Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 1, стр. 124-158
О разрушении слабых решений задачи Коши для 3+1-мерного уравнения дрейфовых волн в плазме
М. О. Корпусов 1, *, Р. С. Шафир 1, **
1 МГУ им. М.В. Ломоносова
119991 Москва, Ленинские горы, 1, Россия
* E-mail: korpusov@gmail.com
** E-mail: romanshafir@mail.ru
Поступила в редакцию 10.01.2021
После доработки 10.01.2021
Принята к публикации 17.09.2021
- EDN: MJURWB
- DOI: 10.31857/S0044466922010082
Аннотация
Рассмотрена задача Коши для нового уравнения, описывающего дрейфовые волны в магнитоактивной плазме. Доказаны существование и единственность локального во времени слабого решения задачи Коши. Рассматриваемое уравнение содержит степенную нелинейность ${\text{|}}u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}$. Показано, что если $1 < q \leqslant 3,$ то слабое решение $u(x,t)$ в широком классе начальных функций ${{u}_{0}}(x)$ отсутствует даже локально во времени, если же $3 < q \leqslant 5,$ то отсутствуют глобальные во времени слабые решения задачи Коши в широком классе начальных функций, не зависящем от величины начальной функции, т.е. и для “малых” начальных функций. При $q > 4$, используя результаты теории распределений и метод сжимающих отображений, доказано существование единственного локального во времени слабого решения. Библ. 22.
Ключевые слова: нелинейные уравнения соболевского типа, разрушение, blow-up, локальная разрешимость, нелинейная емкость, оценки времени разрушения.
1. ВВЕДЕНИЕ
Вопросы, связанные с изучением нестабильностей плазмы, имеют актуальное значение, поскольку до сих пор технически не решена проблема о возможности удержания плазмы магнитным полем токамака. В этой связи возникает насущная необходимость в исследовании как вопросов устойчивости плазмы в магнитном поле, так и вопросов неустойчивости плазмы в магнитном поле. Настоящая работа посвящена вопросам взрывной неустойчивости (blow-up) решений задачи Коши для нелинейного уравнения дрейфовых волн в плазме, имеющего в прямоугольной декартовой системе координат $Oxyz,$ ось $Oz$ которой сонаправленная с внешним постоянным и однородным магнитным полем ${{{\mathbf{B}}}_{0}} = {{B}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}}$, следующий вид:
(1.1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi + \omega _{B}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} + {{q}_{1}}{\text{|}}\phi {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}} = 0,\quad {{\Delta }_{ \bot }} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}.$Отметим, что уравнение (1.1) относится к уравнениям соболевского типа (см. [2]). Исследованию уравнений соболевского типа посвящено большое количество работ. Так, в работах Г.А. Свиридюка, С.А. Загребиной, А.А. Замышляевой (см. [3]–[5]) были рассмотрены в общем виде и в виде примеров начально-краевые задачи для большого многообразия классов линейных и нелинейных уравнений соболевского типа.
Отметим, что впервые теория потенциала для неклассических уравнений типа Соболева была рассмотрена в работе Б.В. Капитонова [6]. В дальнейшем теория потенциала изучалась в работах С.А. Габова и А.Г. Свешникова [7], [8], а также в работах их учеников (см. работу Ю.Д. Плетнера [9]).
В классической работе [10] С.И. Похожаева и Э. Митидиери достаточно простым методом нелинейной емкости были получены глубокие результаты о роли так называемых критических показателей. Отметим также работы Е.И. Галахова и О.А. Салиевой [11] и [12].
Настоящая работа продолжает исследования, начатые в [13]–[15] и посвященные получению так называемых критических показателей для решений задач Коши для нелинейных уравнений соболевского типа. В настоящей работе, с одной стороны, мы получили два критических показателя: $q = 3$ и $q = 5$. При $q \in (1,3]$ слабое решение задачи Коши отсутствует даже локально во времени, а при $q \in (3,5]$ отсутствует глобальное во времени слабое решение даже для малых (ненулевых) начальных функций. С другой стороны, при $q > 4$ мы доказали существование и единственность локального во времени слабого решения задачи Коши.
2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ
В этом разделе мы приведем вывод рассматриваемого ниже нелинейного уравнения дрейфовых волн в плазме во внешнем магнитном поле (см. [16]–[19]).
Пусть ${{{\mathbf{B}}}_{0}} = {{B}_{0}}{{{\mathbf{e}}}_{3}}$ и $\{ O,{{{\mathbf{e}}}_{1}},{{{\mathbf{e}}}_{2}},{{{\mathbf{e}}}_{3}}\} $ – это прямоугольная правая декартова система координат. Рассмотрим систему уравнений квазистационарного электрического поля
(2.1)
$\operatorname{div} {\mathbf{D}} = - 4\pi {{n}_{e}},\quad \operatorname{rot} {\mathbf{E}} = 0,\quad {\mathbf{D}} = {\mathbf{E}} + 4\pi {\mathbf{P}},$
${\mathbf{v}} = - \frac{c}{{{{B}_{0}}}}\left\{ { - [\nabla \phi ,{{{\mathbf{e}}}_{3}}] + \frac{1}{{{{\omega }_{B}}}}\frac{\partial }{{\partial t}}{{\nabla }_{ \bot }}\phi } \right\} + {{{v}}_{3}}{{{\mathbf{e}}}_{3}},\quad {\mathbf{v}} = ({{{v}}_{1}},{{{v}}_{2}},{{{v}}_{3}}),$
$\frac{{\partial {{{v}}_{3}}}}{{\partial t}} = - \frac{e}{M}\frac{{\partial \phi }}{{\partial {{x}_{3}}}},$
где ${\mathbf{v}}$ – вектор скорости ионов, $c$ – скорость света, ${{\omega }_{B}} = e{{B}_{0}}{\text{/}}(Mc)$ – частота прецессии Лармора ионов в магнитном поле, $M$ – масса ионов. Кроме того, рассмотрим нелокальное уравнение
(2.2)
$\frac{{\partial {{n}_{e}}}}{{\partial t}} + \int\limits_0^t \,Q({\text{|}}\phi {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} )ds = 0,$(2.3)
$\frac{{u_{A}^{2}}}{{{{c}^{2}}}}\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\Delta \phi + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi + \omega _{B}^{2}\frac{{{{\partial }^{2}}\phi }}{{\partial x_{3}^{2}}} + 4\pi e\frac{{u_{A}^{2}}}{{{{c}^{2}}}}{{q}_{0}}{\text{|}}\phi {\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}} = 0,$
$\Delta : = {{\Delta }_{ \bot }} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{3}^{2}}},\quad {{\Delta }_{ \bot }}: = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}},$
$u_{A}^{2}: = \frac{{B_{0}^{2}}}{{4\pi {{n}_{0}}M}},\quad \omega _{B}^{2} = \mathop {\left( {\frac{{e{{B}_{0}}}}{{Mc}}} \right)}\nolimits^2 ,\quad {{\varepsilon }^{2}}: = \frac{{u_{A}^{2}}}{{{{c}^{2}}}} \ll 1,$
${{u}_{A}}$ – альфвеновская скорость ионов. Поэтому в силу малости $\varepsilon $ вместо уравнения (2.3) рассматривают вырожденное уравнение при $\varepsilon = 0$:
3. ОБОЗНАЧЕНИЯ
Под классом функций $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}};{{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ при ${{\gamma }_{1}} \geqslant 0$ и ${{\gamma }_{2}} \geqslant 0$ мы понимаем такие функции $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ что конечна следующая норма:
(3.1)
${{\left\| u \right\|}_{T}}: = \mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}{\text{|}}u(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} < + \infty .$Под классом функций ${{\mathbb{C}}^{{2 + 2}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T])$ мы понимаем такие функции $u(x,t)$, что
(3.2)
$D_{t}^{k} = \partial _{t}^{k},\quad D_{x}^{\alpha } = \partial _{{{{x}_{1}}}}^{{{{\alpha }_{1}}}}\partial _{{{{x}_{2}}}}^{{{{\alpha }_{2}}}}\partial _{{{{x}_{3}}}}^{{{{\alpha }_{3}}}},\quad \alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}}),\quad {{\alpha }_{j}} \in \{ 0,1,2\} ,\quad j = 1,2,3,$
${\text{|}}\alpha {\text{|}}: = {{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}} + {{\alpha }_{3}} \leqslant 2,\quad k \in \{ 0,1,2\} ,$
причем всевозможные смешанные производные вида (3.2) перестановочны.
Под классом функций $\mathbb{C}_{0}^{{2 + 2}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ мы подразумеваем такие функции $u(x,t) \in \mathbb{C}_{b}^{{2 + 2}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ которые состоят из таких функций $u(x,t),$ что
таких что $u(x,T) = u{\kern 1pt} '(x,T) = u{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(x,T) = 0$ для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ и носитель $\operatorname{supp} u(x,t)$ – компакт в ${{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$.Под классом функций ${{\mathbb{C}}^{{2 + 1}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ мы понимаем такие функции $u(x,t)$, что
$D_{t}^{k} = \partial _{t}^{k},\quad D_{x}^{\alpha } = \partial _{{{{x}_{1}}}}^{{{{\alpha }_{1}}}}\partial _{{{{x}_{2}}}}^{{{{\alpha }_{2}}}}\partial _{{{{x}_{3}}}}^{{{{\alpha }_{3}}}},\quad \alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}}),\quad {{\alpha }_{j}} \in \{ 0,1,2\} ,\quad j = 1,2,3,$
${\text{|}}\alpha {\text{|}}: = {{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}} + {{\alpha }_{3}} \leqslant 2,\quad k \in \{ 0,1\} ,$
причем всевозможные смешанные производные вида (3.3) перестановочны.
Под классом функций ${{\mathbb{C}}^{{(2,0)}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ мы понимаем такие функции $u(x)$, что
$D_{x}^{\alpha }u(x) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad \alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},0),\quad {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}} \in \{ 0,1,2\} ,\quad {\text{|}}\alpha {\kern 1pt} {\text{|}} = {{\alpha }_{1}} + {{\alpha }_{2}} \leqslant 2.$
Под классом функций ${{\mathbb{C}}^{{(0,1)}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T])$ мы понимаем такие функции $u(x,t),$ что
$u(x,t),\quad \frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial t}} \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T]).$
Под классом функций $\mathbb{C}_{b}^{{(0,1)}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ мы понимаем такие функции $u(x,t),$ что
$u(x,t),\quad \frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial t}} \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]).$
Можно доказать, что это пространство банахово относительно нормы
$\mathop {sup}\limits_{(x,t){{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} \left[ {{\text{|}}u(x,t){\text{|}} + \left| {\frac{{\partial u(x,t)}}{{\partial t}}} \right|} \right] < + \infty .$
Под классом функций $\mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]$ мы подразумеваем функции $\phi (t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}[0,T],$ удовлетворяющие равенствам $\phi (T) = \phi {\kern 1pt} '(T) = \phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(T) = 0.$ Этот класс функций является банаховым пространством относительно стандартной нормы
$\left\| \phi \right\|: = \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} {\text{|}}\phi (t){\kern 1pt} {\text{|}} + \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} {\text{|}}\phi {\kern 1pt} '(t){\kern 1pt} {\text{|}} + \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} {\text{|}}\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t){\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} .$
4. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ ОЦЕНКИ
Введем линейный оператор
(4.1)
${{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[u](x,t): = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}u(x,t) + \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial x_{3}^{2}}}(x,t),$
${{\Delta }_{ \bot }} = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial x_{2}^{2}}}.$
Найдем фундаментальное решение следующего уравнения в смысле $\mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{4}})$:
Применим преобразование Лапласа к обеим частям равенства (4.2) и получим уравнение,
понимаемое в смысле обобщенных функций:
${{p}^{2}}{{\Delta }_{ \bot }}\bar {\mathcal{E}}(x,p) + {{\bar {\mathcal{E}}}_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,p) = \delta (x),$
одним из решений которого является обобщенная функция
$\bar {\mathcal{E}}(x,p) = - \frac{1}{{4\pi }}\frac{1}{p}\frac{1}{{\sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {{p}^{2}}x_{3}^{2}} }}.$
Применяя обратное преобразование Лапласа, мы получаем следующее явное выражение для
фундаментального решения оператора (4.1):
(4.3)
$\mathcal{E}(x,t) = - \frac{{\theta (t)}}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}}{\text{|}}{\kern 1pt} }}\int\limits_0^t \,{{J}_{0}}(\beta (x)s)ds,\quad \beta (x): = \frac{{\sqrt {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} }}{{{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}},$Заметим, что для функции Бесселя ${{J}_{0}}(y)$ справедлива оценка
(4.4)
$\left| {{{J}_{0}}(y)} \right| \leqslant \frac{{{{c}_{0}}}}{{\sqrt {{\text{|}}y{\kern 1pt} {\text{|}}} }}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad y \ne 0,$(4.5)
$\left| {\mathcal{E}(x,t)} \right| \leqslant \frac{1}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}\int\limits_0^t \,\frac{{{{c}_{1}}}}{{\sqrt s \sqrt {\beta (x)} }}ds = {{c}_{1}}\frac{{{{t}^{{1/2}}}}}{{{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}{{{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}}}\quad {\text{при}}\quad {{x}_{3}} \ne 0,\quad ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \ne (0,0),\quad t \geqslant 0.$(4.6)
$\frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x,t)}}{{\partial t}} = - \frac{1}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{J}_{0}}(\beta (x)t)\quad {\text{при}}\quad {{x}_{3}} \ne 0,\quad t \geqslant 0.$(4.7)
$\left| {\frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x,t)}}{{\partial t}}} \right| \leqslant \frac{{{{c}_{1}}}}{{{{t}^{{1/2}}}{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}{{{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}}}$
$\mathcal{E}(x,t),\;\frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x,t)}}{{\partial t}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\mathbb{R}_{ + }^{4}).$
Справедлива следующая
Лемма 1. При $\gamma > 2$ для любых $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}$ имеет место оценка
${{I}_{1}}: = \int\limits_0^{ + \infty } \,d\rho \frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}\int\limits_0^{2\pi } \,\frac{{d\phi }}{{{{{({\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi )}}^{{1/4}}}}} \leqslant \frac{{{{K}_{1}}}}{{{{{(1\; + \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}})}}^{{1/4}}}}}.$
Доказательство. Пусть ${\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} \geqslant 1$. Справедливы равенства
${{I}_{{11}}}: = \int\limits_0^{|x|/2} \,d\rho \frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}\int\limits_0^{2\pi } \,\frac{{d\phi }}{{{{{({\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi )}}^{{1/4}}}}},$
${{I}_{{12}}}: = \int\limits_{|x|/2}^{2|x|} \,d\rho \frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}\int\limits_0^{2\pi } \,\frac{{d\phi }}{{{{{({\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi )}}^{{1/4}}}}},$
${{I}_{{13}}}: = \int\limits_{2|x|}^{ + \infty } \,d\rho \frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}\int\limits_0^{2\pi } \,\frac{{d\phi }}{{{{{({\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi )}}^{{1/4}}}}}.$
Отметим, что выполнено неравенство
(4.8)
${\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi \geqslant {{({\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} - \rho )}^{2}}.$(4.9)
${{I}_{{11}}} \leqslant 2\pi \int\limits_0^{|x|/2} \,\frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}d\rho \frac{1}{{{{{({\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} - \rho )}}^{{1/2}}}}} \leqslant {{2}^{{3/2}}}\pi \frac{1}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\int\limits_0^{ + \infty } \,\frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}d\rho \leqslant \frac{{{{K}_{{11}}}}}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad \gamma > 2.$
${{I}_{{12}}} \leqslant 2\pi \int\limits_{|x|/2}^{2|x|} \,\frac{1}{{{{\rho }^{{\gamma - 1}}}}}\frac{1}{{{{{\left| {{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} - \rho } \right|}}^{{1/2}}}}}d\rho = \frac{1}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{\gamma - 3/2}}}}}\int\limits_{1/2}^2 \,\frac{1}{{{{r}^{{\gamma - 1}}}{\text{|}}r - 1{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}dr \leqslant \frac{{{{K}_{{12}}}}}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{\gamma - 3/2}}}}} \leqslant \frac{{{{K}_{{12}}}}}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad \gamma > 2.$
Для интеграла ${{I}_{{13}}}$ с учетом (4.8) справедлива оценка
${{I}_{{13}}} \leqslant 2\pi \int\limits_{2|x|}^{ + \infty } \,d\rho \frac{1}{{{{\rho }^{{\gamma - 1}}}}}\frac{1}{{{{{(\rho \; - \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}})}}^{{1/2}}}}} \leqslant \frac{1}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{\gamma - 3/2}}}}}\int\limits_2^{ + \infty } \,dr\frac{1}{{{{r}^{{\gamma - 1}}}}}\frac{1}{{{{{(r - 1)}}^{{1/2}}}}} \leqslant \frac{{{{K}_{{13}}}}}{{{\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad \gamma > 2.$
Несложно рассмотреть случай ${\text{|}}{\kern 1pt} x{\kern 1pt} {\text{|}} < 1$ и доказать, что найдется такая постоянная ${{K}_{2}} > 0$, что выполнено неравенство
