Журнал вычислительной математики и математической физики, 2022, T. 62, № 2, стр. 320-329

1. ВВЕДЕНИЕ

Объектом исследования является линейное интегральное уравнение III рода с фиксированными особенностями в ядре (УТРФО):

где и $y$ – известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости” точечного характера, $x(t)$ – искомая функция, а интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару [1, с. 144–150]. Уравнения вида (1.1) находят все более широкие применения как в теории, так и в приложениях. К такого рода уравнениям приводит ряд важных задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., например, [2], [3] и библиографию к [2] и [4]), а также теорий сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом [5] и уравнений с частными производными смешанного типа [6]. При этом естественными классами решений УТР, как правило, являются специальные пространства обобщенных функций (ПОФ) типа $D$ или $V$. Под $D$ (соответственно, $V$) понимается ПОФ, построенное на основе функционала “дельта-функция Дирака” (соответственно “конечная часть интеграла по Адамару”). Исследуемые УТРФО точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их приближенного решения в ПОФ является актуальным и активно развивающимся направлением математического анализа и вычислительной математики. Ряд результатов в этой области получен в работах [7]–[12], в которых предложены и обоснованы специальные прямые полиномиальные методы решения УТРФО вида (1.1) в ПОФ типа $D$ и $V$.

В настоящей работе для приближенного решения УТРФО (1.1) в ПОФ типа $D$ предложен новый вариант обобщенного метода коллокации, основанный на применении кубических сплайнов минимального дефекта. Проведено его теоретическое обоснование в смысле [13, гл. 1] и установлено, что разработанный метод оптимален по порядку точности на некотором классе $F$ гладких функций среди всех прямых проекционных методов решения исследуемых уравнений в ПОФ.

2. О ПРОСТРАНСТВАХ ОСНОВНЫХ И ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть $C \equiv C(I)$ – пространство непрерывных на $I$ функций с обычной max-нормой и $m \in N$. Следуя [14], скажем, что функция $f \in C$ принадлежит классу $C\left\{ {m;0} \right\} \equiv C_{0}^{{\left\{ m \right\}}}(I)$, если в точке $t = 0$ существует тейлоровская производная ${{f}^{{\left\{ m \right\}}}}(0)$ порядка $m$ (естественно считаем, что $C\left\{ {0;0} \right\} \equiv C$). Множество $C\left\{ {m;0} \right\}$ назовем классом точечно-гладких функций с характеристическим оператором $T:C\left\{ {m;0} \right\} \to C$, определенным по правилу

По норме

пространство $C\left\{ {m;0} \right\}$ полно и нормально вложено в $C$ (см., например, [15, гл. 1, § 2]).

Далее, пусть $p \in {{R}^{ + }}$ и $g \in C$. Также следуя [14], будем обозначать $g \in C\left\{ {p;1} \right\} \equiv C_{1}^{{\left\{ p \right\}}}(I)$, если существуют левые тейлоровские производные ${{g}^{{\left\{ j \right\}}}}(1)\quad \left( {j = \overline {1,\left[ p \right]} } \right)$ в точке $t = 1$, причем при $p \ne \left[ p \right]$ ($\left[ {} \right]$ – целая часть числа) конечен предел

Векторное пространство $C\left\{ {p;1} \right\}$ снабдим нормой где Заметим, что элементы пространства $C\left\{ {p;1} \right\}$ – функции вида причем $Sg = G(t) \in C,$ ${{g}^{{\left\{ i \right\}}}}(1) = {{b}_{i}}\,i!$ $(i = \overline {0,\lambda } ).$ Отсюда ясно, что пространство $C\left\{ {p;1} \right\}$ с нормой (2.1) полно и вложено в $C$.

