1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Журнал вычислительной математики и математической физики
  4. T. 62, № 1, 2022

Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 1, стр. 36-44

Анализ оптимизационного метода решения задачи сложного теплообмена с граничными условиями типа Коши

П. Р. Месенев 2, А. Ю. Чеботарев 1, 2, *

1 ИПМ ДВО РАН
690041 Владивосток, ул. Радио, 7, Россия

2 ДВФУ, Региональный научно-образовательный математический центр Дальневосточный центр математических исследований
690922 Владивосток, о. Русский, п. Аякс, 10, Россия

* E-mail: cheb@iam.dvo.ru

Поступила в редакцию 07.03.2021
После доработки 17.09.2021
Принята к публикации 17.09.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Предложен оптимизационный метод решения краевой задачи с условиями типа Коши для уравнений радиационно-кондуктивного теплообмена в рамках ${{P}_{1}}$–приближения уравнения переноса излучения. Выполнен теоретический анализ соответствующей задачи граничного оптимального управления. Показано, что последовательность решений экстремальных задач сходится к решению краевой задачи с условиями типа Коши для температуры. Результаты теоретического анализа проиллюстрированы численными примерами. Библ. 33. Фиг. 2.

Ключевые слова: уравнения радиационно-кондуктивного теплообмена, диффузионное приближение, задача оптимального управления, условия типа Коши.

1. ВВЕДЕНИЕ

Стационарный радиационный и диффузионный теплообмен в ограниченной области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ с границей $\Gamma = \partial \Omega $ моделируется в рамках ${{P}_{1}}$–приближения для уравнения переноса излучения следующей системой эллиптических уравнений [1]–[3]

(1)
$ - a\Delta \theta + b{{\kappa }_{a}}(\left| \theta \right|{{\theta }^{3}} - \varphi ) = 0,\quad - {\kern 1pt} \alpha \Delta \varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - \left| \theta \right|{{\theta }^{3}}) = 0,\quad x \in \Omega .$
Здесь $\theta $ – нормализованная температура, $\varphi $ – нормализованная интенсивность излучения, усредненная по всем направлениям. Положительные физические параметры $a$, $b$, ${{\kappa }_{a}}$ и $\alpha $, описывающие свойства среды, определяются стандартным образом [3]. Подробный теоретический и численный анализ различных постановок краевых и обратных задач, а также задач управления для уравнений радиационного теплообмена в рамках ${{P}_{1}}$-приближения для уравнения переноса излучения представлен в [1]–[21]. Отметим также серьезный анализ интересных краевых задач, связанных с радиационным теплообменом, представленный в [22]–[27].

Будем предполагать, что на границе $\Gamma = \partial \Omega $ известно температурное поле,

(2)
$\theta = {{\theta }_{b}}.$
Для задания краевого условия для интенсивности излучения требуется знать функцию, описывающую отражающие свойства границы [4]. В том случае, если указанная функция неизвестна, естественно вместо краевого условия для интенсивности излучения задавать тепловые потоки на границе
(3)
${{\partial }_{n}}\theta = {{q}_{b}}.$
Здесь через ${{\partial }_{n}}$ обозначаем производную в направлении внешней нормали ${\mathbf{n}}$.

Нелокальная разрешимость нестационарной и стационарной краевых задач для уравнений сложного теплообмена без краевых условий на интенсивность излучения и с условиями (2), (3) для температуры доказана в [20], [21].

Данная статья посвящена анализу предлагаемого оптимизационного метода решения краевой задачи (1)–(3) с условиями типа Коши для температуры. Указанный метод заключается в рассмотрении задачи граничного оптимального управления для системы (1) с “искусственными” краевыми условиями

(4)
$a({{\partial }_{n}}\theta + \theta ) = r,\quad \alpha ({{\partial }_{n}}\varphi + \varphi ) = u\;\;{\text{на}}\;\;\Gamma .$
Функция $r(x),\;x \in \Gamma $, является заданной, а неизвестная функция $u(x),\;x \in \Gamma ,$ играет роль управления. Экстремальная задача заключается в отыскании тройки $\{ {{\theta }_{\lambda }},{{\varphi }_{\lambda }},{{u}_{\lambda }}\} $ такой, что
(5)
${{J}_{\lambda }}(\theta ,u) = \frac{1}{2}\int\limits_\Gamma \,{{(\theta - {{\theta }_{b}})}^{2}}d\Gamma + \frac{\lambda }{2}\int\limits_\Gamma \,{{u}^{2}}d\Gamma \to inf$
на решениях краевой задачи (1), (4). Функция ${{\theta }_{b}}(x),\;x \in \Gamma $, и параметр регуляризации $\lambda > 0$ заданы.

Как будет показано ниже, задача оптимального управления (1), (4), (5), если $r: = a({{\theta }_{b}} + {{q}_{b}})$, где ${{q}_{b}}$ – заданная на $\Gamma $ функция, является при малых $\lambda $ аппроксимацией краевой задачи (1)–(3).