Действительно, имеем
${{I}_{{14}}}: = \int\limits_0^2 \,d\rho \frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}\int\limits_0^{2\pi } \,\frac{{d\phi }}{{{{{({\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi )}}^{{1/4}}}}},$
${{I}_{{15}}}: = \int\limits_2^{ + \infty } \,d\rho \frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}\int\limits_0^{2\pi } \,\frac{{d\phi }}{{{{{({\text{|}}x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} + {{\rho }^{2}} - 2{\kern 1pt} {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}\rho cos\phi )}}^{{1/4}}}}}.$
С учетом оценки (4.8) приходим к следующим оценкам:
$\begin{gathered} {{I}_{{14}}} \leqslant 2\pi \int\limits_0^2 \,\frac{\rho }{{{{{\left| {\rho \; - \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} } \right|}}^{{1/2}}}}}d\rho = \{ r = \rho \; - \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} \} = 2\pi \int\limits_{ - |x|}^{2 - |x|} \,\frac{{r\; + \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{{\text{|}}r{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}dr = \\ = 2\pi \int\limits_0^{2 - |x|} \,\frac{{r\; + \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{{{r}^{{1/2}}}}}dr + 2\pi \int\limits_{ - |x|}^0 \,\frac{{r\; + \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{{{{( - r)}}^{{1/2}}}}}dr \leqslant {{K}_{{21}}}\quad {\text{при}}\quad {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} < 1, \\ \end{gathered} $
${{I}_{{15}}} \leqslant 2\pi \int\limits_2^{ + \infty } \,\frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}{{{\left| {\rho \; - \;{\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} } \right|}}^{{1/2}}}}}d\rho \leqslant 2\pi \int\limits_2^{ + \infty } \,\frac{\rho }{{{{{(1 + {{\rho }^{2}})}}^{{\gamma /2}}}{{{(\rho - 1)}}^{{1/2}}}}}d\rho \leqslant {{K}_{{22}}}\quad {\text{при}}\quad {\text{|}}x{\kern 1pt} {\text{|}} < 1.$
Из оценок (4.9), (4.10) вытекает, что
(4.11)
${{I}_{1}} \leqslant \frac{{{{K}_{1}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}}}\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}},$Справедлива следующая
Лемма 2. При $\gamma > 1$ для любого $x \in {{\mathbb{R}}^{1}}$ справедлива оценка
(4.12)
${{I}_{2}}: = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy \leqslant \frac{{{{K}_{3}}}}{{{{{(1 + {{x}^{2}})}}^{{1/4}}}}},\quad {{K}_{3}} > 0.$Доказательство. Без ограничения общности рассмотрим случай $x \geqslant 0.$ Справедливы равенства
${{I}_{2}} = \int\limits_0^{ + \infty } \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy + \int\limits_0^{ + \infty } \,\frac{1}{{{{{(y + x)}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy: = {{I}_{{21}}} + {{I}_{{22}}}.$
Для интеграла ${{I}_{{22}}}$ справедливы следующие оценки при $\gamma > 1$:
(4.13)
${{I}_{{22}}} \leqslant \int\limits_0^{ + \infty } \,\frac{1}{{{{y}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy = {{\hat {K}}_{{31}}} < + \infty \quad {\text{при}}\quad x \in [0,1],$(4.14)
${{I}_{{22}}} \leqslant \frac{1}{{{{x}^{{1/2}}}}}\int\limits_0^{ + \infty } \,\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy = \frac{{{{K}_{{31}}}}}{{{{x}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad x \geqslant 1.$(4.15)
$\begin{gathered} {{I}_{{211}}}: = \int\limits_0^{x/2} \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy, \\ {{I}_{{212}}}: = \int\limits_{x/2}^{2x} \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy, \\ \end{gathered} $
${{I}_{{213}}}: = \int\limits_{2x}^{ + \infty } \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy.$
Для интеграла ${{I}_{{211}}}$ при $x \geqslant 1$ справедлива оценка
(4.16)
${{I}_{{211}}} \leqslant \frac{{\sqrt 2 }}{{{{x}^{{1/2}}}}}\int\limits_0^{ + \infty } \,\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy = \frac{{{{K}_{{31}}}}}{{{{x}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad \gamma > 1.$
${{I}_{{212}}} \leqslant \int\limits_{x/2}^{2x} \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{y}^{\gamma }}}}dy = \{ y = xz\} = \frac{1}{{{{x}^{{\gamma - 1/2}}}}}\int\limits_{1/2}^2 \,\frac{1}{{{\text{|}}z - 1{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{z}^{\gamma }}}}dz = \frac{{{{K}_{{32}}}}}{{{{x}^{{\gamma - 1/2}}}}} \leqslant \frac{{{{K}_{{32}}}}}{{{{x}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad \gamma > 1.$
Для интеграла ${{I}_{{213}}}$ при $x \geqslant 1$ справедлива оценка
(4.17)
${{I}_{{213}}} \leqslant \int\limits_{2x}^{ + \infty } \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{y}^{\gamma }}}}dy = \{ y = zx\} \frac{1}{{{{x}^{{\gamma - 1/2}}}}}\int\limits_2^{ + \infty } \,\frac{1}{{{{{(z - 1)}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{z}^{\gamma }}}}dz = \frac{{{{K}_{{33}}}}}{{{{x}^{{\gamma - 1/2}}}}} \leqslant \frac{{{{K}_{{33}}}}}{{{{x}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad \gamma > 1.$(4.18)
${{I}_{{21}}} \leqslant \frac{{{{K}_{3}}}}{{{{x}^{{1/2}}}}}\quad {\text{при}}\quad x \geqslant 1,\quad \gamma > 1.$(4.19)
$\begin{gathered} {{I}_{{21}}} = \int\limits_2^{ + \infty } \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy + \int\limits_0^2 \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + {{y}^{2}})}}^{{\gamma /2}}}}}dy \leqslant \\ \leqslant \int\limits_2^{ + \infty } \,\frac{1}{{{{y}^{\gamma }}}}dy + \int\limits_0^2 \,\frac{1}{{{\text{|}}y - x{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}dy = \frac{{{{2}^{{1 - \gamma }}}}}{{\gamma - 1}} + 2{{(2 - x)}^{{1/2}}} + 2{{x}^{{1/2}}} \leqslant \frac{{{{2}^{{1 - \gamma }}}}}{{\gamma - 1}} + 4. \\ \end{gathered} $Справедлива
Лемма 3. Для интегралов
(4.20)
${{I}_{3}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{\text{|}}\mathcal{E}(x - y,t - s){\text{|}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}dyds,$(4.21)
${{I}_{4}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\left| {\tfrac{{\partial{ \mathcal{E}}(x - y,t - s)}}{{\partial s}}} \right|}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}dyds$(4.22)
${{I}_{3}} \leqslant {{M}_{1}}\frac{{{{t}^{{3/2}}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}},$(4.23)
${{I}_{4}} \leqslant {{M}_{2}}\frac{{{{t}^{{1/2}}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}$Доказательство. Докажем сначала оценку (4.22) для интеграла ${{I}_{3}}.$ В силу оценки (4.5) для функции $\mathcal{E}(x,t)$ мы получаем следующую цепочку неравенств:
$\begin{gathered} {{I}_{3}} \leqslant {{c}_{1}}\int\limits_0^t \,\sqrt {t - s} ds\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{2}}} \,\frac{1}{{{{{(1 + {{{({{x}_{1}} - {{y}_{1}})}}^{2}} + {{{({{x}_{2}} - {{y}_{2}})}}^{2}})}}^{{1/4}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} \times \\ \, \times \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{1}}} \,\frac{1}{{{\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}\frac{1}{{{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}d{{y}_{3}} \leqslant \frac{2}{3}{{c}_{1}}{{t}^{{3/2}}}\frac{{{{K}_{1}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}}}\frac{{{{K}_{2}}}}{{{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{M}_{1}}: = (2{{c}_{1}}{{K}_{1}}{{K}_{3}}){\text{/}}3$, и мы воспользовались неравенствами (4.11) и (4.12) лемм 1 и 2 соответственно.
Для доказательства оценки (4.23) нужно воспользоваться оценкой (4.7). Лемма доказана.
Аналогичным образом можно доказать следующую лемму.
Лемма 4. Для интегралов
(4.24)
${{I}_{5}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{\text{|}}\mathcal{E}(x - y,t){\text{|}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}dy,$(4.25)
${{I}_{6}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\left| {\tfrac{{\partial{ \mathcal{E}}(x - y,t)}}{{\partial t}}} \right|}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}dy$(4.26)
${{I}_{5}} \leqslant {{M}_{3}}\frac{{{{t}^{{1/2}}}}}{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}$(4.27)
${{I}_{6}} \leqslant {{M}_{4}}\frac{1}{{{{t}^{{1/2}}}{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}$5. СЛАБОЕ ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
Рассмотрим задачу Коши
(5.2)
$u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad u{\kern 1pt} '(x,0) = {{u}_{1}}(x),\quad x \in {{\mathbb{R}}^{3}}.$Определение 1. Классическим локальным во времени решением задачи Коши (5.1), (5.2) называется функция $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + 2}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]) \cap {{\mathbb{C}}^{{2 + 1}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ удовлетворяющая уравнению (5.1) поточечно при $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T],$ начальным условиям (5.2) для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{3}},$ причем ${{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{(2,0)}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и $f(x,t) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$.
Дадим определение слабого решения задачи Коши (5.1), (5.2).
Определение 2. Слабым обобщенным локальным во времени решением задачи Коши (5.1), (5.2) называется функция $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \times [0,T]),$ которая удовлетворяет следующему равенству:
(5.3)
$\begin{gathered} \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t)f(x,t)dxdt + \\ \, + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \phi (x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]dx \\ \end{gathered} $
${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x),{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad f(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]).$
Справедливо следующее утверждение:
Лемма 5. Всякое классическое локальное во времени решение задачи Коши (5.1), (5.2) в смысле определения $1$ является слабым локальным во времени решением задачи Коши в смысле определения $2$.
Доказательство. Пусть $u(x,t)$ – классическое решение задачи Коши (5.1), (5.2) в смысле определения 1. Пусть, кроме того, $T > 0$ и $\varepsilon \in (0,T)$, $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$. Тогда справедливо равенство
$\int\limits_\varepsilon ^T \,\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)u(x,t)dt = - \frac{\partial }{{\partial t}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,\varepsilon )u(x,\varepsilon ) + {{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,\varepsilon )\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,\varepsilon ) + \int\limits_\varepsilon ^T \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)\frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}}dt.$
Отсюда и используя финитность функции $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$, интегрированием по частям получим формулу
(5.4)
$\begin{gathered} \int\limits_\varepsilon ^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)u(x,t)dxdt = - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{\partial }{{\partial t}}\phi (x,\varepsilon ){{\Delta }_{ \bot }}u(x,\varepsilon )dx + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,\varepsilon ){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,\varepsilon )dx + \\ \, + \int\limits_\varepsilon ^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)\frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}}dxdt. \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_\varepsilon ^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt = \\ \, = \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_\varepsilon ^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[u](x,t)dxdt + \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,\varepsilon ){{\Delta }_{ \bot }}u(x,\varepsilon ) + \phi (x,\varepsilon ){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial u}}{{\partial t}}(x,\varepsilon )} \right]dx = \\ \, = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t)f(x,t)dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \phi (x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]dx. \\ \end{gathered} $
Таким образом, $u(x,t)$ – это слабое решение в смысле определения 2. Лемма доказана.
Будем использовать обозначения
(5.5)
$\tilde {u}(x,t): = \left\{ \begin{gathered} u(x,t),\quad {\text{если}}\quad t \in [0,T], \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad t < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$(5.6)
$\tilde {f}(x,t): = \left\{ \begin{gathered} f(x,t),\quad {\text{если}}\quad t \in [0,T], \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad t < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$Лемма 6. Пусть $u(x,t)$ – слабое локальное во времени решение задачи Коши в смысле определения $2$. Тогда в смысле распределений из $\mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ функция $\tilde {u}(x,t)$ удовлетворяет уравнению
${{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\tilde {u}](x,t) = \tilde {f}(x,t) + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x)\delta {\kern 1pt} '(t) + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)\delta (t).$
Доказательство. Пусть $u(x,t)$ – слабое решение задачи Коши в смысле определения 2. Пусть $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ и $T > 0$. Тогда из (5.3) вытекает следующая цепочка равенств:
$\begin{gathered} \left\langle {{{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\tilde {u}](x,t),\phi (x,t)} \right\rangle = \left\langle {\tilde {u}(x,t),{{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)} \right\rangle = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t)f(x,t)dxdt + \\ \, + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \phi (x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]dx = \int\limits_{ - \infty }^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t)\tilde {f}(x,t)dxdt + \\ \, + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \phi (x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]dx = \left\langle {\tilde {f}(x,t) + \delta {\kern 1pt} '(t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \delta (t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x),\phi (x,t)} \right\rangle , \\ \end{gathered} $
где $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle $ – скобки двойственности между $\mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ и $\mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$. Лемма доказана.
Теперь мы можем дать определение обобщенного решения задачи Коши (5.1), (5.2).
Определение 3. Обобщенным локальным во времени решением задачи Коши (5.1), (5.2) называется обобщенная функция $\tilde {u}(x,t) \in \mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)),$ обращающаяся в нуль при $t < 0$, и такая, что для всех $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ выполнено равенство
$\left\langle {\tilde {u}(x,t),{{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)} \right\rangle = \left\langle {F(x,t),\phi (x,t)} \right\rangle ,$
где
$F(x,t) = \tilde {f}(x,t) + \delta {\kern 1pt} '(t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \delta (t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x),$
${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x),\;{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad \tilde {f}(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)).$
В силу результата теоремы 11.3 из [20] справедлива следующая основная
Теорема 1. Пусть функции $f(x,t),$ ${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x)$ и ${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)$ таковы, что существуют свертки
$V_{3}^{{(0)}}(x,t): = \mathcal{E}(x,t) * {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x),\quad V_{3}^{{(1)}}(x,t): = \frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x,t)}}{{\partial t}} * {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x)$
в смысле $\mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$. Тогда обобщенное локальное во времени решение задачи Коши (5.1), (5.2) в смысле определения $3$ представимо в виде суммы трех неклассических волновых потенциалов:
Из этой теоремы вытекает следующая важная
Теорема 2. Всякое обобщенное локальное во времени решение $\tilde {u}(x,t)$ задачи Коши (5.1), (5.2) в смысле определения $3$ удовлетворяет следующему поточечному равенству:
$\tilde {u}(x,t) = {{V}_{3}}(x,t) + V_{3}^{{(0)}}(x,t) + V_{3}^{{(1)}}(x,t)\quad для\;почти\;всех\quad (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T),$
если
${{V}_{3}}(x,t) = \int\limits_{ - \infty }^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t - \tau )\tilde {f}(y,\tau )dyd\tau \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)),$
$V_{3}^{{(0)}}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(y)dy \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)),$
$V_{3}^{{(1)}}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x - y,t)}}{{\partial t}}{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(y)dy \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)),$
а $\mathcal{E}(x,t)$ – фундаментальное решение, определенное равенством (4.3).
