2m - i - 1 + \varepsilon }}}(\partial S)$, $i = 1,2, \ldots ,m$, условия (12) являются также и необходимыми условиями для задачи ${{\mathcal{N}}_{k}}$. Теорема доказана.

Замечание 2. Условия (19) при $k = 1$ (в этом случае получается ${{N}_{1}} = 1$ условий) совпадают с условием для задачи ${{\mathcal{N}}_{1}}$, полученным в [12], а при $k = 2$ (в этом случае получается ${{N}_{2}} = 2$ условия) совпадают с условиями для задачи ${{\mathcal{N}}_{2}}$ из [13].

Пример. Найдем необходимые и достаточные условия разрешимости задачи ${{\mathcal{N}}_{3}}$ для однородного $7$-гармонического уравнения. В соответствии с теоремой 5 будем иметь ${{N}_{3}} = 4$ условия вида (19). Если $l = 0$, то получаем $1 \leqslant \lambda \leqslant 2$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda - 1$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 5 + \lambda $ и, значит,

При $l = 1$ получаем $\lambda = 1$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda $, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 6 + \lambda $, и поэтому

При $l = 2$ получаем $\lambda = 0$, ${{\delta }_{\lambda }} + 1 = 2\lambda + 1$, $m - {{\sigma }_{\lambda }} = 7 + \lambda $ и, следовательно,

где ${{H}_{l}}(x)$ – произвольный однородный гармонический полином степени $l$, а числа $p_{i}^{{(k)}}$ – элементы 5-й, 6-й и 7-й строк треугольника Неймана $\mathbb{P}$ из (10).