Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 1, стр. 45-70

1. ВВЕДЕНИЕ

Принцип Лагранжа (ПЛ) и принцип максимума Понтрягина (ПМП) в их различных вариантах представляют собой классические условия оптимальности (КУО), вопросам формулировки и обоснования которых в теории оптимального управления распределенными системами посвящено большое число публикаций. Хорошо известно, что как ПЛ, так и ПМП были открыты благодаря, прежде всего, необходимости решения различных практических оптимизационных (экстремальных) задач (см., например, [1, гл. 1]–[5]. Однако возможности непосредственного применения ПЛ и ПМП для практического решения многих важных оптимизационных задач сильно ограничивают присущие этим КУО “от природы” свойства некорректности. Это, прежде всего, связано с тем, что различные проявления некорректности свойственны самим задачам оптимизации. К таким хорошо известным свойствам некорректности оптимизационных задач относятся свойства несуществования их решений и решений двойственных к ним задач, а также свойства неустойчивости решений как по аргументу, так и по функции (содержательные примеры такой некорректности можно найти, например, в [6, гл. 9]). Естественно, различные проявления некорректности характерны и для КУО. Говоря о некорректности КУО, в первую очередь мы имеем в виду такие ее проявления, как неустойчивость и невыполнимость КУО. Поясним смысл, который мы вкладываем в термины “неустойчивость” и “невыполнимость”. Мы говорим о неустойчивости КУО, если выделяемые ими в задачах, “близких” к исходной (невозмущенной) задаче элементы, формально удовлетворяющие КУО в этих возмущенных задачах, фактически не являются реальными приближениями к точному решению исходной задачи. Другими словами, при сколь угодно малых возмущениях оптимизационных задач эти удовлетворяюшие “возмущенным” КУО элементы могут сколь угодно сильно отличаться как по аргументу, так и по функции, от оптимальных элементов невозмущенных задач (см., например, [7], [8]). В свою очередь, невыполнимость КУО в той или иной конкретной задаче условной оптимизации мы понимаем как принципиальную невозможность записать их для этой задачи в той привычной (классической) форме, в которой принято записывать условия оптимальности в других задачах данного класса. Простейший пример невыполнимости принципа Лагранжа в задаче выпуклого, а точнее говоря, линейного программирования с ограничением-равенством в бесконечномерном пространстве, можно найти в [1, с. 260], другие содержательные примеры см. в [7], [8]. Указанные и многие подобные им примеры говорят о том, что КУО в каждой конкретной задаче условной оптимизации, в том числе и оптимального управления, априори следует считать математическими объектами, которым в полной мере присущи проявления некорректности, если не доказано обратное.

Настоящая статья посвящена методам преодоления свойств некорректности ПЛ и ПМП в линейно-выпуклых задачах оптимизации распределенных систем с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства и способам получения для таких задач регуляризованных ПЛ и ПМП в форме теорем существования обобщенных минимизирующих последовательностей – минимизирующих приближенных решений (МПР) в смысле Дж. Варги [9] (в математическом программировании такие последовательности получили название обобщенных планов [10]). Основное предназначение этих регуляризованных ПЛ и ПМП – устойчивое генерирование МПР в задачах оптимального управления для целей непосредственного практического устойчивого решения таких задач. Таким образом, указанные теоремы существования МПР дают регуляризирующие алгоритмы решения задач оптимального управления.

С общей точки зрения, рассматриваемая в работе задача оптимального управления может быть отнесена к классу задач выпуклого программирования в гильбертовом пространстве с конечным числом функциональных ограничений типа равенства и неравенства. Так как в подобных задачах, ввиду конечномерности образа оператора, задающего ограничения, проблема невыполнимости условий оптимальности в разрешимой задаче, по сути дела, снимается, то главное внимание в статье уделяется проблеме преодоления неустойчивости ПЛ и ПМП для таких задач. Неустойчивость КУО в задачах с ограничениями проявляет себя уже в самых простейших конечномерных задачах выпуклого программирования как с ограниченными, так и неограниченными множествами допустимых элементов (см., в частности, [7, пример 3]).

Наличие совсем простых примеров неустойчивости оптимизационных задач и соответствующих им КУО хорошо объясняет постоянный на протяжении многих лет интерес к проблеме неустойчивости в задачах условной оптимизации с функциональными ограничениями. В частности, подробное изложение основных существующих в настоящее время подходов к регуляризации в задачах с функциональными ограничениями типа равенства и неравенства может быть найдено в [6, гл. 9] (там же см. обширную библиографию).

Укажем две существенные, на наш взгляд, особенности настоящей работы. Во-первых, подчеркнем, что в данной работе мы занимаемся, по сути дела, не регуляризацией “самой задачи” условной минимизации, как это обычно принято в теории регуляризации [6], [11], [12]. Речь идет о регуляризации непосредственно КУО в оптимизационной задаче, которые при этом естественным образом трансформируются нами в теоремы существования МПР и одновременно в регуляризирующие алгоритмы для решения задач оптимального управления. Мы опираемся при этом на предложенный ранее в наших работах (см. данный журнал за 2007 г.) и основанный на теории двойственности подход к регуляризации в задачах условной оптимизации.

Во-вторых, регуляризация КУО нацелена здесь на преодоление их неустойчивости в задачах оптимизации распределенных систем, описываемых линейными функциональными (иначе, функционально-операторными) уравнениями II рода общего вида в пространствах $L_{2}^{m}$. Отличительная черта рассматриваемых нами уравнений – квазинильпотентность основного линейного оператора правой части. Подобным свойством обладают, прежде всего, различного рода вольтерровы операторы. Начиная с работ L.Tonelli [13] и А.Н.Тихонова [14] название “вольтерровы операторы” (операторы типа Вольтерра) присваивалось разными авторами различным семействам операторов со сходными свойствами (используются также названия: причинные операторы, наследственные операторы (см., например, [9, с. 233]) и др.). Подобные семейства выделялись как в классах интегральных (см., например, [15], [16]) и функциональных (см., например, [17]–[19]) операторов, так и в классах разного рода абстрактных операторов (см., например, [20]–[24]); краткий обзор определений вольтеррововсти см. в [25]. В случае линейных операторов определения вольтерровости обычно так или иначе связаны со свойством квазинильпотентности: либо это свойство включено в само определение вольтеррова оператора (см., например, [20, c. 10]), либо при естественных условиях следует из этого определения (см., например, определение [18] функционального оператора, “вольтеррова на системе множеств”, являющееся многомерным обобщением определения А.Н. Тихонова [14], и опирающийся на него цепочечный признак квазинильпотентности [26, теорема 2]). Поэтому рассматриваемые нами в данной статье функциональные уравнения можно назвать функциональными уравнениями вольтеррова типа. К таким уравнениям естественным образом (обращением главной части) сводятся самые разнообразные начально-краевые задачи для различных уравнений с частными производными (гиперболических, параболических, интегродифференциальных, систем таких уравнений, уравнений с запаздываниями разного рода и др., см., например, [25], разд. 5 данной статьи, обзор в [27]). Это позволило в настоящей работе получить регуляризованные ПЛ и ПМП единообразно для широкого класса распределенных оптимизационных задач. В качестве конкретных иллюстрирующих примеров рассматриваются задачи оптимального управления, связанные с системой дифференциальных уравнений с запаздыванием и с интегродифференциальным уравнением типа уравнения переноса.