Дадим определение слабого обобщенного глобального во времени решения задачи Коши
(5.7)
${{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[u](x,t) = f(x,t),\quad (x,t) \in \mathbb{R}_{ + }^{4}: = {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0, + \infty ),$(5.8)
$u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad u{\kern 1pt} '(x,0) = {{u}_{1}}(x),\quad x \in {{\mathbb{R}}^{3}}.$Определение 4. Слабым глобальным во времени обобщенным решением задачи Коши (5.7), (5.8) называется функция $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \times (0, + \infty )),$ которая удовлетворяет равенству
$\int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt = \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t)f(x,t)dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ { - \frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + \phi (x,0){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]dx$
для любой пробной функции $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty , + \infty )),$ причем
${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x),\;{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad f(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0, + \infty )).$
Справедливa аналогичная утверждению теоремы 2
Теорема 3. Всякое обобщенное глобальное во времени решение $\tilde {u}(x,t)$ задачи Коши (5.7), (5.8) в смысле определения $4$ удовлетворяет поточечному равенству
$\tilde {u}(x,t) = {{V}_{3}}(x,t) + V_{3}^{{(0)}}(x,t) + V_{3}^{{(1)}}(x,t)\quad для\;почти\;всех\quad (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty , + \infty ),$
если
${{V}_{3}}(x,t) = \int\limits_{ - \infty }^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t - \tau )\tilde {f}(y,\tau )dyd\tau \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty , + \infty )),$
$V_{3}^{{(0)}}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(y)dy \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty , + \infty )),$
$V_{3}^{{(1)}}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x - y,t)}}{{\partial t}}{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(y)dy \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty , + \infty )),$
а $\mathcal{E}(x,t)$ – фундаментальное решение, определенное равенством (4.3), где $\tilde {u}(x,t)$ и $\widetilde f(x,t)$ определены равенствами (5.5) и (5.6).
6. СВОЙСТВА ОБЪЕМНОГО И ПОВЕРХНОСТНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ
Рассмотрим сначала объемный потенциал
(6.1)
$\begin{gathered} {{U}_{0}}[\rho ](x,t): = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau )\rho (y,\tau )dyd\tau , \\ {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau ): = - \frac{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}} \times \\ \times \;\frac{1}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\text{|}}}}\int\limits_0^{t - \tau } \,{{J}_{0}}(\beta (x - y)s)ds,\quad \beta (x - y) = \frac{{\sqrt {{{{({{x}_{1}} - {{y}_{1}})}}^{2}} + {{{({{x}_{2}} - {{y}_{2}})}}^{2}}} }}{{{\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\text{|}}}}. \\ \end{gathered} $Лемма 7. При ${{\gamma }_{1}} > 2$ и ${{\gamma }_{2}} > 1$ оператор
${{U}_{0}}\,:{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]) \to {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]).$
Кроме того, если $\rho (x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ тои справедливы предельные свойства
(6.2)
$\mathop {lim}\limits_{t \to + 0} \mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}{{U}_{0}}(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} = 0,\quad \mathop {lim}\limits_{t \to + 0} \mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} \left| {\frac{{\partial {{U}_{0}}(x,t)}}{{\partial t}}} \right| = 0.$Доказательство.
Шаг 1. Сначала докажем, что если $\rho (x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ то ${{U}_{0}}(x,t) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$. Прежде всего введем обозначение
(6.3)
${{Ц}_{a}}(x): = \{ y = ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{({{y}_{1}} - {{x}_{1}})}^{2}} + {{({{y}_{2}} - {{x}_{2}})}^{2}} < {{a}^{2}},{\text{|}}{{y}_{3}} - {{x}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}} < a\} ,\quad a > 0.$(6.4)
$\begin{gathered} \left| {{{U}_{0}}({{x}^{2}},{{t}^{2}}) - {{U}_{0}}({{x}^{1}},{{t}^{1}})} \right| \leqslant \int\limits_{{{t}^{1}}}^{{{t}^{2}}} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{2}} - \tau )} \right|{\text{|}}\rho (y,\tau ){\kern 1pt} {\text{|}}dyd\tau + \\ + \;\int\limits_0^{{{t}^{1}}} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left| {[{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{2}} - \tau ) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}} - \tau )]} \right|{\text{|}}\rho (y,\tau ){\kern 1pt} {\text{|}}dyd\tau : = {{L}_{1}} + {{L}_{2}}, \\ \end{gathered} $
${{L}_{{21}}}: = \int\limits_0^{{{t}^{1}}} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}\backslash {{Ц}_{R}}({{x}^{2}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{2}} - \tau )} \right|{\text{|}}\rho (y,\tau ){\kern 1pt} {\text{|}}dyd\tau ,$
${{L}_{{22}}}: = \int\limits_0^{{{t}^{1}}} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}\backslash {{Ц}_{R}}({{x}^{1}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}} - \tau )} \right|{\text{|}}\rho (y,\tau ){\kern 1pt} {\text{|}}dyd\tau ,$
${{L}_{{23}}}: = \int\limits_0^{{{t}^{1}}} \,\int\limits_{{{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{2}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{2}} - \tau )} \right|{\text{|}}\rho (y,\tau ){\kern 1pt} {\text{|}}dyd\tau ,$
${{L}_{{24}}}: = \int\limits_0^{{{t}^{1}}} \,\int\limits_{{{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{1}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}} - \tau )} \right|{\text{|}}\rho (y,\tau ){\kern 1pt} {\text{|}}dyd\tau ,$
${{L}_{{25}}}: = \int\limits_0^{{{t}^{1}}} \,\left| {\int\limits_{{{Ц}_{R}}({{x}^{2}})\backslash {{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{2}})} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{2}} - \tau )\rho (y,\tau )dy - \int\limits_{{{Ц}_{R}}({{x}^{1}})\backslash {{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{1}})} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}} - \tau )\rho (y,\tau )dy} \right|d\tau .$
Пусть $\delta > 0$ – произвольное фиксированное. Тогда в силу оценки (4.20) найдутся такое достаточно
большое $R > 0$ и достаточно малое $\varepsilon > 0,$ что будут выполнены неравенства
${{L}_{{21}}} < \frac{\delta }{6},\quad {{L}_{{22}}} < \frac{\delta }{6},\quad {{L}_{{23}}} < \frac{\delta }{6},\quad {{L}_{{24}}} < \frac{\delta }{6}.$
Кроме того, при фиксированных $R > 0$ и $\varepsilon > 0$ найдется такое малое $\eta = \eta (\delta ,R,\varepsilon ) > 0,$ что при условии
(6.5)
${\text{|}}{{x}^{2}} - {{x}^{1}}{{{\text{|}}}^{2}}\; + \;{\text{|}}{{t}^{2}} - {{t}^{1}}{{{\text{|}}}^{2}} < {{\eta }^{2}}$
$\left| {{{U}_{0}}({{x}^{2}},{{t}^{2}}) - {{U}_{0}}({{x}^{1}},{{t}^{1}})} \right| < 6\frac{\delta }{6} = \delta \Rightarrow {{U}_{0}}(x,t) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]).$
Шаг 2. Докажем теперь, что на самом деле ${{U}_{0}}(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$, как только $\rho (x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$. В силу результата шага 1 нам достаточно доказать, что найдется такая постоянная ${{M}_{4}}(T) > 0,$ что
$\mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {\text{|}}{{U}_{0}}(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{M}_{4}}(T) < + \infty .$
Действительно, из оценки (4.22) интеграла (4.20) и определения (6.1) справедлива оценка
${\text{|}}{{U}_{0}}(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{M}_{1}}{{T}^{{3/2}}}\mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {\text{|}}\rho (x,t){\kern 1pt} {\text{|}}: = {{M}_{4}}(T) < + \infty .$
Шаг 3. Рассуждая так же, как на шаге 1, с учетом оценок (4.22) и (4.23) леммы 3, можно доказать, что если $\rho (x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ то для любого $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$ справедливо равенство
(6.7)
$\frac{{\partial {{U}_{0}}(x,t)}}{{\partial t}} = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\partial {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau )}}{{\partial t}}\rho (y,\tau )dyd\tau ,$Действительно, справедливо следующее равенство:
(6.8)
$\begin{gathered} \frac{{{{U}_{0}}(x,t + \Delta t) - {{U}_{0}}(x,t)}}{{\Delta t}} = \frac{1}{{\Delta t}}\int\limits_0^{t + \Delta t} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t + \Delta t - \tau )\rho (y,\tau )dyd\tau - \\ - \;\frac{1}{{\Delta t}}\int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau )\rho (y,\tau )dyd\tau = \frac{1}{{\Delta t}}\int\limits_t^{t + \Delta t} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t + \Delta t - \tau )\rho (y,\tau )dyd\tau + \\ \, + \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t + \Delta t - \tau ) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau )}}{{\Delta t}}\rho (y,\tau )dyd\tau : = {{Y}_{1}} + {{Y}_{2}}. \\ \end{gathered} $(6.9)
$\begin{gathered} {\text{|}}{{Y}_{1}}{\kern 1pt} {\text{|}} = \left| {\frac{1}{{\Delta t}}\int\limits_0^{\Delta t} \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,\tau + \Delta t)\rho (y,t - \tau )dyd\tau } \right| \leqslant {\text{|}}{\kern 1pt} 2\Delta t{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}{{M}_{1}}\mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {\text{|}}\rho (y,t){\text{|}} \to + 0 \\ {\text{при}}\quad {\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {\text{|}} \to + 0. \\ \end{gathered} $
${{Y}_{2}} = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s + \Delta t) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s)}}{{\Delta t}}\rho (y,t - s)dyds = {{Y}_{{21}}} + {{Y}_{{22}}} + {{Y}_{{23}}},$
${{Y}_{{21}}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}\backslash {{Ц}_{R}}(x)} \,\frac{{{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s + \Delta t) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s)}}{{\Delta t}}\rho (y,t - s)dyds,$
${{Y}_{{22}}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{Ц}_{\varepsilon }}(x)} \,\frac{{{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s + \Delta t) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s)}}{{\Delta t}}\rho (y,t - s)dyds,$
${{Y}_{{23}}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{Ц}_{R}}(x)\backslash {{Ц}_{\varepsilon }}(x)} \,\frac{{{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s + \Delta t) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,s)}}{{\Delta t}}\rho (y,t - s)dyds,$
${{Y}_{{24}}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{Ц}_{R}}(x)\backslash {{Ц}_{\varepsilon }}(x)} \,{{G}_{0}}(x,y){{J}_{0}}(\beta (x - y)s)\rho (y,t - s)dyds,$
${{Y}_{{25}}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}\backslash {{Ц}_{R}}(x)} \,{{G}_{0}}(x,y){{J}_{0}}(\beta (x - y)s)\rho (y,t - s)dyds,$
${{Y}_{{26}}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{Ц}_{\varepsilon }}(x)} \,{{G}_{0}}(x,y){{J}_{0}}(\beta (x - y)s)\rho (y,t - s)dyds,$
где
${{G}_{0}}(x,y): = - \frac{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}\frac{1}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}.$
Пусть $\delta > 0,$ тогда при достаточно большом $R > 0$ и достаточно малом $\varepsilon > 0$ в силу оценки (4.21) и (6.1) будут справедливы неравенства
(6.10)
${\text{|}}{{Y}_{{21}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{\delta }{5},\quad {\text{|}}{{Y}_{{22}}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \frac{\delta }{5},\quad {\text{|}}{{Y}_{{25}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{\delta }{5},\quad {\text{|}}{{Y}_{{26}}}{\kern 1pt} {\text{|}} < \frac{\delta }{5}.$(6.11)
$\left| {{{Y}_{{23}}} - {{Y}_{{24}}}{\kern 1pt} } \right| \leqslant \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{{\text{Ц}}}_{R}}(x)\backslash {{{\text{Ц}}}_{\varepsilon }}(x)} \,\left| {{{G}_{0}}(x,y){\kern 1pt} } \right|\frac{1}{{{\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {\text{|}}}}\int\limits_s^{s + |\Delta t|} \,\left| {{{J}_{0}}(\beta (x - y)\tau ) - {{J}_{0}}(\beta (x - y)s)} \right|{\text{|}}\rho (y,t - s){\kern 1pt} {\text{|}}d\tau dyds.$(6.12)
$\begin{gathered} \left| {{{J}_{0}}(\beta (x - y)\tau ) - {{J}_{0}}(\beta (x - y)s)} \right| = \left| {\int\limits_s^\tau \,\frac{\partial }{{\partial \sigma }}{{J}_{0}}(\beta (x - y)\sigma )d\sigma } \right| \leqslant {\text{|}}\tau - s{\kern 1pt} {\text{|}}\beta (x - y)\mathop {sup}\limits_{\sigma \in [s,\tau ]} \left| {{{J}_{1}}(\beta (x - y)\sigma )} \right| \leqslant \\ \, \leqslant {\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {\text{|}}\beta (x - y)\mathop {sup}\limits_{\sigma \in [s,\tau ]} \left| {{{J}_{1}}(\beta (x - y)\sigma )} \right| \leqslant {{c}_{0}}{\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {\text{|}}\beta (x - y), \\ \end{gathered} $(6.13)
$\left| {{{Y}_{{23}}} - {{Y}_{{24}}}{\kern 1pt} } \right| \leqslant {\text{|}}\Delta t{\kern 1pt} {\text{|}}{{M}_{5}}(R,\varepsilon ) < \frac{\delta }{5},$(6.15)
$\begin{gathered} {\text{|}}{{Y}_{2}} - {{Y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \left| {{{Y}_{{23}}} - {{Y}_{{24}}}{\kern 1pt} } \right| + \left| {{{Y}_{{21}}}{\kern 1pt} } \right| + \left| {{{Y}_{{22}}}{\kern 1pt} } \right| + \left| {{{Y}_{{25}}}{\kern 1pt} } \right| + \left| {{{Y}_{{26}}}{\kern 1pt} } \right| < \delta , \\ {{Y}_{3}}: = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{G}_{0}}(x,y){{J}_{0}}(\beta (x - y)s)\rho (y,t - s)dyds. \\ \end{gathered} $
${{Y}_{3}} = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\partial {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau )}}{{\partial t}}\rho (y,\tau )dyd\tau ,$
и из (6.8) с учетом (6.9) и (6.15) получить равенство (6.7).
Точно так же рассуждая, как на шаге 1, с учетом оценки (4.23) можно доказать, что
$\frac{{\partial {{U}_{0}}(x,t)}}{{\partial t}} \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]).$
Следовательно, ${{U}_{0}}(x,t) \in \mathbb{C}_{b}^{{(0,1)}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$.
Теперь осталось воспользоваться оценками леммы 3 для интегралов (4.20), (4.21) и получить, что имеют место оценки следующего вида:
(6.16)
$\begin{gathered} \mathop {sup}\limits_{x \in {{R}^{3}}} {\text{|}}{{U}_{0}}(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{M}_{1}}{{t}^{{3/2}}}\mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {\text{|}}\rho (x,t){\kern 1pt} {\text{|}}, \\ \mathop {sup}\limits_{x \in {{R}^{3}}} \left| {\frac{{\partial {{U}_{0}}(x,t)}}{{\partial t}}} \right| \leqslant {{M}_{2}}{{t}^{{1/2}}}\mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {\text{|}}\rho (x,t){\kern 1pt} {\text{|}}. \\ \end{gathered} $Лемма доказана.