Статья организована следующим образом. В разд. 2 вводятся необходимые пространства и операторы, приводится формализация задачи оптимального управления. Априорные оценки решения задачи (1), (4), на основе которых доказана разрешимость указанной краевой задачи и задачи оптимального управления (1), (4), (5), получены в разд. 3. В разд. 4 выводится система оптимальности. В разд. 5 показано, что последовательность $\{ {{\theta }_{\lambda }},{{\varphi }_{\lambda }}\} $, соответствующая решениям экстремальной задачи, сходится при $\lambda \to + 0$ к решению краевой задачи (1)–(3) с условиями типа Коши для температуры. Наконец, в разд. 6 представлен алгоритм решения задачи управления, работа которого проиллюстрирована численными примерами.

2. ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ

В дальнейшем считаем, что $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ – ограниченная строго липшицева область, граница $\Gamma $ которой состоит из конечного числа гладких кусков. Через ${{L}^{p}}$, $1 \leqslant p \leqslant \infty $, обозначаем пространство Лебега, а через ${{H}^{s}}$ – пространство Соболева $W_{2}^{s}$. Пусть $H = {{L}^{2}}(\Omega ),\;V = {{H}^{1}}(\Omega )$, через $V{\kern 1pt} '$ обозначаем пространство, сопряженное с пространством $V$. Пространство $H$ отождествляем с пространством $H{\kern 1pt} '$ так, что $V \subset H = H{\kern 1pt} ' \subset V{\kern 1pt} '$. Обозначим через $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ стандартную норму в $H$, а через $(f,v)$ – значение функционала $f \in V{\kern 1pt} '$ на элементе $v \in V$, совпадающее со скалярным произведением в $H$, если $f \in H$. Через $U$ обозначаем пространство ${{L}^{2}}(\Gamma )$ с нормой ${{\left\| u \right\|}_{\Gamma }} = \mathop {\left( {\int_\Gamma ^{} {{{u}^{2}}d\Gamma } } \right)}\nolimits^{1/2} .$

Будем предполагать, что

(i) $a,b,\alpha ,{{\kappa }_{a}},\lambda = {\text{Const}} > 0,$

(ii) ${{\theta }_{b}},{{q}_{b}} \in U,\;r = a({{\theta }_{b}} + {{q}_{b}}).$

Определим операторы $A:V \to V{\kern 1pt} '$, $B:U \to V{\kern 1pt} '$, используя следующие равенства, справедливые для любых $y,z \in V$, $w \in U$:

$(Ay,z) = (\nabla y,\nabla z) + \int\limits_\Gamma \,yzd\Gamma ,\quad (Bw,z) = \int\limits_\Gamma \,wzd\Gamma .$
Билинейная форма $(Ay,z)$ определяет скалярное произведение в пространстве $V$, а соответствующая норма ${{\left\| z \right\|}_{V}} = \sqrt {(Az,z)} $ эквивалентна стандартной норме $V$. Поэтому определен непрерывный обратный оператор ${{A}^{{ - 1}}}:V{\kern 1pt} ' \mapsto V.$ Отметим, что для любых $v \in V$, $w \in U$, $g \in V{\kern 1pt} '$ справедливы неравенства
(6)
${{\left\| v \right\|}^{2}} \leqslant {{C}_{0}}\left\| v \right\|_{V}^{2},\quad {{\left\| v \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}} \leqslant {{C}_{0}}{{\left\| v \right\|}_{V}},\quad {{\left\| {Bw} \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}} \leqslant {{\left\| w \right\|}_{\Gamma }},\quad {{\left\| {{{A}^{{ - 1}}}g} \right\|}_{V}} \leqslant {{\left\| g \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}}.$
Здесь постоянная ${{C}_{0}} > 0$ зависит только от области $\Omega .$

Далее используем следующее обозначение ${{[h]}^{s}}: = {{\left| h \right|}^{s}}\operatorname{sign} h$, $s > 0$, $h \in \mathbb{R}$, для монотонной степенной функции.

Определение. Пара $\theta ,\varphi \in V$ называется слабым решением задачи (1), (4), если

(7)
$aA\theta + b{{\kappa }_{a}}({{[\theta ]}^{4}} - \varphi ) = Br,\quad \alpha A\varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) = Bu.$

Для формулировки задачи оптимального управления определим оператор ограничений $F(\theta ,\varphi ,u):V \times V \times U \to V' \times V'$,

$F(\theta ,\varphi ,u) = \{ aA\theta + b{{\kappa }_{a}}({{[\theta ]}^{4}} - \varphi ) - Br,\;\alpha A\varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) - Bu\} .$

Задача $({\text{CP}})$. Найти тройку $\{ \theta ,\varphi ,u\} \in V \times V \times U$ такую, что

(8)
${{J}_{\lambda }}(\theta ,u) \equiv \frac{1}{2}\left\| {\theta - {{\theta }_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2} + \frac{\lambda }{2}\left\| u \right\|_{\Gamma }^{2} \to {\text{inf}},\quad F(\theta ,\varphi ,u) = 0.$

3. РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ $({\text{CP}})$

Докажем предварительно однозначную разрешимость краевой задачи (1), (4).