Отметим, что в настоящей работе используется иное, нежели в [6, гл. 9], понятие регуляризирующего алгоритма для задачи условной оптимизации (см. определение 3.2), введенное ранее в [28]. Оно, как и производное от него понятие МПР-образующего алгоритма (см. определение 3.3) нацелено прежде всего на устойчивое построение МПР в задаче и “жестко привязано” именно к понятию МПР, органично учитывающему, как запросы строгой математической оптимизационной теории [9, гл. IV–VIII], так и потребности инженерной практики [9, гл. III], предполагающей неизбежное наличие у приближенных решений ненулевых “зазоров” как по выполнению ограничений задачи, так и по близости к значению (нижней грани) задачи. Понятие МПР-образующего алгоритма в совокупности с двойственным подходом позволяет получать регуляризованные КУО при очень общих предположениях об исходных данных задачи. Одновременно оно естественным образом “встраивается” в их формулировки. Используемое в статье понятие регуляризирующего алгоритма (определение 3.2) можно квалифицировать как занимающее промежуточное положение между применяемыми в [6, гл. 9] понятиями регуляризирующих алгоритмов первого типа (сходимость нижних граней, см. определение 1 [6, гл. 9, § 2, с. 802]) и второго типа (сходимость по аргументу, см. определение 1 [6, гл. 9, § 6, с. 837, 838]). Такое понятие регуляризирующего алгоритма позволяет конструировать соответствующие ему конкретные реализации путем естественной трансформации КУО при минимальных, на наш взгляд, дополнительных предположениях о задаче. Последнее связано с тем, что применяемый в работе подход к получению регуляризованных КУО (основанный на двойственности) не использует в своих конструкциях ни штрафные функции, ни расширение допустимого множества, ни стабилизацию исходной задачи. Отметим однако, что в отличие от регуляризирующих алгоритмов второго типа, применяемых в [6, гл. 9], предлагаемые нами конкретные реализации регуляризирующих алгоритмов сами по себе не гарантируют сильной сходимости приближенных решений к точному. Здесь тип сходимости (сильная, слабая) приближенных решений, т.е. элементов, составляющих МПР, к точному решению определяется дополнительными свойствами рассматриваемой оптимизационной задачи. Так, в условиях данной работы, ввиду сильной выпуклости функционала цели, в случае его субдифференцируемости можно говорить о сильной сходимости элементов МПР к точному решению задачи.

Ранее различные варианты регуляризованных КУО для задач оптимизации распределенных систем в случае параболических уравнений рассматривались в ряде наших работ (см., например, работу [8], а также библиографию в ней). В данной работе результаты регуляризации КУО представляются сразу для широкого класса распределенных систем, описываемых, как сказано выше, линейными функциональными уравнениями второго рода общего вида в пространствах типа ${{L}_{2}}$ при весьма общих условиях на правые части уравнений (предполагается лишь квазинильпотентность основного оператора правой части уравнения). В этом состоит принципиальное отличие ее результатов от результатов упомянутых работ: применяемый здесь подход позволяет единообразно получить регуляризованные КУО для обширного класса оптимизационных задач, существенно отличающихся от рассмотренных ранее в наших работах по регуляризации КУО в задачах оптимизации распределенных систем.

Работа состоит из введения и четырех основных разделов. Первый из них посвящен постановке задачи оптимального управления системой вольтеррова типа, описываемой линейным функционально-операторным уравнением II рода общего вида в пространстве $L_{2}^{m}$, с функциональными ограничениями. Здесь, в частности, вводятся необходимые далее понятия точной и приближенной оптимизационных задач, определения МПР и МПР-образующего алгоритма. Во втором разделе исходная задача оптимального управления переписывается в терминах эквивалентной задачи выпуклого программирования с сильно выпуклым целевым функционалом. Для этой вспомогательной задачи на основе результатов работ [7], [28] формулируется и доказывается соответствующий регуляризованный ПЛ. Третий раздел посвящен расшифровке результатов второго раздела в терминах исходной задачи оптимального управления, поставленной в первом разделе. Здесь в терминах исходной задачи последовательно формулируются теорема сходимости метода двойственной регуляризации, регуляризованный ПЛ и, в качестве следствия последнего, регуляризованный ПМП. Наконец, в последнем, четвертом разделе, в качестве приложения общих результатов третьего раздела рассматриваются два примера конкретных задач оптимального управления, связанных с системой дифференциальных уравнений с запаздыванием и с интегро-дифференциальным уравнением типа уравнения переноса.

Примем следующие обозначения и соглашения: ${{{\mathbf{R}}}^{n}}$ – пространство $n$-векторов-столбцов; $\mathop {\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }\nolimits_n $ и $\mathop {\left\| {\, \cdot \,} \right\|}\nolimits_n $ – евклидовы скалярное произведение и норма в ${{{\mathbf{R}}}^{n}}$; векторы, если не оговорено противное, считаются столбцами; * – знак сопряжения и транспонирования; $\Pi \subset {{{\mathbf{R}}}^{n}}$ – ограниченное и измеримое по Лебегу множество, играющее роль основного множества изменения независимых переменных, элементы которого обозначаем через $t \equiv \{ {{t}^{1}},...,{{t}^{n}}\} $; ${{L}_{p}}(\Pi )$ – лебегово пространство со стандартной нормой ($1 \leqslant p \leqslant \infty $); $L_{p}^{m} \equiv L_{p}^{m}(\Pi ) \equiv {{({{L}_{p}}(\Pi ))}^{m}}$ ($1 \leqslant p \leqslant \infty $); $\mathop {\left\| {\, \cdot \,} \right\|}\nolimits_{p,m} $ – стандартная норма прямого произведения в $L_{p}^{m}$; $\mathop {\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle }\nolimits_{2,m} $ – стандартное скалярное произведение в $L_{2}^{m}$; $L_{p}^{{m \times l}} \equiv L_{p}^{{m \times l}}(\Pi )$ – пространство $(m \times l)$-матриц-функций с элементами из ${{L}_{p}}(\Pi )$; $\mathop {\left\| {\, \cdot \,} \right\|}\nolimits_{p,m \times l} $ – стандартная норма прямого произведения в $L_{p}^{{m \times l}}$.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

3. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЗАДАЧА ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ЛАГРАНЖА

4. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ КЛАССИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ

5. ПРИМЕРЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ КЛАССИЧЕСКИХ УСЛОВИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В КОНКРЕТНЫХ ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Естественный переход от начально-краевой задачи к эквивалентному ей функциональному уравнению II рода вольтеррова типа осуществляется с помощью обращения главной части задачи. Разнообразные конкретные примеры начально-краевых задач (для параболических, гиперболических, интегродифференциальных уравнений с частными производными и систем таких уравнений, различных уравнений с запаздывающим аргументом и др.), которые допускают эквивалентное описание с помощью функциональных уравнений вольтеррова типа можно найти, например, в [25] (см. также обзор в [27]). Из огромного множества самых различных подобных начально-краевых задач мы для иллюстрации изложенной выше теории выбрали две: начальную задачу для системы с запаздыванием и начально-краевую задачу для интегродифференциального уравнения типа уравнения переноса. В конце каждого примера выписываются те основные конструкции, которые и участвуют в формулировке регуляризованных КУО (формирующая критерий минимума функционала Лагранжа функция, сопряженное уравнение, … ). Сформулировать с их помощью соответствующие регуляризованные КУО – конкретные реализации теорем 4.1, 4.2, 4.3 читателю не составит большого труда.