Теперь рассмотрим поверхностный потенциал
${{U}_{1}}[\rho ](x,t): = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t)\rho (y)dy,$
где ядро ${{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t)$ оператора ${{U}_{1}}$ определено равенством
$\begin{gathered} {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t): = - \frac{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}\frac{1}{{4\pi {\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} {{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}\int\limits_0^t \,{{J}_{0}}(\beta (x - y)s)ds, \\ \beta (x - y) = \frac{{\sqrt {{{{({{x}_{1}} - {{y}_{1}})}}^{2}} + {{{({{x}_{2}} - {{y}_{2}})}}^{2}}} }}{{|{\kern 1pt} {{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} |}}. \\ \end{gathered} $
Справедливa
Лемма 8. При ${{\gamma }_{1}} > 2,$ ${{\gamma }_{2}} > 1$ и для любого $T > 0$ оператор
${{U}_{1}}:{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \to {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$
причем для всякой $\rho (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ – фиксированной функции, справедливо следующее предельное равенство:
(6.17)
$\mathop {lim}\limits_{t \to + 0} \mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}{{U}_{1}}(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} = 0.$Доказательство.
Шаг 1. Сначала докажем, что ${{U}_{1}}(x,t) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$, как только $\rho (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$. Действительно, пусть $({{x}^{1}},{{t}^{1}}),({{x}^{2}},{{t}^{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]$, причем ${{t}^{2}} > {{t}^{1}}$. Тогда при $R > \varepsilon $ справедливы следующие цепочки неравенств:
$\begin{gathered} \left| {{{U}_{1}}({{x}^{2}},{{t}^{2}}) - {{U}_{1}}({{x}^{1}},{{t}^{1}})} \right| \leqslant \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{2}}) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{1}})} \right||\rho (y)|dy + \\ \, + \left| {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,[{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{1}}) - {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}})]\rho (y)dy} \right|: = {{N}_{1}} + {{N}_{2}}, \\ \end{gathered} $
(6.18)
$\begin{gathered} {{N}_{2}} \leqslant {{N}_{{21}}} + {{N}_{{22}}} + {{N}_{{23}}} + {{N}_{{24}}} + {{N}_{{25}}}, \\ {{N}_{{21}}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}\backslash {{Ц}_{R}}({{x}^{2}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{1}})} \right|{\text{|}}\rho (y){\kern 1pt} {\text{|}}dy, \\ {{N}_{{22}}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}\backslash {{Ц}_{R}}({{x}^{1}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}})} \right|{\text{|}}\rho (y){\kern 1pt} {\text{|}}dy, \\ {{N}_{{23}}}: = \int\limits_{{{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{2}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{1}})} \right|{\text{|}}\rho (y){\kern 1pt} {\text{|}}dy, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{N}_{{24}}}: = \int\limits_{{{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{1}})} \,\left| {{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}})} \right|{\text{|}}\rho (y){\kern 1pt} {\text{|}}dy, \\ {{N}_{{25}}}: = \left| {\int\limits_{{{Ц}_{R}}({{x}^{2}})\backslash {{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{2}})} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{2}},y,{{t}^{1}})\rho (y)dy - \int\limits_{{{Ц}_{R}}({{x}^{1}})\backslash {{Ц}_{\varepsilon }}({{x}^{1}})} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}({{x}^{1}},y,{{t}^{1}})\rho (y)dy} \right|, \\ \end{gathered} $
где мы использовали обозначение (6.3) для цилиндра ${{Ц}_{a}}(x).$ Отметим, что при ${{x}_{3}} \ne 0$ в силу (4.4) справедлива оценка
$\left| {\int\limits_{{{t}^{1}}}^{{{t}^{2}}} \,{{J}_{0}}(\beta (x)s)ds} \right| \leqslant {{c}_{0}}\frac{{{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}{{{{{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}}}\int\limits_{{{t}^{1}}}^{{{t}^{2}}} \,\frac{1}{{\sqrt s }}ds = 2{{c}_{0}}\frac{{{\text{|}}{{x}_{3}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{1/2}}}}}{{{{{(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}}}\left[ {\sqrt {{{t}^{2}}} - \sqrt {{{t}^{1}}} } \right].$
Отсюда и из оценки (4.24) можно получить оценку
Таким образом, из оценки (4.24) получаем, что для любого $\delta > 0$ найдутся такие достаточно большое $R > 0$ и достаточно малое $\varepsilon > 0,$ что будут выполнены неравенства
${{N}_{{21}}} < \frac{\delta }{6},\quad {{N}_{{22}}} < \frac{\delta }{6},\quad {{N}_{{23}}} < \frac{\delta }{6},\quad {{N}_{{24}}} < \frac{\delta }{6}.$
При этих фиксированных $\varepsilon > 0$ и $R > 0$ теперь найдется такое малое $\eta = \eta (\delta ,R,\varepsilon ) > 0,$ что, как только
${\text{|}}{{x}^{2}} - {{x}^{1}}{{{\text{|}}}^{2}} + \;{\text{|}}{{t}^{2}} - {{t}^{1}}{{{\text{|}}}^{2}} < {{\eta }^{2}},$
будут выполнены неравенства
Из (6.18), (6.19) вытекает, что для любого $\delta > 0$ найдется такое $\eta > 0,$ что, как только выполнено (6.19), получаем неравенство
$\left| {{{U}_{1}}({{x}^{2}},{{t}^{2}}) - {{U}_{1}}({{x}^{1}},{{t}^{1}})} \right| < 6\frac{\delta }{6} = \delta \Rightarrow {{U}_{1}}(x,t) \in \mathbb{C}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])\quad {\text{для}}\;{\text{любого}}\quad T > 0.$
Шаг 2. Из оценки (4.26) вытекает оценка
(6.20)
${\text{|}}{{U}_{1}}(x,t){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{M}_{3}}{{t}^{{1/2}}}\mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}\rho (x){\kern 1pt} {\text{|}},$Шаг 3. Утверждение, что ${{U}_{1}}(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{0,1}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T])$ для любого $T > 0$, как только $\rho (x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$, вытекает из явного вида ядра ${{K}_{0}}(x,y,t)$ и оценки (4.27) интеграла (4.25) и доказывается точно так же, как и доказательство (6.7). Из оценки (4.27) получаем, что при $t \geqslant {{t}_{0}} > 0$ для любого фиксированного ${{t}_{0}} > 0$ справедлива оценка
$\left| {\frac{{\partial {{U}_{1}}(x,t)}}{{\partial t}}} \right| \leqslant \frac{{{{M}_{3}}}}{{t_{0}^{{1/2}}}}\mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}\rho (x){\kern 1pt} {\text{|}},\quad x \in {{\mathbb{R}}^{3}}.$
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь следующий потенциал:
${{U}_{2}}(x,t): = {{U}_{2}}[{{\mu }_{0}}](x,t): = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{\partial{ \mathcal{E}}(x - y,t)}}{{\partial t}}{{\Delta }_{ \bot }}{{\mu }_{0}}(y)dy.$
С учетом равенства (4.6) потенциал ${{U}_{2}}(x,t)$ примет вид
${{U}_{2}}(x,t) = - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{J}_{0}}(\beta (x - y)t)}}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{\Delta }_{ \bot }}{{\mu }_{0}}(y)dy.$
Справедливa
Лемма 9. Пусть ${{\mu }_{0}}(x) \in \mathbb{C}_{0}^{{(2,0)}}({{\mathbb{R}}^{3}}).$ Тогда для каждого фиксированного $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$ справедливо предельное свойство
Для доказательства леммы 9 достаточно воспользоваться результатом (9.15).
Лемма доказана.
7. ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим следующее нелинейное интегральное уравнение:
(7.1)
$u(x,t) = - \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t - \tau ){\text{|}}u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}(y,\tau )dyd\tau + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(y)dy,$(7.3)
${{\rho }_{1}}(x): = {{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x).$(7.4)
$v(x,t) = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{q/2,q/2}}}(x,y,t - \tau ){{\left| v \right|}^{q}}(y,\tau )dyd\tau + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t){{\rho }_{1}}(y)dy,$
${{K}_{{q/2,q/2}}}(x,y,t - \tau ): = \frac{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{q/4}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{q/4}}}}}\frac{1}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}\int\limits_0^{t - \tau } \,{{J}_{0}}(\beta (x - y)s)ds,$
(7.5)
$\begin{gathered} \beta (x - y) = \frac{{\sqrt {{{{({{x}_{1}} - {{y}_{1}})}}^{2}} + {{{({{x}_{2}} - {{y}_{2}})}}^{2}}} }}{{{\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}, \\ {{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t - \tau ): = - \frac{{{{{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}}^{{1/4}}}{{{(1 + x_{3}^{2})}}^{{1/4}}}}}{{{{{(1 + y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{{(1 + y_{3}^{2})}}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}}}}\frac{1}{{4\pi {\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}\int\limits_0^{t - \tau } \,{{J}_{0}}(\beta (x - y)s)ds, \\ \end{gathered} $
$\beta (x - y) = \frac{{\sqrt {{{{({{x}_{1}} - {{y}_{1}})}}^{2}} + {{{({{x}_{2}} - {{y}_{2}})}}^{2}}} }}{{{\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}.$
Справедливa
Теорема 4. Если $q > 4,$ ${{\gamma }_{1}} > 2,$ ${{\gamma }_{2}} > 1$, то для всякого ${{\rho }_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ найдется такое максимальное ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{\rho }_{1}}) > 0,$ что для каждого $T \in (0,{{T}_{0}})$ существует единственное решение интегрального уравнения (7.4) в банаховом пространстве $v(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ причем либо ${{T}_{0}} = + \infty $, либо ${{T}_{0}} < + \infty $, и в последнем случае имеет место предельное свойство
(7.6)
$\mathop {lim}\limits_{T \uparrow {{T}_{0}}} {{\left\| v \right\|}_{T}} = + \infty ,\quad {{\left\| v \right\|}_{T}} = \mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {\text{|}}v(x,t){\text{|}}.$Доказательство.
Шаг 1. В силу результатов лемм 7 и 8 объемный потенциал ${{U}_{0}}(x,t)$ и поверхностный потенциал ${{U}_{1}}(x,t)$:
(7.7)
$\begin{gathered} {{U}_{0}}(x,t) = \int\limits_0^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{q/2,q/2}}}(x,y,t - \tau ){{\left| v \right|}^{q}}(y,\tau )dyd\tau , \\ {{U}_{1}}(x,t) = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{K}_{{{{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}}}}}(x,y,t){{\rho }_{1}}(y)dy, \\ \end{gathered} $(7.8)
${{U}_{0}}(x,t)\,:{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]) \to {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$(7.9)
${{U}_{1}}(x,t)\,:{{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}}) \to {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]).$Шаг 2. На этом шаге докажем, что оператор
$A(v)\,:{{D}_{{R,T}}} \to {{D}_{{R,T}}},\quad {{D}_{{R,T}}}: = \left\{ {v(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]):{{{v}}_{T}} \leqslant R} \right\}$
при достаточно большом $R > 0$ и достаточно малом $T > 0$. Действительно, пусть $v(x,t) \in {{D}_{{R,T}}}$, воспользуемся оценкой (6.20) из доказательства леммы 8 и получим следующую оценку
для потенциала ${{U}_{1}}(x,t)$:
${{\left\| {{{U}_{1}}(x,t)} \right\|}_{T}} \leqslant {{M}_{3}}{{T}^{{1/2}}}\mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}{{\rho }_{1}}(x){\kern 1pt} {\text{|}}.$
Пусть $T \in (0,{{T}_{1}}],$ где ${{T}_{1}} > 0$ – некоторое фиксированное число. Выберем $R = R({{T}_{1}}) > 0$ настолько большим, чтобы было выполнено неравенство
(7.10)
${{M}_{3}}T_{1}^{{1/2}}\mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}{{\rho }_{1}}(x){\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{R}{2} \Rightarrow {{\left\| {{{U}_{1}}(x,t)} \right\|}_{T}} \leqslant {{\left\| {{{U}_{1}}(x,t)} \right\|}_{{{{T}_{1}}}}} \leqslant \frac{R}{2}.$
${{\left\| {{{U}_{0}}(x,t)} \right\|}_{T}} \leqslant {{M}_{1}}{{T}^{{3/2}}}\left\| v \right\|_{T}^{q} \leqslant {{M}_{1}}{{T}^{{3/2}}}{{R}^{q}}.$
Выберем $T \in (0,{{T}_{1}}]$ настолько малым, чтобы было выполнено неравенство
(7.11)
${{M}_{1}}{{T}^{{3/2}}}{{R}^{{q - 1}}} \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow {{\left\| {{{U}_{0}}(x,t)} \right\|}_{T}} \leqslant \frac{R}{2}.$
${{\left\| {A(v)} \right\|}_{T}} \leqslant {{\left\| {{{U}_{0}}(x,t)} \right\|}_{T}} + {{\left\| {{{U}_{1}}(x,t)} \right\|}_{T}} \leqslant R\quad {\text{при}}\quad v(x,t) \in {{D}_{{R,T}}}.$
Шаг 3. На этом шаге мы докажем, что при достаточно малом $T > 0$ оператор $A(v)$ сжимающий на ${{D}_{{R,T}}}$. Действительно, пусть ${{v}_{1}}(x,t),{{v}_{2}}(x,t) \in {{D}_{{R,T}}}$. Поскольку $q > 4,$ то, в частности, справедливо неравенство
$\left| {{\text{|}}{{{v}}_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}\; - \;{\text{|}}{{{v}}_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}} \right| \leqslant qmax\left\{ {{\text{|}}{{{v}}_{1}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{q - 1}}},{\text{|}}{{{v}}_{2}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{{q - 1}}}} \right\}{\text{|}}{{{v}}_{1}} - {{{v}}_{2}}{\kern 1pt} {\text{|}}.$
Поэтому имеет место неравенство
(7.12)
${{\left\| {A({{{v}}_{1}}) - A({{{v}}_{2}})} \right\|}_{T}} \leqslant q{{M}_{1}}{{T}^{{3/2}}}max\left\{ {\left\| {{{{v}}_{1}}} \right\|_{T}^{{q - 1}},\left\| {{{{v}}_{2}}} \right\|_{T}^{{q - 1}}} \right\}{{\left\| {{{{v}}_{1}} - {{{v}}_{2}}} \right\|}_{T}}$
${{\left\| {A({{v}_{1}}) - A({{v}_{2}})} \right\|}_{T}} \leqslant q{{M}_{1}}{{T}^{{3/2}}}{{R}^{{q - 1}}}{{\left\| {{{v}_{1}} - {{v}_{2}}} \right\|}_{T}} \leqslant \frac{1}{2}{{\left\| {{{v}_{1}} - {{v}_{2}}} \right\|}_{T}}$
при условии, что $T > 0$ настолько мало, что
Шаг 4. Осталось воспользоваться стандартным алгоритмом продолжения решений интегральных уравнений во времени, изложенным в [21], и получить, что для любого ${{\rho }_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ найдется такое максимальное ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{\rho }_{1}}) > 0,$ что либо ${{T}_{0}} = + \infty $, либо ${{T}_{0}} < + \infty $, и в этом случае справедливо предельное свойство (7.6). Теорема доказана.