Лемма 1. Пусть выполняются условия (i), (ii), $u \in U$. Тогда существует единственное слабое решение задачи (1), (4) и при этом

(9)
$\begin{gathered} a{{\left\| \theta \right\|}_{V}} \leqslant {{\left\| r \right\|}_{\Gamma }} + \frac{{{{C}_{0}}{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }{{\left\| {r + bu} \right\|}_{\Gamma }}, \\ \alpha b{{\left\| \varphi \right\|}_{V}} \leqslant {{\left\| r \right\|}_{\Gamma }} + \left( {\frac{{{{C}_{0}}{{\kappa }_{a}}}}{\alpha } + 1} \right){{\left\| {r + bu} \right\|}_{\Gamma }}. \\ \end{gathered} $

Доказательство. Если второе уравнение в (7) умножить на $b$ и сложить с первым, то получим равенства

$A(a\theta + \alpha b\varphi ) = B(r + bu),\quad a\theta + \alpha b\varphi = {{A}^{{ - 1}}}B(r + bu),\quad \varphi = \frac{1}{{\alpha b}}({{A}^{{ - 1}}}B(r + bu) - a\theta ).$
Поэтому $\theta \in V$ является решением следующего уравнения:
(10)
$aA\theta + \frac{{{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }\theta + b{{\kappa }_{a}}{{[\theta ]}^{4}} = g.$
Здесь
$g = Br + \frac{{{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }{{A}^{{ - 1}}}B(r + bu) \in V{\kern 1pt} '.$
Однозначная разрешимость уравнения (10) с монотонной нелинейностью хорошо известна (см., например, [28]). Следовательно, задача (7) однозначно разрешима.

Для получения оценок (9) умножим скалярно (10) на $\theta \in V$ и отбросим неотрицательные слагаемые в левой части. Тогда

$a\left\| \theta \right\|_{V}^{2} \leqslant (g,\theta ) \leqslant {{\left\| g \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}}{\kern 1pt} {{\left\| \theta \right\|}_{V}},\quad a{{\left\| \theta \right\|}_{V}} \leqslant {{\left\| g \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}}.$
Неравенства (6) позволяют оценить ${{\left\| g \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}}$ и ${{\left\| \varphi \right\|}_{V}}$:
${{\left\| g \right\|}_{{V{\kern 1pt} '}}} \leqslant {{\left\| r \right\|}_{\Gamma }} + \frac{{{{C}_{0}}{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }{{\left\| {r + bu} \right\|}_{\Gamma }},\quad {{\left\| \varphi \right\|}_{V}} \leqslant \frac{1}{{\alpha b}}{{\left\| {r + bu} \right\|}_{\Gamma }} + \frac{a}{{\alpha b}}{{\left\| \theta \right\|}_{V}}.$
В результате получаем оценки (9).

Полученные оценки решения управляемой системы позволяют доказать разрешимость задачи оптимального управления.

Теорема 1. Пусть выполняются условия (i), (ii). Тогда существует решение задачи $({\text{CP}}).$

Доказательство. Пусть ${{j}_{\lambda }} = inf{{J}_{\lambda }}$ на множестве $u \in U$, $F(\theta ,\varphi ,u) = 0.$ Выберем минимизирующую последовательность ${{u}_{m}} \in U,$ ${{\theta }_{m}} \in V,$ ${{\varphi }_{m}} \in V$,

(11)
$\begin{gathered} {{J}_{\lambda }}({{\theta }_{m}},{{u}_{m}}) \to {{j}_{\lambda }}, \\ aA{{\theta }_{m}} + b{{\kappa }_{a}}({{[{{\theta }_{m}}]}^{4}} - {{\varphi }_{m}}) = Br,\quad \alpha A{{\varphi }_{m}} + {{\kappa }_{a}}({{\varphi }_{m}} - {{[{{\theta }_{m}}]}^{4}}) = B{{u}_{m}}. \\ \end{gathered} $
Из ограниченности последовательности ${{u}_{m}}$ в пространстве $U$ следуют, на основании леммы 1, оценки
${{\left\| {{{\theta }_{m}}} \right\|}_{V}} \leqslant C,\quad {{\left\| {{{\varphi }_{m}}} \right\|}_{V}} \leqslant C,\quad {{\left\| {{{\theta }_{m}}} \right\|}_{{{{L}^{6}}(\Omega )}}} \leqslant C.$
Здесь через $C > 0$ обозначена наибольшая из постоянных, ограничивающих соответствующие нормы и не зависящих от $m$. Переходя при необходимости к подпоследовательностям, заключаем, что существует тройка $\{ \hat {u},\hat {\theta },\hat {\varphi }\} \in U \times V \times V,$
(12)
${{u}_{m}} \to \hat {u}\;\;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;\;U,\quad {{\theta }_{m}},{{\varphi }_{m}} \to \hat {\theta },\;\hat {\varphi }\;\;{\text{слабо}}\;{\text{в}}\;\;V,\quad {\text{сильно}}\;{\text{в}}\;\;{{L}^{4}}(\Omega ).$
Заметим также, что $\forall {v} \in V$ имеем
(13)
$\left| {({{{[{{\theta }_{m}}]}}^{4}} - {{{[\hat {\theta }]}}^{4}},{v})} \right| \leqslant 2{{\left\| {{{\theta }_{m}} - \hat {\theta }} \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}{{\left\| {v} \right\|}_{{{{L}^{4}}(\Omega )}}}\left( {\left\| {{{\theta }_{m}}} \right\|_{{{{L}_{6}}(\Omega )}}^{3} + \left\| {\hat {\theta }} \right\|_{{{{L}_{6}}(\Omega )}}^{3}} \right).$
Результаты о сходимости (12), (13) позволяют перейти к пределу в (11). Поэтому
$aA\hat {\theta } + b{{\kappa }_{a}}({{[\hat {\theta }]}^{4}} - \hat {\varphi }) = Br,\quad \alpha A\hat {\varphi } + {{\kappa }_{a}}(\hat {\varphi } - {{[\hat {\theta }]}^{4}}) = B\hat {u},$
и при этом ${{j}_{\lambda }} \leqslant {{J}_{\lambda }}(\hat {\theta },\hat {u}) \leqslant {{J}_{\lambda }}({{\theta }_{m}},{{u}_{m}}) = {{j}_{\lambda }}$. Следовательно, тройка $\{ \hat {\theta },\hat {\varphi },\hat {u}\} $ есть решение задачи $({\text{CP}}).$

4. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ

Для получения системы оптимальности достаточно использовать принцип Лагранжа для гладко-выпуклых экстремальных задач [29], [30]. Проверим справедливость ключевого условия, что образ производной оператора ограничений $F(y,u)$, где $y = \{ \theta ,\varphi \} \in V \times V$, совпадает с пространством $V{\kern 1pt} '\; \times V{\kern 1pt} '.$ Именно это условие гарантирует невырожденность условий оптимальности. Напомним, что

$F(y,u) = \{ aA\theta + b{{\kappa }_{a}}({{[\theta ]}^{4}} - \varphi ) - Br,\;\alpha A\varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) - Bu\} .$

Лемма 2. Пусть выполняются условия (i), (ii). Для любой пары $\hat {y} \in V \times V,$ $\hat {u} \in U$ справедливо равенство

$\operatorname{Im} F_{y}^{'}(y,u) = V{\kern 1pt} '\; \times V{\kern 1pt} '.$

Доказательство. Достаточно проверить, что задача

$aA\xi + b{{\kappa }_{a}}(4{\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi - \eta ) = {{f}_{1}},\quad \alpha A\eta + {{\kappa }_{a}}(\eta - 4{\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}\xi ) = {{f}_{2}}$
разрешима для всех ${{f}_{{1,2}}} \in V{\kern 1pt} '.$ Данная задача равносильна системе
$aA\xi + {{\kappa }_{a}}\left( {4b{\text{|}}\theta {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}} + \frac{a}{\alpha }} \right)\xi = {{f}_{1}} + \frac{{{{\kappa }_{a}}}}{\alpha }{{f}_{3}},\quad \eta = \frac{1}{{\alpha b}}({{f}_{3}} - a\xi ).$
Здесь ${{f}_{3}} = {{A}^{{ - 1}}}({{f}_{1}} + b{{f}_{2}}) \in V.$ Разрешимость первого уравнения указанной системы очевидным образом следует из леммы Лакса–Мильграма.

В соответствии с леммой 2 лагранжиан задачи $({\text{CP}})$ имеет вид

$L(\theta ,\varphi ,u,{{p}_{1}},{{p}_{2}}) = {{J}_{\lambda }}(\theta ,u) + (aA\theta + b{{\kappa }_{a}}({{[\theta ]}^{4}} - \varphi ) - Br,{{p}_{1}}) + (\alpha A\varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) - Bu,{{p}_{2}}).$
Здесь $p = \{ {{p}_{1}},{{p}_{2}}\} \in V \times V$ – сопряженное состояние. Если $\{ \hat {\theta },\hat {\varphi },\hat {u}\} $ – решение задачи $({\text{CP}})$, то в силу принципа Лагранжа [29, теорема 1.5] справедливы вариационные равенства $\forall {v} \in V,\;w \in U$ имеем
(14)
${{(\hat {\theta } - {{\theta }_{b}},{v})}_{\Gamma }} + (aA{v} + 4b{{\kappa }_{a}}{\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}{v},{{p}_{1}}) - {{\kappa }_{a}}(4{\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}{v},{{p}_{2}}) = 0,\quad b{{\kappa }_{a}}({v},{{p}_{1}}) + (\alpha A{v} + {{\kappa }_{a}}{v},{{p}_{2}}) = 0,$
(15)
$\lambda {{(\hat {u},w)}_{\Gamma }} - (Bw,{{p}_{2}}) = 0.$
Таким образом, из условий (14), (15) получаем следующий результат, который вместе с уравнениями (7) для оптимальной тройки определяет систему оптимальности задачи $({\text{CP}})$.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (i), (ii). Если $\{ \hat {\theta },\hat {\varphi },\hat {u}\} $ – решение задачи $({\text{CP}})$, то существует единственная пара $\{ {{p}_{1}},{{p}_{2}}\} \in V \times V$ такая, что