Теперь образуем основное для наших исследований пространство

В качестве нормы в нем выберем величину

Лемма 2.1 (см. [7]). 1). Oтносительно структуры основных функций справедливо соотношение

где $\Phi \in С,$ ${{\alpha }_{j}} \in R,$ $j = \overline {0,\lambda } ,$ ${{e}_{i}} \in R,$ $i = \overline {0,m - 1} ,$ причем $ST\varphi = \Phi ,\;$ ${{(T\varphi )}^{{\left\{ j \right\}}}}(1) = {{\alpha }_{j}}j!$ $(\forall j),$ ${{\varphi }^{{\left\{ i \right\}}}}(0) = {{e}_{i}}\,i!$ $(\forall i);$ $Uf \equiv {{t}^{m}}f(t),$ $Vf \equiv {{(1 - t)}^{p}}f(t);$

2) по норме (2.4) пространство $Y$ полно и вложено в $C\left\{ {m;0} \right\}.$

Пусть $h \in C({{I}^{2}})$ и при каждом фиксированном $s \in I$ функция $h(t,s)$ принадлежит пространству $C\left\{ {p;1} \right\}$. Будем говорить, что $h \in C_{t}^{{\left\{ p \right\}}}({{I}^{2}})$, если ${{S}_{t}}h \in C$, где ${{S}_{t}}$ обозначает оператор (2.2), примененный по переменной $t$. Аналогично определяем класс $C_{s}^{{\left\{ p \right\}}}({{I}^{2}})$. Тогда

Теперь над пространством $Y$ основных функций построим семейство $X \equiv {{D}^{{\left\{ p \right\}}}}\left\{ {m;0} \right\}$ обобщенных функций $x(t)$ вида

где $t \in I,$ $z \in C\left\{ {p;1} \right\},$ ${{\gamma }_{i}} \in R$ – произвольные постоянные, а $\delta $ и ${{\delta }^{{\left\{ i \right\}}}}$ – соответственно дельта-функция Дирака и ее тейлоровские производные, действующие на пространстве $Y$ основных функций по следующему правилу: Ясно, что векторное пространство $X$ по норме является банаховым.

3. О СПЛАЙНОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ТОЧЕЧНО-ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ

Рассмотрим вопрос о приближении элементов основного пространства $Y \equiv C_{{0;1}}^{{\left\{ m \right\};\left\{ p \right\}}}(I)$ с использованием кубических сплайнов.

Зададим на $I$ равномерную сетку

где ${{s}_{k}} \equiv - 1 + 2k{\text{/}}n,$ $k = \overline {0,n} ,$ и на ней рассмотрим кубический сплайн удовлетворяющий краевым условиям Здесь базисные функции ${{B}_{i}}(t)$ суть $B$- сплайны с носителем $({{s}_{{i - 2}}},{{s}_{{i + 2}}})$ (см., например, [16, гл. 3, § 8]). Для определения всех функций ${{B}_{i}}(t)$ сетку (3.1) дополним равномерно расположенными узлами: ${{s}_{{ - 3}}} < {{s}_{{ - 2}}} < {{s}_{{ - 1}}} < {{s}_{0}} \equiv - 1,$$1 \equiv {{s}_{n}} < {{s}_{{n + 1}}} < {{s}_{{n + 2}}} < {{s}_{{n + 3}}}$. Обозначим через $S_{n}^{3}$ пространство всех кубических сплайнов ${{z}_{n}}(t)$ на сетке ${{\Delta }_{n}}$, обладающих свойством (3.2), с нормой ${{\left\| {{{z}_{n}}} \right\|}_{C}}$. Далее, пусть ${{P}_{n}}:C \to S_{n}^{3}$ означает оператор, который всякой функции $f \in C$ ставит в соответствие ее интерполяционный кубический сплайн ${{P}_{n}}f \in S_{n}^{3}$ с условием (3.2) такой, что $\left( {{{P}_{n}}f} \right)({{s}_{i}}) = f({{s}_{i}}),$ $i = \overline {0,n} $. В книге [16, гл. 3, § 1, теорема 3.1] доказаны существование и единственность интерполяционного кубического сплайна при различных краевых условиях и указан алгоритм построения таких сплайнов. Там же (см. гл. 3, § 5) особо отмечается, что при приближении кубическими сплайнами выбор краевых условий (3.2) является наиболее удачным.