Непосредственным следствием теоремы 4 является
Теорема 5. Если $q > 4,$ ${{\gamma }_{1}} > 2,$ ${{\gamma }_{2}} > 1$, то для всякого ${{u}_{1}}(x)$ такого, что
${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}};{{\mathbb{R}}^{3}}),$
найдется такое максимальное ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}) > 0,$ что для каждого $T \in (0,{{T}_{0}})$ существует единственное решение интегрального уравнения (7.1) в банаховом пространстве:
$u(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{1/4}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{1/4}}};{{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$
причем либо ${{T}_{0}} = + \infty $, либо ${{T}_{0}} < + \infty $, и в последнем случае имеет место следующее предельное свойство:
(7.13)
$\mathop {lim}\limits_{T \uparrow {{T}_{0}}} {{\left\| u \right\|}_{T}} = + \infty ,\quad {{\left\| u \right\|}_{T}}: = \mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]} {{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{1/4}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{1/4}}}{\text{|}}u(x,t){\kern 1pt} {\text{|}}.$Замечание 1. Если $u(x,t)$ – построенное решение интегрального уравнения (7.1) из теоремы 5, то это решение допускает продолжение нулем при $t < 0$ с сохранением класса и при этом будет решением интегрального уравнения
(7.14)
$u(x,t) = - \int\limits_{ - \infty }^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t - \tau ){\kern 1pt} {\text{|}}u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}(y,\tau )dyd\tau + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(y)dy.$
$\tilde {u}(x,t) = \left\{ \begin{gathered} u(x,t),\quad {\text{если}}\quad t \in [0,{{T}_{0}}), \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad t < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
будет решением класса
(7.15)
$\tilde {u}(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{1/4}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{1/4}}};{{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,{{T}_{0}}))$(7.16)
$u(x,t) = - \int\limits_{ - {{T}_{1}}}^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t - \tau ){\text{|}}u{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}(y,\tau )dyd\tau + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(y)dy$
$\begin{gathered} \left| {{{u}_{1}}(x,t) - {{u}_{2}}(x,t)} \right| \leqslant \int\limits_{ - {{T}_{1}}}^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left| {\mathcal{E}(x - y,t - \tau )} \right|\left| {{{{\left| {{{u}_{1}}(y,\tau )} \right|}}^{q}} - {{{\left| {{{u}_{2}}(y,\tau )} \right|}}^{q}}} \right|dyd\tau \leqslant \\ \leqslant q\int\limits_{ - {{T}_{1}}}^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left| {\mathcal{E}(x - y,t - \tau )} \right|max\left\{ {{{{\left| {{{u}_{1}}(y,\tau )} \right|}}^{{q - 1}}},{{{\left| {{{u}_{2}}(y,\tau )} \right|}}^{{q - 1}}}} \right\}\left| {{{u}_{1}}(y,\tau ) - {{u}_{2}}(y,\tau )} \right|dyd\tau . \\ \end{gathered} $
Введем следующие обозначения:
${{v}_{j}}(x,t): = {{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{1/4}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{1/4}}}{{u}_{j}}(x,t),\quad v(x,t): = {{v}_{1}}(x,t) - {{v}_{2}}(x,t),\quad j = 1,2,$
и с учетом введенного ранее обозначения (7.5) получим неравенство
(7.17)
$\begin{gathered} \left\| v \right\|(t) \leqslant q{{R}^{{q - 1}}}{{c}_{1}}\int\limits_{ - {{T}_{1}}}^t \,\left\| v \right\|(\tau )d\tau ,\quad \left\| v \right\|(t): = \mathop {sup}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{3}}} {\text{|}}v(x,t){\kern 1pt} {\text{|}}, \\ {{c}_{1}}: = \mathop {sup}\limits_{(x,s) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [ - {{T}_{1}},T]} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left| {{{K}_{{q/2,q/2}}}(x,y,s)} \right|dy,\quad R = max\left\{ {{{{\left\| {{{{v}}_{1}}} \right\|}}_{{[ - {{T}_{1}},T]}}},{{{\left\| {{{{v}}_{2}}} \right\|}}_{{[ - {{T}_{1}},T]}}}} \right\}, \\ {{\left\| v \right\|}_{{[ - {{T}_{1}},T]}}} = \mathop {sup}\limits_{(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [ - {{T}_{1}},T]} {\text{|}}v(x,t){\text{|}}. \\ \end{gathered} $Таким образом, доказанa
Теорема 6. Функция
$\tilde {u}(x,t): = \left\{ \begin{gathered} u(x,t),\quad если\quad t \in [0,T], \hfill \\ 0,\quad если\quad t < 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
где $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}};\;{{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ для любого $T \in (0,{{T}_{0}})$ – построенное в теореме 5 решение интегрального уравнения (7.1), является единственным решением интегрального уравнения(7.18)
$v(x,t) = - \int\limits_{ - \infty }^t \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t - \tau ){{\left| v \right|}^{q}}(y,\tau )dyd\tau + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathcal{E}(x - y,t){{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(y)dy$8. РАЗРУШЕНИЕ СЛАБЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ
Рассмотрим задачу Коши
(8.1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}u + {{u}_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}} + {{\left| u \right|}^{q}} = 0,\quad (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T],$(8.2)
$u(x,0) = {{u}_{0}}(x),\quad u{\kern 1pt} '(x,0) = {{u}_{1}}(x),\quad x \in {{\mathbb{R}}^{3}}.$Дадим определение классического решения задачи Коши (8.1), (8.2).
Определение 5. Классическим решением задачи Коши (8.1), (8.2) называется функция $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}^{{2 + 2}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T]) \cap {{\mathbb{C}}^{{2 + 1}}}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ удовлетворяющая уравнению (8.1) поточечно при $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes (0,T]$ и условиям (8.2) для каждого $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}.$
Теперь дадим определение локального во времени слабого решения задачи Коши (8.1), (8.2).
Определение 6. Локальным во времени слабым решением задачи Коши (8.1), (8.2) называется функция $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{q}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ удовлетворяющая равенству
(8.3)
$\begin{gathered} - \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t)\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t) + {{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right]dxdt - \\ \, - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0) - {{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right]dx = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}\phi (x,t)dxdt \\ \end{gathered} $Дадим определение глобального во времени слабого решения задачи Коши.
Определение 7. Глобальным во времени слабым решением задачи Коши (8.1), (8.2) называется функция $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{q}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0, + \infty )),$ удовлетворяющая равенству
(8.4)
$\begin{gathered} - \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t)\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t) + {{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right]dxdt - \\ \, - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0) - {{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right]dx = \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}\phi (x,t)dxdt \\ \end{gathered} $Теперь для согласования результатов о локальной или глобальной во времени разрешимости рассматриваемой задачи Коши с результатами об отсутствии локальных во времени или глобальных во времени решений задачи Коши мы дадим определения локального во времени слабого обобщенного решения и глобального во времени слабого обобщенного решения (сравните эти определения с определениями 3 и 4.
Определение 8. Локальным во времени слабым обобщенным решением задачи Коши (8.1), (8.2) называется функция $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{q}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T]),$ удовлетворяющая равенству
(8.5)
$\begin{gathered} - \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t)\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t) + {{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right]dxdt - \\ \, - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0) - {{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right]dx = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}\phi (x,t)dxdt \\ \end{gathered} $Определение 9. Глобальным во времени слабым обобщенным решением задачи Коши (8.1), (8.2) называется функция $u(x,t) \in L_{{{\text{loc}}}}^{q}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0, + \infty )),$ удовлетворяющая равенству
(8.6)
$\begin{gathered} - \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t)\left[ {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t) + {{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right]dxdt - \\ - \;\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0) - {{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right]dx = \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}\phi (x,t)dxdt \\ \end{gathered} $Дадим определение класса функций $H.$
Определение 10. Будем говорить, что начальные функции $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} $ принадлежaт классу $H,$ если ${{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x) \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и найдется такой шар $O({{x}_{0}},R) \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ положительного радиуса $R > 0,$ что ${{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x) \in {{H}^{2}}(O({{x}_{0}},R))$ и имеет место следующее неравенство:
(8.7)
$\mathop {\left( {{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x)} \right)}\nolimits^2 + \mathop {\left( {{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right)}\nolimits^2 > 0\quad {\text{для}}\;{\text{почти}}\;{\text{всех}}\quad x \in O({{x}_{0}},R).$Теорема 7. Пусть $1 < q \leqslant 3$ и $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H$. Кроме того, выполнены неравенства
(8.8)
$\left| {{{u}_{0}}(x)} \right| \leqslant \frac{{{{A}_{0}}}}{{{{{(1 + {{{\left| x \right|}}^{2}})}}^{{\alpha /2}}}}},\quad \left| {{{u}_{1}}(x)} \right| \leqslant \frac{{{{A}_{1}}}}{{{{{(1 + {{{\left| x \right|}}^{2}})}}^{{\beta /2}}}}}\quad при\quad \alpha > 1,\quad \beta > 1.$Доказательство. Возьмем в качестве пробной функции $\phi (x,t)$ из определения 6 функцию вида
(8.9)
${{\phi }_{1}}(t): = \mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda ,\quad {{\phi }_{2}}(x): = {{\phi }_{0}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right),\quad \lambda > 2q{\kern 1pt} ',\quad q{\kern 1pt} ' = \frac{q}{{q - 1}},\quad q > 1,$
${{\phi }_{0}}(s): = \left\{ \begin{gathered} 1,\quad {\text{если}}\quad 0 \leqslant s \leqslant 1, \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad s \geqslant 2, \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad {{\phi }_{0}}(s) \in \mathbb{C}_{0}^{\infty }[0, + \infty ),$
причем функция ${{\phi }_{0}}(s)$ является монотонно невозрастающей. Справедливы следующие равенства:
$\begin{gathered} {{I}_{1}}: = \int\limits_0^T {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {u(x,t)\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)dxdt} } = \frac{{\lambda (\lambda - 1)}}{{{{T}^{2}}}}\int\limits_0^T {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {{{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q' - 2}}}\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{2}}(x)}}{{\phi _{2}^{{1/q}}(x)}}\phi _{2}^{{1/q}}(x){{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q}}}u(x,t)dxdt} } = \\ = \frac{{\lambda (\lambda - 1)}}{{{{T}^{2}}}}\int\limits_0^T {\int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {{{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q' - 2}}}\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{2}}(x)}}{{\phi _{2}^{{1/q}}(x)}}\phi _{2}^{{1/q}}(x){{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q}}}u(x,t)dxdt} } , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{I}_{2}}: = \int\limits_0^T {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {u(x,t){{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)dxdt} } = \int\limits_0^T {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {{{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q'}}}\frac{{{{\phi }_{{2{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x)}}{{\phi _{2}^{{1/q}}(x)}}\phi _{2}^{{1/q}}(x){{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q}}}u(x,t)dxdt} } = \\ = \int\limits_0^T {\int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {{{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q'}}}\frac{{{{\phi }_{{2{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x)}}{{\phi _{2}^{{1/q}}(x)}}\phi _{2}^{{1/q}}(x){{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda /q}}}u(x,t)dxdt} } , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{I}_{3}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0)dx} = - \frac{\lambda }{T}\int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{2}}(x)dx,} \\ {{I}_{4}}: = - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} {{{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)dx} = - \int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {{{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{2}}(x)dx.} \\ \end{gathered} $
Справедливы оценки
(8.10)
$\left| {{{I}_{1}}} \right| \leqslant {{c}_{1}}(R)I_{R}^{{1/q}},\quad \left| {{{I}_{2}}} \right| \leqslant {{c}_{2}}(R)I_{R}^{{1/q}},$(8.11)
$\left| {{{I}_{3}}} \right| \leqslant \frac{\lambda }{T}R\int\limits_{1 \leqslant \left| y \right| \leqslant \sqrt 2 } {\left| {{{u}_{0}}(Ry)} \right|\left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{0}}({{{\left| y \right|}}^{2}})} \right|dy} \leqslant \frac{{{{A}_{2}}}}{{{{R}^{{\alpha - 1}}}}} \to + 0,$
$\left| {{{I}_{4}}} \right| \leqslant R\int\limits_{1 \leqslant \left| y \right| \leqslant \sqrt 2 } {\left| {{{u}_{1}}(Ry)} \right|\left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{0}}({{{\left| y \right|}}^{2}})} \right|dy} \leqslant \frac{{{{A}_{3}}}}{{{{R}^{{\beta - 1}}}}} \to + 0\quad {\text{при}}\quad R \to + \infty ,$
(8.12)
$\begin{gathered} {{c}_{1}}(R): = \frac{{\lambda (\lambda - 1)}}{{{{T}^{2}}}}{{\left( {\int\limits_0^T {\int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {{{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{{\lambda - 2q'}}}\frac{{{{{\left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{2}}(x)} \right|}}^{{q'}}}}}{{\phi _{2}^{{q'/q}}(x)}}dxdt} } } \right)}^{{1/q'}}}, \\ {{c}_{2}}(R): = {{\left( {\int\limits_0^T {\int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {{{{\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}}^{\lambda }}\frac{{{{{\left| {{{\phi }_{{2{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x)} \right|}}^{{q'}}}}}{{\phi _{2}^{{q'/q}}(x)}}dxdt} } } \right)}^{{1/q'}}}{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $
${{I}_{R}}: = \int\limits_0^T {\int\limits_{R \leqslant \left| x \right| \leqslant \sqrt 2 R} {\phi (x,t){{{\left| {u(x,t)} \right|}}^{q}}dxdt} } .$
Справедливы следующие равенства:
(8.13)
${{c}_{1}}(R) = \frac{{\lambda (\lambda - 1)}}{{{{T}^{2}}}}{{\left( {\frac{T}{{\lambda - 2q{\text{'}} + 1}}} \right)}^{{1/q'}}}{{c}_{0}}{{R}^{{(3 - 2q')/q'}}},$(8.14)
$\begin{gathered} {{c}_{2}}(R) = {{\left( {\frac{T}{{1 + \lambda }}} \right)}^{{1/q'}}}{{c}_{1}}{{R}^{{(3 - 2q')/q'}}}, \\ {{c}_{0}}: = {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant \left| y \right| \leqslant \sqrt 2 } {\frac{{{{{\left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{0}}({{{\left| y \right|}}^{2}})} \right|}}^{{q'}}}}}{{\phi _{0}^{{q'/q}}({{{\left| y \right|}}^{2}})}}dy} } \right)}^{{1/q'}}}{\kern 1pt} ,\quad {{c}_{1}}: = {{\left( {\int\limits_{1 \leqslant \left| y \right| \leqslant \sqrt 2 } {\frac{{{{{\left| {{{\phi }_{{0{{y}_{3}}{{y}_{3}}}}}({{{\left| y \right|}}^{2}})} \right|}}^{{q'}}}}}{{\phi _{0}^{{q'/q}}({{{\left| y \right|}}^{2}})}}dy} } \right)}^{{1/q'}}}{\kern 1pt} , \\ \end{gathered} $Сначала рассмотрим случай $1 < q < 3$. Тогда $3 - 2q{\kern 1pt} ' < 0.$ Кроме того, имеет место оценка
(8.15)
${{I}_{R}} \leqslant I: = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\phi (x,t){{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}dxdt.$(8.16)
${{c}_{1}}(R)I_{R}^{{1/q}} + {{c}_{2}}(R)I_{R}^{{1/q}} + \left| {{{I}_{3}}} \right| + \left| {{{I}_{4}}} \right| \geqslant I.$
$a \cdot b \leqslant \varepsilon {{a}^{q}} + \frac{{{{b}^{{q{\kern 1pt} '}}}}}{{q{\kern 1pt} '{{{(q\varepsilon )}}^{{q{\kern 1pt} '/q}}}}},\quad a,b \geqslant 0,\quad \varepsilon > 0.$
Из неравенства (8.16) с учетом (8.15) и неравенства Юнга следует неравенство
$\frac{1}{{q{\kern 1pt} '{{{(q\varepsilon )}}^{{q{\kern 1pt} '/q}}}}}\left( {c_{1}^{{q{\kern 1pt} '}}(R) + c_{2}^{{q{\kern 1pt} '}}(R)} \right) + \left| {{{I}_{3}}} \right| + \left| {{{I}_{4}}} \right| \geqslant (1 - 2\varepsilon )I,$
в котором положим $\varepsilon = 1{\text{/}}4$ и получим неравенство
(8.17)
$I \leqslant K(R): = 2\left( {\frac{1}{{q{\kern 1pt} '}}\mathop {\left( {\frac{4}{q}} \right)}\nolimits^{q{\kern 1pt} '/q} \left( {c_{1}^{{q{\kern 1pt} '}}(R) + c_{2}^{{q{\kern 1pt} '}}(R)} \right) + \left| {{{I}_{3}}} \right| + \left| {{{I}_{4}}} \right|} \right).$
${{\chi }_{N}}(x,t): = \phi (x,t){{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}} = \mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda {{\phi }_{0}}\left( {\frac{{{{{\left| x \right|}}^{2}}}}{{{{N}^{2}}}}} \right){{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}$
удовлетворяет неравенству
${{\chi }_{N}}(x,t) \leqslant {{\chi }_{{N + 1}}}(x,t)\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T].$
Осталось воспользоваться теоремой Беппо Леви и получить, что, с одной стороны,
$I = I(N): = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\chi }_{N}}(x,t)dxdt \to \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda {{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}dxdt\quad {\text{при}}\quad N \to + \infty ,$
а с другой стороны, из неравенства (8.17) с учетом оценок (8.13), (8.14) и (8.11),
(8.11) получаем, что
Таким образом, при условии $1 < q < 3$ получаем, что
$\int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda {{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}dxdt = 0 \Leftrightarrow u(x,t) = 0\quad {\text{для}}\;{\text{почти}}\;{\text{всех}}\quad (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T].$
Теперь рассмотрим критический случай $q = 3.$ Заметим, что тогда $3 = 2q{\kern 1pt} '$. В этом случае снова можно воспользоваться неравенством (8.17) и с помощью теоремы
Беппо Леви доказать, что
$\int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda {{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}dxdt < + \infty .$
Поэтому для интеграла (8.12) справедливо следующее предельное свойство:
$0 \leqslant {{I}_{R}} \leqslant \int\limits_0^T \,\int\limits_{R \leqslant |x| \leqslant \sqrt 2 R} \,{{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}dxdt \to + 0\quad {\text{при}}\quad R \to + \infty .$
Итак, при $1 < q \leqslant 3$ единственным $L_{{{\text{loc}}}}^{q}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ локальным слабым решением является функция $u(x,t) = 0$ почти всюду. После подстановки этого равенства в уравнение (8.3) мы приходим к равенству
(8.18)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0) - {{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right]dx = 0,$(8.19)
$\phi (x,t) = {{\psi }_{0}}(x)\mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda ,\quad \lambda > 1,\quad {{\psi }_{0}}(x) \in \mathbb{C}_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{3}}).$(8.20)
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {\frac{\lambda }{T}{{u}_{0}}(x) + {{u}_{1}}(x)} \right]{{\Delta }_{ \bot }}{{\psi }_{0}}(x)dx = 0$(8.21)
$\mathop {\left( {{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x)} \right)}\nolimits^2 + \mathop {\left( {{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right)}\nolimits^2 > 0\quad {\text{для}}\;{\text{почти}}\;{\text{всех}}\quad x \in O({{x}_{0}},R).$
$\int\limits_{O({{x}_{0}},R)} \,\left[ {\frac{\lambda }{T}{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]{{\psi }_{0}}(x)dx = 0$
для каждой ${{\psi }_{0}}(x) \in \mathbb{C}_{0}^{\infty }(O({{x}_{0}},R))$. Согласно основной лемме вариационного исчисления, имеем
$\begin{gathered} \int\limits_{O({{x}_{0}},R)} \,\left[ {\frac{\lambda }{T}{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)} \right]{{\psi }_{0}}(x)dx = 0 \Leftrightarrow \\ \, \Leftrightarrow \frac{\lambda }{T}{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) = 0\quad {\text{для}}\;{\text{почти}}\;{\text{всех}}\quad x \in O({{x}_{0}},R) \\ \end{gathered} $
и $T > 0.$ Заметим, что если $u(x,t)$ – слабое локальное во времени решение в смысле определения 6 при $T = {{T}_{1}},$ то оно же является слабым локальным во времени решением в смысле определения 6 и
при $0 < T < {{T}_{1}}$. Поэтому в силу произвольности $T > 0$ из некоторой выколотой полуокрестности точки $T = 0$ отсюда получаем равенства
${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) = 0,\quad {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) = 0\quad {\text{для}}\;{\text{почти}}\;{\text{всех}}\quad x \in O({{x}_{0}},R),$
что противоречит (8.21). Теорема доказана.
