Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 1, стр. 159-165

ВВЕДЕНИЕ

Нелинейные задачи на собственные значения, в которых оператор задачи нелинейно зависит как от спектрального параметра, так и от искомой функции, встречаются во многих областях математической физики, в частности, в электродинамике. Задачи, в которых имеется только один спектральный параметр, будем называть однопараметрическими, а задачи, в которых есть несколько спектральных параметров – многопараметрическими, или N-параметрическими – по количеству спектральных параметров.

Укажем некоторые физические задачи, которые приводят к нелинейным задачам на собственные значения. Однопараметрические нелинейные задачи на собственные значения возникают при изучении нелинейных волн в волноведущих структурах [1], [2]. Задачи о связанных поляризованных ТЕ-ТЕ или ТЕ-ТМ электромагнитных волнах, распространяющихся в нелинейной среде (точнее, в нелинейной волноведущей структуре), приводят к двухпараметрическим нелинейным задачам на собственные значения (см. [3]–[5]). Постановки и исследование N-параметрических нелинейных задач на собственные значения (для произвольного N) имеются в [6]–[8]. В этих работах для изучения нелинейной задачи применялся метод возмущений линейной задачи, однако, в отличие от результатов настоящей статьи, были получены лишь локальные результаты о возмущении конечного числа собственных значений.

Однопараметрические нелинейные задачи на собственные значения исследовались также методами функционального анализа и вариационными методами [9], [10]. Многопараметрические линейные задачи на собственные значения подробно рассмотрены в [11].

В настоящей статье предложен метод изучения нелинейных многопараметрических задач, основанный на ином подходе – анализе специальных нелинейных Y-отображений. Если рассматривать задачу Штурма–Лиувилля на отрезке, то Y-отображение ставит в соответствие функции-потенциалу специальную (нелинейную) функцию, зависящую от нескольких собственных функций этой задачи. Доказывается, что многопараметрические нелинейные задачи на собственные значения сводятся к поиску неподвижных точек Y-отображения.

Подход к изучению нелинейных задач на собственные значения, предлагаемый в настоящей статье, вообще говоря, не связан с конкретным видом рассматриваемого оператора, и может применяться для исследования многих нелинейных задач. В статье выбрана одна задача такого типа, возникающая в электродинамике при изучении распространения связанных поляризованных электромагнитных ТЕ-ТЕ волн в экранированном диэлектрическом слое с нелинейностью с насыщением. На примере этой задачи проиллюстрированы основные положения предлагаемого метода. В то же время результаты, полученные в статье для этой задачи, являются новыми.

Заметим, что зависимость собственных значений в линейной однопараметрической задаче Штурма–Лиувилля от потенциала изучалась близкими методами. Например, оценки первого и последующих собственных значений были получены в [12]–[14].

1. ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Рассмотрим постановку задачи о распространении связанных поляризованных электромагнитных ТЕ-ТЕ волн в экранированном диэлектрическом слое с нелинейностью с насыщением [15].

Пусть ${\mathbf{u}} = ({{u}^{{(1)}}},...,{{u}^{{(N)}}})$ – вектор неизвестных вещественных функций, (${{u}^{{(i)}}} = {{u}^{{(i)}}}(x)$), ${\mathbf{\lambda }} = ({{\lambda }^{{(1)}}},...,{{\lambda }^{{(N)}}})$ – вектор (вещественных) спектральных параметров. Рассмотрим задачу на собственные значения на отрезке $[0,h]$ ($x \in [0,h]$) следующего вида:

с краевыми условиями и дополнительными условиями Здесь $\varepsilon = \varepsilon (x)$ – известная функция, $\varepsilon \in {{C}^{1}}[0,h]$, которую без ограничения общности будем считать положительной, $\varepsilon (x) > 0,\;x \in [0,h]$; коэффициент $\alpha > 0$ (коэффициент нелинейности). Далее, через ${\text{|}}{\mathbf{u}}{\kern 1pt} {\text{|}}$ обозначен модуль вектора, т.е. ${\text{|}}{\mathbf{u}}{\kern 1pt} {{{\text{|}}}^{2}} = {{({{u}^{{(1)}}})}^{2}} + \cdot \cdot \cdot + {{({{u}^{{(N)}}})}^{2}}$, $f(t): = \frac{{{{t}^{2}}}}{{1 + \beta {{t}^{2}}}}$ – функция, описывающая нелинейность, причем коэффициент $\beta \geqslant 0$ фиксирован (при $\beta = 0$ имеем нелинейность Керра, при $\beta > 0$ – нелинейность с насыщением). Постановка дополнительных условий (3) (или каких-либо еще) необходима в силу нелинейности задачи. Константы ${{C}_{i}} \ne 0$ считаются фиксированными и известными.

Сформулируем следующую задачу на собственные значения. Будем искать гладкие (классические) решения задачи.

Задача Р. Найти такие векторы ${\mathbf{\lambda }}$, при которых существуют (нетривиальные) решения ${\mathbf{u}}$ задачи (1)–(3) такие, что ${{u}^{{(i)}}} \in {{C}^{2}}(0,h) \cap {{C}^{1}}[0,h]$, $i = 1,...,N$.

Замечание 1. Очевидно, что в силу условий (3) при $x \in [0,h]$ для всех $i = 1,...,N$, т.е. все решения будут нетривиальные.

Определение 1. Вектор функций ${\mathbf{u}}$, являющихся решением задачи Р, будем называть вектором собственных функций, отвечающих вектору собственных значений ${\mathbf{\lambda }}$ задачи Р.

2. Y-ОТОБРАЖЕНИЯ И ЕГО НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ

Уравнения (1) в задаче Р перепишем в виде

Уравнения (4) – это уравнения задачи Штурма–Лиувилля. Классическая задача Штурма–Лиувилля имеет вид с краевыми условиями Здесь $q \in C[0,h]$, а функция $v(x)$ ищется в классе $v \in {{C}^{2}}(0,h) \cap C[0,h]$ с дополнительным условием $v \in {{H}^{1}}(0,h)$. Тогда решение задачи (6), (7) $v \in {{C}^{2}}[0,h]$ [16, с. 234, теорема 1]. По теореме Штурма [17, с. 31], [18] существует бесконечное множество собственных значений ${{\lambda }_{n}}$ задачи (6), (7) и отвечающих им собственных функций ${{v}_{n}}(x)$ таких, что а собственные функции ${{v}_{n}}(x)$ все различны (для разных $n$) и они ортогональны между собой в пространстве ${{L}_{2}}(0,h)$: $\int_0^h {{{v}_{n}}(x){{v}_{m}}(x)dx} = 0$ при $n \ne m$. Пронормируем собственные функции так, что

Теперь построим Y-отображение. Пусть ${{m}_{1}},...,{{m}_{N}}({{m}_{j}} \geqslant 1)$ – набор $N$ натуральных чисел (индексов). Пусть фиксирован потенциал $q(x)$ и ${{v}_{{{{m}_{j}}}}}(x)$ – собственная функция задачи Штурма–Лиувилля (6), (7) с номером ${{m}_{j}}$, отвечающая собственному значению ${{\lambda }_{{{{m}_{j}}}}}$. Определим

Формула (10) задает (нелинейное) отображение ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}:C[0,h] \to C[0,h]$. Теперь нетрудно видеть, что решения задачи Р являются неподвижными точками отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}$ для некоторого набора ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$:

Точнее, верна

Теорема 1. Пусть ${\mathbf{u}} = ({{u}^{{(1)}}},...,{{u}^{{(N)}}})$ (${{u}^{{(i)}}} = {{u}^{{(i)}}}(x)$), ${\mathbf{\lambda }} = ({{\lambda }^{{(1)}}},...,{{\lambda }^{{(N)}}})$ – являются решениями задачи (1)–(3) (задачи Р). Тогда $q(x) = - (\varepsilon + \alpha f({\text{|}}{\mathbf{u}}{\kern 1pt} {\text{|}}{\kern 1pt} ))$ является неподвижной точкой отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}$ для некоторого набора ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$, т.е. удовлетворяет уравнению (11). Обратно, если $q \in C[0,h]$ является неподвижной точкой отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}:C[0,h] \to C[0,h]$ для некоторого набора ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$, то задача (1)–(3) (задача Р) имеет решение ${\mathbf{u}} = (u_{{{{m}_{1}}}}^{{(1)}},...,u_{{{{m}_{N}}}}^{{(N)}})$, ${\mathbf{\lambda }} = (\lambda _{{{{m}_{1}}}}^{{(1)}},...,\lambda _{{{{m}_{N}}}}^{{(N)}})$, где $u_{{{{m}_{j}}}}^{{(j)}}(x) = {{C}_{j}}{{v}_{{{{m}_{j}}}}}(x)$, а ${{v}_{{{{m}_{j}}}}}(x)$ – собственная функция задачи Штурма–Лиувилля (6), (7) с номером ${{m}_{j}}$, отвечающая собственному значению ${{\lambda }_{{{{m}_{j}}}}}$.

Доказательство. Пусть ${\mathbf{u}} = ({{u}^{{(1)}}},...,{{u}^{{(N)}}})$ (${{u}^{{(i)}}} = {{u}^{{(i)}}}(x)$), ${\mathbf{\lambda }} = ({{\lambda }^{{(1)}}},...,{{\lambda }^{{(N)}}})$ являются решениями задачи (1)–(3). Перепишем эту задачу в виде (4), (5). Тогда ${{u}^{{(i)}}} = {{u}^{{(i)}}}(x)$ является собственной функцией задачи (6), (7) с потенциалом $q \in C[0,h]$ (определяемым по формуле (5)), отвечающей собственному значению ${{\lambda }^{{(i)}}} = {{\lambda }_{{{{m}_{i}}}}}$ с некоторым номером ${{m}_{i}}$, причем этот номер определяется однозначно. Таким образом определим все ${{m}_{1}},...,{{m}_{N}}({{m}_{j}} \geqslant 1)$. Ясно, что будет выполняться ${{Y}_{{{{m}_{1}}{{m}_{2}}...{{m}_{N}}}}}(q) = q$, т.е. уравнение (11) для ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$.

Обратно, решим задачу Штурма–Лиувилля (6), (7) для потенциала $q \in C[0,h]$ и найдем ${{v}_{{{{m}_{j}}}}}(x)$, ${{\lambda }_{{{{m}_{i}}}}}$ для набора ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$. Полагая ${{u}^{{(i)}}}(x): = {{C}_{i}}{{{v}}_{{{{m}_{i}}}}}(x)$, ${{\lambda }^{{(i)}}}: = {{\lambda }_{{{{m}_{i}}}}}$, видим, что выполнены все условия в (4), (5), а следовательно, и в (1)–(3). Утверждение доказано.

Таким образом, многопараметрическая задача на собственные значения (1)–(3) эквивалентна нахождению неподвижных точек Y-отображений.

3. ТЕОРЕМЫ О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК Y-ОТОБРАЖЕНИЙ

Сначала рассмотрим простую вспомогательную задачу Штурма–Лиувилля с постоянным потенциалом ${{q}_{0}} = {\text{const}}$:

Собственные значения и собственные функции задачи (12), (13) имеют вид

Пусть $ - {{R}_{2}} \leqslant q(x) \leqslant - {{R}_{1}}(0 < {{R}_{1}} < {{R}_{2}})$. Тогда, в силу теорем сравнения [16, с. 196, теорема 4], используя (14), для собственных значений ${{\lambda }_{n}}$ задачи (6), (7) имеем

Выберем Очевидно, что $U \subset C[0,h]$ – замкнутое, выпуклое, ограниченное множество. Далее, выберем ${{R}_{1}}: = \mathop {\min }\limits_{x \in [0,h]} \varepsilon (x)$ (${{R}_{1}} > 0$). Ясно, что для любого ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$Далее, если выбрать ${{R}_{2}} > {{R}_{1}}$ так, чтобы выполнялось неравенство то будем иметь т.е. отображение ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}$ действует из $U$ в $U$. Непрерывность отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}$ следует из формулы (10) и непрерывной зависимости собственных значений ${{\lambda }_{n}}(q)$ и собственных функций ${{v}_{n}}(q)$ задачи (6), (7) с нормировкой (9) от $q \in C[0,h]$ (непрерывная зависимость ${{\lambda }_{n}}(q)$ от $q \in C[0,h]$ следует из общих теорем о возмущении собственных значений [19, с. 270], [20, с. 35, теорема 4.2]; непрерывная зависимость собственных функций в $C[0,h]$ от $q$ легко получается из формулы (20), представленной ниже). Так как $q \in C[0,h]$, то [16, с. 234, теорема 1] ${{v}_{n}} \in {{C}^{2}}[0,h]$. Поэтому, учитывая, что $\varepsilon \in {{C}^{1}}[0,h]$ ,получаем ${{Y}_{{\mathbf{m}}}} \in {{C}^{1}}[0,h]$. Тогда из компактности вложения ${{C}^{1}}[0,h] \subset C[0,h]$ [21, с. 11, теорема 1.31] получаем, что отображение ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}:U \to U$ вполне непрерывно. Следовательно, по теореме Шаудера [22, с. 370] оно имеет неподвижную точку в $U$.

Итак, для доказательства существования неподвижной точки отображения (19) осталось выбрать ${{R}_{2}}$, удовлетворяющим условию (18).

Пусть ${{\lambda }_{n}} = {{s}^{2}}$ и $v = {{v}_{n}}$ удовлетворяет (6), (7) и (9). Тогда имеет место представление (см. [18, формула (1.2.11), с. 15)]:

с некоторой функцией $K(x,t) \in {{C}^{1}}([0,h] \times [0,h])$, и по теореме 1.2.2 из [18] нетрудно получить оценку

Рассмотрим два случая. Пусть сначала $s \in {\mathbf{R}}$, $s > 0$ – вещественное число. Тогда из (20) и (21) имеем

причем оценка (22) не зависит от $s \in {\mathbf{R}}$. Будем выбирать ${{R}_{2}} = {{R}_{2}}(\alpha )$ в зависимости от $\alpha $. Пусть и пусть при некотором ${{n}_{{**}}}$ выполняется неравенство: Тогда при ${{m}_{j}} \geqslant {{n}_{{*{\kern 1pt} *}}},$ $j = 1,...,N$, и $q \in U$ из (10), (22), (23) следует, что где ${{\varepsilon }_{{\max }}}: = \mathop {\max }\limits_{x \in [0,h]} \varepsilon (x)$, ${{C}^{2}}: = C_{1}^{2} + C_{2}^{2} \ldots + C_{N}^{2}$. Выберем ${{R}_{2}} = {{R}_{2}}(\alpha )$ так, чтобы выполнялось неравенство Пусть Тогда Оценка (26) примет вид Второе слагаемое в левой части неравенства (29) при $\alpha \to 0$ стремится к нулю, а правая часть стремится к бесконечности. Следовательно, существует ${{\alpha }_{*}}$ такое, что при всех $\alpha \leqslant {{\alpha }_{*}}$ неравенство (29) выполняется. Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть $0 < p < 1{\text{/}}2$. Существует такое ${{\alpha }_{*}}$, что при всех $\alpha \leqslant {{\alpha }_{*}}$ и всех ${{m}_{j}} \geqslant {{n}_{{**}}},\;j = 1,...,N$, где

отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}:U \to U$, ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$ имеют неподвижные точки, причема $U$ определяется формулой (16).

Теперь рассмотрим второй случай, когда $s = i\tau ,\;\tau \in {\mathbf{R}}$, $\tau > 0$. Тогда представление (20) можно записать в виде:

Предположим, что $\lambda _{n}^{ + } < 0$. Так как функция $\frac{{\operatorname{sh} \tau t}}{\tau }$ возрастает по $\tau $ и по $t$, и учитывая, что $\sqrt {{\text{|}}\lambda _{n}^{ + }{\kern 1pt} {\text{|}}} \leqslant \tau \leqslant \sqrt {{\text{|}}\lambda _{n}^{ - }{\kern 1pt} {\text{|}}} $, из (30) получаем Выберем ${{R}_{2}} > {{\varepsilon }_{{\max }}}$ и пусть выполнено условие для некоторого ${{n}_{*}} \geqslant 1$. Тогда $\lambda _{{{{n}_{*}}}}^{ - } \leqslant {{\lambda }_{n}} \leqslant \lambda _{n}^{ + } < 0$ при $n \leqslant {{n}_{*}}$. Пусть Тогда при ${{m}_{j}} \leqslant {{n}_{*}},\;j = 1,...,N$, и $q \in U$ из (10), (31), (33) получаем оценку (25) с $M$, определенным формулой (33). Тогда при достаточно малом $\alpha $ будет верна оценка (26), откуда следует

Теорема 3. Пусть выполнено условие (32) для некоторого ${{n}_{*}} \geqslant 1$. Выберем ${{R}_{2}} > {{\varepsilon }_{{\max }}}$. Тогда найдется такое ${{\alpha }_{*}}$, что при всех $\alpha \leqslant {{\alpha }_{*}}$ и всех ${{m}_{j}} \leqslant {{n}_{*}},\;j = 1,...,N$, отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}:U \to U$, ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$ имеют неподвижные точки.

Докажем, что решения задачи Р, которые получаются в результате нахождения неподвижных точек различных отображений ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}$, являются различными. Пусть ${\mathbf{u}} = ({{u}^{{(1)}}},...,{{u}^{{(N)}}})$, ${\mathbf{\lambda }} = ({{\lambda }^{{(1)}}},...,{{\lambda }^{{(N)}}})$ – является решением задачи (1)–(3), отвечающим неподвижной точке $q \in C[0,h]$ отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}:C[0,h] \to C[0,h]$, ${\mathbf{m}} = ({{m}_{1}},...,{{m}_{N}})$, а ${\mathbf{\bar {u}}} = ({{\bar {u}}^{{(1)}}},...,{{\bar {u}}^{{(N)}}})$, ${\mathbf{\bar {\lambda }}} = ({{\bar {\lambda }}^{{(1)}}},...,{{\bar {\lambda }}^{{(N)}}})$ является решением задачи (1)–(3), отвечающим неподвижной точке $\bar {q} \in C[0,h]$ отображения ${{Y}_{{{\mathbf{\bar {m}}}}}}:C[0,h] \to C[0,h]$, ${\mathbf{\bar {m}}} = ({{\bar {m}}_{1}},...,{{\bar {m}}_{N}})$. Пусть ${\mathbf{u}} = {\mathbf{\bar {u}}}$, ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}$. Тогда из (10) получаем, что ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}(q) = {{Y}_{{{\mathbf{\bar {m}}}}}}(\bar {q})$. Следовательно (так как $q$ и $\bar {q}$ неподвижные точки соответствующих отображений), $q = \bar {q}$. Но для одного потенциала $q$ равенство ${\mathbf{u}} = {\mathbf{\bar {u}}}$, ${\mathbf{\lambda }} = {\mathbf{\bar {\lambda }}}$ влечет ${\mathbf{m}} = {\mathbf{\bar {m}}}$ (все собственные функции задачи Штурма–Лиувилля различны, поскольку ортогональны между собой), т.е. отображения ${{Y}_{{\mathbf{m}}}}$ и ${{Y}_{{{\mathbf{\bar {m}}}}}}$ совпадают. Тогда из теоремы 2 получаем

Следствие 1. Найдется такое ${{\alpha }_{*}}$, что при всех $\alpha \leqslant {{\alpha }_{*}}$ существует бесконечное множество (различных) решений задачи Р.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренный метод Y-отображений позволяет исследовать нелинейные многопараметрические задачи на собственные значения и доказывать существование решений. Вид нелинейности в (1) может быть выбран произвольным. В статье была выбрана нелинейность с насыщением, чтобы исследовать конкретную задачу о распространении связанных поляризованных электромагнитных ТЕ-ТЕ волн в нелинейном слое. С помощью метода Y-отображений было доказано существование бесконечного множества решений в этой нелинейной многопараметрической задаче на собственные значения для достаточно малых значений коэффициента нелинейности, в отличие от результатов в [1]–[8], где были получены лишь локальные результаты о возмущении конечного числа собственных значений.