Из теорем 9, 10, 13 в [17, гл. 2, § 4] и соответствующего результата работы [18] (см. там лемму 2) как следствие вытекает

Лемма 3.1. Пусть $r = \overline {1,4} $ и $f \in {{C}^{{(r)}}} \equiv {{C}^{{(r)}}}(I)$. Тогда

Пусть ${{\Pi }_{q}} \equiv {\text{span\{ }}{{t}^{i}}{\text{\} }}_{0}^{q}$ – класс всех алгебраических полиномов степени, не выше $q$. Обозначим через ${{Y}_{n}} \equiv {\text{span}}\left\{ {UV{{B}_{i}}} \right\}_{{ - 1}}^{{n + 1}} \oplus {{\Pi }_{{m + \lambda }}}$ $(n + m + \lambda + 4)$-мерное подпространство пространства $Y$ и введем в рассмотрение оператор ${{\Gamma }_{n}} \equiv {{\Gamma }_{{n + m + \lambda + 4}}}:Y \to {{Y}_{n}}$, относящий к любой функции $y \in Y$ обобщенный сплайн ${{\Gamma }_{n}}y \in {{Y}_{n}}$, определяемый условиями

Рассуждая так же, как и в [15, гл. 1, § 5, п. 5.3], несложно получить представление

Лемма 3.2. ${{\Gamma }_{n}}$ – проектор в пространстве $Y$.

В силу (3.4) и $P_{n}^{2} = {{P}_{n}}$ данная лемма доказывается аналогично лемме 1.5.1 в [15, гл. 1, § 5]. При этом роль операторов $U$ и $T$в лемме 1.5.1 играют соответственно $UV$ и $ST$.

Далее будем использовать следующее обозначение:

где $r = 0,1,2,...;$ причем $Y{{C}^{{(0)}}} \equiv Y$.

Следующее утверждение характеризует скорость сходимости обобщенных интерполяционных сплайнов к интерполируемой функции.

Теорема 1. Если $y \in Y{{C}^{{(r)}}},\,\,r = \overline {1,4} ,$ то

Доказательство. В силу (2.5), (3.4), (2.4), (2.1) и леммы 3.1 последовательно находим

Замечание 1. Очевидно, что из оценки (3.5) и хорошо известной теоремы Банаха–Штейнгауза следует равномерная ограниченность норм операторов ${{\Gamma }_{n}}:\left\| {{{\Gamma }_{n}}} \right\| = O(1),$ $n \to \infty $.

4. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ С КУБИЧЕСКИМИ СПЛАЙНАМИ (ОМККС)

Пусть задано УТРФО (1.1). Для сокращения громоздких выкладок и упрощения формулировок, не ограничивая общности методов и результатов, всюду в дальнейшем будем считать $l = 1,$ ${{t}_{1}} = 0,$ ${{p}_{1}} = 0$, т.е. рассмотрим уравнение вида

в котором $m \in N,$ $p \in {{R}^{ + }};$ $y \in Y,K$ – известная непрерывная функция, удовлетворяющая следующим условиям: а $x \in X$ – искомая обобщенная функция. Фредгольмовость и достаточные условия непрерывной обратимости оператора $A:X \to Y$ установлены в работе [7], там же указан метод отыскания точного решения УТРФО (4.1) в классе$X.$

Приближенное решение уравнения (4.1) построим в виде

где ${{z}_{n}}(t) \equiv \sum\nolimits_{i = - 1}^{n + 1} {{{c}_{i}}} {{B}_{i}}(t)$ – кубический сплайн, рассмотренный выше в разд. 3. Набор $\left\{ {{{c}_{k}}} \right\}_{{ - 1}}^{{n + m + \lambda + 2}}$ неизвестных параметров найдем, согласно нашему ОМККС, из квадратной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) $(n + m + \lambda + 4)$-го порядка: где ${{\rho }_{n}}(t) \equiv \rho _{n}^{A}(t) \equiv (A{{x}_{n}} - y)(t)$ – невязка приближенного решения, а $\left\{ {{{s}_{i}}} \right\}_{0}^{n}$ – использованная ранее система узлов коллокации, порождающая сетку (3.1).