(16)
$aA{{p}_{1}} + 4{\text{|}}\hat {\theta }{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{3}}{{\kappa }_{a}}(b{{p}_{1}} - {{p}_{2}}) = B({{\theta }_{b}} - \hat {\theta }),\quad \alpha A{{p}_{2}} + {{\kappa }_{a}}({{p}_{2}} - b{{p}_{1}}) = 0$
и при этом $\lambda \hat {u} = {{p}_{2}}.$

5. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ ТИПА КОШИ

Рассмотрим краевую задачу (1)–(3) для уравнений сложного теплообмена, в которой нет краевых условий на интенсивность излучения. Существование $\theta ,\varphi \in {{H}^{2}}(\Omega )$, удовлетворяющих (1)–(3), для достаточно гладких ${{\theta }_{b}},{{q}_{b}}$ и достаточные условия единственности решения установлены в [21]. Покажем, что решения задачи $({\text{CP}})$ при $\lambda \to + 0$ аппроксимируют решение задачи (1)–(3).

Теорема 3. Пусть выполняются условия (i), (ii) и существует решение задачи (1)–(3). Если $\{ {{\theta }_{\lambda }},{{\varphi }_{\lambda }},{{u}_{\lambda }}\} $ – решение задачи $(CP)$ для $\lambda > 0$, то существует последовательность $\lambda \to + 0$ такая, что

${{\theta }_{\lambda }} \to {{\theta }_{*}},\quad {{\varphi }_{\lambda }} \to {{\varphi }_{*}}\quad слабо\;в\;V,\quad сильно\;в\;H,$
где ${{\theta }_{*}},{{\varphi }_{*}}$ – решение задачи (1)–(3).

Доказательство. Пусть $\theta ,\varphi \in {{H}^{2}}(\Omega )$ – решение задачи (1)–(3), $u = \alpha ({{\partial }_{n}}\varphi + \varphi ) \in U.$ Тогда

$aA\theta + b{{\kappa }_{a}}({{[\theta ]}^{4}} - \varphi ) = Br,\quad \alpha A\varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) = Bu,$
где $r: = a({{\theta }_{b}} + {{q}_{b}}).$ Поэтому, с учетом того, что $\theta {{|}_{\Gamma }} = {{\theta }_{b}}$, получим
${{J}_{\lambda }}({{\theta }_{\lambda }},{{u}_{\lambda }}) = \frac{1}{2}\left\| {{{\theta }_{\lambda }} - {{\theta }_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2} + \frac{\lambda }{2}\left\| {{{u}_{\lambda }}} \right\|_{\Gamma }^{2} \leqslant {{J}_{\lambda }}(\theta ,u) = \frac{\lambda }{2}\left\| u \right\|_{\Gamma }^{2}.$
Следовательно,
$\left\| {{{u}_{\lambda }}} \right\|_{\Gamma }^{2} \leqslant C,\quad \left\| {{{\theta }_{\lambda }} - {{\theta }_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2} \to 0,\quad \lambda \to + 0.$
Здесь и далее $C > 0$ не зависит от $\lambda .$ Из ограниченности последовательности ${{u}_{\lambda }}$ в пространстве $U$ следуют, на основании леммы 1, оценки
${{\left\| {{{\theta }_{\lambda }}} \right\|}_{V}} \leqslant C,\quad {{\left\| \varphi \right\|}_{\lambda }} \leqslant C.$
Поэтому можно выбрать последовательность $\lambda \to + 0$ такую, что
(17)
${{u}_{\lambda }} \to {{u}_{*}}\quad {\text{слабо}}\;{\text{в}}\;U,\quad {{\theta }_{\lambda }},{{\varphi }_{\lambda }} \to {{\theta }_{*}},{{\varphi }_{*}}\quad {\text{слабо}}\;{\text{в}}\;V,\quad {\text{сильно}}\;{\text{в}}\;{{L}^{4}}(\Omega ).$
Результаты (17) позволяют перейти к пределу при $\lambda \to + 0$ в уравнениях для ${{\theta }_{\lambda }},{{\varphi }_{\lambda }},{{u}_{\lambda }}$ и тогда
(18)
$aA{{\theta }_{*}} + b{{\kappa }_{a}}({{[{{\theta }_{*}}]}^{4}} - {{\varphi }_{*}}) = Br,\quad \alpha A{{\varphi }_{*}} + {{\kappa }_{a}}({{\varphi }_{*}} - {{[{{\theta }_{*}}]}^{4}}) = B{{u}_{*}}.$
При этом ${{\theta }_{*}}{{{\text{|}}}_{\Gamma }} = {{\theta }_{b}}.$ Из первого уравнения в (18), с учетом, что $r = a({{\theta }_{b}} + {{q}_{b}})$, выводим
$ - a\Delta {{\theta }_{*}} + b{{\kappa }_{a}}({{[{{\theta }_{*}}]}^{4}} - {{\varphi }_{*}}) = 0\quad {\text{п}}.{\text{в}}.\;{\text{в}}\;\Omega ,\quad {{\theta }_{*}} = {{\theta }_{b}},\quad {{\partial }_{n}}\theta = {{q}_{b}}\quad {\text{п}}.{\text{в}}.\;{\text{на}}\;\Gamma .$
Из второго уравнения в (18) следует, что $ - \alpha \Delta \varphi + {{\kappa }_{a}}(\varphi - {{[\theta ]}^{4}}) = 0$ почти всюду в $\Omega .$ Таким образом, пара ${{\theta }_{*}},{{\varphi }_{*}}$ – решение задачи (1)–(3).