Пример 1. Оптимизационная задача с терминальными ограничениями для системы с запаздыванием. Пусть $n = 1$, $\Pi = [0,1]$; $\rho \in (0,1)$ – фиксированное число; $\eta \in {{{\mathbf{R}}}^{m}}$ – фиксированный вектор; $\alpha ({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ),\beta ({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{{m \times m}}$, $\gamma ({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{\infty }^{{m \times s}}$, $\xi ({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{\infty }^{m}[ - \rho ,0]$ – фиксированные функции. Рассмотрим начальную задачу для линейной управляемой системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом ($x(.)$ – это $m$-вектор-функция)

где $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$ – управление. Решение начальной задачи (5.1), (5.2) понимаем как решение в смысле “почти всюду” из пространства ${{(W_{2}^{1}[0,1])}^{m}}$ абсолютно непрерывных функций, рассматривая первое из условий (5.2) как требуемое в (5.1) условие доопределения $x(t)$ слева от $t = 0$: $x(t - \rho ) = \xi (t - \rho )$ при $t - \rho < 0$. Приведем задачу (5.1), (5.2) к эквивалентному уравнению вида (2.1), показав тем самым, что каждому $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$ отвечает единственное в классе $W$ функций $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{(W_{2}^{1}[0,1])}^{m}}$, удовлетворяющих второму условию (5.2), решение этой задачи. Для этого сделаем в (5.1), (5.2) замену по формуле устанавливающей взаимно однозначное соответствие между классом $W$ функций $x(.)$ и пространством $L_{2}^{m}$ функций $z(.)$. “Подставляя” (5.3) в (5.1) (с учетом при $t \in [0,\rho )$ первого условия (5.2)), получаем Положим $\omega (t) \equiv \{ \xi (t - \rho ),\;t \in [0,\;\rho );\eta ,\;t \in [\rho ,\;1]\} $, $t \in [0,\;1]$; ${{\Sigma }_{1}}[z](t) \equiv \int_0^t \,z(\zeta )d\zeta ,\quad {{\Sigma }_{2}}[z](t) \equiv $ ${{\Sigma }_{2}}[z](t) \equiv \left\{ {{{0}_{m}},t \in [0,\rho ];\int_0^{t - \rho } \,z(\zeta )d\zeta ,t \in (\rho ,1]} \right\}$, $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{m}$, где ${{0}_{m}}$ – ноль в ${{{\mathbf{R}}}^{m}}$. Используя введенные обозначения, запишем систему (5.4), (5.5) в виде Уравнение (5.6) и есть уравнение вида (2.1), эквивалентное начальной задаче (5.1), (5.2). Здесь $\Pi \equiv [0,1];$ $A[z](t) \equiv \alpha (t){{\Sigma }_{1}}[z](t) + \beta (t){{\Sigma }_{2}}[z](t)$, $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{m}$, $t \in \Pi $ (квазинильпотентность оператора $A[{\kern 1pt} .{\kern 1pt} ]:L_{2}^{m} \to L_{2}^{m}$ легко проверяется, например, с помощью цепочечного признака [26]); $B[u](t) \equiv \gamma (t)u(t)$, $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$, $t \in \Pi ;$ $c(t) \equiv \alpha (t)\eta + \beta (t)\omega (t)$, $t \in \Pi $. Если $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in W$ – решение задачи (5.1), (5.2) при некотором $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$, то связанная с $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ формулой (5.3) функция $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{m}$ есть решение уравнения (5.6) при том же $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$. И наоборот, если $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{m}$ – решение уравнения (5.6) при данном $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$, то функция $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$, связанная с $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ формулой (5.3), есть решение класса $W$ задачи (5.1), (5.2) при этом $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$. Отвечающие управлению $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$ решения задачи (5.1)–(5.2) и уравнения (5.6) обозначим через ${{x}_{u}}$ и ${{z}_{u}}$ соответственно.

Пусть задано следующее: выпуклые функции ${{G}_{i}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ):{{{\mathbf{R}}}^{m}} \to {\mathbf{R}},$ $i = 1,...,k$; векторы ${{{\mathbf{a}}}_{j}} \in {{{\mathbf{R}}}^{m}},$ $j = 1,...,r$; действительные числа ${{{\mathbf{d}}}_{j}},\;j = 1,...,r$; выпуклое ограниченное и замкнутое множество $\mathcal{D}$ пространства $L_{2}^{s}$. Формулами ${{F}_{i}}[x] \equiv {{G}_{i}}(x(1))$, $i = 1,...,k$, и ${{Q}_{j}}[x] \equiv \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}},x(1)} \right\rangle }\nolimits_m $, $j = 1,...,r$, для $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{(W_{2}^{1}[0,1])}^{m}}$ определены терминальные функционалы. Рассмотрим задачу оптимального управления системой (5.1), (5.2) c минимизируемым целевым функционалом ${{F}_{0}}[u] \equiv \mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{2,s}^2 $, $u \in L_{2}^{s}$, при функциональных ограничениях

и множестве допустимых управлений $\mathcal{D}$. Эту задачу символически запишем в виде

Сделав в задаче (5.8) замену (5.3), получим эквивалентную задачу оптимизации управляемой системы (5.6). При этом функциональные ограничения (5.7) преобразуются в ограничения

где ${{W}_{i}}[z] \equiv {{G}_{i}}\left( {\eta + \int_0^1 \,z(\zeta )d\zeta } \right)$ $(i = 1,...,k)$ – выпуклые функционалы на $L_{2}^{m}$, ${{E}_{j}}[z] \equiv \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}},z} \right\rangle }\nolimits_{2,m} $ $(j = 1,...,r)$ – линейные функционалы на $L_{2}^{m}$, ${{d}_{j}} \equiv {{{\mathbf{d}}}_{j}} - \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}},\eta } \right\rangle }\nolimits_m $ $(j = 1,...,r)$ – числа. Эту задачу оптимизации управляемой системы (5.6), эквивалентную задаче (5.8), запишем в виде Это задача вида (2.4), здесь ${{J}_{0}}[u] \equiv {{F}_{0}}[u]$ ($K[z] \equiv 0,$ $M[u] \equiv {{F}_{0}}[u]$); ${{J}_{i}}[u] \equiv {{\mathcal{J}}_{i}}[{{z}_{u}},u] \equiv {{W}_{i}}[{{z}_{u}}]$ (${{\mathcal{J}}_{i}}[z,u] \equiv {{W}_{i}}[z]$) $(i = 1,...,k);$ ${{I}_{j}}[u] \equiv {{\mathcal{I}}_{j}}[{{z}_{u}},u] \equiv {{E}_{j}}[{{z}_{u}}]$ (${{\mathcal{I}}_{j}}[z,u] \equiv {{E}_{j}}[z]$) $(j = 1,...,r).$