Замечание 2. Условия (8.8) можно заменить более слабыми условиями, чтобы ${{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x) \in {{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $q \in (1,3]$.
Доказательство. Действительно, имеем
$\left| {{{I}_{3}}} \right| \leqslant \frac{\lambda }{T}\mathop {\left( {\int\limits_{R \leqslant |x| \leqslant \sqrt 2 R} \,{{{\left| {{{u}_{0}}(x)} \right|}}^{q}}dx} \right)}\nolimits^{1/q} J_{R}^{{1/q{\kern 1pt} '}},$
$\left| {{{I}_{4}}} \right| \leqslant \mathop {\left( {\int\limits_{R \leqslant |x| \leqslant \sqrt 2 R} \,{{{\left| {{{u}_{1}}(x)} \right|}}^{q}}dx} \right)}\nolimits^{1/q} J_{R}^{{1/q{\kern 1pt} '}},$
где
${{J}_{R}} = {{R}^{{3 - 2q{\kern 1pt} '}}}\int\limits_{1 \leqslant |y| \leqslant \sqrt 2 } \,{{\left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{0}}({\text{|}}y{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}})} \right|}^{{q{\kern 1pt} '}}}dy.$
Очевидно, при условии ${{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x) \in {{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и $3 - 2q{\kern 1pt} ' \leqslant 0,$ $q > 1$ получаем, что
Справедлива следующая
Теорема 8. Пусть $q \in (3,5]$ и начальные функции $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H,$ причем
(8.22)
$\left| {{{u}_{1}}(x)} \right| \leqslant \frac{{{{A}_{1}}}}{{{{{(1 + {{{\left| x \right|}}^{2}})}}^{{\beta /2}}}}}\quad при\quad \beta > 2.$Доказательство. Возьмем в качестве пробной функции следующую:
$\phi (x,t): = {{\phi }_{0}}\left( {\frac{{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {{t}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}} + \frac{{x_{3}^{2}}}{{{{R}^{4}}}}} \right),\quad R > 0,$
где функция ${{\phi }_{0}}(s) \in \mathbb{C}_{0}^{\infty }[0, + \infty )$ является монотонно невозрастающей и определена равенством (8.9). Введем обозначения
${{I}_{1}}: = \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t)\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)dxdt,$
${{I}_{2}}: = \int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)dxdt,$
${{I}_{3}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0)dx,\quad {{I}_{4}}: = - \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)dx,$
${{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}: = \left\{ {({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},t) \in \mathbb{R}_{ + }^{4}:1 \leqslant \frac{{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + {{t}^{2}}}}{{{{R}^{2}}}} + \frac{{x_{3}^{2}}}{{{{R}^{4}}}} \leqslant 2} \right\},$
${{B}_{{R,\sqrt 2 R}}}: = \left\{ {({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}:1 \leqslant \frac{{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}}{{{{R}^{2}}}} + \frac{{x_{3}^{2}}}{{{{R}^{4}}}} \leqslant 2} \right\}.$
С учетом этих обозначений справедливы следующие цепочки соотношений:
$\left| {{{I}_{1}}} \right| \leqslant \int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\left| {u(x,t)} \right|\left| {\frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)} \right|dxdt = \int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\left| {u(x,t)} \right|{{\phi }^{{1/q}}}(x,t)\frac{{\left| {\tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)} \right|}}{{{{\phi }^{{1/q}}}(x,t)}}dxdt \leqslant {{c}_{1}}(R)I_{R}^{{1/q}},$
(8.23)
$\begin{gathered} \left| {{{I}_{2}}} \right| \leqslant \int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\left| {u(x,t)} \right|\left| {{{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right|dxdt = \int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\left| {u(x,t)} \right|{{\phi }^{{1/q}}}(x,t)\frac{{\left| {{{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right|}}{{{{\phi }^{{1/q}}}(x,t)}}dxdt \leqslant {{c}_{2}}(R)I_{R}^{{1/q}}, \\ \left| {{{I}_{3}}} \right| \leqslant \int\limits_{{{B}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\left| {{{u}_{0}}(x)} \right|\left| {{{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0)} \right|dx, \\ \end{gathered} $
$\left| {{{I}_{4}}} \right| \leqslant \int\limits_{{{B}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\left| {{{u}_{1}}(x)} \right|\left| {{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right|dx,$
где
(8.24)
$\begin{gathered} {{I}_{R}}: = \int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,{{\left| {u(x,t)} \right|}^{q}}\phi (x,t)dxdt, \\ {{c}_{1}}(R): = \mathop {\left( {\int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\frac{{\mathop {\left| {\tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,t)} \right|}\nolimits^{q{\kern 1pt} '} }}{{{{\phi }^{{q{\kern 1pt} '/q}}}(x,t)}}dxdt} \right)}\nolimits^{1/q{\kern 1pt} '} , \\ \end{gathered} $(8.25)
${{c}_{2}}(R): = \mathop {\left( {\int\limits_{{{D}_{{R,\sqrt 2 R}}}} \,\frac{{\mathop {\left| {{{\phi }_{{{{x}_{3}}{{x}_{3}}}}}(x,t)} \right|}\nolimits^{q{\kern 1pt} '} }}{{{{\phi }^{{q{\kern 1pt} '/q}}}(x,t)}}dxdt} \right)}\nolimits^{1/q{\kern 1pt} '} .$В интегралах (8.24), (8.25) сделаем замену переменных:
(8.26)
${{y}_{1}} = \frac{{{{x}_{1}}}}{R},\quad {{y}_{2}} = \frac{{{{x}_{2}}}}{R},\quad \tau = \frac{t}{R},\quad {{y}_{3}} = \frac{{{{x}_{3}}}}{{{{R}^{2}}}}.$
${{c}_{1}}(R) = {{c}_{{10}}}{{R}^{{(5 - 4q{\kern 1pt} ')/q{\kern 1pt} '}}},\quad {{c}_{2}}(R) = {{c}_{{20}}}{{R}^{{(5 - 4q{\kern 1pt} ')/q{\kern 1pt} '}}},$
${{c}_{{10}}}: = \mathop {\left( {\int\limits_{{{D}_{{1,\sqrt 2 }}}} \,\frac{{\mathop {\left| {\tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\tau }^{2}}}}{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{0}}({\text{|}}{{y}^{2}}{\text{|}} + {{\tau }^{2}})} \right|}\nolimits^{q{\kern 1pt} '} }}{{\phi _{0}^{{q{\kern 1pt} '/q}}({{{\left| y \right|}}^{2}} + {{\tau }^{2}})}}dyd\tau } \right)}\nolimits^{1/q{\kern 1pt} '} ,$
${{c}_{{20}}}: = \mathop {\left( {\int\limits_{{{D}_{{1,\sqrt 2 }}}} \,\frac{{\mathop {\left| {{{\phi }_{{0{{y}_{3}}{{y}_{3}}}}}({\text{|}}{{y}^{2}}{\text{|}} + {{\tau }^{2}})} \right|}\nolimits^{q{\kern 1pt} '} }}{{\phi _{0}^{{q{\kern 1pt} '/q}}({\text{|}}y{{{\text{|}}}^{2}} + {{\tau }^{2}})}}dyd\tau } \right)}\nolimits^{1/q{\kern 1pt} '} .$
В [10] доказано существование функции ${{\phi }_{0}}(s)$ такой, что $0 < {{c}_{{10}}},{{c}_{{20}}} < + \infty $. Теперь рассмотрим неравенство (8.23), в котором сделаем замену переменных (8.26).
Тогда мы получим следующие результаты для ${{I}_{3}}$ и ${{I}_{4}}$:
(8.27)
${\text{|}}{{I}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}} = 0,\quad {\text{|}}{{I}_{4}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant {{R}^{2}}\int\limits_{{{B}_{{1,\sqrt 2 }}}} \,{\text{|}}{{u}_{1}}(R{{y}_{1}},R{{y}_{2}},{{R}^{2}}{{y}_{3}}){\kern 1pt} {\text{|}}\left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{0}}({\text{|}}y{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}})} \right|dy.$
${\text{|}}{{I}_{4}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \frac{{{{A}_{5}}}}{{{{R}^{{\beta - 2}}}}},\quad \beta > 2,$
при $R > 1$, из которой следует, что
Дальше нужно рассмотреть случай, когда $5 - 4q{\kern 1pt} ' \leqslant 0,$ что равносильно условию $1 < q \leqslant 5.$ Случай $q \in (1,3]$ нами рассмотрен. Сначала рассмотрим случай $q \in (3,5),$ а затем, критический случай $q = 5$. В целом эти случаи рассматриваются как случаи $q \in (1,3)$ и $q = 3$ при доказательстве теоремы 7. В результате в пределе при $R \to + \infty $ мы получим, что единственным глобальным во времени слабым решением задачи Коши в
смысле определения 7 является функция $u(x,t) = 0$ для почти всех $(x,t) \in \mathbb{R}_{ + }^{4}$. Подставим эту функцию в равенство (8.4) и получим равенство
$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\left[ {{{u}_{0}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}(x,0) - {{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)} \right]dx = 0$
для любой функции $\phi (x,t) \in \mathbb{C}_{0}^{{2 + 2}}(\mathbb{R}_{ + }^{4})$. В качестве такой функции можно взять следующую:
(8.28)
$\begin{gathered} \phi (x,t) = {{\phi }_{1}}(t){{\psi }_{0}}(x), \\ {{\phi }_{1}}(t) = \left\{ \begin{gathered} \mathop {\left( {1 - \tfrac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda ,\quad {\text{если}}\quad t \in [0,T]; \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad t \geqslant T, \hfill \\ \end{gathered} \right.\quad {{\psi }_{0}}(x) \in \mathbb{C}_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad \lambda > 2. \\ \end{gathered} $Замечание 3. В отличие от результата замечания 2 в случае теоремы 8 заменить условие (8.22) более слабым условием ${{u}_{1}}(x) \in {{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ при $q \in (3,5]$ уже нельзя.
Теперь мы можем доказать основное утверждение работы:
Теорема 9. Если $q \in (1,3],$ то слабое обобщенное локальное во времени решение задачи Коши (8.1), (8.2) в смысле определения $8$ отсутствует для любых начальных функций $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H,$ удовлетворяющих неравенствам (8.8), и любого $T > 0.$ Если $q \in (3,5],$ то для любых начальных функций $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H$ при выполнении неравенства (8.22) отсутствует глобальное во времени слабое обобщенное решение задачи Коши (8.1), (8.2) в смысле определения $9$. Если $q > 4,$ ${{\gamma }_{1}} > 2,$ ${{\gamma }_{2}} > 1$ и ${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) = 0,$ ${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}};{{\mathbb{R}}^{3}}),$ причем ${{u}_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{(2,0)}}}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ то найдется такое максимальное ${{T}_{0}} = {{T}_{0}}({{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}) > 0,$ что для каждого $T \in (0,{{T}_{0}})$ существует единственное слабое обобщенное локальное во времени решение задачи Коши (8.1), (8.2) в смысле определения $8$, причем если $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H,$ $q \in (4,5]$ и выполнено неравенство (8.22), то ${{T}_{0}} < + \infty $ и поэтому выполнено предельное свойство (7.13).
Доказательство.