Замечание. Из ограниченности последовательности ${{u}_{\lambda }}$ в пространстве $U$ следуют ее слабая относительная компактность и существование последовательности (возможно неединственной) $\lambda \to + 0$ такой, что ${{u}_{\lambda }} \to {{u}_{ * }}$ слабо в $U$. Для практического решения задачи (1)–(3) важно то, что для любой последовательности $\lambda \to + 0$ справедлива оценка $\left\| {{{\theta }_{\lambda }} - {{\theta }_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2} \leqslant C\lambda $, а поскольку ${{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }} = {{\theta }_{b}} + {{q}_{b}} - {{\theta }_{\lambda }}$, то также $\left\| {{{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }} - {{q}_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2} \leqslant C\lambda $. Указанные неравенства гарантируют, что граничные значения ${{\theta }_{\lambda }},{{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }}$ при малых $\lambda $ аппроксимируют краевые условия задачи (1)–(3).

6. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Представим итерационный алгоритм решения задачи оптимального управления. Пусть $\mathop {\tilde {J}}\nolimits_\lambda (u) = {{J}_{\lambda }}(\theta (u),u)$, где $\theta (u)$ компонента решения задачи (1), (3), соответствующая управлению $u \in U$.

В соответствии с (16) градиент функционала $\mathop {\tilde {J}}\nolimits_\lambda (u)$ равен

$\tilde {J}_{\lambda }^{'}(u) = \lambda u - {{p}_{2}}.$
Здесь ${{p}_{2}}$ – соответствующая компонента сопряженного состояния из системы (16), где $\hat {\theta }: = \theta (u)$.

Алгоритм градиентного спуска

1: Выбираем значение градиентного шага $\varepsilon $,

2: Выбираем количество итераций $N$,

3: Выбираем начальное приближение для управления ${{u}_{0}} \in U$,

4: for $k \leftarrow 0,1,2, \ldots ,N$ do

5:    Для данного ${{u}_{k}}$ рассчитываем состояние ${{y}_{k}} = \{ {{\theta }_{k}},{{\varphi }_{k}}\} $ – решение задачи (1), (2).

6:    Рассчитываем значение целевого функционала ${{J}_{\lambda }}({{\theta }_{k}},{{u}_{k}})$.

7:    Рассчитываем сопряженное состояние ${{p}_{k}} = \{ {{p}_{{1k}}},{{p}_{{2k}}}\} $ из уравнений (14), где $\hat {\theta }: = {{\theta }_{k}},\;\hat {u} = {{u}_{k}}$.

8:    Пересчитываем управление ${{u}_{{k + 1}}} = {{u}_{k}} - \varepsilon (\lambda {{u}_{k}} - {{p}_{2}})$.

Значение параметра $\varepsilon $ выбирается эмпирически таким образом, чтобы значение $\varepsilon (\lambda {{u}_{k}} - {{p}_{2}})$ являлось существенной поправкой для ${{u}_{{k + 1}}}$. Количество итераций $N$ выбирается достаточным для выполнения условия ${{J}_{\lambda }}({{\theta }_{k}},{{u}_{k}}) - {{J}_{\lambda }}({{\theta }_{{k + 1}}},{{u}_{{k + 1}}}) < \delta $, где $\delta > 0$ определяет точность расчетов.

Примеры, рассмотренные ниже, иллюстрируют работоспособность предложенного алгоритма при малых, что важно, значениях параметра регуляризации $\lambda \leqslant {{10}^{{ - 12}}}$. В первом примере выполнены тестовые расчеты для куба. Во втором примере приводится сравнение расчетов по предложенному алгоритму с результатами работы [20].

Отметим, что для численного решения прямой задачи с заданным управлением использовался метод простой итерации для линеаризации задачи и ее решения методом конечных элементов. Решение сопряженной системы, которая является линейной при заданной температуре, не вызывает трудностей. Для численного моделирования использовался солвер FEniCS [31], [32].

Исходный код экспериментов можно найти по ссылке [33].