Пусть ${\text{f}} \equiv \{ \eta ,\alpha ,\beta ,\gamma ,\xi ;{{G}_{i}}(i = 1,...,k);$ ${{{\mathbf{a}}}_{j}},{{{\mathbf{d}}}_{j}}(j = 1,...,r)\} $ – набор входных данных задачи (5.8), которые могут подвергаться возмущению, и точный набор ${{{\text{f}}}^{0}} \equiv \{ {{\eta }^{0}},{{\alpha }^{0}},{{\beta }^{0}},{{\gamma }^{0}},{{\xi }^{0}};G_{i}^{0}(i = 1,...,k);$ ${\mathbf{a}}_{j}^{0},{\mathbf{d}}_{j}^{0}(j = 1,...,r)\} $ нам не известен, но можно оперировать с приближенными наборами ${{{\text{f}}}^{\delta }} \equiv \{ {{\eta }^{\delta }},{{\alpha }^{\delta }},{{\beta }^{\delta }},{{\gamma }^{\delta }},{{\xi }^{\delta }};G_{i}^{\delta }(i = 1,...,k);$ ${\mathbf{a}}_{j}^{\delta },{\mathbf{d}}_{j}^{\delta }(j = 1,...,r)\} $, $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ (${{\delta }_{0}} > 0$ фиксировано), которые связаны с набором ${{{\text{f}}}^{0}}$ следующими условиями 1–3.

Условие 1. Функции $G_{i}^{\delta }({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ):{{{\mathbf{R}}}^{m}} \to {\mathbf{R}}$ $(i = 1,...,k)$ выпуклы при любом $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ и равномерно по $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ липшицевы на любом ограниченном множестве.

Заметим, что условие 1 выполняется, в частности, если функции $G_{i}^{\delta }({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ):{{{\mathbf{R}}}^{m}} \to {\mathbf{R}}$ $(i = 1,...,k)$ выпуклы при любом $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ и равномерно по $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ ограничены на любом ограниченном множестве пространства ${{{\mathbf{R}}}^{m}}$ (см., например, [32, теорема 8.2]).

Условие 2. Существует постоянная ${\mathbf{C}} > 0$ такая, что при любом $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ величины ${{\left\| {{{\eta }^{\delta }} - {{\eta }^{0}}} \right\|}_{m}}$, ${{\left\| {{{\alpha }^{\delta }} - {{\alpha }^{0}}} \right\|}_{{2,m \times m}}}$, ${{\left\| {{{\beta }^{\delta }} - {{\beta }^{0}}} \right\|}_{{2,m \times m}}}$, ${{\left\| {{{\gamma }^{\delta }} - {{\gamma }^{0}}} \right\|}_{{2,m \times s}}}$, ${{\left\| {{{\xi }^{\delta }} - {{\xi }^{0}}} \right\|}_{{L_{\infty }^{m}[ - \rho ,0]}}}$; ${{\left\| {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta } - {\mathbf{a}}_{j}^{0}} \right\|}_{m}}$, $\left| {{\mathbf{d}}_{j}^{\delta } - {\mathbf{d}}_{j}^{0}} \right|$ $(j = 1,...,r)$ не превосходят величины ${\mathbf{C}}\delta $.

Условие 3. Существует неубывающая функция ${{{\mathbf{N}}}_{1}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ):{{{\mathbf{R}}}_{ + }} \to {{{\mathbf{R}}}_{ + }}$ такая, что для каждого $l > 0$ и любого $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ величина $\left| {G_{i}^{\delta }(y) - G_{i}^{0}(y)} \right|$ при $\mathop {\left\| y \right\|}\nolimits_m \leqslant l$ не превосходит величины ${{{\mathbf{N}}}_{1}}(l)\delta $ $(i = 1,...,k).$

При любом $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ мы имеем управляемую начальную задачу

набор функциональных ограничений где $F_{i}^{\delta }[x] \equiv G_{i}^{\delta }(x(1))(i = 1,...,k)$, $Q_{j}^{\delta }[x] \equiv {{\left\langle {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta },x(1)} \right\rangle }_{m}}$ $(j = 1,...,r)$, и задачу оптимального управления где $x_{u}^{\delta }(.)$ – отвечающее управлению $u(.)$ решение начальной задачи (5.9), (5.10).

Сделав в задаче (5.12) замену

получим эквивалентную задачу оптимизации управляемой системы где принято обозначение ${{\omega }^{\delta }}(t) \equiv \{ {{\xi }^{\delta }}(t - \rho ),t \in [0,\rho );{{\eta }^{\delta }},t \in [\rho ,1]\} $, $t \in \Pi $. При этом ограничения (5.11) преобразуются в функциональные ограничения где $W_{i}^{\delta }[z] \equiv G_{i}^{\delta }\left( {{{\eta }^{\delta }} + \int_0^1 \,z(\zeta )d\zeta } \right)(i = 1,...,k)$ – выпуклые функционалы на $L_{2}^{m}$, $E_{j}^{\delta }[z] \equiv {{\left\langle {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta },z} \right\rangle }_{{2,m}}}$ $(j = 1,...,r)$ – линейные функционалы на $L_{2}^{m}$, $d_{j}^{\delta } \equiv {\mathbf{d}}_{j}^{\delta } - {{\left\langle {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta },{{\eta }^{\delta }}} \right\rangle }_{m}}$ $(j = 1,...,r)$. Эту задачу оптимизации системы (5.13) запишем в виде где $z_{u}^{\delta }({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ – отвечающее управлению $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ решение уравнения (5.13).

Положив ${{A}^{\delta }}[z](t) \equiv {{\alpha }^{\delta }}(t){{\Sigma }_{1}}[z](t) + {{\beta }^{\delta }}(t){{\Sigma }_{2}}[z](t)$, $t \in \Pi $, $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{m}$; ${{B}^{\delta }}[u](t) \equiv {{\gamma }^{\delta }}(t)u(t),$ $t \in \Pi ,\;u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in L_{2}^{s}$; ${{c}^{\delta }}(t) \equiv {{\alpha }^{\delta }}(t){{\eta }^{\delta }} + {{\beta }^{\delta }}(t){{\omega }^{\delta }}(t)$, $t \in \Pi $, переписываем уравнение (5.13) в форме (2.7). Задача (5.14) имеет вид ($O{{C}^{\delta }}$), в данном случае $J_{0}^{\delta }[u] \equiv {{F}_{0}}[u]$ (${{K}^{\delta }}[z] \equiv 0,$ ${{M}^{\delta }}[u] \equiv {{F}_{0}}[u]$); $J_{i}^{\delta }[u] \equiv \mathcal{J}_{i}^{\delta }[{{z}_{u}},u] \equiv W_{i}^{\delta }[{{z}_{u}}]$ ($\mathcal{J}_{i}^{\delta }[z,u] \equiv W_{i}^{\delta }[z]$) $(i = 1,...,k);$ $I_{j}^{\delta }[u] \equiv \mathcal{I}_{j}^{\delta }[{{z}_{u}},u] \equiv E_{j}^{\delta }[{{z}_{u}}]$ ($\mathcal{I}_{j}^{\delta }[z,u] \equiv E_{j}^{\delta }[z]$) $(j = 1,...,r).$

При сделанных относительно семейства задач (5.12), $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$, предположениях семейство задач (5.14), $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$, удовлетворяет условиям А–В. Действительно, условия А, Б получаются элементарными выкладками из предположений в условиях 1–3 и 2 соответственно. Чтобы доказать выполнение условия В, оценим при произвольных $l > 0$ и $z \in L_{2}^{m}$ таких, что $\mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{2,m} \leqslant l$, для $i \in \left\{ {1,2,...,k} \right\},$ $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ величину $\left| {W_{i}^{\delta }[z] - W_{i}^{0}[z]} \right| \equiv $ $\left| {G_{i}^{\delta }\left( {{{\eta }^{\delta }} + \int_0^1 \,z(\zeta )d\zeta } \right) - G_{i}^{0}\left( {{{\eta }^{0}} + \int_0^1 \,z(\zeta )d\zeta } \right)} \right|$. Имеем

В силу условия 3 и неравенства ${{\left\| {{{\eta }^{\delta }} - {{\eta }^{0}}} \right\|}_{m}} \leqslant {\mathbf{C}}\delta $ из условия 2, первое слагаемое правой части (5.15) не превосходит величины ${{{\mathbf{N}}}_{1}}\left( {l + {{{\left\| {{{\eta }^{0}}} \right\|}}_{m}} + {\mathbf{C}}{{\delta }_{0}}} \right)\delta $. Функция $G_{i}^{0}:{{{\mathbf{R}}}^{m}} \to {\mathbf{R}}$ липшицева на любом ограниченном множестве пространства ${{{\mathbf{R}}}^{m}}$. То есть существует неубывающая функция $\mu ({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ):{{{\mathbf{R}}}_{ + }} \to {{{\mathbf{R}}}_{ + }}$ такая, что $\left| {G_{i}^{0}({{y}_{1}}) - G_{i}^{0}({{y}_{2}})} \right| \leqslant \mu ({\mathbf{l}})\mathop {\left\| {{{y}_{1}} - {{y}_{2}}} \right\|}\nolimits_m ,$ если $\mathop {\left\| {{{y}_{1}}} \right\|}\nolimits_m \leqslant {\mathbf{l}},$ $\mathop {\left\| {{{y}_{2}}} \right\|}\nolimits_m \leqslant {\mathbf{l}}.$ А так как то второе слагаемое правой части (5.15) не больше величины $\mu \left( {l + {\mathbf{C}}\delta + {{{\left\| {{{\eta }^{0}}} \right\|}}_{m}}} \right){{\left\| {{{\eta }^{\delta }} - {{\eta }^{0}}} \right\|}_{m}}$, не превосходящей величины $\mu \left( {l + {\mathbf{C}}{{\delta }_{0}} + {{{\left\| {{{\eta }^{0}}} \right\|}}_{m}}} \right){\mathbf{C}}\delta $. Таким образом, условие В выполняется с функцией ${{N}_{1}}(l) \equiv {\mathbf{C}} \cdot \mu \left( {l + {\mathbf{C}}{{\delta }_{0}} + {{{\left\| {{{\eta }^{0}}} \right\|}}_{m}}} \right) + {{{\mathbf{N}}}_{1}}\left( {l + {\mathbf{C}}{{\delta }_{0}} + {{{\left\| {{{\eta }^{0}}} \right\|}}_{m}}} \right)$, $l > 0$.

Предположив дополнительно, что функции $G_{i}^{\delta },i = 1,...,k,$ $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$, гладкие, можем выписать для этого примера критерии (4.7) и (4.15) решения задачи (4.5). Прямые вычисления дают ${{\Phi }^{\delta }}[\bar {u}](t) \equiv 0,$ ${{\phi }^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ](t) \equiv {{\Upsilon }^{\delta }}[\bar {u}](t) \equiv 2\bar {u}(t)$, $t \in \Pi $; $\Omega _{i}^{\delta }[\bar {u}](t) \equiv (G_{i}^{{\delta /}}(x_{{\bar {u}}}^{\delta }(1))){\kern 1pt} *$, $t \in \Pi $ $(i = 1,...,k)$; $a_{j}^{\delta }(t) \equiv {\mathbf{a}}_{j}^{\delta }$, $t \in \Pi $ $(j = 1,...,r)$. По определению сопряженного оператора

где То есть уравнение (4.12) можно записать в виде где

${{h}^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ] \equiv \sum\nolimits_{i = 1}^k \,{{\mu }_{i}}(G_{i}^{{\delta /}}(x_{{\bar {u}}}^{\delta }(1))){\kern 1pt} * + \sum\nolimits_{j = 1}^r \,{{\lambda }_{j}}{\mathbf{a}}_{j}^{\delta }$.

Функция ${{\Psi }^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ],$ формирующая критерии (4.7) и (4.15), которым удовлетворяет решение ${{u}^{\delta }}[\lambda ,\mu ]$ задачи (4.5), задается формулой

где ${{\psi }^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ]$ – решение сопряженного уравнения (5.16). Это уравнение вольтеррова типа. Единственное в $L_{2}^{m}$ решение ${{\psi }^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ]$ уравнения (5.16) абсолютно непрерывно на $\Pi $ и принадлежит классу ${{(W_{2}^{1}(\Pi ))}^{m}}$. Уравнение (5.16) эквивалентно системе уравнений состоящей из задачи Коши (5.17) для обыкновенного дифференциального уравнения, рассматриваемого на отрезке $1 - \rho \leqslant t \leqslant 1$, с условием Коши в точке $t = 1$, и начальной задачи (5.18), (5.19) для рассматриваемого на отрезке $0 \leqslant t \leqslant 1 - \rho $ дифференциального уравнения с опережением (5.18), в которой условие (5.19) играет роль условия Коши в точке $t = 1 - \rho $; требуемое в уравнениях (5.18) и (5.19) доопределение функции $\psi $ справа от точки $t = 1 - \rho $ обеспечивается задачей Коши (5.17).

Пример 2. Оптимизационная задача с интегральными ограничениями для интегродифференциального уравнения типа уравнения переноса. Пусть $n = 3,$ $\Pi = [0,1] \times [0,1] \times [ - 1,1]$. Рассмотрим на $\Pi $ следующую краевую задачу для линейного интегродифференциального уравнения (краевая задача (5.20) подобна смешанной задаче для простейшего линейного нестационарного интегродифференциального уравнения переноса (см., например, [33]–[35])

где $\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;\varphi ,\;{{\psi }_{1}},\;{{\psi }_{2}},\;Y$ – фиксированные измеримые по совокупности переменных и ограниченные скалярные функции, $u(.) \in {{L}_{2}}$ – управление. Левую часть уравнения (5.20) понимаем как полную производную функции $x(.)$ по переменной ${{t}^{1}}$ вдоль характеристики дифференциального выражения, стоящего в левой части. Такую производную от $x(.)$ вдоль характеристики $l$ будем обозначать $\partial x(.){\text{/}}\partial l$. Пусть $W$ – класс всех функций $x(.)$ из ${{L}_{2}}$, абсолютно непрерывных вдоль почти любой характеристики $l$ и таких, что (перебирая все характеристики $l$, имеем) $\partial x(.){\text{/}}\partial l \in {{L}_{2}}$. Функцию $x(.)$ из $W$ назовем решением задачи (5.20), отвечающим управлению $u(.),$ если она почти везде (по линейной мере) на почти каждой $l$ в $\Pi $ удовлетворяет уравнению (5.20) и почти всюду удовлетворяет краевым условиям (5.20). Характеристика $l = l(\bar {t})$, проходящая через точку $\bar {t} = \{ {{\bar {t}}^{1}},{{\bar {t}}^{2}},{{\bar {t}}^{3}}\} $, задается уравнениями $\{ {{t}^{1}} = \xi ,{{t}^{2}} = {{\bar {t}}^{2}} + {{\bar {t}}^{3}}(\xi - {{\bar {t}}^{1}}),{{t}^{3}} = {{\bar {t}}^{3}}\} $, где $\xi $ – параметр. Она обязательно пересекает границу $\Pi $ в одной из тех ее частей, где или ${{t}^{1}} = 0$, или ${{t}^{2}} = 0$, ${{t}^{3}} > 0$, или ${{t}^{2}} = 1$, ${{t}^{3}} < 0$; значение ${{t}^{1}}$ в соответствующей точке пересечения обозначим через $\nu (\overline t )$. Из краевых условий (5.20) следует, что $x\left( {\nu (\bar {t}),{{{\bar {t}}}^{2}} + {{{\bar {t}}}^{3}}(\nu (\bar {t}) - {{{\bar {t}}}^{1}}),{{{\bar {t}}}^{3}}} \right) = \theta (\bar {t})$, где $\bar {t} \in \Pi $. Формула где устанавливает взаимно однозначное соответствие между классом ${{L}_{2}}$ функций $z({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ и классом удовлетворяющих краевым условиям (5.20) функций $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ из $W$. Задача (5.20) заменой (5.22) сводится к эквивалентному функциональному уравнению (2.1), в котором $n = 3$, $m = 1$, $s = 1$, $\Pi = [0,1] \times [0,1] \times [ - 1,1]$; Так как ЛОО $A[{\kern 1pt} .{\kern 1pt} ]:{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$ квазинильпотентен (это простое следствие признака [26]), то указанное уравнение (2.1), а вместе с ним и краевая задача (5.20), имеет единственное решение для любого $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}$. Отвечающее управлению $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}$ решение ${{x}_{u}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ задачи (5.20) связано с соответствующим решением ${{z}_{u}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ уравнения (2.1) формулой (5.22).

Пусть заданы: выпуклые функции ${{G}_{0}}(y):{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}$, ${{G}_{i}}(y,w):{\mathbf{R}} \times {\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}},$ $i = 1,...,k$; функции ${{{\mathbf{a}}}_{j}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}$ и ${{{\mathbf{b}}}_{j}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}},$ действительные числа ${{{\mathbf{d}}}_{j}},j = 1,...,r$. Формулами ${{F}_{0}}[x,u] \equiv {{G}_{0}}\left( {\int_\Pi \,x(t)dt} \right) + \mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{2,1}^2 $, ${{F}_{i}}[x,u] \equiv {{G}_{i}}\left( {\int_\Pi \,x(t)dt,\int_\Pi \,u(t)dt} \right),$ ${{Q}_{j}}[x,u] \equiv \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ),x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )} \right\rangle }\nolimits_{2,1} + \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{b}}}_{j}}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ),u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )} \right\rangle }\nolimits_{2,1} $ при $i = 1,...,k$, $j = 1,...,r$ для $x({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in W,$ $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}$ определены функционалы. Пусть $\mathcal{D}$ – выпуклое ограниченное и замкнутое множество пространства ${{L}_{2}}$. Рассмотрим задачу оптимального управления системой (5.20) c минимизируемым целевым функционалом ${{F}_{0}}[x,u]$ при функциональных ограничениях

и множестве допустимых управлений $\mathcal{D}$. Эту задачу символически запишем в виде

Сделав в задаче (5.24) замену (5.22), получим эквивалентную задачу оптимизации соответствующей управляемой системы (2.1). При этом минимизируемый функционал принимает вид ${{W}_{0}}[z,u] \equiv {{F}_{0}}[\theta + {{\Sigma }_{1}}[z],u]$, $z(.) \in {{L}_{2}},u(.) \in {{L}_{2}}$, а функциональные ограничения (5.23) преобразуются в ограничения

где ${{W}_{i}}[z,u] \equiv {{F}_{i}}[\theta + {{\Sigma }_{1}}[z],u]$ $(i = 1,...,k)$ – выпуклые функционалы на ${{L}_{2}} \times {{L}_{2}}$, ${{E}_{j}}[z,u] \equiv \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}},{{\Sigma }_{1}}[z]} \right\rangle }\nolimits_{2,1} + \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{b}}}_{j}},u} \right\rangle }\nolimits_{2,1} $ ${{E}_{j}}[z,u] \equiv \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}},{{\Sigma }_{1}}[z]} \right\rangle }\nolimits_{2,1} + \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{b}}}_{j}},u} \right\rangle }\nolimits_{2,1} $ $(j = 1,...,r)$ – линейные функционалы на ${{L}_{2}} \times {{L}_{2}}$, ${{d}_{j}} \equiv {{{\mathbf{d}}}_{j}} - \mathop {\left\langle {{{{\mathbf{a}}}_{j}},\theta } \right\rangle }\nolimits_{2,1} $ $(j = 1,...,r)$. Полученную задачу оптимизации управляемой системы (2.1), эквивалентную задаче (5.24), запишем в виде Это задача вида (2.4), здесь ${{J}_{i}}[u] \equiv {{\mathcal{J}}_{i}}[{{z}_{u}},u] \equiv {{W}_{i}}[{{z}_{u}},u]$ $(i = 0,1,...,k),$ ${{I}_{j}}[u] \equiv {{\mathcal{I}}_{j}}[{{z}_{u}},u] \equiv {{E}_{j}}[{{z}_{u}},u]$ $(j = 1,...,r)$, $K[z] \equiv {{G}_{0}}\left( {\int_\Pi \,\left( {\theta (t) + {{\Sigma }_{1}}[z](t)} \right)dt} \right)$, $M[u] \equiv \mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{2,1}^2 $.