Шаг 1. Прежде всего заметим, что, с одной стороны, в определении 8 локального во времени слабого обобщенного решения задачи Коши (8.1), (8.2) в качестве пробной функции $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ можно взять произведение
(8.29)
$\phi (x,t) = {{\phi }_{1}}(t){{\phi }_{2}}(x),\quad {{\phi }_{1}}(t) \in \mathcal{D}( - \infty ,T),\quad {{\phi }_{2}}(x) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}}).$
$\phi (t): = \mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda \in \mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]\quad {\text{при}}\quad \lambda > 2.$
Поэтому для любого $\delta > 0$ найдется такая функция ${{\phi }_{1}}(t) \in \mathcal{D}( - \infty ,T)$, что
где норма $\left\| {\, \cdot \,} \right\|$ определена равенством (10.1). Пусть $u(x,t)$ – локальное во времени слабое обобщенное решение задачи Коши (8.1), (8.2) в смысле
определения 8. Тогда в силу (8.29)–(8.30) приходим к выводу о том, что имеет место
равенство (8.5) для функции
$\phi (x,t) = \mathop {\left( {1 - \frac{t}{T}} \right)}\nolimits^\lambda {{\phi }_{2}}(x)\quad {\text{для}}\;{\text{любой}}\;{\text{функции}}\quad {{\phi }_{2}}(x) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad \lambda > 2.$
Далее мы в точности повторяем рассуждения при доказательстве теоремы 7 и приходим
к противоречию при условиях, что $q \in (1,3],$ $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H$ и выполнены неравенства (8.8).
Шаг 2. Прежде всего заметим, что имеет место вложение $\mathcal{D}( - \infty ,T)$ в $\mathcal{D}( - \infty , + \infty )$ в том смысле, что если произвольную функцию $\phi (t) \in \mathcal{D}( - \infty ,T)$ продолжить нулем при $t \geqslant T,$ то продолженная функция $\bar {\phi }(t)$ будет принадлежать $\mathcal{D}( - \infty , + \infty )$. Поэтому аналогичным образом, как и на шаге 1, можно доказать, что равенство (8.6) будет иметь место для следующей функции:
$\phi (x,t) = {{\phi }_{1}}(t){{\phi }_{2}}(x)\quad {\text{для}}\;{\text{любой}}\;{\text{функции}}\quad {{\phi }_{2}}(x) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}}),\quad \lambda > 2,$
где функция ${{\phi }_{1}}(t)$ определена равенством (8.28). Далее повторяем рассуждения из доказательства теоремы
8 и получаем противоречивый вывод при $q \in (3,5]$ для любых начальных функций $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H,$ где функция ${{u}_{1}}(x)$ удовлетворяет неравенству (8.22).
Шаг 3. Заметим, что если $q > 4,$ ${{\gamma }_{1}} > 2,$ ${{\gamma }_{2}} > 1$ и ${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{0}}(x) = 0,$ ${{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{{{\gamma }_{1}}/2}}}(1 + $ $ + \;x_{3}^{2}{{)}^{{{{\gamma }_{2}}/2}}};{{\mathbb{R}}^{3}}),$ причем ${{u}_{1}}(x) \in {{\mathbb{C}}^{{(2,0)}}}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ то выполнены все условия теоремы 5 о существовании и единственности решения интегрального уравнения (7.1) в банаховом пространстве $u(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{1/4}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{1/4}}};{{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])$ для каждого $T \in (0,{{T}_{0}})$. Но тогда в силу результата теоремы 6 существует единственное решение $\tilde {u}(x,t)$ вида (7.15) интегрального уравнения (7.18) в классе функций, обращающихся в нуль при $t < 0$. Отсюда получаем, что в смысле пространства обобщенных функций $\mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ справедливо равенство
$\tilde {u}(x,t) = \mathcal{E}(x,t) * [ - {\text{|}}\tilde {u}(x,t){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}} + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)\delta (t)].$
Поэтому для всякого $\phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T))$ справедливо следующее равенство:
$\left\langle {\tilde {u}(x,t),{{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)} \right\rangle = \left\langle {{{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\tilde {u}](x,t),\phi (x,t)} \right\rangle = \left\langle { - {\text{|}}\tilde {u}(x,t){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}} + {{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)\delta (t),\phi (x,t)} \right\rangle .$
Но тогда мы получаем равенство
$\begin{gathered} - \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}{{u}_{1}}(x)\phi (x,0)dx = \\ \, = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{\text{|}}u(x,t){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}\phi (x,t)dxdt\quad {\text{для}}\;{\text{любой}}\quad \phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)). \\ \end{gathered} $
Это равенство интегрированием по частям можно преобразовать к виду
$\begin{gathered} - \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,u(x,t){{\mathfrak{M}}_{{x,t}}}[\phi ](x,t)dxdt + \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{{u}_{1}}(x){{\Delta }_{ \bot }}\phi (x,0)dx = \\ \, = \int\limits_0^T \,\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,{\text{|}}u(x,t){\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{q}}\phi (x,t)dxdt\quad {\text{для}}\;{\text{любой}}\quad \phi (x,t) \in \mathcal{D}({{\mathbb{R}}^{3}} \otimes ( - \infty ,T)). \\ \end{gathered} $
Таким образом, в силу результата теоремы 1 построенное при $q > 4$ решение является единственным слабым локальным во времени обобщенным решением в смысле
определения 8.
Шаг 4. Пусть $\{ {{u}_{0}}(x),{{u}_{1}}(x)\} \in H,$ $q \in (4,5]$ и выполнено неравенство (8.22), но при этом для построенного решения интегрального уравнения выполнено равенство ${{T}_{0}} = + \infty .$ Тогда решение интегрального уравнения (7.1) будет принадлежать классу
$u(x,t) \in {{\mathbb{C}}_{b}}({{(1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2})}^{{1/4}}}{{(1 + x_{3}^{2})}^{{1/4}}};{{\mathbb{R}}^{3}} \otimes [0,T])\quad {\text{для}}\;{\text{любого}}\quad T \in (0, + \infty )$
и поэтому являться слабым глобальным во времени обобщенным решением в смысле определения
9, что противоречит результату шага 2. Значит, ${{T}_{0}} < + \infty $ и поэтому справедливо предельное свойство (7.13) Теорема доказана.
9. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ О *-СЛАБЫХ ПРЕДЕЛАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть $\phi (x) \in \mathbb{C}_{0}^{{(2,0)}}({{\mathbb{R}}^{3}}),$ причем
$\operatorname{supp} \phi (x) \subset {{Ц}_{R}}(0): = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}:y_{1}^{2} + y_{2}^{2} \leqslant {{\mathbb{R}}^{2}},\;{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant R\} ,$
${{B}_{R}}: = \{ ({{y}_{1}},{{y}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}:y_{1}^{2} + y_{2}^{2} \leqslant {{R}^{2}}\} ,\quad \partial {{B}_{R}} = \{ ({{y}_{1}},{{y}_{2}}) \in {{\mathbb{R}}^{2}}:y_{1}^{2} + y_{2}^{2} = {{R}^{2}}\} .$
Рассмотрим интеграл
${{H}_{1}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{1}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) + y_{3}^{2}} }}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}},$
${{\Delta }_{ \bot }}: = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial y_{1}^{2}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial y_{2}^{2}}},\quad \varepsilon > 0.$
Пусть $\delta \in (0,R)$. Тогда справедливы следующие равенства:
(9.1)
$\begin{gathered} {{H}_{{11}}}: = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{|{{y}_{3}}| \leqslant \delta } \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) + y_{3}^{2}} }}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}, \\ {{H}_{{12}}}: = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) + y_{3}^{2}} }}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}, \\ \end{gathered} $
${{H}_{{13}}}: = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)\int\limits_{ - R}^R \,\frac{1}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) + y_{3}^{2}} }}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}.$
Вычислим интеграл ${{H}_{{13}}}.$ Действительно, справедливы равенства
${{H}_{{13}}}: = 2\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)ln\left( {\frac{R}{{\varepsilon \sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} }} + \sqrt {1 + \frac{{{{R}^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}} } \right)d{{y}_{1}},d{{y}_{2}} = {{H}_{{131}}} + {{H}_{{132}}} + {{H}_{{133}}},$
${{H}_{{131}}}: = 2ln\left( {\frac{{2R}}{\varepsilon }} \right)\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)d{{y}_{1}}d{{y}_{2}},$
${{H}_{{132}}}: = - 2\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)ln\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} d{{y}_{1}}d{{y}_{2}},$
${{H}_{{133}}}: = 2\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)\left( {ln\left( {1 + \sqrt {1 + \frac{{{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2})}}{{{{R}^{2}}}}} } \right) - ln2} \right)d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}.$
Поскольку $\operatorname{supp} \phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0) \subset {{B}_{R}},$ то имеют место соотношения
${{H}_{{131}}}: = 2ln\left( {\frac{{2R}}{\varepsilon }} \right)\int\limits_{\partial {{B}_{R}}} \,\frac{{\partial \phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{\partial {{n}_{{{{y}_{1}},{{y}_{2}}}}}}}d{{S}_{y}} = 0,$
где ${{n}_{{{{y}_{1}},{{y}_{2}}}}}$ – внешняя нормаль к боковой границе цилиндра ${{Ц}_{R}}(0)$. Из явного вида ${{H}_{{133}}}$ вытекает, что в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла Лебега
справедливо предельное свойство
Заметим, что верны следующие предельные свойства при $\varepsilon \to + 0:$
${{H}_{{11}}} \to \int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{|{{y}_{3}}| \leqslant \delta } \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}}}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}: = {{H}_{{110}}},$
${{H}_{{12}}} \to \int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}}}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}: = {{H}_{{120}}}.$
Справедливы равенства
(9.2)
$\begin{gathered} {{H}_{{120}}} = \int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{1}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}}}\int\limits_{{{B}_{R}}} \,\left( {{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)} \right)d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} = \\ \, = \int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{1}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}}}\int\limits_{\partial {{B}_{R}}} \,\left( {\frac{{\partial \phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})}}{{\partial {{n}_{{{{y}_{1}},{{y}_{2}}}}}}} - \frac{{\partial \phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{\partial {{n}_{{{{y}_{1}},{{y}_{2}}}}}}}} \right)d{{S}_{y}} = 0. \\ \end{gathered} $(9.4)
${\text{|}}{{H}_{{110}}}{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \mathop {sup}\limits_{({{y}_{1}},{{y}_{2}}) \in {{B}_{R}}(0),y_{3}^{ * } \in [ - R,R]} \left| {{{\Delta }_{ \bot }}{{\phi }_{{{{y}_{3}}}}}({{y}_{1}},{{y}_{2}},y_{3}^{*})} \right|\delta .$(9.5)
$\begin{gathered} \mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{1}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) + y_{3}^{2}} }}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}} = \\ \, = - 2\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)ln\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} = - 4\pi \phi (0,0,0), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} - \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{1}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(y_{1}^{2} + y_{2}^{2}) + y_{3}^{2}} }}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}} - {{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}} \to \\ \, \to \phi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\quad {\text{при}}\quad \varepsilon \to + 0. \\ \end{gathered} $
Этот результат означает, что
$ - {{\Delta }_{ \bot }}\frac{1}{{4\pi }}\frac{1}{{\sqrt {{{\varepsilon }^{2}}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) + x_{3}^{2}} }}\;\mathop \rightharpoonup \limits^ * \,\delta ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\quad * {\kern 1pt} {\text{ - слабо}}\;{\text{в}}\quad \mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}})\quad {\text{при}}\quad \varepsilon \to + 0.$
Рассмотрим теперь интеграл
${{J}_{1}}: = \int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{J}_{0}}(\varepsilon \beta (y))}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}},\quad \beta (y): = \frac{{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} }}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}}},$
где $\varepsilon \in (0,1)$ и относительно функции $\phi (y)$ выполнены те же условия, что и в начале этого раздела. Пусть $0 < \delta < R$. Тогда справедливы следующие равенства:
(9.6)
${{J}_{{11}}}: = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{|{{y}_{3}}| \leqslant \delta } \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{J}_{0}}(\beta (y)\varepsilon )d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}},$
${{J}_{{12}}}: = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{J}_{0}}(\beta (y)\varepsilon )d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}},$
(9.7)
${{J}_{{13}}}: = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)\int\limits_{ - R}^R \,\frac{{{{J}_{0}}\left( {\varepsilon \tfrac{{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} }}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}} \right)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}.$(9.8)
${{J}_{0}}: = \int\limits_{ - R}^R \,\frac{{{{J}_{0}}\left( {\varepsilon \tfrac{{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} }}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}} \right)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}{\kern 1pt} }}d{{y}_{3}} = 2\int\limits_{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} \varepsilon /R}^{ + \infty } \,\frac{{{{J}_{0}}(z)}}{z}dz = 2\int\limits_1^{ + \infty } \,\frac{{{{J}_{0}}(z)}}{z}dz + 2\int\limits_{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} \varepsilon /R}^1 \,\frac{{{{J}_{0}}(z)}}{z}dz: = {{J}_{{01}}} + {{J}_{{02}}}.$
$\begin{gathered} {{J}_{{02}}} = - 2{{J}_{0}}\left( {\frac{\varepsilon }{R}\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} } \right)ln\left( {\frac{\varepsilon }{R}\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} } \right) + 2\int\limits_{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} \varepsilon /R}^1 \,lnz{{J}_{1}}(z)dz = \\ = - {\kern 1pt} 2\left( {{{J}_{0}}\left( {\frac{\varepsilon }{R}\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} } \right) - 1} \right)ln\left( {\frac{\varepsilon }{R}\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} } \right) - 2ln\frac{\varepsilon }{R} - 2ln\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} + 2\int\limits_0^1 \,lnz{{J}_{1}}(z)dz - \\ \\ \end{gathered} $
(9.9)
$\begin{gathered} \, - 2\int\limits_0^{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} \varepsilon /R} \,lnz{{J}_{1}}(z)dz = {{J}_{{021}}} + {{J}_{{022}}} + {{J}_{{023}}}, \\ {{J}_{{021}}}: = 2\int\limits_0^1 \,lnz{{J}_{1}}(z)dz - 2ln\frac{\varepsilon }{R}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{J}_{{022}}}: = - 2\left( {{{J}_{0}}\left( {\frac{\varepsilon }{R}\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} } \right) - 1} \right)ln\left( {\frac{\varepsilon }{R}\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} } \right) - 2\int\limits_0^{\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} \varepsilon /R} \,lnz{{J}_{1}}(z)dz, \\ {{J}_{{023}}}: = - 2ln\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} . \\ \end{gathered} $
Таким образом, из (9.8), (9.9) и из (9.7) приходим к равенству
(9.10)
$\begin{gathered} {{J}_{{13}}} = \int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)[{{J}_{{01}}} + {{J}_{{021}}}]d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} + \int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0){{J}_{{022}}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} + \\ \, + \int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0){{J}_{{023}}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}: = {{J}_{{131}}} + {{J}_{{132}}} + {{J}_{{133}}}. \\ \end{gathered} $
${{J}_{{131}}}: = [{{J}_{{01}}} + {{J}_{{021}}}]\int\limits_{\partial {{B}_{R}}} \,\frac{{\partial \phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{\partial {{n}_{{{{y}_{1}},{{y}_{2}}}}}}}d{{S}_{y}} = 0,$
${{J}_{{133}}} = - 2\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)ln\sqrt {y_{1}^{2} + y_{2}^{2}} d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} - 4\pi \phi (0,0,0),$
здесь мы воспользовались классическим результатом (см., например, [20]). Заметим, что
(9.12)
$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} {{J}_{{12}}} = {{J}_{{120}}}:\int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} = 0,$(9.13)
$\mathop {lim}\limits_{\varepsilon \to + 0} {{J}_{{11}}} = {{J}_{{110}}}:\int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{|{{y}_{3}}| \leqslant \delta } \,\frac{{{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}) - {{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},0)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}},$
$ - \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{J}_{0}}(\varepsilon \beta (y))}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}} \to \phi (0,0,0)\quad {\text{при}}\quad \varepsilon \to + 0.$
Отсюда вытекает, что при тех же условиях на функцию $\phi (x)$ справедливо следующее предельное свойство для каждой точки $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}) \in {{\mathbb{R}}^{3}}$:
(9.15)
$\begin{gathered} - \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{J}_{0}}(\varepsilon \beta (y))}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\text{|}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}} - {{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}} = \\ = - \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{J}_{0}}(\varepsilon \beta (x - y))}}{{{\text{|}}{{x}_{3}} - {{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{\Delta }_{ \bot }}\phi ({{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}})d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}d{{y}_{3}} \to \\ \, \to \phi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\quad {\text{при}}\quad \varepsilon \to + 0. \\ \end{gathered} $
$ - {{\Delta }_{ \bot }}\frac{1}{{4\pi }}\frac{{{{J}_{0}}(\varepsilon \beta (x))}}{{{\text{|}}{{x}_{3}}{\text{|}}}}\;\mathop \rightharpoonup \limits^ * \,\delta ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})\quad * {\kern 1pt} {\text{ - слабо}}\;{\text{в}}\quad \mathcal{D}{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{3}})\quad {\text{при}}\quad \varepsilon \to + 0.$
Теперь наша задача доказать, что для любого компакта $K \subset {{\mathbb{R}}^{3}}$ справедливо предельное свойство
(9.16)
${{L}_{1}}: = \mathop {sup}\limits_{x \in K} \left| {\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{3}}} \,\frac{{{{J}_{0}}(\varepsilon \beta (y))}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}{{\Delta }_{{ \bot ,y}}}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}} - {{y}_{3}}) + 4\pi \phi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})} \right| \to + 0$
${{L}_{{11}}}: = \mathop {sup}\limits_{x \in K} \left| {\int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{|{{y}_{3}}| \leqslant \delta } \,\frac{1}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}[{{\Delta }_{{ \bot ,y}}}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}} - {{y}_{3}}) - {{\Delta }_{{ \bot ,y}}}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}})]{{J}_{0}}(\beta (y)\varepsilon )d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}} \right|,$
${{L}_{{12}}}: = \mathop {sup}\limits_{x \in K} \left| {\int\limits_{{{B}_{R}}} \,\int\limits_{\delta \leqslant |{{y}_{3}}| \leqslant R} \,\frac{1}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}[{{\Delta }_{{ \bot ,y}}}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}} - {{y}_{3}}) - {{\Delta }_{{ \bot ,y}}}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}})]{{J}_{0}}(\beta (y)\varepsilon )d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}}} \right|,$
${{L}_{{13}}}: = \mathop {sup}\limits_{x \in K} \left| {\int\limits_{{{B}_{R}}} \,{{\Delta }_{{ \bot ,y}}}\phi ({{x}_{1}} - {{y}_{1}},{{x}_{2}} - {{y}_{2}},{{x}_{3}})\int\limits_{ - R}^R \,\frac{{{{J}_{0}}\left( {\varepsilon \beta (y)} \right)}}{{{\text{|}}{{y}_{3}}{\kern 1pt} {\text{|}}}}d{{y}_{3}}d{{y}_{1}}d{{y}_{2}} + 4\pi \phi ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})} \right|.$
Из анализа выражений (9.7)–(9.11) несложно заметить, что
Анализ выражений для ${{L}_{{11}}}$ и ${{L}_{{12}}}$ повторяет анализ (9.12) и (9.13). Таким образом, имеем также, что
Таким образом, предельное свойство (9.16) доказано.
10. О ПЛОТНОМ ВЛОЖЕНИИ $\mathcal{D}( - \infty ,T)\;\mathop \subset \limits^{ds} \;\mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]$
Сейчас изучим вопрос о плотности вложения $\mathcal{D}( - \infty ,T)$ в банахово пространство $\mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]$.
Пусть $\phi (t) \in \mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]: = \left\{ {\phi (t) \in {{\mathbb{C}}^{{(2)}}}[0,T]:\phi (T) = \phi {\kern 1pt} '(T) = \phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(T) = 0} \right\},$ которое, очевидно, является банаховым пространством относительно стандартной нормы
(10.1)
$\left\| \phi \right\|: = \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\phi (t)} \right|\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\phi {\kern 1pt} '(t)} \right| + \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t)} \right|.$Теорема 10. Имеет место плотное вложение $\mathcal{D}( - \infty ,T)\;\mathop \subset \limits^{ds} \;\mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T].$
Доказательство. Продолжим произвольно фиксированную функцию $\phi (t) \in \mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]$ на всю прямую ${{\mathbb{R}}^{1}}$ следующим образом:
$\bar {\phi }(t) = \left\{ \begin{gathered} \phi (t),\quad {\text{если}}\quad t \in [0,T], \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad t \geqslant T,\quad t \leqslant - {{T}_{1}},\quad {{T}_{1}} > 0, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
и при этом $\bar {\phi }(t) \in \mathbb{C}_{0}^{{(2)}}({{\mathbb{R}}^{1}})$. Такое продолжение существует в силу определения пространства $\mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]$. Пусть $\varepsilon \in (0,T{\text{/}}2)$. Рассмотрим функцию
${{\bar {\phi }}_{\varepsilon }}(t): = \int\limits_{ - \infty }^{T - 2\varepsilon } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})\bar {\phi }(s)ds,$
где
${{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}}): = \tfrac{a}{\varepsilon }\left\{ \begin{gathered} exp\left( { - \tfrac{{{{\varepsilon }^{2}}}}{{{{\varepsilon }^{2}} - {{t}^{2}}}}} \right),\quad {\text{если}}\quad {\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} \leqslant \varepsilon , \hfill \\ 0,\quad {\text{если}}\quad {\text{|}}t{\kern 1pt} {\text{|}} > \varepsilon , \hfill \\ \end{gathered} \right.$
а постоянная $a > 0$ определяется из условия нормировки
Заметим, что функция ${{\bar {\phi }}_{\varepsilon }}(t) \in D( - \infty ,T)$. Справедлива следующая цепочка равенств:
(10.2)
$\begin{gathered} \bar {\phi }(t) - {{{\bar {\phi }}}_{\varepsilon }}(t) = \bar {\phi }(t) - \int\limits_{ - \infty }^{T + 2\varepsilon } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})\bar {\phi }(s)ds + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^{T + 2\varepsilon } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})\bar {\phi }(s)ds = \bar {\phi }(t) - \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})\bar {\phi }(s)ds + \\ \, + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^T \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})\phi (s)ds = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})[\bar {\phi }(t) - \bar {\phi }(s)]ds + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^T \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\text{|}})\phi (s)ds: = {{I}_{1}}(\varepsilon ,t) + {{I}_{2}}(\varepsilon ,t). \\ \end{gathered} $(10.3)
$\begin{gathered} \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{1}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \mathop {sup}\limits_{|t - s| \leqslant \varepsilon } \left| {\bar {\phi }(t) - \overline {\phi (s)} } \right|, \\ \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{2}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{s \in [T - 2\varepsilon ,T]} \left| {\phi (s) - \phi (T)} \right|. \\ \end{gathered} $(10.4)
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\phi (t) - {{{\bar {\phi }}}_{\varepsilon }}(t)} \right| = \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\bar {\phi }(t) - {{{\bar {\phi }}}_{\varepsilon }}(t)} \right| < \delta .$(10.5)
$\begin{gathered} \bar {\phi }{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{'}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})[\bar {\phi }{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }{\kern 1pt} '(s)]ds + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^{T + 2\varepsilon } \,\frac{{d{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})}}{{dt}}\bar {\phi }(s)ds = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})[\bar {\phi }{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }{\kern 1pt} '(s)]ds + \\ \, + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^T \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})\phi {\kern 1pt} '(s)ds + {{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t + 2\varepsilon - T{\kern 1pt} {\text{|}})\phi (T - 2\varepsilon ): = {{I}_{3}}(\varepsilon ,t) + {{I}_{4}}(\varepsilon ,t) + {{I}_{5}}(\varepsilon ,t). \\ \end{gathered} $(10.6)
$\begin{gathered} \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{3}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \mathop {sup}\limits_{|t - s| \leqslant \varepsilon } \left| {\bar {\phi }{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }{\kern 1pt} '(s)} \right|, \\ \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{4}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{t \in [T - 2\varepsilon ,T]} \left| {\phi {\kern 1pt} '(s) - \phi {\kern 1pt} '(T)} \right|, \\ \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} {{I}_{5}}(\varepsilon ,t) \leqslant \frac{a}{\varepsilon }\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \omega \left( {\frac{{|{\kern 1pt} t + 2\varepsilon - T{\kern 1pt} |}}{\varepsilon }} \right)2{{\varepsilon }^{2}}\mathop {sup}\limits_{\eta \in [T - 2\varepsilon ,T]} \left| {\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\eta )} \right|, \\ \end{gathered} $(10.7)
$\phi (T - 2\varepsilon ) = \phi (T) - 2\varepsilon \phi {\kern 1pt} '(T) + 2{{\varepsilon }^{2}}\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\eta ),\quad \eta \in [T - 2\varepsilon ,T],$(10.8)
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\phi {\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{'}(t)} \right| = \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\bar {\phi }{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{'}(t)} \right| < \delta .$(10.9)
$\bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{{''}}(t) = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})[\bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(s)]ds + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^{T + 2\varepsilon } \,\frac{{{{d}^{2}}{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})}}{{d{{t}^{2}}}}\bar {\phi }(s)ds,$(10.10)
$\begin{gathered} \int\limits_{T - 2\varepsilon }^{T + 2\varepsilon } \,\frac{{{{d}^{2}}{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})}}{{d{{t}^{2}}}}\bar {\phi }(s)ds = \int\limits_{T - 2\varepsilon }^T \,\frac{{{{d}^{2}}{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})}}{{d{{s}^{2}}}}\phi (s)ds = {{\left. { - \frac{{d{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})}}{{ds}}} \right|}_{{s = T - 2\varepsilon }}}\phi (T - 2\varepsilon ) + \\ \, + {{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - T + 2\varepsilon {\kern 1pt} {\text{|}})\phi {\kern 1pt} '(T - 2\varepsilon ) + \int\limits_{T - 2\varepsilon }^T \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - 2{\kern 1pt} {\text{|}})\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(s)ds. \\ \end{gathered} $(10.11)
$\bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{{''}}(t) = {{I}_{6}}(\varepsilon ,t) + {{I}_{7}}(\varepsilon ,t) + {{I}_{8}}(\varepsilon ,t) + {{I}_{9}}(\varepsilon ,t),$
${{I}_{6}}(\varepsilon ,t): = \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})[\bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(s)]ds,$
${{I}_{7}}(\varepsilon ,t): = - {{\left. {\frac{{d{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - s{\kern 1pt} {\text{|}})}}{{ds}}} \right|}_{{s = T - 2\varepsilon }}}\phi (T - 2\varepsilon ),$
${{I}_{8}}(\varepsilon ,t): = {{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - T + 2\varepsilon {\kern 1pt} {\text{|}})\phi {\kern 1pt} '(T - 2\varepsilon ),$
${{I}_{9}}(\varepsilon ,t): = \int\limits_{T - 2\varepsilon }^T \,{{\omega }_{\varepsilon }}({\text{|}}t - 2{\kern 1pt} {\text{|}})\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(s)ds.$
Справедливы оценки
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{6}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \mathop {sup}\limits_{|t - s| \leqslant \varepsilon } \left| {\bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(s)} \right|,$
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{7}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \frac{A}{{{{\varepsilon }^{2}}}}2{{\varepsilon }^{2}}\mathop {sup}\limits_{\eta \in [T - 2\varepsilon ,T]} {\text{|}}\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\eta ){\kern 1pt} {\text{|}},$
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{8}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \frac{A}{\varepsilon }2\varepsilon \mathop {sup}\limits_{\eta \in [T - 2\varepsilon ,T]} {\text{|}}\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\eta ){\kern 1pt} {\text{|}},$
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {{{I}_{9}}(\varepsilon ,t)} \right| \leqslant \mathop {sup}\limits_{\eta \in [T - 2\varepsilon ,T]} {\text{|}}\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\eta ){\kern 1pt} {\text{|}},$
где мы воспользовались разложением (10.7). Осталось заметить, что $\phi (t) \in \mathbb{C}_{0}^{{(2)}}[0,T]$ и поэтому
(10.12)
$\mathop {sup}\limits_{\eta \in [T - 2\varepsilon ,T]} {\text{|}}\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(\eta ){\kern 1pt} {\text{|}} \to + 0\quad {\text{при}}\quad \varepsilon \to + 0.$(10.13)
$\mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\phi {\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{{''}}(t)} \right| = \mathop {sup}\limits_{t \in [0,T]} \left| {\bar {\phi }{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(t) - \bar {\phi }_{\varepsilon }^{{''}}(t)} \right| < \delta .$Список литературы
Al’shin A.B., Korpusov M.O., Sveshnikov A.G. Blow-up in nonlinear Sobolev type equations // De Gruyter Ser. in Nonlin. Analys. and Appl. 2011. V. 15. P. 648.
Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. Современные проблемы физики. М.: Наука, 1970.
Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49. № 4. С. 47–74.
Загребина С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно (L,p)-радиальным оператором // Матем. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19. № 2. С. 39–48.
Zamyshlyaeva A.A., Sviridyuk G.A. Nonclassical equations of mathematical physics. Linear Sobolev type equations of higher order // Вестн. Юж.-Урал. ун-та. Сер. Матем. Механ. Физ. 2016. V. 8. 4. P. 5–16. $\tfrac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{t}^{2}}}}\left( {{{u}_{{xx}}} - u} \right) + {{u}_{{xx}}} = 0$ и некоторых связанных с ним задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. № 1. С. 92–102.
Капитонов Б.В. Теория потенциала для уравнения малых колебаний вращающейся жидкости // Матем. сб. 1979. Т. 109(151). 4(2.3). С. 607–628.
Габов С.А., Свешников А.Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. С. 344.
Габов С.А. Новые задачи математической теории волн. М.: Физматлит, 1998. С. 448.
Плетнер Ю.Д. Фундаментальные решения операторов типа Соболева и некоторые начально-краевые задачи // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32. № 12. С. 1885–1899.
Похожаев С.И., Митидиери Э. Априорные оценки и отсутствие решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных // Тр. МИАН. 2001. Т. 234. С. 3–383.
Galakhov E. I. Some nonexistence results for quasilinear elliptic problems // J. Math. Anal. Appl. 2000. V. 252. № 1. P. 256–277.
Галахов Е.И., Салиева О.А. Об отсутствии неотрицательных монотонных решений для некоторых коэрцитивных неравенств в полупространстве // Современ. матем. Фундамент. направл. 2017. Т. 63. № 4. С. 573–585.
Корпусов М.О. Критические показатели мгновенного разрушения или локальной разрешимости нелинейных уравнений соболевского типа // Изв. РАН. Сер. матем. 2015. Т. 79. № 5. С. 103–162.
Корпусов М.О. О разрушении решений нелинейных уравнений типа уравнения Хохлова–Заболотской // Теор. и матем. физ. 2018. Т. 194. № 3. С. 403–417.
Korpusov M.O., Ovchinnikov A.V., Panin A.A. Instantaneous blow-up versus local solvability of solutions to the Cauchy problem for the equation of a semiconductor in a magnetic field // Math. Meth. Appl. Sci. 2018. V. 41. № 17. P. 8070–8099.
Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д., Свешников А.Г. О нестационарных волнах в средах с анизотропной дисперсией // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 6. С. 1006–1022.
Кудашев В.Р., Михайловский А.Б., Шарапов С.Е. К нелинейной теории дрейфовой моды, индуцированной тороидальностью // Физ. плазмы. 1987. Т. 13. № 4. С. 417–421.
Каменец Ф.Ф., Лахин В.П., Михайловский А.Б. Нелинейные электронные градиентные волны // Физ. плазмы. 1987. Т. 13. № 4. С. 412–416.
Ситенко А.П., Сосенко П.П. О коротковолновой конвективной турбулентности и аномальной электронной теплопроводности плазмы // Физ. плазмы. 1987. Т. 13. № 4. С. 456–462.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. С. 512.
Панин А.А. О локальной разрешимости и разрушении решения абстрактного нелинейного интегрального уравнения Вольтерра // Матем. заметки. 2015. Т. 97. № 6. С. 884–903.
Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. С. 472.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Журнал вычислительной математики и математической физики
Пн.-пт.: 10.00-19.00