Пример 1. Рассмотрим куб $\Omega = (x,y,z),$ $0 \leqslant x,y,z \leqslant l$. Будем считать, что $l = 1\;{\text{см}}$, $a = 0.006\;[{\text{с}}{{{\text{м}}}^{2}}{\text{/c}}]$, $b = 0.025\;[{\text{см/с}}]$, ${{\kappa }_{a}} = 1\;[{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{ - 1}}}]$, $\alpha = 0.(3)\;[{\text{см}}]$. Указанные параметры соответствуют стеклу [11]. Параметр регуляризации $\lambda = {{10}^{{ - 12}}}.$

Пусть граничные данные $r$ и $u$ в (2) имеют вид:

$r = 0.7,\quad u = \hat {u} = 0.5.$
Далее рассчитываем состояние $\theta $ и $\varphi $ как решение задачи (1), (2) и в качестве ${{\theta }_{b}}$ выбираем граничные значения функции $\theta $ на $\Gamma $. Значения нормальной производной ${{\partial }_{n}}\theta $ на $\Gamma $ должны соответствовать значениям ${{q}_{b}} = r{\text{/}}a - {{\theta }_{b}}$. Применяя предложенный алгоритм с начальным приближением ${{u}_{0}} = 0.1$, находим приближенное решение $\{ {{\theta }_{\lambda }},{{\varphi }_{\lambda }},{{u}_{\lambda }}\} $ задачи (CP). Для демонстрации того, что алгоритм находит приближенное решение задачи с данными Коши для температуры, важно сравнить значения ${{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }}$ на $\Gamma $ с ${{q}_{b}}.$

На фиг. 1а, 1б представлены модуль относительного отклонения ${{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }}$ от ${{q}_{b}}$ на грани куба в плоскости $z = l$, где ${{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }} = \partial {{\theta }_{\lambda }}{\text{/}}\partial z$ и динамика целевого функционала, определяющего норму разности $\left\| {{{\theta }_{\lambda }} - {{\theta }_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2}$. На остальных гранях куба значения относительного отклонения имеют тот же порядок малости.

Фиг. 1.

Пример 1.

Пример 2. Сравним работу предложенного алгоритма с результатами статьи [20], где соавтором был один из авторов данной работы. Задача рассматривается в области $\Omega \times ( - L,L)$, где $\Omega = \{ x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}})\,:0 < {{x}_{{1,2}}} < d\} $ и при больших $L$ сводится к двумерной задаче с вычислительной областью $\Omega $. Выбраны следующие значения параметров задачи: $d = 1\;({\text{m}})$, $a = {{0.9210}^{{ - 4}}}\;({{{\text{m}}}^{2}}{\text{/s}})$, $b = 0.19\;({\text{m/s}})$, $\alpha = 0.0333\;({\text{m}})$ и ${{\kappa }_{a}} = 1\;({{{\text{m}}}^{{ - 1}}})$. Параметры соответствуют воздуху при нормальном атмосферном давлении и температуре 400°C.

Функции ${{\theta }_{b}}$, ${{q}_{b}}$ в краевом условии (3) заданы следующим образом: ${{\theta }_{b}} = {{\left. {\widehat \theta } \right|}_{\Gamma }}$, ${{q}_{b}} = {{\left. {{{\partial }_{n}}\widehat \theta } \right|}_{\Gamma }}$, где $\widehat \theta = {{({{x}_{1}} - 0.5)}^{2}} - 0.5{{x}_{2}} + 0.75$.

Приближенное решение задачи с данными Коши, представленное в [20], получено путем решения эллиптической задачи четвертого порядка для температуры методом установления по времени. Использовались ${{H}^{2}}$ конформные конечные элементы Богнера–Фокса–Шмитта и солвер FeliCs, разработанный в техническом университете Мюнхена. Решение стабилизировалось через 120 с, но вычисления на каждом временном шаге потребовали довольно значительных затрат [20].

На фиг. 2а представлено температурное поле, полученное предложенным в данной статье методом, достаточно точно совпадающее с результатом в [20]. Величина ${{\left\| {{{\partial }_{n}}{{\theta }_{\lambda }} - {{q}_{b}}} \right\|}_{{{{L}^{2}}(\Gamma )}}}{\text{/}}{{\left\| {{{q}_{b}}} \right\|}_{{{{L}^{2}}(\Gamma )}}}$ равна $0.000567$. Значение целевого функционала, определяющего норму разности $\left\| {{{\theta }_{\lambda }} - {{\theta }_{b}}} \right\|_{\Gamma }^{2}$, равно $0.000255$ и стабилизируется после 10 итераций, как показано на фиг. 2б.

Фиг. 2.

Пример 2.

Представленные численные примеры демонстрируют, что предложенный алгоритм успешно справляется с нахождением численного решения задачи (1)–(3).

Список литературы

  1. Pinnau R. Analysis of optimal boundary control for radiative heat transfer modeled by $S{{P}_{1}}$-system // Commun. Math. Sci. 2007. V. 5. № 4. P. 951–969.

  2. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu. An iterative method for solving a complex heat transfer problem // Appl. Math. Comput. 2013. V. 219. № 17. P. 9356–9362.

  3. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. The unique solvability of a complex 3D heat transfer problem // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 409. № 2. P. 808–815.