Пусть ${\text{f}} \equiv \left\{ {\alpha ,\beta ,\gamma ,Y,\varphi ,{{\psi }_{1}},{{\psi }_{2}};} \right.$ ${{G}_{i}}(i = 0,1,...,k)$; $\left. {{{{\mathbf{a}}}_{j}},{{{\mathbf{b}}}_{j}},{{{\mathbf{d}}}_{j}}(j = 1,...,r)} \right\}$ – набор входных данных задачи (5.24), которые могут подвергаться возмущению, и точный набор

нам не известен, но можно оперировать с приближенными наборами (${{\delta }_{0}} > 0$ фиксировано), которые связаны с набором ${{{\text{f}}}^{0}}$ следующими условиями.

Условие 4. Функции $G_{0}^{\delta }({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ):{\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}$ и $G_{i}^{\delta }(.,.):{\mathbf{R}} \times {\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}$ $(i = 1,...,k)$ выпуклы при любом $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ и равномерно по $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ липшицевы на любом ограниченном множестве.

Условие 5. Существует постоянная ${\mathbf{C}} > 0$ такая, что величины ${{\left\| {{{\alpha }^{\delta }} - {{\alpha }^{0}}} \right\|}_{{\infty ,1}}}$; ${{\left\| {{{\beta }^{\delta }} - {{\beta }^{0}}} \right\|}_{{\infty ,1}}}$; ${{\left\| {{{\gamma }^{\delta }} - {{\gamma }^{0}}} \right\|}_{{\infty ,1}}}$; ${{\left\| {{{Y}^{\delta }} - {{Y}^{0}}} \right\|}_{{\infty ,1}}}$; ${{\left\| {{{\varphi }^{\delta }} - {{\varphi }^{0}}} \right\|}_{{{{L}_{\infty }}([0,1] \times [ - 1,1])}}}$; ${{\left\| {\psi _{1}^{\delta } - \psi _{1}^{0}} \right\|}_{{{{L}_{\infty }}([0,1] \times [0,1])}}}$; ${{\left\| {\psi _{2}^{\delta } - \psi _{2}^{0}} \right\|}_{{{{L}_{\infty }}([0,1] \times [ - 1,0])}}}$; ${{\left\| {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta } - {\mathbf{a}}_{j}^{0}} \right\|}_{{2,1}}}$, ${{\left\| {{\mathbf{b}}_{j}^{\delta } - {\mathbf{b}}_{j}^{0}} \right\|}_{{2,1}}}$, $\left| {{\mathbf{d}}_{j}^{\delta } - {\mathbf{d}}_{j}^{0}} \right|$ $(j = 1,...,r)$ при любом $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ не превосходят величины ${\mathbf{C}}\delta $.

Условие 6. Существует неубывающая функция ${{{\mathbf{N}}}_{1}}(.):{{{\mathbf{R}}}_{ + }} \to {{{\mathbf{R}}}_{ + }}$ такая, что для каждого ${\mathbf{l}} > 0$ и любого $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$ величины $\left| {G_{0}^{\delta }(y) - G_{0}^{0}(y)} \right|$, $\left| {G_{i}^{\delta }(y,w) - G_{i}^{0}(y,w)} \right|$ $(i = 1,...,k)$ при $\left| y \right|,\left| w \right| \leqslant {\mathbf{l}}$ не превосходят величины ${{{\mathbf{N}}}_{1}}({\mathbf{l}})\delta $.

При любом $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$ имеем управляемую краевую задачу

(ее решение, отвечающее управлению $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}$, обозначаем через $x_{u}^{\delta }$), минимизируемый функционал $F_{0}^{\delta }[x,u] \equiv G_{0}^{\delta }\left( {\int_\Pi \,x(t)dt} \right) + \mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{2,1}^2 $, набор функциональных ограничений где $i = 1,...,k$, $j = 1,...,r$, и задачу оптимального управления

Сделав в задаче (5.26) подстановку

где ${{\theta }^{\delta }}({\kern 1pt} .{\kern 1pt} )$ определяется формулой (5.21) c заменой $\varphi $, ${{\psi }_{1}}$, ${{\psi }_{2}}$ на ${{\varphi }^{\delta }}$, $\psi _{1}^{\delta }$, $\psi _{2}^{\delta }$ соответственно, получим эквивалентную задачу оптимизации системы (2.7), в которой $n = 3$, $m = 1$, $s = 1$, $\Pi = [0,1] \times [0,1] \times [ - 1,1]$; ${{B}^{\delta }}[u](t) \equiv {{\gamma }^{\delta }}(t)u(t)$, $u({\kern 1pt} .{\kern 1pt} ) \in {{L}_{2}}$, $t \in \Pi $; При этом ограничения (5.25) преобразуются в ограничения где $W_{i}^{\delta }[z,u] \equiv F_{i}^{\delta }[{{\theta }^{\delta }} + {{\Sigma }_{1}}[z],u]$ $(i = 1,...,k)$ и $E_{j}^{\delta }[z,u] \equiv \mathop {\left\langle {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta },{{\Sigma }_{1}}[z]} \right\rangle }\nolimits_{2,1} + \mathop {\left\langle {{\mathbf{b}}_{j}^{\delta },u} \right\rangle }\nolimits_{2,1} $ $(j = 1,...,r)$ – соответственно выпуклые и линейные функционалы на ${{L}_{2}} \times {{L}_{2}}$, $d_{j}^{\delta } \equiv {\mathbf{d}}_{j}^{\delta } - \mathop {\left\langle {{\mathbf{a}}_{j}^{\delta },{{\theta }^{\delta }}} \right\rangle }\nolimits_{2,1} $ $(j = 1,...,r)$. Эту задачу оптимизации системы (2.7) запишем в виде где $W_{0}^{\delta }[z,u] \equiv F_{0}^{\delta }[{{\theta }^{\delta }} + {{\Sigma }_{1}}[z],u].$ Задача (5.27) имеет вид ($O{{C}^{\delta }}$), здесь $J_{i}^{\delta }[u] \equiv \mathcal{J}_{i}^{\delta }[z_{u}^{\delta },u] \equiv W_{i}^{\delta }[z_{u}^{\delta },u]$ $(i = 0,1,...,k),$ $I_{j}^{\delta }[u] \equiv \mathcal{I}_{j}^{\delta }[z_{u}^{\delta },u] \equiv E_{j}^{\delta }[z_{u}^{\delta },u]$ $(j = 1,...,r),$ ${{K}^{\delta }}[z] \equiv G_{0}^{\delta }\left( {\int_\Pi \,({{\theta }^{\delta }}(t) + {{\Sigma }_{1}}[z](t))dt} \right),$ ${{M}^{\delta }} \equiv M.$

При сделанных относительно семейства задач (5.26), $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$, предположениях семейство задач (5.27), $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$, удовлетворяет условиям А–В. Действительно, условия А и Б получаются элементарными выкладками из предположений в условиях 4–6 и 5 соответственно. Чтобы доказать выполнение условия В, оценим величину $\left| {J_{i}^{\delta }[z,u] - J_{i}^{0}[z,u]} \right| \equiv \left| {W_{i}^{\delta }[z,u] - W_{i}^{0}[z,u]} \right|$ при произвольных $u(.) \in \mathcal{D}$, $l > 0$ и $z(.) \in {{L}_{2}}$ таких, что $\mathop {\left\| z \right\|}\nolimits_{2,1} \leqslant l$, для $i \in \left\{ {1,2,...,k} \right\},$ $\delta \in [0,{{\delta }_{0}}]$. Она не превосходит суммы

Вследствие условия 5 величина $\left| {\int_\Pi \,({{\theta }^{\delta }} + {{\Sigma }_{1}}[z])dt} \right|$ не превосходит числа $\sigma ({{\varphi }^{0}},\psi _{1}^{0},\psi _{2}^{0},{\mathbf{C}},{{\delta }_{0}},l) \equiv $ $ \equiv max\left\{ {{{{\left\| {{{\varphi }^{0}}} \right\|}}_{{{{L}_{\infty }}([0,1] \times [ - 1,0])}}},{{{\left\| {\psi _{1}^{0}} \right\|}}_{{{{L}_{\infty }}([0,1] \times [ - 1,1])}}},{{{\left\| {\psi _{2}^{0}} \right\|}}_{{{{L}_{\infty }}([0,1] \times [0,1])}}}} \right\}$ + ${\mathbf{C}}{{\delta }_{0}} + \left\| {{{\Sigma }_{1}}} \right\|l$, $\left\| {{{\Sigma }_{1}}} \right\|$ – норма ЛОО ${{\Sigma }_{1}}:{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$. Из   этой оценки и условия 6 следует, что первое слагаемое (5.28) не больше $\delta \cdot {{{\mathbf{N}}}_{1}}\left( {max\left\{ {\sigma ({{\varphi }^{0}},\psi _{1}^{0},\psi _{2}^{0},{\mathbf{C}},{{\delta }_{0}},l),ma{{x}_{{u \in \mathcal{D}}}}\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{2,1} } \right\}} \right).$

Функция $G_{i}^{0}:{\mathbf{R}} \times {\mathbf{R}} \to {\mathbf{R}}$ липшицева на любом ограниченном множестве. То есть существует неубывающая $\mu (.):{{{\mathbf{R}}}_{ + }} \to {{{\mathbf{R}}}_{ + }}$ такая, что $\left| {G_{i}^{0}({{y}_{1}},{{w}_{1}}) - G_{i}^{0}({{y}_{2}},{{w}_{2}})} \right| \leqslant \mu ({\mathbf{l}})\left( {\left| {{{y}_{1}} - {{y}_{2}}} \right| + \left| {{{w}_{1}} - {{w}_{2}}} \right|} \right),$ если $\left| {{{y}_{1}}} \right| \leqslant {\mathbf{l}},$ $\left| {{{y}_{2}}} \right| \leqslant {\mathbf{l}},$ $\left| {{{w}_{1}}} \right| \leqslant {\mathbf{l}},$ $\left| {{{w}_{2}}} \right| \leqslant {\mathbf{l}}.$ Следовательно, второе слагаемое правой части (5.28) не больше произведения $\mu \left( {max\left\{ {\sigma ({{\varphi }^{0}},\psi _{1}^{0},\psi _{2}^{0},{\mathbf{C}},{{\delta }_{0}},l),ma{{x}_{{u \in \mathcal{D}}}}\mathop {\left\| u \right\|}\nolimits_{2,1} } \right\}} \right) \cdot \left| {\int_\Pi \,({{\theta }^{\delta }} - {{\theta }^{0}})dt} \right|$, второй сомножитель которого не превосходит числа ${\mathbf{C}}\delta .$ Таким образом, условие В для функционалов $\mathcal{J}_{1}^{\delta },...,\mathcal{J}_{k}^{\delta }$, $0 < \delta \leqslant {{\delta }_{0}},$ выполняется с функцией

$l > 0.$ Аналогичные выкладки можно провести и для функционалов ${{K}^{\delta }}$, $0 < \delta \leqslant {{\delta }_{0}}$.

Предположив дополнительно, что функции $G_{i}^{\delta },i = 0,1,...,k,$ $\delta \in (0,{{\delta }_{0}}]$, гладкие, можем выписать для данного примера критерии (4.7) и (4.15) решения задачи (4.5). Сопряженные к операторам ${{\Sigma }_{1}}:{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$ и $\Sigma _{2}^{\delta }:{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$ операторы имеют вид

$\rho (\bar {t})$ – значение переменной ${{t}^{1}}$ в точке пересечения характеристикой $l(\bar {t})$ той части границы $\Pi $, где либо ${{t}^{1}} = 1$, либо ${{t}^{2}} = 0,$ ${{t}^{3}} < 0$, либо ${{t}^{2}} = 1,$ ${{t}^{3}} > 0$.

Введем следующие обозначения: ${{\eta }_{\delta }}(\bar {u}) \equiv \int_\Pi \,x_{{\bar {u}}}^{\delta }(\zeta )d\zeta $, $\eta (\bar {u}) \equiv \int_\Pi \,\bar {u}(\zeta )d\zeta $. Непосредственно вычисляя, получаем ${{\Phi }^{\delta }}[\bar {u}](t) \equiv \Sigma _{1}^{*}[G_{0}^{{\delta /}}\left( {{{\eta }_{\delta }}(\bar {u})} \right)](t),$ ${{\Upsilon }^{\delta }}[\bar {u}](t) \equiv 2\bar {u}(t)$,

$\Xi _{i}^{\delta }[\bar {u}](t)$ $ \equiv G_{{iw}}^{{\delta /}}\left( {{{\eta }_{\delta }}(\bar {u}),\eta (\bar {u})} \right)$ $(i = 1,...,k)$, $t \in \Pi ;$ $b_{j}^{\delta } \equiv {\mathbf{b}}_{j}^{\delta }$ $(j = 1,...,r)$; $a_{j}^{\delta } \equiv \Sigma _{1}^{*}[{\mathbf{a}}_{j}^{\delta }]$ $(j = 1,...,r)$. То есть сопряженное уравнение (4.12) имеет вид и является функциональным (интегральным) уравнением вольтеррова типа. Функция ${{\Psi }^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ],$ формирующая критерии (4.7) и (4.15), которым удовлетворяет решение ${{u}^{\delta }}[\lambda ,\mu ]$ задачи (4.5), задается формулой где ${{\psi }^{\delta }}[\bar {u},\lambda ,\mu ]$ – решение уравнения (5.29). Единственное в ${{L}_{2}}$ решение этого уравнения принадлежит классу $W$. Уравнение (5.29) эквивалентно краевой задаче интегродифференциальное уравнение которой получается из (5.29) дифференцированием вдоль характеристик, а краевые условия – подстановками соответствующих значений независимых переменных.