При обосновании предложенного метода полезную роль играют функции

Для вычислительного алгоритма (4.1)–(4.4) справедлива

Теорема 2. Пусть однородное УТРФО $Ax = 0$ имеет в $X$ лишь нулевое решение (например, в условиях теоремы 3 в [7]), а исходные данные таковы, что $u \equiv {{S}_{s}}K$ (по $t$), ${{\psi }_{j}},{{\Psi }_{i}},y \in Y{{C}^{{(r)}}},$ $r = \overline {1,4} ,$ $j = \overline {0,\lambda } ,$ $i = \overline {0,m - 1} .$ Тогда при всех $n \in N,$ $n \geqslant {{n}_{0}}$ СЛАУ (4.4) обладает единственным решением $\{ c_{k}^{*}\} $ и последовательность приближенных решений $x_{n}^{*} \equiv {{x}_{n}}(t;\{ c_{k}^{*}\} )$ сходится к точному решению $x{\kern 1pt} * = {{A}^{{ - 1}}}y$ по норме пространства $X$ со скоростью

Доказательство. УТРФО (4.1) представляется в виде линейного операторного уравнения

в котором оператор $A:X \to Y$ непрерывно обратим.

Систему (4.3), (4.4) требуется записать также в операторной форме. С этой целью построим соответствующие конечномерные подпространства в виде

Тогда, следуя рассуждениям при доказательстве теоремы 4.3.1 (см. [15, гл. 4, § 3]), несложно показать, что вычислительная схема (4.3), (4.4) ОМККС равносильна линейному операторному уравнению где ${{\Gamma }_{n}}:Y \to {{Y}_{n}}$ – “сплайновый” оператор, введенный и подробно изученный в разделе 3. Следовательно, для доказательства утверждений теоремы 2 достаточно установить существование, единственность и сходимость решений уравнений (4.7).

Уточним структуру аппроксимирующего уравнения (4.7). Поскольку в силу леммы 3.2 $\Gamma _{n}^{2} = {{\Gamma }_{n}},$ имеем ${{\Gamma }_{n}}U{{x}_{n}} = U{{x}_{n}} \in {{Y}_{n}}$ при любом элементе ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}.$Таким образом, система (4.3), (4.4) эквивалентна линейному уравнению вида

Обсудим теперь вопрос близости операторов $A$ и ${{A}_{n}}$ на подпространстве ${{X}_{n}}$. Используя уравнения (4.6) и (4.8), представления (2.5) и (3.4), а также нормы (2.4) и (2.1), для произвольного элемента ${{x}_{n}} \in {{X}_{n}}$ находим, что

На основании (4.1), (4.2) и (2.6) имеем

где Тогда, с учетом (4.3) и (4.2), получаем, что где $h \equiv {{S}_{t}}{v},$ ${{\alpha }_{j}} \equiv ST{{\psi }_{j}},$ ${{\beta }_{i}} \equiv ST{{\Psi }_{i}},$ $j = \overline {0,\lambda } ,$ $i = \overline {0,m - 1} .$

В силу (4.10), (3.3) и определения (2.7) последовательно выводим следующую аппроксимативную оценку (здесь и далее ${{d}_{i}},\;i = \overline {1,4} $ – определенные константы, не зависящие от натурального $n$):

где ${{d}_{2}} \equiv [{{2}^{{p + 1}}} + ({{2}^{{\lambda + 1}}} + \beta )(\lambda + 1) + m]{{d}_{1}},\;\beta \equiv \mathop {\max }\limits_{0 \leqslant j,k \leqslant \lambda } \left| {{{\beta }_{{jk}}}} \right|.$

Из равенства (4.9) и оценки (4.11) следует, что

Тогда, благодаря неравенствам (4.12) и (3.5), из теоремы 7 (см. [13, гл. 1, § 4]) следует утверждение теоремы 2 с оценкой (4.5). Требуемое доказано.

В дальнейшем при оптимизации прямых проекционных методов решения УТРФО (4.1) существенную роль будет играть

Теорема 3. Пусть УТРФО (4.1) имеет решение вида

при данном $y \in Y$ и соответствующий аппроксимирующий оператор ${{A}_{n}}$ в ОМККС непрерывно обратим. Тогда погрешность приближенного решения $x_{n}^{*} \in {{X}_{n}}$ для правой части ${{\Gamma }_{n}}y \in {{Y}_{n}}$ представима в виде

Доказательство. В силу теоремы 6 (см. [13, гл. 1, § 3]) и структуры приближенного уравнения (4.8) имеем

где $x_{n}^{{}} \in {{X}_{n}}$ – пока произвольный элемент. Выберем его следующим образом: Тогда требуемая оценка (4.14) следует из (4.15), (4.13), (2.3), (4.16), (2.7), (2.1), леммы 3.1 с учетом замечания 1:

5. К ОПТИМИЗАЦИИ ПРЯМЫХ ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ УТРФО

Предварительно приведем необходимые определения и постановку задачи. Пусть $X$ и $Y$ – банаховы пространства, а ${{X}_{n}}$ и ${{Y}_{n}}$ – их соответствующие произвольные подпространства одинаковой размерности $N = N(n) < + \infty ,$ $n \in N$, причем $N \to \infty $ при $n \to \infty $. Обозначим через ${{\Lambda }_{n}} \equiv \left\{ {{{\lambda }_{n}}} \right\}$ некоторое множество линейных операторов ${{\lambda }_{n}}$, отображающих $Y$ на ${{Y}_{n}}$. Далее рассмотрим два класса однозначно разрешимых линейных операторных уравнений

и соответственно. Пусть $x{\kern 1pt} * \in X$ и $x_{n}^{*} \in {{X}_{n}}$ – решения уравнений (5.1) и (5.2) соответственно, а $F \equiv \left\{ f \right\}$ – класс коэффициентов (т.е. исходных данных) уравнения (5.1), порождающий класс $X{\kern 1pt} * \equiv \left\{ {x{\kern 1pt} *} \right\}$ искомых элементов.

Следуя работе [13, гл. 2, § 1], величину

где назовем оптимальной оценкой погрешности всевозможных прямых проекционных методов $(\lambda _{n}^{{}} \in {{\Lambda }_{n}})$ решения уравнения (5.1) на классе $F$.

Определение 1 (см. [13, гл. 2, § 1]). Пусть существуют подпространства $X_{n}^{0} \subset X,$ $Y_{n}^{0} \subset Y$ размерности $N = N(n) < + \infty $ и операторы $\lambda _{n}^{0}:Y \to Y_{n}^{0},$ $\lambda _{n}^{0} \in {{\Lambda }_{n}},$ при которых выполняется условие

где символ $ \succ \prec $ означает, как обычно, слабую эквивалентность. Тогда метод (5.1), (5.2) при ${{X}_{n}} = X_{n}^{0},\;{{Y}_{n}} = Y_{n}^{0}$ и ${{\lambda }_{n}} = \lambda _{n}^{0}$ называется оптимальным по порядку точности на классе $F$ среди всех прямых проекционных методов ${{\lambda }_{n}}\;\left( {{{\lambda }_{n}} \in {{\Lambda }_{n}}} \right)$ решения уравнений (5.1).

Рассмотрим теперь оптимизацию по порядку точности на классе однозначно разрешимых (равномерно относительно $K \in F$) УТРФО (4.1) в случае, когда исходные данные принадлежат семейству $Y{{C}^{{\left( r \right)}}},$ т.е. при $u \equiv {{S}_{s}}K$ (по $t$), ${{\psi }_{j}},\,j = \overline {0,\lambda } ,{{\Psi }_{i}},$ $i = \overline {0,m - 1} ,$ $y \in Y{{C}^{{(r)}}},$ $r = \overline {1,4} .$ Тогда на основании теоремы 3 из [7] имеем

где $X{{C}^{{(r)}}} \equiv \left\{ {x \in X\,{\text{|}}\,STUx \in {{C}^{{\left( r \right)}}}} \right\}.$

Далее пусть

а $\Lambda _{n}^{0} \equiv \left\{ {{{\lambda }_{n}}} \right\}$ – семейство всех линейных операторов $\lambda _{n}^{{}}:Y \to Y_{n}^{0}.$

Теорема 4. Пусть $F = Y{{C}^{{(r)}}},$ ${{\Lambda }_{n}} = \Lambda _{n}^{0}.$ Тогда

и этот оптимальный по точности порядок реализует ОМККС.

Доказательство. Заметим, что из определения $N$-го колмогоровского поперечника ${{d}_{N}}(L,X)$ множества $L$ в нормированном пространстве $X \equiv {{D}^{{\left\{ p \right\}}}}\left\{ {m;0} \right\}$ (см., например, [19, гл. 1, § 1]) и теоремы 1.3.6 (см.[4, гл. 1, § 1.3]) следует равенство

откуда, с учетом ${{d}_{l}}\left( {{{C}^{{\left( r \right)}}},C} \right) \succ \prec {{l}^{{ - r}}}\;\left( {l \in N} \right)$ (см., например, [19, гл. 3, § 3]), вытекает слабая эквивалентность

Далее, известно (см. [13, гл. 4, § 2]), что ${{V}_{N}}(F) \geqslant {{d}_{N}}(X{\kern 1pt} *,X).$ Следовательно, из (5.6) следует, что

С другой стороны, согласно (5.3) и теоремам 2 и 3 находим оценку

Отсюда и из соотношений (5.7), (5.4) получаем утверждение теоремы 4 с оценкой (5.5). Требуемое доказано.

6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Замечание 2. В силу определения нормы в $X \equiv {{D}^{{\left\{ p \right\}}}}\left\{ {m;0} \right\}$ нетрудно заметить, что из сходимости последовательности $(x_{n}^{*})$ приближенных решений к точному решению $x{\kern 1pt} * = {{A}^{{ - 1}}}y$ в метрике $X$ следует обычная сходимость в пространстве обобщенных функций, т.е. слабая сходимость.

Замечание 3. При приближении решений операторных уравнений $Ax = y$ возникает естественный вопрос о скорости сходимости невязки $\rho _{n}^{*}(t) \equiv (Ax_{n}^{*} - y)(t)$ исследуемого метода. Один из результатов в этом направлении легко получить из теоремы 2, а именно, из нее вытекает простое следствие: если исходные данные уравнения (4.1) принадлежат классу $Y{{C}^{{(r)}}},\;r = \overline {1,4} ,$ то в условиях теоремы 2 справедлива оценка

Замечание 4. Поскольку $C_{{0;1}}^{{\left\{ 0 \right\};\left\{ p \right\}}} \equiv C\left\{ {p;1} \right\} \equiv {{D}^{{\left\{ p \right\}}}}\left\{ {0;0} \right\}$, то при $m = 0$ УТРФО (4.1) превращается в интегральное уравнение II рода в $C\left\{ {p;1} \right\}$ с фиксированной особенностью в ядре, а предложенный метод (4.3), (4.4) – в соответствующий вариант метода коллокации с кубическими сплайнами, причем $h \equiv {{S}_{t}}{{S}_{s}}K,$ ${{\alpha }_{j}} \equiv S{{\psi }_{j}},$ $j = \overline {0,\lambda } ,$ $STy \equiv Sy.$ Следовательно, теорема 2 содержит в себе соответствующие результаты по обоснованию данного варианта метода коллокации для приближенного решения уравнений II рода с особенностью в ядре; при этом погрешность характеризуется неравенством ${{\left\| {x_{n}^{*} - x{\kern 1pt} *} \right\|}_{{\left\{ p \right\}}}} = O({{n}^{{ - r}}}),$ $r = \overline {1,4} .$

Замечание 5. Если $m = p = 0$, то $C_{{0;1}}^{{\left\{ 0 \right\};\left\{ 0 \right\}}} \equiv C \equiv {{D}^{{\left\{ 0 \right\}}}}\left\{ {0;0} \right\}$ и из УТРФО (4.1) получается интегральное уравнение II рода в пространстве $C.$ При этом метод (4.3), (4.4) становится соответствующим методом кубической сплайн-коллокации для уравнения II рода, причем $h \equiv K,$ $STy \equiv y.$ Поэтому теорема 2 охватывает обоснование указанного метода при приближенном решении уравнений II рода в $C.$ Соответствующая оценка погрешности имеет вид ${{\left\| {x_{n}^{*} - x{\kern 1pt} *} \right\|}_{C}} = O({{n}^{{ - r}}}),$ $r = \overline {1,4} .$

Замечание 6. Так как в условиях теоремы 2 соответствующие аппроксимирующие операторы ${{A}_{n}}$ обладают свойством вида

то (см. [13, гл. 1, § 5]) очевидно, что предложенный в настоящей работе прямой метод для УТРФО (4.1) устойчив относительно малых возмущений исходных данных. Это позволяет найти численное решение исследуемых уравнений на ЭВМ с любой наперед заданной степенью точности. Более того, если УТРФО (4.1) хорошо обусловлено, то хорошо обусловленной является также СЛАУ (4.4).