  4. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 4. С. 711–719.

  5. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Дифференц. ур-ния. 2014. Т. 50. № 12. С. 1590–1597.

  6. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Theoretical analysis of an optimal control problem of conductive-convective-radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2014. V. 412. № 1. P. 520–528.

  7. Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2014. Т. 54. № 11. С. 1806–1816.

  8. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Unique solvability of a steady-state complex heat transfer model // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 2015. V. 20. № 3. P. 776–784.

  9. Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Неоднородная нестационарная задача сложного теплообмена // Сиб. электрон. матем. изв. 2015. Т. 12. С. 562–576.

  10. Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Нестационарная задача свободной конвекции с радиационным теплообменом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 2. С. 275–282.

  11. Grenkin G.V., Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Boundary optimal control problem of complex heat transfer model // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 433. № 2. P. 1243–1260.

  12. Kovtanyuk A.E., Chebotarev A.Yu., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Optimal boundary control of a steady-state heat transfer model accounting for radiative effects // J. Math. Anal. Appl. 2016. V. 439. № 2. P. 678–689.

  13. Chebotarev A.Yu., Kovtanyuk A.E., Grenkin G.V., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Nondegeneracy of optimality conditions in control problems for a radiative-conductive heat transfer model // Appl. Math. Comput. 2016. V. 289. P. 371–380.

  14. Ковтанюк А.Е., Чеботарев А.Ю. Нелокальная однозначная разрешимость стационарной задачи сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2016. Т. 56. № 5. С. 816–823.

  15. Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E. Inhomogeneous steady-state problem of complex heat transfer // ESAIM Math. Model. Numer. Anal. 2017. V. 51. № 6. P. 2511–2519.

  16. Chebotarev A.Y., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Diffusion approximation of the radiative-conductive heat transfer model with Fresnel matching conditions// Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 57 (2018). 290–298.

  17. Chebotarev A.Yu., Grenkin G.V., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D., Hoffmann K.-H. Inverse problem with finite overdetermination for steady-state equations of radiative heat exchange // J. Math. Anal. Appl. 2018. V. 460. № 2. P. 737–744.

  18. Chebotarev A.Yu., Pinnau R. An inverse problem for a quasi-static approximate model of radiative heat transfer // J. Math. Anal. Appl. 2019. V. 472. № 1. P. 314–327.

  19. Гренкин Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратная задача для уравнений сложного теплообмена // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 8. С. 1420–1430.

  20. Chebotarev A.Y., Kovtanyuk A.E., Botkin N.D. Problem of radiation heat exchange with boundary conditions of the Cauchy type // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 75 (2019) 262–269.

  21. Колобов А.Г., Пак Т.В., Чеботарев А.Ю. Стационарная задача радиационного теплообмена с граничными условиями типа Коши // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2019. Т. 59. № 7. С. 1258–1263.

  22. Амосов А.А. Глобальная разрешимость одной нелинейной нестационарной задачи с нелокальным краевым условием типа теплообмена излучением // Дифференц. ур-ния. Т. 41. № 1. 2005. С. 93–104.

  23. Amosov A.A. Stationary nonlinear nonlocal problem of radiative-conductive heat transfer in a system of opaque bodies with properties depending on the radiation frequency // J. Math. Sc. 2010. V. 164. № 3. P. 309–344.

  24. Amosov A. Unique Solvability of a Nonstationary Problem of Radiative - Conductive Heat Exchange in a System of Semitransparent Bodies // Russian J. of Math. Phys. 2016. V. 23. № 3. P. 309–334.

  25. Amosov A.A. Unique Solvability of Stationary Radiative – Conductive Heat Transfer Problem in a System of Semitransparent Bodies // J. of Math. Sc. (United States). 2017. V. 224. № 5. P. 618–646.

  26. Amosov A.A. Asymptotic Behavior of a Solution to the Radiative Transfer Equation in a Multilayered Medium with Diffuse Reflection and Refraction Conditions // J. of Math. Sc. (United States). 2020. V. 244. P. 541–575.

  27. Amosov A.A., Krymov N.E. On a Nonstandard Boundary Value Problem Arising in Homogenization of Complex Heat Transfer Problems // J. of Math. Sc. (United States). 2020. V. 244. P. 357–377.

  28. Fučik S., Kufner A. Nonlinear differential equations, New York: Elsevier, 1980.

  29. Fursikov A.V. Optimal Control of Distributed Systems. Theory and Applications, American Math. Soc., 2000.

  30. Ioffe A.D., Tikhomirov V.M. Theory of Extremal Problems, Amsterdam, North-Holland, 1979.

  31. Alnaes M.S., Blechta J., Hake J., Johansson A., Kehlet B., Logg A., Richardson C., Ring J., Rognes M.E., Wells G.N. The FEniCS Project Version 1.5 Archive of Numerical Software, vol. 3, 2015.

  32. Logg A., Wells G.N. DOLFIN: Automated Finite Element Computing ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 37, 2010

  33. https://github.com/mesenev/articles_src

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Журнал вычислительной математики и математической физики

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал